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一类含有时滞的分数阶Laplacian方程共振边值问题解的存在性郑春华;马睿【摘要】This research studies the existence of the solution for the two-point boundary value problem at resonance and delay in a class of the fractional differential equation with a p-Laplace operator, and obtains some new results for the existence of the solution for this boundary value problem by using Mawhin's continuation theorem, and some previous researches are generalized.%研究了一类具有时滞的分数阶Laplacian方程两点共振边值问题, 利用Mawhin连续性定理获得了该边值问题解存在的充分条件, 得到了一些新的结果.【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(028)002【总页数】7页(P144-150)【关键词】分数阶微分方程;时滞;p-Laplace算子;共振;两点边值问题;连续性定理【作者】郑春华;马睿【作者单位】陕西工业职业技术学院基础部,陕西咸阳 712000;陕西工业职业技术学院基础部,陕西咸阳 712000【正文语种】中文【中图分类】O175.80 引言虽然分数阶微积分的讨论始于微积分的发明人莱布尼兹，但由于它刚开始出现时缺乏实际应用背景，关于分数阶微积分的研究一直进展缓慢并且主要局限于理论上的讨论.近几十年来，分数阶微积分特别是分数阶微分方程在粘弹性力学、电分析化学、生物电传导等科学与工程中的应用越来越广泛，分数阶微分方程的研究受到科研人员和数学工作者的青睐 [1-4].分数阶微分方程边值问题的研究作为微分方程边值问题研究中的一个新课题，由于其应用的广泛性，吸引了诸多科学研究人员和数学工作者的重视，已经出现了一些优秀的研究成果[5-9].文献[5]以Krasnoselskii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理为工具研究了问题正解的存在性.以文献[6]的工作为基础，文献[7]的作者利用Krasnoselskii不动点定理研究了相同边值条件的含参数边值问题得到了其正解的存在性.鉴于p-Laplace算子丰富的应用背景， Laplacian方程边值问题的研究一直都是微分方程研究的热点问题.经过广大科研人员的努力，含有p-Laplace算子分数阶微分方程边值问题的研究结果已经出现了一些结果.陈太勇先生利用重合度理论在共振条件下讨论了分数阶微分方程两点边值问题解的存在性[10].刘锡平先生利用压缩映射原理研究了分数阶微分方程两点非共振边值问题解的存在性[11].由于时滞微分方程在实际应用中的重要作用，关于它的研究已经取得了大量的成果，但对于含有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究工作还不是很多[12-18].在以上研究工作的基础上，我们利用Mawhin连续性定理讨论了具有时滞的两点共振边值问题(1)解的存在性，其中和均表示标准的Riemann-Liouville型分数阶导数.根据我们掌握的资料，即使边值问题(1)中未含有时滞时，也没有被现有研究结果讨论过.1 预备知识定义1[3] 设α>0，定义函数f(t)的α阶Riemann-Liouville型分数阶积分为定义2[3] 对于函数f(t)和α>0，定义f(t)的α阶Riemann-Liouville型分数阶导数为其中n=[α]+1.引理1[5] 对于α>0，u∈C(0,1)∩L(0,1)，则分数阶微分方程有唯一解u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n，其中ci∈R(i=1,2…,n).引理2[5] 对于α>0，u∈C(0,1)∩L(0,1)，则存在ci∈R(i=1,2…,n)使得引理3[2] 当β≥0，α+β≥0，u∈L(0,1)时有引理4[8] 对于μ>0，N=[μ]+1，则在范数下为Banach空间.引理5[8] F⊂Cμ[0,1]为列紧集的充要条件是F一致有界且等度连续.引理6[19] 设X和Y为2个Banach空间，L:D(L)⊂X→Y为零指标的Fredholm 算子，Ω⊂X是一个有界开集，N：Ω×[0,1]→Y且L-紧，如果下列条件满足1) Lx≠λNx，∀(x,λ)∈[D(L)∩∂Ω]×(0,1)；2) Nx∉lm L，∀x∈∂Ω∩KerL，3) deg(JQN,Ω∩KerL,0)≠0，则方程Lx=Nx在上至少存在一个解.引理7 边值问题(1)等价于下面的边值问题(2)其中q>1，满足证明若x(t)为边值问题(1)的解，则由引理2和方程可知再根据可知c0=0，从而有故x(t)必为边值问题(2)的解.显然，问题(2)的解也为问题(1)的解.令则由引理4可知X和Y分别在范数和下成为Banach空间.定义算子其中引理8 对于算子L有Ker L={x|x∈X,x=ctα-1,t∈[0,1],c∈R}，证明设则由引理1和1<α≤2可得x(t)=c1tα-1+c2tα-2，t∈[0,1]，再结合条件可知c1∈R,c2=0，故Ker L={x|x∈X,x=ctα-1,t∈[0,1],c∈R}.对∀令易知再根据可知进而可得从而可知故y∈lm L，即⊆lm L.反之，对∀y∈lm L，则存在x∈D(L)使得由引理2和条件x(0)=0可知再利用引理3和边值条件及可得即也即故即lm L⊆.从而根据以上推理可知引理9 L为零指标的Fredholm算子.证明定义投影算子易知Ker Q=lm L，Y=lm L⊕lm Q.故L为零指标的Fredholm算子.定义投影算子容易验证lm P=Ker L，X=Ker L⊕Ker P.记LP=L D(L)∩KerP:D(L)∩KerP→lm L，则LP具有连续的逆算子LP-1且引理10 设Ω为X中的有界开集，则N在上L-紧.证明引例10的证明和参考文献[14]中引理9的证明完全类似，在此不再赘述.2 主要结果及证明定理1 设连续函数m(t),n(t)和常数t0>0,r0>0满足下列条件：A1) 对∀x,y∈R，t∈[0,1]有|f(t,x)|≤m(t)+n(t)|x|,A2)对∀x∈dom L且|x(t)|>r0,t∈[t0,1]，有A3) p>2或则边值问题(1)至少有一个解.证明考虑边值问题(2)对应的辅助问题(3)显然边值问题(3)等价于算子方程Lx=λNx.下面估计边值问题(3)解的先验界.令Ω1={x|x∈D(L)∩X,Lx=λNx,λ∈(0,1)}，对任意的x(t)∈Ω1，则有Lx=λNx，即λNx∈lm L=ker Q，进一步有QNx=0，即也即(4)则由(4)式和条件A2)可找到t1∈[t0,1]满足|x(t1)|≤r0，再利用引理2和条件x(0)=0可得故有所以从而可知进一步可得利用条件A1)可知利用条件A3)可知存在常数M1>0满足再利用f(t,x)的连续性可知存在常数M2>0使得显然Ω1有界，也即问题(3)的解有先验界.令Ω2={x|x∈Ker L,Nx∈lm L}，则对任意的x(t)∈Ω2，有其中c为常数.因为Nx∈lm L故QNx=0，从而可以得到由条件A2)可知存在t2∈[t0,1]满足| ct2α-1|≤r0,进而可得故有显然，Ω2有界.取有界集使得Ω1∪Ω2⊂Ω，由上面的讨论知，Ω满足引理6中的条件(1)和(2)，定义同构映射则由Ω的选择易知对∀(x,λ)∈[∂Ω∩Ker L]×[0,1]有不妨设QNx>0，r2>0.取同伦映射为H(x,λ)=λx+(1-λ)JQNx，显然有H(x,λ)=λr2tα-1+(1-λ)QNxtα-1=(λr2+(1-λ)QNx)tα-1≠0，因此，deg(JQN,Ω∩Ker L,0)=deg(H(x,0),Ω∩Ker L,0)=deg(H(x,1),Ω∩Ker L,0)≠0.由引理6知边值问题在中至少有一个解，再利用引理7可知定理1结论成立.参考文献:【相关文献】[1] MILLER K S, ROSS B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations[M]. New York:Wiley,1993.[2] PODLUBNY I. Fractional Differential Equation[M]. San Diego:Academic Press, 1999.[3] KILBAS A A A, SRIVASTAVA H M, TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Netherlands:Elsevier Science Limited, 2006.[4] 白占兵.分数阶微分方程边值问题理论及应用[M].北京:中国科学技术出版社，2013.[5] BAI Zhan-bing, LYU Hai-shen. Positive solutions of boundary value problems of nonlinear fractional differential equation[J].J Math Anal Appl, 2005,311:495-505.[6] ZHANG Shu-qin.Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations [J].Electr J Differential Equations, 2006,2006 (36):1-12.[7] ZHAO Yi-ge, SUN Shu-rong. HAN Zhen-lai. Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011,217 (16):6950-6958.[8] ZHANG Ying-han, BAI Zhan-bing. Existence of solutions for nonlinear fractional three-point boundary value problems at resonance[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 36(1/2):417-440.[9] CABADA A, HAMDI Z. Nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 228:251-257.[10] CHEN Tai-yong, LIU Wen-bin, HU Zhi-gang. A boundary value problem for fractional differential equation with p-Laplacian operator at resonance[J]. Nonlinear Anal,2012,75(6):3210-3217.[11] LIU Xi-ping, MEI Jia, XIANG Xiu-fen. On the solvability of a fractional differential equation model involving the p-Laplacian operator[J]. Computers and Mathematics with Applications. 2012,64 (10):3267-3275.[12] 杨金祥.具有时滞的双向联想记忆神经网络的稳定性分析[J].西南民族大学学报(自然科学版),2018,44(01):83-86[13] LI Xiao-yan, LIU Song, JIANG Wei.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional functional differential equations[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011,217 (22):9278-9285.[14] ZHAO Yu-lin, CHEN Hai-bo, HUANG Li. Existence of positive solutions for nonlinear fractional functional differential equation.[J]. Computers and Mathematics with Applications. 2012,64 (10):3456-3467.[15] 吴万勤.一类时滞Lotka-Volterra系统的概周期解[J].云南民族大学学报(自然科学版),2017,26(02):130-136.[16] 郑春华, 宁艳艳. 一类分数阶时滞微分方程三点共振边值问题解的存在性[J]. 云南民族大学学报(自然科学版).2016,25(4):329-335.[17] 郑春华，刘文斌. 一类含有p-Laplace算子的分数阶时滞微分方程非局部共振边值问题解的存在性[J].西南师范大学学报(自然科学版)，2014, 39(11):22-29.[18] ZHOU Yong, AHMAD B, ALSAEDI A. Existence of nonoscillatory solutions for fractional neutral differential equations[J]. Applied Mathematics Letters, 2017, 72:70-74.[19] GAINES R E, MAWHIN J L. Coincidence degree and nonlinear differential equations[M]. Berlin:Springer-Verlag, 1977.。
具p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性微分方程理论是数学理论的重要组成部分,许多实际问题的模型都可以归结到微分方程,所以微分方程是数学理论联系实际问题研究的纽带.微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题,并且伴随着新问题的出现,许多新的研究方向由此形成.分数阶微分方程作为微分方程理论的推广,发展至今已有300多年的历史,特别是近几十年来,分数阶微分方程不断完善自身理论系统,以及其在物理、化学、生物、机械力学等不同学科领域已经得到广泛的实际应用.特别是关于具有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的研究已引起了国内外学者的浓厚兴趣,并逐渐成为研究热点.本文主要研究具p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性,其中包括非线性微分方程、分数阶脉冲微分方程、分数阶时滞微分方程等情形,涉及解的存在性、唯一性、多解性等情况,给出了一些新的存在性结果.根据内容本文分为以下四章:第一章,概述分数阶微积分理论的历史背景和研究现状,具p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性的研究现状及研究意义,以及我们主要研究的工作.第二章,研究非线性微分方程共振多点边值问题解的存在性.利用Mawhin连续定理获得了该边值问题解的存在性的充分条件.第三章,研究脉冲分数阶微分方程的四点边值问题解的存在性.利用上下解方法以及单调迭代技巧,给出了边值问题解的存在性以及唯一性的充分条件.第四章,研究时滞分数阶微分方程边值问题多个正解存在性.函数f与xt的时滞有关,当非线性项f满足一定增长性条件时,利用Avery-Peterson不动点定理,得到边值问题在无穷区间上至少存在三个正解的结论。
一类带p-Laplacian算子分数阶微分方程边值问题正解的存
在性
WANG Wen-qian;ZHOU Wen-xue;SUN Rui
【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(041)006
【摘要】利用Guo-Krasnoselskii不动点定理探讨了一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性,得出正解的存在性定理和至少存在一个正解的判断根据,并通过具体的例子验证了结论的适用性.
【总页数】7页(P531-537)
【作者】WANG Wen-qian;ZHOU Wen-xue;SUN Rui
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 刘德群;徐娜
2.带p-Laplacian算子的时滞分数阶微分方程边值问题3个正解的存在性 [J], 闫荣君;韦煜明;冯春华
3.一类带有p-Laplacian算子分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 申腾飞;刘文斌;宋文耀
4.一类具有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 杜炜;许和乾
5.一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 段佳艳;王文霞;郭晓珍
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一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。
它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。
2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。
如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。
3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。
缺一不可，边值问题解才能有存在性。
4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。
这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。
5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。
这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。
6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。
一类Lienard型p-Laplacian方程周期解的存在性和唯一性陈仕洲【期刊名称】《西南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【摘要】利用重合度理论，研究一类高阶Lienard型p-Laplacian方程，获得了其周期解存在性和唯一性的新的充分条件，推广和改进了已有文献中的相关结论。
%By means of continuation theorem of coincidence degree ,a kind of high-order Lienard type p-Laplacian equation has been studied in this paper .Some new sufficient conditions for the existence and uniquenees of periodic solutions have been obtained .The results have been extended and improved the re-lated reports in the literature .【总页数】6页(P6-11)【作者】陈仕洲【作者单位】韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041【正文语种】中文【中图分类】O175.12【相关文献】1.一类偏差变元偶数阶p-Laplacian中立型微分方程周期解的存在性 [J], 陈仕洲2.一类时滞平均曲率p-Laplacian方程的周期解存在性与唯一性 [J], 陈文斌;张德妹;兰德新3.一类四阶具有多个偏差变元p-Laplacian中立型微分方程周期解的存在性 [J], 徐建中;周宗福4.一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性 [J], 黄祖达;熊万民;贾仁伟5.一类Rayleigh型p-Laplacian平均曲率方程周期解存在唯一性 [J], 陈文斌因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
教育与培训具积分边值条件p—Laplacian型微分方程解的存在性宋文晶史允均(吉林财经大学应用数学学院，吉林长春130117)摘要：通过构造一个同伦映射，运用拓扑度理论得到了具积分边值条件p—Laplacian型微分方程解的存在性。
关键词：积分边值；拓扑度中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10. 19311/ki. 1672-3198. 2016. 34. 202起源于热传导、地下水流、热电弹性、等离子物理等的积分边值问题以及在生物学、神经网络等方面广泛应用的时标问题是近些年的热点e本文研究如下具积分边值条件的P—Laplacian型微分方程解的存在性：卜(机(uA(t)))v=f(t，u(t))，V t€ (0，T)T，j u(T)=JJg(s)u(s)V s,(1)[uA(0) =A,其中 t(•)是 p—Laplace 算子，士-1p^|+~^ =l，f:[〇，T]T X R’R 连续，T 表7K时标，g(s) €L1([0，T]t)，A是|个实的常数。
C[0，T]t表示[0，T]t所有连续函数构成的Banach空间 ，范数定义I I x ||=max|x(t) |。
设算子K(u(t))=l(T g(s)u(s)V s，则问题（1)的解等价于积分重程(I-K)u(t)=-J T<|>P -1(<|>p(A)-JJf(s,u(s))Vs)A t(2)的解。
定义算子F:C[0，T]t—C[D，T]t 为(Fu)(t)=-J7<|>p -1(<l>p(A)-J|f(s,u(s))Vs)Ar则问题（2)表示为（I—K)u(t)=(Fu)(t)类似文献[3]，易证：引理1.算子F:C[0，T]t4C [0，T]t是全连续算子&假设：(H〇)JJ |g(s) |Vs=M<l；(Hi) |f(t,x) | <C1( |X|) +G2 »C1，C2>0，且d T C V1-M2^1T)定理1.假设(H:0)(H:)成立，则问题（1)至少存在一个解。
