下载文档原格式
苏科版八年级下册数学第十一章11.4互逆命题一、相关知识链接1.命题判断一件事情的句子叫做命题．这里强调了“判断”这个条件，也就是说命题是带有肯定或否定语气完整的陈述语句，其它形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．2.真、假命题命题有正确的（真命题），也有不正确的（假命题）．要注意，不一定肯定的就是真命题，否定的就是假命题．3.命题的组成命题是由题设和结论两部分组成．题设是命题的条件，结论则是命题中判断的结果．一般情况下，命题的条件是由“如果”、“若”、“已知”等字样表示，用“那么”、“则”、“求证” 等字样表示出命题的结论．二、教材知识详解(链接例1)【知识点1】互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．如，“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”与“如果两外角相等，那么这两个角是直角”就是一对互逆命题．可见每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．但原命题正确，它的逆命题未必正确．如，对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两外角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题．【注意】互逆命题之间的关系：（1）、根据互逆命题的概念，可知每一个命题都有逆命题。
“互逆命题”只是说明两个命题之间的关系，而两个命题的地位可以互换，它们之中可以确定其中任何一个为原命题，但是一旦确定，另一个就是它的逆命题了．（2）、命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题；错误的命题叫做假命题．原命题正确，但它的逆命题未必正确．如“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”是真命题，但它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”却是一个假命题．（3）、有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理．定理是我们用来证明的依据。
11.4 逆命题Ⅰ.核心知识点扫描1. 两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题.2.判断一个命题是假命题的常用方法是举反例.Ⅱ.知识点全面突破知识点1 互逆命题（重点）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做○C 互逆命题．误区警示：逆命题是相对另一个命题(原命题)而言的，每个命题都有逆命题．【例】写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果两个角都是直角，那么它们相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)如果x=4，那么x =4；(5)如果△AB C ≌△A B C '''，那么BC=B C ''，AC=A C ''，∠ABC=∠A B C '''．解：(1)的逆命题：同位角相等，两直线平行，它是一个真命题；(2)的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，它是一个假命题；(3)的逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，它是一个假命题；(4)的逆命题：如果x =4，那么x=4，它是一个假命题；(5)的逆命题：如果在△ABC 和△A B C '''中，BC=B C ''，AC=A C ''，∠ABC=∠A B C '''，那么△ABC ≌△A B C '''，它是一个假命题．点拨：解题时应先分清原命题的条件和结论，再将其交换位置，但有时要适当改变形式，犹如文言文翻译文中的“意译”．知识点2反例（难点）举出一个例子来说明命题是假命题，这样的例子称为○C 反例. 特别提醒：判断假命题的方法：说明一个命题是真命题，验证个例无法保证其正确性，而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以了.即举出一例满足条件，但结论却不成立的例子.【例】举反例说明下列命题是假命题：(1)如果ab>0，那么a>0，b>0；(2)相等的角是对顶角；(3)三角形的一个外角大于它的内角；解：(1)当a=-2，b=-10时，ab=(-2)×(-10)=20>0，但a ，b 都不大于0，所以该命题是假命题；(2)等腰三角形的两个底角相等，但这两个底角不是对顶角，所以该命题是假命题；(3)在钝角三角形中，与钝角相邻的外角小于这个钝角，所以该命题是假命题；点拨：举反例说明一个命题是假命题时，举例要简单明了, 所以该命题是假命题．知识点3 用“⇒”表述推理过程(重难点)为了简化证明的推理过程，我们可以用符号○C “⇒”来表述推理，“⇒”是推出符号．使用符号“⇒”进行推理不但简化了证明过程，而且使得整个证明过程更加条理清晰． 【例】如图11.4-1所示，已知AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，垂足分别为D ，F ，∠1=∠2，求证：DG∥AB．证明：点拨：当具备推出结论的条件时，可直接使用推出符号得出结论． Ⅲ.提升点全面突破提升点1 确定一个命题的逆命题【例1】(2009，广州)已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题： ．答案：菱形的两条对角线互相垂直 点拨：根据互逆命题的概念，只要将原命题的条件和结论交换，即可得原命题的逆命题．○C “⇒”前的是条件，“⇒”后的是由条件推出的结论.图11.4-1提升点2确定逆命题的真假性【例2】(2010，包头)已知下列命题：①若a>0，b>0，则a+b>0；②若a ≠b ，则a 2≠b 2；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④平行四边形的对角线互相平分．其中，原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )A.lB.2 C ．3 D. 4答案：B 点拨：真命题“若a>0，b>0，则a+b>0”的逆命题“若a+b>0，则a>O ，a>0”为假命题；假命题“若a ≠b ，则a 2≠b 2”的逆命题“若a 2≠b 2，则a ≠b ”为真命题；真命题 “角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题“到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”为真命题；真命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为真命题．因此，原命题与逆命题均为真命题的个数是2． Ⅳ.综合能力养成【例1】（2010，安徽，条件探究题）如图11.4-2，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是__________________．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD ＝∠AC D ；②∠BAD ＝∠CA D ；③AB ＋BD ＝AC ＋C D ；④AB －BD ＝AC －CD答案：②③④ 点拨：本题是一道条件探索题，执果索因，条件富于变化，尤其是条件③、④别具一格，联系题目条件，根据勾股定理，易知：条件③、④等价，可以相互推导，本题还可以采用反证法或全等法证明，属于较难题．②由ASA 公理，得△ABD ≌△ACD ，故AB=AC ；因为AD⊥BC ，所以AB 2－BD 2=AC 2－CD 2，可知③与④等价，即其中一个成立，另一个也成立，由：⎩⎨⎧-=-+=+CD AC BD AB CD AC BD AB ，两式相加，即得AB=AC ． 【例2】（2010，天门，开放题）如图11.4-3，点D 、E 在△ABC 的BC 边上，∠BAD =∠CAE ，要推理得出△ABE ≌△ACD ，可以补充的一个条件是 (不添加辅助线，写出一个即可).答案不唯一，如∠B=∠C ，AB=AC ，或∠ADE=∠AED等.点拨：本题思路不唯一，有条件∠BAD =∠CAE ，可知∠BAE =∠CAD ，要使△ABE ≌△ACD ，需要至少一条边相等，图11.4-2 图11.4-3容易想到AB=AC．处理这类问题的一般思路是根据结论的需要加以分析，探索所需的条件，答案往往不唯一．Ⅴ.分层实战训练A组基础训练1．（知识点1）下列说法正确的是( )A．不是每个命题都有逆命题 B．若原命题是假命题，则逆命题也是假命题C．每个命题都有逆命题 D．若原命题是真命题，则逆命题也是真命题2．（知识点1）在下列命题中，正确的是( )A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形3．（知识点1）下列命题中的真命题是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．中心对称图形都是轴对称图形C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形是中心对称图形4．（知识点1）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题是．5．（知识点3）如图11．4—4，现给出如下三个条件：①AB=AC，②AD=AE，③∠B=∠C，请你选择其中两个条件为题设，另外一个条件为结论，构造一个命题，在构成的所有命题中，真命题有个．图11.4-4 图11.4-56.（知识点2）举反例说明下列命题是假命题：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2) 两个锐角互余．7. （知识点3）如图11.4-5所示，EF与AB，CD分别相交于点M，N，MP平分∠BMN，NQ平分∠DNM，MP与NQ相交于点H，∠MHN=90°，求证：AB∥CD．8. （知识点3）如图11．4—6所示，AB∥CD，∠BMP=∠DN Q．求证：MP∥NQ；图11．4—6 图11．4—7 9．（知识点3）如图11．4—7，已知AB =AC ，∠A =36°，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ．有下面4个结论：①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ； ④△AMD ≌ABCD ．(1)其中正确的结论是哪几个?(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明．B 组 培优训练1．（提升点2）请写出一个命题，使其是假命题而它的逆命题是真命题，命题是．2. （提升点1）○C 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题． 3．（2010，天津，开放题）如图11.4-8，已知AC FE =，BC DE =，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个．．条件，这个条件可以是 ．4．(探究题)如图11．4—9，∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E =10°．AB 与EF 平行吗？为什么？参考答案与点拨A 组 基础训练1．C 点拨：任何一个命题都有逆命题，一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，原命题的真假不能决定逆命题的真假．2．C3．C4．平面内到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.5．3点拨：共构成3个命题，3个命题都是真命题．图11.4-8 A CDBEF 图11.4-9①AC ABA A ADC AEBC B AD AE=⎫⎪∠=∠⇒∆≅∆⇒∠=∠⎬⎪=⎭；②B CAB AC AEB ADC AE ADA A∠=∠⎫⎪=⇒∆≅∆⇒=⎬⎪∠=∠⎭；③C BA A ADC AEB AC AB AD AE∠=∠⎫⎪∠=∠⇒∆≅∆⇒=⎬⎪=⎭6. 解：(1)如答图11．4—1所示，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，显然该四边形不是菱形，所以该命题是假命题．(2)当两个锐角分别为30°和40°时，这两个锐角不互余, 所以该命题是假命题．点拨：所举的反例要符合命题的条件，但不符合命题的结论的.7. 证明：点拨：本题通过题目的变换主要考查平行线的性质和判定及运用“⇒”表述推理过程的能力．8.////. AB CD BME DNMPME QNM MP NQ BMP DNQ⇒∠=∠⎫⇒∠=∠⇒⎬∠=∠⎭9．解：(1)正确的结论有①②③．∠BDC=∠C⇒△BCD是等腰三角形．点拨：从题图上观察知△ADM是直角三角形，而△CBD不是直角三角形，所以两个三角形不全等，即结论④错误．而结论①②③都很容易证明是正确的结论．本题第(2)问答案不惟一．答图11．4—1B 组 培优训练1．相等的两个角是对顶角 点拨：答案不惟一．2.解：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．点拨：原命题的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半．在结论中斜边已隐含着是直角三角形，因此直接将条件和结论互换得到的逆命题“斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形．”就是以直角三角形为条件又以直角三角形为结论的一个矛盾命题．所以必须将结论中的斜边进行变换，去掉其隐含的条件，即将斜边改为一边．3．C E ∠=∠（答案不惟一，也可以是AB FD =或AD FB =）点拨：注意到要判定的三角形全等，题设给出两对边相等，缺少另一对边，或夹角对应相等，所以要证明△BDE ≌△FDE ，只需要添加AC=EF,或∠C =∠E.4．AB 与EF 平行.理由如下:过点C 作CM ∥AB ，过点D 作DN ∥AB ，如答图11．4—2．因为CM ∥AB ，所以∠B=∠BCM ．又因为∠DCM==BCD-∠BCM ，∠B=25°，∠BCD=45°，所以∠DCM=45°-25°=20°．因为DN ∥AB ，CM ∥AB ，所以DN ∥CM ，所以∠NDC=∠DCM=20°．又因为∠CDE=30°，所以∠NDE=∠CDE-∠NDC=30°-20°=10°．因为∠E=10°，所以∠E=∠NDE ，所以DN ∥EF.因为DN ∥AB ，DN ∥EF 、所以AB ∥EF ．点拨：过一点作已知直线的平行线是经常添加的辅助线. 答图11.4-2。
