因式分解专题复习及讲解(很详细)

第四讲 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。

】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。

2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。

3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。

】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。

【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。

如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。

】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。

2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。

3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （2013•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ． 思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（2013•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （2013•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （2013•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （2013•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2013•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（2013•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（2013•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （2013•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练 5．（2013•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】7．2(31)3x --8．（2013•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+91．D2．（2013•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）2．C3．（2013•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（2013•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（2013•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（2013•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（2013•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（2013•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（2013•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（2013•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（2013•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（2013•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（2013•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（2013•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（2013•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（2013•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（2013•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。

专题04 因式分解考点一：因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。

2. 因式分解的方法：①提公因式法：()cbamcmbmam++=++公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。

若多项式首项是负的，则公因式为负。

用各项除以公因式得到另一个式子。

②公式法：平方差公式：()()bababa-+=-22。

完全平方公式：()2222bababa±=+±③十字相乘法：利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。

对于一个二次三项式cbxax++2，若满足21aaa⋅=，21ccc⋅=，且bcaca=+1221，那么二次三项式cbxax++2可以分解为：()()22112cxacxacbxax++=++。

当1=a时，二次三项式是cbxx++2，此时只需21ccc⋅=，且bcc=+21，则cbxx++2可分解为：()()212cxcxcbxx++=++。

④分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。

（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）3. 因式分解的具体步骤：（1）先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。

（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。

四项及以上则考虑分组分解。

（3）检查因式分解是否分解完全。

必须分解到不能分解位置。

再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。

1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．2．（2022•永州）下列因式分解正确的是（ ）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B．3．（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝ ．【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式＝m（m+3）．故答案为：m（m+3）．4．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．5．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．故答案为：xy（x+y）．6．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．7．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．8．（2022•烟台）把x2﹣4因式分解为 ．【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故答案为：（x+2）（x﹣2）．9．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝　．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．10．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝ ．【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×6＝24．故答案为：24．11．（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝ ．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．12．（2022•济南）因式分解：a2+4a+4＝ ．【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（a+2）2，故答案为：（a+2）2．13．（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝ ．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．14．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．15．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．16．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．17．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2．故答案为：2（a+1）2．18．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝ ．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：3x2y﹣3y＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1），故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．19．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案为：a（a﹣3）2．20．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ ．【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）＝2022（x﹣1）2．故答案为：2022（x﹣1）2．21．（2022•常德）分解因式：x3﹣9xy2＝ ．【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．22．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝ ．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．23．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（ ）A．﹣12B．﹣3C．3D．12【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，∴a+2c＝2+2×（﹣7）＝2+（﹣14）＝﹣12，故选：A．24．（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．25．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 ．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10＝a2﹣（b﹣1）2+10＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．又∵a+b＝1，∴原式＝10．26．（2022•黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是　．【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），∵ab＝2，a+b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．。

因式分解复习步骤详解因式分解是数学中常见的一种运算方式，用于将一个多项式拆分成更简单的因子。

以下是因式分解的详细步骤：1. 提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。

这样做可以简化表达式，减少计算量。

提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。

这样做可以简化表达式，减少计算量。

2. 判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。

常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。

不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。

判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。

常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。

不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。

3. 观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。

例如，是否存在平方差、立方差等特点。

这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。

观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。

例如，是否存在平方差、立方差等特点。

这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。

4. 使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。

常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。

使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。

常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。

5. 检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。

可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。

检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。

可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。

6. 合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。

合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。

通过以上步骤，我们可以在解决数学问题时运用因式分解的方法。

因式分解是数学中的一项基础技能，熟练掌握这一技能可以提高解题的效率。

八年级数学因式分解专题一、提公因式法1. 分解因式：6x^2 3x解析：公因式为3x，原式= 3x(2x 1)2. 分解因式：8a^3b^2 + 12ab^3c解析：公因式为4ab^2，原式= 4ab^2(2a^2 + 3bc)3. 分解因式：3(x y)^2 6(y x)解析：将(y x)变形为-(x y)，公因式为3(x y)，原式= 3(x y)(x y + 2)二、公式法4. 分解因式：x^2 4解析：使用平方差公式 a² b² = (a + b)(a b)，原式=(x + 2)(x 2) 5. 分解因式：9 y^2解析：原式=(3 + y)(3 y)6. 分解因式：4x^2 12x + 9解析：使用完全平方公式 (a b)² = a² 2ab + b²，原式=(2x 3)^2 三、分组分解法解析：原式=(am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b) 8. 分解因式：x^2 y^2 + ax + ay解析：原式=(x + y)(x y) + a(x + y) = (x + y)(x y + a)9. 分解因式：2ax 10ay + 5by bx解析：原式=(2ax bx) + (-10ay + 5by) = x(2a b) 5y(2a b) = (2a b)(x 5y)四、十字相乘法10. 分解因式：x^2 + 3x + 2解析：1×2 = 2，1 + 2 = 3，原式=(x + 1)(x + 2)11. 分解因式：x^2 5x + 6解析：(-2)×(-3) = 6，-2 + (-3) = -5，原式=(x 2)(x 3)12. 分解因式：2x^2 5x 3解析：2×(-1) = -2，2×3 = 6，6 + (-1) = 5，原式=(2x + 1)(x 3)五、综合运用13. 分解因式：3x^3 12x^2 + 12x解析：公因式为3x，原式= 3x(x^2 4x + 4) = 3x(x 2)^2解析：将4(x + y 1)变形为4[(x + y) 1]，原式=(x + y)^2 4(x + y) + 4 = (x + y 2)^215. 分解因式：(a^2 + 1)^2 4a^2解析：使用平方差公式，原式=(a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 2a) = (a + 1)^2(a 1)^216. 分解因式：x^4 18x^2 + 81解析：原式=(x^2 9)^2 = [(x + 3)(x 3)]^2 = (x + 3)^2(x 3)^217. 分解因式：a^4 2a^2b^2 + b^4解析：原式=(a^2 b^2)^2 = [(a + b)(a b)]^2 = (a + b)^2(a b)^218. 分解因式：(x^2 + 4)^2 16x^2解析：使用平方差公式，原式=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 4x) = (x + 2)^2(x 2)^219. 分解因式：x^2 4xy + 4y^2 9解析：前三项使用完全平方公式，原式=(x 2y)^2 9 = (x 2y + 3)(x 2y 3)20. 分解因式：4x^2 4xy + y^2 z^2解析：前三项使用完全平方公式，原式=(2x y)^2 z^2 = (2x y + z)(2x y z)。

因式分解一、知识梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法把ma+mb+mc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：ma+mb+mc=m（a+b+c）注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清a、b分别表示什么.ⅱ）完全平方公式注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清a、b分别表示的量.补充：常见的两个二项式幂的变号规律：4、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,寻找满足的ab、，则有5、分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如：这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.6、求根公式法：如果有两个根，那么二、典型例题及针对练习考点1 因式分解的概念例1、在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..考点2 提取公因式法2注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.[补例练习]1。

因式分解50题（配完整解析）考点卡片一．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．二．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．22平方差公式：a ﹣b ＝（a +b ）（a ﹣b ）；222完全平方公式：a ±2ab +b ＝（a ±b ）；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．三．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax +ay +bx +by ＝x （a +b ）+y （a +b ）＝（a +b ）（x +y ）22②2xy ﹣x +1﹣y 22＝﹣（x ﹣2xy +y ）+12＝1﹣（x ﹣y ）＝（1+x ﹣y ）（1﹣x +y ）四．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．2①x +（p +q ）x +pq 型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）2②ax +bx +c （a ≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一2次项b ，那么可以直接写成结果：ax +bx +c ＝（a 1x +c 1）（a 2x +c 2）．五．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x ﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解2x 2﹣2＝x 2﹣（2）2＝（x+2）（x-2）一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x 2+2x =．2．因式分解：a 3+2a =．3．分解因式：8x 2-8xy +2y 2=．4．分解因式：ab 2+a 2b =．5．因式分解2x 2y -8y =．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n 2(m -2)-n (2-m )（2）(a 2+4b 2)2-16a 2b 2．7．因式分解（1）(2a +b )2-(a +2b )2（2）16x 4-8x 2y 2+y 48．已知m -2n =-2，求下列多项式的值：（1）5m -10n +10m 2（2）+n 2-mn -3．49．因式分解：(x 2-3)2+2(3-x 2)+1．10．因式分解：m 2(m -4)2+8m (m -4)+16．11．分解因式：4(a +2)2-9(a -1)2．12．(x 2+4)2-16x 2．13．因式分解：(x -6x )+18(x -6x )+81．14．分解因式：（1）x 4-2x 2+1；（2）a 4-8a 2b 2+16b 4；（3）(a 2+4)2-16a 2；（4）(m 2-4m )2+8(m 2-4m )+16．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )217．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．18．(x -5y )2-(x +5y )219．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 221．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；222222222（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 223．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+927．把下列各式因式分解：（1）12x 4-6x 3-168x 2（2）a 5(2-3a )+2a 3(3a -2)2+a (2-3a )3（3）abc (a 3+b 3+c 3+2abc )+(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3)28．分解因式（1）16-a 4（2）y 3-6xy 2+9x 2y（3）(m +n )2-4m (m +n )+4m 2（4）9-a 2+4ab -4b 229．因式分解（1）-a 2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；124242（4）(x -4x +1)(x +3x +1)+10x 4；31．分解因式：（1）12abc -2bc 2（2）2a 3-12a 2+18a （3）9a (x -y )+3b (x -y )（4）(x +y )2+2(x +y )+1（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b235．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x121x+xy+y22222（3）a-b-1+2b（4）x2+3x-436．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）（2）a2-6a+9-b237．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（5）p2-5p-36（6）x5-x3（7）(x-1)(x-2)-6（8）a2-2ab+b2-c238．把下列各式分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x-9；（5）2a4-a3-6a2-a+2．39．分解因式（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m40．分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)-12．41．分解因式：(x 2+4x +8)2+3x (x 2+4x +8)+2x 2．42．分解因式：（1）2a (y -z )-3b (z -y )；（2）-x 2+4xy -4y 2；（3）x 2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x -y )+9(x -y )2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x -3，解：原式=x 2+2x +1-1-3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2-4x +3（2）4x 2+12x -7．44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：22x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2-8a+15；（2）若a+b=6，ab=4，求：①a2+b2；②a4+b4的值；（3）已知x是实数，试比较x2-6x+11与-x2+6x-10的大小，说明理由．11146．小亮在对a4+分解因式时，步骤如下：a4+=a4+a2+-a2（添加a2与-a2，前444三项可利用完全平方公式）1=(a2+)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）211=(a2+a+)(a2-a+)．22请你利用上述方法分解因式4x4+1．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．因式分解50题（配完整解析）参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x2+2x=-2x(x-1)．【解答】解：-2x2+2x=-2x(x-1)，故答案为：-2x(x-1)．2．因式分解：a3+2a=a(a2+2)．【解答】解：a3+2a=a(a2+2)，故答案为a(a2+2)．3．分解因式：8x2-8xy+2y2=2(2x-y)2．【解答】解：原式=2(4x2-4xy+y2)=2(2x-y)2．故答案为：2(2x-y)2．4．分解因式：ab2+a2b=ab(a+b)．【解答】解：原式=ab(a+b)．故答案是：ab(a+b)．5．因式分解2x2y-8y=2y(x+2)(x-2)．【解答】解：2x2y-8y=2y(x2-4)=2y(x+2)(x-2)故答案为：2y(x+2)(x-2)．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n2(m-2)-n(2-m)（2）(a2+4b2)2-16a2b2．【解答】解：（1）原式=n(m-2)(n+1)；（2）原式=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab)=(a+2b)2(a-2b)2．7．因式分解（1）(2a+b)2-(a+2b)2（2）16x4-8x2y2+y4【解答】解：（1）(2a+b)2-(a+2b)2=(2a+b-a-2b)(2a+b+a+2b)=3(a-b)(a+b)；（2）16x4-8x2y2+y4=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2．8．已知m-2n=-2，求下列多项式的值：（1）5m-10n+10m2（2）+n2-mn-3．4【解答】解：（1）m-2n=-2，∴原式=5(m-2n)+10=-10+10=0；m-2n=-2，（2）11∴原式=(m2+4n2-4mn)=(m-2n)2-3=1-3=-2．449．因式分解：(x2-3)2+2(3-x2)+1．【解答】解：(x2-3)2+2(3-x2)+1=(x2-3)2-2(x2-3)+1=(x2-3-1)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2．10．因式分解：m2(m-4)2+8m(m-4)+16．【解答】解：原式=[m(m-4)]2+2⨯m(m-4)⨯4+42=[m(m-4)+4]2=(m2-4m+4)2=[(m-2)2]2=(m-4)4．11．分解因式：4(a+2)2-9(a-1)2．【解答】解：4(a+2)2-9(a-1)2=[2(a+2)-3(a-1)][2(a+2)+3(a-1)]=(7-a)(5a+1)．12．(x2+4)2-16x2．【解答】解：(x2+4)2-16x2=(x2+4-4x)(x2+4+4x)=(x-2)2(x+2)2．13．因式分解：(x-6x)+18(x-6x)+81．222【解答】解：(x-6x)+18(x-6x)+81222=(x2-6x+9)2=(x-3)4．14．分解因式：（1）x4-2x2+1；（2）a4-8a2b2+16b4；（3）(a2+4)2-16a2；（4）(m2-4m)2+8(m2-4m)+16．【解答】解：（1）原式=(x2-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2；（2）原式=(a2-4b2)2=[(a+2b)(a-2b)]2=(a+2b)2(a-2b)2；（3）原式=(a2+4-4a)(a2+4+4a)=(a-2)2(a+2)2；（4）原式=(m2-4m+4)2=[(m -2)2]2=(m -2)4．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．【解答】解：（1）x -4xy +4y =(x -2y )；（2）4a -12ab +9b =(2a -3b )；（3）a b +2ab +1=(ab +1)．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )2【解答】解：（1）(2x -y +z )(2x -y -z )222222222222222=(2x -y )2-z 2=4x 2+y 2-4xy -z 2；（2）25(a +b )2-16(a -b )2=[5(a +b )-4(a -b )][5(a +b )+4(a -b )]=(a +9b )(9a +b )．17．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．【解答】解：(x +3)2-(x -3)2=(x +3-x +3)(x +3+x -3)=12x ．18．(x -5y )2-(x +5y )2【解答】解：(x -5y )2-(x +5y )2=(x -5y +x +5y )(x -5y -x -5y )=-20xy ．19．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．【解答】解：（1）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2=[(3m +2n )-(2m +3n )][(3m +2n )+(2m +3n )]=(m -n )(5m +5n )=5(m -n )(m +n )．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 2【解答】解：（1）原式=(a -b )(x -y +x +y )=2x (a -b )．（2）原式=5m (2x -y +n )(2x -y -n )．21．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．【解答】解：（1）-3x 2+6xy -3y 2=-3(x 2-2xy +y 2)=-3(x -y )2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)=a 2-b 2+4b -4=a 2-(b -2)2=(a +b -2)(a -b +2)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 2【解答】解：（1）原式=9a 2(x -y )-4b 2(x -y )=(x -y )(3a +2b )(3a -2b )；（2）原式=-(4a 2-4ab +b 2)=-(2a -b )2．23．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．【解答】解：（1）a 4-16=(a 2+4)(a 2-4)=(a 2+4)(a +2)(a -2)；（2）ax 2-4axy +4ay 2=a (x 2-4xy +4y )=a (x -2y )2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )【解答】解：（1）原式=-a (25x 2-10x +1)=-a (5x -1)2；（2）原式=4x 2(a -b )-y 2(a -b )=(a -b )(2x +y )(2x -y )．25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)【解答】解：（1）原式=5(x 2+2x +1)=5(x +1)2；（2）原式=a 2-16+3a +6=a 2+3a -10=(a -2)(a +5)．26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+9【解答】解：（1）9m 2-25n 2=(3m +5n )(3m -5n )；（2）m 2-mn +n 2141=(m-n)2；2（3）2x2y-8xy+8y=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2；（4）(y2-1)2+6(1-y2)+9=[(1-y2)+3]2=(1-y2+3)2．=(4-y2)2=(2+y)2(2-y)2．27．把下列各式因式分解：（1）12x4-6x3-168x2（2）a5(2-3a)+2a3(3a-2)2+a(2-3a)3（3）abc(a3+b3+c3+2abc)+(a3b3+b3c3+c3a3)【解答】解：（1）原式=6x2(2x2-x-28)=6x2(2x+7)(x-4)；（2）原式=a5(2-3a)+2a3(2-3a)2+a(2-3a)3=a(2-3a)[a4+2a2(2-3a)+(2-3a)2]=a(2-3a)(a2+2-3a)2=a(2-3a)(a-1)2(a-2)2；（3）原式=a4bc+a3(b3+c3)+2a2b2c2+abc(b3+c3)+b3c3=bc(a4+2a2bc+b2c2)+a(b3+c3)(a2+bc)=bc(a2+bc)2+a(b3+c3)(a2+bc)=(a2+bc)[bc(a2+bc)+a(b3+c3)]=(a2+bc)[(bca2+ab3)+(b2c2+ac3)]=(a2+bc)[ab(ca+b2)+c2(b2+ac)]=(a2+bc)(b2+ac)(c2+ab)．28．分解因式（1）16-a4（2）y3-6xy2+9x2y（3）(m+n)2-4m(m+n)+4m2（4）9-a2+4ab-4b2【解答】解：（1）原式=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a2)(2-a2)；（2）原式=y(y2-6xy+9x2)=y(y-3x)2；（3）原式=(m+n-2m)2=(n-m)2；（4）原式=9-(a-2b)2=(3-a+2b)(3+a-2b)．29．因式分解（1）-a2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．【解答】解：（1）-a 2-a =-a (a +1)（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2=(x +y )(5m +3n +m -n )(5m +3n -m +n )=(x +y )(6m +2n )(4m +4n )=8(x +y )(3m +n )(m +n )（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81=(a 2+6a +9)2=(a +3)4（4）x 2-4x -y 2+4=(x -2)2-y 2=(x -2+y )(x -2-y )30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；12（4）(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4；【解答】解：（1）令a 2+1=b ，则原式=(b +a )(b -6a )+12a 2（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．=b 2-5ab -6a 2+12a 2=b 2-5ab +6a 2=(b -2a )(b -3a )=(a 2+1-2a )(a 2+1-3a )=(a -1)2(a 2-3a +1)；（2）原式=[(2a +5)(a -3)][(a +3)(2a -7)]-91=(2a 2-a -15)(2a 2-a -21)-91=(2a 2-a )2-36(2a 2-a )+224=(2a 2-a -28)(2a 2-a -8)=(a -4)(2a +7)(2a 2-a -8)；（3）设x +y =a ，xy =b ，则原式=b (b +1)+(b +3)-2(a +)-(a -1)212=(b 2+2b +1)-a 2=(b +1+a )(b +1-a )=(xy +1+x +y )(xy +1-x -y )；（4）令x 4+1=a ，则原式=(a -4x 2)(a +3x 2)+10x 4=a 2-x 2a -2x 4=(a -2x 2)(a +x 2)=(x 4+1-2x 2)(x 4+1+x 2)=(x +1)2(x -1)2(x 2+x +1)(x 2-x +1)；（5）原式=(2x3-x2z)+(-4x2y+2xyz)+(2xy2-y2z) =x2(2x-z)-2xy(2x-z)+y2(2x-z)=(2x-z)(x2-2xy+y2)=(2x-z)(x-y)2．31．分解因式：（1）12abc-2bc2（2）2a3-12a2+18a（3）9a(x-y)+3b(x-y)（4）(x+y)2+2(x+y)+1（5）x2-1+y2-2xy（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)【解答】解：（1）12abc-2bc2=2bc(6a-c)；（2）2a3-12a2+18a=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2；（3）9a(x-y)+3b(x-y)=3(x-y)(3a+b)；（4）(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2；（5）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)=a2-b2+4b-4=a2-(b-2)2=(a-b+2)(a+b-2)．32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．【解答】解：（1）a4-16=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)(a-2)；（2）16(a-b)2-9(a+b)2=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b)；（3）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2=[(m+n)-(m-n)]2=(m+n-m+n)2=(2n)2=4n2；（5）x2-5x+6=(x-2)(x-3)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+5x-6=(x+6)(x-1)；（8）x2+5x+6=(x+2)(x+3)．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．【解答】解：（1）-3x3-6x2y-3xy2；=-3x(x2+2xy+y2)=-3x(x+y)2；（2）(a2+9)2-36a2=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a+3)2(a-3)2；（3）25m2-(4m-3n)2=(5m)2-(4m-3n)2，=(5m+4m-3n)(5m-4m+3n)=3(3m-n)(m+3n)；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3=(x2-2x-3)(x2-2x+1)=(x-3)(x+1)(x-1)2．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b2【解答】解：（1）x2-5x-6=(x-3)(x+2)；（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)；=y2-(x2-6x+9)=y2-(x-3)2=(y+x-3)(y-x+3)；（4）(a2+4b2)2-16a2b2=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab) =(a+2b)2(a-2b)2．35．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x（2）12x2+xy+12y2（3）a2-b2-1+2b（4）x2+3x-4【解答】解：（1）27xy2-3x =3x(9y2-1)=3x(3y+1)(3y-1)；（2）12x2+xy+12y2=1(x2+2xy+y2 2)=1(x+y)22；（3）a2-b2-1+2b=a2-(b2-2b+1)=a2-(b-1)2=(a+b-1)(a-b+1)；（4）x2+3x-4=(x+4)(x-1)．36．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）a2-6a+9-b2【解答】解：（1）x2-xy-12y2，=(x+3y)(x-4y)；（2）a2-6a+9-b2，=(a-3)2-b2，=(a-3+b)(a-3-b)．37．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（6）x 5-x 3（7）(x -1)(x -2)-6（8）a 2-2ab +b 2-c 2【解答】解：（1）8a 3b 2-12ab 3c =4ab 2(2a 2-3bc )；（2）-3ma 3+6ma 2-12ma =-3ma (a 2-2a +4)=-3ma (a -2)2；（3）2(x -y )2-x (x -y )=(x -y )(2x -2y -x )=(x -y )(x -2y )；（4）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（5）p 2-5p -36=(p -9)(p +4)；（6）x 5-x 3=x 3(x 2-1)=x 3(x +1)(x -1)；（7）(x -1)(x -2)-6=x 2-3x +2-6=(x -4)(x +1)；（8）a 2-2ab +b 2-c 2=(a -b )2-c 2=(a -b +c )(a -b -c )．38．把下列各式分解因式：（1）4x 3-31x +15；（2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2-a 4-b 4-c 4；（3）x 5+x +1；（4）x 3+5x 2+3x -9；（5）2a 4-a 3-6a 2-a +2．【解答；（；（5522232】解：（1）4x 3-31x +15=4x 3-x -30x +15=x (2x +1)(2x -1)-15(2x -1)=(2x -1)(2x 2+x -15)=(2x -1)(2x -5)(x +3)2）2a b +2a c +2b c -a -b -c =4a b -(a +b +c +2a b -2a c -2b c )=(2ab )-(a +b -c )=(2ab +a +b -c )(2ab -a -b +c )=(a +b +c )(a +b -c )(c +a -b )(c -a +b )32222）3x +x +1=x -x +x +x +1=x (x -1)+(x +x +1)=x (x -1)(x +x +1)+(x +x +1)=(x +x +1)(x -x 2+1)；（；（4）x 3+5x 2+3x -9=(x 3-x 2)+(6x 2-6x )+(9x -9)=x 2(x -1)+6x (x -1)+9(x -1)=(x -1)(x +3)25）2a -a -6a -a +2=a (2a -1)-(2a -1)(3a +2)=(2a -1)(a -3a -2)=(2a -1)(a +a -a -a -2a -2)=(2a -1)[a (a +1)-a (a +1)-2(a +1)]=(2a -1)(a +1)(a 2-a -2)=(a +1)(a -2)(2a -1)．39．分解因式（1）20a 3x -45ay 2x（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m【解答】解：（1）原式=5ax (4a 2-9y 2)=5ax (2a +3y )(2a -3y )；（2）原式=(1+3x )(1-3x )；（3）原式=(2x )2-12x +9=(2x -3)2；（4）原式=(2xy-1)2；（5）原式=(p+4)(p-9)；（6）原式=(y-3)(y-4)；（7）原式=3(x2-2x+1)=3(x-1)2；（8）原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2；（9）原式=m(m2-m-20)=m(m+4)(m-5)．40．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．【解答】解：设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为(x-1)(x+2)(x2+x+5)41．分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．【解答】解：设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．42．分解因式：（1）2a(y-z)-3b(z-y)；（2）-x2+4xy-4y2；（3）x2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x-y)+9(x-y)2．【解答】解：（1）原式=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)；（2）原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2；（3）原式=(x+2)(x-2)；（4）原式=[3(x-y)-2]2=(3x-3y-2)2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x-3，解：原式=x2+2x+1-1-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2-4x+3（2）4x2+12x-7．【解答】解：（1）x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x -2)2-1=(x -2+1)(x -2-1)=(x -1)(x -3)（2）4x 2+12x -7=4x 2+12x +9-9-7=(2x +3)2-16=(2x +3+4)(2x +3-4)=(2x +7)(2x -1)44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．【解答】解：（1）（2）设x -2x =y原式=y (y +2)+1222(x 2-4x +4)2=(x -2)4，∴该同学因式分解的结果不彻底．=y 2+2y +1=(y +1)2=(x 2-2x +1)2=(x -1)4．故答案为：不彻底．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：x 2+2ax -3a 2=(x 2+2ax +a 2)-a 2-3a 2=(x +a )2-4a 2=(x +a +2a )(x +a -2a )=(x +3a )(x -a )像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a 2-8a +15；（2）若a +b =6，ab =4，求：①a 2+b 2；②a 4+b 4的值；（3）已知x 是实数，试比较x 2-6x +11与-x 2+6x -10的大小，说明理由．【解答】解：（1）a 2-8a +15=(a 2-8a +16)-1=(a -4)2-12=(a -3)(a -5)；（2）a +b =6，ab =4，a2+b2=(a+b)2-2ab=36-8=28．a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=282-2⨯16=752．（3）x2-6x+11=(x-3)2+22，-x2+6x-10=-(x-3)2-1-1，∴x2-6x+11>-x2+6x-10．46．小亮在对a4+1114分解因式时，步骤如下：a4+4=a4+a2+4-a2三项可利用完全平方公式）=(a2+12)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）=(a2+a+12)(a2-a+12)．请你利用上述方法分解因式4x4+1．【解答】解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．【解答】解：（1）x2+3x+2=(x+1)(x+2)；（2）x2-3x+2=(x-1)(x-2)；（3）x2+2x-3=(x+3)(x-1)；（4）x2-2x-3=(x-3)(x+1)；（5）x2+5x+6=(x+3)(x+2)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+x-6=(x+3)(x-2)；a2与-a2，前（添加（8）x2-x-6=(x-3)(x+2)；（9）x2-5x-36=(x-9)(x+4)；(10)x2+3x-18=(x+6)(x-3)；(11)2x2-3x+1=(2x-1)(x-1)；(12)6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2)．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．【解答】解：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9=[(x+1)(x+8)][(x+3)(x+6)]+9=(x2+9x+8)(x2+9x+18)+9=(x2+9x)2+26(x2+9x)+153=(x2+9x+9)(x2+9x+17)．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．【解答】解：（1）x4-7x2+6=(x2-1)(x2-6)=(x+1)(x-1)(x+6)(x-6)；（2）x4-5x2-36=(x2-9)(x2+4)=(x+3)(x-3)(x2+4)（3）4x4-65x2y2+16y4=(2x2-4y2)2-49x2y2=(2x2-4y2+7xy)(2x2-4y2-7xy)=(2x-1)(2x+1)(1-4y)(1+4y)；（4）a6-7a3b3-8b6=(a3-8b3)(a3+b3)=(a-2b)(a2+2ab+b2)(a+b)(a2-ab+b2)=(a-2b)(a+b)3(a2-ab+b2)；（5）6a4-5a3-4a3=6a4-9a3=3a3(2a-3)；（6）4a6-37a4b2+9a2b4=a2(4a4-37a2b2+9b4)=a2(4a4-12a2b2+9b4-25a2b2)=a2[(2a2-3b2)2-25a2b2]=a2(2a+1)(2a-1)(1-3b)(1+3b)．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．【解答】解：（1）原式=[(x+y)2-4][(x+y)2+5]=(x+y+2)(x+y-2)(x2+y2+2xy+5)；（2）原式=(x2-2x)2-11(x2-2x)+24=(x2-2x-3)(x2-2x-8)=(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)；（3）原式=(x+1)(x+3)(x-5)(x-7)-105=(x2-4x-5)(x2-4x-21)-105=(x2-4x)2-26(x2-4x)=(x2-4x)(x2-4x-26)=x(x-4)(x2-4x-26)（4）原式=(x2-6-5x)(x2-6+x)=(x-6)(x+1)(x-2)(x+3)．第21页（共21页）。

第一讲：因式分解（注：在看以下内容时，用红笔标注不懂的地方以及自己感觉容易粗心出错的地方，并记下来） 知识点: 一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(c b a ac ab +=+2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+ 3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((22b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底. 4. 运用公式法: (1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法:1.对于二次三项式c bx ax ++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅=, 21c c c ⋅=,且满足1221c a c a b +=,往往写成的形式,将二次三项式进行分解.如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++ 2. 二次三项式q px x ++2的分解:))((2b x a x q px x ++=++abq ba p =+=3. 规律内涵:(1)理解:把q px x ++2分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同.(2)如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.c 2a 2c 1a 1ba 11（注：不必一周之类完成，能完成多少完成多少）第一次作业一、填空（每空1分，共15分）1、把一个多项式化为的形式，叫做因式分解。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。

《因式分解》知识梳理及经典例题【知识梳理】1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

例：13ax +13bx =13x(a +b)因式分解，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

{系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a 3b 3c −8a 3b 2c 3+6a 4b 2c 2的公因式是 ．解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分a 3b 3c,a 3b 2c 3,a 4b 2c 2都含有因式a 3b 2c ，故多项式的公因式是2a 3b 2c .②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a.逆用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)b.逆用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2c.逆用立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)（拓展）d.逆用立方差公式：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)（拓展）注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

因式分解一、因式分解的概念：因式分解(分解因式）：把一个多项式化为几个整式（ )的形式。

二、因式分解的方法：1、提公因式法：（1）公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式。

（3)注意：①提取完公因式后,看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项；②提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底"；③如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

2、公式法：运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:①平方差公式: a2－b2＝②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2＝3、十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=特点：(1）二次项系数是1；（2)常数项是两个数的乘积；(3）一次项系数是常数项的两因数的和。

一、按知识点：题型一： 概念的理解：例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是？请说出理由.（1）、()ay ax y x a +=+ （2)、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、222)1(12xx x x +=++ (5）、a a a a ••=223题型二: 提公因式法:例2、（1)1+++b a ab （2）、m m m 2616423-+-（3）)3(2)3(a a m -+- (4）32)(2)(6b a a b a ---题型三： 完全平方公式：例4、（1）49142+-a （2)412---m m（3)22)()(2c b c b a a ++++ （4）22363y xy x -+-题型四： 平方差公式：例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）①22b a -- ②2242b a - ③422--y x ④1922+-b a ⑤22)()(x y y x -+- ⑥14-x题型五:十字相乘法：（4）36152+-a a (5）542-+x x (6)22-+x x二、按解题技巧:技巧一 :符号变换例：(m+n ）(x-y)+(m-n)(y —x ） 分解因式:-a 2-2ab-b 2技巧二 ：系数变换例：分解因式 4x 2—12xy+9y 2分解因式221439xy y x ++技巧三 ：指数变换例：分解因式x 4—y 4 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4技巧四： 展开变换例：a （a+2）+b(b+2)+2ab 分解因式x(x-1)-y(y-1)技巧五 ：添项变换技巧六 :分组分解法（1)分组后能直接提公因式：例:分解因式：bn bm an am +++ 分解因式bx by ay ax -+-5102(2)分组后能直接运用公式：例：分解因式:ay ax y x ++-22 分解因式：2222c b ab a -+-因式分解在计算中的应用：计算212122+-++-++-+656543432222…+201020092010200920092008200920082222+-++-应用扩展：因式分解在解方程与等式变换中的应用:解方程0)2753)(3555()2653)(3555(=++-++x x x x因式分解题型总结：题型一：求未知数1. 若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____.2.若23(2)(5)x x a x x ++=-+则a =_____。

专题02 分解因式【知识点梳理】知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++. 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式原多项式另一个因式= 4.注意事项：因式分解一定要彻底知识点3：关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.【题型归纳目录】知识点1：十字相乘法例1．分解因式：3223x x x --=______．【答案】(1)(3)x x x +-##()()31x x x -+【解析】【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可；【详解】解：原式=()()()22331x x x x x x --=-+， 故答案为：()()31x x x -+；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x 2+px +q 的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a •b =q 且a +b =p ，那么x 2+px +q = x 2+（a +b ）x +a •b =（x +a ）（x +b ）．例2．请阅读下列材料，并完成相应的任务：（1）探究发现；小明计算下面几个题目①()2x +()4x -；②()4x -()1x +；③()4y +()2y -；④()5y -()3y -后发现，形如()()x p x q ++的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：()()x p x q ++=()()()x ++．（2）面积说明：上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算()()x p x q ++发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律．（3）逆用规律：学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：2710x x -+．（4）拓展提升现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++并利用你所拼的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．【答案】（1）2x p q pq +，，；（2）()()2()x p x q x p q x pq ++=+++（3）()()2710=25x x x x -+--；（4）()()22232a ab b a b a b ++=++，画图见解析【解析】【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可；（2）利用面积的两种计算方法可证明公式()()2()x p x q x p q x pq ++=+++；（3）分别确定公式当中的,p q ，再利用公式计算即可；（4）由2223a ab b ++可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案．【详解】解：（1）()()x p x q ++=2()x p q x pq +++，故答案为：2x p q pq +，，；（2）长方形的面积为：()(),x p x q ++长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：2()x p q x pq +++，所以()()x p x q ++=2()x p q x pq +++．（3）按照小明发现的规律：2710x x -+()()()()22525x x =+-+-+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()25x x =--（4）由2223a ab b ++可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，所以拼图如下：∴()()22232a ab b a b a b ++=++．【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键．例3．阅读下面材料，并回答相应的问题：通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．(1)请运用多项式乘以多项式的法则填空：(2)(3)++=x x __________，(2)(3)x x +-=____________，(2)(3)x x -+=__________，(2)(3)--=x x __________．从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：()()x p x q ++=________________．2 ()( )x x =++(2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）．利用这种方法，请将下列各式因式分解：243x x ++=__________，245x x +-=___________，2252x x -+=__________，232x x --=___________．【答案】(1)222256,6,6,56x x x x x x x x ++--+--+；2,,x qx px pq p q qp ++++(2)2()()()x p q x pq x p x q +++=++，(1)(3),(5)(1),(21)(2),(32)(1)x x x x x x x x +++---+-【解析】【分析】（1）运用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到结果；（2）运用（1）中的规律进行相反方向变形可得结果．(1)222(2)(3)2323(23)2356x x x x x x x x x ++=+++⨯=+++⨯=++222(2)(3)232(3)(23)2(3)6x x x x x x x x x +-=+-+⨯-=+-+⨯-=--222(2)(3)23(2)3(23)(2)36x x x x x x x x x -+=-++-⨯=+-++-⨯=+-22(2)(3)223(2)(3)[(2)(3)](2)(3)56x x x x x x x x x --=--+-⨯-=+-+-+-⨯-=-+∴22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++故答案为：222256,6,6,56x x x x x x x x ++--+--+，2,,x qx px pq p q qp ++++(2)2()()()x p q x pq x p x q +++=++2243(13)13(1)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++2245(15)(1)5(1)(5)x x x x x x +-=+-++-⨯=-+222252232x x x x x x +=-+-+-(2)(1)(2)x x x x =-+--=(2)(1)x x x -+-=(2)(21)x x --；22232222x x x x x x --=-+--=2(1)(1)(2)x x x x -+-+=(1)(22)x x x -++=(1)(32)x x -+故答案为：2()()()x p q x pq x p x q +++=++，()(13)x x ++，(1)(5)x x -+，(2)(21)x x --，(1)(32)x x -+【点睛】此题考查了因式分解的方法-分组分解法和十字相乘法、公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 例4．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式22x x a ++有一个因式是()2x +，求另一个因式以及a 的值．解：设另一个因式是()2x b +，根据题意，得()()2222x x a x x b ++=++，展开，得()222242x x a x b x b ++=+++，所以412b a b +=⎧⎨=⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩， 所以，另一个因式是()23x -，a 的值是-6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式2310x x m ++有一个因式是()4x +，求另一个因式以及m 的值．【答案】另一个因式是()32x -，m 的值是-8．【解析】【分析】根据题意得到2310(4)(3)x x m x x b ++=++，再展开得到223103(12)4x x m x b x b ++=+++，据此列方程组12104b b m +=⎧⎨=⎩，解此方程组即可解答． 【详解】解：设另一个因式是()3x b +，根据题意，得2310(4)(3)x x m x x b ++=++，展开，得223103(12)4x x m x b x b ++=+++，所以12104b b m+=⎧⎨=⎩， 解得28b m =-⎧⎨=-⎩， 所以，另一个因式是()32x -，m 的值是-8．【点睛】本题考查多项式的因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．例5．阅读下列材料：材料1：将一个形如2x px q ++的二次三项式分解因式时，如果能满足q mn =，且p m n =+，则可以把2x px q ++分解因式成()()++x m x n ．例如：①256(2)(3)x x x x ++=++；②256(6)(1)x x x x --=-+． 材料2：因式分解：24()4()1x y x y ++++．解：将“x y +”看成一个整体，令x y m +=，则原式22441(21)m m m =++=+．再将“m ”还原，得原式2(221)x y =++．上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．(1)根据材料1，分解因式：2712x x -+．(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：2()4()3x y x y -+-+；②分解因式：()2(2)223x x x x ++--． 【答案】(1)(3)(4)x x --(2)①(1)(3)x y x y -+-+；②2(1)(1)(3)x x x +-+【解析】【分析】（1）将x 2-7x +12写成x 2+（-3-4）x +（-3）×（-4），根据材料1的方法可得（x -3）（x -4）即可； （2）①令x -y =A ，原式可变为A 2+4A +3，再利用十字相乘法分解因式即可；②令B =x （x +2）=x 2+2x ，原式可变为B （B -2）-3，即B 2-2B -3，利用十字相乘法可分解为（B -3）（B +1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．(1)解：原式2(34)(3)(4)(3)(4)x x x x +--+-⨯-=--；(2)解：①令A =x -y ，则原式=A 2+4A +3=（A +1）（A +3），所以（x -y ）2+4（x -y ）+3=（x -y +1）（x -y +3）；②令B =x （x +2）=x 2+2x ，则原式=B （B -2）-3=B 2-2B -3，=（B +1）（B -3），∴原式=（x 2+2x +1）（x 2+2x -3）=（x +1）2（x -1）（x +3）．【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．知识点2：提取公因式法与分组分解法例6．按要求完成下列各题：(1)分解因式：22a b ab b -+；(2)计算：2244()ab b ab ab -⋅-÷．【答案】(1)2(1)b a -；(2)3ab -．【解析】【分析】（1）先提取公因式b ，再将剩余的项利用完全平方公式分解因式即可；（2）按照整式的运算法则计算即可．(1)解：由题意可知：22a b ab b -+()2=21b a a -+()21b a =-． (2)解：由题意可知：2244()ab b ab ab -⋅-÷244=4ab b a b ab -⋅÷254=4ab a b ab -÷=4ab ab -=3ab -．【点睛】本题考查利用提公因式和完全平方公式分解因式，积的乘方，同底数幂的除法，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法和整式的运算法则．例7．已知a =，b 22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先因式分解，再整体代入求值即可．【详解】∵a =，b =∴4ab ==，a b -=∴22(a b ab ab a b -=-【点睛】本题考查二次根式的化简求值，先因式分解后整体代入是解题的关键．例8．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y +【答案】(1)()634n x x -(2)()()2233x y x y +-【解析】（1）提公因式分解因式即可；（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．(1)解：18xn +1−24xn=6xn ·3x −6xn ·4= 6xn (3x −4)；(2)x 4-18x 2y 2+81y 4=(x 2−9y 2)2=(x +3y )2(x −3y )2．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．例9．已知a =b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b =∴a b =-=1ab ==，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，掌握二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，注意灵活应用．例10．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =． 【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+++-⎝⎭ 23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++ 23x x -=+， 当3x =时，原式=3233-+ 16=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及因式分解的方法，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的方法．例11．（1）计算：2(2)(2)(3)a a a +-++；（2）因式分解：264x xy -．【答案】（1）6a ＋13；（2）2x （3x －2y ）【解析】【分析】（1）分别运用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可完成；（2）用提公因式法即可分解因式．【详解】（1）原式＝4－a 2＋a 2＋6a ＋9＝6a ＋13；（2）原式＝2x （3x －2y ）．【点睛】本题考查了运用乘法公式进行整式的乘法及因式分解，熟练掌握两个乘法公式：平方差公式及完全平方公式、提公因式法是解题的关键．例12．解方程组：222290216x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩． 【答案】31x y =-⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=-⎩，62x y =-⎧⎨=-⎩， 62x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】 通过因式分解化简原方程组可以得到四个方程组，分别解四个方程组即可．【详解】解：∵22393x x x y y y ，()()()2222161644x xy y x y x y x y -+-=--=-+-- ∴原方程组可以化为：3040x y x y +=⎧⎨-+=⎩，3040x y x y +=⎧⎨--=⎩，3040x y x y -=⎧⎨-+=⎩，3040x y x y -=⎧⎨--=⎩解这些方程组可得：31x y =-⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=-⎩，62x y =-⎧⎨=-⎩， 62x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为：31x y =-⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=-⎩，62x y =-⎧⎨=-⎩， 62x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解方程组，解题的关键是通过因式分解的方法对方程组进行降次，通过降次转化为我们所学习过的二元一次方程组进行求解．知识点3：关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解例13．观察猜想：如图，大长方形是由四个小长方形拼成的(1)请根据此图填空：()22x p q x pq x px qx pq +++=+++=（___________）（___________）.说理验证：事实上，我们也可以用如下方法进行变形：()()()222x p q x pq x px qx pq x px qx pq +++=+++=+++=___________=（___________）（___________） 于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.尝试运用：例题：把232x x ++分解因式.解：()()()2232212121x x x x x x ++=+++⨯=++.(2)请利用上述方法将下面多项式因式分解：2712x x -+；【答案】(1)x p +，x q +；()()x p x x p q +++，x p +，x q +(2)()()34x x --【解析】【分析】（1）根据三个小长方形的面积与一个正方形的面积之和等于大长方形的面积列出等式即可；也可先根据分组分解法进行因式分解，两者得出的结果一致．（2）根据题干的结论：()2x p q x pq +++=()()x p x q ++，将一个二次三项式分解因式，从而求出结果．(1)解：()2x p q x pq +++2x px qx pq =+++=()()x p x q ++ ；()2x p q x pq +++=2x px qx pq +++=()()2x px qx pq +++=()()x p x x p q +++=()()x p x q ++；故答案为：x +p ，x +q ；（x +p ）x +（x +p ）q ，x +p ，x +q(2)解：2712x x -+()()()()23434x x ⎡⎤=+-+-+-⨯-⎣⎦()()34x x ⎡⎤⎡⎤=+-+-⎣⎦⎣⎦()()34x x =--．【点睛】本题考查了利用几何图形的面积方法和分组分解法进行二次三项式的因式分解，掌握利用几何图形的面积的不同求法进行因式分解是解题的关键．例14．分解因式：(1)323812a b ab c +；(2)22921x a a ---【答案】(1)224(23)ab a bc +(2)()()3131x a x a ++--【解析】【分析】(1)利用提取公因式法，即可分解因式；(2)首先进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式，即可分解因式．(1)解：323812a b ab c +=224(23)ab a bc +(2)解：22921x a a ---()22921x a a =-++()()2231x a =-+ ()()3131x a x a =++--【点睛】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差和完全平方公式是解题关键． 例15．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b -+及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式：223x x +-．原式=222223(21)4(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-例如．求代数式2241x x +-的最小值．原式=222412(211)2(1)3x x x x x +-=++-=+-，可知当1x =-时，2241x x +-有最小值，最小值是3-．(1)分解因式：223a a --=________；(2)试说明：x 、y 取任何实数时，多项式22426x y x y +-++的值总为正数；(3)当m ，n 为何值时，多项式222241m mn n n -+-+有最小值，并求出这个最小值．【答案】(1)()()31a a -+(2)见解析(3)当2m n ==时，多项式222241m mn n n -+-+有最小值3-【解析】【分析】（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，运用平方差公式进行分解因式；（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，利用非负数的性质进行解答；（3）用配方法将多项式222241m mn n n -+-+转化()()2223m n n -+--，然后利用非负数的性质进一步得最小值．(1)解：223a a --22113a a =-+-- ()214a =-- ()()31a a =-+；故答案为：()()31a a -+(2)解：22426x y x y +-++2244211x x y y =-+++++()()22211x y =-+++，∵()()222010x y -≥+≥，，∴224261x y x y +-++≥，∴原式的值总为正数；(3)解：222241m mn n n -+-+2222443m mn n n n =-++-+- ()()2223m n n =-+--当0-=m n ，20n -=即2m n ==时，原式取最小值-3．∴当2m n ==时，多项式222241m mn n n -+-+有最小值3-．【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题的关键是要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．例16．阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣8n +16＝0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣8n +16＝0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣8n +16）＝0（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2＝0，∴（m ﹣n ）2＝0且（n ﹣4）2＝0，∴ m ＝n ＝4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)a 2﹣2a +1+b 2＝0，则a ＝______，b ＝______；(2)已知x 2+2y 2﹣2xy +4y +4＝0，求xy 的值；(3)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣10b +27＝0，求△ABC 的周长．【答案】(1)1，0(2)xy ＝14(3)△ABC 的周长为11【解析】【分析】（1）利用因式分解将已知等式进行变形，得到：22(1)0a b -+=，结合非负数的性质求得a 、b 的值； （2）将2222440x y xy y +-++=变形为22()(2)0x y y -++=，再根据非负数的性质求出2x =-，2y =-，代入y x ，计算即可；（3）利用因式分解把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．(1)解：22102a b a ++-=，22(1)0a b ∴-+=2(1)0a -，20b ，10a ∴-=，0b =，1a ，0b =，故答案为：1，0；(2)解：2222440x y xy y +-++=，22()(2)0x y y ∴-++=，2()0x y ∴-=，2(2)0y +=，2x ∴=-，2y =-，21(2)4y x -∴=-=； (3)解：∵2a 2+b 2﹣4a ﹣10b +27＝0，∴2a 2﹣4a +2+b 2﹣10b +25＝0，∴2（a ﹣1）2+（b ﹣5）2＝0，则a ﹣1＝0，b ﹣5＝0，解得，a ＝1，b ＝5，∵5-1＜c ＜5+1，即4＜c ＜6，且c 是正整数∴c =5即三角形三边分别为1、5、5，∴△ABC 的周长为1+5+5＝11．【点睛】本题考查的是因式分解的应用和三角形三边关系，非负性、灵活运用完全平方公式、解题的关键是因式分解为两个非负数的和．【过关测试】一、单选题1．把多项式3x x -+因式分解，正确的结果是（ ）A ．2(1)x x -+B ．2(1)x x --C ．2(1)x x -+D ．(1)(1)x x x +-【答案】D【解析】【分析】首先提取公因式x ，然后利用平方差公式即可分解．【详解】解：-x +x 3=-x （1-x 2）=-x （1+x ）（1-x ）=x （x +1）（x -1）．故选：D ．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．2．下列命题中，假命题的个数是（ ）①()323626ab a b =；②分解因式：21(1)(1)x x x -+=-+--3；④如果方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数1a <；⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的中位数是5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】【分析】①()323628=ab a b ，②分解因式： ()()2111x x x -+=-++程2210ax x ++=有两个不相等的实数根， 那么Δ=4-4a >0，a <1，且a ≠0，⑤把7，5，3，5，10，从小到大排列：3，5，5，7，10，中位数为5．【详解】①()323626ab a b =， ∵()323628=ab a b ， 故此命题是假命题；②分解因式：21(1)(1)x x x -+=-+--，∵()()2111x x x -+=-++，故此命题是假命题；3，∵故此命题是假命题；④如果方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数1a <，∵方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4a >0，a <1，且a ≠0，故此命题是假命题；⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的中位数是5， ∵五个数从小到大排列为：3，5，5，7，10，∴中位数为：5．故此命题是真命题．故假命题有4个．故选D ．【点睛】本题考查了积的乘方，分解因式，算术平方根，一元二次方程根的判定，中位数，熟练掌握积乘方的法则，用平方差公式分解因式，算术平方根的定义，一元二次方程的定义与根的判别式，中位数的定义及求法，是解决此题的关键．3．下列因式分解正确的是（ ）A ．22()()-=+-a b ab a a b a bB ．22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a bC ．3222()-+=-a ab ab a a bD ．2222244(2)-+=-a b a b a a b【答案】B【解析】【分析】对各选项进行因式分解后进行判断即可．【详解】解：A 中()22()()a b ab ab a b a a b a b -=-≠+-，错误，故不符合题意；B 中22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b ，正确，故符合题意；C 中()32222()22a ab ab a a b b a a b -+=-+≠-，错误，故不符合题意； D 中()2222222()4422a b a b a a b a b -+=-≠-，错误，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于对因式分解方法的熟练掌握与灵活运用．4．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点M (−2，c )．若自变量x 取−4，−52，1，3时，对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则下列说法一定正确的是（ ）A ．若34341y y y y +>+，则12121y y y y +>+B ．若41411y y y y +>+，则23231y y y y +>+C ．若12121y y y y +<+，则34341y y y y +<+D ．若13131y y y y +<+，则24241y y y y +<+【答案】D【解析】【分析】先求得该图象的对称轴为x =-2b a=-1，不妨设a >0，根据各点横坐标与对称轴的距离大小得到y 4> y 1> y 3> y 2，再对条件分解因式，即可判断．【详解】解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点M (−2，c )，∴4a -2b +c =c ，即b =2a ，二次函数的解析式为y =ax 2+2ax +c ，∴该图象的对称轴为x =-2b a=-1， 不妨设a >0，∵()()()()531411112-->--->-->---， ∴y 4> y 1> y 3> y 2，A 、若34341y y y y +>+，即3434344431(1)(1)(1)(1)0y y y y y y y y y +--=---=-->，则1212122211(1)(1)(1)(1)y y y y y y y y y +--=---=--不一定大于0，故该选项不符合题意；B 、若41411y y y y +>+，同理得：41(1)(1)0y y -->，则23(1)(1)y y --不一定大于0，故该选项不符合题意；C 、若12121y y y y +<+，同理得：21(1)(1)0y y --<，则34(1)(1)y y --不一定小于0，故该选项不符合题意；D 、若13131y y y y +<+，同理得：31(1)(1)0y y --<，则24(1)(1)y y --一定小于0，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解的应用，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出y 4> y 1> y 3> y 2是解题的关键．5．因式分解：2x 3﹣8x ＝（ ）A ．x （2x 2﹣8）B ．2（x 3﹣4x ）C ．2x （x +2）（x ﹣2）D ．2x （x 2﹣4）【答案】C【解析】【分析】先提公因式2x ，再利用平方差公式继续分解即可解答．【详解】解：2x 3﹣8x＝2x （x 2﹣4）＝2x （x +2）（x ﹣2），故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 6．已知多项式236x kx ++能分解为两个整系数一次式的乘积，则k 的值有（ ）个．A ．10B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】【分析】 设236x kx ++能分解成()()x p x q ++，根据整式的乘法化简，得到,36p q k pq +==，根据,p q 为整数求解即可．【详解】设236x kx ++=()()x p x q ++()2x p q x pq =+++，则,36p q k pq +==1234612346,,,,,,,3618129,63618129,6p p p p p p p p p p q q q q q q q q q q ======-=-=-=-=-⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨======-=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩ 37,20,15,13,12,37,20,15,13,12,k p q ∴=+=-----共10个故选A【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握之间的关系是解题的关键．7．如果2x -是多项式24x x k -+的一个因式，则k 的值为（ ）A ．-4B ．4C ．5D ．8【答案】B【解析】【分析】设24x x k -+=()()2-+x x a ，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与24x x k -+的对应项的系数相同，据此即可求得a ，k 的值．【详解】解：设24x x k -+=()()2-+x x a =()()222x a x a +-++-， 则242a a k -+=-⎧⎨-=⎩， 解得：24a k =-⎧⎨=⎩． 故选：B ．【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据2x -是多项式24x x k -+的一个因式，设24x x k -+=()()2-+x x a 是解题的关键．8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣1，3，x 2+1，a ，x +1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，现将3a （x 2﹣1）﹣3b （x 2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．你爱数学B ．你爱学C ．爱邓州D ．邓州爱你【答案】D【解析】【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．【详解】解：223(1)3(1)a x ﹣﹣b x ﹣ =()()231x a b -- =3(x +1)(x −1)(a −b )，∵a ﹣b ，x ﹣1，3，x 2+1，a ，x +1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，∴结果呈现的密码信息可能是：邓州爱你，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和套用平方差公式．9．已知a ﹣b ＝2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】先根据平方差公式分解，再整体代入，并整理，然后整体代入求出答案．【详解】∵a -b =2，∴224()()4224222()224a b b a b a b b a b b a b a b --=+--=+-=-=-=⨯=．故选：B.【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．二、填空题10．若实数m ，n 满足2222890m n m n mn ++++=，则()2m n -的值为_________．【答案】12【解析】【分析】首先将8mn 变形为26mn mn +，然后分组，分别把222m n mn ++和2269m n mn ++因式分解，进一步利用非负数的性质得出m n +和mn 的值，然后再将()2m n -变形为()24m n mn +-，最后将m n +和mn 的值代入计算即可．【详解】解：∵2222890m n m n mn ++++=，∴22222690m n m n mn mn +++++=，∴()()22222690m mn n m n mn +++++=， ∴()()2230m n mn +++=，∴0m n +=，3=-mn ，∴()2m n -222m mn n =-+2224m mn n mn =++-()24m n mn =+- ()2043=-⨯-12=．故答案为：12．【点睛】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，非负数的性质，代数式求值等知识，运用了整体代入的思想方法．利用完全平方公式将代数式变形是解决本题的关键．11．已知关于x 的多项式x 2+kx ﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k 的值为 _____．【答案】2±【解析】【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k 就等于那两个整数之和．【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k ＝﹣3+1＝﹣2或k ＝﹣1+3＝2，∴整数k 的值为：±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．12．若关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：2x bx c ++=______．【答案】（x +3）（x -2）【解析】【分析】先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为2和﹣3∴-b =2+（-3），c =2×（-3）∴b =1，c =-6∴26x x +-=（x +3）（x -2）．故答案是（x +3）（x -2）．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解等知识点，根据根与系数的关系确定b 、c 的值是解答本题的关键．13．已知x ＝2，x+y ＝3，则x 2y+xy 2＝_____．【答案】6y【解析】【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵x ＝2，x+y ＝3，∴原式＝xy （x+y ）＝6y ，故答案为：6y【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键.14．分解因式：324x xy -=__________．【答案】(2)(2)x x y x y +-【解析】【分析】先提公因式x ，再利用平方差公式分解因式．【详解】解：2223(4)(2)(2)4x xy x x y x x y x y =---=+故答案为：(2)(2)x x y x y +-．【点睛】本题考查分解因式，涉及提公因式、平方差公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．15．已知6a b +=，2ab =．（1）则2222a b ab +=______．（2）()2a b -=______．【答案】 24 28【解析】【分析】根据提公因式进行因式分解及完全平方公式变形．然后整体代入即可求解．【详解】解：（1）∵6a b +=，2ab =．∴22222()22624a b ab ab a b +=+=⨯⨯=， ()222()464228a b a b ab -=+-=-⨯=，故答案为：（1）24；（2）28；【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，熟记公式结构以及公式的变形对解题比较有用．16．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y xy x y --+---的结果为___________________________．【答案】()()2211x y --【解析】【分析】首先将x +y 与xy 看作一个整体，去括号，再利用完全平方公式分解因式得出结果即可．【详解】解：（xy −1）2−（x ＋y −2xy ）（2−x −y ）＝（xy −1）2＋（x ＋y −2）（x ＋y −2xy ）＝（x ＋y ）2−2xy （x ＋y ）−2（x ＋y ）＋4xy ＋（xy ）2−2xy ＋1＝[（x ＋y ）2−2xy （x ＋y ）＋（xy ）2]−2（x ＋y −xy ）＋1＝（x ＋y −xy ）2−2（x ＋y −xy ）＋1＝[（x ＋y −xy ）−1]2＝（−xy ＋x ＋y −1）2＝[−x （y −1）＋（y −1）]2＝[（y −1）（1−x ）]2＝（x −1）2（y −1）2故答案为：22(1)(1)x y --． 【点睛】此题主要考查了因式分解，正确去括号进而利用完全平方公式分解因式是解题关键．17．分解因式：2421x x +-=________．【答案】(7)(3)x x +-##(3)(7)x x -+【解析】【分析】将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】解：2421x x +-=2(44)25x x ++-=22(2)5x +-=(25)(25)x x +++-=(7)(3)x x +-，故答案为：(7)(3)x x +-．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键． 18．若220x x +-=，则3222020x x x +-+=_________．【答案】2022【解析】【分析】根据220x x +-=，得22x x +=，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可．【详解】∵220x x +-=∴22x x +=∴3222020x x x +-+3222020x x x x =++-+()222020x x x x x =++-+222020x x x =+-+ 22020x x =++22020=+2022=故填“2022”．【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键．19．在实数范围内分解因式：251x x -+=___________．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】由2510x x -+=时，解得x =【详解】解：当2510x x -+=时， 1,5,1a b c ==-=，()2245411210b ac ∴∆=-=--⨯⨯=＞，x ∴==251x x x x ⎛ ∴-+=⎝⎭⎝⎭，故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式的知识，当无法用十字相乘法分解时可以使用求根公式法进行分解．三、解答题20．因式分解(1)3222a a b ab -+(2)()()224m n m n +--(3)2215x x --(4)22144a b ab --+【答案】(1)()2a a b -(2)()()33m n m n ++(3)()()35x x +-(4)()()1212a b a b +--+【解析】【分析】（1）先提公因式a ，再根据完全平方公式因式分解即可；（2）直接根据平方差公式因式分解即可；（3）根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可；（4）先分组，再根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可；(1)解：原式＝()222a a ab b -+()2a ab =-(2)解：原式＝()()()()22m n m n m n m n ++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()33m n m n =++(3)解：原式＝()22116x x -+-()2214x =--()()1414x x =-+-- ()()35x x =+-(4)解：原式＝()22144a ab b --+()2212a b =-- ()()1212a b a b =+--+【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解是的方法是解题的关键．21．已知23x a ab =-，222y a ab b =--+．(1)化简3x y -；(2)当a 和b 221b b ---时，求3x y -的值．【答案】(1)2246a b -(2)10【解析】【分析】（1）用a ，b 表示出代数式3x y -，化简即可；（2）根据已知式子求出a ，b ，代入（1）的结果即可；(1)∵23x a ab =-，222y a ab b =--+，∴()2223332x y a ab a ab b -=----+， 2223336a ab a ab b =-++-，2246a b =-；(2)221b b ---，()210b+=，∴2010ab-=⎧⎨+=⎩，∴2a=，1b=-，∴()2222346426110x y a b-=-=⨯-⨯-=；【点睛】本题主要考查了整式化简求值，准确利用二次根式非负性求解是解题的关键．22．已知：2a b+=-，1ab=，求下列多项式的值．(1)2222a ab b-+-(2)224444a b ab a b+--【答案】(1)2-(2)0【解析】【分析】（1）按照完全平方公式计算，化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算即可；（2）先提取公因式分解因式，化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算即可．【详解】解：（1）2222a ab b-+-22242a ab b ab=++--242a b ab=+--（）原式224122=--⨯-=-（）（2）224444a b ab a b+--224444a b ab a b=+-+（）（）44ab a b a b=+-+（）（）41a b ab=+-（）（）将2a b+=-，1ab=，代入，原式()()42110=⨯-⨯-=【点睛】本题考查了整式的运算，完全平方公式，以及因式分解，解题的关键是利用提取公因式，或者完全平方公式进行变形，化成化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算．23．对于任意一个三位数p，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数p为“桃园数”．例如：112p=，因为112+=，所以112是“桃园数”；253p=，因为253+≠，所以253不是“桃园数”；(1)判断459，615是否是“桃园数”？说明理由；(2)对于“桃园数”p ，去掉个位上的数字得到的两位数记为m ，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为n ，若m n +能被24整除，求所有的p ．【答案】(1)459是“桃园数”， 615不是“桃园数”(2)P 的值为314、336、358、628【解析】【分析】（1）根据“桃园数”定义判断即可；（2）设“桃园数”p 的百位上的数字是a ，十位上的数字是b ，表示出p 、m 、n 判断即可．(1)因为459+=，所以459是“桃园数”；因为615+≠，所以615不是“桃园数”；(2)设“桃园数”p 的百位上的数字是a ，十位上的数字是b ，则个位上的数字是()a b +，∴10010()10111p a b a b a b =+++=+10m a b =+10()1011n a b b a b =++=+∴10101120124(53)m n a b a b a b a b +=+++=+=+∵m n +能被24整除，∴53a b +是6的倍数∴a 、b 同是偶数或同是奇数，且a 是3的倍数∵a 、b 、a +b 分别在百位、十位、个位上∴190919a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩∴3a =或6或9当3a =时，531535662a b b b +++==，此时b 的值可以是1、3、5 对应的P 的值为314、336、358；当6a =时，533035662a b b b ++==+，此时b 的值可以是2 对应的P 的值为628；当9a =时，5345315662a b b b +++==，由于19a b ≤+≤，此时b 不存在 综上，P 的值为314、336、358、628．【点睛】本题考查新定义运算，理解“桃园数”的定义并正确的设未知数表示各个数是解题的关键．24．（1）分解因式：3a 2﹣6a +3；（2）解方程：x 2﹣4x +2＝0．【答案】（1） 3(a -1)2；（2）12x x ==【解析】【分析】（1）先提公因数3，然后利用完全平方公式分解因式；（2）利用配方法得到（x -2）2=2，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：（1）3a 2﹣6a +3=3（a 2-2a +1）=3（a -1）2；（2）x 2-4x +2=0，x 2-4x =-2，x 2-4x +4=2（x -2）2=2，x -所以x 1，x 2=2【点睛】本题考查了解一元二次方程及因式分解方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．25．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．【答案】(1)2(2)(2)x x +-；(2)2(2)a -．【解析】【分析】（1）根据提公因式法和平方差公式分解因式即可；（2）将(2)a +看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．(1)解：228x -，＝22(4)x -，＝2(2)(2)x x +-；(2)。

《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系； 2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则； 3. 会用公式法分解因式；4. 综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号. 要点四、公式法 1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21x x +-＝0，求3223x x ++的值．【思路点拨】观察题意可知21x x +=，将原式化简可得出答案． 【答案与解析】解：依题意得：21x x +=， ∴3223x x ++， ＝3223x x x +++， ＝22()3x x x x +++， ＝23x x ++，＝4；【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值． 【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解． 【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--， ＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解． 举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）A ．229a y+B ．229a y-+C ．229a y-D ．229a y--【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码． 【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x yx x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10， 故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键． 举一反三：【变式】利用因式分解计算 （1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317- 【答案】 解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯- ＝1000×366 ＝366000． 4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++； （2）222xy x y ---（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x y x y ---=-++=-+（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+＝()()24222x xy yx y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三：【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．21x + B ．221x x +- C ．21x x ++ D ．244x x ++【答案】D ；5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答． 【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x xxx +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答； （2）根据（1）的结论直接作答． 【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++②()()271234y y x x -+=--【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号． 举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2． （1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 哪个大？说明理由． 解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-， ＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．【巩固练习】 一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）． A ．()()22422m n m n m n -=+- B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=-- D ．()224529m m m --=--2. 把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．()4a a -B ．()()22a a +-C ．()()22a a a +-D ．()224a -- 3. 下列多项式能分解因式的是（ ） A ．22x y +B ．22x y--C ．222x xy y-+-D ．22x xy y-+4. 将2m()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（）A ．()2a -()2m m - B ．()()21m a m -+ C ．()()21m a m -- D ．()()21m a m --5. 下列四个选项中，哪一个为多项式28102x x -+的因式？（ ）A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋2 6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.2 7. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（）A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a - 8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+；⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题9.分解因式：()241x x -- ＝________.10.把23x x c ++分解因式得：23x x c ++＝()()12x x ++，则c 的值为________.11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________．12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________. 13.把()()2011201222-+-分解因式后是___________.14.把多项式22ax ax a --分解因式，下列结果正确的是_________.15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________.16.把2221x y y ---分解因式结果正确的是_____________. 三.解答题 17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---； （2）2292416a ab b -+； （3）21840ma ma m --.18. 已知10a b +=，6ab =，求：（1）22a b +的值；（2）32232a b a b ab -+的值． 19.已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式()5x +，且17m n +=，试求m 、n 的值．20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成()()219x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，请将原多项式分解因式．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式. 2. 【答案】A ；【解析】()244a a a a -=-. 3. 【答案】C ；【解析】A ．不能分解；B ．2222()x y x y --=-+，不能分解；C ．()2222x xy y x y -+-=--，故能够分解；D ．不能分解．4. 【答案】C ； 【解析】2m()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】A ；【解析】将28102x x -+进行分解因式得出()()281024122x x x x -+=--，进而得出答案即可．6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)28x x x x -+=+-. 7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦.8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解. 二.填空题9. 【答案】()22x -；【解析】()()22241442x x x x x --=-+=-.10.【答案】2；【解析】()()21232x x x x ++=++.11.【答案】1； 【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y+-=+-=-==⎡⎤⎣⎦.12.【答案】0；【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=. 13.【答案】20112； 【解析】()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=.14.【答案】()()21a x x -+；【解析】22ax ax a --＝()()2(2)21a x x a x x --=-+.15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=.16.【答案】()()11x y x y ++--；【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．三.解答题 17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--； （2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()2218401840202ma ma m m a a m a a --=--=-+. 18.【解析】解：∵10a b +=，6ab =，则（1）()2222a b a b ab +=+-＝100－12＝88；（2）()()2322322224a b a b ab ab a ab b ab a b ab ⎡⎤-+=-+=+-⎣⎦＝6×（100－24）＝456． 19.【解析】解：设另一个因式是x a +，则有()()5x x a ++＝()255x a x a +++＝2x mx n ++∴5a m +=，5a n =，这样就得到一个方程组5517a ma nm n +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得2107a n m =⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴m 、n 的值分别是7、10． 20.【解析】解：设原多项式为2ax bx c ++（其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0）．∵()()()22219210922018x x x x x x --=-+=-+， ∴a ＝2，c ＝18；又∵()()()2222426821216x x x x x x --=-+=-+， ∴b ＝－12．∴原多项式为221218x x -+，将它分解因式，得()()2222121826923x x x x x -+=-+=-．。

因式分解知识点总复习附答案一、选择题1 .下列分解因式正确的是()° x (x y) y(y x) (x y) 【答案】c【解析】D ・ x 2 4x 4 (x 2) (x 2)【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案.注意分解要彻底. 详解】A. s4xx x 4，故A 选项错误;2CXX,故B 选项错误；R Y YVC. x x yyx2y ,故c 选项正确； D. x 24x 故选4C=( x-2)2,故D 选项错误，【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式.注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分 解.注意分解要彻底.2.把a 3-4ab 2因式分解,结果正确的是() A. a a 4b a 4b ? B. a24b 2 ?C. a a 2ba 2bD.22h【答案】 【解析】【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式解. 【详解】a 3-4ab 2=a (a 2~4b 2)二a (a+2b) ( a~2b)・a,再对余下的多项式继续分故选C.【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力,一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为 止.3.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( A. 2x (x+3)= 2X 2+6X C. x 2+2xy+y 2+l=( x+v) "+1【答案】D4x x(x 4)B. X 2xy x x(x y)) B. 24xy1 3x?8y 2 D. X 2 - y 2 =( x+v)( x- v)【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可. 【详解】A 、 不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、 不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、 不是因式分解，故本选项不符合题意；是因式分解，故本选项符合题意；D 、故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成儿个整式 的积的形式，叫因式分解.二3,故选C. 【点睛】是解题的关键.本题考查了因式分解的应用，代数式求值,涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌 握和灵活运用相关知识4.己知 2x"，xy 2,则 2x ; y 332、B. 2A.-3【答案】C 【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将 行计算即可. 【详解】1 xy 2••• 2x y ' '3 4…2x 4y 3 x 丫=x 3y 3 (2x-y) =(xy) 3(2X - y)518 的值为O8 C.-316 D.—X V 窈形为(xv) (2x-v) •然后代入相关数值讲a. b,周长为10,面积为6,贝U a2b+ab2的值为( ) 5•如图，矩形的长、宽分别为【答案】B 【解析】 【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出 a+b, ab,进而利用提取公因式法分解因式得出答案.【详解】・••边长分别为a 、b 的长方形的周长为10,面积6,••• 2 (a+b)二10, ab 二6,则 a+b=5,故 ab 2+a 2b=ab (b+a) 二6 X5 二30.故选：B. 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键.将a 3b- ab 进行因式分解，正确的是()【答案】C 【解析】 【分析】多项式a 3b- ab 有公因式ab,首先用提公因式法提公因式2x 1 .平方肴公式讲行分健【详解】a 3b ab ab a 2 1 ab a 1 a 1 ,故选：C. 【点睛】公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解;A. 60B. 30C. 15D. 16A. a a 2b bB. ab aC. ab a 1 a 1D .ab a 2此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用,解题关键在于因式分解时通常先提7•下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为().A. x a b ax bxB .x 2 1 y 2 x 1 x 1ab,提公因式后，得到多项式r 1 D. a.x bx c x a b c 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义作答.把一个多项式化成儿个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【详解】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、右边不是积的形式，故选项错误；C、x2-l=( x+l)( x-1),正确;D、等式不成立，故选项错误.故选：C.【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式.1 18.若a2-b2=- , a-b二-，贝U a+b 的值为()4 一1D. 2A.- K 12【答案】C【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出.【详解】1 1a?— b2二(a+b) (a-b) = —(a+b)= '.「1一a+b—2故选C.点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.9.将多项式x'+2xy+b - 2x- 2y+l分解因式，正确的是)' B. ( x+y- 1) 2A. ( x+y) 2°D. (x-y- 1)C. ( x+y+1) 2【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法.【详解】解：x2+2xy+5^2— 2x— 2丫+1二(x'+2xy+y‘)— ( 2x+2y) +1=( x+y) 2— 2( x+y) +1=( x+y— 1) 2故选：B10.下列因式分解正确的是(A. x~—y=X—y) 2 B.A■C. xy—X二Xy—1) D.2x+y二2( x+y)【答案】C【解析】【分析】【详解】解：y-(x+y) ( X- y),故此选项错误;A、X2—B、a2+a+l无法因式分解，故此选项错误；c、xy— x=x( y— 1),故此选项正确；D、2x+y无法因式分解，故此选项错误.故选C.【点睛】本题考查因式分解.5n),故选C.11.A. ? J 卜刘各瓦甲个能用半万差公貳分解旳是(222 mR 4Qv2v2 D. 16m; 25n2【答案】C【解析】A 选项—龙+b=b *aT=( b+a) ( b^a)是厂9 、小；B 选项49x y -m 二7xv+m) 7xy-m) ；C 选项-x -y 两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m l-25n2= (4m)2-(5n)匚(4m+5n) ( 4m~【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.12.下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是(2A. vB. a b a2 2 a bC.2Bahb2 2 ab 答案】解析】【分析】根据把一个多项式化为儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可. 【详解】A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意等式右边B 选项：不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意等式右边是乘积的C 选项：形式，故是因式分解，符合题意等式右边不是乘积的形式，故不是D 选项：因式分解，不符合题意故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义(把一个多项式化为儿个整式的积的形式).13. 某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题： -12xb+6x'y+3xy 二-3xy? (4y-_)横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写(A. 2xB. -2xC. 2x~lD. -2x~l【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，提取公因式-3xy,进行因式分解即可. 【详解】解:原式二-3xy X( 4y-2x-l),空格中填 2x~l. 故选：C. 【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力.一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他 方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化.【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案. 【详解】A. 4a 2+4a+l=( 2a+l ) 2,正确；B. a 2- 4b= (a - 2b) ( a+2b),故此选项错误；C ・a 2- 2a- 1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；(a -D ・b)( a+b) -a 2- bl 是多项式乘法，故此选项错误.14. 把多项式分解因式，正确的结果是( A. 4a 2+4a+l=( 2a+l ) 2C. a - 2a - 1=(a - 1) ~【答案】A【解析】 )B. a 2 - 4b'二(a - 4b) ( a+b) )(a - b) ( a+b)二b 2故选：A. 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.15.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )A. ab+ac+d= a (b+c) +dB. (x+2) (x-2) = x‘-4C. 6ab = 2a 毋 bD. x 2 - 8x+16 =( x- 4) 2【答案】D 【解析】【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为儿个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解. 【详解】A 、 等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；B 、 等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；C 等式左边是单项式，不是因式分解，故本选项错误；D 、 符合因式分解的定义，故本选项正确.故选D. 【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做分解因式.16.己知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且满足a'c’ b =c 2 a 1 b 1,则ABC 是c - (a -- b -) 一 (a ■+ b -) ( a 2- b -)= 0,(a -- b -) ( c"-a _-b")= 0,所以，a __b~= 0 或 CF-a"- b -= 0,因此，AABC 等腰三角形或直角三角形. 故选B.【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到b 、c 的关系A. 直角三角形C. 等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出 【详解】移项得，a 2c 2-b 2c 2-a 4 + b'= 0,B. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形b 、c 的关系，再确定出AABC 的形状即可得解即 a 二 b 或龙 + b"= CF ,式是解题的关键.17.A. (X+ 1)(X — 1)二 X 2— 11C. 2x =+ 1 = x (2x +—)X【答案】D 【解析】【分析】 根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出儿个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解：A 、( x+1) ( x-1) -x 2-l 不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误；B 、 右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、 右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、 x 2- 5x+ 6 =(X- 2) (x- 3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分.18.下列因式分解正确的是()7 2x 1 x x 2 1 B. x' C. xyD. x 2 2x【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答 案. 【详解】A. x 2+2x+l=(x+l)2,故该选项不属于因式分解，不符合题意，B. x'-yZ (x+y)(X-y),故该选项因式分解错误，不符合题意，C. xy-x 二x(yT),故该选项正确，符合题意，D.X 2+2X -1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C. 【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法 进行分解，要分解到不能再分解为止.下列从左到右的变形属于因式分解的是()B. nT — 2m — 3= m(m — 2)— 3D. X — 5x+ 6 = (x — 2) (x — 3)19.下列因式分解正确的是( )A.2x=2刃x yC. x x答案】解析】【分析】根据提公因式法和公式法进行判断求解即可详解】A八庆1忒启X一应为xv X 2x vB.x2 9不能分解因式，故此选项错误；C.xxyyxyxyxy2x2 9x3x32x 2x 1 x x 2 1,故此选项错误;2x y ,正确；D. x2 2x 1 x= x 1 ,故此选项错误.故选：C【点睛】此题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服20.计算(一2)刘5+(—2)'°^的结果是()A. - 2B. 2C. 22015【答案】C【解析】【分析】【详解】2015 2016(-2) *(-2)二(一2) 2015 X (-2) +(-2) 2015二(-2) 2015 X (1-2)2015—9故选C.点睛：本题属于因式分解的应用，关键是找出各数字之间的关系D.Q2015。

第二章 分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。

②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。

③分解因式要分解到不能再分解为止。

2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。

3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。

（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。

（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。

②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。

4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________ （2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。

【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用 【例1】分解因式：（1）3241626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+（3）2()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--解析：（1）题先提一个“-”号，再提公因式2m ；（2）题的公因式为y z +；（3）题的公因式为()x x y +； （4）题的公因式为78a b -。

答案：（1）22(2813)m m m --+； （2）()(23)y z x +-；（3）2()xy x y -+； （4）22(78)a b -。