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因式分解练习题（提取公因式）8、2a b 5ab 9b 9、xy xz 2 210、24x y 12xy 28 y31、ay ax2、3mx 6my 3、24a 10ab4、215a 5a25、x y 2xy6、12xyz 2 29x y7、m x y n x y 8、x m n y m n 29、abc(m n)3ab(m n)10、12x(a b)29m(b \3a)专项训练二：禾U用乘法分配律的逆运算填空。
1、2 R 2 r (R r) 2、2 R 2 r 2 ( )3、如2 1g t22(t12t22) 4、15a225ab 2 5a (专项训练一：确定下列各多项式的公因式0)专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“ +”或“-”，使等式成立。
11、13、1、y __(x y) 2、b a _(a b)3、y __(y z) 24、y x (x y)25、(y x)3__(x y)3& (x y)4__(y x)47、(a b)2n（b a）2n（n为自然数）8、(a b)2n1（b a）2n1（n为自然数）9、x (2 y) (1 x)(y 2) 10、1 x (2 y) (x 1)(y 2)11、2(a b) (b a) (a b)312、2(a b) (b a)4(a b)6专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx ny2、a2 ab 3、4x3 6x2 24、8m n 2mn7、23a y 3ay 6yc 33ma 6ma212ma312、56x yz2 214x y z 21xy15x3y25x2y 32 0x y414、16x 32x356x2专项训练五: 把下列各式分解因式1、3、5、7、9、11、x(a b) y(a b) 2、5x(x y) 2y(x y)6q(p q) 4p(p q) 4、(m n)(P q) (m n)(p q)a(a(2 aP(x(a2b) (a b) 2& x(x y) y(x y)b)(2a 3b) 3a(2a b)y) q(y x)b)(a b) (b a)10、12、x(xm(aa(xy)(x3)a)y)2(3b(ax(x y)2a)x) c(x a)5、25x2y3 15x2y2 & 12xyz 9x2y 213、33(x 1) y (1 x)3z 2 214、ab(a b) a(b a)15、mx(a b) nx(b a)17、(3a b)(3a b) (a b)(b 3a)19、x(x 2y) 2(y \3x) (y x)2(y x)2 x(x y)316、(a 2b)(2a 3b) 5a(2b a)(3b 2a)218、a(x y) b(y x)3 220、(x a) (x b) (a x) (b x)(y x)422、3(2a 3b)2n 1(3b 2a)2n(a b)(n为自然数)专项训练六、利用因式分解计算。
第四章因式分解4.1因式分解一、单选题1．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ． 222x x x xB ． 22121x x xC ． 2422x x xD ．221x x xA ．22()()x y x y x y B ．2269(3)x x x C ．223(3)(1)x x x x D ．222(2)x y xy xy xy x y 【答案】D【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．【详解】解：A.是平方差公式，故A 选项正确，不符合题意；B.是完全平方公式，故B 选项正确，不符合题意；C.是提公因式法，故C 选项正确，不符合题意；D.222(21)x y xy xy xy x y ，故D 选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了分解因式的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．（2022秋·八年级课时练习）下列因式分解正确的是（）A ． 222221x xB ．22()()x y x y x y C ．222242x xy y x y D ．2222()x xy y x y 【答案】D 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【详解】A 项，22222(1)2(1)(1)x x x x )，故错误；B 项，22x y 不能因式分解，故错误；C 项，2224x xy y 不能因式分解，故错误；D 项， 222222()2x xy y x xy y x y ，故正确；故选D ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，关键在于是否准确运用公式，还要注意分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止；因式分解是恒等变形．4．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）下列从左到右的变形：①21313x x x x x；② 22a b a b a b ；③21535x y x xy ；④ 22211a a a ；其中是因式分解的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】A【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．【详解】解：①结果不是整式的乘积，不是因式分解；②是多项式的乘法，不是因式分解；③等式左边不是多项式，不是因式分解；④符合因式分解的定义，是因式分解，是因式分解的个数是1个，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．5．（2023春·七年级课时练习）已知，多项式2x mx n 可因式分解为 34x x ，则m 的值为（）A ．1B ．1C ．7D ．7【答案】B【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：根据题意得： 223412x mx n x x x x ，则1m ，故选：B ．【点睛】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2023春·七年级课时练习）若关于x 的多项式26x px 有一个因式是3x ，则实数p 的值为（）A ．－5B ．2C ．－1D ．1【答案】D【分析】设26(3)()x px x x a ，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p 的值．【详解】解：根据题意设226(3)()(3)3x px x x a x a x a ，∴3p a ，36 a ，解得：2a ，1p ．故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题7．（2022秋·全国·八年级专题练习）若4x 是多项式224x mx 的一个因式，则m 的值为_________．【答案】-2【分析】设224x mx 因式分解后的结果是 4ax b x ．再根据多项式相等的条件列出方程求解即可．【详解】解：设224x mx 因式分解后的结果是 4ax b x ．∴ 2244x mx ax b x ．∴ 222444x mx ax b a x b ．∴a =1，-4b =-24，-m =b -4a ．∴b =6，m =4a -b ．∴m =-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查已知因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．8．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）若多项式212x mx +-分解因式后含有因式2x -，则m 的值为______．【答案】4【分析】利用十字相乘的方法判断即可求出m 的值．【详解】解：∵多项式x 2+mx -12分解因式后含有因式x -2，∴x 2+mx -12=（x -2）（x +6）=x 2+4x -12，则m =4，故答案为：4．【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．9．（2022秋·全国·八年级期末）多项式x 2+mx +5因式分解得(x +5)(x +n )，则m =_________【答案】6【分析】将 5x x n 展开得到n 值，代入计算可得m 值．【详解】解： 225555x x n x n x n x mx ，∴5n =5，∴n =1，∴ 25165x x x x ，∴m =6，故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解题的关键是掌握运算法则和因式分解的定义．10．（2023春·七年级课时练习）若关于x 的多项式2x kx b 因式分解为2(2)x ，则k b 的值为___________．【答案】0【分析】根据完全平方公式将2(2)x 展开即可求出k ，b 的值，由此即可求解．【详解】解：多项式2x kx b 因式分解为2(2)x ，∴22(2)44x x x ，∴4k ，4b ，∴440k b ．【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握多项式乘法可以检验多项式因式分解是解题的关键．三、解答题11．（2021春·全国·八年级专题练习）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）221()()1x y x y x y ；（2）2(2)(1)2x x x x ；（3）232632x y xy xy ；（4）22()()()(1)x y y x a x y a ；（5）29696x y xy y xy x x．24x x ；小张看错了a ，分解结果为 19x x ，求a ，b 的值．【答案】6a ，9b 【分析】根据题意甲看错了b ，分解结果为 24x x ，可得a 系数是正确的，乙看错了a ，分解结果为 19x x ，b 系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a 、b 的值．【详解】解：∵ 22468x x x x ，小明看错了b ，∴6a ，∵ 219109x x x x ，小张看错了a ，∴9b ，∴6a ，9b ．【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．提升篇一、填空题1．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知多项式4x mx n 能分解为 2223x px q x x ，则p ______，q ______．【答案】2 ；7．【分析】把 2223x px q x x 展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【详解】解：∵2223x px q x x432322222333x px qx x px qx x px q432223233x p x q p x q p x q4x mx n ．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p ，解得：27p q ．故答案为：2 ，7．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）若21x 是多项式225x x m 的一个因式，则m ______．【答案】2【分析】设多项式225x x m 的另一个因式是ax b ，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，计算对比得出答案．【详解】解：设多项式225x x m 的另一个因式是ax b ，∴ 22215222x x m x ax b ax b a x b ，∴22a ，25b a ，即1a ，2b ，m b ，∴2m ，故答案为：2．【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的多项式26x px 含有因式3x ，则实数p 的值为______．【答案】1【分析】设另一个多项式为 x b ，再利用整式的乘法进行整理得226333x px x x b x b x b （）得到对应各项系数，然后求得p 的值．【详解】解：设多项式的另一个因式是 x b ，则226333x px x x b x b x b （），∴36b ，3p b ∴2b ， 231p ．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的综合应用，设出另一个因式，再利用整式的乘法找到各项系数，使之对应相等是解答本题的关键．4．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）已知多项式22x bx c 分解因式为 231x x ，则bc 的值为______．【答案】24【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．【详解】∵22x bx c 分解因式为231x x ∴ 222312462x x x x x bx c∴4b ，6c ∴24bc 故答案是24【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键．5．（2023春·七年级课时练习）在将2x mx n 因式分解时，小刚看错了m 的值，分解得 16x x ；小芳看错了n 的值，分解得 21x x ，那么原式2xmx n 正确分解为___________.【答案】23x x （）（）【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m 、n ，再利用十字相乘法分解整式即可．【详解】解：（x ﹣1）（x +6）＝x 2+5x ﹣6，∵小刚看错了m 的值，∴n ＝﹣6；（x ﹣2）（x +1）＝x 2﹣x ﹣2，∵小芳看错了n 的值，∴m ＝﹣1．∴x 2+mx +n＝x 2﹣x ﹣6＝（x ﹣3）（x +2）．故答案为：（x ﹣3）（x +2）．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m 、n 的值是解决本题的关键．二、解答题6．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）已知二次三项式223x x k 有一个因式是5x ，另一个因式为ax b （a 、b 为常数），求另一个因式及k 的值．【答案】另一个因为213x ，k 的值为65【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得 2235x x k x ax b ，结合 2555x ax b ax b a x b ，进而得出方程组，可得答案．【详解】解：由题意可得： 2235x x k x ax b ，而 2555x ax b ax b a x b ，∴2535a b a k b ，解得：21365a b k，∴另一个因式为213x ，k 的值为65．【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解三元一次方程组，理解题意建立方程组是解题的关键．7．（2023春·七年级课时练习）如图，用一张如图A 的正方形硬纸板、三张如图B 的长方形硬纸板、两张如图C 的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D ）．(1)请用不同的式子表示图D 的面积（写出两种即可）；(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．【答案】(1) 2a b a b ，223a ab b (2)2232a ab b a b a b 【分析】（1）图D 的面积可以看做一个大长方形面积；也可以看做一个边长为a 的正方形，三个长为a 宽为b 的小长方形，两个边长为b 的正方形面积之和；（2）根据图D 的面积不同求法结合因式分解的定义即可求解．【详解】（1）解：图D 的面积可以看做一个长为2 a b ，宽为a b 的长方形的面积： 2a b a b ，也可以看做一个边长为a 的正方形，三个长为a 宽为b 的小长方形，两个边长为b 的正方形面积之和：223a ab b ；（2）解：由（1）得 2232a ab b a b a b ．【点睛】本题考查了因式分解的几何背景，用不同式子表示出图D 的面积是解题关键，注意因式分解是“将一个多项式化为几个整式的积的形式”，不要写反了．8．（2023春·七年级单元测试）如果多项式23x x m 分解因式的结果为23(2)()x x m x x n ，则当20x 时可得230x x m ，此时可把2x 代入230x x m 中得出2m ．利用上述阅读材料解答以下两个问题：(1)若多项式28x kx 有一个因式为2x -，求k 的值；(2)若2x ，1x 是多项式3227x ax x b 的两个因式，求a 、b 的值．【答案】(1)2k (2)13a ，22b 【分析】（1）把2x 代入28x kx 得到4280k ，求得k 的值即可；（2）分别将2x 和1x 代入3227x ax x b 得到有关a 、b 的方程组求得a 、b 的值即可．【详解】（1）解：令20x ，即当2x 时，得：4280k ，解得：2k ．∴k 的值为2．（2）令20x ，即当2x 时，得：164140a b ①，令10x ，即当1x 时，得：270a b ②，由①，②得：13a ，22b ．∴a 的值为13，b 的值为22 ．【点睛】本题考查因式分解的意义，一元一次方程，二元一次方程组．解题的关键是熟悉因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式．。
因式分解全章教案和练习题一、教学目标1. 让学生掌握因式分解的基本概念和方法。
2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维和运算能力的培养。
二、教学内容1. 因式分解的定义和意义2. 提公因式法3. 公式法4. 交叉相乘法5. 分解因式的应用三、教学重点与难点1. 重点：掌握因式分解的方法和步骤。
2. 难点：灵活运用因式分解解决实际问题。
四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索因式分解的方法。
2. 通过例题讲解，让学生逐步掌握因式分解的技巧。
3. 设计练习题，巩固所学知识，提高学生应用能力。
五、教学过程1. 导入：回顾整式的相关知识，引出因式分解的概念。
2. 讲解：讲解因式分解的定义、意义及基本方法。
3. 示范：举例子，演示因式分解的步骤和技巧。
4. 练习：让学生独立完成练习题，检验掌握程度。
5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置课后练习题，巩固所学知识。
教案练习题：1. 请简述因式分解的意义和作用。
3. 分解因式：x^2 5x + 64. 分解因式：x^2 + 2x + 15. 分解因式：x^2 46. 分解因式：3x^2 97. 分解因式：2x^3 8x8. 分解因式：x^2 + 3x + 29. 分解因式：4x^3 16x10. 分解因式：x^2 2x 3答案：1. 因式分解的意义和作用：将一个多项式表示为几个整式的乘积形式，便于理解和计算，可以用来解决一些实际问题，如求解多项式方程等。
2. 因式分解方法：a. 提公因式法：适用于多项式中存在公因式的情况。
b. 公式法：适用于能够运用公式进行分解的情况，如平方差公式、完全平方公式等。
c. 交叉相乘法：适用于两组数或多组数交叉相乘后能够得到原多项式的情况。
3. 分解因式：x^2 5x + 6 = (x 2)(x 3)4. 分解因式：x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^25. 分解因式：x^2 4 = (x + 2)(x 2)6. 分解因式：3x^2 9 = 3(x^2 3) = 3(x + √3)(x √3)7. 分解因式：2x^3 8x = 2x(x^2 4) = 2x(x + 2)(x 2)8. 分解因式：x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)9. 分解因式：4x^3 16x = 4x(x^2 4) = 4x(x + 2)(x 2)10. 分解因式：x^2 2x 3 = (x 3)(x + 1)因式分解全章教案和练习题（续）六、教学内容1. 结合公式法与十字相乘法2. 提公因式与公式法的综合运用3. 分解因式在实际问题中的应用4. 因式分解的进一步拓展七、教学重点与难点1. 重点：掌握不同因式分解方法的组合运用。
2012年全国各地中考数学解析汇编11 因式分解11.1 提公因式法（2012北京，9，4）分解因式：269mn mn m ++= ． 【解析】原式=m (n 2+6n +9)=m (n +3)2【答案】m (n +3)2【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点。
（2012广州市，13， 3分）分解因式a 2－8a 。
【解析】提取公因式即可分解因式。
【答案】:a(a －8).【点评】本题考查了因式分解的方法。
比较简单。
（2012浙江省温州市，5，4分）把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. ()4a a - B. (2)(2)a a +- C. (2)(2)a a a +- D. 2(2)4a --【解析】分解因式按“一提二套”原则:有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式，本题可直接提公因式． 【答案】A【点评】有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方差公式或完全平方公式进行分解.因式分解要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，此题较基础．（湖南株洲市3,9）因式分解：22a a -= . 【解析】22(2)a a a a -=- 【答案】(2)a a -【点评】本题主要考查因式分解的常用方法及步骤：先提取公因式，再运用公式法进行分解．（2012四川成都，1l ，4分）分解因式：25x x -=________．解析：因式分解的基本方法是提取公因式法、公式法、分组分解法。
本题只有两项，所以，只能用提取公因式法和平方差公式法。
观察可知有公因式x ，提取公因式法分解为x(x-5)。
答案：x(x-5)。
点评：公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项都有的字母，指数取最小。
（2012湖北随州，11,4分）分解因式：249x -=______________________。
解析：22249(2)3(23)(23)x x x x -=-=+-。
因式分解专项练习题(含答案)1. 二次多项式的因式分解问题描述给定一个二次多项式ax2+bx+c，请将其进行因式分解。
解答步骤1.首先确定二次多项式的系数a、b和c。
2.接着，我们需要找到两个因子，使得它们的乘积等于ac，并且它们的和等于b。
3.最后，将多项式按照因子的形式进行因式分解。
示例问题：将二次多项式2x2+3x−2进行因式分解。
解答：1.确定系数a=2，b=3和c=−2。
2.找到两个因子，它们的乘积等于ac=−4，并且它们的和等于b=3。
在本例中，-2 和 2 是满足要求的因子。
3.将多项式进行因式分解：2x2+3x−2=(x−2)(2x+1)。
因此，二次多项式2x2+3x−2的因式分解结果为(x−2)(2x+1)。
答案(x−2)(2x+1)2. 完全平方式的因式分解问题描述给定一个完全平方式a2−b2，请将其进行因式分解。
解答步骤1.首先确定完全平方式的两个因子a和b。
2.接着，根据公式(a−b)(a+b)进行因式分解。
示例问题：将完全平方式9x2−4进行因式分解。
解答：1.确定完全平方式的两个因子a=3x和b=2。
2.根据公式进行因式分解：9x2−4=(3x−2)(3x+2)。
因此，完全平方式9x2−4的因式分解结果为(3x−2)(3x+2)。
答案(3x−2)(3x+2)3. 其它特殊情况的因式分解问题描述除了二次多项式和完全平方式外，还有一些特殊情况需要进行因式分解。
下面是几个例子：1.差平方式：形式为a2−b2的差平方式可以利用公式(a−b)(a+b)进行因式分解。
2.特殊二次多项式：形式为ax2+bx+c的二次多项式，如果不能直接进行因式分解，可以尝试使用求根公式进行因式分解。
3.多项式的公因式提取：对于多项式ax2+bx，可以提取公因式得到x(ax+b)进行因式分解。
示例问题：将差平方式16x2−9进行因式分解。
解答：根据公式(a−b)(a+b)进行因式分解：16x2−9=(4x−3)(4x+3)。
数学初一下册《因式分解的应用》解答题专题训练（附答案）1．已知x2﹣x﹣1＝0，求代数式﹣x3+2x2+2022的值．2．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc且∠C ＝60°．试证明△ABC是等边三角形．3．常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y ﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：（1）分解因式：2a2﹣8a+8；（2）请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y；（3）若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．4．如图1，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积＝长×宽＝（a+2b）（a+b），六个小图形面积和为：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）仿照上面的方法，由图2可得等式；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．5．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1进行因式分解的过程．解：设x2﹣3x＝m原式＝（m+4）（m+6）+1（第一步）＝m2+10m+25（第二步）＝（m+5）2（第三步）＝（x2﹣3x+5）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式；B．平方差公式；C．完全平方公式（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+6）+9进行因式分解．（3）因式分解：（x2﹣4x+6）（x2﹣4x+2）+4＝（在横线处直接写出因式分解的结果）．6．王老师在黑板上写下了四个算式：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；…认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：（1）112﹣92＝；132﹣112＝．（2）小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n﹣1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的规律．7．第一环节：自主阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法．第二环节：利用这种方法解决下列问题．因式分解：x2y﹣4y﹣2x2+8．第三环节：拓展运用．已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状并说明理由．8．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x2+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣2²＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例如．求代数式2x²+4x﹣1的最小值．原式＝2x²+4x﹣1＝2（x²+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）²﹣3．可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．（1）分解因式：a²﹣2a﹣3＝．（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式x2+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．（3）当m，n为何值时，多项式m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出这个最小值．9．在现今”互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3﹣x2因式分解的结果为x2（x﹣1），当x＝5时，x2＝25，x﹣1＝04，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝10时，x﹣1＝09，x+1＝11，x+2＝12，此时可以得到数字密码091112．（1）根据上述方法，当x＝12，y＝5时，求多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）（2）若一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码；（只需一个即可）（3）若多项式x2+（m﹣3n）x﹣6n因式分解后，利用本题的方法，当x＝25时可以得到一个密码2821，求m、n的值．10．如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为；（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为；②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．11．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，AB＝CD＝a，AD＝b，BD＝c，且满足a2+2ab ＝c2+2bc，AE是△ABD的中线．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．12．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中空白部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为30厘米，求图中阴影部分的面积．13．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请你结合以上知识，解答下列问题：（1）写出图2所示的长方形所表示的数学等式．（2）根据图3得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求代数式a2+b2+c2的值．（3）小华同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值．14．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：x2﹣8x+＝（x﹣）2；（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．15．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“方加分解”，例如：236＝122+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以236是“方加数”．（1）判断212是否是“方加数”？．并说明理由；（2）把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．16．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆项法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1；②（拆项法）x2﹣6x+8；（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．17．七年级教材下册“第九章整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本77页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形（如图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论：．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．活动材料：如图，4张A型直角三角形纸片、1张B型正方形纸片．活动要求：利用这两种纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．活动内容：（1）根据要求，小腾拼出了如图的大正方形，请你根据此图说明a2+b2＝c2成立的理由．（2）利用（1）的结论计算：若b﹣a＝，c2＝，求b2﹣a2的值．18．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为（用含a，b的代数式表示）；（2）小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE 和正方形BCFG．若AB＝6，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1，S2，且S1+S2＝20，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝．20．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+n的值（其中n是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1+2+3+4+⋯+n＝．【问题提出】求13+23+33+⋯+n3的值（其中n是正整数）．【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．探究1如图2，13可以看成1个1×1的正方形的面积，即13＝1×12＝12．探究2如图3，A表示1个1×1的正方形，其面积为：1×12＝13；B表示1个2×2的正方形，其面积为：1×22；C，D分别表示1个1×2的长方形，其面积的和为：2×1×2＝1×22；B，C，D的面积和为1×22+1×22＝（1+1）×22＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32．探究3请你类比上述探究过程，借助图形探究：13+23+33＝＝．（要求自己构造图形并写出推证过程）【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：13+23+33+⋯+n3＝＝．（要求直接写出结论，不必写出推证过程）【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：6×6×6＝63个，棱长是2的正方体有：5×5×5＝53个，…棱长是6的正方体有：1×1×1＝13个；然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为．【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为．【拓展探究】观察下列各式：13＝1；23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；⋯⋯若m3（m为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则m的值．参考答案1．解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴﹣x3+2x2+2022＝﹣x•x2+2x2+2022＝﹣x（x+1）+2（x+1）+2022＝﹣x2﹣x+2x+2+2022＝﹣x2+x+2024＝﹣（x+1）+x+2024＝﹣x﹣1+x+2024＝2023．2．证明：∵a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc，∴（a﹣b）2＝c（a﹣b），∴（a﹣b﹣c）（a﹣b）＝0，在△ABC中，∵b+c＞a，∴a﹣b﹣c＜0，∴a﹣b＝0，a＝b，∴△ABC是等腰三角形，∵∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形．3．解：（1）原式＝2（a2﹣4a+4）＝2（a﹣2）2；（2）原式＝（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+3）；（3）△ABC是等腰三角形或等边三角形．理由如下：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c∴△ABC是等腰三角形．4．解：（1）如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）2＝a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）．故答案为：（a+b+c）2＝a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45．5．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．故答案为：C；（2）设x2+2x＝y，原式＝y（y+6）+9＝y2+6y+9＝（y+3）2＝（x2+2x+3）2；（3）设x2﹣4x+2＝z，原式＝z（z+4）+4＝z2+4z+4＝（z+2）2＝（x2﹣4x+2+2）2＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．6．解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝8×5＝40；132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝8×6＝48．故答案为：40；48；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，∵n为正整数，∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．7．解：第二环节：x2y﹣4y﹣2x2+8＝y（x2﹣4）﹣2（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）﹣2（x﹣2）（x+2）＝（y﹣2）（x﹣2）（x+2）；第三环节：△ABC是等腰三角形，理由：∵b2+2ab＝c2+2ac，∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，（b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0，（2a+b+c）（b﹣c）＝0，∵2a+b+c≠0，∴b﹣c＝0，即b＝c，∴△ABC是等腰三角形．8．解：（1）a²﹣2a﹣3＝a²﹣2a+1﹣4＝（a﹣1）2﹣4＝（a﹣1﹣2）（a﹣1+2）＝（a﹣3）（a+1）；（2）多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数，理由：x²+y²﹣4x+2y+6＝x²﹣4x+4+y²+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，∴多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数；（3）m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25＝m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5＝（m﹣n﹣2）2+（n﹣4）2+5，当m﹣n﹣2＝0，n﹣4＝0时代数式有最小值，解得m＝6，n＝4，最小值为5．9．解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），当x＝12，y＝5时，x﹣y＝07，x+y＝17，可得数字密码是120717；也可以是121707，171207；（2）由题意得：，解得xy＝12，而x3y+xy3＝xy（x2+y2），∴可得数字密码为1225．（3）∵密码为2821，∴当x＝25时，∴x2+（m﹣3n）x﹣6n＝（x+3）（x﹣4），即：x2+（m﹣3n）x﹣6n＝x2﹣x﹣12，∴，解得．10．解：（1）如图，∵矩形ABCD由2块边长为a的小正方形，5块长为b，宽为a的小长方形，2块边长为b的大正方形组成，＝2a2+5ab+2b2，∴S矩形ABCD又∵矩形ABCD的长为（a+2b），宽为（2a+b），＝（a+2b）（2a+b），∴S矩形ABCD∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），故答案为：（a+2b）（2a+b）；（2）①∵这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，∴2（a2+b2）+5ab＝177，2（a2+b2）+5×15＝177，2（a2+b2）＝177﹣75，2（a2+b2）＝102，a2+b2＝51，即1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为51，故答案为：51；②通过平移的性质可知，图中所有剪裁线（虚线部分）长的和即为矩形ABCD的周长，2[（2a+b）+（a+2b）]＝2（2a+b+a+2b）＝2（3a+3b）＝6a+6b，又∵a2+b2＝51，∴（a+b）2﹣2ab＝51，又∵ab＝15，∴（a+b）2﹣2×15＝51，∴（a+b）281，∵a+b＞0，∴a+b＝9，∴6a+6b＝54，∴图中所有剪裁线（虚线部分）长的和为54．11．（1）解：△ABD是等腰三角形，理由如下，∵a2+2ab＝c2+2bc，∴（a﹣c）（a+c+2b）＝0，∵a+c+2b≠0，∴a＝c，∴△ABD是等腰三角形．（2）证明：如图，取AB的中点F，连接DF，则由（1）得，a＝c，∴AB＝BD，∠FAD＝∠EDA，∵点E是BD的中点，F是AB的中点，∴DE＝BD，AF＝AB，DF∥AC，∴DE＝AF，∠ADF＝∠DAC，在△ADF和△DAE中，，∴△ADF≌△DAE（SAS），∴∠ADF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∴AD是∠EAC的平分线．12．解：（1）由题意得，大正方形的面积为a2平方厘米，小正方形的面积为b2平方厘米，小长方形的面积为ab平方厘米，∴2a2+5ab+2b2为大长方形的面积，∵大长方形的长为（2a+b）厘米，宽为（2b+a）厘米，∴大长方形的面积为（2a+b）（2b+a）平方厘米，∴2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（2b+a），故答案为：（2a+b）（2b+a）．（2）∵空白部分的面积为20平方厘米，大长方形的周长为30厘米，∴5ab＝20，2（2a+b+2b+a）＝30，解，得：，∴阴影部分的面积为2a2+2b2＝2×42+2×12＝34（平方厘米），答：图中阴影部分的面积为34平方厘米．13．（1）拼成的大矩形面积之和＝（a+b）（a+2b），各个小图形面积之和＝a2+3ab+2b2，∴图2所表示的数学等式是（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．（2）图（3）中大正方形的面积＝（a+b+c）2，各个小图形面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝102，即a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）＝100，∴a2+b2+c2＝100﹣2×38＝24．（3）大长方形的面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+10ab+18ab+15b2＝12a2+28ab+15b2，小图形的面积分别为a2，b2，ab，∴x＝12，y＝15，z＝28．∴x+y+z＝12+15+28＝55．14．解：（1）∵x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，故答案为：16，4．（2）x2﹣10x+2＝x2﹣10x+25﹣23＝（x﹣5）2﹣23．∵（x﹣5）2≥0，∴当x＝5时，原式有最小值﹣23．（3）M﹣N＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10＝a2﹣6a+9+1＝（a﹣3）2+1．∵（a﹣3）2≥0，∴M﹣N＞0．∴M＞N．15．解：（1）212＝11²+91，∴212是“方加数”；（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是10﹣m，个位数是n，∴N的各位数字之和是m+n+10﹣m+n＝10+2n，∵N能被3整除，∴n＝1或n＝4或n＝7，当n＝1时，N＝1000m+100+100﹣10m+1＝990m+201，∵N能被7整除，∴m＝3，∴M＝31²+71＝1032；当n＝4时，N＝1000m+400+100﹣10m+4＝990m+504，∵N能被7整除，∴m＝7，∴M＝74²+34＝5510；当n＝7时，N＝1000m+700+100﹣10m+7＝990m+807，∵N能被7整除，∴m＝4，∴M＝47²+67＝2276；综上所述：满足条件的M有1032和5510和2276．16．（本题满分10分）解：（1）①4x2+4x﹣y2+1＝（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；②x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）＝（x﹣4）（x﹣2）；（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝2，c＝3，∴a+b+c＝2+2+3＝7．故△ABC的周长为：7．17．解：第一图的阴影部分面积为：a2﹣b2，第二图阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），重要的结论a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；活动内容：（1）由图象可知，，∴a2+b2+2ab﹣2ab＝c2，∴a2+b2＝c2；（2）∵b﹣a＝，∴，∴，∵a2+b2＝c2，c2＝，∴，解得ab＝3，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴，∴a+b＝，∴．18．解：（1）根据题意得，a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张；（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，＝ab＝4．∴S阴影19．解：（1）大长方形的面积＝（a+b）2．也等于各部分面积之和即：a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）把（a+2b）（a+b）展开得：a2+3ab+2b2．∴2号卡片数量是2张，3号卡片数量是3张．故答案为：2、3．（3）由图③根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．故答案为：（a+2b）（a+b）．（4）如图所示：∴a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）．故答案为：（a+2b）（a+3b）．20．解：探究3，如图，A表示1个1×1的正方形，其面积为：1×12＝13；B表示1个2×2的正方形，其面积为：1×22；C，D分别表示1个1×2的长方形，其面积的和为：2×1×2＝1×22；B，C，D的面积和为1×22+1×22＝（1+1）×22＝23；E表示1个3×3的正方形，其面积为：1×32；F，G分别表示1个2×3的长方形，其面积的和为：2×2×3，H，I分别表示1个1×3的长方形，其面积的和为：2×1×3＝1×2×3，F，G，H，I的面积和为2×2×3+1×2×3＝3×2×3＝2×32；E，F，G，H，I的面积和为1×32+2×32＝（1+2）×32＝33，而A，B，C，D，E，F，G，H，I恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形．由此可得：13+23+23＝（1+2+3）2＝62．【结论归纳】13+23+33+⋯+n3＝（1+2+3+•••+n）2＝．【结论应用】图4中大小正方体的个数为13+23+33+43+53+63＝（1+2+3+4+5+6）2＝441．【逆向应用】设大正方体的棱长为x，根据这个大正方体中的大小正方体一共有13+23+33+⋯+x3＝（1+2+3+•••+x）2＝36100，由此得出1+2+3+•••+x＝190，由此得出x（x+1）＝380，相邻的两个整数的乘积是380，分析出x＝19，由此得出大正方体的体积为193＝6859，棱长为1的小正方体的个数为6859．【拓展探究】13＝1；23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；则13+23+33+43＝1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，由【结论归纳】可知，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102，观察得出19＝2×10﹣1．若m3（m为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数．当2×（1+2+3+⋯+m）﹣1＝2021，得出m（m＝1）＝2022，求得m不是正整数，说明等式右边还有大于2021的数；由相邻的两个正整数的乘积大于2022，则m最小是45，由此得出m≥45．。
因式分解方法技巧专题一分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
常见错误：1、 漏项，特别是漏掉2、 变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化3、 分解不彻底首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1,括号里面分到“底”［例题］把下列各式因式分解：21. x(y-x)+y(y-x)-(x-y)2.a5-a 3. 3(x 2 2-4x) -482 2 2 22、2a(x 1) -2ax3、3a -6a3 JlJi 2 2 2 2 4、56xyz+14xyz — 21xy Z 5专题二二项式的因式分解：二项式若能分解，就一定要用到两种方法： 1提公因式法2平方差公式法。
先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中 a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、 两项的符号相反；C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式._ 231、3x -12x3 2 2、—4a + 16a b — 26ab6、m 4 - 16n 4［例题］分解因式：3(x+y) -271)x5-X3 2 ) m4 -16n43)252—16X4)9 a2- 1b2.25 ) 25- 16x ;62 1 2 )9a—1b44专题三三项式的分解因式：如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法2完全平方公式法。
第二章 因式分解练习题一、选择题1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）(A)(a +3)(a -3)=a 2-9 (B)x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1(C)a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ）(A)-a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) (B)9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy )(C)3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) (D)21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1)4.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +45.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D)13292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）(A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 47.下列分解因式错误的是（ ）(A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)28.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 29.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ）(A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数二、填空题11.分解因式：m 3-4m = .12.已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 .13.将x n -y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x +y )(x -y )，则n 的值为 .14.若ax 2+24x +b =(mx -3)2，则a = ，b = ，m = . (第15题图)15.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 .三、解答题(每小题6分，共24分)16.分解因式：(1)-4x 3+16x 2-26x (2)21a 2(x -2a )2-41a (2a -x )3（3）56x 3yz+14x 2y 2z －21xy 2z 2 (4)mn(m －n)－m(n －m)17.分解因式：(1) 4xy –(x 2-4y 2) (2)-41(2a -b )2+4(a -21b )218.分解因式：(1)-3ma 3+6ma 2-12ma (2) a 2(x -y )+b 2(y -x )19、分解因式（1）23)(10)(5x y y x -+-； （2）32)(12)(18b a b a b ---；（3）)(6)(4)(2a x c x a b a x a ---+-；20.分解因式：(1)21ax 2y 2+2axy +2a (2)(x 2-6x )2+18(x 2-6x )+81 (3) –2x 2n -4x n21．将下列各式分解因式：（1）2294n m -； （2）22)(16)(9n m n m --+； （3）4416n m -；22．分解因式（1）25)(10)(2++++y x y x ； （2）4224817216b b a a +-；23.用简便方法计算：(1)57.6×1.6+28.8×36.8-14.4×80 (2)39×37-13×34（3）．13.731175.231178.193117⨯-⨯+⨯24．试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍。
专题07 因式分解的六种方法大全题型一、提取公因式法与公式法综合例．分解因式：32214a ab ab -+＝______．【答案】21()2a ab -【详解】解：32214a a b ab -+＝221()4a a ab b -+＝21()2a ab -．故答案是：21()2a ab -．【变式训练1】因式分解：322882x x y xy -+=________________．【答案】22(2)x x y -【详解】解：原式=2x (4x 2−4xy +y 2)=2x (2x −y )2故答案为：2x (2x −y )2．【变式训练2】因式分解：21222a b ab b -+=_________．【答案】21(2)2b a -【详解】22211122(44)(2)222a b ab b b a a b a -+=-+=-故答案为：21(2)2b a -．【变式训练3】分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【变式训练4】小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将()()2222ac x y bc x y ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．抗疫胜利B ．抗疫必胜C ．我必胜利D ．我必抗疫【答案】B【详解】解：原式＝()()22x y ac bc --()()()c a b x y x y =-+-Q x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．x y \-对应抗，x y +对应疫，c 对应必，-a b 对应胜故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜故选：B题型二、十字相乘法例．将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-【答案】B【详解】解：()211a a --+=2211a a a -+-+=232a a -+=()()12a a --．故选B ．【变式训练1】多项式239514x x +-可因式分解成(3)()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +之值为何？（ ）A ．12-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +-多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +-=+-∵多项式239514x x +-可因式分解成（3x +a ）（bx +c ）∴ 2a =，13b =，7c =-∴222(7)12a c +=+´-=-故选：A ．【变式训练2】分解因式：321024a a a +-=____．【答案】()()122a a a +-【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +-=+-=+-．故答案为：()()122a a a +-【变式训练3】因为()()22331x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若()3x +是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；(2)若()3x -和()4x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．【答案】(1)7k =；(2)7m =-，0n =；(3)(3)(4)x x x --【解析】(1)解：Q 3x +是多项式212x kx ++的一个因式，\当3x =-时，21293120x kx k ++=-+=，解得7k =；(2)Q (3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，\3232331230441240m n m n ì+´+´+=í+´+´+=î，解得70m n =-ìí=î．\7m =-，0n =．(3)解：由（2）得3212x mx x n +++即为32712x x x -+，\32712x x x-+2(712)x x x =-+(3)(4)x x x =--．题型四、分组法例．分解因式：4322221x x x x ++++【答案】22(1)(1)x x ++【详解】解：4322221x x x x ++++423(21)(22)x x x x =++++，222(1)2(1)x x x ++=+，22(1)(1)2x x x +=++22(1)(1)x x =++【变式训练1】已知221m a b =+-，4614n a b =--，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n ³B ．m >nC ．m n £D ．m <n【答案】A【详解】解：∵221m a b =+-，4614n a b =--，∴()()2214614b a m b n a -=---+-2246114b b a a =+--++()()224469a a b b =-++++()()2223a b =-++0³m n \³，故选A【变式训练2】分解因式：224b 12c 9c -++．【答案】()()23c b 23c b +++-【详解】解：224b 12c 9c -++=()22412c 9c b ++-=()2223c b +-=()()23c b 23c b +++-【变式训练3】分解因式：2244x y y -+-=__________．【答案】(2)(2)x y x y +--+【详解】解：2244x y y -+-22(44)x y y =--+22(2)x y =--(2)(2)x y x y =+--+故答案为：(2)(2)x y x y +--+．【变式训练4】阅读理解：把多项式am an bm bn +++分解因式．解法：()()am an bm bn am an bm bn +++=+++()()a m nb m n =+++()()m n a b =++观察上述因式分解的过程，回答下列问题：(1)分解因式：222mb mc b bc -+-．(2)ABC V 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断ABC V 的形状．【答案】(1)(2)()b c m b -+；(2)等腰三角形【解析】(1)解：222mb mc b bc-+-()2(2)2mb mc b bc =-+-(2)(2)m b c b b c =-+- (2)()b c m b =-+(2)解：∵2440a bc ac ab -+-=，∴2440a ab ac bc -+-=，∴()()40a a b c a b -+-=，∴()()40a b a c -+=，∵40a c +>，∴0a b -=，∴a b =，∴ABC V C 的形状是等腰三角形．题型四、添项、拆项法例．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=_______．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【详解】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---éùëû=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x 3﹣2x 2+1＝_________________．【答案】(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【详解】解：原式＝x 3﹣x 2﹣x 2+1＝x 2(x ﹣1)﹣(x +1)(x ﹣1)＝(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)故答案为：(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【变式训练2】因式分解：a a a 32+3+3+2【答案】()()a a a 2=+2++1【详解】原式()a a a 32=+3+3+1+1()a 33=+1+1()()()a a a 2éù=+1+1+1-+1+1ëû()()a a a 2=+2++1．故答案为：()()a a a 2=+2++1【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式21a -可以用如下方法分解因式：①()()()()22111111a a a a a a a a a -=-+-=-+-=-+；又比如多项式31a -可以这样分解：②()()()()()3322221111111a a a a a a a a a a a a a a -=-+-+-=-+-+-=-++；仿照以上方法，分解多项式51a -的结果是______．【答案】()()43211a a a a a -++++【详解】解：51a -54433221a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()()()43211111a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()43211a a a a a =-++++，故答案为：()()43211a a a a a -++++题型五、换元法（整体思想）例．因式分解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++【答案】()()229411x x x +++【解析】解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++()()2222212216122x x x x x x =++++++++()()2294121x x x x =++++()()229411x x x =+++【变式训练1】分解因式：()()()222241211y x y x y +--+-【答案】()2221x y x y -++【详解】()()()222241211y x y x y +--+-=()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y éù+--ëû=()2221x y x y -++【变式训练2】因式分解：（x 2+4x ）2﹣（x 2+4x ）﹣20．【答案】2(5)(1)(2)x x x +-+【详解】解：原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +4）＝（x +5）（x ﹣1）（x +2）2．【变式训练3】因式分解：（1）2223238x x x x +-+-()() （2）421x x x --+【答案】（1）()()()()1241x x x x +++-；（2）()()3211x x x -+-.【详解】解：（1）原式=()()223234x x x x +++-=()()()()1241x x x x +++-；（2）原式=()()2211xx x ---=()()()2111x x x x +---=()()2111x x x éù-+-ëû=()()3211x x x -+-.题型六、主元法例．分解因式：2222372x y z xy yz xz --+++.【答案】(2)(3)x y z x y z =+--+【详解】解：2222372x y z xy yz xz--+++222(2)(273)x y z x y yz z =++--+=2(2)(2)(3)x y z x y z y z ++---∴原式(2)(3)x y z x y z =+--+．【变式训练1】因式分解：（1）a b c ab ac bc abc1+++++++（2）()()a a b b b 6+11+4+3-1-2（3）()()()y y x x y y 22+1+1+2+2+1【答案】（1）()()()a b c =+1+1+1；（2）()()b b 3+2-1；（3）()()yx y yx x y =++1++【详解】（1）把a 视为未知数，其它视为参数．原式a ab ac abc b c bc =++++1+++()()a b c bc b c bc =1++++1+++()()a b c bc =+11+++()()()a b c =+1+1+1；（2）原式=()a b a b b 226+11+4+3--2，b b 23--2=()()b b 3+2-1，再次运用十字相乘法可知原式()()a b a b =2+3+23+-1；（3）选x 为主元，原式()()yx y yx x y =++1++．【变式训练2】因式分解：（1）a b ab bc ac222--++2（2）()x a b x a ab b 222+2+-3+10-3【答案】（1）()()a b b c 2+-+；（2）()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3【详解】（1）首先将原式按a 的降幂排列，写成关于a 的二次三项式()a c b a bc b 222+2-+-，此时的“常数bc b 2-”提取公因式b 即可分解成()b c b -，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成()()a b a b c 2+-+；（2）这是x 的二次式，“常数项”可分解为()()a ab b a b a b 22-3+10-3=-3--3再对整个式子运用十字相乘()()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3．【变式训练3】因式分解：a b ab a c ac abc b c bc 222222-+--3++【答案】()()a b c ab ac bc =--+-【详解】原式()()()b c a b c bc a b c bc 22222=+-++3++()()()b c a b c bc a bc b c 222=+-++3++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-．课后作业1．如果2240m m +-=，那么20182019202032m m m --的值为（ ）A ．2018m B ．2018m -C ．1D ．－1【答案】B【详解】解：∵2m 2+m -4=0，∴-2m 2-m =-4，∴3m 2018-m 2019-2m 2020=m 2018×（3-m -2m 2）=m 2018×（3-4）=m 2018×（-1）=-m 2018，故选：B ．2．如图，有一张边长为b 的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a 的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M 表示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为（ ）A ．()()62b a b a --B ．()()32b a b a --C ．()()5b a b a --D ．()22b a -【详解】解：底面积为（b ﹣2a ）2，侧面积为a •（b ﹣2a ）•4＝4a •（b ﹣2a ），∴M ＝（b ﹣2a ）2﹣4a •（b ﹣2a ），提取公式（b ﹣2a ），M ＝（b ﹣2a ）•（b ﹣2a ﹣4a ），＝（b ﹣6a ）（b ﹣2a ）故选：A ．3．已知250x y -+=，则224201x y y -+-=______．【答案】24【详解】解：250x y -+=Q ，25x y \-=-，224201x y y \-+-()()22201x y x y y =+-+-()52201x y y =-++-5101x y =-+-()521x y =--- 251=-24=，故答案为：24．4．分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -5．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．22216x xy y -+-()216x y =--()()44x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+；(3)△ABC 三边a 、b 、c 满足2222220a c b ab bc ++--=，判断△ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()3535a b a b ---+；(2)()()222x y x y -+-；(3)△ABC 是等边三角形，理由见解析【解析】(1)解：226925a ab b -+-()2325a b =--()()3535a b a b =---+；(2)解：22424x y x y--+()()()2222x y x y x y =-+--()()222x y x y =-+-；(3)解：△ABC 是等边三角形，理由如下：∵2222220a c b ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b c bc b -+-++=，∴()()220a b b c -+-=，∵()20a b -³，()20b c -³，∴a －b ＝0，且b －c ＝0，∴a ＝b ，且b ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．6．把下列各式因式分解：(1)2416x -；(2)23216164a b a ab --．【答案】(1)4(2)(2)x x +-(2)24(2)a a b --【解析】(1)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．(2)23216164a b a ab --224(44)a ab a b =--224(2)4a a ab b éù=--+ëû24(2)a a b =--．7．（1）把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解．（2）已知ABC V 的三边长为a ，b ，c ，且满足220a b ac bc --+=，请判断ABC V 的形状．【答案】（1）答案见解析（2）ABC V 是等腰三角形【详解】（1）拼接如图：拼接成的长方形的面积还可以表示为一个正方形和三个长方形的面积之和：22212132x x x x x +++´=++g g ；拼接成的长方形的面积：长´宽()()21x x =++；∴据此可得到因式分解的式子为：()()23221++=++x x x x ．故答案为：()()23221++=++x x x x ．（2）∵220a b ac bc --+=，∴()()()0a b a b c a b +---=，∴()()0a b a b c -+-=．∵ABC V 的三边长为a ，b ，c ，∴a b c +>，∴0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，V是等腰三角形．∴ABCV是等腰三角形．故答案为：ABC。
