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初三数学：《解直角三角形》知识点总结知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。
1解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin A=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos A=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tan A=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA 即aAAAb的对边的邻边cot 锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900;(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
否则，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sin=∂+COSα(2)倒数关系：tana cota=1(3)商数关系：∂∂=∂∂∂=sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。
(2)()∂∂sinsin22是的简写，读作“∂sin的平方”，不能将∂∂22sin写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cottan,1223030cossin22=•=∂+∂οο，而1cossin22=+∂β就不一定成立。
解直角三角形知识点总结直角三角形是初中数学中的一个重要概念，也是解决三角函数问题的基础。
本文将对直角三角形的知识点进行总结，包括定义、性质以及常用的解题方法。
一、定义直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
直角三角形有三个边，分别为斜边、邻边和对边。
斜边是直角三角形中最长的一边，位于直角的对面。
二、性质1. 勾股定理：直角三角形中，对于两条边长分别为a和b的直角三角形，斜边的长度c满足勾股定理：c² = a² + b²。
2. 三角函数：直角三角形中，我们可以定义三角函数sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角或直角，分别表示三角形中的对边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边的比值。
三、常用解题方法1. 应用勾股定理：当已知两条边长，需要求解第三条边长时，可以利用勾股定理求解。
例如，如果已知直角三角形的斜边和一个邻边的长度，可以通过勾股定理求解另一个邻边的长度。
2. 使用三角函数：当已知一个角的度数和两个边的长度时，可以利用三角函数求解其他未知量。
例如，已知一个角的度数和斜边的长度，可以利用sin、cos或tan函数求解邻边或对边的长度。
3. 旁边两边法：当已经知道一个锐角的度数和一个边的长度时，可以利用旁边两边法求解其他未知量。
旁边两边法是利用三角函数中的tan函数，已知一个锐角和邻边长度时，可以求解对边的长度。
总结直角三角形是数学中的重要概念，掌握直角三角形的定义、性质以及常用的解题方法对于解决相关数学问题非常关键。
在解题过程中，可以根据已知条件灵活运用勾股定理、三角函数以及旁边两边法，快速求解出未知量。
熟练掌握直角三角形的知识点，能够帮助我们更好地理解和应用三角函数，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。
第24章 解直角三角形24、1 测量导学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。
教学重点：探索测量距离的几种方法。
导学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。
一：学习准备：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边成比例，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。
如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二：合作学习：问题一例1，如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。
现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。
你知道计算的方法吗？ 解：说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。
问题二、例 2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m 。
（1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。
（a ） （b ） （c ） 分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。
O DCB A F ED CB A FEB CD AE DCBA 111C B A方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。
三、引申提高：例3。
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．能力训练点：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感目标：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点、难点和疑点：重点：直角三角形的解法．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．第一课时教学过程：(一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系?(2)三边之间关系? a2 +b2 =c2 (勾股定理)(3)锐角之间关系? ∠A+∠B=90°．解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫解直角三角形。
（二）新课讲解：例1：在Rt⊿ABC中，∠C=900，∠B=4206‘，c=287.6，解这个直角三角形。
解：∠A=900-4206‘=47054’由cosB=a：c，得a=c cosB=287.4×0.7420=213.3由sinB=b：c，得b=c sinB=287.4×0.6704=193.7例2：在山坡上种树，要求相邻上下两树株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得山坡的倾斜角是240，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少？（精确到0.1m）（三）课堂练习：课本P112页练习1.根据下列条件，解直角三角形：（1）在Rt⊿ABC中，∠C=900，a=30，∠B=800；（2）在Rt⊿ABC中，∠C=900，c=30，b=3；2.根据下列条件，解直角三角形（∠C=900）：（1）∠A=300，c=8；（2）a=14，∠A=360（3）a=35，c=355；（4）a=30，b=15.（四）课堂小结：本节课你什么收获？（五）作业布置：课本P114页练习2、3题教后反思：。
解直角三角形一. 重点、难点：1. 重点：（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，•由已知三角函数值求它对应的锐角． 2. 难点：（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系．（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．二. 知识梳理：1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2. 特殊角的三角函数值3. 锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）（2）tanα·cotα＝1或tanα＝；（3）tanα＝，cotα＝．（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．解直角三角形的常见类型有：我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．①已知两边，求另一边和两个锐角；②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．5. 解直角三角形的应用（1）相关术语铅垂线：重力线方向的直线．水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，•地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．如图：（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，•能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．三．常见考法：1. 有关三角函数的重要概念三角函数中概念比较多，比如四个三角函数的定义式，三角函数值随角度增大或减小变化的规律，三角函数恒等式，互余三角函数之间的关系，特殊角三角函数值等。
这些概念虽然中考中直接命题考查的题目不多，但这是学好解直角三角形的基础。
例1. 计算．（1）；（2）．分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．例2．计算：sin sin tan tan tan 224842444546︒+︒-︒⋅︒⋅︒=_____。
解：原式=︒+︒-︒⋅︒⋅︒=-=sin cos tan cot tan 224848444445110说明：这道题综合考查互为余角的三角函数的关系，三角函数恒等式sin cos 22αα+=1，45︒角的函数值等。
例3. 已知tan α＝，求的值．法一：利用数形结合思想，将已知条件tan α＝用图形表示．法二：可将所求式子的分子、分母都除以cos α，转化为含有的式子，•再利用tanα＝进行转化求解．规律总结： 因为tan α＝所以α不等于90°，所以cos α≠0，因此分子分母可以同时除以cos α．实现转化的目的．2. 直角三角形的有关计算例4．如图2，在∆ABC 中，∠=︒C 90，∠=︒B 30，AD 是∠BAC 的平分线。
已知AB =43，那么AD=____________。
解：AC AB B =⋅=⨯=sin 431223 ∠=︒-︒=︒BAC 903060，所以∠=︒DAC 30 AD AC =︒==cos3023324说明：这种分两步走的直角三角形计算问题是常见的题型，将非直角三角形或四边形转化为直角三角形求解的问题也很常见。
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坡角α=︒28，斜坡AB=9m ，求拦水坝的高BE 。
（精确到0.1m ，参考数据sin .4695280︒=，cos .2808829︒=，tan .2805317︒=，cot .2818807︒=）解：在Rt ABE ∆中，AB m =9，α=︒28BE AB m =⋅=⋅︒≈⨯≈sin sin ..()α928904742说明：这类计算题多为结合实际生活生产的应用问题，有一些常用的名词应理解其意义，比如坡角、坡度、坡比等。
例6. 等腰三角形的底边长为6cm ，周长为14cm ，试求底角的余切值．分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形，•作底边上的高是解决问题常见办法．解：如图所示，作等腰三角形ABC ，BC 为底边，AD ⊥BC 于D ．∵△ABC的周长为14，底边BC＝6，∴腰长AB＝AC＝4．又∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝3．在直角三角形ABD中，∠ADB＝90°，AD＝＝＝cot∠B＝＝．答：等腰三角形底角的余切值是．点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形．3. 测量问题例7. 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图所示）：MCEα；①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠=②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m；③量出测倾器的高AC=h。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。
如果测量工具不变，那么请你依照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图10）的方案。
（1）在图10中，画出你测量小山的高度MN的示意图（标上适当字母）；（2）写出你的设计方案。
图10解：（1）画出示意图如图MCEα。
（2）①在测点A处安放测倾器，测得山顶M的仰角∠=②在A与小山之间的B处安放测倾器（A、B、N在同一直线上），测得此时山顶M的仰角MDEβ。
∠==，根据上述数据即可求出高MN。
③量出测倾器的高AC=BD=h，设两测点间的距离AB m说明：这类题将是以后中考命题的重点，它考查操作能力，符合新课标对数学教育的要求。
例8. 如图，一艘轮船从离A观察站的正北20海里处的B港处向正西航行，观察站第一次测得该船在A地北偏西30°的C处，一个半小时后，又测得该船在A•地的北偏西的D处，求此船的速度．分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到DC的长，观察图形，DC＝DB－CB，•而BD在Rt△ABD中可求，BC在Rt△ABC中可求．解：在Rt△ABC中，BC＝AB×tan30°＝20×＝20（海里）．在Rt△ABD中，BD＝AB×tan60°＝20×＝60（海里）．所以DC＝DB－CB＝60－20＝40（海里）．船的速度是：40÷1.5＝26（海里）．答：船的速度是26海里．点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以A•为中心的．例9. 如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D•处分别用测角仪器测得塔顶A的仰角为30°，45°，已知CD＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）分析：设塔高为x米，根据条件∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x米，在直角三角形ABC 中，根据∠C＝30°，即tanC＝可求．解：设AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝x．在Rt△ABC中，∠C＝30°，且BC＝CD+BD＝30+x，tanC＝所以tan30°＝，即＝，x＝（15+15）（米）．答：塔高AB为15+15米．例10. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析：过C作AB的垂线段CM，把AM、BM用含x的代数式x，x表示，利用AM+MB ＝2列方程得，x+x＝2，解出CM的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM的长，列方程解题的思想方法．解：作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，∠MCB＝∠MBC＝45°，则MB＝CM＝x千米．在Rt△AMC中，∠CAM＝30°，∠ACM＝60°tan∠ACM＝∴AM＝CM·tan60°＝x千米∵AM+BM＝2千米∴x+x＝2∴x＝－1≈1.732－1＝0.732∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米∴这条公路不会穿过公园．例11. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD，其中坝顶AB＝3米，经测量背水坡AD＝20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i＝1：0.6，求迎水坡BC的坡角∠C和坝底宽CD．分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，•一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决．解：过A、B作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足是E、F，根据题意有AE＝BF＝10，四边形ABFE是矩形，EF＝AB＝3．在Rt△ADE中，DE＝＝＝10（米），在Rt△BCF中，，CF＝0.6×BF＝0.6×10＝6（米）所以CD＝CF+EF+DE＝10+3+6＝（9+10）（米）．又在Rt△BCF中，cot∠C＝0.6，所以∠C≈59°．。
