解直角三角形-单元测试题(基础题)--含答案

沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分150分，限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值()A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是()A.cos 43°>cos 16°>sin 30°B.cos 16°>sin 30°>cos 43°C.cos 16°>cos 43°>sin 30°D.cos 43°>sin 30°>cos 16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°，则锐角α的度数是()A.50°B.40°C.30°D.20°4.在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为()A.√55B.2√55C.12D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中，值为14的是() A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°C.tan30°cos60°D.(tan 60°)-16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足为D，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是()A.ADBD B.ACABC.ADACD.CDBC7.(2023安徽池州月考)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.12C.2D.√1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB=3 m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sin α)mB.(4+3tan α)mC.(4+3sinα)m D.(4+3tanα)m9.(2023安徽合肥庐江期末)如图，在△ABC中，sin B=12，AB=8，AC=5，且∠C 为锐角，cos C的值是()A.35B.45C.√32D.3410.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC=BD=64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.76 cmB.(64√2+12)cmC.(64√3+12)cmD.64 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如果tan α=1，那么锐角α=度.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，设∠BCD=α，则tan α=.13.如图，已知tan O=4，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，3如果MN=2，那么PM=.，BC=12，D是AB的中点，过点B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cos A=35作线段CD的垂线，交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为;(2)cos∠DBE的值为.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算:2cos 30°-tan 260°3tan45°+√(sin60°−1)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时，采用以下方法:如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，设AC =1，则AB =2，BC =√3，所以tan 15°=ACCD =2+√3=√3(2+√3)×(2−√3)=2-√3，类比这种方法，计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形，并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.(2021广东潮州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.(1)若AE=1，求△ABD的周长;BD，求tan∠ABC的值.(2)若AD=1318.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示)，此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈3 5,tan53°≈43)20.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动，测量某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量.如图，纪念碑设在1.2 m的石台上，他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平方向前进21 m，到达点N处，在点C 处测得点A的仰角为45°，BM=CN=1.7 m，求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93tan 22°≈0.40，√2≈1.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图，已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为20°，在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，√3≈1.73，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶√3，AB=16米，AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:(1)[探究原理]制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;(2)[实地测量]如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P 的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH;(√3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)[拓展探究]公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距地面的高度PH (如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E 、F (E 、F 、H 在同一直线上)，分别测得点P 的仰角为α、β，再测得E 、F 间的距离为m 米，点O 1、O 2到地面的距离O 1E 、O 2F 均为1.5米.求PH (用α、β、m 表示).参考答案与解析1.C Rt △ABC 的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt △ABC 是相似的，∴锐角A 的大小是不变的，∴锐角A 的正弦值、余弦值没有变化.2.C ∵sin 30°=cos 60°，16°<43°<60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos 16°>cos 43°>sin 30°.3.C ∵sin(70°-α)=cos 50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故选C.4.A 在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，因为tan A =ab =2，所以a =2b ，由勾股定理得c =√a 2+b 2=√5b所以cos A =bc =√5b =√55.5.Bsin 45°×cos 45°=√22×√22=12，故A 不符合题意;tan 45°-cos 230°=1-(√32)2=1-34=14，故B 符合题意;tan30°cos60°=√3312=23√3，故C 不符合题意;(tan 60°)-1=(√3)-1=√33，故D 不符合题意. 6.AAD BD不一定等于sin β，故A 符合题意;∵△ABC 是直角三角形，∴sin β=AC AB，故B 不符合题意; ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠A =∠B +∠A =90°∴∠ACD =∠B ，∴sin β=ADAC，故C 不符合题意;∵△BCD 是直角三角形，∴sin β=CDBC，故D 不符合题意.7.B 如图，取格点D ，连接BD由题意得AD 2=22+22=8，BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，∴AD 2+BD 2=AB 2 ∴△ABD 是直角三角形，∴∠ADB =90°，在Rt △ABD 中 AD =2√2，BD =√2，∴tan A =BDAD =√22√2=12. 8.A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图∵AD ⊥BC ，∠ABC =α，∴sin α=AD AB=AD3，∴AD =3sin α m ，∴房顶A 离地面EF 的高度=AD +BE =(4+3sin α)m .9.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D∴∠ADB =∠ADC =90°在Rt △ABD 中，sin B =12，AB =8，∴AD =AB ·sin B =8×12=4在Rt △ADC 中，AC =5，∴CD =√AC 2−AD 2=√52−42=3，∴cos C =CD AC =35.10.A 如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，在Rt △ACE 中，AE =12AC =12×64=32(cm)，同理可得BF =32 cm ，∵点A 与B 之间的距离为12 cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析 ∵tan α=1，∴锐角α=45度. 12.34解析 ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠α+∠B =∠A +∠B =90°，∴∠α=∠A ∴tan α=tan A =68=34.13.√17解析 如图，过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D∵tan O =PD OD =43，∴设PD =4x ，则OD =3x∵OP =5，由勾股定理得(3x )2+(4x )2=52，∴x =1(已舍负)，∴PD =4 ∵PM =PN ，PD ⊥OB ，MN =2，∴MD =ND =12MN =1在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM =√MD 2+PD 2=√17. 14.(1)152(2)2425解析 (1)在Rt △ABC 中，cos A =AC AB =35∴设AC =3x ，则AB =5x ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(5x)2−(3x)2=4x ∵BC =12，∴4x =12，∴x =3，∴AB =15，AC =9，∵D 是AB 的中点 ∴CD =12AB =152.(2)∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴△CBD 的面积=12×△ABC 的面积，∴12CD ·BE =12×12AC ·BC ，∴152BE =12×9×12，∴BE =365，在Rt △BDE 中cos ∠DBE =BE BD=365152=2425.15.解析原式=2×√32-(√3)23×1+1-√32=√3-1+1-√32=√32. 16.解析 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D.∵∠ABC =45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5° 设AC =1，则BC =1，AB =√2AC =√2 ∴CD =CB +BD =CB +AB =1+√2 ∴tan 22.5°=tan D =ACCD =1+√2=√2−1(1+√2)×(√2−1)=√2-1.17.解析 (1)如图，连接BD ，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，∴BD =CD ∴C △ABD =AB +AD +BD =AB +AD +DC =AB +AC. ∵AB =CE ，∴C △ABD =AC +CE =AE =1 故△ABD 的周长为1.(2)设AD =x ，∴BD =3x.∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x∴tan∠ABC=ACAB =2√2x=√2.18.解析(1)在Rt△AOB中，cos α=OBAB∴OB=AB·cos α当α=50°时，OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84当α=75°时，OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.∵1.56<2.5<3.84∴此时人能安全地使用这架梯子.(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:当∠ABO=75°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin 75°≈6×0.97=5.82(米)∵梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).当∠ABO=50°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)∵4.32<4.62∴此时人不能安全地使用这架梯子.19.解析过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，如图所示则∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan45°=AD1=AD在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD ，∴BD=ADtan53°≈AD43=34AD由题意得AD-34AD=75，∴AD=300 m，∵此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，∴此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为20-300100×0.6=18.2(℃).答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 ℃.20.解析延长BC交AF于E，延长AF交MN的延长线于D，如图则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形∴BC=MN=21 m，DE=CN=BM=1.7 m∵∠AEC=90°，∠ACE=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE设AE=CE=x m∴BE=(21+x)m∵∠ABE=22°∴tan 22°=AE BE =x21+x≈0.40，解得x =14∴AE =14 m∴AD =AE +ED =14+1.7=15.7(m) ∴纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m). 答:纪念碑的高度约为14.5 m . 21.解析 延长BC 交AD 于点E则DE =CM =BN =1.6 m ，BC =MN ，∠AEB =90° ∵AD =2.2 m∴AE =AD -DE =2.2-1.6=0.6(m) 在Rt △ACE 中，∠ACE =60° ∴CE =AE tan60°=√3≈0.35(m)在Rt △ABE 中，∠ABE =20° ∴BE =AE tan20°≈0.60.36≈1.67(m)∴MN =BC =BE -CE =1.67-0.35=1.32(m) ∴有效测温区间MN 的长度约为1.32 m .22.解析 (1)Rt △ABH 中，tan ∠BAH =√3=√33 ∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =8米.(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G 由(1)得BH =8米，易得AH =8√3米∴BG=HE=AH+AE=(8√3+24)米，在Rt△BGC中，∠CBG=45°∴CG=BG=(8√3+24)米.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=24米，∴DE=√3AE=24√3米.∴CD=CG+GE-DE=8√3+24+8-24√3=32-16√3≈4.3(米).答:广告牌CD的高约为4.3米.23.解析(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON.(2)由题意可得KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°在Rt△PQO中，tan∠POQ=PQOQ∴tan 60°=PQ5∴PQ=5√3米∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2(米)即树高PH约为10.2米.(3)由题意可得O1O2=m米，O1E=O2F=DH=1.5米，tan β=PDO2D ，tan α=PDO1D∴O2D=PDtanβ，O1D=PDtanα∵O1O2=O2D-O1D，∴m=PDtanβ-PD tanα∴PD=mtanα·tanβtanα−tanβ米，∴PH=PD+DH=(mtanα·tanβtanα−tanβ+1.5)米。

九年级数学解直角三角形单元综合测试题直角三角形常用到一个非常重要的三角形定理，勾股定理。

下面是小编给大家带来的九年级数学解直角三角形单元综合测试题，希望能够帮助到大家!九年级上册数学单元综合测试卷(第23章解直角三角形)注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )A. B.3 C. D.22.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是( )A. B. C. D.3.如果∠ 为锐角，且sin =0.6，那么的取值范围是( )A.0°< ≤30°B.30°< <45°C.45°< <60°D.60°< ≤90°4.若为锐角，且sin = ，则tan 的值为( )A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标为(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则sin 的值为( )A. B. C. D.第5题图第8题图第9题图第10题图6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，则cosA的值为( )A. B. C. D.7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是( )A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于( )A. B. C. D.9.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是( )A. (m2)B. (m2)C.1600sin (m2)D.1600cos (m2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为( )A.5mB. mC.4 mD.2二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC= ，AD=4.则DC=___________.第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为，且tan =0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°(图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为___________米.13.如图，已知点A(5 ，0)，直线y=x+b(b>0)与x轴、y轴分别相交于点C、B，连接AB，∠ =75°，则b=________.14.如图，正方形ABCD中，E是CD中点，FC= BC，则tan∠EAF=________.三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)15.计算：(1) +2sin45°- ;(2)sin30° tan60°-(-tan45)2016+ .16.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AB=6，AC=5 ，∠A=30°.(1)求BD和AD的长;(2)求tanC的值.四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度.小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据计算出河宽.(精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732)18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求tanB的值.五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.(1)求sinB的值;(2)如果CD= ，求BE的值.20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D 作ED⊥AD交AC于点E，AE=4，EC=2.(1)求证：AD=CD;(2)若tanB=3，求线段AB的长﹒六、(本题满分12分)21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向.求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A、B两个码头间的距离(结果都保留根号)﹒七、(本题满分12分)22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1：2，且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测角器高度忽略不计，结果保留根号形式)八、(本题满分14分)23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM.(1)求△ABM的面积;(2)求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D B D A C B C A D二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11. . 12. 7 . 13. 5 . 14. .三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)15. 解答：(1) +2sin45°- ;= +2× - ，= + -= + -2 +2=3 - ;(2)sin30° tan60°-(-tan45)2016+ .= × -(-1)2016+= -1+1-= .16.解答：(1)∵BD⊥AC，AB=6，∠A=30°，∴BD= AB=3，在Rt△ABD中，AD=AB cosA=6× =3 ;(2)∵AC=5 ，AD=3 ，∴CD=AC-AD=2 ，在Rt△BCD中，tanC= = = .四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)17.解答：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，在Rt△AEC中：∠CAE=45°，∴AE=CE=x在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BE= CE= x，∵BE=AE+AB，∴ x=x+50，解得：x=25 +25≈68.30.答：河宽为68.30米.18.解答：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠MAN=∠BAC，∴△AMN∽△ABC，∴ = = ，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC= = ，在Rt△ABC中，tanB= = = .五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)19.解答：(1)∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACH=90°，∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC= CH，∴CH：AC=1：，∴sinB= ;(2)∵sinB= ，∴AC：AB=1：，∴AC=2，∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB= ，设CE=x(x>0)，则AE= x，则x2+22=( x)2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2 ，∴BC=4，∴BE=BC-CE=3.20.解答：(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠ADE=90°.在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4，∴∠DEA=60°，DE= AE=2，∵EC=2，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C.又∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°，∴∠C=30°=∠DAE，∴AD=CD;(2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC=∠AFB=90°，∵AE=4，EC=2，∴AC=6.在Rt△AFC中，∠AFC=90°，∠C=30°，∴AF= AC=3.在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3，∴BF= =1，∴AB= = .六、(本题满分12分)21.解答：过P作PM⊥AB于M，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20海里，∴PM= AP=10海里，AM=AP cos30°=10 海里，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10海里，∴AB=AM+BM=(10+10 )海里，∴BP= =10 海里，即小船到B码头的距离是10 海里，A、B两个码头间的距离是(10+10 )海里.七、(本题满分12分)22.解答：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°，∴CO=AO tan60°=100 (米).设PE=x米，∵tan∠PAB= = ，∴AE=2x.在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100 ﹣x，PF=OA+AE=100+2x，∵PF=CF，∴100+2x=100 ﹣x，解得x= (米)，答：电视塔OC高为100 米，点P的铅直高度为 (米).八、(本题满分14分)23.解答：(1)延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，∴CN=AD=3，AM=MN= AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，∵∠ABC=90°，∴S△ABN= ×AB BN= ×4×8=16，∴S△ABM= S△ABN=8;∴△ABM的面积为8;(2)过点M作MK⊥BC，∵∠ABC=90°，∴MK∥AB，∴△NMK∽△NAB，∴ = = ，∴MK= AB=2，在Rt△ABN中，AN= = =4 ，∴BM= AN=2 ，在Rt△BKM中，sin∠MBC= = = ，∴∠MBC的正弦值为 .。

第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，=75°，则b的值为（）A.3B.C.4D.2、如图，要测量河两相对的两点P、A之间的距离，可以在AP的垂线PB上取点C，测得PC＝100米，用测角仪测得∠ACP＝40°，则AP的长为（）A.100sin40°米B.100tan40°米C. 米D. 米3、某公司要在如图所示的五角星（∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB）中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=（﹣1）米，则需要安装闪光灯（）A.79盏B.80盏C.81盏D.82盏4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，下列结论正确的是（）A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.tanB=5、△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A. B. C. D.6、如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点，点的对应点为点，连接、、与交于点，与交于点，若点为中点，，，则的长为（）A. B. C. D.7、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A.6B.7C.8D.98、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=4，BD=2，则∠1的余弦值为（）A. B. C. D.9、如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10、如图，在等腰中，，, 是上一点．若，那么的长为（）A.2B.C.D.111、如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，的值为（）A. &nbsp;B.C.D.12、在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为( )A. B. C. D.13、如图，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系（）A.∠1=∠2=∠3B.∠1＜∠2＜∠3C.∠1=∠2＞∠3D.∠1＜∠2=∠314、如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（）A.sinα =B.cosα=C.tanα=D.tanα=215、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A. 8tan20°B.6cos15°C.8tan15°D.6cot15°二、填空题(共10题，共计30分)16、用科学计算器计算：8cos31°+=________17、如图，点A、点B是双曲线y＝上的两点，OA＝OB＝6，sin∠AOB＝，则k＝________.18、如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC＝4：5，则tan∠CFD＝________.19、实数tan45°，，0，﹣π，﹣，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是________个．20、如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD＝20m，则甲楼的高AB的高度是________m.（结果保留根号）21、如图，在△ABC中，CA =3， CB=4，AB= 5，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF 折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin ∠BED的值为________.22、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．23、计算：2sin60°+tan45°=________24、如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）25、计算：3tan30°+sin45°=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：﹣4 ﹣tan60°+| ﹣2|．27、如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．（1）求AC的长度；（2）求每级台阶的高度h．（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）28、先化简，再求值：，其中a=2sin45°﹣tan30°，b=tan45°．29、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，CD的长为20 米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5（i为坡比即BE：AE），斜坡CD的坡度i＝1：2（i为坡比即CF：FD），求坝底宽AD的长．30、如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o 方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、B4、D5、B6、A7、A8、D9、A11、A12、D13、D14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。

《解直角三角形》单元测试卷一、填空题：1、如下图，表示甲、乙两山坡的情况, _____坡更陡。

(填“甲”“乙”)αβ1213 34甲乙2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________。

3、在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB= 。

4、计算：tan 245°－1＝ 。

5、在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。

6、△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=31，则S △ABC=______。

7、菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形较小的内角为______度。

8、如图2是固定电线杆的示意图。

已知：CD ⊥AB ，CD 33=m ，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC 的长是__________m 。

9、升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米。

(用含根号的式子表示)10、如图3，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30，90BCA ∠=，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ，取2 1.414=，3 1.732=）11、如图4，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos 15°=624+)二、选择题：12、在ABC ∆中，︒=∠90C ，AB=15，sinA=13，则BC 等于（ ） A 、45 B 、5 C 、15 D 、14513、李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ） A.40° B.30° C.20° D.10°14、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高 15、在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般锐角三角形16、如图5，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8 m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为( )A.1.8tan80°mB.1.8cos80°mC.︒80sin 8.1 m D.︒80tan 8.1 m17、如图6，四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ） A.42B.43C.4D.6三、解答题：18、计算：(1)3cos30°+2sin45° (2)6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°19、根据下列条件，求出Rt △ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角. (1)BC=8，∠B=60°; (2)AC=2，AB=2.20、如图7，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，∠A 的平分线AD=3316,求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.21、等腰三角形的底边长20 cm ，面积为33100c m 2，求它的各内角.22、同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC ＝2m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4m 。

2019年华师大版数学上册九年级《第24章解直角三角形》单元测试卷一．选择题（共15小题）1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A3．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是（）A．∠1B．∠2C．∠B D．∠1、∠2和∠B 4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（）A．66°B．36°C．56D．46°6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC7．下列命题：（1）相等的角是对顶角．（2）同位角相等（3）直角三角形的两个锐角互余．（4）若两条线段不相交，则两条线段平行．其中正确的命题个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A．9°B．18°C．27°D．36°9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD 的值为（）A．B．C．D．310．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（）A．AB2＝AC•BD B．AB•AD＝BD•BCC．AB2＝BC•BD D．AB•AD＝BD•CD11．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin A的值为（）A．B．C．D．12．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°13．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为（）A．B．C．D．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．15．已知sin A＝，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°二．填空题（共8小题）16．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝．17．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（填序号）18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．19．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为．21．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝．22．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是．23．比较大小：sin44°cos44°（填＞、＜或＝）．三．解答题（共3小题）24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．25．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．26．在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．2019年华师大版数学上册九年级《第24章解直角三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．【解答】解：A中∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故选：D．【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．故选：B．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似．3．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是（）A．∠1B．∠2C．∠B D．∠1、∠2和∠B 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，以及同角的余角相等即可判断．【解答】解：∵∠ACB＝90°，即∠1+∠2＝90°，又∵直角△ACD中，∠A+∠1＝90°，∴∠A＝∠2．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，以及余角的性质：同角的余角相等．4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．【解答】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．【点评】此题考查了直角三角形的性质，余角的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（）A．66°B．36°C．56D．46°【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°；故选：B．【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC＝∠BCE是解题的关键．7．下列命题：（1）相等的角是对顶角．（2）同位角相等（3）直角三角形的两个锐角互余．（4）若两条线段不相交，则两条线段平行．其中正确的命题个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，余角的定义等来一一验证，从而求解．【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故错误；②两直线同位角相等，故错误；③直角三角形两锐角互余，故正确；④在同一平面内，若两条直线不相交，则两直线平行，故错误．综上可得只有③正确．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理的知识，涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．8．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A．9°B．18°C．27°D．36°【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解．【解答】解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．则x+4x＝90，解得：x＝18°．故选：B．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD 的值为（）A ．B ．C ．D ．3【分析】根据射影定理得到：AC 2＝AD •AB ，把相关线段的长度代入即可求得线段AD 的长度．【解答】解：如图，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD •AB ， 又∵AC ＝3，AB ＝6，∴32＝6AD ，则AD ＝． 故选：A ．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．10．如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且∠BAD ＝∠C ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB 2＝AC •BD B ．AB •AD ＝BD •BC C ．AB 2＝BC •BDD ．AB •AD ＝BD •CD【分析】先证明△BAD ∽△BCA ，则利用相似的性质得AB ：BC ＝BD ：AB ，然后根据比例性质得到AB 2＝BC •BD ． 【解答】解：∵∠BAD ＝∠C ， 而∠ABD ＝∠CBA ， ∴△BAD ∽△BCA ， ∴AB ：BC ＝BD ：AB ， ∴AB 2＝BC •BD ． 故选：C ．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．11．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据角的正弦，等于角的对边比斜边，可得答案．【解答】解：由勾股定理得AB＝＝5，sin A＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出斜边，再求出正弦值．12．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°【分析】明确cos45°＝，余弦函数随角增大而减小进行分析．【解答】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．故选：A．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．13．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为（）A．B．C．D．【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．【解答】解：∵α为锐角，，∴cos（90°﹣α）＝sinα＝．故选：B．【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得∠A的余弦，根据同角三角函数的关系，可得∠A的正弦，∠A的正切．【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，得cos A＝sin B＝．由sin2A+cos2A＝1，得sin A＝＝，tan A＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出∠A的余弦是解题关键．15．已知sin A＝，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据30°角的正弦值等于解答．【解答】解：∵sin A＝，∴A＝30°．故选：A．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记．二．填空题（共8小题）16．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝20°．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．17．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③（填序号）【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．【点评】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数，根据直角三角形的定义进行判定．18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．【分析】由条件知△ABE，三角形ADB是直角三角形，且EM，DM分别是它们斜边上的中线，证明∠EMD＝2∠DAC＝60°，从而可得三角形DME是边长为2的等边三角形可得到问题答案．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，＝．所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM故答案为：．【点评】本题考查了直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质和等边三角形的面积计算，题目综合性很好．19．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．【分析】分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．【解答】解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当PA⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．【点评】此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为4．【分析】根据射影定理得到：CD2＝AD•BD，把相关线段的长度代入计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，∴CD2＝AD•BD＝8×2，则CD＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC；②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC．21．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝．【分析】由三角形的性质：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项，即CD2＝AD×BD，可将BD的长求出，然后在Rt△BCD中，根据勾股定理可将BC的边求出．【解答】解：∵若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4∴CD2＝AD×BD，即42＝3×BD解得：BD＝在Rt△BCD中，∵BC2＝CD2+BD2，∴BC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查三角形的性质及对勾股定理的应用．22．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是10．【分析】根据正弦函数的定义得出sin A＝，即＝，即可得出AB的值．【解答】解：∵sin A＝，即＝，∴AB＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．23．比较大小：sin44°＜cos44°（填＞、＜或＝）．【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°＝sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，又∵44°＜46°，∴sin44°＜cos44°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．三．解答题（共3小题）24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．【分析】在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF 中∠FBC＝40°求得∠FBC的度数．【解答】解：在Rt△ABF中，∠A＝70，CE，BF是两条高，∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，又∵∠BCE＝30°，∴∠ACB＝50°，∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．25．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．26．在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，如果利用三角函数可以分别在△ABD和△ADC中可以得到sin sB，sin C的表达式，由此即可证明题目的结论．【解答】证明：过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，sin B＝，∴AD＝AB sin B，在Rt△ADC中，sin C＝，∴AD＝AC sin C，∴AB sin B＝AC sin C，而AB＝c，AC＝b，∴c sin B＝b sin C，∴＝．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．。

第一章解直角三角形 单元测试题（满分100分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ）1. 如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ）A.1，1，√2B.1，1，√3C.1，2，√3D.1，2，32. 如图，△ABC 中，∠B ＝90∘，BC ＝2AB ，则cos A ＝（ ）A.√52B.12C.2√55D.√553. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，sin A =35，则BC AC 等于（ ）A.34B.43C.35D.454. 在△ABC 中，∠C =90∘，如果tan A =34，那么sin B 的值等于（ ） A.53 B.35 C.54 D.455. cot β=√33，则锐角β等于（ ）A.0∘B.30∘C.45∘D.60∘6. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为55cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(55+100tanα)cmB.(55+100sinα)cmC.(55+100cosα)cmD.以上答案都不对7. 如果某人沿坡度为1:3的斜坡向上行走a米，那么他上升的高度为（）A.√1010a米 B.√10a米 C.a3米 D.3a米8. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图（其中ABCD是矩形）．设∠ADO=α，彩电后背AD与前沿BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(60+100sinα)cmB.(60+100cosα)cmC.(60+100tanα)cmD.(60−100sinα)cm9. 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45∘，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60∘．问摩天轮的高度AB约是（）米（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）A.120B.117C.118D.119二、填空题（本题共计11 小题，每题3 分，共计33分，）10. 如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα>tanβ；②sinα>sinβ；③cosα>cosβ，正确的结论为________（填序号）．11. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75∘方向20米处，点C在点A南偏西15∘方向20米处，则点B与点C的距离为________米．．AC上有一点E，满足AE:CE= 12. 如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B=342:3．那么tan∠ADE的值是________．13. 如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37∘，那么从目标B可以测得这个建筑物的A 处的仰角为________．14. 计算：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘=________.15. 如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120∘角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=√3米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为________米．（计算结果保留根号）．16. 茗茗在坡度为1:√3的坡面上走了100m，则茗茗上升了________m．17. 如图，我国一渔政船在A处，发现正东方向B处有一可疑船只，正以16海里/小时速度向西北方向航行，我渔政船立即往北偏东60∘方向航行，1.5小时后，在C处截获可疑船只，则我渔政船的航行路程AC=________海里(结果保留根号)．18. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin A=1，那么cos A＝________．219. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则sin A=________．20. 动手操作：今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角形a的30∘角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为________cm2（不计三角板的厚度）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）−√3⋅tan30∘．21. 计算：cos245∘+cos302sin60+122. 已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45∘，∠A=60∘，CD=4√2米，BC=(4√3−4)米，求电线杆AB的长．23. 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45∘，底端D点的仰角为30∘，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为60∘（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度为多少米？24. 在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在从离B点21米远的建筑物CD顶端C测得A点的仰角为45∘，到B点的俯角为30∘，问离B点30米远的保护文物是否在危险区内？(√3约等于1.732)25. 如图，已知“中国渔政310”船(A)在南海执行护渔任务，接到陆地指挥中心(P)命令，得知出事渔船(B)位于陆地指挥中心西南方向，位于“中国渔政310”船正南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心北偏西60∘方向，距离为80海里的地方．而“中国渔政310”船最大航速为20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要多少时间（结果保留根号）？26. 我区在修筑渭河堤防工程时，欲拆除河岸边的一根电线杆AB．如图，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡度为1:0.5，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30∘，D、E之间的宽是2米，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将DE段封止？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）参考答案一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】B【解答】解：A、若三边为1，1，√2，由于12+12=(√2)2，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以A选项错误；B、由1，1，√3能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为30∘，顶角为120∘，所以这个三角形是“实验三角形”，所以B选项正确；C、若三边为1，2，√3，由于12+(√3)2=22，则此三边构成直角三角形，最小角为30∘，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以C选项错误；D、由1，2，3不能构成三角形，所以D选项错误．故选B．2.【答案】D【解答】∵∠B＝90∘，BC＝2AB，∴AC=√AB2+BC2=√AB2+(2AB)2=√5AB，∴cos A=ABAC =√5AB=√55．3.【答案】A【解答】解：∵sin A=35，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴tan A=BCAC =ab=3x4x=34，故选A．4.【答案】D【解答】解：由tan A=34，可设∠A的对边是3k，∠A的邻边是4k．则根据勾股定理，斜边是5k．∴sin B=4．故选D．5.【答案】D【解答】解：∵cotβ=√33，β为锐角，∴β=60∘．故选D．6.【答案】B【解答】解：设OE、AD相交于F，则EF=55，在直角三角形AFO中，∵∠DAO=α，AO=100cm，∴OF=100sinα，∵EF=55，∴OE=55+100sinαOE=55+100sinα．故选B．7.【答案】A【解答】解：如图：根据题意得：AC=a，i=1:3，∴i=AECE =13．设AE=x米，则CE=3x米，∴AC=√AE2+CE2=√10x（米），∴√10x=a，解得：x=√1010a，∴AE=√1010a米．即他上升的高度为√1010a米．故选A．8.【答案】B【解答】解：∵△AOD是直角三角形，∴∠OAD+∠ODA=90∘，∵△AOF是直角三角形，∴∠OAD+∠AOF=90∘，∴∠AOF=∠ADO=α，在Rt△AOF中，OF=AO⋅cosα=100cosα，∵EF=CD=60cm，∴OE=EF+OF=(60+100cosα)cm．故选B．9.【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，由∠C=45∘，得AB=BC，在Rt△ABD中，∵tan∠ADB=tan60∘=ABBD，∴BD=ABtan60∘=√3=√33AB，又∵CD=50m，∴BC−BD=50，即AB−√33AB=50，解得：AB≈118．即摩天轮的高度AB约是118米．故选：C．二、填空题（本题共计11 小题，每题 3 分，共计33分）10.【答案】①②【解答】解：根据图形得：∠α>∠β，∴tanα>tanβ，sinα>sinβ，cosα<cosβ．∴①②正确．故答案为①②．11.【答案】20√2【解答】解：根据题意得：∠BAC=90∘，AB=AC=20米，在R t△ABC中，BC=√AC2+AB2=√202+202=20√2，故答案是：20√2．12.【答案】89【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，AD为高，∴∠B=∠C，∴tan C=34=ADDC设AD=3t，DC=4t，∴AC=√AD2+CD2=5t，而AE:CE=2:3，∴AE=2t，∵EF // CD，∴△AEF∽△ACD，∴EFCD =AFAD=AEAC，即EF4t=AF3t=2t5t，∴AF=65t，EF=85t，∴FD=AD−AF=95t，在Rt△DEF中，tan∠FDE=EFFD =85t95t=89∴tan∠ADE=89．故答案为89．13.【答案】37∘【解答】解：如图，∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37∘，∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37∘，故答案为：37∘14.【答案】−1 4【解答】解：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘=√32⋅√32−1=−14.故答案为：−14.15.8√3【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90∘，∠P=30∘，OB=10米，CD=√3米，∴在直角△CPD中，DP=DC⋅tan60∘=3米，PC=CD÷sin30∘=2√3（米），∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90∘，∴△PDC∽△PBO，∴PDPB =CDOB，∴PB=PD⋅OBCD =3×10√3=10√3（米），∴BC=PB−PC=10√3−2√3=8√3（米）．故答案为：8√3．16.【答案】50【解答】解：根据题意画图：AB=100，tan B=ACBC =1√3，设AC=x，BC=√3x，则x2+(√3x)2=1002，解得x=50，答：茗茗上升了50m．故答案为：50．17.24√2【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D，垂足为D，∵在直角三角形BCD中，BC=16×1.5=24海里，∠CBD=45∘，∴CD=BC⋅sin45∘=24×√22=12√2海里，∴在直角三角形ACD中，AC=CDsin30∘=12√2×2=24√2海里，故答案为：24√2．18.【答案】√32【解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin A=12，∴∠A＝30∘，∴cos A=√32．19.【答案】35【解答】解：如图所示：作CD⊥AB，则DC=3，AC=5，故sin A=DCAC =35．故答案为：35．20.【答案】 14.9【解答】解：如图，BC =4，∠BAC =30∘，作AD ⊥BC 于点D ，当点D 是BC 的中点时，△ABC 的面积最大，此时由中垂线的性质知，AB =AC ，∠B =75∘，S △ABC =12BC ⋅BD tan 75∘=12×4×2×3.732≈14.9cm 2．-----------------------故答案为：14.9三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）21.【答案】原式＝(√22)2+√322×√32+1−√3×√33=12+3−√34−1 =1−√34．【解答】原式＝(√22)2+√322×√32+1−√3×√33=12+3−√34−1 =1−√34．22.【答案】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∴CF=DF=4．∵在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∴EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∴BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∴AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∴CF=DF=4．∵在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∴EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∴BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∴AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．23.【答案】解：设楼高CE为x米，∵ 在Rt△AEC中，∠CAE=45∘，∴ AE=CE=x.∵ AB=20，∴ BE=x−20.在Rt△CEB中，CE=BE⋅tan60∘=√3(x−20)，∴√3(x−20)=x，解得：x=30+10√3（米）.=10√3+10，在Rt△DAE中，DE=AE⋅tan30∘=(30+10√3)×√33∴ CD=CE−DE=30+10√3−(10√3+10)=20(米)．答：大楼部分楼体CD的高度为20米．【解答】解：设楼高CE为x米，∵ 在Rt△AEC中，∠CAE=45∘，∴ AE=CE=x.∵ AB=20，∴ BE=x−20.在Rt△CEB中，CE=BE⋅tan60∘=√3(x−20)，∴√3(x−20)=x，解得：x=30+10√3（米）.=10√3+10，在Rt△DAE中，DE=AE⋅tan30∘=(30+10√3)×√33∴ CD=CE−DE=30+10√3−(10√3+10)=20(米)．答：大楼部分楼体CD的高度为20米．24.【答案】文物在危险区内．解：在Rt△AEC中，∠ACE=45∘，则CE=EA，∵DB=CE=21m，∴DB=EA=21m，在Rt△CEB中，∠BCE=30∘，则tan30∘=BE，即BE=EC tan30∘，EC=7√3m，∴BE=21×√33∴AB=AE+EB=(21+7√3)m，∵AB=(21+7√3)>30，∴文物在危险区内．【解答】此题暂无解答25.【答案】“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要(2+2√3)小时．【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△APD中，∵AP=80海里，∠APD=90∘−60∘=30∘，AP=40海里，PD=√3AD=40√3海里．∴AD=12在Rt△BDP中，PD=40√3海里，∠B=45∘，∴BD=PD=40√3海里，∴AB=AD+BD=(40+40√3)海里，=2+2√3（小“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要的时间为40+40√320时）．26.【答案】解：∵i=1:0.5，CF=2米=2，∴tan∠CDF=CFDF∴DF=1米，BG=2米，∵BD=14米，∴BF=GC=15米．=5√3≈8.66（米），在Rt△AGC中，AG=15tan30∘=15×√33∴AB=AG+BG=8.66+2=10.66米，BE=BD−DE=14−2=12（米），∵10.66<12，∴没有必要封止DE．【解答】解：∵i=1:0.5，CF=2米=2，∴tan∠CDF=CFDF∴DF=1米，BG=2米，∵BD=14米，∴BF=GC=15米．=5√3≈8.66（米），在Rt△AGC中，AG=15tan30∘=15×√33∴AB=AG+BG=8.66+2=10.66米，BE=BD−DE=14−2=12（米），∵10.66<12，∴没有必要封止DE．。

第1章解直角三角形单元测试(A卷基础篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•潍城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．（3分）（2019•滨海新区模拟）cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．（3分）（2019•岳麓区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝5，那么AC等于（）A．5tanαB．5cosαC．5sinαD．4．（3分）（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（3分）（2019•道里区校级模拟）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道，为测量B、C 两地之间距离，某工程师乘热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处；在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）m．A．100B．50C．50D．6．（3分）（2018秋•永州期末）下列各式中，不成立的是（）A．cos60°＝2sin30°B．sin15°＝cos75°C．tan30°•tan60°＝1 D．sin230°+cos230°＝17．（3分）（2018秋•密云区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则AC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．128．（3分）（2019•邵阳县模拟）已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.59．（3分）（2019•石家庄模拟）在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°的方向出发，2h后相遇在点P处，如图所示．问A港与B港相距____海里．（）A．10B．5+5C．10+5D．2010．（3分）（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．12．（4分）（2019•杨浦区校级自主招生）求值：cos30°•sin45°•tan60°＝．13．（4分）（2019•雨花区校级模拟）在Rt△ABC中，2sin（α+20°）＝，则锐角α的度数为．14．（4分）（2019•江阴市模拟）如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那么BD＝米．（结果保留根号）15．（4分）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是．16．（4分）（2018秋•道外区期末）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin∠A＝，点D为边AC上一点，若∠BDC＝45°，DC＝6cm，则△ABC的面积等于cm2．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2018秋•兴化市期末）计算：（1）sin230°+sin60°﹣sin245°+cos230°；（2）．18．（8分）（2019春•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝6，求AB的长．19．（8分）（2019•十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．20．（10分）（2019•柳江区模拟）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是100m，求乙楼的高CD（结果保留根号）．21．（10分）（2019•大庆一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离为多少千米？（参考数据：≈1.732，结果保留小数点后一位）22．（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．（12分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD=45°，连接CD，直接写出线段CD的长．第1章解直角三角形单元测试（A卷基础篇）【浙教版】参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•潍城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【思路点拨】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答．【答案】解：由勾股定理得，AB＝＝5，则sin A＝＝，A选项错误；cos A＝＝，B、D选项错误；tan A＝＝，C选项正确；故选：C．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．2．（3分）（2019•滨海新区模拟）cos45°的值等于（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【答案】解：cos45°＝．故选：D．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3．（3分）（2019•岳麓区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝5，那么AC等于（）A．5tanαB．5cosαC．5sinαD．【思路点拨】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：在Rt△ABC中，cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝5cosα，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4．（3分）（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【思路点拨】根据特殊角的三角函数值解答．【答案】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．5．（3分）（2019•道里区校级模拟）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道，为测量B、C 两地之间距离，某工程师乘热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处；在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）m．A．100B．50C．50D．【思路点拨】根据正切的定义计算即可．【答案】解：由题意得，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，则BC＝＝100，故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（3分）（2018秋•永州期末）下列各式中，不成立的是（）A．cos60°＝2sin30°B．sin15°＝cos75°C．tan30°•tan60°＝1 D．sin230°+cos230°＝1【思路点拨】根据互余两角的三角函数关系判断即可．【答案】解：A、cos60°＝sin30°，错误；B、sin15°＝cos75°，正确；C、tan30°•tan60°＝1，正确；D、sin230°+cos230°＝1，正确；故选：A．【点睛】此题考查互余两角的三角函数关系，关键是根据互余两角的三角函数关系解答．7．（3分）（2018秋•密云区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则AC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路点拨】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝，∵AB＝10，∴BC＝6，∴AC＝＝8，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．8．（3分）（2019•邵阳县模拟）已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5【思路点拨】根据同角三角函数关系tanα＝进行解答．【答案】解：由＝1，得＝1．所以＝1．解得tanα＝2.5．故选：D．【点睛】考查了同角三角函数关系，熟练运用同角的同角三角函数关系式进行求解．9．（3分）（2019•石家庄模拟）在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°的方向出发，2h后相遇在点P处，如图所示．问A港与B港相距____海里．（）A．10B．5+5C．10+5D．20【思路点拨】先作PC⊥AB于点C，根据甲货船从A港沿北东的方向以5海里/小时的速度出发，求出∠PAC和AP，从而得出PC的值，得出BC的值，即可求出答案．【答案】解：作PC⊥AB于点C，∵甲货船从A港沿北东的方向以5海里/小时的速度出发，∴∠PAC＝45°，AP＝5×2＝10，∴PC＝AC＝5，∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC＝60°，∴BC＝PC＝5，∴AB＝AC+BC＝5+5，答：A港与B港相距（5+5）海里，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．10．（3分）（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．【答案】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．【思路点拨】根据正弦的定义解答．【答案】解：在Rt△ABC中，sin A＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．12．（4分）（2019•杨浦区校级自主招生）求值：cos30°•sin45°•tan60°＝．【思路点拨】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．【答案】解：cos30°•sin45°•tan60°＝××＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．13．（4分）（2019•雨花区校级模拟）在Rt△ABC中，2sin（α+20°）＝，则锐角α的度数为40°．【思路点拨】先通过sin（α+20°）＝，计算α+20°的值，从而可求α值．【答案】解：由题意可得sin（α+20°）＝，所以α+20°＝60°，解得α＝40°．故答案为40°．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值的运用．14．（4分）（2019•江阴市模拟）如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那么BD＝100（﹣）米．（结果保留根号）【思路点拨】直接利用锐角三角函数关系得出AC，BC的长，进而得出DC的长，即可得出答案．【答案】解：由题意可得：BC＝AC＝AB•sin45°＝100（m），则tan30°＝，故DC＝＝100×＝100（m），则BD＝100（﹣）m．故答案为：100（﹣）．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确运用锐角三角函数关系是解题关键．15．（4分）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是．【思路点拨】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．．【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵tan∠ACD=，∴tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，∵AC2+BC2=AB2，∴（3x）2+（4x）2=52，解得：x=1，∴AC=3，BC=4，∵S△ABC=，∴CD==，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）（2018秋•道外区期末）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin∠A＝，点D为边AC上一点，若∠BDC＝45°，DC＝6cm，则△ABC的面积等于12cm2．【思路点拨】在Rt△BCD中利用正切定义得到BC＝6，再在Rt△ABC中利用正弦定义计算出AB＝14，接着利用勾股定理计算出AC＝4，然后根据三角形面积公式计算．【答案】解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，∴BC＝6tan45°＝6，在Rt△ABC中，∵sin∠A＝，∴AB＝＝14，∴AC＝＝4，∴△ABC的面积＝×6×4＝12（cm2）．故答案为12．【点睛】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算直角三角形中未知的边和角．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2018秋•兴化市期末）计算：（1）sin230°+sin60°﹣sin245°+cos230°；（2）．【思路点拨】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+＝+；（2）原式＝＝．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（6分）（2019春•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝6，求AB的长．【思路点拨】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tan B＝，AC＝6可求出AD与BD的长度．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC•sin30°＝3，AD＝AC×cos30°＝9，在Rt△CDB中，∵tan B＝∴＝∴BD＝4，∴AB＝AD+DB＝9+4．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．19．（6分）（2019•十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．【思路点拨】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．【答案】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，∵坡角α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CF＝DF＝6，∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6＝9+6，∴BC＝（9+6）m，答：BC的长（9+6）m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．20．（6分）（2019•柳江区模拟）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是100m，求乙楼的高CD（结果保留根号）．【思路点拨】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【答案】解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD＝100m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA＝tan30°＝＝，解得：CD＝（m），答：乙楼的高CD为．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA＝＝是解题关键．21．（6分）（2019•大庆一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C 到海岸线l的距离为多少千米？（参考数据：≈1.732，结果保留小数点后一位）【思路点拨】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝2km，在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝2×＝≈1.7（km），答：船C到海岸线l的距离约为1.7km．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．22．（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【思路点拨】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【答案】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（12分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD=45°，连接CD，直接写出线段CD的长．【思路点拨】（1）如图，作∠BAC=90°，且边AC=3，才能满足条件；（2）作DE=2，连接DF，则△DEF是以EF为边且面积为3的三角形，连接BD，CD，则∠CBD=45°．【答案】解：（1）如图，由勾股定理得：AB==2，AC==3，BC==，∴AB2+AC2=（2）2+（3）2=26，BC2=（）2=26，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，tan∠ACB===；（2）如图，∵S△DEF=×2×3=3，∵BC=，CD==，BD==，∴BC2+CD2=52，BD2=52，∴BC2+CD2=BD2，∴∠BCD=90°，BC=CD，∴∠CBD=45°，∴CD=．【点睛】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．。

解直角三角形基础题试题精选三附答案一．选择题（共15小题）1．（2015•庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°2．（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）A．B．C．D．3．（2015•济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米4．（2014•呼伦贝尔）如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A．米B．6米C．米D．12米5．（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1 C．D．6．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C． D．7．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米8．（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米9．（2015•海宁市模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．10．（2014•历下区二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（）A．2 B．4 C．D．11．（2014•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA等于（）A．B．C．D．12．（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里13．（2014•渝北区自主招生）已知一直角三角形的两直角边的比为3：7，则最小角的正弦值是（）A．B．C．D．14．（2014•厦门）sin30°的值是（）A．B．C．D．115．（2013•乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）16．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．17．（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为．18．（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．19．（2014•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．20．（2014•本溪）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是．21．（2014•滨州二模）如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA=．22．（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．三．解答题（共8小题）23．（2014•南京校级二模）计算：﹣2cos30°+（）﹣2﹣|1﹣|．24．（2014•淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．25．（2014•赤峰）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A的仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，≈1.73，tan52°≈1.28）．26．（2015•南宁模拟）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）27．（2014•乌鲁木齐）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）28．（2015•东台市一模）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．29．（2013•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．30．（2011•兰州）已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．解直角三角形基础题试题精选三附答案参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015•庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C 的度数．解答：解：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2．（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．解答：解：∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA==．故选D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3．（2015•济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．解答：解：设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，AC==x，∵AC=3米，∴x=3，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．故选A．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．4．（2014•呼伦贝尔）如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A．米B．6米C．米D．12米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：此题可由仰角的正切值求得旗杆的高度．解答：解：由于AB=12（米），仰角α=60°，则BC=AB•tan60°=12（米），故选C．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1 C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．解答：解：∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故选：B．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．6．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C． D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解答：解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO==；AC==；则sinA===．故选：B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．7．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：压轴题．分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解答：解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．故选D．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．8．（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米考点：解直角三角形的应用．分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长．解答：解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，∴△PDC∽△PBO，∴=，∴PB===11米，∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．故选：D．点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念．9．（2015•海宁市模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质；作图—复杂作图．专题：探究型．分析：连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．解答：解：连接AB，∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA=OB，∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=．故选C．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．（2014•历下区二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（）A．2 B．4 C．D．考点：解直角三角形．分析：先由等腰直角三角形的性质得出BC=AC=6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD=AC﹣DC即可求解．解答：解：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，∴BC=AC=6．在Rt△DBC中，∵∠C=90°，∴tan∠DBC==，∴DC=BC=4，∴AD=AC﹣DC=6﹣4=2．故选A．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．11．（2014•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，正切=对边÷邻边，即tanA=．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴tanA==．故选C．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，用到的知识点有正切=对边÷邻边．12．（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=30°．由BD∥CN，得出∠BCN=∠DBC=20°，那么∠ACB=∠ACN+∠BCN=30°=∠ABC，根据等角对等边得出AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质得到CM=BC=20海里．然后在直角△ACM中，利用余弦函数的定义得出AC=，代入数据计算即可．解答：解：如图，作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°．∵BD∥CN，∴∠BCN=∠DBC=20°，∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴AB=AC，∵AM⊥BC于M，∴CM=BC=20海里．在直角△ACM中，∵∠AMC=90°，∠ACM=30°，∴AC===（海里）．故选D．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中．求出CM=BC=20海里是解题的关键．13．（2014•渝北区自主招生）已知一直角三角形的两直角边的比为3：7，则最小角的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：计算题．分析：设BC=3x，则AC=7x，再利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义求解．解答：解：如图，BC：AC=3：7，设BC=3x，则AC=7x，所以AB==x，所以sinA===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．14．（2014•厦门）sin30°的值是（）A．B．C．D．1考点：特殊角的三角函数值．分析：直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．解答：解：sin30°=．故选：A．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．15．（2013•乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数的关系；坐标与图形性质．分析：过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE中求出OP，继而可得sinα的值．解答：解：过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE中，tanα==，解得：m=4，则OP==5，故sinα=．故选A．点评：本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出OP的长度．二．填空题（共7小题）16．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是2．考点：解直角三角形；菱形的性质．专题：应用题．分析：在直角三角形ADE中，cosA=，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE=．解答：解：设菱形ABCD边长为t，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3，∴DE==4，∴tan∠DBE===2．故答案为：2．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．17．（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为30°．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用正弦函数的定义求解即可．解答：解：由题意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA===，故∠A=30°，故答案为：30°．点评：本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．18．（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．考点：锐角三角函数的增减性．分析：根据余弦值的取值范围，列不等式求解．解答：解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的增减性．明确锐角三角函数的取值范围：正余弦的锐角三角函数值都是大于0而小于1，正余切的锐角三角函数值都是大于0．19．（2014•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．20．（2014•本溪）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是75°．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：由条件根据∠A的余弦值求得∠A的值，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．解答：解：∵在△ABC中，cosA=，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．点评：本题主要考查特殊角的余弦值以及三角形的内角和定理，属基础题．21．（2014•滨州二模）如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA= 2．考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．分析：首先根据三角形内角和可得∠BAO=∠ACO，再根据正切定义计算出tan∠OCA．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠BAO=∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA=tan∠BAO==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正切定义：锐角A的对边a与邻边b 的比叫做∠A的正切．22．（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．考点：解直角三角形．分析：先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．解答：解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A===．故答案为．点评：本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．三．解答题（共8小题）23．（2014•南京校级二模）计算：﹣2cos30°+（）﹣2﹣|1﹣|．考点：特殊角的三角函数值；绝对值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=3﹣2×+4﹣（﹣1），=3﹣+4﹣+1，=+5．点评：本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．24．（2014•淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B点作BD⊥AC于D．分别在Rt△ADB和Rt△CDB中，用BD表示出AD和CD，再根据AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可．解答：解：过B点作BD⊥AC于D．∵∠ACB=45°，∠BAC=66.5°，∴在Rt△ADB中，AD=，在Rt△CDB中，CD=BD，∵AC=AD+CD=24m，∴+BD=24，解得BD≈17m．AB=≈18m．故这棵古杉树AB的长度大约为18m．点评：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形，利用三角函数求三角形的边．25．（2014•赤峰）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A的仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，≈1.73，tan52°≈1.28）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：在直角△CBE中利用三角函数首先求得EC的长，则OF即可求解，然后在直角△AOF 中，利用三角函数即可求解．解答：解：∵在直角△CBE中，∠CEB=30°，BC=11，∴EC=22，则EB==11≈19，∵在直角△AOF中，∠AFO=52°，OF=18+19+26=63，∴OA=OF•tan∠AFO≈63×1.28=81（米）．答：大明塔高约81米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26．（2015•南宁模拟）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出=，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，求出k的值即可．（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC 是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=，列出方程，求出x的值即可．解答：解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴=，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k，∴13k=26，解得k=2，∴AH=10，答：坡顶A到地面PO的距离为10米．（2）延长BC交PO于点D，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BD⊥PO，∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，∵∠BPD=45°，∴PD=BD，设BC=x，则x+10=24+DH，∴AC=DH=x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°=，即≈4.01．解得x≈19．答：古塔BC的高度约为19米．点评：此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．27．（2014•乌鲁木齐）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由题意可先过点D作DM⊥EF，垂足为M，在Rt△EMD中，可求出EM，进而EF=EM+MF，再在Rt△CEF中，求出CE的长．解答：解：过点D作DM⊥EF，垂足为M，由题意可知四边形ADMF为矩形，∴DM=AF=6，MF=DA=1.5，在Rt△EMD中，EM=DM•tan∠EDM=6tan37°，∴EF=EM+MF，DM=AF=6tan37°，∴EF=EM+MF=6tan37°+1.5．∵AC=3，∴CF=AF﹣AC=3，在Rt△CEF中，CE=≈6.7．答：拉线CE的长为6.7米．点评：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．28．（2015•东台市一模）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．解答：解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．29．（2013•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD==≈36.33（米），…2分在Rt△BDC中，BD=≈12.11（米），…4分则AB=AD﹣BD=36.33﹣12.11=24.22≈24.2（米）…6分（2）超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1×3600=43560（米/时），∴该车速度为43.56千米/小时，…9分∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．…10分点评：此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．30．（2011•兰州）已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．点评：本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．。

第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，∠B=35°，则AC的长为（）A.7cos35°B.7tan35°C.7sin35°D.7sin55°2、在中，，则的值为（）A. B. C. D.3、若，则锐角的度数为（）A. B. C. D.4、已知α为锐角，sin(α+20°)＝，则α的度数为( )A.20°B.40°C.60°D.80°5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，cos∠ABC＝，则BD 的长为（）A.2B.4C.2D.46、已知二次函数y=x²，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是( )A.当n-m=1时，b-a有最小值B.当n-m=1时，b-a有最大值C.当b-a=1时，n-m无最小值D.当b-a=1时，n-m有最大值7、如图，从A点出发的光线，经C点反射后垂直地射到B点，然后按原路返回A点.若∠AOC＝33°，OC＝1，则光线所走的总路线约为( )A.3.8B.2.4C.1.9D.1.28、如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（）A. B. C. D.29、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，BC=13，那么tanB的值是（）A. B. C. D.10、如图，在中，，如果，，那么的值为（）A. B. C.D.11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值是（）A. B. C. D.12、如图，∠1的正切值为（）A. B. C.3 D.213、计算：cos245°+sin245°=（）A. B.1 C. D.14、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)15、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA= ，BE=3，则tan∠DBE 的值是（）A. B.2 C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OB＝2．∠BOC＝60°，连接AB，AB、OC 相交于点D，则图中阴影部分的面积为________．17、A为锐角，且4sin2A﹣3=0，则A=________．18、如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为 ________．19、如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos ∠BDC= ，则BC的长为________．20、如图，在中，，于点，若，，设，则________．21、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=， AB=5，那么CD的长是________22、点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B在x轴上，点C是坐标平面上的一点，O为坐标原点，若以点A，B，C，O为顶点的四边形是有一个角为60°的菱形，则点C的坐标是________．23、如图，矩形纸片中，，，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形对折，折痕为，如图（1）所示；第二步：再把点叠在折痕线上，折痕为，点在上的对应点为，得，如图（2）所示；第三步：沿折叠折痕为，且交的延长线于点，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，为________.24、在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cosB= ，则BC的长是________．25、sin21°+sin22°…+sin288°+sin289°=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：|﹣3|+ tan30°﹣﹣（2016﹣π）0．27、如图，在距离铁轨200米的A处，观察由成都开往西安的“和谐号”动车，当动车车头到达B处时，车头恰好位于A处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，此时车头恰好位于A处西偏北45°方向上，求这时段动车的平均速度是多少米/秒？（结果精确到个位，参考数据≈1.414，≈1.732）28、如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．29、已知sin A=0.328 6,tan B=10.08,利用计算器求锐角A,B.(结果精确到0.01°)30、如图，已知某市一座电视塔高AB为600米.张明在点C处测得电视塔塔顶B的仰角∠ACB=40°。

第2章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-青岛版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、方程，则锐角=（）A.30°B.45°C.60°D.无法确定2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5 ．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（）A.m=nB.x=m+nC.x＞m+nD.x 2=m 2+n 24、如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB=8，则tan∠ACB的值等于（）A. B. C. D.5、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A. B. C. D.6、如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 ( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7、cos30°=（）A. B. C. D.8、如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD=；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤ S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个9、如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部的倾角为30°，测量这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为多少（单位：米）（）A.15B.30C.45D.6010、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.4kmB.（2+ ）kmC.2 kmD.（4﹣）km11、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A. B. C. D.12、等于（）A. B. C. D.13、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A.3 kmB.3 kmC.4 kmD.（3 ﹣3）km14、如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB= ，则⊙O的半径为（）.A.4B.2.5C.2D.15、如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A.（）米B.（）米C.（）米 D.（）米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B 顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为________.17、如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为________．18、如图所示，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12米，塔影长DE=18米，小明和小华的身高都是1.6米，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2米和1米，那么塔高AB为________米。

第24章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（）A.AE＝3CEB.AE＝2CEC.AE＝BDD.BC＝2CE2、如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点，,则的值为（）A. B. C. D.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sinA 的值是（）A. B. C. D.4、如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（）A. B. C. D.5、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A.45°B.75°C.45°或15°或75°D.60°6、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.4cm，5cm，6cmB.8cm，2cm，5cmC.12cm，5cm，6cm D.3cm，6cm，3cm7、如图，，是角平分线上一点，，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是（）A.1B.C.2D.8、如图，已知∠ACB=60°，PC=12，点M，N在边CB上，PM=PN．若MN=3，则CM的长为（）A.3B.C.4D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角的正对记作，即底边:腰.如图，在中，，.则（）A. B. C.1 D.210、等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）A.25cmB.20cmC.15cmD.20cm或25cm11、如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，则cosα的值等于( )A. B. C. D.12、已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.13、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A. B. C. D.14、如图，正方形中，为的中点，为上一点，，设，则的值等于（）．A. B. C. D.15、在中，，，则的值等于（）A. B. C. D. 或二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：2sin45°cos45°=________．17、如图，已知等边的边长是6，点D在AC上，且延长BC到E，使，连接点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为________.18、如图，优弧纸片所在的半径为2，，点为优弧上一点（点不与，重合），将图形沿折叠，得到点的对称点．当与相切时，则折痕的长________．19、如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF//AB交AE的延长线于点F，则DF的长为________.20、如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列要求折叠，使弧和弧都经过圆心，已知的半径为，则阴影部分的面积是________.21、已知等边的边长为3，点在直线上，点在直线上，且，若，则的长为________.22、在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=________.23、已知tanα= ，那么sinα=________．（其中α为锐角）24、如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30o得到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于________ 。

图（1）图（2）第24章 解直角三角形单元测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图（1）所示,在△ABC 中,︒=∠90B ,AB BC 2=,则A cos 等于 【 】 （A ）25 （B ）21 （C ）552 （D ）552. 如图（2）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90BAC ,BC AD ⊥于点D ,如果α=∠ABC ,那么下列结论 错误的是 【 】 （A ）αsin ACBC =（B ）αtan ⋅=AD CD （C ）αcos ⋅=AB BD （D ）αcos ⋅=AD AC3. 如图（3）所示,在菱形ABCD 中,AB DE ⊥,2,53cos ==BE A ,则DBE ∠tan 的值是 【 】图（3）（A ）21（B ）2 （C ）25 （D ）554. 在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,已知54sin =A ,则A cos 的值为 【 】 （A ）54（B ）1 （C ）53 （D ）525. 如图（4）所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则A sin 的值为 【 】图（4）CBA（A ）21（B ）55 （C ）1010 （D ）5526. 如图（5）所示,已知︒=∠60AOB ,点P 在边OA 上,,12=OP 点M 、N 在边OB 上,PN PM =,若2=MN ,则OM 等于 【 】A B图（5）N OPM（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. 如图（6）所示,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD ,使点B 落在AD 边上的点F 处,若,5,4==BC AB 则AFE ∠tan 的值为 【 】图（6）D（A ）54 （B ）53 （C ）43 （D ）358. 如图（7）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,︒=∠30A ,E 为AB 上一点,且1:4:=EB AE ,AC EF ⊥于点F ,连结FB ,则CFB ∠tan 的值等于【 】（A ）33 （B ）332 （C ）335 （D ）35 图（7）图（8）9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度,如图（8）所示,旗杆P A 的高度与拉绳PB 的长度相等.小明将PB 拉到PB′的位置,测得α=∠C PB '（C B '为水平线）,测角仪D B '的高度为1米,则旗杆P A 的高度为 【 】（A ）αsin 11-米 （B ）αsin 11+米（C ）αcos 11-米 （D ）αcos 11+米10. 如图（9）所示,要在宽为22米的九州大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD 长2米,且与灯柱BC 成︒120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直,当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳,此时,路灯的灯柱BC 的高度应该设计为 【 】A图（9）O DBC（A ）()2211-米 （B ）()22311-米 （C ）()3211-米 （D ）()4311-米二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图（10）所示,在△ABC 中,12,==BC AC AB ,BD 为高,M 为AB 的中点,且5=DM ,则△ABC 的面积为_________.图（10）图（11）MNBCAD12. 在△ABC 中,如果B A ∠∠、满足021cos 1tan 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+-B A ,那么=∠C _________.13. 如图（11）所示,正方形ABCD 的边长为4,N 是DC 的中点,M 是AD 上异于D 的点,且MBC NMB ∠=∠,则=∠ABM tan _________.14. 一般地,当βα,为任意角时,()βα+sin 与()βα-sin 的值可以用下面的公式求得:()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+,()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-.例如:()4622223222145sin 30cos 45cos 30sin 4530sin 75sin +=⨯+⨯=︒︒+︒︒=︒+︒=︒类似地,可以求得=︒15sin __________.15. 如图（12）所示,已知点()0,35A ,直线b x y +=)0(>b 与y 轴交于点B ,连结AB ,若︒=75α,则=b _________.图（12）三、解答题（共75分）16. 计算:（每小题5分,共20分）（1）︒+︒45cos 360sin 2; （2）130sin 560cos 3-︒︒;（3）︒-︒-︒45tan 230cos 1245sin 22; （4）︒-︒-︒︒60cos 2345tan 60sin 230sin 2.17.（8分）先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中︒=30sin x .18.（11分）如图（13）所示,在△ABC 中,AC BE BC AD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E ,AD与BE相交于点F.（1）求证:△ACD∽△BFD;（2）当1=AC时,求BF的长.tan=∠ABD,3 Array图（13）19.（12分）如图（14）所示,在矩形ABCD中,点E是BC边上的点,AEAE⊥=,,垂足为点F,连结DE.BCDF（1）求证:DFAB=;（2）若,6=ABAD求EDF10=,tan的值.∠Array图（14）20.（12分）如图（15）所示,小强从自己家的阳台上看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高?图（15）21.（12分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题: （1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值.图 1BCA图 2BAC图 3C第24章 解直角三角形单元测试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 48 12. ︒75 13.3114. 426- 15. 5 三、解答题（共75分）16. 计算:（每小题5分,共20分） （1）︒+︒45cos 360sin 2;解:原式223232⨯+⨯= 62626=+=（2）130sin 560cos 3-︒︒;解:原式1215213-⨯⨯=1= （3）︒-︒-︒45tan 230cos 1245sin 22; 解:原式223322222-⨯-⨯=292321-=--=（4）︒-︒-︒︒60cos 2345tan 60sin 230sin 2.解:原式21231232212⨯--⨯⨯=41324321343131-=-+=--=17.（8分）先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中︒=30sin x .解:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x()()()()1111122-=-++⋅+=x x x x x x x x ……………………………………6分当2130sin =︒=x 时……………………………………7分 原式112121-=-=. ……………………………………8分 18.（11分）如图（13）所示,在△ABC 中,AC BE BC AD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E ,AD 与BE 相交于点F . （1）求证:△ACD ∽△BFD ;（2）当1tan =∠ABD ,3=AC 时,求BF 的长.图（13）（1）证明:∵AC BE BC AD ⊥⊥, ∴︒=∠+∠︒=∠+∠902,901C C ……………………………………1分 ∴21∠=∠……………………………………2分 ∵︒=∠=∠90BDF ADC ,21∠=∠∴△ACD ∽△BFD ;……………………………………5分 （2）在Rt △ABD 中 ∵1tan =∠ABD ∴1=BDAD……………………………………7分 ∵△ACD ∽△BFD∴13,1===BFBD AD BF AC ∴3=BF .……………………………………9分 19.（12分）如图（14）所示,在矩形ABCD 中,点E是BC边上的点,AE DF BC AE ⊥=,,垂足为点F ,连结DE .（1）求证:DF AB =;（2）若,6,10==AB AD 求EDF ∠tan 的值.图（14）（1）证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD BC AD ABE =︒=∠,//,90 ……………………………………1分 ∴AEB DAF ∠=∠ ∵AE DF ⊥∴︒=∠=∠90ABE DFA ∵BC AE = ∴DA BC AE == 在△ABE 和△DF A 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DA AE DAF AEB DFA ABE ∴△ABE ≌△DF A （AAS ）……………………………………5分 ∴DF AB =;（2）由（1）可知:△ABE ≌△DF A ∴6==DF AB……………………………………6分 ∵10=AD ∴10=AE在Rt △ABE 中,由勾股定理得:86102222=-=-=AB AE BE……………………………………9分 ∴8=FA∴2=-=FA AE EF……………………………………10分 ∴3162tan ===∠DF EF EDF . ……………………………………12分 20.（12分）如图（15）所示,小强从自己家的阳台上看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高?解:由题意可知:42,=⊥AD BC AD m……………………………………1分 在Rt △ABD 中 ∵ADBDBAD =∠tan ∴3342=BD ∴314=BD m……………………………………6分 在Rt △ACD 中 ∵ADCDCAD =∠tan ∴360tan 42=︒=CD∴342=CD m……………………………………11分 ∴356=+=CD BD BC m……………………………………12分 答:这栋楼的高度为356m.21.（12分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:（1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值. 解:（1）1;……………………………………3分 （2）作AB CD ⊥.图 2∵CA CB =,AB CD ⊥ ∴AB BD 21=……………………………………4分∵sad C 56=∴56=BC AB 设x AB 6=,则x BC 5=∴x BD 3=在Rt △BCD 中,由勾股定理得:()()xx x BD BC CD 4352222=-=-=……………………………………5分 ∴3434tan ===x x BD CD B . ……………………………………6分 （3）延长AC 至E ,使AE AB =. ……………………………………8分图 3∵54sin =A ∴54=AB BC 设x AB x BC 5,4== ∴x AE 5=在Rt △ABC 中,由勾股定理得:()()xx x BC AB AC 3452222=-=-=……………………………………9分 ∴x AC AE CE 2=-= 在Rt △BCE 中,由勾股定理得:()()xx x CE BC BE 52242222=+=+=∴sad A 552552===x x AB BE .（12分）图 2 mm。

浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第一单元； &nbsp; 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )A. sinA=√32B. tanA=12C. cosB=√32D. tanB=√32. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 163. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tan B=53，则tan∠CAD的值为( )A. √33B. √35C. 13D. 154. 在实数π，13，√2，sin30°中，无理数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，下列三角函数值错误的是( )A. sinB=35B. cosB=45C. tanB=34D. tanA=436. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发，经CD上点E反射后照射到点B.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为( )A. 113B. 311C. 911D. 1197. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=√32，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD=16，则BC的长为( )A. 6B. 8C. 8√3D. 128. 如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D中，正确的结论为( )A. ①②；B. ②③；C. ①②③；D. ①③；9. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )A. 95sinα米B. 95cosα米C. 59sinα米D. 59cosα米10. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=√3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )A. √33B. √32C. 1D. √6211. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=α，则点A到OC的距离等于( )A. a⋅sinα+b⋅sinαB. a⋅cosα+b⋅cosαC. a⋅sinα+b⋅cosαD. a⋅cosα+b⋅sinα12. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45∘方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60∘方向，则这段河的宽度为( )A. 80(√3+1)米B. 40(√3+1)米C. (120−40√3)米D. 40(√3−1)米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．14. 在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sin A=3，则菱形ABCD的周长是．515. 若锐角α满足cosα<√2且tanα<√3，则α的范围是．216. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=3.如果⊙O的半径为√10cm，且经过点B，5C，那么线段AO=cm．三、解答题（本大题共9小题，共72分。

第2章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-青岛版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、的值等于（）A. B. C. D.2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A. B. C. D.3、已知，△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A 的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°4、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）A. B. C. D.5、cos60°的值等于（）A. B.1 C. D.6、在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.7、如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕，且，那么矩形的周长是（）A. B. C. D.8、李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（）A.40°B.30°C.20°D.10°9、如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=（）A. B. C. D.10、某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD=6米，则旗杆AB的高度为（）A.9米B.9（1+ ）米C.12米D.18米11、如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为（）A. B. C.2 D.12、图1是一张圆形纸片，直径AB=4，现将点A折叠至圆心O形成折痕CD，再把点C，D 都折叠至圆心O处，最后将图形打开铺平(如图2所示)，则弧EF的长为( )A. πB. πC. πD. π13、如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC=100米，则A、B两点相距（）米．A.100（cos35°+sin35°）B.100（cos35°﹣sin35°）C.D.14、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A.①②③B.②③C.①③④D.②④15、某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北编东53°方向．请计算一下南门与历下亭之间的距离约为（）（参考数据：，）A.225B.275C.300D.315二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P。

浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合基础测试题1（附答案详解）1．如图,BC为⊙O的直径,AB=OB.则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（）．A．2 B． C． D．13．若Rt△ABC的各边都扩大4倍，得到Rt△A′B′C′，则锐角∠A、∠A′的正弦值的关系为( )A．sin A′＝sin A B．4sin A′＝sin A C．sin A′＝4sin A D．不能确定4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，那么△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定5．Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=12，则tanB的值是( )A．3B．22C．12D．36．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是( ).A．B．C．D．7．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC 绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A ．（2，6）或（﹣6，﹣2）B ．（6，2）或（﹣6，﹣2）C ．（﹣2，﹣6）或（6，2）D ．（﹣2，﹣6）或（2，6）8．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC ，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达B 处，又测得信号塔顶端C 的仰角为45°，CE ⊥AB 于点E ，E 、B 、A 在一条直线上．则信号塔CD 的高度为( )A ．203米B ．(203－8)米C ．(203－28)米D ．(203－20)米9．sin45°的值等于（ ） A ． B ．C ．D ．110．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥于点D ，3BC =，4AC =，设BCD α∠=，则tan α等于（ ）A ．43B ．34C ．35D ．4511．如图所示，某地下车库的人口处有一斜坡AB ，其坡度1:1.5i =，则斜坡AB 的长为________．12．如图，在正方形ABCD 中，43AD =把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则三角形PCE 的面积为__________．13．如图已知Rt ABC ∆中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边AC 的长是_________．14．如图，已知矩形ABCD ，AD=9，AB=6，若点G 、H 、M 、N 分别在AB 、CD 、AD 、BC 上，线段MN 与GH 交于点K ．若∠GKM=45°，NM=35，则GH=__．15．如图，对折矩形纸片ABCD 使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，再把纸片展平．E 是AD 上一点，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A ′落在MN 上．若CD ＝5，则BE 的长是_____．16．某人沿斜坡（坡度为i=1：3）前进了10米，则它升高了______米． 17．在Rt △ABC 中，∠C=90°． （1）若sinA=3，则∠A=______，tanA=______； （2）若tanA=3，则∠A=_______，cosA=_________． 18．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=12∠BAC ，tan ∠BPC=_______________.19．在ABC ∆中90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ． （1）若3a =，4b =，则tan A =______； （2）若21b =，29c =，则tan A =______； （3）若2a =，6b =，则tan A =______； （4）若9a =，15c =，则tan A =______； 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点．动点P 从点A 出发，在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向点O 作匀速运动，到达点O 停止运动，点A 关于点P 的对称点为点Q ，以线段PQ 为边向上作正方形PQMN ．设运动时间为t 秒．若正方形PQMN 对角线的交点为T ，请直接写出在运动过程中OT+PT 的最小值____.21．已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ． （I ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，求BD 、CD 的长； （II ）如图②，若∠CAB=60°，求BD 、BC 的长．22．如图，港口A 在观测站C 的正东方向20km 处，某船从港口A 出发，沿东偏北75︒方向匀速航行2小时后到达B 处，此时从观测站C 处测得该船位于北偏东60︒的方向，求该船航行的速度．23．（本题满分10分）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12米的建筑物CD 上的C 处观察，测得某建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°．求建筑物AB 的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．24．如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离28CD =米，某人在河岸MN 的A 处测得45DAN ∠=︒，然后沿河岸走了43米到达B 处，测得64CBN ∠=︒，求河流的宽度CE.（参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.44︒≈，tan64 2.0︒≈）25．（12sin30°+tan60°−cos45°+tan30°． （2） (13)－1＋|13－2sin60°＋(π－2017)08. 26．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T ，大灯照亮地面的宽度BC 的长为56m ． （1）求BT 的长（不考虑其他因素）． （2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s ，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h 的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是149m ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈38，tan22°≈25，sin31°≈1325，tan31°≈35）27．如图，甲、乙两车在行驶、超车过程均近似地看作直线平移，已知甲、乙两车均以20米/秒的速度在右车道匀速行驶，甲车头D与乙车头A之间的距离AD=50米，车宽EC=1.8米，为保证安全，一般车子在行驶过程中与车行道分界线相距0.6米，甲、乙两车行驶路线与CD所在直线平行于道路分界线，现乙车加速，沿路线AB加速行驶到左车道，且∠BAC=1.5o，若B、C、E刚好在同一水平线上．(1)求CD的距离；(2)已知该高速路段限速110km/h，判断乙车在超车过程是否超速？请通过计算说明．(参考数据：tanl.5o≈0.015，sin1.5o≈0.014)28．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB＝16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB＝43，点E、F分别是线段AD、AC上的动点，（点E不与点A，D重合），且∠CEF＝∠ACB．（1）求AC的长和点D的坐标；（2）求证：FE AE EC DC；（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．参考答案1．A 【解析】 【分析】利用圆周角定理得到∠BAC=90°，然后根据正弦的定义求∠C 的度数． 【详解】解：∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC=90°， ∵AB=OB ， ∴BC=2AB ，∴在Rt△ABC 中，sinC=12AB BC ， ∴∠C=30°． 故选：A ． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2．B ． 【解析】试题分析：观察图形得知：∠B=45°，因为45度的正弦值是22，所以sinB 的值为22．故选B ．考点：特殊角的三角函数值． 3．A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理、正弦的定义判断即可． 【详解】Rt △ABC 的各边都扩大4倍,得到Rt △A′B′C′与Rt △ABC 相似， ∴∠A=A′，∴sinA′=sinA，故选：A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义与应用. 4．B【解析】【分析】根据∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，可得出∠A和∠B的度数，继而可得出三角形ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠A=180°-30°-60°=90°．故△ABC为直角三角形．故选B．5．D【解析】【分析】根据30°的正弦值是12，求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．【详解】解：sinA=12，则∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=60°，∴tanB=tan60°故选：D．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 6．C 【解析】试题分析：由题意可知，三角形ABD ，三角形ACD 和三角形ABC 都是直角三角形，在直角三角形ABD 中，∠B 的正弦等于∠B 的对边AD 比斜边AB ，故A 正确；在直角三角形ABC 中，∠B 的正弦等于∠B 的对边AC 比斜边BC ，故B 正确；又因为∠B=∠DAC ，而sin ∠DAC=,所以sin ∠B=，故D 正确；而AD:AC 是∠DAC 的余弦，也是∠B 的余弦，故结论不正确的是C.选C. 考点：锐角三角函数. 7．C 【解析】 【分析】由A （1，﹣1），B （2，﹣2），可得O 、A 、B 在同一条直线上，且为一、三象限的平分线，△ABC 绕着原点O 旋转75°，可分顺时针和逆时针两种情况讨论，结合三角函数可得B 1 【详解】解：如图由A （1，﹣1），B （2，﹣2），可得直线OA 的解析式为：y=-x ， OB 的解析式为：y=-x ，可得O 、A 、B 三点位于同一直线上，即y=-x ， 且OAB 为第二、四象限的平分线，与x 轴、y 轴的夹角为o 45， 222(2)+-22当△ABC 绕着原点O 旋转75°，当为逆时针旋转时，1OB 与x 轴的夹角为o 30，1B X =o 22cos306，o 122sin302B Y =，此时1B 点坐标为62（，），同理可得当为顺时针旋转时，1OB 与y 轴的夹角为o 30, 可得1B 点坐标为-2-6（，）， 故选C. 【点睛】本题主要考查一次函数与旋转及三角函数的综合，需灵活运用所学知识求解. 8．C 【解析】 【分析】利用30°的正切值即可求得AE 长，进而根据45°角的正切值可求得CE 长．根据△BEC 是等腰直角三角形可知CE=BE ，CE 减去DE 长即为信号塔CD 的高度． 【详解】∵AB=8米，DE=20米，∠A=30°，∠EBC=45°， ∴在Rt △ADE 中，tan30=DE AE =3，解得AE=203米， 在Rt △BCE 中，CE=BE•tan45°=（203-8）×1=203-8（米）， ∴CD=CE-DE=203-8-20=203-28（米）； 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题关键； 9．B 【解析】特殊角的三角函数值。

第23章《解直角三角形》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，4sin 5A =，则AB 的值为()A．8B．9C．10D．122．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，则cos B 的值为()A．13B．12C．22D．323．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC 为50米，滑梯的坡比为5:12，则滑梯的长AB 为()A．100米B．110米C．120米D．130米4．如图，ABC ∆的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ACB ∠的值为()A．13B．35C．23D．125．下列各式中正确的是()A．sin 46cos 44︒>︒B．2sin 40sin 80︒=︒C．cos 44cos 46︒<︒D．22sin 44sin 461︒+︒=6．如图，在44⨯的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若ABC ∆的顶点都在格点上，则cos ABC ∠的值是()A．13B．12C．55D．2557．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 的延长线上，连接CD ，若2AB BD =，2tan 3BCD ∠=，则ACBC的值为()A．1B．2C．12D．328．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，D 为AC 边上一动点，且1tan 2ABD ∠=，则BD 的长度为()A．1558B．25C．5D．5119．如图，AC 垂直于AB ，P 为线段AC 上的动点，F 为PD 的中点， 2.8AC m =， 2.4PD m =， 1.2CF m =，15DPE ∠=︒．若90PEB ∠=︒，65EBA ∠=︒，则AP 的长约为()（参考数据：sin 650.91︒≈，cos 650.42︒≈，sin 500.77︒≈，cos500.64)︒≈A．1.2B．1.3m C．1.5m D．2.0m10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD ．根据此图形可求得tan15︒的值是()A．23-B．23+C．36D．32二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则正确的是．A ．sin a c A =⋅B ．cos b c B =⋅C ．tan a b A =⋅D ．tan a b B=⋅12．有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是BAC ∠，若坡比为2:5，则此斜坡的水平距离AC 为．13．在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，8BC =，5CD =，则tan ACD ∠=．14．如图所示，MON ∠是放置在正方形网格中的一个角，则tan MON ∠的值是．15．在ABC ∆中，22AB =，1tan 3B =，BC 边上的高长为2，则ABC ∆的面积为．16．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30︒，拉索BD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索底端距离20AD =米，则立柱BC 的高为米．（结果保留根号）17．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB 与支架AD ，砝码杆AC 均成120︒角，且40AB cm =，18AC cm =，6AD cm =，底座是半径为2cm 的圆柱体，点P 是杠杆的支点．如图1，若砝码E 在端点C 时，当杠杆平衡时，支架AD 垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M 到支点P 的距离PM 为cm ．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B ，砝码杆重力集中在砝码E 上，支架AD 的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且1122G h G h ⋅=⋅，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码E 到离A 点的距离为cm ．18．用一副如图1所示的七巧板，拼出如图2所示中间有一个空白正方形的“风车图”，则图2中tan ABC ∠=．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．计算：22sin 456cos303tan 454sin 60︒-︒+︒+︒．20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，6BC =，求sin A ，cos A ，tan A 的值．21．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．（1）如果25B∠=︒，求CAE∠的度数；（2）如果2CE=，2sin3CAE∠=，求tan B的值．22．如图，在ABC∆中，已知ABC m∠=︒，ACB n∠=︒．090m n︒<︒+︒<︒，1AC=．（1）求AB及BC的长度（用m︒，n︒的三角函数表示）；（2）试判断sin()sin cos cos sinm n m n m n︒+︒=︒︒+︒︒是否成立并说明理由．23．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为)O 的墙上．当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角60ABO ∠=︒，当梯子底端向右滑动0.5m （即0.5)BD m =到达CD 位置时，它与地面所成的角5118CDO ∠=︒'，求梯子的长．（参考数据：sin 51180.780︒'=，cos 51180.625︒'=，tan 5118 1.248)︒'=24．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，作BC 的垂直平分线交AC 于点D ，延长AC 至点E ，使CE AB =．（1）若1AE =，求ABD ∆的周长；（2）若13AD BD =，求tan ABC ∠的值．25．在太原郁郁葱葱的西山上，环绕着一条蜿蜒曲折、鲜艳夺目的公路，它就是太原环城旅游公路暨公路自行车赛道，该赛道环西山而建，全长约136千米，将百余处景点串连成一条线．（1）周日，某自行车骑行团组织甲、乙两个赛队在该赛道进行骑行活动，他们从赛道同一端出发，甲队出发25分钟时乙队出发，结果乙队比甲队提前15分钟到达终点（即赛道的另一端）．已知乙队骑行的平均速度为甲队的1.2倍．求甲、乙两个赛队此次活动骑行的平均速度．（2）该赛道一端附近是太原市的摄乐桥如图（1），摄乐桥是太原市第18座跨汾河大桥，也是太原市首座仅靠主塔及缆索承担桥面重量的跨河大桥．某数学兴趣小组的同学们为了测量摄乐桥主塔的高AB，在地面上选取测点C放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角45∠=︒，将测ADM倾仪向靠近主塔的方向前移10m至点E处，测得主塔顶端A的仰角47.7∠=︒，测量示意图AFM如图（2）所示．已知测倾仪的高度 1.5︒≈，=，求摄乐桥主塔的高AB．（参考数据：sin47.70.74CD m︒≈︒≈，tan47.7 1.10)cos47.70.6726．山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香”．县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱心助农精准脱贫”的方式，构建“隰县玉露香”电商生态圈，使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地.2021年春节期间，“隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用10000元购进一批“隰县玉露香”，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的“隰县玉露香”，但第二次的进价比第一次每箱上涨20元，第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍．（1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格．（2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传输效率．如图，是一个新建的移动信号发射塔AC ，其高15AC m =．用测角仪在山脚下的点B 处测得塔底C 的仰角36.9CBD ∠=︒，塔顶A 的仰角42ABD ∠=︒，点A ，C ，D 在同一条铅垂线上．果农要在山脚B 处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少100m 就可不受信号塔辐射的影响．请判断在点B 处的房屋是否受信号塔塔顶A 发出的信号辐射的影响．（测角仪、房屋的高度忽略不计；结果精确到0.1m ；参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒=，sin 420.67︒=，cos 420.74︒=，tan 420.90)︒≈答案一、选择题C ．B .D ．D ．D ．C ．B ．D ．B ．A ．二、填空题11．A 、C ．12．75m ．13．43．14．1．15．7或5．16．．17．165．18．3．三、解答题19．原式22()6314222=⨯-⨯+⨯+⨯2234=⨯-+13=-++4=．20．在Rt ACB ∆中，由勾股定理得：8AC ===，所以63sin 105BC A AB ===，84cos 105AC A AB ===，63tan 84BC A AC ===．21．（1）DE 垂直平分AB ，EA EB ∴=，25EAB B ∴∠=∠=︒．40CAE ∴∠=︒．（2）90C ∠=︒ ，∴2sin 3CE CAE AE ∠==．2CE = ，3AE ∴=，AC ∴=3EA EB == ，5BC ∴=，∴tan AC B BC ==．22．（1）作AD BC ⊥于点D ，在Rt ACD ∆中，1AC =，sin AD n AD AC ︒==，cos CD n CD AC︒==，在Rt ABD ∆中，sin AD m AB ︒=，sin sin sin AD n AB m m ︒∴==︒︒，cos BD m AB︒= ，sin cos cos sin n BD AB m m m ︒∴=⋅︒=︒︒．sin cos cos sin n BC BD CD m n m ︒∴=+=︒+︒︒．（2）成立，理由如下：作CE BA ⊥交BA 延长线于点E ，EAC ∠ 为ABC ∆的外角，EAC B ACB m n ∴∠=∠+∠=︒+︒，在Rt EBC ∆中，sin CE m BC︒=，sin sin (cos cos )sin sin cos cos sin sin n CE BC m m n m m n m n m ︒∴=⋅︒=︒+︒︒=︒︒+︒︒︒．23．设梯子的长为xm ，在Rt ABO ∆中，cos OBABO AB∠=1cos cos 602OB AB ABO x x ∴=∠=︒=在Rt CDO ∆中，cos ODCDO CD∠=cos cos51180.625OD CD CDO x x ∴=∠=︒'≈ ．BD OD OB =- ，0.5BD m =10.6250.52x x ∴-=，解得4x =．故梯子的长是4米．24．（1）如图，连接BD ，设BC 垂直平分线交BC 于点F ，BD CD ∴=，ABD C AB AD BD∆=++AB AD DC=++AB AC =+，AB CE = ，1ABD C AC CE AE ∆∴=+==，故ABD ∆的周长为1．（2）设AD x =，3BD x ∴=，又BD CD = ，4AC AD CD x ∴=+=，在Rt ABD ∆中，AB ==．tanAC ABC AB ∴∠===．25．（1）设甲队骑行的平均速度为/xkm h，则乙队骑行的平均速度为1.2/xkm h．根据题意，得13613625151.26060x x-=+，解得：34x=．经检验，34x=是原方程的根．1.2 1.23440.8x∴=⨯=．答：甲队骑行的平均速度为34/km h，乙队骑行的平均速度为40.8/km h．（2）如图，过点D作DG AB⊥于点G，则DG过点F．由题意得 1.5BG EF CD m===，10DF m=．设FG a=m．在Rt ADG∆中，45ADG∠=︒，(10)AG DG a m∴==+．在Rt AFG∆中，tanAG AFGFG∠=，tan tan47.7 1.10() AG FG AFG a x m∴=⋅∠=︒≈，10 1.10a a∴+=，解得：100a≈，10100110()AG m∴=+=，110 1.5111.5()AB AG BG m∴=+=+=．答：摄乐桥主塔的高AB约为111.5m．26．（1）设第一次购进隰县玉露香的进价为x 元/箱，根据题意可得：10000180001.520x x ⨯=+，解得100x =，经检验，100x =是原方程的解，答：第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格为100元；（2）由题意得，90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan AD ABD BD∠=，tan 42AD BD ∴=⋅︒，在Rt BCD ∆中，tan CD CBD BD ∠=，tan 36.9CD BD ∴=⋅︒，AC AD CD =- ，15AC m =，15tan 42tan 36.9BD BD ∴=⋅︒-⋅︒，解得100BD m ≈，100135.1()cos 0.74BD AB m ABD ∴=≈≈∠，135.1100> ，∴在点B 处的房屋不会受信号塔塔顶A 发出的信号辐射的影响．。

九年级数学下册《解直角三角形》试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题1．(2分)三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．34B．43C．35D．452．(2分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．则cosB等于（）A．34B．43C．35D．453．(2分) 如图，在300 m高的峭壁上测得一塔顶与塔基的俯角分别为 30°和 60°，则塔高 CD 约为（）A．100m B．200m C．150m D．180m4．(2分)若把 Rt△ABC 的各边都扩大 3倍，则各边扩大后的cosB 与扩大前的cosB 的值之间的关系是（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．相等D．不能确定5．(2分)如图是某小区的一块三角形空地，准备在上面种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为m元，则购买这种草皮至少需要（）A．450m元B．225m元C．150m元D．300m元6．(2分)在△ABC 中，∠C= 90°，如果∠B = 60°，那sinA+cosB=（）A．14B．1 C12+D13+评卷人得分二、填空题7．(3分)某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥．一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A 开始爬行，行驶了150米到达点B ，则这时汽车离地面的高度为 米． 8．(3分)已知正三角形的周长是 6，则它的面积为 .9．(3分)在直角三角形ABC 中，∠A=090，AC=5，AB=12，那么tan B = ． 10．(3分) 如图所示，将两条宽度为 3cm 的纸带交叉叠放，若α已知，则阴影部分的面积为 ．11．(3分)如图所示，某人在高楼A 处观测建筑物D 点，则它的俯角是 ．12．(3分)一斜坡的坡比为 1：2，其最高点的垂直距离为 50m ，则该斜坡的长为 m ． 13．(3分)Rt △ABC 中，斜边与一直角边比为25：7，则较小角的正切值为 ． 14．(3分)计算：21()(12)4x x x −+÷−= ．15．(3分)已知 CD 是 Rt △ABC 斜边上的高线，且 AB= 10，若 sin ∠ACD=45，则CD= ． 评卷人 得分三、解答题16．(6分)又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话： 甲：我站在此处看塔顶仰角为60 乙：我站在此处看塔顶仰角为30 甲：我们的身高都是1.5m乙：我们相距20m请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）．17．(6分)如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角30∠=°，背水坡AD的坡度为B1:2，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长，迎风坡BC的长以及BC 的坡度．（答案可以带上根号）18．(6分)燕尾槽的横断面是等腰梯形．如图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55，外口宽AD是16cm，燕尾槽的深度是6cm，求它的里口宽BC(精确到0.1cm)．19．(6分)某科技馆座落在山坡M 处，从山脚A 处到科技馆的路线如图所示．已知A 处海拔高度为103.4m ，斜坡AB 的坡角为30，40m AB =，斜坡BM 的坡角为18，60m BM =，那么科技馆M 处的海拔高度是多少？（精确到0.1m ）(参考数据：sin180.309= cos180.951= tan180.324=）20．(6分)随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD ，如图所示，根据图中数据计算坝底 CD 的宽度. (结果保留根号)21．(6分)下图为住宅区内的两幢楼，它们的高m CD AB 30==，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时．试求： 1）若两楼间的距离m AC 24=时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？ 2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？甲 乙300BD22．(6分)Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=32,求a:b:c 等于多少？23．(6分)在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan ．24．(6分)化简:=−2)3(π .25．(6分)计算：322(3)a a −÷= ．26．(6分)计算：(1）)1)(1()2(2−+−+x x x (2）)()23(3223ab ab b a b a ÷+−(3）262−−x x ÷ 4432+−−x x x27．(6分)已知等腰三角形的底边长为20，面积为10033,求这个等腰三角形的三个内角度数及腰长.28．(6分)如图所示，已知∠ACB=90° , AB=13 , AC=12 ,∠BCM=∠BAC，求cosB 及点B 到直线MN的距离.29．(6分)已知a、b、c是△ABC的三边，a、b、c满足等式2(2)4()()b c a c a=+−，且有5a-3c=0，求 sinB 的值．30．(6分)如图，在Rt△ABC 中，∠C= 90°，AC=5，BC=12，求B的正弦、余弦和正切的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．Ｃ2．D 3．B 4．C 5．C 6．B二、填空题7．7589．125 10．9sin a11．∠EAD12． 13．247 14．1142x − 15．24三、解答题16．由题目可得：30CAB ∠=，60CBD ∠=，20m AB =， 1.5m AM BN DP ===．在ABC △中，CBD ACB CAB ∠=∠+∠，603030ACB ∴∠=−=，A M N PC B 乙 甲 6030 ACB CAB ∴∠=∠，20m BC AB ∴==．在Rt CBD △中，20m BC =，60CBD ∠=sin CD CBD BC ∠=，sin 6020CD∴=，320sin 6020103m CD ∴===103 1.519m CP CD DP ∴=+=≈．答：白塔的高度约为19米．17．解：452AF =∵452AF = 30tan 45=BE ，453BE =45225453AB =+∴（米），又451sin302BC ==∵° 90BC =（米），BC 的坡度为3．18．解：作AE BC DF BC ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ， 在Rt ABE △中，tan AEB BE=， ∴ tan AE BE B ==6tan 55． ∴6221624.4tan 55BC BE AD =+=⨯+≈（cm ）． 答：燕尾槽的里口宽BC 约为24.4cm ．19．解：过B 向水平线AC 作垂线BC ，垂足为C ，过M 向水平线BD 作垂线MD ， 垂足为D ，则11402022BC AB ==⨯=． sin18MD BM =600.309=⨯18.54=．∴科技馆M 处的海拔高度是：103.42018.54141.94141.9(m)++=≈．20．在 Rt △ADF 中，∠D=60°,tan AFD DF =,∴3933tan 3AF DF D ==⨯=在 Rt △BEC 中，∵∠C=45°,∴△BEC 为等腰直角三角形∴EC= BE=9,在矩形 AFEB 中，FE=AB=10，∴DC DF FE EC ⋅=++331091933=+=+21．解：(1)设阳光照射在乙楼CD 的E 处，连结BD ，则BD=AC=24，∠D BE =30°，DE=33BD=83，∵AB=CD=30，∴CE=30-83；即阳光照射在乙楼离地面高30-83米处；(2)要使甲楼的影子不影响乙，则阳光刚好照射在乙楼C 处，在Rt △ABC 中，∠A BC =60°，AC=3AB=303,即两楼相距303米． 22．3:5:2． 23．135sin =A , 1312cos =A ，125tan =A ． 24．3−π25．49a26．（1）54+x ；（2）2223b ab a +−；（3）42−x ． 27．如图所示，AB=AC,∵BC=20，10033ABC S ∆=,∴1033AH =,∵BH=10,∴3tan 3B =∴∠B= 30°, ∴∠C= 30°, ∴∠BAC= 120°． Rt △ABH 中，20233AB AH ==,即△ABC 的三个内角分别为 30°， 30°,120°，腰长为2033． 28．如图过 B 作BH ⊥MNM 于H ，222213125BC AB AC =−=−=，5sin sin 13BC A BCH AB ===∠，5cos 13B = ∵sin 5BH BH BCH BC ∠==，∴2513BH =，即 B 到直线的距离为2513．29．由已知得222b c a =−，即222c a b =+，∴△ABC 是Rt △，∠C=90°， ∵530a c −=，∴35a c =． 设: a = 3k ，c= 5k ，∴b= 4k ，∴4sin 5b Bc ==． 30．5sin 13AC B AB ==，1213BC sB AB ∞==，5tan 12AC B BC ==。