第1节 数学建模与数学探究
【内容要求】
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.
【基本过程】
数学建模活动的基本过程如下：
数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容.
【过程解读】
掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设.
·问题分析也常称为模型准备或问题重述.由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象.所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述.为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据.要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出.至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响.
·模型假设(即合理假设)是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤.根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步.这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作得不合理或过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素.
1 §9 零件的参数设计
（1997年全国大学生数学建模竞赛A题）
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数．零件参数包括标定值和容差两部分．进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围．若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望
值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍．
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差．这时要考虑两
方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差
的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高．
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法．
粒子分离器某参数(记作y)由7个零件的参数(记作127,,,xxx)决定,经验公式为:
320.561.16440.8522315721612.6210.36174.42xxxxxxyxxxxx.
y的目标值(记作0y)为1.50．当y偏离00.1y时，产品为次品，质量损失为1,000（元）；当y偏离00.3y时，产品为废品，质量损失为9,000（元）．
零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为%1，B等为%5，C等 2 为%10．7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号/表示无此等级零件）：
标定值容许范围 C等 B等 A等
X1 [0.075,0.125] / 25 /
X2 [0.225,0.375] 20 50
/
X3 [0.075,0.125] 20 50 200
X4 [0.075,0.125] 50 100 500
X5 [1.125,1.875] 50 / /
数学建模到底是学什么？
数学学建模是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
该学科通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生双向翻译能力，数学推导计算和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。
学习数学建模需要具备的基础知识：
高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
学习内容简述：
数学建模的概述、初等模型、简单优化模型、微分方程模型、离散模型、线性规划模型、概率模型等模型的基本建模方法及求解方法。
学习内容详述：
以建立不同的数学模型作为教学项目载体，每个项目分解为若干个学习任务：下面是整合两个版本的内容，供参考。
教学项目一：建立数学模型
学习内容：
（1）数学建模的历史和现状；
（2）高职院校开设数学建模课的现实意义；
（3）数学模型的基本概念；
（4）数学模型的特点和分类；
（5）数学建模的方法及基本步骤。
教学项目二：初等数学建模
学习内容：
（1）初等函数建模法：基本初等函数数学模型；常用的经济函数模型；
（2）集合建模法：鸽笼原理；“奇偶效验”法；相识问题；
（3）比例与函数建模法：动物体型模型；双重玻璃的功效模型；席位分配模型。
教学项目三：微分方程建模
学习内容：
（1）微分方程建模方法；
（2）熟悉微分方程建模案例：Malthus模型；Logistic模型；具有收获的单种群模型；
（3）经济增长模型；资金与劳动力的最佳分配；劳动生产率增长；
（4）人口的预测和控制；
（5）微分方程稳定性理论简介。
教学项目四：数学规划建模
学习内容：
第三章 考虑医生偏好的多目标手术室排程模型
3.1 考虑医生偏好的多目标手术室排程问题描述
我们假设一个手术系统一个排成周期内有N个待排程的手术集合，手术编号为i ，1...iN，为了保证手术室资源的有效利用，所有科室的手术共享医院全部手术室，另外，留有两间手术室专门处理急诊手术，急诊手术室不参与日常手术的排程，只在急诊到达时即时启用。假设医院全部科室拥有K个手术类别，每个类别的手术分别由其对应科室的医生来操作，医生与手术类别不符无法进行手术操作，除执刀医生以外其他资源都可以处理任何科室的手术。每一台手术按其工作地分为两个阶段，分别为手术执行阶段，手术后麻醉恢复阶段，文中简称为手术阶段、恢复阶段两个阶段，手术前手术后及两阶段之间运送时间忽略不计。在手术开始前，每一台手术的所有资源必须全部为可用的状态，手术才可以开始进行，在安排每台手术时，资源的可用状态，开放时间的可用性也必须被考虑进去。医生偏好是指医生对手术的熟练程度以及与其助手团队的亲密度和配合熟练度，偏好的大小影响手术的风险及手术效果，医生偏好值越小，表示医生与其助手团队的亲密度越高，最高为0，若与其助手团队的亲密度非常低，则偏好值为。手术室开放成本是指手术室一旦开放便固定产生的成本，如电费、设备折旧、医护人员日常工资、维持无菌状态的消毒措施、保证设备运转正常的各类检修费用等等。而手术室额外加班成本是指由额外加班带来的开放成本以外的支出，如支付给医生和护士的加班费，额外供给的氧气、额外的器械消耗等等。这里对开放成本Cr和额外加班成本Co进行一下说明，为了便于计算开放成本Cr中包含医护人员的正常工作的薪资、额外加班成本Co包含在正常工作基础上的加班薪资，产生加班时总的加班薪资等于Cr中的薪资部分与Co中薪资部分的和。模型所考虑的目标，是在最合理的资源调配下，对应的医生执行时，确定手术进行的先后顺序，以使手术中心整体的运营成本最小化。
