第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛

全国第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛通知各县（市）区教研室、市区各初（完）中：经研究决定，我市应邀参加第十八届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛。

现将有关事宜通知如下：一、参加对象按照参赛选手所在年级设立以下四个组别：1、小学中年级组：2013年9月前不高于小学四年级的学生；2、小学高年级组：2013年9月前不高于小学六年级的学生；3、初中一年级组：2013年9月前不高于初中一年级的学生；4、初中二年级组：2013年9月前不高于初中二年级的学生参赛原则：自愿参赛。

二、竞赛日程1、初赛时间：2013年3月23日（星期六）上午10：00—11：002、决赛时间：2013年4月20日（星期六）上午10：00—11：30三、纪律各参赛组织单位务必严格考试纪律、严格试卷保密制度、严格考试时间，做到公平竞赛。

不得泄题、不得自行更改考试时间，一经发现，取消比赛资格，并追究相关人员责任。

四、奖励1、决赛设个人一、二、三等奖，经审批后由“华杯赛”组委会颁发奖励证书。

决赛获奖比例为参赛人数的20％，其中一等奖为参加决赛人数的4%，二等奖为参加决赛人数的6%，三等奖为参加决赛人数10%。

2、获决赛二等奖以上选手的辅导教师（每个获奖选手限一名辅导教师）颁发“优秀辅导教师奖”。

五、时间安排1、初赛报名时间：2013年3月10—11日。

试卷领取时间：城市四区及市属中学：2013年3月23日上午8：00—9：00其它县区：2013年3月22日地点：洛阳市教研室117室。

2、决赛：报名时间：2013年3月28—29日报名人数：各单位初赛人数的10%报名材料：⑴决赛名单excel电子稿（见附表），并发送至：sxhhbs@⑵考场、考点安排。

试卷领取时间：城市四区及市属中学试卷考前专人送达；其它县、区各于2013年4月19日领取决赛试卷。

地点：洛阳市教研室117室。

洛阳市数学会2013年12月22日附表: 请以电子表格上报第十八届华杯赛报名表（样表）单位:_____________ 组别：______________。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9.答案：106解答. 图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段, 任意两条水平与任意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有2102110)123456()1234(=⨯=+++++⨯+++(个).其中含“*”号有4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).所以不含含“*”号有210－104＝106个.10.答案：9解答. 由于三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等, 可得出三角形AEC 的面积等于三角形BDC的面积. 由BD:DA = 1:2, 得三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的13, 即三角形AEC的面积等于三角形ABC面积的13. 那么EC等于BC的13, 得出EC = 6, 进而AD = 6, BD = 3, 最终AB = 9.11.答案：61解答. 设有n 个人, 每人植树x 棵, 则611132013⨯⨯==nx .可以说明：113⨯>n . 若33=n , 则每人植树61棵. 如果5人不参加植树, 则有305棵树, 其余28人每人多植3棵, 才种84棵树, 完不成任务. 可见, 113⨯>n .考虑n = 61. 此时, x = 33. 如果5人不参加植树, 则有165棵树要让56人多植树. 若每人多植2棵, 则56人多植了112256=⨯（棵）树, 完不成植树任务; 若每人多植3棵, 则56人多植了168356=⨯（棵）, 完成了植树任务. 所以, n = 61符合要求.12. 答案：59解答.① 观察立体右面的正方体, 标有1个黑点的侧面到标有2个黑点的面, 再到标有4个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.② 观察中间上面的正方体, 既然从1个黑点到2个黑点, 再到4个黑点是逆时针, 则该正方体标有6个黑点的面的对面标有1个黑点.③ 观察立体左面的正方体, 正方体标有3个黑点的面紧邻标有2个黑点的面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有4个黑点的侧面的对面的黑点有3个, 且底面标有5个黑点. 并且可知, 从1个黑点到2个黑点, 再到3个黑点是顺时针.所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为1、2和3的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1对6, 2对5, 3对4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有2个黑点, 底面有可能是有1个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其他3个正方体的3个侧面黑点总数最少是8个.4个正方体黑点总数是84, 3对紧贴的侧面黑点总数最多是25, 所以, 立体的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是59.三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13.答案：4解答. 用右图代替题目中的12⨯小长方形. 对于拼成的正方形图形, 记过左上顶点的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.图A首先, 有如下观察:1) 当甲对角线是对称轴时,a)左上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (3), (4) 中之一;b)右下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (5), (6) 中之一;c)若右上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (7), (8) 中的一个, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A中的(1), (2), (9), (10);2) 当乙对角线是对称轴时,a)右上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (7), (8) 中之一;b)左下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (9), (10) 中之一;c)若左上角的22⨯小正方形是图A中的(1), (2), (3), (4) 之一, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A中的(1), (2), (5), (6).根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得到以下4种图形:14.解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了i , j , k 类, 每类的盒子数目分别为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 ,令k j i n ++=.1) 因为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 包含了1到30的所有整数, 所以 30≥n . 另一方面,,15534652313030211553212121⨯==⨯=+++≥+++++++++++=⨯ kj i c c c b b b a a a所以 30=++=k j i n , 三种分类各自分类的类数之和是30.2) 不妨设301=a , 记这30个盒子的类为A 类. 因为30=++k j i , 必有14≤j 或14≤k , 不妨设14≤j . A 类的30个盒子分到这不超过14个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案25 2, 3 316 12 62 74 94 54二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9.解答.例如(4 + 4 + 4) ÷ 4 = 3 ,4 - (4 - 4) ⨯ 4 = 4 ,(4 ⨯ 4 + 4) ÷ 4 = 5 ,(4 + 4) ÷ 4 + 4 = 6 .10.答案：25解答. 设比小明小的学生为x人,比小华小的学生为y人.因为比小明大的学生为2x人,所以全班学生共 N =3x +1人;又因为比小华大的学生为3y人,所以全班学生共N=4y+1人. 这样, N-1既是 3 的倍数, 又是 4 的倍数, 因此N-1是3⨯4=12的倍数. 这个班学生人数大于 20 而小于 30, 所以N-1只可能是 24. 因此这个班共有学生N=24+1=25人.11.答案：1.375解答.小虎划船的全部时间为120分钟,他每划行30分钟,休息10分钟,周期为40分钟, “华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解所以一共可分为 3 个 30 分钟划行时间段, 有 3 个 10 分钟休息划船时, 顺水的船速与逆水的船速之比为 4.5:1.5=3:1. 因为小虎要把船划到离租船处尽可能远, 他在划船的过程中只能换一次划船的方向, 而且是在尽可能远处. 分两种情况讨论.1)开始向下游划船, 设最远离租船处x千米. 因为回到租船处是逆水, 所以小虎只有 110 分钟可用. 由于划船时顺流速度是逆流速度的 3 倍, 所以用在向下游划船的时间不能超过半小时. 另外两次休息时间只能用在返程, 在休息期间内船向下游漂流了13⨯1.5 , 所以⎛ 1 ⎫x ÷4.5+  x + ⨯1.5⎪ ÷1.5 = 1.5 .3⎝ ⎭整理上式得x +3x +1.5=6.75,4x= 5.25,x =1.3125(千米).2)开始向上游划, 设最远离租船处y千米. 小虎可用 120 分钟, 有两次休息时间用在向上游. 所以⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫y + ⨯1.5⎪ ÷1.5 +  y - ⨯1.5⎪ ÷ 4.5 = 1.5 .3 6⎝ ⎭ ⎝ ⎭整理上式得4 y+5 ⨯1.5 = 6.75 , 4 y= 5.5 , y =1.375(千米).6综合 1) 和 2) 的讨论, 小虎的船最多离租船处 1.375 千米.12.答案：不能解答. 设放的最小自然数为a,则放的最大自然数为a+23.于是这24个数的和为A= 12(2a+ 23).假设可能, 设每个正方形边上的数之和为S . 因为共有5个正方形, 这些和的和为5S . 因为每个数在这些和中出现两次, 所以有5S= 2A.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解记最小的 16 个数的和为B , 则B=8(2a+15) . 下面分两种情形讨论:(1)若 B ≤ S ,则S = 2 A = 24 (2a+ 23) ≥ 8(2a+15) , 9.8a+110.4 ≥16a+120 ,5 5不存在自然数 a 使得不等式成立.(2)情形 B > S 也是不可能的,因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使得这16 个数的和等于S .三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13.答案：5解答. 用右图代替题目中的2⨯1小长方形.因为题目所给的小长方形上下不对称,所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中, 不会既在上半部分也在下半部分. 这样, 就可以只考虑上半部分的不同情形.1)相邻的空白格在第一行最左边或最右边. 因为要排除旋转相同的, 所以只考虑相邻空白格在最右边的情况, 有下图所示的 2 种图形,2)相邻的空白格在第一行中间. 去掉旋转重合的, 有下图所示的 3 种图形,所有不同的图形为 5 种.14.答案：6036“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解解答. 令n = a1+ a2++ a2010 = b1 + b2 + + b2012 = c1 + c2 ++ c2013 ,其中, 所有的a i数字和相同, 所有的b j数字和相同, 所有的c k数字和相同. 两个自然数数字的和相同, 则它们除以 9 的余数相同, 即a i = 9u i + r, i =1, 2, , 2010,bj = 9v j + s, j =1, 2, , 2012,c k = 9w k + t, k =1, 2, , 2013.则n= 9 ⨯ (u1+u2+ +u2010 ) + 2010⨯r= 9 ⨯ (v1+v2+ +v2012 ) + 2012⨯s (1)= 9 ⨯ (w1+w2+ +w2013 ) + 2013⨯t,由上面的等式可得,9 ⨯ (u1+u2++ u2010 + 223 ⨯ r) + 3r = 9 ⨯ (v1 + v2 ++ v2012 + 223 ⨯ s) + 5 ⨯ s ,(2)9 ⨯ (w1+w2++ w2013 + 223 ⨯ t) + 6 ⨯ t = 9 ⨯ (v1 + v2 ++ v2012 + 223 ⨯ s) + 5 ⨯ s ,(3) 由 (2) 可以得出s是 3 的倍数, 只能是 0, 3 或 6. 下面三种情况讨论:1)s =0.此时,对j=1, 2,, 2012 ,因为b j=9v j的数字和不为零,所以v j≥1. 则n =9⨯(v1+ v2++ v2012 ) ≥ 9 ⨯ 2012 = 18108 .2)s =6.此时“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解客服电话：400 650 0888 n =9(v1+ v2++ v2012 ) + 2012 ⨯ 6 ≥ 12072 .3)s =3,此时n= 9(v1+v2+ +v2012 ) + 2012 ⨯ 3 ≥ 6036 .可以取 r =2, t =1.而6036 = 3 + 3 + + 3 = 2 + 2 + + 2 +11 +11 + +112012 个x 个y 个=10 +10 + +10 +1 +1 + +1.=m 个n 个下面计算 x, y 与 m, n,⎧x + y =2010, ⎨ ⎧m + n =2013,⎨⎩10m+n= 6 0 3,6即6036 = 2⨯1786 +11⨯224 =10⨯447 +1566 = 3⨯2012.最终, 满足条件的最小自然数是 6036.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解第 5 页共5页。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛C卷试题一、单项选择题，共 6 题，每题10分1、如果（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m+n 的值是（）.(A) 1243(B) 1343(C) 4025(D) 4029【答案】B;2、甲、乙、丙三位同学都把25 克糖放入100 克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情: 最终,（）得到的糖水最甜.(A) 甲(B) 乙(C) 丙(D) 乙和丙【答案】C;3、一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟.(A) 22(B) 20(C) 17(D) 16【答案】A;4、已知正整数A分解质因数可以写成, 其中是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A的三分之一是完全立方数, A的五分之一是某个自然数的五次方, 那么的最小值是（）.(A) 10(B) 17(C) 23(D) 31【答案】D;5、今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（）个三角形.(A) 9(B) 10(C) 11(D) 12【答案】C;6、从1～11 这11 个整数中任意取出6 个数, 则下列结论正确的有（）个.①其中必有两个数互质;②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;③其中必有一个数的2 倍是其中另一个数的倍数.(A) 3(B) 2(C) 1(D) 0【答案】B;二、填空题，共 4 题，每题10分1、有四个人去书店买书,每人买了4 本不同的书, 且每两个人恰有2 本书相同, 那么这4 个人至少买了_______种书.【答案】7;2、每天,小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD （如右图）. 已知AB:BC:CD =1:2:1,并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4.那么小明上学与放学回家所用的时间比是___________ .【答案】;3、黑板上有11个1,22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是___________.【答案】12;4、如图,正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是___________ .【答案】64 ;。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷 B ( 小学高年级组)总分第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷 B（小学高年级组）（时间 : 2013 年 3 月 23 日 10:00 ~ 11:00）装一、选择题 ( 每题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的 , 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内 .)1.一个四位数 , 各位数字互不相同 , 全部数字之和等于 6, 并且这个数是 11 的倍数 , 则知足这类要求的四位数共有（）个.（A）6（B）7（C）8（D）9订 2.22323323 3 3 2 3 3 的个位数字是（）.9个 3（A）2（B）8（C）4（D）63.在下边的暗影三角形中 , 不可以由右图中的暗影三角形经过旋转、平移获得的是图（）中的三角形.（ A ）（ B）（C）（ D）线4.某日 , 甲学校买了 56 千克水果糖 , 每千克 8.06元 . 过了几天 , 乙学校也需要买相同的56 千克水果糖 , 可是正好追上促销活动 , 每千克水果糖降价0.56 元, 并且只需买水果糖都会额外赠予5% 相同的水果糖 . 那么乙学校将比甲学校少花（）元.（A）20（B）51.36（C）31.36（ D）10.365.甲、乙两仓的稻谷数目相同 , 爸爸 , 妈妈和阳阳独自运完一仓稻谷分别需要 10 天 , 12 天和 15 天. 爸爸妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷 , 阳阳先帮妈妈 , 后帮爸爸 ,结果同时运完两仓稻谷 , 那么阳阳帮妈妈运了（）天.（A）3（B）4（C）5（D）66.如图, 将长度为9 的线段AB 分红9 等份,那么图中全部线段的长度的总和是（）.（A）132（B）144（C）156（D）165二、填空题 ( 每题 10 分, 满分 40 分)7.将乘积 0.243 0.325233 化为小数,小数点后第2013位的数字是________.8.一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬 , 它每向上爬 3 米 , 由于井壁打滑 , 就会下滑 1米, 下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一 . 8 点 17 分时 , 青蛙第二次爬至离井口 3 米之处 , 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为________分钟 .9.一个水池有三个进水口和一个出水口 . 同时翻开出水口和此中的两个进水口 , 注满整个水池分别需要 6 小时、 5 小时和 4 小时 ; 同时翻开出水口和三个进水口 , 注满整个水池需要 3 小时 . 假如同时翻开三个进水口 , 不翻开出水口 , 那么注满整个水池需要________小时 .10.九个相同的直角三角形卡片 , 用卡片的锐角拼成一圈 , 能够拼成近似右图所示的平面图形 . 这类三角形卡片中的两个锐角中较小的一个的度数有 ________种不一样的可能值 . （右图不过此中一种可能的状况）。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛团体赛 口试（周春荔执笔整理）（上半场）1. （共答题1）汉字“华、杯、赛、成、就、少、年、梦、想”分别代表1～9中不同的数码, 使得算式18=⨯华杯赛成+就+少年+梦+想成立, 那么华杯赛代表的三位数的最大值是多少?【答案】 972 【解答】华杯赛是个被18整除的三位数, 最大为990, 但出现两个9和0, 不合要求. 考虑次大的972. 而972÷18＝54. 填法是97218.165834=++⨯++ 所以 华杯赛代表的三位数的最大值是972.2. （群答题1）甲、乙两个花瓶中都放有玫瑰和百合两种花,总计32支. 甲瓶中有三分之一是玫瑰花, 乙瓶中有七分之一是百合花. 问乙瓶中共放有多少支花?【答案】答: 14.【解答】 两瓶有花共32支, 乙瓶花的支数为7的倍数, 只能是7, 14, 21, 28支. 因此甲瓶花的数目对应为25, 18, 11, 5. 而甲瓶花的支数为3的倍数, 只能是18支, 因此乙瓶共有花14支.3. （必答题A1）左下图是一个等腰梯形, 上底和两腰的长度都是2, 下底长度是4; 右下图是一个正六角星形, 面积和等腰梯形的面积相等. 问: 正六角星形的周长是多少?【答案】12【解答】图a中的等腰梯形和图b中的正六角星形面积相等, 都由12个边长为1的正三角形组成, 即可求得正六角星形的周长为12.图a图b4.（必答题A2）将1, 2, 3, 4分别填入下面的方格中, 使得等式□+ 2×□+ 3×□+ 4×□= 22成立, 那么第一个方格填的数与第四个方格填的数之积是多少?【答案】6【解答】设填的数依次是,,,.a b c d由于+++=,23422a b c d又+++=,a b c d10相减得2312.++=b c d因此3 6.22b dc ++= 若,1,3bd =, 33,522b d +=. 因此c 为奇数, 这不可能. 因此只能,2,4.bd = 易知4,d ≠所以只能2,4,d b ==因此, 1,c = 此时只能 3.a = 事实上324314222.+⨯+⨯+⨯=所以3,4,1, 2.a b c d ==== 因此 32 6.a d ⨯=⨯=另解. 已知:23422a b c d +++=.首先, d ≠3, d ≠4. 若d =3, 则1032=++c b a , 但1132≥++c b a , 不合要求. 若d =4, 则,632=++c b a 但,1034332=++≥++c b a 不合要求.若d =1, 则,1832=++c b a 此时, b =3. 当a=2, c =4时, 2320a b c ++=. 当a =4, c =2时, 1632=++c b a , 都不合要求.所以, d =2. 1432=++c b a . 根据奇偶性, 只有a=1, c =3和a=3, c=1两种可能. 当a=1, c =3时, ,1898132=++=++c b a 不合要求; 当a=3, c =1时, 1438332=++=++c b a , 符合要求. 即a =3, d=2. .623=⨯=⨯d a5. （必答题A3）右图的三角形ABC 中, D 、E 分别是所在边的中点, BC = 6 MN , 三角形GMN 的面积等于3平方厘米. 求三角形ABC 的面积.【答案】54平方厘米.【解答】连接AG , 因为D 、E 分别是所在边的中点, 易知△BCG 的面积＝△BAG 的面积＝△ACG 面积,而△BCG 的面积=6×3=18平方厘米,所以三角形ABC 的面积=18×3=54平方厘米.6. （必答题A4）100以内仅能分解为两个不同质数之积的自然数共有多少个?【答案】30【解答】50以内的的质数2, 3, 5, 7, …, 43, 47共15个, 设分解质因数后为,().a b a b ⨯< 若2,a = 则b 可取由3到47这14个质数; 若 3,a = 则b 可取由5到31这9个质数; 若 5,a = 则b 可取由7到19这5个质数; 若 7,a = 则b 可取由11, 13这2个质数. 若 11a ≥, 1111121100,a b ⨯≥⨯=> 不满足要求.所以满足题设条件的数有14 + 9 + 5 + 2 = 30 (个).7. （必答题A5）梯形 ABCD 中, 腰 AD =10 厘米, 梯形的面积为 70 平方厘米. 则由腰 BC 的中点 M到直线 AD 的距离为多少厘米?【答案】7【解答】过M 作AD 的平行线交AB 于E , 交DC 于F . 由于M 为BC 中点, 相当于△MBE 绕点M 旋转180到△MCF 的位置. 自M 作AB 的垂线, 垂足为H .所以,平行四边形ADFE 的面积 = 梯形ABCD 的面积=70平方厘米.又平行四边形ADFE 的面积 =10AD MH MH ⨯=⨯= 70,所以 7MH =厘米.另解. 连接DM 交AB 的延长线于P ,相当于将△MDC 绕点M 旋转180到△MPB 的位置. 点D , M , P 在一条直线上, 且M 是DP 的中点.△ADP 的面积 = 梯形ABCD 的面积 = 70.连接AM , 自M 作AD 的垂线, 垂足为H . 则△AMD 的面积 =12⨯△ADP 的面积 = 35, 所以 135,2AD MH ⨯⨯= 即11035,2MH ⨯⨯= 所以MH = 7（厘米）.8. （必答题A6）某植物园计划在如图所示的 A, B, C, D, E五个地块栽种四种不同颜色的郁金香, 每个地块内的郁金香必须同色. 相邻的（有公共边界的）地块的郁金香不能同色,不相邻的地块可以同色.问共有多少种不同的栽种方案?【答案】72【解答】按A , B , C , D , E 的顺序, 分别有4, 3, 2, 2, 2种颜色可选, 所以不同颜色的着色方案共有4 × 3 × 2 × 2 × 2 = 96 (种).注意到其中包含了只栽种三种颜色的郁金香（例如上图中D 与A 同色, 而E 与B 同色）的方法4×3×2×1=24 (种),因此满足题设要求的不同的栽种方案为962472-=（种）.9. （必答题A7）如图所示, 已知△ABC , △ACD ,△ADE , △AEF 都是等腰直角三角形, 若它们的总面积是30平方厘米, 求AB + AD + AF 的长.【答案】14厘米【解答】根据条件容易判定, BAF 共线, 所以 围成的多边形是五边形BCDEF . 作111,,.CC AD DD AF EE AF ⊥⊥⊥设三角形△ABC 面积为,x 则△ACD 的面积为2,x △ADE 的面积为4,x △AEF 的面积为8x . 因此它们的总面积为15x . 由1530,x = 解得 2.x = 而2122AB =, 所以AB =2, AD = 4,. AF = 8, 所以AB + AD + AF = 14厘米.10. （必答题A8）黑板上写有数字1到9. 请你擦掉其中几个数字, 使得剩下的数字的两两乘积中, 个位出现由0到9这十个数字. 你从黑板上最多能擦掉几个数字?【答案】 3【解答】在黑板上应剩下数5. 数1和9可以只由乘积37⨯和19⨯得到, 这意味着, 所有奇数应留下. 还必须有一个偶数, 就是说黑板上剩下的数不少于六个.容易检验, 六个数1, 2, 3, 5, 7, 9 两两的乘积的末位出现由0到9的所有数字. 因此, 从黑板上最多能擦掉3个数字.11.（群答题2）有大、中、小三张圆形纸板, 每次取其中的两个盖在桌面上.如果所有的情况中盖住桌面的最大面积为25, 最小面积为10, 那么大圆纸板的面积为多少?【答案】15【解答】易知,大圆纸板与中圆纸板不重合时盖住的面积最大, 等于25, 是大、中两个圆纸板面积之和, 中圆纸板与小圆纸板完全重合时盖住的面积最小, 此时盖-=.住的面积为中圆纸板的面积, 为10.所以最大的圆纸板面积为25101512.（群答题3）甲乙两人分别在一圆形跑道上的一条直径的两端点, 同时顺时针沿跑道行走, 10分钟后, 甲追及乙. 问至少再过多少时间甲再次追及乙?【答案】20分钟.【解答】因为10分钟的时间甲比乙多走半圈, 再过20分钟甲比乙又多走1圈, 即可追及乙.13.（共答2, 动手操作, 演示）你能用总面积为6的六张不全相等的正方形纸片将111⨯⨯的立方体完全裱糊起来吗? 如果能, 请你演示裱糊的方法; 如果不能, 请说明理由.【答案】能【解答】用六张面积都为1的纸片, 显然可以将111⨯⨯的立方体完全裱糊起来.现在要用总面积为6的六张不全相等的正方形纸片来裱糊111⨯⨯的立方体, 即至少用总面积为6的两种不同大小的正方形纸片来裱糊111⨯⨯的立方体, 考虑到1111=+++++,6222222可以引进相应的例子: 连接111⨯⨯的立方体各界面正方形的两条对角线, 剪出两张边长等于界面正方形的对角线长的大正方形（面积为2）纸片. 其中一张像图a) 那样裱糊在上界面和相邻的每个界面的四分之一（正方形的顶点安放在四个相邻界面的中心）. 另一张面积为2的正方形裱糊在下界面以及它每个的侧面的四分之一. 四个剩余的部分的每一个, 可以裱糊面积为12的正方形, 如图b) 所示.14. （必答题B1）在100至200之间有三个连续的自然数, 其中最小的能被3整除, 中间的能被5整除, 最大的能被7整除. 写出这样的三个连续自然数.【答案】159, 160, 161【解答】找中间的那个数, 它能被5整除, 被3除余1, 被7除余6. 先找被5整除被3除余1的最小数是10, 然后每次加[3, 5]=15, 看是否能被7除余6, 找到位于100~200之间的只有10+150=160, 所以这三个数为159、160和161.15. （必答题B2）边长分别为6厘米和8厘米的两张正方形纸板, 放在一个边长为10厘米的大正方形内, 大正方形内未被两张小正方形纸板盖住的部分的面积的最小值是多少平方厘米?【答案】16【解答】易知 2226810+=, 即边长分别为6厘米和8厘米的两张纸板的面积之和恰等于边长为10厘米的大正方形的面积. 只有当两个纸板放在大正方形内重叠的部分面积最小时, 其覆盖的总面积才最大, 这时未被覆盖的总面积为最小. 两个正方形纸板分别在图中的EFGD 与PBMN 的位置时, （两个正方形纸板重叠部分为正方形FHNQ ）, 未被覆盖的APQE 与MCGH 的总面积为最小.易知未被覆盖的APQE 与MCGH 的总面积恰等于正方形FHNQ 的面积. 正方形FHNQ 的边长为6 + 8 – 10 = 4厘米, 所以正方形图a) 图 b)FHNQ 的面积为16平方厘米. 也就是大正方形内未被小正方形纸板盖住的部分的面积的最小值是16平方厘米.16. （必答题B3）自然数n 是两个质数的乘积, 它的包含1但不包含n 的所有因数的和等于100. 那么n =?【答案】194【解答】设,n pq =其中p 和q 是不同的质数.根据条件1100,p q ++=因此99.p q += 所以数p 和q 之一是偶数. 设p 是偶质数2, 则2,p =而97.q =即297194.n =⨯=17. （必答题 B4）如图, 三角形ACB 中, 90,ACB ∠= AC =1cm, AB =2cm. 以B 为中心, 将三角形ACB 顺时针旋转, 使得点A 落在边CB 延长线上的A 1点, 此时点C 落在点C 1的位置.设在旋转中边AC 扫过的面积为S , 以B 为中心1为半径的半圆面积为T , 求S 与T 之比.【答案】5:6.【解答】易知1130.ABD A BD ∠=∠=曲边三角形111AC D 的面积= 曲边三角形ACD 的面积.所以边AC 变到A 1C 1所扫过的面积为S =()()2222150524(21)36012BC πππ⨯-⨯=--5.12π= 以B 为中心1为半径的半圆面积T 211.22ππ=⋅= 所以 525.126S T ππ=⨯= 即:5:6.S T = 18. （必答题B5） 非零的自然数n 是25的倍数, 它的数字和也是25的倍数. 那么n 最小是多少?【答案】4975【解答】一个非零的自然数是25的倍数, 这个自然数的末两位数字只可能是00, 25, 50, 75. 而这个自然数的数字和也是25的倍数, 最小数字和为25, 末两位为75时数字和为12, 前面的数字和只能是13, 最少占两位. 即所求的是个4位数75.ab 而13a b +=, a 最小取4, 此时9b =, 所求的自然数最小是4975.19. （必答题B6）如图所示, 6个完全相同的小长方体恰好拼成一个体积等于384立方厘米的长方体, 那么, 一个小长方体所有棱长的总和是多少厘米?【答案】28【解答】设小长方体的长为4k 厘米, 则可知小长方体的宽是2k 厘米, 高是k 厘米, 立即得到: 体积等于384立方厘米的长方体的长和宽相等, 均为4k 厘米, 高是3k 厘米, 体积为33443483848k k k k k ,⨯⨯==⇒=故k = 2. 所以, 1个小长方体所有棱长的总和是564)248(=⨯++（厘米）.20. （必答题B7）能够在图中的小圆圈中填入由0到9的所有整数, 使得有三个圆圈的六条线段上的数之和都等于同一个值吗? 请说明理由.【答案】不能【解答】假设, 这是可能的. 设在线段端点的数的和等于A , 在线段中点放的数的和等于B . 而沿每条线段三数的和等于S . 显然, A+B = 0+1+…+9 = 45. 每个端点恰属于三条线段, 而所有中点是不同的. 所以, 顺着全部六条线段的和加在一起, 我们得到 36.A B S += 由此26()645.A S A B S =-+=-但这不可能, 因为2A 是偶数, 而645S -是奇数.得到的矛盾证明了, 要求的放置是不可能的.21. （必答题B8） 有三块长方形钢化玻璃板, 尺寸如图所示.想用这三块玻璃板作侧面, 水泥地平面为底面, 粘合成一个临时的盛水容器, 三块玻璃板不许剪裁和弯曲, 只允许在边缘处粘合, 问容器最多可容多少立方分米的水?【答案】48【解答】根据两边之和大于第三边的要求, 易知这个容器的底面只能是边长为3,4, 5和边长为4, 5, 8的三角形两种情况:（1）底面三角形边长为3, 4, 5. 侧面取最短的高为8;容积为1348482⨯⨯⨯=; （2）底面三角形边长为4, 5, 8., 设引向长为8的边的高为,h 则底面三角形面积18,2h =⨯⨯ 侧面取最短的高为3. 容积11(8)384348.22h =⨯⨯⨯<⨯⨯⨯=所以容器最多可容48立方分米的水.（下半场）22.（群答题4）几位游客上午10: 30进入公园, 沿大道从东门步行走向西门, 在公园大道某处的路标上写着: 距东门2220m , 距西门660m. 然后游客们走到西门出园时间是11: 20. 求游客行走的平均速度是多少（千米/小时）?【答案】3.456【解答】游客行程=2220+660米=2.88千米. 游客共行走了50分钟=56小时, 所以, 游客行走的平均速度为52.88 2.88653.4566÷=⨯÷=（千米/小时）.23.（群答题5）能够在图中的圆圈内填入10个数, 使得任意黑三角形顶点的三数之和都等于2012, 而任何白三角形的顶点的三数之和都等于2013吗? 请说明理由.【答案】不能【解答】假设放置了所求的10个数. 设放置在中间六边形的顶点的数为a, b, c, d, e, f, 在它中心的数为p, 则根据条件, 在三个黑三角形顶点的所有数的和为:332012a b c d e f p++++++=⨯. ①同时, 在三个白三角形顶点的所有数的和为:332013a b c d e f p ++++++=⨯. ② 比较①、②得 3201232013,⨯=⨯ 即20122013.=矛盾.另解. 假设放置了所求的10个数. 设放置在中间六边形的顶点的数为a , b , c , d , e , f , 在它中心的数为p , 则根据条件, 任意黑三角形顶点的三数之和都等于2012, 而任何白三角形的顶点的三数之和都等于2013, 易知1,f b =+ 1,d f =+ 1.b d =+三式相加得:3,f d b b f d ++=+++即0=3. 矛盾.24. （共答题3）用一个31角的模版和铅笔为工具,你能在纸上画出一个13的角吗? 说明理由.【答案】能【解答】因为1803311754052713.⨯-⨯=-=画一直线AOB , 取O 为坐标原点. 以射线OA 为角的一边, 在顺时针方向作∠131AOC =, 接着再作16个31的角122334151631.C OC C OC C OC C OC ∠=∠=∠==∠= 得1613.BOC ∠=25. （抢答题1）将九个数码1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分成两组, 写成甲、乙两个多位数, 使得甲数恰为乙数的两倍. 请写出三组不同的答案, 每组答案中有一个数的千位是5.【答案】（15384, 7692）, （15846, 7923）, （15864, 7932）【解答】（1）两个多位数必一个是五位数, 一个是四位数. 且五位数万位是1.（2）已知5在千位上, 若5在四位数的千位, 乘以2之后, 得五位数的万位与千位是10或11（百位进上1时）, 由于九个数字中没有0, 且不能重复, 所以5不能出现在四位数的千位. 因此5只能出现在五位数的千位, 这时四位数的千位必为7, 需百位乘2后进一, 得五位数是15abc. 四位数的百位只能是9或8或6.当四位数百位是9时, 有两组解：（15846, 7923）; （15864, 7932）,当四位数百位是8时, 无解;当四位数百位是6时, 有一组解：（15384, 7692）.思维链接. 建议有兴趣的读者可以独立思考解答下面的问题:将九个数码1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分成两组, 写成甲、乙两个多位数, 使得甲数恰为乙数的两倍. 请写出各种不同的答案.答案为:(18546, 9273); (18654, 9327); (15846, 7923), (15864, 7932),(15384, 7692); (14658, 7329), (14586, 7293), (14538, 7269);(13458, 6729), (13854, 6927), (13584, 6792).提示：（1）分得的必一个五位数, 一个是四位数, 并且五位数万位是1.（2）5不能在四位数的各个位中, 也不能是五位数的个位.（3）5在五位数的十位或百位, 靠四位数的26, 27, 28, 29乘2后产生五位数十位或百位的5. 5在五位数的千位, 靠79×2=158产生千位的5.（4）四位数的个位或（百位）乘2不进位.按上述要求, 试填即得.26. （抢答题2）将1至2013这2013个自然数依次写下来, 得一多位数123456789101112…201120122013.这个多位数除以9的余数是几?【答案】3【解答】 一个自然数除以9的余数等于这个自然数的各个数位上的数字之和除以9的余数.将0至1999这2000个数分成如下1000组:（0, 1999）, （1, 1998）, （2, 1997）, …, （998, 1001）, （999, 1000）, 以上每组两数之和都是1999, 且两数相加没有进位, 这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和是:（1+9+9+9）×1000=28000.2000~2013这14个自然数各位数字和为28+45+10=83,所以这个多位数除以9的余数就是 (28000+83) 除以9的余数, 得3.27. （抢答题3）如图所示的圆内接正六边形ABCDEF的面积是18平方厘米. 以AB , BD , DE , EA 为直径向外作四个半圆. 问四个月牙形（阴影）面积的和等于多少?【答案】12平方厘米【解答】连接BOE , 知 三角形DBE 为直角三角形. BE右上两个月牙形面积之和等于三角形DBE 的面积, 同理, BE 左下两个月牙形面积之和等于三角形ABE 的面积, 因此, 四个月牙形（阴影）面积的和等于长方形ABDE 的面积. 而容易看出, 长方形ABDE 的面积等于六边形ABCDEF 的面积的2,3等于12平方厘米. 所以四个月牙形（阴影）面积的和等于12平方厘米.28. （抢答题4）今有2013张纸牌, 上面分别写有从1到2013的数字, 问能否将这些纸牌分成三堆, 使各堆牌上的数之和的比为3:2:1吗? 说明理由.【答案】不能【解答】因为2013张牌的数字之和为201310072013220131102320124321⨯=⨯+=++++++ , 如果能分成题中要求的三堆牌, 等于将和数10072013⨯分成相等的6份, 每份都是整数. 也就是10072013⨯应被6整除. 但10072013⨯不被6整除, 矛盾！所以题设的分法是不可能的.29. （抢答题5）棱长为4的立方体支架每条棱上每隔单位长有一个分点与顶点一起共计标出44个点（如图）. .至少过这些点中的两个点的不同的直线共有多少条?【答案】838【解答】暂时不考察通过立方体的棱的12条直线. 则a) 通过立方体每个顶点（8个之一）, 引 93431⨯+= 条直线（图a ）. b) 通过每个“非顶点”（它们是12336⨯=个之一）引113639⨯+=条直线（图b ）.因为提到的每条直线计算了两次, 所以直线的总数等于1(8313639)12838.2⨯⨯+⨯+= 另解. 对给出的44个点, 每个点可与其余43个点连接直线, 确定每条直线要2个点, 每条直线对这两个点重复计数了一次, 因此连接的直线总数为44439462⨯=条. 其中在每条棱上的5个点两两连结的直线都是同一条, 多计数了54192⨯-=条, 12条棱上多计数了129108⨯=条. 所以过题设的44个点可确定的不同的直线共计946108838-=条.30. （抢答题6）千位与个位都是偶数码且不被1000整除的四位数共有多少个?【答案】1996【解答】四位数的千位数码依条件可以是2, 4, 6, 8中的任一个, 百位和十位数码可以是十个数码中的任一个, 而个位数码如果不考虑“不被1000整除”的条件, 可以从0, 2, 4, 6, 8这五个数字中任选一个.因此, 千位与个位都是偶数码的四位数共有4101052000⋅⋅⋅=个, 因为其中只有2000, 4000, 6000, 8000被1000整除, 所以千位与个位都是偶数码且不被1000整除的四位数共有200041996-=个.31. （抢答题7）如图, 写有不同的非0自然数的14张卡片数字朝下, 自小到大排成一行. 这些数的和等于170. 去掉最左和最右的两张, 剩下卡片上的数之和等于150.问原来左数第三张卡片写的是什么数?图a 图b【答案】8【解答】去掉最左和最右的两张纸片, 剩下数的和等于150. 表明卡片最小与最大数的和等于20. 因此, 可能是1+19, 2+18, 3+17, 4+16, 5+15, …….-+=<与共14张卡片不如果是4+16及它以后的情形, 卡片数最多为16411314.符. 若是3+17的情况, 而3到17这15个数之和为3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=150,其中14个数不可能等于170.若是2+18的情况, 而2到18共17个数之和等于170. 去掉3个数, 14张卡片之和小于170, 与题设不符.所以只能是1+19的情况., 而由1到19共19个数之和等于190. 去掉和为20的5个数, 才能等于170. 只能去掉2, 3, 4, 5, 6这5个数. 因此原来左数第三张卡片写的是8.数.而在每个顶点写上该顶点所在的三个界面上的数的乘积. 那么八个顶点上写的数之和能是2013吗?如果能, 最初六个界面上写的数之和是多少? 如果不能, 请说明理由.【答案】能, 6个界面上写的数之和是75.【解答】设在立方体相对界面写的正整数分别是:上界面和下界面分别为a 和 b ;左界面和右界面分别为c 和d ;前界面和后界面分别为e 和f .则在各顶点写的数之和为acf adf ace ade bcf bce bdf bde +++++++()()()201331161a b c d e f =+++==⨯⨯,所以在各界面上写的数的和是()()()3116175.a b c d e f +++++=++=33. （共答题4）在纸板上画有一个平行四边形ABCD , P 为形内一点.请用圆规、（无刻度）直尺、铅笔为工具, 画出一个边长分别等于P A 、PB 、PC 和PD 的四边形, 使得该四边形的面积恰是平行四边形面积的一半.【解答】作法如下: 平移PBC ∆到.P AD '∆或平移PAB ∆到P DC '∆即可.易知,△PBC 的面积+△P AD 的面积 = △P AB 的面积+△PCD 的面积 = 12⨯平行四边形ABCD 的面积. 所以平移PBC ∆到P AD '∆（或平移PAB ∆到P DC '∆）即可实现题设要求的作图.。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A）卷【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.计算:(2014×2014+2012)-2013×2013=________.2.将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平,使三角形DCF落在三角形DEF的位置,顶点E恰落在边AB上.已知∠1＝20°,那么∠2是________度.3.鸡兔同笼,共有40个头,兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只,那么兔有________只.4.第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形,见图b;第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形,见图c;这样继续下去,当完成第六次操作时,得到的图形中共有________个正方形.图a图b图c5.右面的加法竖式中,相同的汉字代表1至9中的相同数字,而不同的汉字代表不同的数字.则竖式中的“数学”所表示的两位数共有________个.6.大小两个正方体积木粘在一起,构成右图所示的立体图形,其中小积木的下底面的四个顶点,恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2,那么这个立体图形的表面积是________.7.某班学生人数大于20而小于30,其中女同学的人数是男同学的2倍.全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人.这个班有学生________名.8.见右图,图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积,那么阴影三角形的面积为________.二、简答题（每小题15分,共60分,要求写出简要过程）9.用4个数码4和一些加、减、乘、除号和小括号,写出值分别等于2、3、4、5、6的五个算式.10.右图是U,V,W,X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量.如果每辆车都有50升油,那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米?11.某商店卖出一支钢笔的利润是9元,一个小熊玩具的进价为2元.一次,商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销,共获利润1922元.问这次促销最多卖出了多少支钢笔?12.编号从1到10的10个白球排成一行,现按照如下方法涂红色:1）涂2个球;2）被涂色的2个球的编号之差大于2，求不同的涂色方法有多少种?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷参考答案【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.解析：【知识点】运算律，平方差公式原式6039201240272012)20132014()20132014(20122013201422=+=+-⨯+=+-=2.解析：【知识点】平面几何o 201=∠=∠CDF ，DCF ∠与CDF ∠互余，则o o o 702090=-=∠DFC ，o 70=∠=∠DFC DFE ，o o o o 4070701802=--=∠。

2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 ．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是度．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有只．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有个正方形．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有个．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生名．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 6039 ．【分析】把2014看作2013+1，把2012看作2013﹣1，进行简算即可．【解答】解：（2014×2014+2012）﹣2013×2013＝[（2013+1）×（2013+1）+（2013﹣1）]﹣2013×2013＝（2013+1）×（2013+1）+2013﹣1﹣2013×2013＝2013×2013+2013+2013+1+2013﹣1﹣2013×2013＝（2013×2013﹣2013×2013）+（1﹣1）+（2013+2013+1+2013）＝6039．故答案为：6039．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是44 度．【分析】由题意可知：因为是翻折，∠CFD应该和∠EFD相等，又因∠DEF 等于90°，∠1＝22°，于是利用三角形的内角和定理即可求出∠DFE的度数，又因∠CFD和∠EFD和∠2构成了一个平角，平角是180°，据此即可求出∠2的度数．【解答】解：因为翻折，∠CFD＝∠EFD＝90°﹣22°＝68°，∠2＝180°﹣68°﹣68°＝44°．故答案为：44．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有33 只．【分析】设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系：兔脚的数＝鸡脚的数×10倍+8只，可列方程解答即可．【解答】解：设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系可列方程：4x+8＝10×2×（40﹣x）4x+8＝800﹣20xx＝33答：兔子有33只．故答案为：33．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有29 个正方形．【分析】图a有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形．所以答案为5+6×4＝29．【解答】解：5+6×4＝29．故答案为：29．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3 个．【分析】根据“学+学+学”没有进位，可知“学”只有3种可能．“学”＝1，“学习”＝17，“数学”＝51；“学”＝2，“学习”＝24，“数学”＝72；“学”＝3，“学习”＝31，“数学”＝93．竖式中的“数学”所表示的两位数共有3个．【解答】解：根据题干分析可得：所以数学表示的两位数是51或72或93，一共有3个．答：竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3个．故答案为：3．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是32 ．【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍．因此，这个立体图形的表面积是大正方体的表面积加上小正方体四个面的面积．据此解答．【解答】解：6×2×2+4×（2×2÷2）＝24+4×2＝24+8＝32．答：这个立体图形的表面积是32．故答案为：32．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生27 名．【分析】女同学的人数是男同学的2倍，所以全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．【解答】解：根据分析知：全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．故答案为：27．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为9 ．【分析】如下图所示：OA×OC＝30，OD×OF＝12，将两个式子的等号的两边分别相乘，得出OA×OC×OD×OF＝30×12，而OC×OD＝10×2＝20，由此得出OA×OF，进而求出阴影三角形的面积．【解答】解：因为OA×OC＝30，OD×OF＝12，所以OA×OC×OD×OF＝30×12＝360．又因为OC×OD＝10×2＝20，所以OA×OF＝360÷20＝18．所以S△AGF＝GF•AG＝OA•OF＝×18＝9；答：阴影三角形的面积为9．故答案为：9．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．【分析】因为12÷4＝3，4+4+4＝12，所以可以写成（4+4+4）÷4＝3；因为4×（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以写成4﹣（4﹣4）×4＝4；因为4×5＝20，20÷4＝5，所以可以写成（4×4+4）÷4＝5；因为2+4＝6，（4+4）÷4＝2，所以可以写成（4+4）÷4+4＝6．【解答】解：（4+4+4）÷4＝3；4﹣（4﹣4）×4＝4；（4×4+4）÷4＝5；（4+4）÷4+4＝6；10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？【分析】根据统计图所提供的信息，可以看出每种车每百千米的耗油量，用50（升）除以每种车的百千米耗油量（升），就是每种车行驶的路程，把四辆车行驶的路程相加即可．【解答】解：（50÷20+50÷25+50÷5+50÷10）×100＝（2.5+2+10+5）×100＝19.5×100＝1950（千米）答：这四辆车最多可行驶的路程总计是1950千米．11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？【分析】根据题意，“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”这样卖4支钢笔实得利润9×4﹣2＝34元，要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．由此可以求出1922是34的多少倍就是打包卖出多少个4支，进而求出最多卖出多少支钢笔．据此解答．【解答】解析：要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．1922÷（4×9﹣2）＝1922÷34＝56（倍）…18（元）；18÷9＝2（支）；56×4+2＝224+2＝226（支）．答：这次促销最多卖出了226支钢笔．12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？【分析】本题采用枚举法，令被涂色的第一个球的编号小于第二个球的编号，由于8+2＝10，要使编号之差大于2，所以第二个球编号最大是7，那么第一个球可以是1～7号中的任意一个，由此进行逐个情况讨论，最后再把各种情况的种数相加即可．【解答】解：第一个球涂1号，则另一个球可涂4～10；有7种不同的情况；第一个球涂2号，则另一个球可涂5～10；有6种不同的情况；第一个球涂3号，则另一个球可涂6～10；有5种不同的情况；第一个球涂4号，则另一个球可涂7～10；有4种不同的情况；第一个球涂5号，则另一个球可涂8～10；有3种不同的情况；第一个球涂6号，则另一个球可涂9～10；有2种不同的情况；第一个球涂7号，则另一个球可涂10；有1种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1＝28（种）．答：不同的涂色方法有28种．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:49；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800第11页（共11页）。

2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每空3分，第8小题6分，共30分）1．（3分）计算：19×0.125+281×+12.5＝．2．（6分）农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是九的第天．3．（3分）某些整数分别被，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，，，则满足条件且大于1的最小整数是．4．（3分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线 AC上的点，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面积为25，那么三角形PBQ的面积是．5．（3分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有个．6．（3分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4，则这个立体图形的表面积为．7．（6分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．两车分别到达B地和A地后，立即返回．返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变．已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A，B两地的距离为千米．8．（3分）用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“”所能代表的两位数共有个．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图中，不含“*”的长方形有多少个？10．（10分）如图，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC 的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB的长度是多少？11．（10分）若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同．如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务．问：共有多少人参加了植树？12．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形．若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形？14．（15分）对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（ 1）三种分类的类数之和是多少？（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每空3分，第8小题6分，共30分）1．（3分）计算：19×0.125+281×+12.5＝50 ．【分析】根据乘法分配律进行简算．【解答】解：19×0.125+281×+12.5＝19×0.125+281×0.125+100×0.125＝（19+281+100）×0.125＝400×0.125＝50．故答案为：50．2．（6分）农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是六九的第7 天．【分析】先求出2012年12月21日到2013年的2月10日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．【解答】解：2012年12月21日到2013年的2月10日的元旦共有11+31+10＝52天，52÷9＝5…7，说明已经经过了5个9天，还余7天，这一天就是六九的第7天．答：2013年的2月10日是六九的第7天．故答案为：六，7．3．（3分）某些整数分别被，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，，，则满足条件且大于1的最小整数是3466 ．【分析】设这个数为x，则：x÷＝x，x÷＝x，x÷＝x，x÷＝x，因此这个数应是分母的最小公倍数+1，据此解答．【解答】解：设这个数为x，则：x÷＝x，x÷＝x，x÷＝xx÷＝x因此这个数应是分母的最小公倍数+1，即5×7×9×11+1＝3465+1＝3466答：满足条件且大于1的最小整数是3466．故答案为：3466．4．（3分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线 AC上的点，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面积为25，那么三角形PBQ的面积是 6.5 ．【分析】过Q点作，EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，根据相似比可以求出各线段的长度，再用正方形的面积分别减去其余的部分，可得最后结果．【解答】解：连结QD，作EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，因为正方形ABCD的面积为25，所以AD＝EF＝5；因为QC：AQ＝2：3，根据正方形的对称性，所以QE＝QG＝2，QF＝3．因为PD：AP＝4：1，所以AP＝1，PD＝4．S△PQD＝S正方形ABCD﹣S△CQB﹣S△DQC﹣S△PQD﹣S△PAB＝25﹣2×5÷2﹣2×5÷2﹣4×3÷2﹣1×5÷2＝25﹣5﹣5﹣6﹣2.5＝6.5．答：三角形PBQ的面积是6.5．故答案为：6.5．5．（3分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有67 个．【分析】因为10÷3＝3…1，11÷4＝2…3，12÷5＝2…2，苹果个数除以3余1，除以4少1，除以5余2，满足除以3余1，除以4少1的数最少是7，7除以5余数刚好是2，又因为苹果个数大于12，3、4、5的最小公倍数是60，所以这筐苹果至少有：60+7＝67；由此解答即可．【解答】解：10÷3＝3…1，11÷4＝2…3，12÷5＝2…2，满足除以3余1，除以4少1的数最少是7，7除以5余数刚好是2，又因为苹果个数大于12，所以苹果至少：3×4×5+7＝60+7＝67（个）；答：这筐苹果至少有67个．故答案为：67．6．（3分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4，则这个立体图形的表面积为136 ．【分析】观察图形可知，大正方体与小正方体的相连的两个面如图所示：因为大正方体的棱长是4，则四周的小直角三角形的直角边分别是3、1；如果把四周的四个直角三角形剪下来，正好拼成一个一个面的面积是4×4﹣3×1÷2×4＝10的正方形，根据正方形的面积公式可得：大正方体的一个面的面积是4×4＝16；则这个立方体的表面积就是大正方体的表面积与小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：4×4＝16，小正方体一个面的面积是：4×4﹣3×1÷2×4＝16﹣6＝10，所以这个立体图形的表面积是：16×6+10×4＝96+40＝136，答：这个立体图形的表面积为136．故答案为：136．7．（6分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．两车分别到达B地和A地后，立即返回．返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变．已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A，B两地的距离为千米．【分析】已知原来甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，则此时两车的速度比是40：60＝2：3，则第一次相遇时，甲行了全程的＝，乙行了全程的＝；甲车加速后，速度是每小时60×（1+）＝60千米，即两车返回时的速度相同．当甲到达B地时，乙速度快，在此之前就返回了，由于此时甲行完全程，则乙所行路程是甲的，即此时乙从A地返回又行了全程的﹣1＝，剩下路程两人速度一样，则各行一半，即在距B地处相遇，所以50千米占全程的﹣＝，则全程是50÷千米．【解答】解：甲乙两车的速度比是：40：60＝2：3，甲车加速后是每小时行：60×（1+）＝60千米，（﹣1）÷2＝50÷（﹣）＝50÷（﹣）＝50＝（千米）答：两地相距千米．故答案为：．8．（3分）用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“”所能代表的两位数共有 3 个．【分析】因为四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么习＝1，若习取大于1的数字，则不满足题意，又因为1111×2222＝2468642，1111×3333＝3702963，1111×4444＝4937284，1111×5555＝6171605，不符合题意，据此即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：1111×2222＝2468642，1111×3333＝3702963，1111×4444＝4937284，它们的积的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么习＝1，所以“”所能代表的两位数有21、31、41，一共有3个．答：“”所能代表的两位数共有 3个．故答案为：3．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图中，不含“*”的长方形有多少个？【分析】如下图：含有A的标记*的长方形有4×15＝60个，含有B的标记*的长方形有4×15＝60个，含有标记A和标记B的长方形有4×4＝16个，所以含有*的三角形有60+60﹣16＝104个，再算出图中一共长方形的个数，据此解答．【解答】解：图中共有长方形：×＝21×10＝210（个），含有A的标记*的长方形：4×15＝60（个），含有B的标记*的长方形：4×15＝60（个），含有标记A和标记B的长方形：4×4＝16（个），所以含有*的长方形：60+60﹣16＝104（个），不含“*”的长方形：210﹣104＝106．答：不含“*”的长方形有106个．10．（10分）如图，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC 的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB的长度是多少？【分析】此题可以设想通过求得AD、BD的长度，来求AB的长度．因为AD ＝EC，只要求出EC的长度，就可知AD的长度．根据三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等，求得＝，即可求出EC＝BC＝×18＝6；再根据AD＝2BD，求得2BD＝6，则BD＝3，因此求出AB的长度，解决问题．【解答】解：设S△AFC＝S四边形DBEF＝1，S△CEF＝x，S△ADF＝y，因为AD＝2BD，所以＝＝，即＝＝，解得y＝2x+1则＝＝＝，所以＝．所以EC＝×BC＝×18＝6，则AD＝EC＝6．又因为AD＝2BD，BD＝AD÷2＝6÷2＝3．综上，AB＝AD+BD＝6+3＝9．答：AB的长度是9．11．（10分）若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同．如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务．问：共有多少人参加了植树？【分析】根据时间知“若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同”，则人数与棵数是2013的因数，可设原来有a人，每人植树b棵，则ab＝2013，因有5人不参加植树，所以，a＞5．“如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务”．则2（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）．据此解答．【解答】解：设原来a人，每人b棵ab＝2013，a＞52（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）2（a﹣5）÷5＜b＜3（a﹣5）÷5b在0.5（a﹣5）附近2013＝33×61符合a＝61，b＝33共有61人参加植树．答：共有61人参加了植树．12．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是59 ．【分析】每个正方体总点数为1+2+3+4+5+6＝21，4个正方体共84个黑点，因为要求黑点的总数至多是多少，因此，遮住的部分的点数应尽量少．然后根据相邻边的点数推出个正方体被遮住的面上的点数，解决问题．【解答】解：每个正方体总点数为1+2+3+4+5+6＝21，4个正方体共84个黑点，因为要求黑点的总数至多是多少，因此，遮住的部分的点数应尽量少．根据相邻边的点数推出：最上面正方体底面点数为5；右面正方体的左面的点数为6；中间正方体5的对面是2，因此被遮住部分的总点数为21﹣5﹣2﹣6＝8；左边正方体右面的点数为6．因此立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是84﹣（5+6+8+6）＝84﹣25＝59．故答案为：59．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形．若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形？【分析】用右图代替题目中的2×1小长方形，因为题目所给的小长方形的上下不对称，所以同一个小长方形在拼成的两条对角线都是其对称轴的正方形图形中，这样，就可以只考虑上半部分的不同情形，据此画图分析解解答．【解答】解：如图：答：以拼成4种两条对角线都是其对称轴的正方形图形．14．（15分）对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（ 1）三种分类的类数之和是多少？（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．【分析】根据题意，可得a1，a2，a3，…，a i；b1，b2，b3，…，b j；c1，c2，c3，…，c k，包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，3×155＝a1+a2+a3+…+a i+b1+b2+b3+…+b j+c1+c2+c3+…+c k≥1+2+3+…+30＝＝465＝3×155．故三种分类的类数之和是30．进而论证得出答案．【解答】解：（1）因为 a1，a2，a3，…，a i；b1，b2，b3，…，b j；c1，c2，c3，…，c k包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，3×155＝a1+a2+a3+...+a i+b1+b2+b3+...+b j+c1+c2+c3+...+c k≥1+2+3+ (30)＝465＝3×155．所以n＝i+j+k＝30，三种分类的类数之和是30．（2）不妨设a1＝30，记这30个盒子的类为A类．因为i+j+k＝30，必有j≤14或k≤14，不妨设j≤14．A类的30个盒子分到这不超过14个类中去，必有一类至少有三个盒子，这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:54；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

《18届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学高年级教程》经典分析P155：初赛模拟测试题（1）6：一副扑克牌54张，将大小王视为0点，A视为1点，J视为11点，Q视为12点，K视为13点，任意抽出若干张，不计花色，如果要求每次抽出的牌中必定有2张牌的点数之和等于14，那么至少要取（）牌。

教程答案：29。

我的答案:28因为：54张牌用最坏情况，2张大小王,4组A—6，4×6，再抽一张7，这时最坏情况抽完，然后再抽一张，就可以这些最坏情况的某一张，加起来和等于14点。

所以总共要抽：2+4×6+1+1=28张。

所以最低要取出28张牌。

P159：决赛模拟测试题（1）5：7098能表示成----种若干个（至少两个）连续非零自然数之和。

教程里的答案是12，这个答案和P19页，例1的答案是矛盾的。

而且教程中说这类题要穷举。

我的答案:11【7098=2×3×7×13²，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）×（2+1）=12个奇因数，12-1=11】原因，例：把18、27分成两个或两个以上连续正整数之和，共有多少种不同的拆法。

18=2×3²即18=3×6，那么以6为中心，分别向两边扩1个数，和6总共是3个数：5、6、7 又18=9×2，那么以2为中心，分别向两边扩4个数，和6总共是9个数：-2、-1、0、1、2、3、4、5、6，其中在相加过程中-2、-1、0、1、2相抵消，剩余3、4、5、6又18=1×18，这里不能以1为中心，把18-1=17两边平均分，以18为中心的1个数没意义。

所以18=5+6+7=3+4+5+6，有两种不同的拆法在18=2×3²中奇数的个数是2+1=3个，（1,3,6）其中是3个以6为中心的连续数，和6个以3为中心的连续数。

但是1不可以拆分，所以要3-1=2，即只要两种拆法。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学中年级组）一、填空题（每题10 分, 共80分）二、简答题（每题15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9.解答. 例如++÷=;44442÷+÷=; (444)43⨯+÷=4(44)46++÷=.+-⨯=;(444)4 5.4(44)44（说明：答案不惟一, 每个式子3分）.10.答案：1950解答.U车行驶(5020)100250÷⨯=（千米）,V车行驶(5025)100200÷⨯=（千米）,W车行驶(505)1001000÷⨯=（千米）,X 车行驶(5010)100500÷⨯=（千米）.4辆车最多可行驶的路程总计是250+200+1000+500=1950（千米）. （说明：本题共5步, 每个式子做对得3分）.11.答案：226解答. 卖出一个打包促销, 可赚 94234⨯-=元, 而1922÷34=56……余18, 说明, 钢笔有按每支9元利润单支零售的. ……（5分）即 1922345692=⨯+⨯, 即最多可卖出56包外加零售2支钢笔, 共计4562226⨯+=支钢笔. ……（10分）如果少买1包（4只）钢笔, 即少赚34元, 这时零售多4支可赚36元, 要保持1922这个定值, 零售就要不足4支（739支）, 总支数就要减少724399-=支. 当打包减少9包时, 要保持1922这个定值, 零售总支数就要减少2支.……（13分）因此, 打包销售最多为56包时, 销售出钢笔的总支数最多, 为226支.……（15分）12. 答案：28解答. 设被染色的每两个球中的小号码为k , 则k 取值1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 另一个被染色的球的号码可能是 3,4,,10.k k ++ ……（3分）采用列举法：k =1时, (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), 共7种;k =2时, (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), 共6种;k =3时, (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), 共5种;k =4时, (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), 共4种;k =5时, (5, 8), (5, 9), (5, 10), 共3种;k =6时, (6, 9), (6, 10), 共2种;k =7时, (7, 10). 共1种.不同的染法数为1+2+3+4+5+6+7 = 28 (种). ……（15分）。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛(中年级)试卷分析与详解一、选择题1.45与40的积的数字和是（）.（A）9 （B）11 （C）13 （D）15【答案】A【解析】45×40=1800,1+8=9【难度】☆【知识点】两位数乘法计算2.在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由观察可得：A、C、D都可通过旋转得到，而B是通过原图翻转得到。

【难度】☆☆【知识点】图形的旋转、平移3.小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时, 捡到了一条红领巾, 交给了老师. 老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对. 他们之中只有一个人说对了, 这个人是（）.（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北【答案】C【解析】小东：不是小西。

小西：是小南。

小南：小东说的不对。

小北：小南说的也不对。

从对话中可看出小南与小北说的话是相互矛盾的，所以两人中一定有一个人说的是正确的，那么小东必然说的不对，既然小东说的不对，也就是小南说对了。

【难度】☆☆【知识点】逻辑推理4.2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份。

已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。

（A）16 （B）18 （C）20 （D）22【答案】B【解析】2013÷19=105…18，因为小明哥哥出生的年份是19的倍数，所以小明的哥哥出生年份=2013-18-19n。

当n=0时，小明哥哥出生年份=1995；当n=1时，小明哥哥出生年份=1976，但是显然小明哥哥如果1976年出生，2013绝对不会是他有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份，比如1978就是没有重复数字的年份。

所以小明哥哥出生年份只能是1995，那么小明哥哥2013的年龄=2013-1995=18。

1 23第十八届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛试卷B (小学高年级组)二、详解 1、6个。

分析与解：①数字和是6，且数字各不相同的四位数，只能由数字0、1、2、3组成； ②能被11整除的数的特征是：奇数位上的数字与偶数位上的数字和的差能被11整除，因此，只能0、3一组，1、2一组。

分别在奇数位和偶数位上。

③它们是 1023、1320、2013、2310、3102、3201，共6个。

2、8．分析与解：利用尾数的性质，得：2×（1+31+32+33+34+35+36+37+38+39） 尾数分别为：2×（1+3 + 9+ 7+ 1+ 3 + 9 + 7 + 1 +1） 尾数分别为：2×4=8. 3、 B分析与解：将已知三角形按长短标上1、2、3，按顺时针旋转后平移，可得图形A 、C 、D 。

而图形B 无法得到。

4、51.36. 分析与解：①总价：56×8.06=451.36元。

②解：设买x 千克后，加赠送的5%，就刚好等于56千克。

x ×（1+5%）=56 x=211120③211120×（8.06-0.56）=400元 ④451.36-400=51.36元 5、5天分析与解：阳阳先帮妈妈再帮爸爸，总的来讲，三人完成两个仓库的搬运中都没有休息。

同时完成，则可看成他们同时完成两个仓库的搬运工作。

则：设一仓库的稻谷为“1”，两个仓库则为“2”。

①2÷(101+121+151)=8天 ②1-121×8=32 ③31÷151=5天 6、165。

分析与解：从A 出发的线段长度之和为：9+8+7……+2+1=45同理可得，总线段长度之和为：45+36+28+21+15+10+6+3+1=165 7、9分析与解：先将循环小数化成分数，然后进行约分，得出一个循环小数。

0. 2·43· ×0.32·533·=999243×9999903325233 ，约分后得9999907911=0.0·7911·。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029解答：B 。

在考试中，选择恰当的方法很重要。

这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。

2222315=+、2231422=+、2244537=+、2255648=+、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细一想，原来第二个可以写成2233426=+，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大3！答案一定是20132016，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份2013这个数是我们非常熟悉的，2013=3×11×61，是3的倍数，那么加3不还是3的倍数么？可以约分，所以最后的答案是20136712016672=所以选B ！ 如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的2013也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出），那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出2013.具体过程是这样的：201320132014(20131)2012201320132014201320142012201320132014201320132201320132013671,2013(20142)2016672⨯=⨯++⨯=⨯++⨯=⨯+⨯⨯===⨯+原式6716721343.m n +=+=这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了“m 与n 为互质的自然数”，那么就容易把答案写成D 。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷A（小学中年级组）第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷A（小学中年级组）装（时间: 2013 年 3 月23 日10:00 ~ 11:00）一、选择题(每小题10 分, 满分60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 45 与40 的积的数字和是（）.（A）9 （B）11 （C）13 （D）152. 在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、订平移得到的是图（）中的三角形.（A）（B）（C）（D）3. 小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时, 捡到了一条红领巾, 交给了老师. 老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对. 他们之中只有一个人说对了, 这个人是（）.线（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北4. 2013 年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份. 已知小明哥哥出生的年份是19 的倍数, 那么2013 年小明哥哥的年龄是（）岁.（A）16 （B）18 （C）20 （D）22总分第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷A（小学中年级组）5. 如右图, 一张长方形的纸片, 长20 厘米, 宽16 厘米. 如果从这张纸上剪下一个长10 厘米, 宽5 厘米的小长方形, 而且至少有一条边在原长方形的边上, 那么剩下纸片的周长最大是（）厘米.（A）72 （B）82 （C）92 （D）1026. 张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼20 分钟, 而其余日期每日都跳绳20 分钟. 某月他总共跑步5 小时, 那么这个月的第10 天是（）.（A）周日（B）周六（C）周二（D）周一二、填空题(每小题10 分, 满分40 分)7. 如右图, 一个正方形被分成了4 个相同的长方形, 每个长方形的周长都是20 厘米. 则这个正方形的面积是平方厘米.8. 九个同样的直角三角形卡片, 拼成了如右图所示的平面图形.这种三角形卡片中的两个锐角较大的一个是度.9. 幼儿园的老师给班里的小朋友送来55 个苹果, 114 块饼干, 83 块巧克力. 每样都平均分发完毕后, 还剩3 个苹果, 10 块饼干, 5 块巧克力. 这个班最多有位小朋友.10. 如下图, 将长度为9 的线段AB 九等分, 那么图中所有线段的长度的总和是.第十八届华罗庚金杯少儿数学邀请赛初赛试卷A(小中年级组)试题解析一、选择题1. 45 与 40 的积的数字和是（）.（A）9 （B）11 （C）13 （D）15【答案】A【解析】45×40=1800,1+8=9【难度】☆【知识点】两位数乘法计算2. 在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.（A）（B）（C）（D）【答案】B 【解析】由观察可得：A、C、D 都可通过旋转得到，而 B 是通过原图翻转得到。

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A一、 填空题（每小题 10 份，共 80 分）1. 计算：1190.12528112.5____8⨯+⨯-= 【答案】25 【考点】计算【分析】原式=1(19+281100)258⨯-=2. 农谚“逢冬数九”讲的是， 从冬至之日起， 每九天分为一段， 依次称之为一九， 二九， ……，九九，冬至那天是一九的第一天．2012 年 12 月 21 日是冬至，那么 2013 年的元旦是________九的第________天．【答案】二、3 【考点】周期问题【分析】从12月21天到2013年1月1日共计()31211112-++=天，12913÷=，即为二九第3天．3.某些整数分别被357957911、、、 除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是22223579、、、 则满足条件大于 1 的最小整数是________．【答案】316【考点】数论:最小公倍数【分析】除以一个数等于乘以这个数的倒数，3553x x ÷=，对应着分数部分是：23，而1是满足条件的最小的x ，将53x 分别转化为：52(1)133x -++，则表明(1)x -是3的倍数，同理得：(1)x -是3、5、7、9的最小公倍数，即[]13579315x -==，，，，x 的最小值是316．4. 如下图，在边长为 12 厘米的正方形 ABCD 中，以 AB 为底边作腰长为 10 厘米的等腰三角形 P AB ，则三角形 P AC 的面积是________【答案】12【考点】平面几何：直线型 【分析】如下图所示，PABPCBABCSSS=+-阴影面积作PE 、PF 分别垂直于AB 、BC ；如下图：具体线段长度如图示，有2221068=+（勾股定理）ABCD有11112126121212222APC PAB PCB ABC S S S S =+-=⨯⨯8+⨯⨯-⨯⨯=△△△△（平方厘米）5. 有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人 5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少________个．【答案】62【考点】数论：物不知数【分析】假设甲、乙、丙班人数为：a 人、b 人、c 人，可以列算式表示苹果的个数；3113(3)24104(2)25125(2)2a a b b c c +=++⎧⎪+=++⎨⎪+=++⎩，说明苹果的个数分别除以3余2，除以4余2，除以5余2； 即至少为[]3,4,5262+=．6. 两个大小不同的正方体粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为 3，则这个立体图形的表面积为________．【答案】74【考点】立体几何：表面积【分析】三视图法：表面积在原来棱长为3的正方体上增加了4个棱长为a 的正方形；a21222125a =+=，所以表面积为：6334574⨯⨯+⨯=．7. 设 n 是小于 50 的自然数，那么使得 4 n 5 和 7n 6 有大于 1 的公约数的所有 n 的可能值之和为________【答案】94【考点】数论：因数、同余【分析】若(,)a b m =，则(,)a a b m +=，可得求(45,76)(45,1111)n n n n ++=++，即求使得45n +和1111n +有大于1的公约数所有n 的可能值．454(1)+1n n +=+；111111(1)n n +=+，而4(1)+1n +与(1)n +互质，所以(4(1)+1 , 11(1))11n n ++=，n 满足条件4511n p +=，50n <，解的n 取值为117k +，即符号条件的n 有7、18、29、40；和为718294094+++=．8. 由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是________．【答案】54【考点】立体几何：空间想象、最值问题【分析】由示意图可得，6对面是1，4对面是3，2的对面是5；可得（数字表示黑点数）：右左下上后前14c b 5a 522232415436知3b =，欲求所有黑点的总数最小，a 、c 最小，都为1.或者理解为上面的骰子没了5，左面没了6，右面没了6，中间的至少露出2、5和1 此时最小的和为54．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9. 用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于 3、4、5 和 6 的算式．【答案】见下面分析 【考点】巧填算符【分析】(444)43⨯-÷=或者(444)43++÷=； 4(44)44⨯-+=或者(44)444-÷+=； (444)45⨯+÷=； (44)446+÷+=； （填法不唯一）10. 小明与小华同在小六（一）班，该班学生人数介于 20 和 30 之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”． 问这个班有多少名学生？【答案】25【考点】应用题、倍数、余数【分析】“本班比我大的人是比我小的人数的两倍”可以推出：全班人数是2131a a a ++=+；“本班比我大的人是比我小的人数的三倍”可以推出：全班人数是3141b b b ++=+； 合在一起就是全班的人数为121k +，在20到30之间只有122125⨯+=满足条件．11. 小虎周末到公园划船，九点从租船出处发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水速度是 1.5 千米/小时；划船时，船在静水中的速度是 3千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流，问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？【答案】1.375千米 【考点】行程问题【分析】顺水速度：3 1.5 4.5+=千米/小时 逆水速度：3 1.5 1.5-=千米/小时 水速：1.5千米/小时由下图可得：三段时间划船，三段时间休息．也就是走90分钟，休息30分钟．划船1划船2划船3休息30分钟是顺水，需要用30分钟逆水来平衡抵消，所以只能60分钟划船，顺水速度和逆水速度比是4.5:1.53:1=，时间之比是1:3，所以，最远的划行距离是15分钟的顺水和10分钟的休息，即：114.5 1.5 1.37546⨯+⨯=千米．12. 由四个相同的小正方形拼成下图．能否将连续的 24 个自然数分别放在图中所示 24黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由．【答案】不能【考点】数阵图、构造与论证【分析】假设这24个连续自然数依次是：123a a a ++，，，；有五个正方形，每个正方形边上所放的数之和相等，每个数字都用了两次．假设每个正方形的和为k ，即有52[(1)(2)(23)]48552k a a a a a =+++++++=+，则485525a k +=k 是整数，a 是除以5余1，51a m =+，则48120k m =+（m 是整数，包含0） 取最小的16个自然数，515253516m m m m ++++，，，，的和是80136m +，大于48120m +，所以不能构造出一个使得正方形所放的数之和都相等．三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13. 用八个下图所示的21 的小长方形可以拼成一个44 的正方形．若一个拼成正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？【答案】5种【考点】几何计数、分类讨论【分析】将第一行的四个空称为1、2、3、4空(二)(一)（1）12空的只有2种；二行、三行上下对称，二行的2空可以为叉；（2）23空，分析第二、三行二、三行的8个方块有4个叉，二行中的4空中任意取出2空为叉，共246C=中选取的可能：但是1、2空是叉，三行的1、2空也必须为叉，矛盾；同理，3、4空是叉也不行，1、3空是叉与2、4空是叉，可以通过旋转可以的，所以共6213--=种．综上，共235+=种．方案如下图所示：14. 不为零的自然数n 既是2010 个数字和相同的自然数之和，也是2012 个数字和相同的自然数之和，还是2013 个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少【答案】6036【考点】9的同余【分析】假设题目中给出的三个数字和分别是a、b、c，根据9的特征，一个数除以9的余数等于它的数字和除以9的余数，得201020122013(mod9)a b c≡≡由于2010、2013都是3的倍数，那么b一定是3的倍数．则b的最小值为3，此时()201236mod9⨯≡．2010201220136(mod9)a b c≡≡≡可以得出a、c的最小值为：2a =、1c =，可得n 的最小值为：20123=6036⨯． 构造：n 为6036：2010个数是：2000、20和2008个2；每一个数字和为2； 2012个数是：2012个3；每一个数字和为3；2013个数是：1000、1000、1000、1000、10、10、10和2006个1；每一个数字和为1．。