高三年级理数试卷

高三理科数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=\(\frac{1}{x}\)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A. -5B. 5C. 13D. -133. 已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>0，b>0，若该双曲线的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，则该双曲线的离心率为（）A. \(\sqrt{2}\)B. \(\sqrt{3}\)C. \(\sqrt{5}\)D. 24. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间(1,2)内有零点，则零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）A. 63B. 77C. 84D. 1266. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l过点(1,2)且与直线y=-2x 平行，则直线l的方程为（）A. y=-2x+4B. y=-2x+3C. y=2x-1D. y=2x+17. 已知函数f(x)=\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则该函数的值域为（）A. (0,+∞)B. (-∞,+∞)C. [0,+∞)D. R8. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若直线l与抛物线C相切，则直线l的斜率的取值范围为（）A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. R9. 已知椭圆E的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，若椭圆E的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则椭圆E 的短轴长为（）A. \(\sqrt{2}\)B. 1C. 2D. \(\sqrt{3}\)10. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为（）A. \(\frac{7}{20}\)B. \(\frac{7}{15}\)C. \(\frac{7}{12}\)D. \(\frac{7}{10}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为\(\frac{7}{20}\)。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）。

A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 下列函数中，是奇函数的是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + 13. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）。

A. 27B. 28C. 29D. 304. 若等比数列{bn}中，b1 = 2，b3 = 8，则公比q的值为（）。

A. 2B. 4C. 8D. 165. 下列命题中，正确的是（）。

A. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上无定义B. 函数y = e^x的图像在第一象限内单调递减C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = tan(x)的图像在y轴上无定义6. 已知直线l的方程为2x - y + 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)构成三角形ABC，则三角形ABC的面积S为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。

A. 6B. 8C. 10D. 129. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则前n项和Sn的表达式为（）。

A. Sn = n^2 + 2nB. Sn = n^2 + 3nC. Sn = n^2 + 4nD. Sn = n^2 + 5n10. 已知等比数列{bn}中，b1 = 3，b3 = 27，则前n项和Tn的表达式为（）。

A. Tn = 3^nB. Tn = 3^(n+1)C. Tn = 3^(n-1)D. Tn = 3^(n-2)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的取值范围是__________。

理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。

陕西省安康市2023—2024学年高三年级第三次质量联考理科数学试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设()2341i i i i z +=++，则z =（）A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22--D ．11i 22-+2．集合{M x y ==，{N y y ==，则下列选项正确的是（）A ．M N =RB ．M N N= C ．M N N= D ．M N =∅3．已知函数()1f x x =-，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()()10121013f a f a =，则2024S =（）A ．1012B ．2024C ．3036D ．40484．若实数x ，y 满足约束条件15117x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．0B ．2C ．9D ．115．甲、乙、丙三人被随机的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中的一天值班．则甲、乙被安排在同一天值班的概率为（）A ．16B ．14C ．13D ．126．在ABC △中，M 是AB 的中点，3AN NC = ，CM 与BN 相交于点P ，则AP =（）A ．3155AB AC+B ．1355AB AC+C ．1324AB AC+D ．3142AB AC+7．已知tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．7210-B ．210-C ．210D ．72108．侧棱长与底面边长均为a 的正三棱柱的外接球的表面积为84π，则a =（）A ．12B ．8C ．6D ．49．已知直线l 与椭圆2213y x +=在第四象限交于A 、B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于C 、D 两点，若AC BD =，则l 的倾斜角是（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π1210．已知()72345670123456712x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则012345672345678a a a a a a a a +++++++=（）A ．－15B ．－6C ．6D ．1511．若直线y ax b =+是曲线e xy =的一条切线，则b =（）A ．()1ln a a +B ．()1ln a a -C ．()1e aa +D ．()1e aa -12．已知直线1l ：()30mx y m m --+=∈R 与直线2l ：()50x my m m +--=∈R 相交于点P ，则P 到直线270x y ++=的距离的取值集合是（）A ．B ．C ．⎡⎣D ．(二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个对称中心为()1,0的奇函数()f x =______．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a S =+，则79a S +=______．15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，位于第一象限的点P 在C 上，O 为坐标原点，且满足PO PF =，则OPF △外接圆的半径为______．16．已知函数()ln sin f x x ax x =++，()12,0,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()21211f x f x x x ->-，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT 走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面．百度的文心一言、阿里的通义千问、华为的盘古、腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如荼的发布上线．现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元．后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半．（1）完成如下用户类别与购买意向的2×2列联表；购买6元购买24元总计个人用户公司用户总计（2）能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d +++-+=临界值表如下：()20P K k ≥0.100.050.0250.010.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）在三边均不相等的ABC △中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若()()2222sin sin sin sin a A C b B C -=-．点D 在线段AB 上，且CD 平分角C ．（1）求C ；（2）若3a =，5b =，求CD 的长度．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP ⊥，CD DP ⊥，2PA =，点E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面AEF 与平面PAB 夹角的余弦值．20．（12分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于．（1）求该双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且坐标原点O 在以PQ 为直径的圆上，求PQ 的最小值．21．（12分）已知函数()e cos xf x ax b x =+-．（1）当0b =时，求()f x 的单调区间；（2）当()20a f ='且1b =时，讨论()f x 在R 上的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系x Oy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 34ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为()21121x t t y t ⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数）．（1）分别求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，过线段AB 的中点Q 作x 轴的平行线交C 于一点P ，求点P 的横坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()124f x x x =+++．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若a ，b ，c 为正实数，且()()()27f a f b f c ++=，求149a b c++的最小值．参考答案一、选择题1.D解析：由条件可得()()i i z i -=+-+-=+111，∴()()()()221211111i i i i i i i i z --=--=-+--=+-=，则221iz +-=.2.A 解析：由条件可得{}1≤=x x M ，{}0≥=y y N ，∴R N M = .3.B 解析：由题可知函数()x f 的图象关于直线1=x 对称，∴121013102=+a a ，∴21013102=+a a ，又()()2024220242202410131012202412024=+=+=a a a a S .4.D解析：由约束条件画出可行域，目标函数y x z -=2，化为斜截式方程得z x y -=2，联立⎩⎨⎧=+=+7115y x y x 得⎩⎨⎧==16y x ，即()1,6C .由题可知，当直线z x y -=2过点C 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最大.即最大值11162=-⨯=z .5.C 解析：由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人.分别安排在周六、日值班共有6种情况，甲、乙倍安排在一天有2中情况，∴甲、乙被安排在同一天的概率为3162=.6.B 解析：设AC AB AP μλ+=，由M 是AB 的中点，得AM AB 2=，由NC AN 3=，得AN AC 34=.∴AC AM AP μλ+=2，且AN AB AP μλ34+=.由CM 与BN 相交于点P 可知，点P 在线段CM 上，也在线段BN 上，由三点共线的条件可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+13412μλμλ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5351μλ，∴AC AB AP 5351+=.7.A 解析：由24tan tan 14tantan 4tan =+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθπθπθ，解得3tan -=θ，∴531tan tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin 222-=+=+==θθθθθθθθθ，54tan 1tan 1sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222-=+-=+-=-=θθθθθθθθθ，∴10272cos 222sin 2242sin -=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθπθ.8.C 解析：由球的表面积公式ππ8442==R S ，解得外接球半径21=R .∵点三角形是边长为a 的等边三角形，∴三角形的外接圆半径为a a 3332321=⨯⨯，又正三棱柱的外接球的特点可得，2222321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a R ，解得6=a 9.C 解析：由BD AC =可得线段AB 的中点，也是线段CD 的中点，设()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点坐标为()00,y x M ，则()()002,0,0,2y D x C ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x .又点A,B 在椭圆上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+131322222121x y x y ，两式相减可得0322212221=-+-x x y y ，即()()()()321212121-=-+-+x x x x y y y y ，∴321212121-=--⋅++x x y y x x y y ，∴32200-=⋅AB k x y ，即300-=⋅AB k x y .又因为A,B,C,D 四点共线，∴00002002x yx y k k CD AB -=--==，综上可得3±=AB k ，由A,B 在第四象限得0>AB k ，即3=AB k ，∴直线的倾斜角为3π.10.A 解析：令()8732210x a x a x a x a x f ++++= ，即()()721x x x f -=，对函数()x f 求导可得，()772210832x a x a x a a x f ++++=' ，且()()()()22172167-⋅-⋅+-='x x x x f ，∴()()()()151412*********77210-=--=-⋅-⋅+-='=++++f a a a a .11.B 解析：设切点坐标为()00,y x Q ，则切点在直线上，也在曲线上，∴⎩⎨⎧=+=000x e y bax y ，又切线斜率()00x x x xe ek ='==，且a k =，∴0x e a =，a x ln 0=，代入可得()a a a a a ax e ax y b x ln 1ln 0000-=-=-=-=.12.D解析：由两直线垂直的判断条件02121=+B B A A ，可知()011=⋅-+⋅m m ，∴直线1l 与2l 始终垂直，又由条件可得直线1l 恒过定点()3,1M ，直线2l 恒过定点()1,5N ，∴两直线的交点P 是在以线段MN 为直径的圆上，∴该圆的圆心坐标为()2,3，半径为5，但需挖去点()1,1，此点()1,1是过定点()3,1M 且斜率不存在的直线与过定点()1,5N 且斜率为0的直线的交点，故点P 到直线072=++y x 的距离的最大值与最小值可转化为圆心()2,3到直线072=++y x 的距离53再加减半径5，又需要去掉点()1,1到直线072=++y x 的距离为52，∴取值集合是(]5452，.二、填空题13.xπsin 解析：∵奇函数关于原点对称，且此函数又关于点()0,1对称，∴此函数可类比于正弦函数，∵正弦函数x y sin =是奇函数，且关于点()0，π对称，∴可联想到()x x f πsin =.14.4-解析：当1=n 时，2211+=S a ，解得21-=a .当2≥n 时，22+=n n S a ，2211+=--n n S a ，两式相减得1--=n n a a ，∵021≠-=a ，∴01≠-n a ，∴11-=-n na a ，∴数列{}n a 是首项为2-，公比为1-的等比数列，∴()()112--⋅-=n n a ，即数列{}n a 是，，，，， 2,22,222---故27-=a ，29-=S ，∴497-=+S a .15.1629解析：由题可得()01，F ，由PF PO =，可得点P 的横坐标为21，∴⎪⎭⎫⎝⎛2,21P ，∴23121=+==PF PO ，322232sin ==∠POF ,设OPF ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得82924932223sin 2===∠=POFPF R ，∴外接圆的半径1629=R .16.[)∞+，2解析：由()2121,,0,x x x x ≠+∞∈∀，不妨设21x x <，则012>-x x ，∴()()11212>--x x x f x f ，可变形化简为()()2211x x f x x f -<-，构造函数()()x x f x g -=，则()()21x g x g <，∴()x g 在()∞+，0上是单调递增函数，∴()()01cos 11≥-++=-'='x a xx f x g 恒成立，即1cos 1+⎪⎭⎫⎝⎛+-≥x x a 在()∞+∈，0x 上恒成立，当0>x 时，[]1,1cos ,01-∈>x x ，又+∞→x 时，01→x ，而[]1,1cos -∈x ，∴1cos 1->+x x，∴21cos 1<+⎪⎭⎫⎝⎛+-x x ，∴a 的取值范围为[)∞+，2.三、解答题17.解：（1）设购买24元的个人用户数为x ，则购买24元的公司用户数为20+x ，设购买6元的公司用户数为y ，则购买6元的个人用户数为y 2，则有⎩⎨⎧=+=+602140202y y x ，解得20,60==y x ，∴用户类别与购买意向22⨯列联表如下：（2）由（1）中22⨯列联表得∴有99.5%的把握认为用户类别与购买意向有关系.18.解：（1）由()()C B b C A a 2222sin sin sin sin -=-，得()()2222c bb c a a -=-，化简得()()0222=-++-cab b a b a ∵△ABC 三边均不相等，∴b a ≠，即0222=-++c ab b a .由余弦定理得212cos 222-=-+=ab c b a C ，在△ABC 中，由︒<<1800C ，得︒=120C .（2）在△ABC 中，49222=++=ab b a c ，故7=c 由A aC c sin sin =得14337120sin 2sin =︒=A ，易得141314331cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 在△ACD 中，︒=∠60ACD ，︒=∠+∠+∠180ACD A ADCC ，∴()73414332114132360sin sin =⨯+⨯=+︒=∠A DC .在ACD ∆中，由ADCbA CD ∠=sin sin ，得81573414335sin sin =⨯=∠⋅=ADC A b CD .19.解：（1）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴AB CB ⊥,又∵BP CB ⊥，B BP AB = ，⊂BP 平面ABP ，∴⊥CB 平面ABP ∵⊂P A 平面ABP ，∴P A CB ⊥，同理P A CD ⊥，又∵C CD CB = ，⊂CD CB ,平面ABCD ，∴⊥P A 平面ABCD （2）由（1）知⊥P A 平面ABCD ，即AP AD AB ,,两两相互垂直，如图，以点A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系.则()000，，A ,()002，，B ,()020，，D ,()200，，P ,()101，，E ,()110，，F ，()101，，=AE ,()110，，=AF .设平面AEF 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅011z y n AF z x n AE ，令1=x ，则1,1-==z y ，得()1,1,11-=n，由（1）知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0=BC ，∴平面AEF 与平面PAB夹角的余弦值是33cos ==.20.解：（1）由题意得2==ace ，32=b 又∵222b ac +=，解得2=a .∴双曲线方程为：112422=-y x .（2）∵以PQ 为直径的圆过坐标原点，∴OP ⊥OQ ，即0=⋅OQ OP .①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为n x =，设()t n P ,，()t n Q -,()0>t ，由0=⋅OQ OP 可得022=-t n ，又点P,Q 在双曲线上，代入可得112422=-t n ，解得6,622==t n .∴622==t PQ .②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为m kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=112422y x m kx y 整理得()()*01223222=----m kmx x k ，∵直线l 与双曲线交于P,Q 两点，∴032≠-k ，且判别式()()()()0124121234222222>+-=----=∆k m mkkm .设()()2211,,,y x Q y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-=+222122131232k m x x k km x x 由0=⋅OQ OP 得到：02121=+y y x x ，∴()()01221212=++++m x x km xx k，∴()032312122222=+-⋅--+⋅+m kkmkm k m k ，化简得6622+=k m .∴()()[]()6233842441222212212≥-+=-++=kk x x x xk PQ .当0=k 时上式取等号，其方程（*）有解.综上可得PQ 的最小值是62.21.解：（1）显然()x f 定义域为R ，由()ax e x f x +=得()a e x f x+='当0≥a 时，()0>'x f ，()x f 单调递增区间为()∞+∞-，，无减区间；当0<a 时，由()0>'x f 得()a x ->ln ，∴()x f 单调递增区间为()()∞+-，a ln ；由()0<'x f 得()a x -<ln ，∴()x f 单调递减区间为()()a -∞-ln ，.（2）由题可得函数()()x x f e x f x cos 02-'+=，∴()()x f e x f xsin 02+'+='.()()()0210sin 0200f f e f '+=+'+='，解得()10-='f .∴()x x e x f x cos 2--=.①当0≤x 时，有1sin ,1≤≤x e x ，∴()02sin ≤-+='x e x f x恒成立，∴()x f 在(]0，∞-上单调递减，()()00=≥f x f ，0是一个零点；②当0>x 时，()2sin -+='x e x f x，设()2sin -+=x e x g x ，则()0cos 1cos ≥+>+='x x e x g x恒成立，即()x f '在()∞+，0上单调递增.又()010<-='f ，()021sin 1>-+='e f ，根据零点存在定理可知，()1,01∈∃x ，使得()01='x f 当10x x <<时，()0<'x f ，∴()x f 在()1,0x 上单调递减；当1x x >时，()0>'x f ，∴()x f 在()∞+，1x 上单调递增又()0110=-=f ，∴()01<x f .∵()042cos 4222>->--=e e f ，根据零点存在定理可知()2,12x x ∈∃，使得()02=x f 综上所述，()x f 在R 上的零点个数为2.22.解：（1）由1-=t y 可得1+=y t ，代入()t t x -+=1212消去参数t ，可得C 的直角坐标方程为：xy 22=化简433sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπρ可得43sin 21cos 23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθρ，∴()23sin cos 3=-θθρ.将θρcos =x ，θρsin =y 代入l 的极坐标方程，可得l 的直角坐标方程为：0233=--y x .（2）曲线C ：x y 22=是抛物线，其焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21F ，准线21-=x ，直线AB ：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213x y ，恰好过抛物线的焦点由⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y x y 22132，消去y ，整理得0320122=+-x x ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则3521=+x x ，线段AB 的中点Q 的横坐标65221=+=x x x Q ，中点Q 的纵坐标33=Q y .过点Q 作x 的平行线交C 于一点P ，则点P 的纵坐标也等于33，∴点P 的横坐标为61.23.解：（1）()⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<≤-+-<--=+++=1,55312,32,53421x x x x x x x x x f ，()x f 在()2-∞-，上单调递减，在()∞+-，2上单调递增，∴()()12min =-=f x f ，即当2-=x 时，函数()x f 取得最小值（2）由（1）可得当x 为正实数时，()53+=x x f ，则由()()()27=++c f b f a f 可得：4=++c b a ，∴()cc b a b c b a a c b a c b a 494941++++++++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=494949444c b c a b c b b b a a c a b a ac b b c c a a c b a a b c b b c c a a c b a a b 4924942422749494449141⋅+⋅+⋅+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=9492169241227=+++=当且仅当c b b c c a a c b a a b 49,494,4===时，又4=++c b a ，即当2,34,32===c b a 时，等号成立.∴c b a 941++的最小值为9.。

2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） .1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、方程4220x x +-=的解是 。

2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。

3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。

6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。

7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。

（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。

10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则20101222010333a a a +++= 。

12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试高三 数学（理科）试题（时间：120分钟 满分：150分）9.关于函数()222cos 1f x x x =-+有下述四个结论，其中结论错误的是（ ）A ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线π3x =对称C ．()f x 的图象关于7π,024⎛⎫⎪对称D ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥上单调递增上，过点二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知等差数列{}n a 的前5项和535S =，且满足5113a a =，则等差数列{}n a 的公差为 ．三、解答题：本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x （单位：cm ）与树干最大直径偏差y （单位：mm ）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：树苗序号12345678高度偏差x201513325-10-18-直径偏差y 6.53.53.51.50.50.5- 2.5- 3.5-(1)若x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若这种树苗的平均高度为120cm ，树干最大直径平均为31.5mm ，试由（1）的结论预测高度为128cm 的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．参考数据：81324i i i x y ==∑，8211256i i x ==∑．参考公式：回归直线方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．18.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin B b A c α+=．(1)求角A 的大小；(2)若a =△ABC ，求b c +的值．19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）如图1所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．(1)若的中点为，求证：平面；(2)求二面角的正弦值．图121.（本小题满分12分）P ABCD -ABCD //,,CD AB AB BC PA PD ⊥⊥1,2BC CD PA PD AB =====PAD ⊥PBC PB N //CN PAD P AD B --（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为sinxyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πcos(4ρθ+=.(1)写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；(2)设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值以及此时P的直角坐标.23.（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲](1)作出函数()f x的图象，并求(2)若存在x，使得不等式西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试理科数学答案一.选择题（本大题共12小题，共60分）123456789101112AABDABCBCCDD二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)13.314.()2211x y -+=（答案不唯一，只要方程满足()()2220x a y a a -+=>即可）15.715-16.①③④三、解答题（本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题：共60分17.(1)证明：（1）20151332(5)(10)(18)582x +++++-+-+-==,56.5 3.5 3.5 1.50.5(0.5)(2.5)(3.5)988y +++++-+-+-==，（2分）1221593248128ˆ5412568()2ni i i nii x ynxy bxnx==--⨯⨯==-⨯-∑∑，9151ˆˆ8422a y bx =-=-=，（5分）故y 关于x 的线性回归方程为1142y x =+（6分）（2）当树干高度为128cm 时，高度偏差1281208x =-=(cm)，（8分）118 2.5(mm)42y =⨯+=，所以树干直径约为2.531.534(mm)+=，（11分）即预测高度为128cm 的这种树苗的树干最大直径为34毫米.（12分）18.（本小题满分12分）（1）由已知及正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，（2分）∵()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∵sin sin cos sin B A A B =，sin 0sin cos B A A≠∴= （4分）∵()0,πA ∈∴π4A =.（6分）（2）∵11sin 242ABC S bc A bc === ∴2bc =,（8分）又∵2222cos a b c bc A =+-∴()(222b c bc =+-,（10分）所以()24,2b c b c +=+=．（12分）19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）（2）如图，延长AD和BC⊥，垂足为点过点B作BM PQ因为：平面PAD ⊥平面PBC 所以：BM ⊥平面BDM ，因为：,,AD BD AD BM ⊥⊥所以：AD ⊥平面BDM ，所以：21.（本小题满分12分）（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做第一题计分22.（本小题满分10分）解：（1）由题意，在1sin :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）中，化为普通方程为2213yx +=（3分）在2π:cos()4C ρθ+=ππcos cos sin sin 244ρθρθ-=∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴2:40C x y --=.（5分）（2）由题意及（1）得，设点()sin P αα，则P 到直线40x y --=的距离为：d =，（8分）当且仅当πsin(13α-=，即ππ2π,Z 32k k α-=+∈，5π2π(Z)6k k α=+∈时，min PQ =，此时13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（10分）23.（本小题满分10分）由()f x 的图象可知()f x 的值域为（2）由()0f x =，解得12x =由40-=x a ，解得4a x =.y =若存在x，使得不等式()f x≥则由图象可知，1224≤≤a，解得求实数a的取值范围[]28,.。

长安区2024届高三第一次联考数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}{2log 20,A x x B x y =-≤==，则A B ⋃=（）A.[)1,2- B.[]1,2 C.[)1,-+∞ D.[)1,22.已知函数3log ,0()9,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1((2=f f （）A.14B.12C.22D.23.著名的欧拉公式是i e cos x x isinx =+，则3i e 在复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知向量()1,0a = ，()4,b m =，若2a b - 不超过3，则m 的取值范围为（）A.⎡⎣B.⎡⎣C.[]3,3- D.[]5,5-5.某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如右图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（）A.减负后完成作业的时间的标准差减少25B.减负后完成作业的时间的方差减少25C.减负后完成作业的时间在60分钟以上的概率为12%D.减负后完成作业的时间的中位数为256.等比数列{}n a 满足132410,20a a a a +=+=，则6S =（）A.30B.62C.126D.2547.已知()sin 2cos 5sin x x x ϕ-=+，则22sin sin cos 2cos ϕϕϕϕ--=（）A.15B.25C.35 D.458.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()4,1A -．若将军从山脚下的点()3,2B -处出发，河岸线所在直线方程为30x y -+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.2B.5 C.10 D.239.在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin c c A a C +=，3a =，32b c +=ABC 的面积为（）A.324B.334C.423D.43310.从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量积为0的概率为（）A.215B.415 C.35D.1211.已知函数()()2e e x xf x x -=+，若满足()3132log log 2e 0e f m f m ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,3 D.()3,+∞12.已知农历每月的第1t +天()029,t t ≤≤∈N 的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为2222212πcos 29x y r r t +=⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中r 为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（）①农历每月第()*130,d d d ≤≤∈N天和第30d -天的月相外边缘形状相同；②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r ；③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内．A.①③B.②④C.①②D.③④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为___________.14.若实数m 满足4220m m --=，则6m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______．15.一个正四棱柱底面边长为2，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为______.16.()e 1,01,0x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()1y f f x k =+-有两个零点，则k 的取值范围是______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.体育强则中国强，体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，根据图形，回答下列问题.（1）求m ；（2）估计这次体育知识竞赛成绩的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽出的200位学生中，若规定分数不低于80分的学生为获奖学生，已知这200名学生中男生与女生人数相同，男生中有20人获奖，请补充22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”男生女生合计获奖20未获奖合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++.()20P K k ≥0.050.0100.0050.0010k 3.8416.6357.87910.82818.图1所示的是等腰梯形π,//,3,1,,3ABCD AB CD AB CD ABC DE AB ==∠=⊥于E 点，现将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △的位置，连接,PB PC ，形成一个四棱锥P EBCD -，如图2所示．（1）若平面PCD 平面PBE l =，求证：//DC l ；（2）求证：平面PBE ⊥平面BCDE ；（3）若二面角P ED B --的大小为π3，求直线PD 与平面PBC 夹角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()23cos πna n nb a n =+⋅，求数列{}nb 的前n 项和nT .20.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，点P 为平面内一动点，线段PA 的中点为M ，点M 到y 轴的距离等于MA ，点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）已知点()2,4Q ，曲线C 上异于点Q 的两点E ，F 满足QE 与QF 斜率之和为4，求点Q 到直线EF 距离的最大值.21.已知函数()()e sin xf x a x =-．（1）当1a =时，求函数()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若不等式()()2ln 1sin f x x x x a x ++>-恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是πsin6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点E 为曲线C 上的任意一点，直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，求ABE 面积的最大值.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()365f x x x =+-+.（1）解不等式()1f x ≥；（2）设函数()f x 的最小值为m ，正数a 、b 、c 满足0a b c m +++=，证明：11132a b b c c a ++≥+++.长安区2024届高三第一次联考数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}{2log 20,A x x B x y =-≤==，则A B ⋃=（）A.[)1,2- B.[]1,2 C.[)1,-+∞ D.[)1,2【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的性质和二次根式的定义域求解集合，再求并集即可.【详解】令()2log 20x -≤，解得[)1,2x ∈，令210x-≥，解得[]1,1x ∈-，显然[)1,2A B ⋃=-，故A 正确.故选：A2.已知函数3log ,0()9,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1((2=f f （）A.14B.12C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.【详解】函数3log ,0()9,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则311(log 022f =<，所以3311log log 2223111(())(log )9(3)224f f f ====.故选：A3.著名的欧拉公式是i e cos x x isinx =+，则3i e 在复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】由题意可得3i e cos3isin 3=+，结合三角函数在各象限的符号和复数的几何意义即可求解.【详解】由题意知，3i e cos3isin 3=+，又cos30,sin 30<>，所以该复数在复平面所对应的点的坐标为(cos3,sin 3)，为第二象限的点.故选：B4.已知向量()1,0a = ，()4,b m =，若2a b - 不超过3，则m 的取值范围为（）A.⎡⎣B.⎡⎣C.[]3,3- D.[]5,5-【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得249m +≤，解之即可求解.【详解】由题意知，2(2,)a b m -=--，所以23a b -=≤，得249m +≤，即25m ≤，解得m ≤≤即实数m 的取值范围为[.故选：B5.某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如右图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（）A.减负后完成作业的时间的标准差减少25B.减负后完成作业的时间的方差减少25C.减负后完成作业的时间在60分钟以上的概率为12%D.减负后完成作业的时间的中位数为25【答案】D 【解析】【分析】根据给定的频率分布直方图求出x ，利用方差、标准差的意义判断AB ；求出减负前完成作业的时间在60分钟以上的概率及中位数判断CD.【详解】由频率分布直方图可得：200.025200.0065200.0032201x +⨯+⨯+⨯⨯=，解得0.0125x =，减负后每天作业布置量减少5分钟，则减负后完成作业的时间的平均数减少5分钟，而完成作业的时间波动大小不变，因此减负后完成作业的时间的标准差、方差不变，AB 错误；减负前完成作业时间在60分钟以上的频率为0.003400.12⨯=，减负后完成作业时间在60分钟以上的频率小于0.12，由此估计减负后完成作业的时间在60分钟以上的概率小于12%，C 错误；减负前，第一组的频率为0.0125200.25⨯=，第二组的频率为0.025200.5⨯=，则完成作业的时间的中位数在第二组的中间，即中位数为2040302+=（分钟），所以减负后完成作业时间的中位数为30525-=（分钟），D 正确.故选：D6.等比数列{}n a 满足132410,20a a a a +=+=，则6S =（）A.30B.62C.126D.254【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，先求出首项和公比，即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由132410,20a a a a +=+=可得24132a a q a a +==+，则213111510a a a a q a +=+==，所以12a =，因此()6621212612S -==-.故选：C7.已知()sin 2cos x x x ϕ-=+，则22sin sin cos 2cos ϕϕϕϕ--=（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由和差角公式可得cos 55ϕϕ==-，从而得解.【详解】()sin 2cos cos sin x x x x x ϕϕϕ-=+=+，所以cos ϕϕ=，则22222552554sin sin cos 2cos 255555ϕϕϕϕ⎛⎛⎛--=--⨯--= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()4,1A -．若将军从山脚下的点()3,2B -处出发，河岸线所在直线方程为30x y -+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可.【详解】如图，设点()4,1A -关于直线30x y -+=的对称点为(,)A m n '，A B '与直线交于0P ，且设饮马处为P ，由轴对称性质得，114n m -=-+，413022m n -+-+=，解得2m =-，1n =-，故(2,1)A '--，即P 与0P 重合时，将军饮马的总路程最短，则最短路程为00AP BP A B +==='.故选：C9.在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin c c A C +=，3a =，b c +=ABC 的面积为（）A.4B.4C.423D.3【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理和辅助角公式得到π3A =，结合余弦定理得到3bc =，利用三角形面积公式求出答案.【详解】cos sin c c A C +=，由正弦定理得sin sin cos sin C C A A C +=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，故1cos A A +=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故ππ66A -=，解得π3A =，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即()222122b c bc a bc +--=，因为3a =，b c +=1829122bc bc --=，解得3bc =，11333sin 32224ABC S bc A ==⨯⨯=.故选：B10.从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量积为0的概率为（）A.215B.415 C.35D.12【答案】B 【解析】【分析】根据向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质、古典概型的运算定义进行求解即可.【详解】设,,A B C 是直角三角形的三个顶点，其中AB AC ⊥，从从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量有：,,,,,AB AC BC BA CA CB一共有6个，因为两个向量数量积为零，所以它们互相垂直，即有,,,AB AC AB CA BA AC BA CA ⊥⊥⊥⊥符合题意，所以数量积为0的概率为2644C 15=，故选：B11.已知函数()()2e exxf x x -=+，若满足()3132log log 2e 0e f m f m ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，则实数m的取值范围为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,3 D.()3,+∞【答案】B 【解析】【分析】判断函数()f x 的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为()()3log 1f m f <，再利用奇偶性和单调性求解即可.【详解】()f x 的定义域为R ，()()()()()22e e e e x x x x f x x x f x ---=+-=+=，()f x为偶函数，()()()2e e 2e e x x x x f x x x --+'=-+，()00f '=，当0x >时，e 1x >，0<e 1x -<，e e 0x x -->，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，()3132log log 2e 0e f m f m ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，即()()332log log 2e 2(1)ef m f m f +-<+=，即()()32log 21f m f <，也就是()()3log 1f m f <，()()2e e x x f x x -=+在()0,∞+单调递增且为偶函数，()f x 在(),0∞-单调递减，3log 1m <，即31<log 1m -<，解得133m <<.实数m 的取值范围为1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得出()f x 为偶函数和在()0,∞+上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为()()3log 1f m f <，再由单调性求解.12.已知农历每月的第1t +天()029,t t ≤≤∈N 的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为2222212πcos 29x y rr t +=⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中r 为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（）①农历每月第()*130,d d d ≤≤∈N天和第30d -天的月相外边缘形状相同；②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r ；③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内．A.①③B.②④C.①②D.③④【答案】D【解析】【分析】利用已知条件求出第d 天和第30d -天的方程即可判断A ，根据椭圆上点到焦点的距离的最大值为a c +，求出a c +的范围即可判断B ，求出离心率e 的表达式判断C ，利用离心率e 的表达式，求出农历初六至初八时e 的的范围即可判断D.【详解】由方程2222212πcos 29x y r r t +=⎛⎫ ⎪⎝⎭()029,t t ≤≤∈N 知：A ：当1t d =-时，椭圆方程为()2222212πcos 129x y rr d +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，当29t d =-时，椭圆方程为()2222212πcos 2929x y rr d +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简为2222212πcos 2π29x y r r d +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2222212πcos 29x y r r d +=⎛⎫⎪⎝⎭，所以①错误；B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：a c r +=r =+r =2πsin 29r r t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π1sin 29r t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为029,t t ≤≤∈N ，所以2πsin 129t ⎛⎫<⎪⎝⎭，所以2π1sin 229r t r ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以②错误；C：月相外边缘的离心率为：2πsin 292πsin 29r t c e t a r ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==== ⎪⎝⎭，而029,t t ≤≤∈N ，所以当7t =时，2π14πsin sin 2929e t ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最大，即月相外边缘的离心率第8天时取最大值，所以③正确；D ：农历初六至初八，即618t ≤+≤时，即57t ≤≤，此时月相外边缘离心率：2π2πsin 5sin 72929e ⎛⎫⎛⎫⨯≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即10π14πsin sin 2929e ≤≤，因为10ππ293>，14ππ292<，所以10π3sin 292>，14πsin 129<，所以e <12<，故④正确.综上所述，正确的有③④.故选：D.【点睛】关键点点睛：判断C 选项的关键是求得2π1sin 29a c r t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此即可顺利得解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】【详解】解析过程略14.若实数m 满足4220mm--=，则6m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______．【答案】20-【解析】【分析】解出方程求出参数，再利用二项式定理写出通项求解即可.【详解】令4220m m --=，可得2220()(1)m m +-=，易知210m +>，故220m -=，解得1m =，则求61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项即可，由二项式定理得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为6216C (1)r r rr T x -+=-，令620r -=，解得3r =，则常数项为36C 20-=-.故答案为：20-15.一个正四棱柱底面边长为2，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为______.【答案】4π3【解析】【分析】根据题意该几何体为正四棱锥，利用正四棱锥的结构特征，求出内切球半径得解.【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，O 为内切球的球心，PH 是棱锥的高，,E F 分别是,AB CD 的中点，连接PF ，G 是球与侧面PCD 的切点，可知G 在PF 上，OG PF ⊥，设内切球半径为r ，则OH OG r ==，1HF =，PH =，2PF =，由PGO PHF V :V ，OG PO HF PF ∴=，即312r r=，解得33r =，所以内切球表面积为2234π4π4π33S r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：4π3.16.()e 1,01,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()1y f f x k =+-有两个零点，则k 的取值范围是______.【答案】11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先求函数()f x 的值域，单调性，并画出图象，再设()1t f x =+，结合复合函数的零点个数求实数k 的取值范围即可.【详解】易知函数e x y =在R 上增函数，函数1y x=在()0,∞+上减函数，所以，当0x ≤时，1e 12x <+≤，当0x >时，10x>，于是函数()f x 的值域为()0,∞+，又函数()f x 的在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，函数图象如图所示：设()1t f x =+，由()0f x >可知，1t >，则()1f t t=.因为()()1y f f x k =+-有两个零点，所以()0f t k -=，即1k t=，于是11t k =>，则方程()11t f x k =+=，即()11f x k=-有两个零点，所以，由()f x 的图象可知，使方程()11f x k =-有两个零点，则满足111112kk⎧>⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩，解得1132≤<k .综上所述，实数k 的取值范围是11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.体育强则中国强，体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，根据图形，回答下列问题.（1）求m；（2）估计这次体育知识竞赛成绩的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽出的200位学生中，若规定分数不低于80分的学生为获奖学生，已知这200名学生中男生与女生人数相同，男生中有20人获奖，请补充22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”男生女生合计获奖20未获奖合计附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.050.0100.0050.001 0k 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）0.01（2）75，68.5（3）列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求参数即可.（2）利用中位数，众数的求解公式计算即可.（3）列出列联表。

新乡一模理数试卷高三一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列函数中，为奇函数的是A. y = x^2B. y = x^3C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_5的值。

A. 31B. 63C. 127D. 2553. 直线y=2x+3与x轴的交点坐标为A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)4. 函数f(x)=x^2-4x+c的图象与x轴有两个交点，求c的取值范围。

A. c > 4B. c < 4C. c ≥ 4D. c ≤ 45. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, 1)，求向量a与向量b的点积。

A. -10B. -11C. -14D. -226. 从1，2，3，4，5五个数字中任取3个数字，求这三个数字的和为偶数的概率。

A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/57. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(1)的值。

A. 3B. 1C. -3D. -18. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，求该圆的半径。

A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为2，6，18，求该数列的公比。

A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)的值。

A. 1/(x+1)B. 1/xC. x/(x+1)D. x+1二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=______。

12. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=3，d=2，则S_5=______。

13. 已知复数z=1+i，求|z|=______。

14. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值。

高三数学试题（理科）本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到6页,共150分,考试时间120分注意事项：１．考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.２．第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. ３．请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中的发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n （k ）=C n k P k （1-p ）n-k球的表面积公式为：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式为：V=34πR 3，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U 为全集，若集合A 、B 、C 满足A ∩B=A ∩C ，则可以推出( ) A ． B=C B ．A ∪B=A ∪C C ．A ∪(U C B)=A ∪(U C C) D ．(U C A)∪B=(U C A)∪C 2．函数g (x )满足g (x )g (－x )＝1，且g (x )≠1，g (x )不恒为常数，则函数f (x)=g(x)+1g(x)-1( )A .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数3．已知函数f (x)=223(1)131(1)x x x x x x ⎧+->⎪-⎨⎪+≤⎩，则f –1(3)=( ) A ．10 B ．12 C ． 23 D ． －124．设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 5．二项式(1x－)n 展开式中含有x 4项，则n 的可能取值是（ ）A ．5B ．6C ．3D ．76．设OA u u u v =a v ，OB uuu v =b v ，OC u u u v =c v ，当c v =λa v +μb v (λ,μ∈R)，且λ+μ=1时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ． 直线AB 上，但除去点B7．从17个相异的元素中选出2a －1个不同元素的选法记为P ，从17个相异的元素中选出2a 个不同元素的选法记为Q ，从18个相异的元素中选出12个不同元素的选法记为S ，若P+Q=S ，则a 的值为（ ）A ． 6B ． 6或8C ．3D ．3或68．若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cos θ等于（ ） A．3 B ．3 C ．2 D．69．设OM u u u u v =（1，12），ON u u u v =（0，1），则满足条件0≤OP uuu v ·OM u u u u v ≤1，0≤OP uuu v ·ON u u u v ≤1的10．已知函数f k图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2+y 2=k 2上，则f (x)的最小正周期为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌Ｍ在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自我复制，已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并生成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2047个“禽流感”病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（ ）A ． 1024B ．2047C ．2048D ．204912．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足OR uuu v =12（OP uuu v +OQ uuu v），R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是ΔPQS 中的两个锐角，则下面4个式子中不一定正确的是（ ）A ．tan α·tan β=1B ．sin α+sinC ．cos α+cos β>1D ．|tan(α－β)|>tan2αβ+高三(1－12班)数学试题（理科）班别____________ 学号______________ 姓名___________ 得分___________第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题13．把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-va （m >0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________14．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为__________________. 15．利用函数f (t)=12+3sin[2365π(t －81)]可用来估计某一天的白昼时间的长短，其中f (t)表示白昼的小时数，t 是某天的序号，t=0表示1月1日，依此类推0≤t ≤365，若二月份28天，则这一地区一年中白昼最长的大约是 月 日.16．在平面几何里，有勾股定理“设ΔABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥O －ABC 的三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两相互垂直， 则______________________________________________.” 三、解答题：本大题6个小题，共74分17．（本小题满12分）已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，a v sin 22A B A B i j +-+v v ，其中i j v v 、为互相垂直的单位向量，若||a =v.(Ⅰ) 试问tanA ·tanB 是否为定值? 若为定值，请求出；否则请说明理由． (Ⅱ) 求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状．18. (本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ) 求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ) 是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n Λ?若存在，求出n 的值； 若不存在，说明理由；19.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P ． （Ⅰ）如果甲、乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求P的取值范围； （Ⅱ）如果P=13，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.20. （本小题满分12分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点. （Ⅰ）求证：不论P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ；（Ⅱ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. （Ⅲ）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.21. （本小题满分1４分）已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4. (Ⅰ) 求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ) 直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r ，0EP AB =u u ur u u u r g ，又OE uuu r=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由.ABCDA 1 D 1C 1 B 1P22．（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x+y)= f(x)·f(y)且f(1)=1 2 .(Ⅰ)当n∈N+时，求f(n)的表达式.(Ⅱ)设a n=n·f(n),n∈N+，求证a1+a2+…+a n<2.答案：1．D 由A ∩B=A ∩C 知B ，C 在A 内部的元素相同，由韦恩图可得. 2．A3．Ｃ 2231x x x +--=(1)(3)1x x x -+-=x+3 依题意 当x>1时 f(x)>4当x ≤1时 f(x)=3x+1≤4 令t= f －1(3) ∴f(t)=3<4 即3t+1=3 ∴t=234．D 将f(x)拆成：当x 是有理数时，f(x)=1;当x 是无理数时，f(x)=0,然后一一验证即可5．C 展开式的通项为r nC (1x)n-r ·(－)r =(－1)r ·r n C 4()3r n r x --（r=0,1,2,…n ）即存在自然数r ，使43r －(n －1) =4即7r=3n+12且n ≥r,故选C. 6．B ∵n+μ=1 ∴λ=1－μ，∵c v =λa v +μb v =a v +μ(b v －a v )=a v +μAB u u u v∴AC u u u v =c v －a v =μAB u u u v ，即AC u u u v 与AB u u u v共线.7．D 法一：反代法.分别取a=6,8代入验证。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心为：A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, -3)D. (1, -3)2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为：A. 19B. 21C. 23D. 253. 函数y = log2(3x - 1)的定义域为：A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1/3D. x ≥ 1/34. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|的值为：A. 5B. 6C. 7D. 85. 下列不等式中，正确的是：A. x^2 > 0B. x^2 ≥ 0C. x^2 < 0D. x^2 ≤ 06. 函数y = e^x在定义域内是：A. 单调递减B. 单调递增C. 先增后减D. 先减后增7. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则第5项b5的值为：A. 54B. 48C. 42D. 368. 下列各式中，正确的是：A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 1C. tan(π/2) = 1D. cot(π/2) = 19. 函数y = |x|的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 双曲线的一部分10. 下列各式中，正确的是：A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为______。

12. 等差数列{an}的首项a1 = 5，公差d = -3，则第10项a10 = ______。

高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。

高三数学（理科）命题人：宋小亮一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合{}2,0x M y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则M N ⋂为（ ）A.()2,1B.()+∞,1C.[)+∞,2D.[)+∞,12.下列函数中，既是偶函数，又在),0(+∞单调递增的函数是（ ）A ．12+-=x yB ．1-=x yC ．3x y =D ．x y -=23.已知：命题:p “1=a 是2,0≥+>x a x x 的充分必要条件”；命题:q “02,0200>-+∈∃x x R x ”，则下列命题正确的是（ ）A ．命题“q p ∧”是真命题B ．命题“q p ∧⌝)(”是真命题C. 命题“)(q p ⌝∧”是真命题 D ．命题“)()(q p ⌝∧⌝”是真命题4.设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，则)25(-f 等于（ ） A ．21- B ．41- C.41 D ．21 5.已知函数2)12()(23+-+=x a ax x f ,若1-=x 是)(x f y =的一个极值点,则)(x f 的极小值 为 ( )A. 2B. －2C. 0D. 46.将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（ ）A ．()sin(2)6f x x π=-（x R ∈）B ．()sin(2)6f x x π=+（x R ∈） C. ()sin(2)3f x x π=-（x R ∈） D ．()sin(2)3f x x π=+（x R ∈）7.在ABC ∆中，060A =，1b =，ABC S ∆，则sin c C=（ ）AD．8.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+?单调递减，则a 的取值范围( )A ．(],4-?B ．[)4,+? C.[]4,4- D ．(]4,4-9.函数|1|ln x y =与12+--=x y 在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）10.函数2()2sin sin 21f x x x =-++，给出下列四个命题： ①在区间5[,]88ππ上是减函数；②直线8x π=是函数图像的一条对称轴；③函数()f x 的图像可由函数()2f x x =的图像向左平移4π个单位得到；④若[0,]2x π∈，则()f x的值域是，其中，正确的命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③ C. ①④ D ．③④11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=)0()2()0(1)(2x e a x ax x f x 为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]3,2( B ．),2(+∞ C.)3,(-∞ D ．)3,2(12.若函数()() y f x x R =∈满足(2)()f x f x -=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,6]-内的零点的个数为（ ） A ．13 B ．8 C ．9 D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0>a ，且1≠a ，函数2)32(log +-=x y a 的图象恒过点P ，若P 在幂函数)(x f 上 )8(f ＝ ．14.曲线214y x =和它在点（2，1）处的切线以及x 轴围成的封闭图形的面积为__________． 15.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，(2)0f -=，当0x >时，'2()()0xf x f x x->，则()0x f x > 的解集为16.己知：f （x ）＝xx e ，若方程[f （x ）]2－23f （x ）＋a ＝0有四个不等的实根，则a 的取值范围是____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（10分）.已知集合A 是函数)56lg(2x x y -+=的定义域，集合B 是不等式)0(01222>≥-+-a a x x 的解集．命题A x p ∈:，命题B x q ∈:．（1）若∅=⋂B A ，求a 的取值范围；（2）若￢p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（）A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sqrt{x} \)D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)2. 已知数列\( \{a_n\} \)的通项公式为\( a_n = 2^n - 1 \)，则\( a_{10} \)的值为（）A. 1023B. 1024C. 2047D. 20483. 函数\( f(x) = x^3 - 3x \)的图像在（）A. \( x = 0 \)处取得极小值B. \( x = 0 \)处取得极大值C. \( x = -1 \)处取得极小值D. \( x = -1 \)处取得极大值4. 若\( \triangle ABC \)中，\( a = 3 \)，\( b = 4 \)，\( c = 5 \)，则\( \cos A \)的值为（）A. \( \frac{3}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( \frac{5}{12} \)D. \( \frac{12}{5} \)5. 已知复数\( z = 1 + i \)，则\( |z|^2 \)的值为（）B. 3C. 4D. 56. 下列不等式中，正确的是（）A. \( 2^x > 3^x \)对所有\( x > 0 \)成立B. \( \log_2 x > \log_3 x \)对所有\( x > 1 \)成立C. \( \sin x > \cos x \)对所有\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \)成立D. \( \tan x > \sec x \)对所有\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \)成立7. 设\( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)），若\( f(1) = 2 \)，\( f(-1) = 0 \)，\( f(0) = 1 \)，则\( a + b + c \)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的公差为\( d \)，首项为\( a_1 \)，则\( a_{10} - a_5 \)的值为（）A. 5dB. 4dC. 3dD. 2d9. 若函数\( f(x) = \ln x \)在区间\( [1, e] \)上的最大值为\( M \)，则\( M \)的值为（）A. 1C. \( \ln 2 \)D. \( \ln e \)10. 已知向量\( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (2, 3) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每小题5分，共25分）11. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} \)的值域为______。

饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2）一、填空题(本题4小题，每小题5分，共20分)1．复数22)1(ii += 2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块。

3．若不等式121+-≥+a xx 对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是__ ____； 4．已知关于x 的不等式12011x a x a ++-+>（a 是常数）的解是非空集合，则a 的取值范围是 ．二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5．在ABC ∆中，已知222a b c ab +-=，且sin()2cos sin A B A B+=，(1)求C ∠的大小;(2)证明ABC ∆是等边三角形.第1个第2个第3个6．先阅读以下不等式的证明,再类比解决后面的问题： 若123123,,,1a a a R a a a ∈++=,则22212313a a a ++≥.证明:构造二次函数222123()()()()0,f x x a x a x a =-+-+-≥ 将()f x 展开得： 2222123123()32()f x x a a a x a a a =-+++++222212332x x a a a =-+++Q 对一切实数x 恒有()0f x ≥，且抛物线的开口向上222123412()0a a a ∴∆=-++≤，22212313a a a ∴++≥． （1）类比猜想：若1212,,,,1n n a a a R a a a ∈+++=LL ,则22212n a a a +++≥L ．（在横线上填写你的猜想结论）（2）证明你的猜想结论．7．某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖． （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是152，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξE ．8．把边长为a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ，容积为()V x . （Ⅰ）写出函数()V x 的解析式，并求出函数的定义域； （Ⅱ）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.9．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有2=L （1） 求2a ，3a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式； （2） 证明你的猜想；（3+L∈n N *）.10. 已知函数()1ln xf x x ax-=+．(0)a > （1）求函数()f x 的极值点；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（3）当1a =时，求证对大于1的任意正整数n ，1111ln 234n n>++++L ．饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2）答题卷姓名：___________ 座号：____________班级：____________ 成绩：_____________ 一、填空题:(本题4小题，每小题5分，共20分)1. _________2. ________________3. _______________4. _____________二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。

高三数学（理）试卷命题单位：卧龙寺中学姓名：张平安一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．复数1ii+在复平面中所对应的点到原点的距离为A．12BC．1 D2．设集合222{|1},{|1},{(,)|1}.A x y xB y y xC x y y x==-==-==-，则下列关系中不正确的是A．A C=∅ B．B C=∅ C．B A⊆ D．A B C=3．给出两个命题：p: |x|=x的充要条件是x为正实数；q: 存在反函数的函数一定是单调函数.则下列复合命题中的真命题是A．p且q B．p或q C．┓p且q D．┓p或q4．设向量a与b的模分别为6和5，夹角为120°，则||a b+等于A．23B．23- CD5．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值为A．-2 B． CD．26．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么11(0)(9)f f--+-的值为A．3 B．-3 C．2 D．-27．若国际研究小组由来自3个国家的20人组成，其中A国10人，B国6人，C国4人，按分层抽样法从中选10人组成联络小组，则不同的选法有（）种. A．10206AB．53210646A A AC．53210646C C CD．5321064C C C8．函数)(xf在定义域R内可导，若)2()(xfxf-=，且当)1,(-∞∈x时，0)()1(<'-xfx，设).3(),21(),0(fcfbfa===则( )A．cba<<B．bac<<C．abc<<D．acb<<9．已知M是ABC∆内的一点，且23,30AB AC BAC=∠=，若,MBC MCA∆∆和MAB∆的面积分别为1,,2x y，则14x y+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．910.已知抛物线22(0)y px p=>与双曲线22221(,0)x ya ba b-=>有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF x⊥轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．(0,)4πB．(,)64ππC．(,)43ππD．(,)32ππ12．设椭圆21)0,0(12222=>>=+ebabyax的离心率，右焦点F（c,0），方程02=-+cbxax的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）在A．圆222=+yx内B．圆222=+yx上C．圆222=+yx外D．以上三种情况都有可能二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.)13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是．14.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 ．15．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm ，深2cm 的空穴，则该球的表面积为_____________cm 2.（24S R π=球）16．直线l ：(0)x my n n =+>过点(4,A，若可行域00x my n y y +⎧-⎩≤≥≥n 的值为________________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．(本小题满分10分)已知向量(1tan ,1),(1sin 2cos 2,3)x x x =-=++-b a ，记().f x =⋅b a （1）求f (x )的值域及最小正周期；（2）若224f f ααπ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角18．(本小题满分12分)设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数. 求ξ的分布列，期望及方差.19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是，是棱AC 的中点，是棱1CC 的中点，AE 交1A D 于点.H （1）求证：1AE A BD ⊥平面；（2）求二面角1D BA A --的大小（用反三角函数表示）； （3）求点1B 到平面1A BD 的距离.20．已知函数2()s i n 2(),f x x b x b R =+-∈()()2,F x f x =+且对于任意实数x ，恒有()()0.F x F x --= （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调递减，求实数a 的取值范围； （3）函数21()ln(1)()2h x x f x k =+--有几个零点？21．（本小题满分12分）已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1.（1）求曲线C 的方程；（2）过点.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值.E H DBC AC 1A 1B 1参考答案1.B2.D3.D4.D5.D6.C7.D8. B9. B 10. D 11.A 12 A13. 4 14. 433cm 15．400π 16．817.（1）根据条件可知：()(1tan )(1sin2cos2)3f x x x x =-++-2cos sin (2cos 2sin cos )3cos x xx x x x-=+- 222(cos sin )3x x =--2cos23x =-因为f (x )的定义域为{|,},2x x k k ππ≠+∈Z∴f (x )的值域为(5,1]--，f (x )的最小正周期为（2）2cos 2cos 2(cos sin )22424f f ααπππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,4343ππππαα+=+=或 所以5.1212ππαα==或 18．ξ的可能值为0，1，2. 若ξ=0表示没有取出次品，其概率为032103126(0)11C C P C ξ===；同理()121121021033911,(2).2222C C C C P P C C ξξ====== ∴ξ的分布为 ∴69110131122222E ξ=++=，16191115012.21122222244D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19．（1）证明：建立如图所示， )0,2,1( )0,1,2(1-=--=D A AE)3,0,0(-=∵0221+-=⋅A 0)3(000=-++=⋅∴A ⊥⊥,1 即AE ⊥A 1D ， AE ⊥BD ∴AE ⊥面A 1BD （2）设面DA 1B 的法向量为),,(1111z y x n =由⎩⎨⎧=++-=-⇒=⋅=⋅020)3(0 0111111y x z n A n ∴取设面AA 1B的法向量为 0,0),,(12122222=⋅=⋅=A A n B A n z y x n ，则由)3,0,3( 0203222222=∴⎩⎨⎧==++-⇒n y z y x 取， 5151256,21=⋅>=<n n 由图可知二面角D —BA 1—A 为锐角，∴它的大小为arcos 515 （3）)0,2,0(1=B ，平面A 1BD 的法向量取)0,1,2(1=n 则B 1到平面A 1BD 的距离d=55252||||111==n 20. 解：（1）22()()2sin 22sin F x f x x b x x b x =+=+-+=+， 依题意，对任意实数x ，恒有()()0.F x F x --= 即22sin ()sin()0,x b x x b x +----= 即2sin 0b x =所以0b =，……………………(1分)所以2()2f x x =-……………………(2分) （2）2()22(1)ln ,g x x x a x =-+++2()2ln ,g x x x a x ∴=++'()22ag x x x=++……………………(3分))0,1,2(1=n函数()g x 在（0，1）上单调递减，∴在区间（0，1）2'22()220a x x a g x x x x++=++=≤恒成立……………………(4分)∴2(22)a x x ≤-+在（0，1）上恒成立∴而2(22)x x -+在（0，1）上单调递减4a ∴≤-为所求。

2024届高三年级4月份大联考理数试题本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后'，请将本试题卷和答题卡一并上交.第I 卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}22log 42A x x x =-≤，1,2xB y y x A ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.1,116⎛⎤⎥⎝⎦B.1,116⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,+∞ D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭2.已知2(1i)2i z+=+，则1z -=（）A.2B.C.D.13.在ABC 中，E 在边BC 上，且3,EC BE D =是边AB 上任意一点，AE 与CD 交于点P ，若CP xCA yCB =+，则34x y +=（）A.34B.34-C.3D.-34.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下面为真命题的是（）A.若α ,,a b βαβ⊂⊂，则a bB.对于空间中的直线l ，若,,,a b l a l b αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥C.若直线a 上存在两点到平面α的距离相等，则a αD.若a ,a αβ⊥，则αβ⊥5.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点()()12,0,,0F a F a -距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线.若2a =，点()00,P x y 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是（）①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y x =与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得12PF PF =A.1个B.2个C.3个D.4个6.现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（）A.2B.4C.6D.87.已知正三棱锥-P ABC-P ABC 外接球的表面积为81π8，则三棱锥-P ABC 的高为（）A.1B. C.8D.3228.将函数()πcos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数图象关于π4x =对称，则实数ω的最小值为（）A.35B.45C.95D.1259.在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为1210x x x ､､､，乙班的十个人成绩分别为1210,,,y y y .假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（）A.中位数一定不变，方差可能变大B.中位数可能改变，方差可能变大C.中位数一定不变，方差可能变小D.中位数可能改变，方差可能变小10.已知()0,2πα∈，若当[]0,1x ∈时，关于x 的不等式()()2sin cos 12sin 1sin 0x x αααα++-++>恒成立，则α的取值范围为（）A.π5π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭11.设12,F F 为双曲线2222Γ:1(0,0)y x a b a b-=>>的上､下焦点，点C 为Γ的上顶点，以12F F 为直径的圆交Γ的一条渐近线于,A B 两点，若2π3ACB ∠=，则Γ的离心率为（）A.1+ B.1C.3D.7312.某兴趣小组的几位同学在研究不等式a b a b a b -≤±≤+时给出一道题：已知函数()()1ln 1,12x f x x a x a x ⎛⎫=+-+≥ ⎪+⎝⎭.函数()()362(2)2g x x x x x =+++-+，当()()()()f x g x f x g x +=+时，x 的取值范围为（）A.()1,0- B.(](]1,01,2-⋃ C.][()1,02,∞-⋃+ D.(]1,2-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二､填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知函数()y f x =为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.14.在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为34.则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率p 为__________.15.若直线:3l y x =+与抛物线21:12C x y =和圆222:(3)1C x y +-=从左到右依次交于点A B C D ､､､，则AB CD +=__________.16.在ABC 中，BAC ∠的角平分线AD 交边BC 于点D ，若3,2BC CD DB ==，则ABC 面积的最大值为__________.三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足4221a a =+，前n 项和为,n n S S 是关于n 的二次函数且最高次项系数为1.（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知11n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T .18.如图是一个半圆柱，,DC AB 分别是上､下底面圆的直径，O 为AB 的中点，且2,AB AD E ==是半圆 AB 上任一点（不与A B ､重合）.（1）证明：平面DEA ⊥平面CEB ，并在图中画出平面DEA 与平面CEB 的交线（不用证明）；（2）若点E 满足62DE EB =，求平面DEA 与平面DEC 夹角的余弦值.19.“直播的尽头是带货”，如今网络直播带货越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲､乙两个工厂为其生产加工商品，为了了解商品质量情况，分别从甲､乙两个工厂各随机抽取了100件商品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品，统计的结果如下图：（1）根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？（2）将样本数据的频率视为概率，现在甲､乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮活动分别从甲､乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品的概率；（3）综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用的期望记为()E X ，所有赔偿费用的期望记为()E Y ，以()E X 和()E Y 的大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由.()()()()22():,.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++附其中()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0050k 2.7063.8416.6357.87920.已知函数()()2ln ,f x m x x x f x =+-的导函数为()f x '.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：()1111x f x x x +≤++-+'.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12；直线:240l x y +-=与E 只有一个交点.（1）求E 的方程；（2）E 的左､右焦点分别为12,,F F E 上的点,M P （,M P 两点在x 轴上方）满足21//F M F P .①试判断MO PO ⊥（O 为原点）是否成立，并说明理由；②求四边形21MPF F 面积的最大值.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4，坐标系与参数方程）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是1cos tan x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()cos sin 20m m ρθρθ--=∈R .（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点E 的坐标为()2,0，直线l 交曲线C 的同支于,M N 两点，求11EM EN+的取值范围.（选修4-5，不等式选讲）23.已知函数()(),f x x m g x x n =-=+.（1）当3,1m n ==时，解不等式()()25f x g x +<；（2）若2,3,4m n p >->->-，且函数()()y f x g x p =++的最小值为5，证明：≤。