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弹性力学第二章_1

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弹性力学_第二章__应力状态分析

弹性力学_第二章__应力状态分析

弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。

应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。

由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。

因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。

确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。

⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。

应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。

本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。

本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。

⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。

体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。

弹性力学课后答案

弹性力学课后答案

弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。

2－14 见教科书。

2－15 2－16 见教科书。

见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。

弹性力学 徐芝纶版第二章

弹性力学 徐芝纶版第二章

f1 y y u0 u y u0
f 2 x x v0 v x v0

可见： 当形变完全确定时，位移分量 不能完全确定；反之，位移分量 确定时，形变分量可以完全确定。 上式中，u0,v0是物体沿x，y轴 的刚体平移。

x
x
y

x
l
h 2 h 2
l
x
y
dy
M
FN
y
应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向，即（正应力） × （正的矩 臂）的方向。
第二章 平面问题的基本理论
l
h 2 h 2
l
x
y
dy
M
FN
x
x
xy
f
f
y
FS
y
h/2
h / 2 h / 2 h/2 h/2 h / 2 (σ x ) xl d y 1 y h / 2 f x ( y) d y 1 y M , (c) h/2 h/2 (σ x ) x l d y 1 f y ( y ) d y 1 FS . h / 2 h / 2 (σ x ) x l d y 1
第二章 平面问题的基本理论
⑵圣维南原理的应用─积分的应力边界条件 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a) 的条件： 在同一边界 x=l 上， 应力的主矢量 ( Fx , Fy )= 数值相等 (b) 面力的主矢量 方向一致 应力的主矩(M)= 面力的主矩
第二章 平面问题的基本理论
l
h 2 h 2
2
q1.
第二章 平面问题的基本理论
写出图中水下坝体的 边界条件。
注：水的压强（面力）： p gh（水深）

第二章 弹性力学基础知识

第二章 弹性力学基础知识

z C
z
A
O
应变的正负： 正应变： 伸长时为正，缩短时为负；
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
x P
y
B 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变
x yx zx
xy xz y yz zy z
z
Z
Q
符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影
k i
X
O j
V Y
y
正负号：X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。 x 如：重力，磁场力、惯性力等
15
(2) 面力 —— 作用于物体表面单位面积上的外力。
Q —— 面力分布集度（矢量） F lim S 0 S
F Xi Yj Z k
剪应力互等定理
O x
xz xy y y yx yz x zy zx z
y
yx
zx
zy yz
应力符号的意义(P8)
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定(P8) 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。 20
6
2.1弹性力学的基本假定 为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很
小的次要因素，抓住主要因素,从而建立
计算模型,并归纳为学科的基本假定。
7
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性--假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。
·
C y
28
前面的主要内容：
基本假定： （1） 连续性假定； （2） 完全弹性假定； （3） 均匀性假定； （了解这些假定的作用） （4） 各向同性假定；

弹性力学简明教程第二章 (1)

弹性力学简明教程第二章 (1)
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
(a)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
斜面应力
(2)求（ σ n , τ n ）
将 p ( px , p y ) 向法向，切向投影，得
2 2 n lp y mpx lm(σ y σ x ) (l m ) xy . σ n lpx mp y l σ x m σ y 2lm xy ,
定义
§ 2－ 2
平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点
的微分体的平衡条件。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
在任一点（x，y）取出一微小的平行六 面体 d xd y1 ,作用于微分体上的力：
体力： f x , f y 。 应力：作用于各边上， 并表示出正面上
由坐标增量引起
的应力增量。
第二章
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
⑷ 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。 ⑸ 形变和位移之间的关系： 位移确定 形变完全确定： 从物理概念看，各点的位臵确定，则 微分线段上的形变确定 。 从数学推导看，位移函数确定，则其 导数（形变）确定 。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
形变与位移的关系
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
坐标系选择如图：
对称面
oz
x
ox
z
zy
y y
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
简化为平面应变问题：
（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束 平行xy面，柱体非常长； 故任何z 面（截面）均为对称面。

第二章 弹性力学

第二章 弹性力学

x , y , xy x , y , xy T u, vT
T
3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量
但是其余的非独立未知分量却不完全相同： z 0; z x y ; xz 0; 平 平 xz 0; 面 面 yz 0; yz 0; 应 应 z 0 力 z E x y 变 xz 0; 问 问 xz 0; 题 题 yz 0; yz 0; w0 w0
0
xy yx
§2.2 平衡微分方程
第二章 弹性平面问题的基本理论
故平面应力问题的平衡方程为： x yx X 0 x y y xy Y 0 y x 注：1. 在平面应力问题的平衡方程中，包含三个基本未知 量 x , y , xy yx ,但平衡方程只有两个，故还必须要 考虑形变和位移，才能求解此问题。 2. 对于平面应变问题，在微元体上还有作用于前后面 的正应力 z ，但由于它们自成平衡，不影响面内的平 衡方程，故平面应力问题和平面应变问题具有相同的 平衡微分方程。 3.平面问题的平衡方程是一阶微分方程，求解需要给 出相应的应力边界条件。


第二章 弹性平面问题的基本理论
§2.2
平衡微分方程
弹性力学中，分析问题一般从静力学、几何学和物理学 三方面来考虑；本节首先考虑平面问题的静力学方面。根据 微元体的平衡条件，可以导出应力分量和体力分量之间的关 系，此即为平面问题的平衡微分方程。 首先考虑平面应力问题: y
D B dy A P dx
§2.3 几何方程、刚体位移
ox y
P
x
y 弹性体在外力作用下，一般其内部各点都会产生位移，位 移主要是由弹性体的变形引起的，本节从几何学方面考虑 弹性力学平面问题中任意一点的位移和变形之间的关系。 表示位移和应变之间关系的方程被称作几何方程。

弹性力学第二章


（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0

第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1


W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡

弹性力学-第二章 张量基础知识


′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0

弹性力学第二章


强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
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' yx
.dy.1 x .dy.1 .dx.1
yx .dx.1 f x .dy.dx.1 0
' ' ' ' x y xy yx 代入 将
x
xy
dy
dx
fx
' xy
C
fy
' yx y
' y
yx x ( x dx).dy.1 x .dy.1 ( yx dy).dx.1 x y yx .dx.1 f x .dy.dx.1 0
u u ( x, y ) v v ( x, y ) w 0
x x ( x, y ) y x ( x, y ) xy xy ( x, y ) 符合平面应变问题的特征
ox
z
y
第二章 平面问题的基本理论
§2-2，4，5 平面问题的基本方程 （一）平衡微分方程
第二章 平面问题的基本理论
任意形状的薄板，其表面自由并与xoy面 平行。若已知各点位移为
1 u p x E 1 v p y E
试求板内的应变分量与应力分量。
u x x
v y y
xy
u v y x
E E E xy xy x ( x y ) y ( y x ) 2 2 2(1 ) 1 1
通知
• 下周一课调整到12周周二下午1-2节，教室 为2J-101 • 周一课时间调整为上午3-4节，教室调为2J105 • 周四课教室调为11J-6201 • 答疑：每周三下午2：00-3：00，8教208 • 其它时间有问题和建议请联系： zhao_guo_hua@
一、外力
1. 体力 2.面力
u u ( x, y ) v v ( x, y ) w 0
u x x v y y w z z
xy yz zx
v u x y w v y z u w z x
z zx zy 0
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
第二章 平面问题的基本理论
式中：E—（拉压）弹性模量； G E 2(1 ) μ—泊松比（系数）； G—切变模量（剪切弹性模量，刚度模量）。 平面问题中，以三个平面应力及应变为未知量：
1.平面应力状态下：
z 0, zx zy 0
三、形变 1. 正应变
du PA dx, x dx P' A' ( P' A' ) x dx du 2. 切应变 xy A' P' B' 2
z C P A x A’ P’ C’ B y
B’
四、位移 物体内任一点位置的移动。一般用在三个坐 标中的投影表示，符号： u, v, w 五、弹性力学基本假设
1 0 [ z ( y x )] E
1 2 x ( x y) E 1 1 2 y ( y x) E 1
xy
2(1 ) xy G E
xy
E 只要将平面应力状态中的E换为 2 1
换为

1
x x ( x, y ) y x ( x, y ) xy xy ( x, y )
第二章 平面问题的基本理论
z zx zy 0
x x ( x, y ) y x ( x, y ) xy xy ( x, y )
u v u dx , v dx x x
B点的位移是：
u v u dy, v dy y y
第二章 平面问题的基本理论
则沿x方向的应变为： u (u dx) u u x x dx x 同样沿y方向 的应变为：
u u v v dy dy dx dx y x x y 而切应变为： xy u v dx dy dx dx dy dy x y u v u ( dx相对于dx是高阶小量） y x x
（1）应力沿z轴没有变化， 即:应力只是x, y的函数。
z zx zy 0
y
z 0, zx zy 0
（2）只有 x , y , xy 三个应力分量，且只 是x，y的函数，所以 称平面应力问题。
x
z
第二章 平面问题的基本理论
平面应力问题的两个特征： 1. 只有三个平面应力： x , y , xy
y
y
yx
x
' x
x
dy
x
dx
x
xy
dy
dx
fx
' xy
C
fy
y
' yx
y
' y
如图从物体中取单元体,平面问题可取厚为1，长dx,宽dy。
第二章 平面问题的基本理论
其中：
x x dx x
' x
y
yx
x
' x
y
' y
y y
dy
x
v y y
第二章 平面问题的基本理论
（三）物理方程（胡克定律） 在完全弹性的条件下，应力应变应满足:
1 x [ x ( y z )] E
1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( y x )] E
第二章 平面问题的基本理论
xy
y x My dy f (x) I dy f ( x) h 2 x h 2 x z
y
1 M I z x

y
h 2
ydy f ( x)
A
q
Fs Iz
Fs 2I z
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
一、平面应力问题 1.形状特点：物体是很 薄的等厚度板，即：z向 尺寸远小于板面尺寸。 2.外力特点:体力和面力均 平行于xoy面作用，且沿板 厚均匀分布。
y
x
z
第二章 平面问题的基本理论
3.应力特点（假设）： 物体很薄 体力和面力均沿 板厚均匀分布 在前后自由面上
第二章 平面问题的基本理论
化简后同除于dx,dy得：
x yx fx 0 x y
y
yx
x
' x
同理可得：
y y xy x fy 0
x
xy
dy
dx
fx
' xy
C
fy
' yx y
' y
再由
M
C
0
可得：
xy yx
平面应变问题（平面位移问题） 特征： 1. 只有三个平面应变： x , y , xy 2.应变只是x、y的函数。
注意：一般来讲
z 0
第二章 平面问题的基本理论
• 工程中的平面应变问题
挡土墙 o 隧道 o x x
y
y
第二章 平面问题的基本理论
判断平面应力和平面应变问题的关键是它 们的两个本质特征 例（P32习题2-4）
并非作用于 xoy 面内，而 是与之平行。
2.应力只是x、y的函数。 各点沿z向的位移、应 变一般并不等于0。
y
x
z
例如：沿x或y向拉伸时，沿z向会收缩。
第二章 平面问题的基本理论
二、平面应变问题 平面应变问题中 物体的特点： 1.形状特点: (理论上无限长）。
y
x
z
z 向尺寸远大于xoy面的尺寸，为等截面的长柱体
1 x y p E
xy 0
x y p
xy 0
第二章 平面问题的基本理论
思考与练习
• 思考2-1，2-2，2-7
y 2
2
f ( x) h 2

y
B l/2 y C l/2
x
h2 2 y f ( x) 4
其中：Fs为横截面上的剪力,是x的函数。 f(x)是待定的函数，由边界条件确定。
第二章 平面问题的基本理论
（二）几何方程
如图，研究P点的变形情况： 设PA=dx，PB=dy， P点的位移是u，v 则A的位移是
连续性假设； 均匀性假设 ；
x, y, z
Ex x, y, z Ex
u ux, y, z
各向同性假设 ； 完全弹性假设 ；
Ex Ey Ez E
小变形假设 。
sin tg
u u u x dx, y dy u x, y dx dy x y
xy
2(1 ) xy G E
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
xy
第二章 平面问题的基本理论
2．平面应变状态下： 由 z 0 可得：
即： z ( y x )
相应的三个物理方程：
1 x ( x y ) xy 2(1 ) E xy xy 1 G E y ( y x ) E
第二章 平面问题的基本理论
用应变表示应力：
1 x ( x y ) E 1 y ( y x ) E
2.外力特点：
外力均平行于xoy面，且沿z 轴无变化。
第二章 平面问题的基本理论
3．变形特点：
x