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2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足121z i i -+=+，则||z =（ ）A ．B ．2C D ．3【答案】A【解析】由条件121z i i -+=+，则211z i i =++-，求出z ，在求||z . 【详解】∵121z i i -+=+，∴2z i =+，∴z ==故选：A 【点睛】本题考查复数的加法运算和模长，属于基础题.2．已知集合{}221,,0A a a =-，{1,5,9}B a a =--，且{9}A B =I ，则（ ） A ．{9,25,0}A = B ．{5,9,0}A =C ．{7,9,0}A =-D ．{7,9,0,25,4}A B ⋃=--【答案】C【解析】由{9}A B =I 可得29a =，或219a -=，则3a =±，或5a =，再检验得出结论. 【详解】由已知可得29a =，或219a -=，∴3a =±，或5a =. 当3a =时，{5,9,0}A =，{2,2,9}B =--(舍)， 当5a =时，{9,25,0}A =，{4,0,9}B =-(舍)， 当3a =-时，{7,9,0}A =-，{4,8,9}B =-. 故选：C 【点睛】本题考查利用集合的交集求参数，注意检验集合的元素的唯一性，属于基础题. 3．已知向量()22,1a x x →=-，(1,3)b →=-，则“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据若0a b ⋅<r r，则a →，b →的夹角为钝角或平角，再求出a →，b →反向时x 的取值，从而可得到答案. 【详解】∵223x x a b →→=--⋅，∴130a b x →→⋅-<<⇔<，当//a b →→时，()2321x x -⨯-=，解得：13x =±当1x =时，1,13a →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时a →，b →反向.所以a →，b →的夹角为钝角则13x -<<且1x ≠所以“13x -<<”不能得到“a →，b →的夹角为钝角. 当“a →，b →的夹角为钝角”则能得到“13x -<<”.∴“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和向量的夹角与数量积的关系，属于中档题. 4．将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得函数（ ） A ．在区间3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 B ．在区间5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 C ．以8x π=为一条对称轴D ．以3,08π⎛⎫⎪⎝⎭为一个对称中心 【答案】B【解析】由三角函数的图像平移得出解析式2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再根据函数()sin y A ωx φ=+的图像性质对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度,可得2sin 22sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由222()242k x k k πππππ--+∈Z 剟，得3()88k x k k ππππ-+∈Z 剟， ∴单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故A 错误； 由32+22()242k x k k πππππ-+∈Z 剟，得37+()88k x k k ππππ+∈Z 剟 当1k =-时，函数在5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减. 故B 正确 由242x k πππ-=+，得对称轴为3()28k x k ππ=+∈Z ，故C 错误； 由24x k ππ-=，得()28k x k ππ=+∈Z ，对称中心为,028k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查根据三角函数的图像平移得出解析式，进一步研究函数的单调性和对称性，属于中档题.5．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．83πB ．8πC ．163πD ．12π【答案】B【解析】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，然后求体积.【详解】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥， ∴3114164228323V ππππ=-⨯⨯-⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查根据三视图求体积，属于中档题.6．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ） A ．13B ．12C ．25D ．34【答案】C【解析】根据题意，等待时间不超过10分钟的时间段分别为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟，7：40至8：30之间共50分钟，由几何概型即可求出概率. 【详解】由题意可知，满足条件的时间段为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟， 7：40至8：30之间共计50分钟， 由几何概型知所求概率为202505=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何概型求概率问题，属于基础题.7．已知函数()212()log f x x ax a =-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】可看出该函数是由对数函数和二次函数复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a 的不等式组，解出a 的取值范围即可． 【详解】12log y x =Q 在(0,)+∞上为减函数，2y x ax a ∴=-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，且0y >，122a -∴-≤，且211022a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 1a ∴≤，且12a ≥-，1,12a ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.故选：B . 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用，涉及复合函数单调性的判断，解题关键是对数函数的定义域、二次函数的性质的运用，属于中等题.8．在平面直角坐标系xOy 中，A ､B 为函数||y x =图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线22330x y -+=上，则OAB V 的面积为（ ）A ．2BCD 【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设10x <，20x >，由线段AB 的中点M ，则122122x x x x M ⎛⎫+-⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将M 的坐标代入曲线22330x y -+=可得123x x =-，然后求出1OA x =，2OB x =，利用三角形的面积公式可求得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(,)M x y . 由题意，不妨设10x <，20x >.∵12121221233333222x x xx x y y x x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪+-⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎩， 点(,)M x y 在22330x y -+=上，则22221221123333223330x x x x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫-=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦++=⎝∴123x x =-，又∵2211123OA x y x =+=-， 22222233OB x y x =+=，23AOB π∠=，∴1213sin 323OAB S OA OB AOB x x =⋅⋅∠=-=△. 故选：B 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用和求三角形的面积，属于中档题.9．一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为（ ）A ．2027B ．79C ．727D ．29【答案】C【解析】设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-,先求出n P 的通项公式，然后可得4P ，从而可得答案. 【详解】由题意知，蚂蚁每次爬行到下一个顶点的概率均为13， 设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-，∴1313434n n P P -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴数列34n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为14为首项，以13-为公比的等比数列. ∴()*331443nn P n ⎛⎫=-⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为4207112727P -=-=. 故选：C 【点睛】本题考查概率的计算和利用数列的递推关系求通项公式，属于中档题.10．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，BC =，则ADB ∠的最大值为（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN .在MBC △,NBC V 中分别用余弦定理可得2228m n a +=，然后在ABD △中用余弦定理结合均值不等式可求解出答案. 【详解】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN . 由平面几何知识，易知AD MC =，BD NC =. 设AD MC m ==，BD NC n ==.在MBC △中，222)2cos m a a MBC =+-⨯⋅∠，在NBC V 中，222)2cos()n a a MBC π=+-⨯⋅-∠，∴2228m n a +=，在ABD △中，222244cos 22m n a a ADB mn mn+-∠==， 又∵22228mn m n a +=„，∴222441cos 282a a ADB mn a ∠==…，∴ADB ∠的最大值为3π. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形结合均值不等式求最值，属于中档题.11．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M ､N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形的面积为（ ）A 221B ．213C ．273D ．473【答案】A【解析】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，可得截面图形，然后计算其面积. 【详解】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，得到的四边形AMEN 就是平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形.由已知可求得：2215AM AN ==+=, 由1△PC E ∽1△EB M ，可得1111223B E B E ==142C E = 2221713ME ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭,2424217121cos 4533NE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪ ⎪⎝⎭()222115+16MN A N A M =+==.()2222161176221656222323S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴截面面积2213S =. 故选：A【点睛】本题考查作出平面截空间立体几何图形的截面并计算其面积，属于中档题.12．已知函数()ln 2f x a x x =-，若存在*x ∈N ，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)e +∞ B ．4,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．6,ln 3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(2,)+∞【答案】C【解析】显然当1x =时，不成立，则当1x >时，即2ln x a x >，设2()ln xg x x=，分析出函数()g x 的单调区间，然后可得出答案. 【详解】由题意，得ln 20a x x ->，当1x =时，20->不成立； 当1x >时，2ln x a x >，设2()ln xg x x=，则22(ln 1)()(ln )x g x x -'=，当(1,)x e ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数， 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数.当2x =时，4(2)ln 2g =，当3x =时，6(3)ln 3g =，又∵4ln3ln81ln646ln2=>=，∴46ln 2ln 3>，∴6ln 3a >. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调区间进一步解决存在性问题，属于中档题.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则|1|z x y =-+的最大值为__________.【答案】2811【解析】根据条件，作出可行域，分析出可行域在直线10x y -+=的同侧，然后利用目标函数的几何意义可求解. 【详解】由线性约束条件，得到图中ABC V 所在的区域，在图中做出直线10x y -+=，可以看出三角形区域ABC 的所有点都在直线10x y -+=的同一侧，所以当直线10x y -+=平移经过点B 时，z 取得最大值.由4360210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得152,1111B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入1z x y =-+，得2811z =. 故答案为：2811【点睛】本题考查简单线性规划问题，属于中档题.14．在()251()x x x a +--的展开式中，含5x 项的系数为14，则实数a 的值为___________.【答案】1-或32【解析】由()2525551()()()()+x x x a x x a x x a x a =-+-----，又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr rr T C x a -+=-，可得含5x 项，从而可得其系数，从而可得答案.【详解】()2525551()()()()+xx x a x x a x x a x a =-+-----又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr r r T C x a -+=-由已知，含5x 的项为22324050555C ()C ()(1)C ()x x a x x a x a -+⋅-+-⋅-⋅()251051a a x =--，∴2105114a a --=，即2230a a --=，解得1a =-或32. 故答案为：1a =-或32. 【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，求参数的值，属于基础题. 15．已知实数,x y 满足20y x ≥>，则92y x x x y++的最小值为_____. 【答案】174【解析】采用换元法设yt x=，由已知可得2t ≥，可得9922y x t x x y t +=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+，利用导数求最值即可. 【详解】 设yt x=，由已知可得2t ≥， 9922y x t x x y t ∴+=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+， 29()10(2)f t t '=->+Q ， 9()2f t t t ∴=++在[2,)+∞上为增函数， 917()24f t t t ∴=+≥+，即91724y x x x y +≥+.故答案为：174. 【点睛】本题考查函数的最值问题，题目含有双变量，此类问题可用换元法将其转化为函数，再利用导数求解最值，属于中等题.16．已知1F ､2F 为双曲线2214x y -=的左､右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆的圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为____________. 【答案】1【解析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案.【详解】由双曲线2214x y -=，则 2,1,a b c ===设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ， 根据圆的切线性质，可得1224F M F M a -==，又因为1212F M F M F F +==，∴12F M =，即2OM =， ∴内切圆圆心I 在直线2x =上.又因为圆22(1)1y x +-=的圆心为(0,1)，半径1r =， ∴圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为211-=. 故答案为：1 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，210S =，()*1121n n n S a n N n +-=+∈+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2(1)!n n n a b n N n =∈+，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）()*2nn a n n =⋅∈N .（2）证明见解析【解析】(1)由1121n n n S a n +-=++有()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …两式相减可得()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …，从而可求出答案. (2)由112(1)!(1)!!(1)!n n n a n b n n n n ===-+++用裂项相消可求和.【详解】（1）当1n =时，112S a ==， ∵210S =，∴28a =， 又∵()*1121n n n S a n n +-=+∈+N ， ∴()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …， ∴()*1122,1n n n n n a a a n n n n +--=-∈+N …， 整理得：()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第二项242a =开始是公比为2的等比数列. ∴2422n n na n-=⨯= ∴()*22,nn a n n n =⋅∈N …又∵当1n =时，12a =满足2nn a n =⋅.∴()*2nn a n n =⋅∈N .（2）由（1）得()*112(1)!(1)!!(1)!n n na nb n n n n n ===-∈+++N ， ∴111111112!2!3!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+⋯+-=-++，显然当*n ∈N 时，n T 为单调递增函数，且10(1)!n >+，∴1112n T T =<…成立. 【点睛】本题考查利用n a 和n S 的递推关系求通项公式和利用裂项相消可求和，属于中档题. 18．某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年龄在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格： 年龄区间 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 教师人数 2000 1300 样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：（1）求该市年龄在[50,60]的教师人数；（2）试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x 及方差2s (同一组的数据用该组区间的中点值作代表). 【答案】（1）800.（2）频率分布直方图见解析，39x =，292s = 【解析】(1)设样本容量为x ，由130********x⨯=解得x 的值，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中的人数，在列式计算.(2)分布求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）设样本容量为x ，则130********x⨯=，解得500x =， ∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有50020002005000⨯=(人)， ∴年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中共有500200130170--=(人)， 设年龄在[50,60]的教师在样本中的人数为y ， 由题意可知：(10)170y y ++=，∴80y =，∴该市年龄在[50,60]的教师人数为500080800500⨯=. （2）由（1）可知，年龄在[20,30)的教师人数为500020001300800900---=(人)，频率为9000.185000=， 年龄在[30,40)的教师人数为2000(人)，频率为20000.45000=， 年龄在[40,50)的教师人数为1300(人)，频率为13000.265000=， 年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为8000.165000=. 由此做出频率分布直方图.250.18350.4450.26550.1639x =⨯+⨯+⨯+⨯=；22222(2539)0.18(3539)0.4(4539)0.26(5539)0.1692s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图，利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，属于中档题. 19．如图，将斜边长为42的等腰直角ABC V 沿斜边BC 上的高AD 折成直二面角B ADC --，E 为AD 中点.（1）求二面角A BC E --的余弦值；（2）M 为线段BC 上一动点，当直线DM 与平面BCE 所成的角最大时，求三棱锥M CDE -外接球的体积.【答案】（1）223.（2510 【解析】(1)设F 为BC 中点，连接EF ､AF 得出BD ⊥平面ADC ，由平面几何可知EF BC ⊥，AF BC ⊥，则EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角，在EFA △中求解.(2) 设直线DM 与平面BCE 所成的角为α,点D 到平面BCE 的距离为d ，则sin d DM α=，由等体积法可得求得233d =，当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =，可求出三棱锥M CDE -外接球的体积. 【详解】 【详解】解法一：（1）设F 为BC 中点，连接EF ､AF . ∵ABC V 为等腰直角三角形， 且二面角B AD C --为直二面角， ∴BD ⊥平面ADC∴22AD BD CD ===，4AB BC CA ===， 由平面几何可知，10BE CE ==， ∴EF BC ⊥，AF BC ⊥，∴EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角， 在EFA △中，2AE =，224223AF =-=，1046EF =-=，∴2221622cos 23122EF AF AE EFA EF AF +-∠===⨯⨯， ∴二面角A BC E --的余弦值为223.（2）设直线DM 与平面BCE 所成的角为α，点D 到平面BCE 的距离为d ， 则sin d DMα=， 在三棱锥B CDE -中，1262BCE S BC EF =⨯⨯=△， 由B CDE D BCE V V --=三棱锥三棱锥，求得23d =，∴当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大， ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点， 则11022ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为102， ∴外接球的体积3410510323V ππ⎛⎫==⎪⎝⎭.解法二：（1）∵ABC V 为等腰直角三角形，且二面角B AD C --为直二面角，∴BD ⊥平面ADC ， ∴BD CD ⊥，∴以D 为坐标原点，以DA ､DC ､DB 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵在平面图形中，ABC V 是斜边为42的等腰直角三角形，且E 为高AD 的中点， ∴(0,0,0)D ，(22,0,0)A，(0,0,22)B ，(0,22,0)C ，(2,0,0)E ，∴(22,22,0)AC =-，(0,22,22)BC =-u u u r，(2,22,0)EC =-，设平面ABC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，平面BCE 的一个法向量为()222,,n x y z =r，由00m BC m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ，得11112222022220y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则111y z ==∴(1,1,1)m =u r，同理可求得(2,1,1)n =r，∴22cos ,336m n m n m n ⋅〈〉===⨯⨯u r ru r r u r r ， ∴二面角A BC E --的余弦值为22.（2）如图，设(01)BM BC λλ=剟， 可得(0,22,2222)M λλ-， ∴(0,22,2222)DM λλ=-，又由（1）可知平面BCE 的法向量为(2,1,1)n =r，∴2222cos ,244263(21)1DM n λλλ〈〉==-+⨯⨯-+u u r r即直线DM 与平面BCE，∵01λ剟，3，当且仅当12λ=时，等号成立. ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点，则122ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为2， ∴外接球的体积34323V π⎛==⎝⎭. 【点睛】本题考查求二面角的余弦值和三棱锥外接球的体积的求法，考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于中档题.20．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠.由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=. ()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.21．已知函数1()f x ax x =+，()1xe g x x=-. （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当12a =时，设(,)P x y 为函数()1ln ((0,))()1x g x y x x f x ⋅-=∈+∞⋅-图象上任意一点.直线OP 的斜率为k ，求证：01k <<.【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】(1)由22211()ax f x a x x-'=-=，分0a ≤与0a >两类讨论，可求得函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间.(2)由已知，即证0y x <<,由于2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-，即证210ln 12x e x x x --<<，①设21()12x h x e x x =---，②构造函数21()12x x s x e x x e =---，利用导数研究这两个函数的单调性及函数取值情况，可证结论.【详解】（1）∵1()f x ax x=+， ∴22211()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x a=±(舍负)当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. （2）证明：由已知，即证0y x <<. ∵2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-， ∴即证210ln 12x e x x x --<<， ①设21()12x h x e x x =---， ∴()1x h x e x '=--， ∴()1x h x e ''=-，∵(0,)x ∈+∞，∴()10x h x e ''=->，∴()h x '为增函数∴()1(0)0x h x e x h ''=-->=， ∴()h x 为增函数 ∴21()1(0)02x h x e x x h =--->=， ∴21102x e x x --->， 即2112x e x x -->，即21112x e x x -->， ∴21ln 012x e x x -->，即0y >， ②构造函数21()12x x s x e x x e =---，∵21()12x x x s x e xe x e '=---， 21()22x x s x xe x e ''=--， ∴21()202x x s x xe x e ''=--<， ∴()s x '在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s ''<=，∴()s x 在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s <=， ∴2112x x e x x e --<， ∴2112x x e x e x --<，即21ln 12x e x y x x --=<成立. 由①②可知0y x <<， ∴01k <<成立.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，考查证明不等式的有关问题，考查分离讨论和构造函数，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，P 为直线l 上的任意一点. （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P Q 、两点间的最小距离；（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A B 、，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值.【答案】（1）1.（2【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程可得圆，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线与圆的位置关系可得P Q 、两点间的最小距离；（2）△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△PC 最小时面积最小，由此能求出面积的最小值．【详解】（1）由曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，得22(1)(1)1x y -+-=， ∴曲线C 是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆.由sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 20ρϕρϕ++=， cos sin x y ρϕρϕ=⎧⎨=⎩Q ，:20l x y ∴++=， P Q 为直线l 上的任意一点，Q 为圆C 上任意一点，min min 1PQ PC ∴=-(其中C 为圆心)，又min PC ==Qmin 1PQ ∴=-.（2）由题意，△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB 的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△由（1）知，min PC =∴四边形PACB 面积的最小值min S =.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程，解题关键是利用极坐标与直角坐标的关系将极坐标方程与参数方程转化为直角坐标方程，利用直线与圆位置关系求解即可，属于中等题.23．若0a >，0b >，且223a b ab ++=.（1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a ､b ，使得33a b +=？并说明理由.【答案】（1）4.（2）不存在a ，b ，理由见解析【解析】(1) 利用均值不等式有3222ab a b =++…，从而可求解出答案.(2)由均值不等式有33a b +厖1）2ab …可得出答案. 【详解】（1）由3222ab a b =+++…，得2ab …，当且仅当22a b ==时等号成立. 故2324a b ab +=-…，当且仅当22a b ==时等号成立. 所以2a b +的最小值为4.（2）由（1）知，33a b +厖当且仅当22a b a b =⎧⎨==⎩时等号成立).因此，33a b +>.从而不存在a ，b ，使33a b +=.【点睛】本题考查利用均值不等式求最值和考查等号成立的条件，属于中档题.。
理科数学试题 第 页(共页) 机密★启用前华大新高考联盟２０２０届高三４月教学质量测评 理科数学命题:本试题卷共４页,２３题(含选考题).全卷满分１５０分.考试用时１２０分钟. ★祝考试顺利★注意事项:１．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. ２．选择题的作答:每小题选出答案后,用２B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.３．填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.４．选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用２B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.５．考试结束后,请将答题卡上交.一、选择题:本题共１２小题,每小题５分,共６０分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. １．已知复数z ＝１＋１,则zz＝ A ．０ { B ．１ C ．２D ．２２．设集合A ＝ x |x ＞３},B ＝{x |l o g ３(x －a )＞０},则a ＝３是B ⊆A 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件{ } , , D ．既不充分又不必要条件 ３．设等差数列 a n 的前n 项和为S n 已知a ３＝５a ７＋a ９＝３０,则S １０＝ A ．８５ B ．９７ , C ．１００ D ．１７５ ,４．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术 为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术 就是以 圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆面积．刘徽形容他的割圆术说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣．”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形,将１００ 粒豆子随机撒入圆盘内,发现只有４粒豆子不在正十二边形内．据此实验估计圆周率的近似值为 A ．１０ B ．１６C ．２２D ．２５,５．已知x ＝l g ２y ＝l n ３,z ＝l o g ２３,则 A ．x ＜z ＜yB ．z ＜y ＜xC .x ＜y ＜z ６．执行如图所示程序框图 ,设输出数据构成集合 A D .z ＜x ＜y从集合A中任取一个 元素m ,则事件“函数f (x )＝x ２＋m x 在[０,＋∞)上是增函数”的概率为 A . １B .１C .３D . ３i ３ ５ ７ ８, ２ ４ ５ ４理科数学试题 第 页(共页) ７．设f (x ),g (x )分别为定义在[－π,π]上的奇函数和偶函数,且f (x )＋g (x )＝２e xc o s x (e 为自然对数的底数),则函数y ＝f (x )－g (x )的图象大致为 ８．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设 备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第二实验室的改建费用高４２万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高１６８ 万元,并要求每个实验室改建费用不能超过１７００万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 A ．３２３３万元B ．４７０６万元C ．４７０９万元D ．４８０８万元９．设点F 为抛物线y ２＝１６x 的焦点,A ,B ,C 三点在抛物线上,且四边形 A B C F 为平行四边形,若对角线 |B F |＝５(点B 在第一象限),则对角线A C 所在的直线方程为 A ．８x －２y －１１＝０ B ．４x －y －８＝０ C ．４x －２y －３＝０D ．２x －y －３＝０⎛５π⎫１０．设函数f (x )＝２|s i n x |＋s in x ＋２c o s ２,给出下列四个结论:①f (２)＞０;②f (x )在 －３π,－ ÷ 上单调递⎭增;③f (x )的值域为[－１＋２c o s ２,３＋２c o s ２];④f (x )在[０,２π]上的所有零点之和为４π．则正确结论的序号为A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①③④１１．设点F ,F 分别为双曲线C :x ２ y２(a ＞０,b ＞０)的左、右焦点,点A ,B 分别在双曲线C 的左、右支 １ ２ a ２ －b２ ＝１ 上,若F １B →＝６F １A →,A F →２＝A B →A F →２,且|A F →２|＞|B F →２|,则双曲线C 的离心率为A . １７B .１３C .８５D .６５１２．在正方体A B C D ＧA １B １C １D １ 中,点 M ,N ,P 分别在A A １,A １D １,D １C １ 上,M 为A A １ 的中点,A １N＝C １P＝２,过点A 作平面α,使得B C １⊥α,若α∩平面A １B １C １D １＝m ,α∩平面 M N P ＝n ,则直线m 与直线n 所成的角的正切值为A .３２ B .６２ C .２D . ２二、填空题:本题共４小题,每小题５分,共２０分.１３．在⎛x － １ ⎫６的展开式中,常数项为 (用数字作答)．⎝ ２x ⎭１４．在等腰直角△A B C 中,A B ＝２,∠B A C ＝９０°,A D 为斜边B C 的高,将 △A B C 沿A D 折叠,使二面角 ⎝ ２ ２ ５ ５５５ ND １PD １７７７ ２２÷理科数学试题 第 页(共页) B ＧA D ＧC 为６０°,则三棱锥A ＧB C D 的外接球的表面积为．１５．在△A B C 中,A B ＝５,A C ＝４,B C ＝３,已知 M N 为△A B C 内切圆的一条直径,点P 在△A B C 的外接圆上,则P M →P N →的最大值为 ．１６．用符号[x ]表示不超过x 的最大整数,例如:[０．６]＝０;[２．３]＝２;[５]＝５．设函数f (x )＝a x ２ －２l n ２(２x )＋(２－a x ２)l n (２x )有三个零点x １,x ２,x ３ (x １ ＜x ２ ＜x ３),且[x １]＋ [x ２]＋ [x ３ ]＝３,则a 的取值范围是 ．三、解答题:共７０分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第１７~２１题为必考题,每个试题考生都必须作答.第２２、２３题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共６０分. １７．(１２分)在△A B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ２＋２ ３a c s i n B ＝(a ＋c )２,△A B C 的面积为２ ３．(１)求角B ; (２)设λ,b ,|a －c |成等比数列,求λ 的最小值． １８．(１２分)如图所示,在三棱柱A B C ＧA １B １C １ 中,侧面A C C １A １ 为菱形,∠A １A C ＝６０°,A C ＝２,侧面C B B １C １ 为正方形,平面A C C １A １⊥平面A B C ．点 N 为线段A C 的中点,点 M 在线段AB 上,且AM ＝２．(１)证明:平面B B １C １C ⊥平面A C C １A １;(２)求直线B B １ 与平面B １M N 所成角的正弦值．１９．(１２分) 设以△A B C 的边A B 为长轴且过点C 的椭圆Γ 的方程为x ２ y ２ (a ＞b ＞０),椭圆Γ 的离心率e ＝a２＋b２ ＝１１,△A B C 面积的最大值为２ ３,A C 和B C 所在的直线分别与直线l :x ＝４相交于点 M ,N ． (１)求椭圆Γ 的方程; (２)设△A B C 与△C M N 的外接圆的面积分别为S １,S ２,求S ２的最小值．２０．(１２分)２０２０年寒假期间新冠肺炎肆虐,全国人民众志成城抗击疫情．某市要求全体市民在家隔离,同时决定全市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”,要求学校各科老师每天在网上授课,每天共 ２８０分钟,请学生自主学习．区教育局为了了解高三学生网上学习情况,上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了１００名学生进行问卷调查,为了方便表述把学习时间在(０,１２０]分钟的学生称为 A 类,把学习时间在(１２０,２００]分钟的学生称为B 类,把学习时间在(２００,２８０]分钟的学生称为C 类,随机调查的１００名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示: MB２S １理科数学试题 第 页(共页)以频率估计概率回答下列问题:(１)求１００名学生中A ,B ,C 三类学生分别有多少人?(２)在A ,B ,C 三类学生中,按分层抽样的方法从上述１００ 个学生中抽取１０ 人,并在这１０ 人中任意邀请３人电话访谈,求邀请的３人中是C 类的学生人数的分布列和数学期望;(３)某校高三(１)班有５０名学生,某天语文和数学老师计划分别在１９:００—１９:４０和２０:００—２０:４０在线上与学生交流,由于受校园网络平台的限制,每次只能３０ 个人同时在线学习交流．假设这两个时间段高三 (１)班都有３０名学生相互独立地随机登录参加学习交流．设ξ 表示参加语文或数学学习交流的人数,当ξ 为 多少时,其概率最大． ２１．(１２分)已知函数f (x )＝４a x －s i n x ＋２a x c o s x ,(a ∈R )．(１)若a ＝１,当x ∈(０,π)时,证明:f (x )＜ π; ４ ２ (２)若当x ∈[０,＋∞)时,f (x )≥０,求a 的取值范围． (二)选考题:共１０分.请考生在第２２、２３题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分. ２２．[选修４—４:坐标系与参数方程](１０分)⎪⎧,, ⎪x s θ ( ), ,在直角坐标系x O y 中 曲线C 的参数方程为⎨ ⎪ ⎪⎩y ＝２＋n θ θ 为参数 以坐标原点O 为极点 x 轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C ２ 的极坐标方程为ρ２＝ ８ ,点P 在曲线C １ 上,点Q 在曲线 C ２ 上．(１)求曲线C １ 的一般方程和曲线C ２ 的直角坐标方程; (２)求|P Q |的最大值．２３．[选修４—５:不等式选讲](１０分)设a ,b ,c 都是正数,且a ＋b ＋c ＝１． (１)求a １b ＋c１的最小值; (２)证明:a ４＋b ４＋c ４≥a b c ．５－３c o s ２α ＋ １理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)２ 华大新高考联盟２０２０届高三４月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准一、选择题１．【答案】D【命题意图】主要考查复数的概念及相关运算,考查考生的运算求解能力．【解析】因为z ＝１＋１＝１－i ,z ＝１＋i ,所以zz ＝(１－i )(１＋i )＝２．故选 D ．２．【答案】Ai【命题意图】主要考查指数函数和对数函数的单调性、集合子集的概念、充要条件,考查考生的逻辑推理能力． 【解析】A ＝{x |x ＞３},B ＝{x |x ＞a ＋１}．当a ＝３时,B ＝{x |x ＞４}．所以B ⊆A ． 当B ⊆A 时,即a ≥２,并不能得到a ＝３．故选 A ．３．【答案】C 【命题意图】主要考查等差数列通项公式及前n 项和的应用,考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力． 【解析】因为a ７＋a ９＝２a ８＝３０,所以a ８＝１５．又a ３＝５,所以a １＋a １０＝a ３＋a ８＝２０．S １０＝１０(a １＋a １０)＝２００＝１００．故选 C ．４．【答案】D２ ２【命题意图】主要考查以数学文化为背景的概率问题,考查考生的化归转化能力、数学建模能力和逻辑推理能力．１R ２ s i n ⎛３６０°⎫２÷ １２【解析】因为⎝ ２１２ ⎭ ≈ ９６ ,所以π≈２５．故选 D ． 】 πR １００ ８５．答案 C【命题意图】主要考查对数函数的性质,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力． 【解析】因为x ＝l g ２＜１,y ＝l n ３＞１,z ＝l o g ２３＞１,所以x 最小． 又因为y ＝l g ３,z ＝l g３,所以y ＜z ,所以x ＜y ＜z ．故选 C ． ６．【答案】Cl g e l g ２ 【命题意图】主要考查程序框图有关知识、二次函数单调性以及古典概型,考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力．【解析】当x ＝－２⇒y ＝０;x ＝－２＋１＝－１⇒y ＝－１;x ＝－１＋１＝０⇒y ＝０;x ＝０＋１＝１⇒y ＝３;x ＝１＋１ ＝２⇒y ＝８;x ＝２＋１＝３,退出循环, 所以A ＝{０,－１,３,８}, 又函数f (x )＝x ２＋m x 在[０,＋∞)上是增函数,所以－m ≤０⇒m ≥０． 函数f (x )＝x ２＋m x 在[０,＋∞)上是增函数的概率为３,故选 C ．７．【答案】A４【命题意图】主要考查函数的性质与图象,考查考生的化归转化能力和数形结合能力,以及逻辑推理、直观 想象和数学运算．【解析】因为f (x )＋g (x )＝２e x c o s x ,所以f (－x )＋g (－x )＝２e －xc o s (－x ),理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)ex ex ４ ( ) ２ ２s i n x ＋ ÷ e xe５ 所以线段B F 的中点的坐标为 D ,２ ．÷ 设A (x １,y １),C (x ２,y ２)．有y ２＝１６x ,y ２＝１６x ２, y １＋y ２＝２． ⎛ ５ ⎫ ⎝ ２ ⎭即－f (x )＋g (x )＝２e －xc o s (x ),所以f (x )－g (x )＝－２c o s x ．因为y ＝－２c o s x,当x ＝０．０１时,y ＜０,所以 C ,D 错误． ⎛ π⎫ 又y ′＝２s i n x ＋x c o s x ＝ ⎝ ４ ⎭ ,所以x ＝－ π为极值点,即B 错误．故选 A ． ８．【答案】C 【命题意图】主要考查等比数列有关知识,考查考生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力． 【解析】设每个实验室的装修费用为x 万元,设备费为a n 万元(n ＝１,２,３,,１０)．则{a ５－a ２＝４２,所以{a １q ４－a １q ＝４２, 解得{a １＝３,故a＝a q ９＝１５３６． a ７－a ４＝１６８, a １q ６－a １q ３＝１６８, q ＝２． １０ １ 依题意x ＋１５３６＜１７００,即x ＜１６４． 所以总费用为１０x ＋a ＋a ＋＋a ＝１０x ＋３(１－２１０)＝１０x ＋３０６９≤４７０９．故选 C ．９．【答案】B １ ２ １０１－２ 【命题意图】主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线方程等知识,考查考生的化归转化思想、数形 结合思想以及数学运算能力．【解析】如图所示,设B 点的坐标为(x ０,y ０),则|B F |＝x ０＋４＝５,所以x ０＝１,B 点的坐标为(１,４)． ⎛ ⎫⎝２ ⎭１ １ ２ 且 ２ 所以y ２－y ２＝１６(x １－x ２), y １－y ２ ＝ １６ ＝４,所以k A C ＝４． １ ２所以x １－x ２ y １＋y ２对角线A C 所在的直线方程为A C :y －２＝４x － ÷ ,即４x －y －８＝０．故选B ． 【 】 ⎝ ２ ⎭１０．答案 C 【命题意图】主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的化归与转化能力、数形结合能力,考查逻辑推理与直观想象．【解析】f (２)＞０⇔３s i n ２＞－２c o s ２⇔t a n ２＞－２． π ３π, ３３π ,２因为２＜２＜ ４ 所以t a n ２＜t a n ４ ＝－１ 所以t a n ２＜－３．故①正确． 设y ＝２|s i n x |＋s i n x ＝{３s i n x , ２k π≤x ≤２k π＋π, k ∈Z ． ( ) －s i n x ,２k π＋π＜x ＜２k π＋２π, , [, ]显然f x 是以２π为周期的周期函数．作y＝２|s i n x |＋s i n x x ∈ ０２π 的图象如图所示． 由图可知f (x )的值域为[２c o s ２,３＋２c o s ２],即③错误． ⎛ ３π⎫ 由f (x )的函数图象可知,f (x )在 π, ÷ 上单调递增．又因为f (x )是周 ⎝ ２ ⎭ ⎛ ５π⎫期为２π的函数,所以f (x )在 －３π,－ ÷ 上单调递增,即②正确． 又因为π＜２＜２π,所以－１＜c o s ２＜０,所以０＜－２c o s ２＜１．２３２x１＋x２＝π,x３＋x４＝３π,所以x１＋x２＋x３＋x４＝４π,所以④正确．故选C．２⎧⎪ ２设|A F→|＝m,则|A B→|＝５m,由双曲线定义得⎪６m－|B F→|＝２a,f(x)＝０⇔２|s i n x|＋s i n x＝－２c o s２．由图象可知f(x)在[２,２π]内有四个零点．且２２２２１１．【答案】D【命题意图】主要考查双曲线的定义及几何性质、平面向量的运算,考查考生的运算求解能力、化归转化能力和数形结合能力．【解析】因为F１B→＝６F１A→,所以点F１,A,B共线,且|A B→|＝５|A F→１|．因为A F→２＝A B→A F→＝(A F→＋F B→)A F→＝A F→２＋F B→A F→,所以F B→A F→＝０,所以F B→⊥A F→．２２２２２２２２２２２|A F→|－m＝２a,１⎨２⎪→２→２２,⎩|A F２|＋|B F２|＝２５m所以(m＋２a)２＋(６m－２a)２＝２５m２⇒３m２－５m a＋２a２＝０⇒(m－a)(３m－２a)＝０,解得m＝a或m＝２a．３,→,→,→→,若m＝a时|A F２|＝３a|B F２|＝４a因为|A F２|＜|B F２|故舍去．若m＝２a时,|A F→２|＝８a,|B F→２|＝２a,|B F→１|＝４a,|A B→|＝１０a,c o s∠A B F２＝２a＝３．３在△F B F３中,４c２＝４a２＋１６a２－２×２a×４a３c２３１３e＝６５,故选D．１０a５３１２１２．【答案】A×５⇒a２＝５⇒５【命题意图】考查空间线线、线面、面面的平行与垂直关系,考查考生的空间想象能力、化归转化能力和直观想象能力．【解析】如图,补正方体A B J KＧA１B１I H,作平面M N P与正方体A B C DＧA１B１C１D１的截面,设A B＝３,易知AE＝AF＝２．易证B C１⊥B I,B C１⊥A B,B I∩A B＝B,所以B C１⊥平面A B I H,即平面A B I H为平面α,所以直线G F为n,直线H I为m,又H I∥A B,∠A F G为直线m与直线n所成的角．⎧⎪x＋y＝３２,设A G＝x,G H＝y,而△A E G∽△HN G,所以⎪２解得x＝６２．⎨x,７⎪⎩y＝５理科数学参考答案和评分标准第页(共页)理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)命题意图 主要考查二项式定理有关知识 考查考生的运算求解能力． ３３２ ３外接圆☉O ２ 的半径r ２＝２A B ＝５ １ １ P O →１＋ １⎭ AG ６ ２在 R t △A G F 中,t a n ∠A F G ＝A F ＝ ７ ＝３ ２,故选 A ．２ ７ 二、填空题１３．【答案】１５． 【 ４】 , r ６－r ⎛ １ ⎫r ⎛ １ ⎫r r６－３r 【解析】因为T r ＋１＝C ６x － ２ ÷ ＝ － ÷ C ６x , ⎝ ２x ⎭⎝ ２ ⎭ 令６－３r ＝０,所以r ＝２,T ３＝１５．１４．【答案 ４】１４π． 【命题意图】主要考查平面图形折叠中的线面关系以及球的表面积,考查考生的空间想象能力和转化与划化归能力． 【解析】沿A D 折叠后二面角B ＧA D ＧC 为６０°,即折叠后∠B D C ＝６０°,所以△D B C 为等边三角形．又因为A B ＝２,所以折叠后A D ＝D B ＝B C ＝C D ＝ ２． 设点O 为三棱锥A ＧB C D 外接球的球心,O １ 为△B D C 的外心．所以 ２ ＝２D O １,所以D O １＝ ６．s i n ６０° ３ 又O O ＝１A D ＝ ２,所以球心半径R ２＝D O ２ ＋O O ２＝ ６２＋ ２２＝７． １２ ２ １ １÷ ÷ ６所以S 球 ＝４πR ２＝１４π．⎝ ⎭ ⎝ ⎭ １５．【答案】１３＋５ ５．【 ２命题意图】主要考查平面向量加、减、数量积的运算,以及三角形内切圆和外接圆有关问题,考查考生的化归与转化能力,逻辑推理和运算求解能力． 【解析】因为△A B C 为直角三角形,所以内切圆☉O １ 的半径r １＝３＋４－５＝１, ２１ , P M →P N →＝(P O →＋O M →)( ２ O N →)＝P O →２＋P O →(O M →＋O N →)＋O M →O N →＝|P O →|２－１．１１ １１１ １ １→ ⎛３⎫２２５又|O １O ２|＝⎝２－１÷ ＋(２－１) ＝ ２,理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)命题意图 主要考查函数零点 利用导数分析函数的图象及性质 考查考生化归转化能力 推理运算能力 x ∈ ⎛ e ,＋∞ ⎫时,g ′(x )＜０,g (x )单调递减． {⎝ ６ ⎭ a －c | |a －c | |a －c |所以|P O →１|的最大值为 ５＋５,所以P M →P N →的最大值为１３＋５ ５．２ ２ ２⎡ ２ ⎫１６．【答案】⎢－l n ２,－ l n ６÷ ． 【 ⎣】 ９⎭, , 、 和数形结合能力．【解析】因为f (x )＝a x ２ －a x ２l n ２x ＋２l n ２x －２l n ２２x ＝a x ２(１－l n ２x )＋２l n ２x (１－l n ２x )＝ (１－l n ２x )(a x ２＋２l n ２x )＝０,x ＞０,所以１－l n ２x ＝０ ①或a x ２＋２l n ２x ＝０ ②．由①得x ＝e ,由②得－a ＝２l n ２x．２x２令g (x )＝２l n ２x ,则g ′(x )＝２(１－２l n ２x )＝０,所以x ＝ e ．x ２ x ３ ２ 当x ∈ ⎛ ,e ⎫ 时,′(x )＞０, (x )单调递增,０２ ÷g g⎝ ２ ⎭事实上,当０＜x ＜１时,g (x )＜０,当x ＞１时,g (x )＞０． ２e由图显然x １∈(０,１),x ２＝２∈(１,２),所以[x １]＝０,[x ２]＝１,而[x １]＋[x ２]＋[x ３]＝３,所以[x ３]＝２,即x ３∈[２,３)． (), ⎧⎪－a ≤２l n ４, 所以 －a ≤g ２ 即⎪ ４ 解得－l n ２≤a ＜－２l n ６． －a ＞g (３), ⎨ ２l n ６, ９三、解答题⎪－a ＞ ９１７．【命题意图】主要考查解三角形、三角恒等变换、等比中项以及均值不等式的应用,考查考生的转化与化归能力和运算求解能力．【解析】(１)因为b ２＋２ ３a c s i n B ＝a ２＋c ２＋２a c ,所以a ２＋c ２－２a c c o s B ＋２ ３a c s i n B ＝a ２＋c ２＋２a c , ２分 ⎛ π⎫ １ 所以 ３s i n B －c o s B ＝１,即s i n B － ÷ ＝２．４分 因为－ π＜B － π＜５π,所以B － π＝π,５分 ６π６ ６ ６ ６所以B ＝３． ６分 (２)△A B C 的面积为２ ３,所以１a c s i n ６０°＝２ ３,即１a c s i n ６０°＝２ ３,所以a c ＝８． ７分 ２ ２ 因为λ,b ,|a －c |成等比数列,所以b ２＝|a －c |λ,由于a －c ≠０,所以λ＝|b ２． ８分a －c |又b ２＝a ２＋c ２－２a c c o s ６０°＝(a －c )２＋a c ＝(a －c )２＋８．９分 所以λ＝|b ２ ＝ (a －c )２＋８＝|a －c |＋ ８≥２ ８＝４ ２． １１分当且仅当|a －c |＝２ ２时,取“＝”．÷ ⎝⎭⎩理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)⎪ ．命题意图 主要考查椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的位置关系 正弦定理等知识 考查考生的a２⎪ b ＝ ３．{＋ ３４ 所以λ 的最小值为４ ２． １２分 １８．【命题意图】主要考查空间面面垂直关系,直线与平面所成角的求法,考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．【解析】(１)连接A １C ,A １N ,因为四边形A C C １A １ 为菱形,∠A １A C ＝６０°,所以△A １A C 为等边三角形．而点N 为A C 中点,所以A １N ⊥AC ． 又平面A C C １A １⊥平面A B C , ２分所以A １N ⊥平面A B C ,所以A １N ⊥B C ． ３分而四边形C B B １C １ 为正方形,所以B C ⊥C C １．而C C １∥A １A ,所以B C ⊥A １A ． ４分又因为A A １∩A １N ＝A １,所以B C ⊥平面A A １C １C ． ５分又因为B C ⊂平面B C C １B １,所以平面B B １C １C ⊥平面A C C １A １． ６分 (２)设A １C １ 的中点为点P ,以C 点为坐标原点,分别以向量C A →,C B →,C P →为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系, 则有A (２,０,０),B (０,２,),(１,０,３),N (１,０,０)．７分 → → ２ → ⎛ ４ ４ ⎫A B ＝(－２,２,０),A M ＝３A B ＝ － , ,０÷ ,⎝ ３ ３ ⎭* → → →⎛ １ ４ ⎫ N A ＝(１,０,０),所以N M ＝N A ＋A M ＝ － , ,０÷ ． ８分→ → →⎝ ３ ３ ⎭又N A １＝(０,０,３),A １B １＝A B ＝(－２,２,０), 所以N B →１＝N A →１＋A １B →１＝(－２,２,３)． ９分n N M →＝０,⎧⎪－１x ＋４y ＝０,设平面B M N 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则{→ 所以 ３ ３ １＝０, n NB １⎪⎩－２x ＋２y ＋ ３z ＝０． 取y ＝１,则n ＝(４,１,２ ３), １０分 B B →１＝A A →１＝(－１,０,３)． １１分设α 为直线B B １ 与平面B １M N 所成的角,所以s i n α＝ B B →n＝ (－１,０,３)(４,１,２ ３) ＝ ２９, |B B →１||n | １６＋１＋１２ １＋３ ２９所以直线B B １ 与平面B １M N 所成角的正弦值为 ２９． １２分１９ 【】 ２９ , ,逻辑推理能力和运算求解能力以及数形结合思想和化归与转化思想等．⎧⎪c ＝１,【 】()⎪a ２解析 １ 依题意:⎪１２ , １分⎨ b ＝２ ３ ⎪⎩a ２＝b ２＋c ２, 所以a ＝２, ３分 椭圆Γ 的方程为x ２ y ２ ．４分４ ＋ ３ ＝１ x ２ y ２(２)设C (x ０,y ０)(y ０≠０),则 ０ ０＝１,A (－２,０),B (２,０)． ⎨ ⎪理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)÷０ ０ ０ ÷０ ００ ０ ０ ０ (x ２－４)２r １２ １| ２１６０ ０又y ２x ２所以 ４ ０ ０ C C C ５０ ( )．⎝t ⎭ ⎝t ⎭⎝⎭ ．命题意图 古典概型、离散型随机变量分布列 主要考查频率分布直方图 超几何分布等知识 考查考生 ξ ５０ ３０ ２０ 直线A C :y ＝x ＋２与直线l :x ＝４联立得 M ⎛４,６y ０ ⎫． yx ＋２ x ＋２ 直线B C :y ＝x －２与直线l :x ＝４联立得 N ⎛４,２y ０ ⎫．y x －２ x －２ |M N |＝ ６y ０ － ２y ０ ＝４|y ０||x ０－４|． ６分x ０＋２ x ０－２ |x ２－４|设∠A C B ＝α,r １,r ２ 分别为△A B C 和△C M N 外接圆的半径,在△A B C 中|A B |＝２r １,所以r １＝|A B |． | s i n α ２s i n α在△C M N 中 M N | ＝２r ２,所以r ２＝|M N |, ７分 s i n (π－α) １６y ２(x －４)２２s i n αS ２ πr ２ |M N |２ (x ２－４)２y ２(x －４)２S ＝π ２＝ A B | ＝ ０＝ ０ ０．＝３(４－ ), S ２＝ ３(４－x ２)(x －４)２ ＝３ ４－x ０ ２ ９ ◇４０S １(x ２－４)２ ４ ４－x ２ 令t ＝４－x ０,而－２＜x ０＜２,所以２＜t ＜６．S ２ ＝３ t ２ ＝３ t ２＝３１S １ ４ ４－(t －４)２ ４ －t ２＋８t －１２ ４ ⎛１ ⎫２⎛１ ⎫－１２ ÷ ＋８ ÷ －１＝３１ ２· １１分４⎛１ １ ⎫ １ －１２ t －３ ÷ ＋３所以t ＝３,即x ０＝１时,S ２ 取得最小值,最小值为９． １２分 S １ ４２０ 【 】 、 、 , 的数据处理能力、数学建模能力和数学运算能力．【解析】(１)A 类学生有:(０．００１２５×８０＋０．００２５×４０)×１００＝２０人, １分B 类学生有:０．００６２５×８０×１００＝５０人,２分 C 类学生有:(０．００５×４０＋０．００２５×４０)×１００＝３０人．�� ３分 (２)A ∶B ∶C ＝２０∶５０∶３０＝２∶５∶３,故从A 类中抽２人,B 类中抽５人,C 类中抽３人． ４分设邀请的三人中是C 类的学生人数为X ,则 X 可取０,１,２,３． P (X ) C ３ ７ ,P (X ＝１)＝C １C ２ ＝２１,P (X ＝２)＝C ２C １ ＝ ７ ,P (X) C ３ １ ． �� ６分 ＝０ ＝ ７ ＝２４ ３ ７ ３ ７ ４０ ４０ ＝３ ＝ ３＝１２０ ３ ３ １０ １０,３１０ ( ) ７ ３ １０２１ ７ １ ９ 所以X 的分布列为 所以E X ＝０×２４＋１×４０＋２×４０＋３×１２０＝１０． ７分(３)学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为 (C ３０)２, ８分当ξ＝k 时,由韦恩图可知,只参加语文辅导的人数为k －３０, 只参加数学辅导的人数为k －３０,语文和数学都参加辅导的人数为６０－k ．９分事件{＝k }所包含的基本事件的总数为C ３０C k －３０C k －３０, ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ０分X ０ １ C２ ３ P７ ２４ ２１ ４０ ７ ４０ １ １２０理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)C ５０ 当x ∈ ,π ,T ′(x )＞０,T (x ) , ２＋c o s x ２＋c o s x ３⎢⎫ ξ ５０ ３０ ２０ ３０ ２０ 最大． ５０π ２ ⎝ ⎭P (＝k )＝C ３０C k －３０C k －３０ ＝C k －３０C k －３０１０ (C ３０)２ ３０ P (ξ＝k )≥P (ξ＝k ＋１), P (ξ＝k )≥P (ξ＝k －１), C k －３０C k －３０≥C k －２９C k －２９,⇒ (k －２９)２≥(６０－k )(５０－k ),⇒４１２７≤ ≤４２２７ １１ 所以{３０ ２０ ３０ ２０{(６１－k )(５１－k )≥(k －３０)２ ５２ k ５２． 分C k －３０C k －３０≥C k －３１Ck －３１又因为k ∈N ∗ ,所以k ＝４２． １２分 ２１．【命题意图】主要考查函数的单调性和极值,函数导数的综合应用,考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力,考查化归与转化思想和分类讨论思想．【解析】(１)a ＝１,f (x )＝x －s i n x ＋１x c o s x ,x ∈(０,π),f ′(x )＝１－１c o s x －１x s i n x ． １分４ ２ ２２令T (x )＝１－１c o s x －１x s i n x ,T ′(x )＝－１x c o s x ．�� ２分 ２ ２ ２⎛ π⎫当x ∈ ０, ÷ 时,T ′(x )＜０,T (x )单调递减, ⎝ ２ ⎭ ⎛ ⎫÷ 时单调递增 ⎝ ⎭⎛π⎫ π ⎛π⎫T (x )的最小值为T ÷ ＝１－４＞０,所以T (x )≥T ÷ ＞０,即f ′(x )＞０, ４分⎝２ ⎭ ⎝２ ⎭所以f (x )在(０,π)上单调递增,所以f (x )＜f (π)＝π－０－ π＝π,故f (x )＜ π． ５分 ２ ２２(２)f (x )≥０⇔２a x (２＋c o s x )－s i n x ≥０⇔２a x － s i n x≥０． 令g (x )＝２a x － s i n x,x ≥０,６分 g ′(x )＝２a － ２c o s x ＋１２ ．�� ７分 (２＋c o s x ) ( )令t ＝c o s x ,h (t )＝ ２t ＋１２ ,t ∈[－１,１],h ′(t )＝２１－t ≥０,所以h (t )在[－１,１]上单调递增, (２＋t ) (２＋t )３所以h (－１)≤h (t )≤h (１),即－１≤h (t )≤１．�� ８分 ①当２a ≥１,即a ≥１时,g ′(x )≥０,g (x )在[０,＋∞)上单调递增,所以g (x )≥g (０)＝０满足条件． ９分 ３ ６⎛π⎫１ ②当２a ≤０,即a ≤０时,g ÷ ＝πa －２＜０,显然不满足条件． １０分 ⎝２ ⎭１ １ ⎛ π⎫s i n x ③当０＜２a ＜３,即０＜a ＜６时,若x ∈ ０,２÷ ,g (x )＜２a x － ３ , ⎝ ⎭１ ⎛ π⎫１ １ 令φ(x )＝２a x －３s i n x ,x ∈ ０,２ ÷ ,φ′(x )＝２a －３c o s x ＝３(６a －c o s x ),６a ∈(０,１), 故存在x ０,使x ∈(０,x ０)时,φ′(x )＜０,即φ(x )在(０,x ０)上单调递减,所以φ(x )＜φ(０)＝０, 即x ∈(０,x ０),g (x )＜φ(x )＜０,故不满足条件． １１分 综上,a 的取值范围是 ⎡１,＋∞ ÷ ． １２分 【 】 ⎣６ ⎭ , 、 ２２．命题意图 主要考查圆与椭圆的参数方程和椭圆的极坐标方程 考查考生的数形结合能力 化归转化能力和运算求解能力．２０３０２０３０所以 则{分理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)⎝３【解析】(１)曲线C １:x ２＋(y －２)２＝２１c o s ２θ＋２１s i n ２θ,即x ２＋(y －２)２＝７．�� ２分 ９ ９ ３曲线C ２:５ρ２－３ρ２c o s ２α＝８,即５ρ２－３ρ２(co s ２α－s i n ２α)＝８, 所以５(x ２＋y ２)－３(x ２－y ２)＝８,即x ２ ＋y ２＝１．５分 (２)设Q (２c o s α,s i n α),C １(０,２)． ４|C １Q |２＝(２c o s α－０)２＋(s i n α－２)２＝４－４s i n ２α＋s i n ２α－４s i n α＋４ ２⎛ ２ ⎫２２８＝－３s i n α－４s i n α＋８＝－３ s i n α＋３ ⎭ ＋ ３ ． ８分 当s i n α＝－２时,|C １Q |m a x ＝２８＝２ ２１, ９分 ３ ３ ３ 所以|P Q |m a x ＝２ ２１＋ ２１＝ ２１．即|P Q |的最大值为 ２１． �� １０分 ２３ 【】 ３ ３ , ．命题意图 主要考查利用综合法和基本不等式求最值以及证明不等式 考查考生的推理论证能力和运算求解能力． 【解析】(１)因为a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝１,所以a １b＋c １＝a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝１＋ c ＋a ＋b ＋１≥２＋２ c a ＋b ＝４． ＋ a ＋b c a ＋b c a ＋b c 当且仅当a ＋b ＝c 时取“＝”,所以a １b ＋c １的最小值为４．�� ６分 ＋ (２)４＋ ４＋ ４＝１(４＋ ４＋ ４＋ ４＋ ４)≥１(２ ２ ２＋２ ２ ２＋２ ２ ２) a b c ２ a b b c ４＋a c ２a b b c ac ．当且仅当a ＝b ＝c ＝１时等号成立．�� ７分 ３１( ２ ２２ ２１２ ２ ２ ２ ２ ２２ ２２ ２２ ２２ ２a b ＋２b c ＋２a ２c ２)＝２(a b ＋b c ＋a b ＋ac ＋b c ＋ac )≥１(２a b ２c ＋２a ２b c ＋２a b c ２)＝a b c (b ＋a ＋c )＝a b c ． ２＝ ＝ ＝１８当且仅当a b c ３时等号成立．分所以a ４＋b ４＋c ４≥a b c ．当且仅当a ＝b ＝c ＝１时等号成立． �� １０分÷。
2020届湖北省华大新高考联盟高三4月教学质量检测试卷理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以；因为所以,选B.2. 设复数满足，则（）A. 2B.C.D. 1【答案】C【解析】因为，所以因此选C.3. ①只有甲参加，乙和丙才会在一起吃饭；②甲只到自己家附件的餐馆吃饭，那里距市中心有几公里远；③只有乙参加，丁才会去餐馆吃饭.若以上叙述都正确，则下列论断也一定正确的是（）A. 甲不会与丁一起在餐馆吃饭B. 丙不会与甲、丁一起在餐馆吃饭C. 乙不会在市中心吃饭D. 丙和丁不会一起在市中心吃饭【答案】D【解析】若甲与丁一起在餐馆吃饭，则甲乙丙丁都在餐馆吃饭.这种情况可以发生；若丙与甲、丁一起在餐馆吃饭，则甲乙丙丁都在餐馆吃饭.这种情况可以发生；若乙在市中心吃饭，则甲不在市中心吃饭，丙不在市中心吃饭，这种情况可以发生；4. 在某校高三年级的高考全真模拟考试中，所有学生考试成绩的取值(单位:分)是服从正态分布的随机变量，模拟“重点控制线”为490分（490分及490分以上都是重点），若随机抽取该校一名高三考生，则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为（）(附：若随机变量服从正态分布，则，，)A. 0.6826B. 0.6587C. 0.8413D. 0.3413【答案】C【解析】因为，所以，即,选C.5. 秦久韶算法是中国古代数学史上的—个“神机妙算”，它将一元次多项式转化为个一次式的算法，大大简化了计算过程，即使在现代用计算机解决多项式求值问题时，秦久韶算法依然是最优的算法.如图所示的程序框图展示了求值的秦久韶算法，那么判断框可以填入的条件的输出的结果表示的值分别是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以选A.6. 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.7. 函数的大致图像有可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，,所以去掉B,C;因为,所以去掉D，选A.8. 锐角的外接圆半径为1，,，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为因为，所以即，因此或，或，因为，所以，即，选C.9. 展开式中除—次项外的各项系数的和为（）A. 121B.C. 61D.【答案】B【解析】因为展开式中—次项系数为所以展开式中除—次项外的各项系数的和为，选B.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.10. 已知以双曲线的右焦点为圆心，以为半径的圆与直线交于两点，若，求双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】因为右焦点到直线的距离为，所以,选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11. 将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点在函数的图象上，则（）A. 的最小值为B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为【答案】A【解析】因为，所以或因此或即的最小值为，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.12. 若，函数有两个极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为为两根，因此，从而令，解得，故当时，；当时，；因此的取值范围为，选A.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若是夹角为的单位向量，向量，且，则__________．（用弧度制表示）【答案】【解析】因为所以14. 设满足约束条件，则的取值范围为__________．（用区间表示）【答案】【解析】作可行域，则直线过点A(1,0)时取最大值3，过点B(0,1)时取最小值-2，因此的取值范围为.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知二面角的大小为，点，点在内的正投影为点，过点作，垂足为点，点，点，且四边形满足.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________．【答案】【解析】因为，所以四点共圆，直径为AC.因为PA垂直平面，，所以由三垂线定理得，即为二面角的平面角，即设球的半径为R，则点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16. 设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，与抛物线准线交于点，若，则AF=__________．【答案】2【解析】设，则由得，由得，所以（舍去负值），因此.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）10【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.试题解析：（1）由知：，两式相减得: ，即，又数列为单调递增数列，，∴，∴，又当时，，即，解得或 (舍），符合，∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值为10.18. 如图，四棱锥中，为等边三角形，，平面平面，点为的中点，连接.（1）求证:平面PEC平面EBC；（2）若，且二面角的平面角为，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）设为中点，先由等边三角形性质得根据面面垂直性质定理得平面，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，由向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补得方程，解得实数的值.试题解析：（1）证明：∵为等边三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，而平面，∴平面平面.（2）如图，在平面中，作交于点.易知，以分别为轴建立空间直角坐标系.设，则，∴，，易知，平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，即不妨令，解得，由题知：，解得.19. 随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相，冬奥会正式进入了北京周期，全社会对冬奥会的热情空前高涨.（1）为迎接冬奥会，某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及，并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数（单位：人）与时间（单位：年），列表如下：依据表格给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据.（2）某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者，特推出两种促销方案.方案一:每满600元可减100元；方案二:金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. v两位顾客都购买了1050元的产品，并且都选择第二种优惠方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求均值，再代入公式得r，最后与参考数据比较即可作出判断，（2）①可以根据对立事件概率关系求解，即先求顾客没有中奖概率，再用1减即得结果，②先确定方案二中随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望，比较与方案一数值即可作出判断.试题解析：（1）由题知，，，，∴.∴与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件，则，故所求概率为.②若选择方案一，则需付款元，若选择方案二，设付款元，则可能取值为700,800,900，1000.；；；.∴元，∵，∴选择方案二更划算.20. 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点.（1）若，且点所在直线方程为，求的值；（2）若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并廷长交椭圆于点，求的值.【答案】(1) ；（2）【解析】试题分析：（1）设，由得，化简得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得的值；（2）根据条件得，设，则得点,代入椭圆方程，利用，，以及由直线斜率之积为，得，代入化简可得的值.试题解析：（1）由题知，∴，∴椭圆的方程为.设，将直线代入椭圆方程得:，∴由韦达定理知:.∵，∴，即，将代入得，即，解得，又∵，∴.（2）设，，由题知，∴，∴.又∵，∴，即.∵点在椭圆上，∴，即.∵在椭圆上，∴，① ，②又直线斜率之积为，∴，即，③将①②③代入得，解得.21. 已知函数.（1）若，证明:；（2）若只有一个极值点，求的取值范围，并证明:.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）构造函数利用导数易得，即证得结论，（2）研究导函数零点，先求导数，再根据导函数零点，根据a的正负分类讨论：当时，单调，再根据零点存在定理得有且仅有一个零点；当时，先增后减，再根据零点存在定理得有且仅有两个零点；最后研究极值点函数值范围：继续利用导数研究函数单调性，根据单调性确定取值范围.试题解析：（1）∵，∴要证，即证.设，令得，且，单调递増；，单调递减，∴，即成立，也即.（2）设，.①当时，令得;.，单调递増；，单调递减.若，恒成立，无极值；若，即，∴.∵，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.∵，下证：当，.令，∴.当时，单调递増；当时，单调递减，∴当时，，∴当时，，即，由根的存在性定理知，在上必有一根.此时在上有两个极值点，故不符合题意.②当时，恒成立，单调递增，当时，；当时，，下证：当时，.令，∵在上单调递减，∴，∴当时，，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.即有唯一的零点，只有一个极值点，且，满足题意.∴.由题知，又，∴，∴.设，，当，单调递减，∴，∴成立.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线和曲线. （1）判断射线和曲线公共点的个数；（2）若射线与曲线交于两点，且满足，求实数的值.【答案】（1）一个；（2）2【解析】试题分析：（1）根据三角函数平方关系得曲线直角坐标方程，根据将射线极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直线与圆联立方程组解交点，即得个数，（2）将代入曲线的方程，并由韦达定理得，再由得，解得实数的值.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，以为半径的圆，其直角坐标方程为：，联立解得，直线与曲线有一个公共点.（2）将代入曲线的方程得:，即，由题知，解得.设方程两根分别为，则由韦达定理知: ，由知，即，∴.23. 已知，函数的最小值为3.（1）求的值；（2）若,且，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式得最小值为，再解方程可得的值；（2）代入化简不等式右边得,再根据作差法可得，即可证得结果. 试题解析：（1）由知：，解得或（舍）. （2）由（1）知，又，∴，同理，，∴.。
绝密★启用前全国大联考2020届高三毕业班下学期4月联合质量检测数学(理)试题(解析版)2020年4月注意事项：1.考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置.2.考试时间120分钟，满分150分.3.本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料.4.考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布.5.本卷考查内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.不等式110x ->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x > B. 1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -≤≤或1x >【答案】A【解析】【分析】 求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x ->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意.故选：A【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2.复数12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）B. 3C. 5【答案】C【解析】【分析】 根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解.【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.3.已知随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=，则()3P X ≥=（ ） A. 0.64B. 0.32C. 0.36D. 0.72 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=， 则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B【点睛】此题考查根据正态分布密度曲线性质求解概率，关键在于熟练掌握正态分布密度曲线的相关性质，结合对称性求解.。
2020高考全国卷4月联考数学(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足1(ii i z-=-为虚数单位),则2z=()A.1+ iB.1-iC.2iD. -2i2.已知集合A=2{|13},{|2940},x x B y y y-≤<=-+≤则A∩B=()A.{x|-1≤x≤4}1.{|3}2B x x≤< C.{x|-1≤x<3} D.∅3.实数x,y满足不等式组1,22,22,x yx yx y+≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥-⎩则目标函数z=2x+ y的最大值为()A.3B.4C.5D.64.三只小松鼠小芳、小松和点点住在同一-棵大松树上,一天它们在一起玩智力游戏.小芳说:今天我们三个有的吃了松子;小松说:今天我们三个有的没吃松子;点点说:今天我没吃松子.已知它们三个中只有一个说的是真的，则以下判断正确的是()A.全吃了B.全没吃C.有的吃了D.有的没吃5.已知3sin(15),5α︒+=则cos(30)α︒-=()72.A2.B-72.C272.D2-6.已知函数||sin()xxf xe=,则函数y= f(x)的大致图象是7.志愿者团队安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序,一位志愿者说:不能先去甲，甲的困难户最多;另一位志愿者说:不能最后去丁，丁离得最远.他们总共有多少种不同的安排方法( )A.14B.12C.24D.288.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A 0,0,||)2πωϕ>>≤离原点最近的对称轴为0,x x =若满足0||,6x π≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y = 2sin(2x -φ )是"近轴函数" ,则φ的取值范围是( )[,]62A ππ⋅ .[,]26B ππ-- .[,][,]2662C ππππ--⋃ .[,0][0,]66D ππ-⋃ 9.北宋徽宗在崇宁年间(1102年一1106 年)铸造崇宁通宝钱,因为崇宁通宝版别多样、铜质细腻、铸工精良,钱文为宋徽宗亲笔书写的“瘦金体”，所以后人写诗赞美日:“风流天子书崇观，铁线银钩字字端”.崇宁通宝被称为我国钱币铸造史上的一个巅峰铜钱直径3.5厘米,中间穿口为边长为0.9厘米的正方形.用一根细线把铜钱悬挂在树枝上,假定某位射手可以射中铜钱，但是射在什么位置是随机的(箭头的大小不计).这位射手射中穿口的概率最接近()1.6A 1.8B 1.10C 1.12D第9题图 第10题图 10.已知四棱锥S- ABCD 的底面是等腰梯形,AB// CD,AD= DC= BC= 1,AB =SA=2,且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S - ABCD 的外接球的体积为( )A.8π 82.3B π .82C π 2.3D π 11.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线20x -=与椭圆E 交于点P,与直线2(a x c c ==22a b -)交于点Q,O 为坐标原点,且2,OQ OP =u u u r u u r 则椭圆E 的离心率为() 1.2A 1.4B 3C 3D12.已知函数32()3f x x ax ax b =+++的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y= -12x+ m,若函数f(x)至少有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A.( -5,27)B.[-5,27]C.(-1,3]D.[-1,3] 二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数2,0,()(2),0,x e x f x f x x ⎧+≤=⎨->⎩则f(2020)=____14.已知点O 为坐标原点,向量(1,2),(,),OA OB x y ==u u u r u u u r 且10,OA OB ⋅=u u u r u u u r ||OB uuu r 的最小值____15.已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.满足2230,a c b ABC -+=V 的面积S =且A= 60°,则△ABC 的周长为____ 16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1212,,||10.F F F F =P 为双曲线右支上的一点,直线1PF 交y 轴于点M,交双曲线C 的一条渐近线于点N,且M 是1PF 的中点MN =u u u u r 2,NP uuu r 则双曲线C 的标准方程为____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 满足242n n n S a a =+.等比数列{}n b 满足1122,.a b a b ==( I )求数列{}n a 与数列{n b }的通项公式;(II )若,n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和.n T18.(12分)如图,已知四棱锥S- ABCD 的底面ABCD 为直角梯形,AB// CD,AD ⊥CD,且AB= AD= 1, SC=2,SD CD SA ===E 为SC 的中点.( I )求证: BE//平面SAD;(II)求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角的正弦值.19.(12分)已知抛物线2:2(0)C x py p =>与直线l:y= kx+2交于A,B 两点,O 为坐标原点.当k= 1时,OA ⊥OB. ( I )求抛物线C 的标准方程;(II)点F 为抛物线C 的焦点,求△FAB 面积的最小值.20.(12分) 已知函数2()2(1)1x e x e f x x e x e--=+-++ (I)求函数f(x)的单调区间; (II)设函数2ln(1)()()2(1)1x F x f x x e x m x -=-++++-,若F(x)≤0对任意x> 1恒成立,求实数m 的取值范围.21.(12分)2019年6月6日,中国商务部正式下发5G 商用牌照,中国正式进入5G 商用元年.在5G 基站的建设中对零部件的要求非常严格,一次质检人员发现有1个次品部件混入了5个正品部件中.从外观看这6个部件是完全一-样的,5 个正品部件一样重,1 个次品部件略轻一些现有两个方案通过用电子秤称重的办法把次品部件挑出来.A 方案:逐一称重，称重一次不能确定是否是次品部件,称重两次,若重量相同则都是正品部件如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重.依次进行,直到挑出次品部件. B 方案:把6个部件任意分成3组,每组2个，然后称重.(I)分析A,B两个方案,分别求出恰好称重3次挑出次品部件的概率;(II)如果称重一次需要2分钟,试比较A, B两个方案哪一个用时更少,并说明原因.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系x0y中,已知直线l的参数方程为1cos1sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩(α∈R,t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0.( I )求曲线C的直角坐标方程;(II)若曲线C上的点到直线l1,求tanα的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)= |x+a| +|x-1|.( I )当a=2时,解关于x的不等式f(x)- x≥8;(II )若关于x的不等式f(x)≤|x-5|在[0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.。
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试全国I 卷 理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足z －1＋i ＝2i ＋1，则|z|＝ A.5 B.2 C.3 D.32.已知集合A ＝{2a －1，a 2，0}，B ＝{1－a ，a －5，9}，且A ∩B ＝{9}，则A.A ＝{9，25，0}B.A ＝{5，9，0}C.A ＝{－7，9，0}D.A ∪B ＝{－7，9，0，25，－4}3.已知向量a ＝(x 2－2x ，1)，b ＝(1，－3)，则“－1<x<3”是“a ，b 的夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.将函数y ＝2sin(2x ＋4π)的图象向右平移4π个单位长度，所得函数 A.在区间(－38π，8π)上单调递增 B.在区间(－58π，－8π)上单调递减 C.以x ＝8π为一条对称轴 D.以(38π，0)为一个对称中心 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A.83πB.8πC.163π D.12π 6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是A.13B.12C.25D.34 7.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 8.在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数y ＝33|x|图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线x 2－3y 2＋3＝0上，则△OAB 的面积为A.2B.3C.32D.339.一只蚂蚁从正四面体A －BCD 的顶点A 点出发，沿着正四面体A －BCD 的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为A.2027B.79C.727D.2910.在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ＝2CD ，BC 3，则∠ADB 的最大值为A.4πB.3πC.2π D.23π 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”。
