习题2作业讲评
1. 继续考虑节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗“两秒准则”是否足够安全对于安全车距，你有没有更好的建议（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何.
刹车距离与车速的经验公式20.750.082678dvv，速度单位为m/s，距离单位为m）
解答
（1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号：
D ～ 前后车距（m）；v ～ 车速（m/s）；
于是“两秒准则”的数学模型为22DKvv. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.
比较20.750.082678dvv与2Dv，得：
0.0826781.25dDvv
~
所以当15.12 m/sv（约合54.43 km/h）时，有dD，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全. 也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.
另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全.
用以下MATLAB程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.
v=(20:5:80).*;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,,,72,,118,,182,,266,318,376];
d2=.*d2;
k1=; k2=; K2=2;
；
d1=[v;v;v].*k1;
d=d1+d2;
plot([0,40],[0,K2*40],'k')
hold on
plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')
plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2)
第2章 数学建模方法论
不同的实际问题，建模的模式千差万别，各不相同，这与问题的性质、建模的目的以及建模者自身的数学基础知识和专长有关。然而，还是有一些普遍适用的思想方法与思维方式，本章将从方法论的角度介绍建模时通常会采用的一般方法。
2.1 概 论
数学建模首先在学习形式上与别的数学课程有很大的差别，它不像许多人想像的那样单靠一个人、一支笔、一张纸就可以解决问题，它经常表现为一种集体性质的活动，三、五个人甚至于更多的人组成一个团队，通过个人的智慧和与别人的合作来解决一个甚至一类实际问题。因此，培养良好的交流、合作和表达能力非常重要。对于个人来讲，在整个建模过程中，应该自始至终坚持做好记录，独自思考时随时记下好的想法。再次，在进行集体讨论时借助于文字进行交流，并记下讨论要点；工作中记下方法、计划、进程和结果，以辅助我们高效地进行交流以及作为论文写作的原始资料。另外，思考时养成记录的习惯可以帮助我们整理思路，并经常可以激发我们产生出新的、创造性的思想。
其次，数学建模在思考方法和思维方式上与学习其他数学课程有很大差别。这表现在数学建模过程是一种创新过程，它需要相当高程度的观察力、想像力以及一些灵感和顿悟。数学建模讲求创新，而我们同学最缺乏的就是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂，创新思维主要有类比思维、归纳思维、逆向思维、发散思维、猜测思维等等。下面介绍几种常用的思维方法。
2.1.1发散性思维方法
发散性思维是创新思维的重要组成部分，是发明创造的一个有力的武器。遇到问题(特别是难题)时最好不要有一点想法就一条路走下去，应把自己的思路尽量打开，去寻求更佳的方案。这里介绍两种方法：一种是借助于一系列问题来展开思路；另一种是借助于下意识的联想来展开思路。
第一种方法我们称之为提问题法。当你想到什么主意或者面临什么难题时，通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案。一些常用的问题如下:
第二章数学建模数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的路径。数学建模的全过程
现实对象的信息数学模型
现实对象的解答数学模型的解答表述
求解
解释验证(归纳)(演绎)
一个农民投入大约500元养肥了一头100公斤的猪，在上一周猪每天增重约2公斤。五天前猪价为7.5元/公斤，但现在猪价下降为7.2元/公斤，每天饲养费用为7.1元。求出售猪的最佳时间。
求什么?
关键是什么？
要考虑哪些因素？例1. 最佳销售时间假设：
1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。3. 猪饲养的花费每天不变。4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。参量：
猪的当前重量w0 =100kg猪的日增重量g =2kg猪的当前市场价格p0=7.5元/kg出售价格的日减少量r=(7.5-7.2)/5=0.06元每天饲养猪的花费k =7.1元
变量
猪再饲养时间t天出售时重量w(t)= w0+gt =100+gt 出售时单价p(t)= p0–rt=7.2-rt总收益R(t) = p(t)w(t)总投入C(t)=500+kt净收益=总收益-总投入P(t) = R(t) –C(t) 模型：P(t)=(7.2-rt)(100+gt)-(500+kt)P(t) = 220 + 1.3t –0.12t2.实际问题：求出售时间使净收益最高。数学问题：求函数P(t)的极大值点。令P‘(t)=0则有1.3 -2×0.12t = 0得t = 5.4P(5)=220+1.3×5－0.12×52=223.5>223.48=P(6)结论：再饲养5天后出售，最高净收益223.5元。
通过假设，将不确定因素确定化，简单代替复杂，连续代替间断。
数学建模成功与否，关键在假设，在切合实际与数学简化之间选择恰当的平衡点, 体现了建模工作的想象力和创造力。
数学建模
第1页 第二章 习题二
1.
（1）按照“两秒准则”表明前后车距与车速成正比，这和“一车长度准则”是类似的。在2.2节的基础上引入下面的符号:
D～前后车距（m）
v～车速（m/s）
K～按照“两秒准则”，D与v之间的比例系数（s）,在“两秒准则”中，K=2
于是“两秒准则”的数学模型为
（2）DKvK
而刹车距离的数学模型为
212dkvkv
要考虑“两秒准则”是否安全，即要比较D与d的大小
212dDkvkvKv（1）
代入k1=0.75v，k2=0.082678，K=2，所以当d>D，即刹车距离的理论大于前后车距时，认为不够安全；当d
计算得到当速度超过15.12 m/s时，“两秒准则”就不安全了，也就是说“两秒准则”适用于车速不是很快的情况。
另外，还可以通过绘图直观解释为什么“两秒准则”不够安全，用以下程序把刹车距离实测数据与“两秒准则”都画在同一幅图中：
v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];
d2=0.3048.*d2;
k1=0.75; k2=0.082678; K=2;
d1=[v;v;v].*k1; 数学建模
第2页 d=d1+d2;
plot([0,40],[0,K*40],'k')
hold on
plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')
plot([v;v;v],d,'ok')
title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')
legend('两秒准则','刹车距离理论值',...
