【精品】2017年江苏省南通市海安中学高一上学期期末数学试卷

高一年级阶段测试（二）数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．． 1．若集合{}{}1,2,1,3M P ==，则MP 等于 ▲ ．2．设扇形的半径长为4cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是 ▲ ． 3．oooocos 24cos36cos66cos54-= ▲ ．4．幂函数y =()f x 图像过点1(2,)4 ，则()f x = ▲ ．5．已知π1sin 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ▲ ．6．方程2lg =+x x 的根()1,0+∈k k x 其中Z k ∈，则k = ▲ ．7．设定义域为R 的偶函数()f x 满足：对任意的12,(0,)x x ∈+∞，1212()[()()]0x x f x f x -->，则(π)f - ▲ (3.14)f . （填“＞”、“＜”或“＝”）．8．设函数()f x 满足21()1()log 2f x f x =+⋅，则(2)f = ▲ ．9．设25a bm ==，且112a b+=，则m = ▲ ． 10．设1,323a b a b ==-=，则3a b += ▲ ． 11．已知函数1()log (01)axf x a b x-=+＜＜为奇函数，当(1]x a ∈-，时， 函数y=()f x 的值域是(1]-∞，，则实数a b +的值为 ▲ ． 12．如图,在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===°，，，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= ▲ ．13．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0παβ∈，，），角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α=▲ ．D第12题图14．已知函数()()()2a xb f x x b c-=-+()0,,0a b R c ≠∈>，()()2g x m f x n =-⎡⎤⎣⎦()0mn >，给出下列三个结论：①函数()f x 的图像关于x 轴上某点成中心对称；②存在实数q p ,，使得()p f x q ≤≤对于任意的实数x 恒成立； ③关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}4,2,0,3--．其中正确结论的序号为 ▲ ___．（请填写序号，不选、漏选、选错均不给分）． 二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题14分)已知向量13,2a ⎛= ⎝⎭，向量()1,0b =-，向量c 满足0a b c ++=. (1)若d ka b =-，且a d ⊥，求||d 的值； (2)若a kb -与2b c +共线，求实数k 的值.16．(本题14分)已知集合{}216xA x =≤，{}log 2a B x x =≥- .(1)当12a =时，求A B ； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.17．(本题14分)已知函数π()sin()(0,0)3f x A x A ωω=+>>的部分图象如图所示．(1)求函数()y f x =在[0,π]的单调增区间； (2) 已知,αβ都是锐角，且1π3()2265f α-=，()1tan 3αβ-=-. ①求()sin αβ-的值；②求cos β的值.18．(本题16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB ＝2米，BC ＝0.5米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆(MN 和AB ，DC 不重合)．(1)当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积；(2)设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S (平方米)表示成关于x的函数S ＝f (x )；(3)当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大 面积．19．(本题16分)如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅=，E 为AC 的中点. (1)若12cos 13ABC ∠=，求BA BC +的值； (2)若2BE ED =，求DA DC ⋅的值.20．(本题满分16分)对于定义在R 上的函数()f x ，定义同时满足下列三个条件的函数为“Z 函数”： ①对任意(],x a ∈-∞，都有1()f x C =； ②对任意[),x b ∈+∞，都有2()f x C =；③对任意(),x a b ∈，都有12(())(())0f x C f x C --<．（其中12,,a b C C <为常数） (1)判断函数1()131f x x x =---+和2()2f x x x =--是否为R 上的“Z 函数”？(2)已知函数()2g x x =-是否存在实数m ，使得()g x 为R 上的“Z函数”？若存在，求实数m 的值；否则，请说明理由；(3)设()f x 是(1)中的“Z 函数”，令()()h x f x =，若2(2)(4)h a a h a +=，求实数a 的取值范围．参考答案1.{1,2,3}2.123.124.2x -5.156.17. ＞8.2310.12.83-13.315+ 14.①②15.解：（1）111||1,()0222a ab a d a ka b k k =⋅=-∴⋅=⋅-=+=∴=- ………4分 333(,)||442d d ∴=-∴= ………7分 （2）2()1b c b a a kb b a k λ+=-∴-=-∴= ………14分16.解：（1）当12a =时，由216x≤得4x ≤，所以{}4A x x =≤， ………2分 由12log 2x ≥-得04x <≤，所以{}04A x x =<≤， ………4分所以{}04AB x x =<≤ ； ………6分（2）a >1时，不满足， ………8分0<a<1时，{}{}2log 20a B x x x x a -=≥-=<≤， ………10分因为B ⊆A ，所以24a -≤， (12)分所以实数a 的取值范围112a ≤<. ………14分17.解：⑴2,A =ωπππ421234=-=T ，2=ω 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……2分 ⑵令πππππk x k 223222+≤+≤+-，Z k ∈得ππππk x k +≤≤+-12125 ……4分 又因为∈x ],0[π，所以函数()y f x =在],0[π的单调增区间为]12,0[π和],127[ππ……6分 注：区间端点可开可闭，都不扣分． (2)①因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22ππαβ-<-<， 又因为()1tan 03αβ-=-<，所以02παβ-<-<. ……8分 利用同角三角函数的基本关系可得()()22sincos 1αβαβ-+-=，且()()s i n 1c o s 3αβαβ-=--，解得()sin 10αβ-=-. ……10 分②由①可得，()cos 10αβ-===.因为α为锐角，3sin 5α=，所以4cos 5α==. ……12分 所以()cos cos cosβααβ=--=⎡⎤⎣⎦()()cos sin sin ααβααβ-+-4355⎛=⨯= ⎝⎭. ……14分 18.19. 解：（1）12cos 13ABC ∠=，()0,ABC π∠∈， 1212cos ,13BA BC BA BC ABC BA BC ⋅==⋅∠=⋅ ……………2分13,BA BC ∴⋅= ……………4分AC BC BC =- ……………6分BA BC ∴+= ……………8分（2）以E 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (－2,0)，C (2,0)，设D (),x y ， ……………10分由2BE ED=，可得(B x y --， ……………12分则2212(22,2)(22,2)444,BA BC x y x y x y ⋅==-⋅+=-+224,x y ∴+= ……………14分∴()()222,2,40DA DC x y x y x y ⋅=---⋅--=+-=. ……………16分20. 解：（1）f 1（x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣3|+1=，作出函数f 1（x ）的图象如图：当x ≤1时，f （x ）=﹣1，当x ≥3时，f （x ）=3， 当1＜x ＜3时，﹣1＜f （x ）＜3恒成立， 故f 1（x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣3|+1是R 上的“Z 函数”，f 2（x ）=x ﹣|x ﹣2|=，则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R上的“Z函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．。

江苏省南通市海安县墩头中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 要得到函数的图象，只要将函数的图象( )(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位(C)向右平移个单位 (D)向左平移个单位参考答案：D略2. 已知集合M= ，集合 (e为自然对数的底数），则=（）A． B． C． D．参考答案：C3. 设集合M=，则集合M中所有元素的和等于（A）1 （B）4 （C）7 （D）8参考答案：D解析：不妨设由又已知x,y,t均为整数，于是，集合M中所有元素的和为0+1+3+4=84. 为了在运行下面的程序之后得到y=9，键盘输入应该是( ).A. x= -4B. x= -2C. x=4或-4D. x=2或-2参考答案：C略5. 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（）A．36 B．108 C．72 D．180参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是如图所示的图形：上面是一个正四棱锥，其底面是边长为6的正方形，高为3；下面是一个长方体，三条棱长分别为6，6，2．据此可计算出答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的图形：上面是一个正四棱锥，其底面是边长为6的正方形，高为3；下面是一个长方体，三条棱长分别为6，6，2．∴V体积==108．故选B．6. 函数g（x）=2x+5x的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性，根据函数零点的判断条件即可得到结论．【解答】解：函数g（x）单调递增，∵g（﹣1）=2﹣1﹣5=，g（0）=1＞0，∴g（﹣1）g（0）＜0，即函数g（x）在（﹣1，0）内存在唯一的零点，故选：C．7. 下列函数中，在区间内有零点且单调递增的是A. B. C. D.参考答案：C8. 一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为(cm2￥cm3)：（）A.24π，12πB.15π，12πC.24π，36πD.以上都不正确参考答案：A略9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π参考答案：C【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=2，整理解得：c=2，又∵，可得：sinC==，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R===6，可得：R=3，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．故选：C．10. 设a=40.2，b=0.24，c=log40.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a=40.2＞1，0＜b=0.24＜1，c=log 40.2＜0， ∴a＞b ＞c ． 故选：A ．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数在R 上是减函数，则的范围是 ． 参考答案：12. 设集合A=，B=，函数f （x ）=若x 0∈A，且f[f （x 0）]∈A，则x 0的取值范围是 ．参考答案：（，）【考点】元素与集合关系的判断．【分析】这是一个分段函数，从x 0∈A 入手，依次表达出里层的解析式，最后得到1﹣2x∈A，解不等式得到结果．【解答】解：x 0∈A，即， 所以，，即，即f （x 0）∈B，所以f[f （x 0）]=2[1﹣f （x 0）]=1﹣2x 0∈A， 即，解得： ，又由，所以．故答案为：（，） 13. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 。

一、试卷概述本次海安期末高三数学试卷以《普通高中数学课程标准》为指导，全面考查了学生对高中数学知识的掌握程度和运用能力。

试卷共分为选择题、填空题、解答题三个部分，总分为150分。

试卷内容涵盖了高中数学的各个模块，包括函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计等。

二、试卷特点1. 试题难度适中：本次试卷难度适中，既考查了学生对基础知识的掌握，又考查了学生的综合运用能力。

试题难度分布合理，能够较好地反映学生的整体水平。

2. 注重基础知识的考查：试卷在考查学生综合运用能力的同时，也注重了对基础知识的考查。

例如，选择题和填空题主要考查学生对基础知识的理解和掌握，解答题则要求学生在掌握基础知识的基础上，运用所学知识解决实际问题。

3. 考查学生的逻辑思维能力：本次试卷注重考查学生的逻辑思维能力，试题中涉及较多的推理、证明等环节。

这有助于培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学素养。

4. 关注学生的创新意识：试卷在部分试题中融入了创新元素，鼓励学生从不同角度思考问题，培养学生的创新意识。

三、试题分析1. 选择题：本题共20题，每题3分，共60分。

主要考查学生对基础知识的掌握程度。

其中，第1-10题为单选题，主要考查函数、数列、三角函数等基础知识；第11-20题为多选题，主要考查立体几何、解析几何、概率统计等知识。

本题难度适中，学生需熟练掌握基础知识。

2. 填空题：本题共10题，每题3分，共30分。

主要考查学生对基础知识的掌握程度。

其中，第1-5题为填空题，主要考查函数、数列、三角函数等基础知识；第6-10题为填空题，主要考查立体几何、解析几何、概率统计等知识。

本题难度适中，学生需熟练掌握基础知识。

3. 解答题：本题共5题，共60分。

主要考查学生的综合运用能力和逻辑思维能力。

其中，第1题考查函数、数列、三角函数等基础知识；第2题考查立体几何、解析几何等知识；第3题考查概率统计知识；第4题考查函数、数列、三角函数等知识；第5题考查学生的创新意识和解决问题的能力。

江苏省南通市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2018高二上·佛山月考) 圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，这个圆台的体积是A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·合肥期中) 在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为（）A .B .C .D .4. （2分）圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A . 相交B . 相离C . 相切D . 内含5. （2分）(2018·广安模拟) 下列命题错误的是（）A . 不在同一直线上的三点确定一个平面B . 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C . 如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D . 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面6. （2分） (2018高一上·广东期末) 直线的倾斜角是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·六安模拟) 设，则“ ”是“直线与直线垂直”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）如图，在多面体中，已知平面是边长为3的正方形，,,且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A .B .C . 5D . 69. （2分）若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）A . -或B .C . -或D .10. （2分） (2018高二上·成都月考) 在正方体中，在线段上运动且不与，重合，给出下列结论：① ；② 平面；③二面角的大小随点的运动而变化；④三棱锥在平面上的投影的面积与在平面上的投影的面积之比随点的运动而变化；其中正确的是（）A . ①③④B . ①③C . ①②④D . ①②11. （2分）设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A . 若a∥α，b∥α，则a∥bB . 若a⊥α，a∥b，则b⊥αC . 若a⊥α，a⊥b，则b∥αD . 若a∥α，a⊥b，则b⊥α12. （2分） (2016高一下·宿州期中) 已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A . （﹣24，7）B . （﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C . （﹣7，24）D . （﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2018高二上·南昌期中) 如图，棱长为2的正方体OABC-D'A'B'C'中，点M在B'C'上，且M为B'C'的中点，若以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为________ ．14. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为________．15. （1分） (2018高一上·镇原期末) 设是空间的三条直线,下面给出四个命题:①若 ,则;②若是异面直线, 是异面直线,则也是异面直线;③若和相交, 和相交,则和也相交;④若和共面, 和共面,则和也共面.其中真命题的个数是________.16. （1分） (2020高一下·东莞月考) 已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为________．17. （1分） (2018高二上·张家口月考) 动圆经过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．三、解答题 (共7题；共43分)18. （10分） (2019高二下·海安月考) 如图，已知四棱柱的底面是平行四边形，平面，是的中点，是的中点．（1）求证：；（2）若平面，求证： .19. （10分） (2018高一上·深圳月考) 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20. （5分） (2016高三上·商州期中) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD= ，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（I）求证：MN∥平面ABCD；（II）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值．21. （5分）(2017·南充模拟) 已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为e= ，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．22. （1分） (2016高二下·静海开学考) 在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC= ，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为________．23. （2分） (2018高二上·哈尔滨期中) 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .24. （10分） (2020高一下·苏州期末) 已知圆经过两点、，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于、两点，且求直线的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共7题；共43分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、24-2、。

2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中正确的是（）A．π∈Q B．∅⊆{0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．{（a，b）}＝{（b，a）}2．设a，b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a+1a =3，则a12+a−12等于（）A．2B．√5C．−√5D．±√54．已知函数f（x2﹣1）＝x4+1，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝x2+2x+2，x≥0B．f（x）＝x2+2x+2，x≥﹣1C．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥0D．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥﹣15．已知A={x|f(x)=1x−3+√2x−4}，B＝{x|x2﹣8x+15≤0}．则A∩B＝（）A．[2，5]B．[3，5]C．（3，5]D．（2，+∞）6．若两个正实数x，y满足x+y＝xy且存在这样的x，y使不等式x+4y＜m2+8m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，9）B．（﹣9，1）C．（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式C=Wlog2(1+SN)，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）（附：lg5≈0.6990）A．22%B．33%C．44%D．55%8．若函数f（x）={x|x+a|−5，x≤1，ax，x＞1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（）A ．[﹣3，﹣2]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣2，0）D ．（0，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0＞c ，则（ ） A ．ac ＞bcB ．c ﹣a ＜c ﹣bC ．ab ＞c 2D ．a ﹣1c ＞b ﹣1c10．下列命题正确的是（ ） A ．集合{a ，b ，c }有6个非空子集B ．∃m ∈N ，√m 2+1∈NC ．“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件D ．已知2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则2a +b 的范围为2＜2a +b ＜5 11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．不等式x+1(x−1)2＞1的解集为[0，3]B ．若函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1，则a 的取值范围是（0，3）C ．函数f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1为同一个函数D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，则12a+1b≥4B ．若实数a ＞0，b ＞0，满足2a +b ＝1，则4a 2+b 2的最小值为13C ．若a ＞0，b ＞0，1a+b =2，则aa+1+1b的最小值为43D ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为 ．14．已知集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 ．15．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=5x +4x，则f （x ）的最小值为 ． 16．若对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣2x +4恒成立，则ab 的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（2）已知x ，y ，z 为正数，若3x ＝4y ＝6z ，求yz−y x的值．18．（12分）已知集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}，B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4，x ∈（﹣2，2），满足条件f （0）＝0，且f(12)=217．（1）求a ，b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增； （3）若f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +3．（1）当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a ∈[4，6]时，f （x ）≥0恒成立，求实数x 的取值范围．21．（12分）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y ＝f （x ）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤90恒成立；③f （x ）≤x5恒成立． （1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f （x ）=115x +10；（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f （x ）＝a √x −10（a ≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围． 22．（12分）已知定义在R 的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＜1；③f （1）＝﹣2．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，求实数m 的取值范围； （3）解关于x 的不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6．2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中正确的是（）A．π∈Q B．∅⊆{0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．{（a，b）}＝{（b，a）}解：对于A，因为π是无理数，所以π∉Q，故A错误；对于B，空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0}，故B正确；对于C，集合{0，1}是数集，集合{（0，1）}是点集，所以{0，1}⊈{（0，1）}，故C错误；对于D，当a≠b时，点（a，b）与点（b，a）表示不同的点，所以{（a，b）}≠{（b，a）}，故D错误．故选：B．2．设a，b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据充分条件，必要条件的定义，若”a＞2且b＞1”则”a+b＞3且ab＞2”是真命题，充分性成立．反之是假命题，比如当a＝1，b＝3时满足a+b＞3且ab＞2，但推不出a＞2且b＞1故选：A．3．已知a+1a =3，则a12+a−12等于（）A．2B．√5C．−√5D．±√5解：因为a+1a=3，所以a＞0，a12+a−12＞0，（a 12+a−12）2＝a+1a+2＝5，∴a 12+a−12=√5．故选：B．4．已知函数f（x2﹣1）＝x4+1，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝x2+2x+2，x≥0B．f（x）＝x2+2x+2，x≥﹣1 C．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥0D．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥﹣1解：f （x 2﹣1）＝x 4+1＝[（x 2﹣1）+1]2+1，且x 2﹣1≥﹣1， 所以f （x ）＝（x +1）2+1＝x 2+2x +2，x ≥﹣1． 故选：B ．5．已知A ={x|f(x)=1x−3+√2x −4}，B ＝{x |x 2﹣8x +15≤0}．则A ∩B ＝（ ） A ．[2，5]B ．[3，5]C ．（3，5]D ．（2，+∞）解：由{x −3≠02x −4≥0，解得x ≥2且x ≠3，所以A ＝[2，3）∪（3，+∞）．由x 2﹣8x +15＝（x ﹣3）（x ﹣5）≤0，解得3≤x ≤5， 所以B ＝[3，5]，所以A ∩B ＝（3，5]． 故选：C ．6．若两个正实数x ，y 满足x +y ＝xy 且存在这样的x ，y 使不等式x +4y ＜m 2+8m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）解：由x +y ＝xy 可得1x +1y =1，则x +4y ＝（x +4y ）（1x +1y ）＝5+4y x +x y ≥5+2√4y x ⋅x y =9，当且仅当x ＝2y 且1x +1y=1，即y =32，x＝3时等号成立，则使不等式x +4y ＜m 2+8m 有解，只需满足m 2+8m ＞9， 解得 m ∈（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）． 故选：C ．7．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式C =Wlog 2(1+SN )，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ） （附：lg 5≈0.6990） A ．22%B ．33%C ．44%D ．55%解：技术提升前，C ＝W log 2（1+1000）≈W log 2103＝3W log 210，技术提升后，C 增加到C '，则C '＝（1+20%）W log 2（1+4000）≈1.2W log 2（4×103）＝2.4W +3.6W log 210， 所以C 大约增加了（C′C−1）×100%＝（2.4W+3.6Wlog 2103Wlog 210−1）×100%＝（0.8log 102+1.2﹣1）×100%＝[0.8（1﹣lg 5）+1.2﹣1]×100%≈[0.8（1﹣0.6990）+1.2﹣1]×100%≈44%． 故选：C ．8．若函数f （x ）={x|x +a|−5，x ≤1，a x ，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣3，﹣2]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣2，0）D ．（0，+∞）解：函数f （x ）={x|x +a|−5，x ≤1，a x，x ＞1当a ＝﹣1时，f （x ）={x|x −1|−5，x ≤1，−1x ，x ＞1，当x ≤1时，f （x ）＝﹣x 2+x ﹣5，函数的对称轴为x =12，函数不是单调函数，不满足题意，排除B 、C ， 当a ＝1时，f （x ）={x|x +1|−5，x ≤1，1x，x ＞1，当x ∈（﹣1，1）时，f （x ）＝x 2+x ﹣5，函数的对称轴为x =−12，函数不是单调函数，排除D ； 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0＞c ，则（ ） A ．ac ＞bcB ．c ﹣a ＜c ﹣bC ．ab ＞c 2D ．a ﹣1c ＞b ﹣1c解：对于A ：a ＞b ＞0＞c ，所以ac ＜bc ，故A 错误； 对于B ：由于a ＞b ＞0＞c ，故c ﹣a ＜c ﹣b ，故B 正确； 对于C ：当a ＝2，b ＝1，c ＝﹣3时，选项C 错误；对于D ：由于a ＞b ＞0＞c ，故1b ＞1a，所以a ﹣1c ＞b ﹣1c ，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题正确的是（ ） A ．集合{a ，b ，c }有6个非空子集B ．∃m ∈N ，√m 2+1∈NC ．“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件D ．已知2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则2a +b 的范围为2＜2a +b ＜5 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，集合{a ，b ，c }非空子集的个数为23﹣1＝7，故A 错误； 对于B ，当m ＝0时，√m 2+1=1∈N ，符合题意，故B 正确；对于C ，由条件可得m ＜3⇒m ＜4，反之，不成立，所以“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ，因为2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则4＜2a ＜6，所以2＜2a +b ＜5，故D 正确． 故选：BCD ．11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．不等式x+1(x−1)2＞1的解集为[0，3]B ．若函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1，则a 的取值范围是（0，3）C ．函数f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1为同一个函数D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32] 解：由不等式可知x ＝1显然不在解集内，A 错误；由函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1可得{f(−1)=3−a ＞0f(2)=2a ＞0，解得0＜a ＜3，B 正确； 数f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1与g （x ）＝x 2﹣1的定义域都为R ，对应关系相同，是同一函数，C 正确； 若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）中，﹣2≤2x ﹣1≤2， 解得−12≤x ≤32，D 正确． 故选：BCD ．12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，则12a+1b≥4B ．若实数a ＞0，b ＞0，满足2a +b ＝1，则4a 2+b 2的最小值为13C ．若a ＞0，b ＞0，1a +b =2，则aa+1+1b的最小值为43D ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2解：对于A 选项：因为a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，所以12a+1b =(12a+1b)(2a +b)=2+b 2a+2a b≥2+2√b 2a⋅2a b=4当且仅当b2a=2a b，即b ＝2a 时，等号成立，故A 正确；对于B 选项：∵2a +b ＝1，∴1=(2a +b)2=4a 2+b 2+4ab =4a 2+b 2+2√4a 2√b 2≤2(4a 2+b 2)， ∴4a 2+b 2≥12，当且仅当{a =14b =12时等号成立，故B 错误；对于C 选项：原式=11a +1+1b =1(2−b)+1+1b =13−b +1b =13(13−b +1b )(3−b +b)=13(3−bb +1+1+b 3−b )≥43（当且仅当b =32，a =2时取等号）．故C 正确； 对于D 选项．令{a +2=m b +2=n ，则{a =m −2b =n −2，由a +b ＝4，得m +n ＝8，则a 2a+2+b 2b+2=(m−2)2m +(n−2)2n =m +4m−4+n +4n−4=4m+4n，而4m+4n=12(1m+1n)(m +n)=12(2+n m+m n)≥12(2+2√n m⋅m n)=2，当且仅当nm=m n，即n ＝m 时，等号成立，故D 正确；故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为 ． 解：由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为：∃x ≥1，x 2＜1． 故答案为：∃x ≥1，x 2＜1．14．已知集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 ． 解：集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}＝{2，﹣2}， B ＝{x |ax ﹣2＝0}， a ＝0时，B ＝∅，a ≠0时，B ＝{2a}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， 则B ⫋A ，则a ＝0或2a=2或2a=−2，故a ＝0或a ＝1或a ＝﹣1， 故答案为：{﹣1，0，1}．15．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=5x +4x ，则f （x ）的最小值为 ． 解：已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x)=5x +4x，① 则f(1x )+2f(x)=5x +4x ，②由①②可得：f(x)=x +2x，x ∈（0，+∞）， 又x +2x ≥2√x ×2x =2√2，当且仅当x =2x ，即x =√2时取等号， 即f （x ）的最小值为2√2． 故答案为：2√2．16．若对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣2x +4恒成立，则ab 的最大值为 ． 解：令x ＝1，则4≤a +b +c ≤4，故a +b +c ＝4，对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ，则ax 2+（b ﹣2）x +c ﹣2≥0恒成立，∴Δ＝（b ﹣2）2﹣4a （c ﹣2）＝（a +c ﹣2）2﹣4a （c ﹣2）＝（a ﹣c +2）2≤0， ∴c ＝a +2，此时b ＝2﹣2a ，∴ab =a(2−2a)=2a(1−a)=−2(a −12)2+12≤12，当a =12，b =1，c =52时取等号， 此时2x 2−2x +4−(ax 2+bx +c)=32x 2−3x +32=32(x −1)2≥0成立， ∴ab 的最大值为12．故答案为：12．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（2）已知x ，y ，z 为正数，若3x ＝4y ＝6z ，求y z−yx的值．解：（1）原式=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2×17lg26lg3=1712； （2）由题意知，令3x ＝4y ＝6z ＝a ，则a ＞0， 所以x ＝log 3a ，y ＝log 4a ，z ＝log 6a ， 所以yz −y x=log 4a log 6a−log 4a log 3a=lna ln4×ln6lna−lna ln4×ln3lna=ln6ln4−ln3ln4=ln22ln2=12．18．（12分）已知集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}，B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）a ＝2时，集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}＝{x |1＜x ＜3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． ∴A ∪B ＝{x |﹣1≤x ≤3}；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⊆B ，集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}≠∅， ∴{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[0，2]． 19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4，x ∈（﹣2，2），满足条件f （0）＝0，且f(12)=217． （1）求a ，b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增； （3）若f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围． （1）解：因为f(x)=ax+b x 2+4，f （0）＝0，f(12)=217，所以{ b4=012a+b (12)2+4=217，解得{a =1b =0， 所以a ＝1，b ＝0；（2）证明：由（1）得f(x)=xx 2+4， ∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，有f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)， 由于﹣2＜x 1＜x 2＜2，所以x 2﹣x 1＞0，x 1x 2﹣4＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．（3）解：由f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0得f （a +1）＞f （2a ﹣1）又函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增，所以{−2＜a +1＜2−2＜2a −1＜2a +1＞2a −1，解得{ −3＜a ＜1−12＜a ＜32a ＜2，故−12＜a ＜1， 所以实数a 的取值范围是(−12，1)．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +3．（1）当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a ∈[4，6]时，f （x ）≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解：（1）对于任意x ∈[﹣2，2]，f （x ）≥a 恒成立，即x 2+ax +3﹣a ≥0对任意x ∈[﹣2，2]恒成立，令g （x ）＝x 2+ax +3﹣a ，则有：①Δ＝a 2﹣4（3﹣a ）＝a 2+4a ﹣12≤0或②{Δ＞0−a 2≤−2g(−2)=7−3a ≥0或③{Δ＞0−a 2≥2g(2)=7+a ≥0，由①得﹣6≤a ≤2；由②得∅；由③得﹣7≤a ＜﹣6．综上，实数a 的取值范围为[﹣7，2]；（2）令m （a ）＝xa +x 2+3．当a ∈[4，6]时，m （a ）≥0恒成立，只需{m(4)≥0m(6)≥0，即{x 2+4x +3≥0x 2+6x +3≥0， 解得x ≤﹣3−√6或x ≥﹣3+√6．∴实数x 的取值范围是(−∞，−3−√6]∪[−3+√6，+∞)．21．（12分）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y ＝f （x ）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤90恒成立；③f （x ）≤x 5恒成立．（1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f （x ）=115x +10；（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f （x ）＝a √x −10（a ≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围． 解：（1）对于函数（Ⅰ），∵f （30）＝12＞6，即函数（Ⅰ）不符合条件③，∴函数f （x ）=115x +10不符合公司奖励方案函数模型的要求；对于函数（Ⅱ），当x ∈[25，1600]时，f （x ）是增函数，且f （x ）max ＝f （1600）＝2×40﹣6＝74＜90，∴f （x ）≤90恒成立．设h （x ）=2√x −6−x 5=−15(√x −5)2−1，∵√x∈[5，40]，∴当√x =5时，h （x ）max ＝﹣1≤0，得f （x ）≤x 5恒成立．∴函数（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6符合公司要求．（2）∵a ≥2，∴函数g （x ）满足条件①，由函数g （x ）满足条件②得：a √1600−10≤90，解得a ≤52，由函数g （x ）满足条件③得，a √x −10≤x 5对x ∈[25，1600]恒成立，即a ≤√x 5+10√x x ∈[25，1600]恒成立， ∵√x 5+√x ≥2√2，当且仅当√x 5=√x ，即x ＝50时等号成立， ∴a ≤2√2．综上所述，实数a 的取值范围是[2，52]． 22．（12分）已知定义在R 的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＜1；③f （1）＝﹣2．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，求实数m 的取值范围；（3）解关于x 的不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6．（1）证明：令x ＝y ＝0，得f （0）＝f （0）+f （0）﹣1，解得f （0）＝1，令x 1＜x 2，即x 2﹣x 1＞0，则f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1+x 1）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣1﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）﹣1， 因为x ＞0时，f （x ）＜1，所以x 1＜x 2时，f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）﹣1＜0，所以f （x ）在R 上的单调递减；故f （x ）单调递减区间为R ，无单调递增区间．解：（2）由（1）知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）单调递减，又f （1）＝﹣2，则x ∈[﹣1，1]时，f （x ）min ＝f （1）＝﹣2，因为∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，所以f （x ）min ≤m 2﹣2am ﹣5，则m 2﹣2am ﹣5≥﹣2，即对∀a ∈[﹣1，1]，m 2﹣2am ﹣3≥0成立，设g （a ）＝﹣2am +m 2﹣3，（a ∈[﹣1，1]），则对∀a ∈[﹣1，1]，g （a ）≥0恒成立，即g （﹣1）＝m 2+2m ﹣3≥0，且g （1）＝m 2﹣2m ﹣3≥0，解得m ≥3或m ≤﹣3；故实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）；（3）令y ＝﹣x ，得f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）﹣1，又知f （0）＝1，即f （x ）+f （﹣x ）＝2，所以f （x ）＝2﹣f （﹣x ），因为f （1）＝﹣2，所以f （﹣1）＝2﹣f （1）＝4，f （﹣2）﹣f （﹣1）+f （﹣1）﹣1＝7．不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6等价于f （ax 2）﹣f （（a +2）x ）＜6，即f （ax 2）+[2﹣f （﹣（a +2）x ）]＜6⇒f （ax 2）+f （﹣（a +2）x ）＜8，又因为f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1，所以f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，故f （ax 2﹣（a +2）x ）+1＜8，则f （ax 2﹣（a +2）x ）＜7＝f （﹣2），因为f （x ）在R 上单调递减，所以ax 2﹣（a +2）x ＞﹣2，即ax 2﹣（a +2）x +2＞0⇒（ax ﹣2）（x ﹣1）＞0，①a ＞2时，0＜2a ＜1，解得x ＞1或x ＜2a ；②0＜a ＜2时，2a ＞1，解得x ＞2a 或x ＜1； ③a ＝0时，解得x ＜1；④a ＜0时，2a ＜0＜1，解得2a ＜x ＜1； 综上所述：不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6的解集为：a ＞2时，解集为（﹣∞，2a ）∪（1，+∞）；0＜a ＜2时，解集为（﹣∞，1）∪（2a ，+∞）；a ＝0时，解集为（﹣∞，1）；a ＜0时，解集为（2a ，1）．。

2016-2017 学年终学业质量监测高一数学参照公式：锥体的体积 V1Sh ，此中 S 为锥体的底面积， h 为高 . 3第Ⅰ卷（共 60 分）一、填空题：本大题共 14 个小题 ,每题 5 分 ,共 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上.1.函数 ysin 2x3 的最小正周期为 __________．2.已知会合 A x | 1 x 1 , B 1,0,2 ，则 AB ___________．3.函数 y12 x x 2 的定义域为 ___________．4.在 ABC 中，设角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .若 a b c bc a3bc ，则角 A 的大小为 _________．已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 2cm ，则该棱锥的体积为3.5.__________ cm 6.设 a, b 为单位向量，且 a, b 的夹角为 2 ，则 ab b 的值为 _________.3已知方程 2 x4 x 的根在区间k, k 1 k Z上，则 k 的值为_________ ．7.102n8.3 的值为 _________．n 19.在正方体 ABCD A 1 BC 1 1D 1 中，与 AC 1 垂直的面对角线的条数是 ___________．10.设函数 f x ka x k R, a 1 的图象过点 A 0,8 , B 3,1 ，则 log ak 的值为__________．11.如图，三个同样的正方形相接，则tan ABC 的值为 __________ ．12.钢材市场上往常将同样的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99 根同样的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则节余的圆钢根数为___________.sin513.已知sin cos 4cos sin 0 ，则的值为．35 5 cos1014.已知正数x, y知足x 1 1 1 1．x4 y 10 ，则的最大值为y x y二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点D , E分别在棱 BC, B1C1上（均异于端点），且AD C1D, A1E C1D .（1）求证：平面ADC1平面BCC1B1；（2）求证：A1E / /平面ADC1 .16.设OA,OB不共线，且OC aOA bOB a,b R .（1）若a 1, b 2 ，求证： A, B,C 三点共线；3 3（2）若A, B,C三点共线，问： a b 能否为定值？并说明原因.17.已知 ABC 的外接圆的半径为1 sin A. ， A 为锐角，且 35（1）若AC 2 ，求 AB 的长；（2）若tan A B 1，求 tan C 的值. 318. 某工厂 2 万元设计了某样式的服饰，依据经验，每生产 1 百套该样式服饰的成本为 1 万2 0.8,0 x 5 元，每生产 x （百套）的销售额（单位：万元）P x 9 ., x 5x 3（1）若生产 6 百套此款服饰，求该厂获取的收益；（2）该厂起码生产多少套此样式服饰才能够不赔本？（3）试确立该厂生产多少套此样式服饰可使收益最大，并求最大收益.（注：收益 =销售额 - 成本，此中成本 =设计费 +生产成本）19. 设a为实数，函数 f x 2 x x a a, x R.（1）求证：f x 不是 R 上的奇函数；（2）若f x 是 R 上的单一函数，务实数 a 的值；（3）若函数 f x 在区间2,2 上恰有3 个不一样的零点，务实数 a 的取值范围.20.设等差数列a n 是无量数列，且各项均为互不同样的正整数，其前 n 项和为 S n，数列 b n 知足 b n S n 1,n N *.a n（1）若a2 5, S5 40，求 b2的值；（2）若数列b n为等差数列，求b n；（3）在（ 1）的条件下，求证：数列a n 中存在无量多项（按本来的次序）成等比数列.试卷答案一、填空题1.2.3.3,44. 5.4 6.1 1 8. 2076 9.27.3 32610.311.1 12. 8 13.37 14. 95二、解答题 15. 证明：（1）在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， CC平面 ABC ，由于 AD平面 ABC ，因此1CC 1AD ．又 ADC 1D ， CC 1 C 1D C 1 ， CC 1,C 1D 平面 BCC 1 B 1 ，因此 AD 平面 BCC 1B 1 ，又 AD平面ADC 1 ，因此平面 ADC 1平面 BCC 1B 1 ；（2）由于 A 1 E C 1D ，由（ 1）同理可得， A 1 E 平面 BCC 1B 1 ，又由（ 1）知， AD 平面 BCC 1 B 1 ，因此 A 1E / /AD ，又 A 1E 平面 ADC 1 ， AD 平面 ADC 1 ，因此A 1E / / 平面 ADC 1 ．16．证明：（ 1）当 a1, b 2 时， OC 1OA 2OB ，3 3 33 因此2OC OB1OA OC ， 33即 2BCCA ，因此 BC//CA ，因此 A, B,C 三点共线．（2） ab 为定值 1，证明以下：由于 A, B,C 三点共线，因此AC / / AB ，不如设ACABR ，因此OCOAOB OA ，即 OC1 OA OB ，又 OC aOA bOB ，且 OA, OBa1由平面向量的基本定理，得不共线，，b因此 a b 1（定值）．．解：（ ）在 ABC 中，由正弦定理 a b c2R 得，17 1sin Asin Bsin C136a 2R sin A 2，553, A3 24 ， 由于 sin A0,，因此 cos A1 sin2 A1425522c 2a24 22c 26在 ABC 中，由余弦定理 cos A b5，2bc得，22 c5解得 c 8 ，因此 AB 的长为 8 ；55sin A 33（2）由（ 1）知， tan A5 ，cos A 4 45tan Atan A B 3 113因此tan Btan A A B4 3 ．1 tan A tan AB 13 194 3在 ABC 中， AB C，tan Atan B3 1379因此 tan Ctan A B4 9．tan A tan B 13 13 1 34 91816 时，收益 y P 62 6 19（万．解：（ ）当 x6 3元）；（2）考虑 0x 5时，收益y P x2 x 22 x22.8 ，令 y20得， 1 x 7 ，因此 x min 1 ；（3）当 0 x 5 时，由（ 2）知 y 20.4 x 23.6 ，4因此当 x 4时，y min（万元），当 x5时，收益 y P x2 x9 2 xx9 ，x 3 3x 3由于 x39 2 x 3 x 96（当且仅当 x 3 9 ，即 x 6 时，取“ =”），x 3 3 x 3因此 y max3.7 （万元），综上，当 x6时，y max3.7 （万元）．答：（1）生产 6 百套此款服饰，该厂获取收益 3.7 万元；（ 2）该厂起码生产 1 百套此样式服装才能够不赔本； （ 3）该厂生产 6 百套此样式服饰时，收益最大，且最大收益为 3.7 万元．19．证明：（ 1）假定 f x 是 R 上的奇函数，则对随意的 x R ，都有 f xf x （ * ）取 x0 ，得 f 00 ，即 2 a a 0 ，解得 a 0 ，此时 f x 2x x ，因此 f 13, f 11，进而 f 1f 1 ，这与（ * ）矛盾，因此假定不建立，因此f x 不是 R 上的奇函数；（2） f xx 2 a 2 x a, x ax 2a 2 x 3a, x，a①当 a2 时，对称轴 xa 2 a ，因此 f x 在,a2 上单一递减， 在a 2, a22 2上单一递加，在a,上单一递减，不符；②当 a2 时，对称轴 xa 2 a ，因此 f x 在, a 上单一递减， 在 a,a2 上单22调递加，在a 2上单一递减，不符；2,③当 a 2 a 2a ，因此f x 在,2 上单一递减，在2，上单一时，对称轴 x 2递减，因此 f x 是 R 上的单一减函数．综上， a 2 ．（3）①当a 2时，由（2）知， f x 是 R 上的单一减函数，至多 1 个零点，不符；②当 a 2 时，由（ 2）知，2a 2a ，因此f x 在2,2 上单一递减，x2因此 f x 在2,2 上至多1 个零点，不符；③当 a 2 时，由（2）知，2 x a 2 a ，因此 f x 在,a 上单一递减，在a,a22 2上单一递加，在 a 2,2 上单一递减．2由于 f x 在区间2,2 上恰有3 个零点，a 2 12a a 2因此 f 2 3a 8 0, f a a 0, f2 0，2 4f 2 a 0 ，解得 0 a 4 2 3 或 a 4 2 3 ，又a 2 ，故0 a 4 2 3 ，综上，实数 a 的取值范围是0, 4 2 3 ．20．解：（ 1）设等差数列 a 的公差为d，n由于无量数列a n 的各项均为互不同样的正整数，因此a1 N * , d N *，（1）由a25, S5 40得，a1 d 5,5 a1 5 4 d 40 ，2解得 a1 2, dS21a1 2 3 ，因此b2a2；a2 5（2）由于数列b n 为等差数列，因此2b2 b1 b3，即 2 S2 1 S1 1S3 1，a2 a1 a32 2a1 d3 a1 d，解得 a1 d （d 0 已舍），因此 12da1 d a1n n 1S n1 2 a11n 1；此时， b nna1 2a n（3）由（ 1）知，等差数列a n 的通项公式 a n 2 3 n 1 , n N * ，下证：对随意的n N *，b n 2 4n 1都是 a n 中的项，证明：当 n 2 时，由于 1 4 42 4n 2 4n 1 1 ，3因此b n 2 4n 1 2 31442 4n 2 1 2321442 4n 2 1 1a2 1 4 4 2 4n 2 1，此中 2 1 4 42 4n 2 1 N*，又 n 1时，b1 a1 2 ，因此对随意的 n N *，b n 2 4n 1都是a n中的项，因此，数列a n 中存在无量项（按本来的次序）成等比数列．。

江苏省南通第一中学2017-2018学年度第一学期期末考试卷高一数学1. 设集合{0,1,2}A =,{2,3}B =，则A B ⋃= ．2. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 ．3.函数1y x=的定义域为 ． 4.已知函数f （x ﹣1）=2xf （3）= ．5. 若幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，若实数m 满足1()2f m =，则实数m 的值为 ．6．若向量(1,2),(3,),//()a b m a a b =-=+，则实数m = ．7.已知α是第三象限角，且31)cos(=-απ，则αtan = ．8.若a ，b 均为单位向量，且()2a a b ⊥-，则a ，b 的夹角大小为 ．9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()1log f x x =-，则不等式()0f x <的解集为 ． 10.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的 第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是 ．11．已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为 ．12.已知函数2()2xf x x =+，则不等式(2sin )3,[,]22f x x ππ>∈-的解集为 ． 13.已知函数，若方程f （x ）=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则的取值范围为 ．14.已知3323-0,sin 20,82cos 102222ππππαβααββ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈∈---=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，，，且则sin 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．15.已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．16.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若56)(=αf ，20πα<<，求)122(πα+f 的值.17.如图，半径为1圆心角为23π圆弧AB ︵上有一点C ．（1）当C 为圆弧 AB ︵中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值. （2）当C 在圆弧 AB ︵上运动时，D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，求CE DE ⋅的取值范围．18.一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边,BC CD 上分别取点,E F （不与正方形的顶点重合），连接,,AE EF FA ，使得45EAF ∠=︒. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF ∆部分规划为蜂巢区，CEF ∆部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约5210⨯元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为510元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？（第16题）C EF第18题图AED C（第17题）19.已知函数2()4sin sin (cos sin )(cos sin )142x f x x x x x x π⎛⎫=+⋅++-- ⎪⎝⎭。

绝密★启用前江苏省南通市海安高级中学2018～2019学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）一、填空题（本大题共14小题,共70.0分）1.已知集合U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},则∁U M═______．【答案】{3,4}【解析】【分析】根据集合的补集定义进行计算即可．【详解】∵U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},∴∁U M={3,4},故答案为：{3,4}【点睛】本题考查了集合的基本运算,属于基础题．2.若函数f（x）=（m-3）x m为幂函数,则实数m的值为______．【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义,写出实数m的值即可．【详解】函数f（x）=（m-3）x m为幂函数,∴m-3=1,m=4,∴实数m的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了幂函数的定义,属于基础题．3.已知f（x）=,则f（-2）=______．【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意,f（x）=,则.故答案为：．【点睛】本题考查函数值的计算,关键是掌握分段函数解析式的形式,属于基础题．4.设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4,则f（x）=______．【答案】4x【解析】【分析】变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1）,从而得出f（x）=4x．【详解】由题意得,f（x-1）=4x-4=4（x-1）,∴f（x）=4x．故答案为：4x．【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法,属于基础题。

5.设函数g（x）=e x+ae-x（x∈R）是奇函数,则实数a=______．【答案】-1【解析】【分析】根据条件知g（x）在原点有定义,从而有g（0）=0,这样即可求出a的值．【详解】由于g（x）在R上为奇函数；∴g（0）=0；即1+a•1=0；∴a=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查奇函数的概念,以及奇函数g（x）在原点有定义时,g（0）=0,属于基础题。

高一上数学期末试卷江苏省南通中学一、选择题。

本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.定义{}|,A B x x A x B -=∈∉且，若{}1,3,5,7,9A =,{}2,3,5B =,则A B -=( ) (A) A (B) B (C) {}1,2,7,9 (D) {}1,7,92. 下列判断错误的是（ ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若则”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ”为真（其中φ为空集）3.设集合{}{}22|1,,|45,,A x x a a N B y y b b b N ==+∈==-+∈则下述关系中正确的是( )(A)A B = (B) A B ⊃ (C) A B ⊂ (D) AB =∅4.将函数2xy =的图象先作下面哪一种变化,再作关于直线y x =对称的图象可得到函数2log (1)y x =+的图象? ( )(A)先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位5. 若 {}n a 是等比数列，4738512,124,a a a a =-+=且公比q 为整数，则10a =（ ） （A ）256 （B ）-256 （C ）512 （D ）-5126. 某次试验获得如下组数据：在下列四个函数中最能近似表达以上数据规律的函数是 A 、2log y x = B 、22xy =-C 、()2112y x =-D 、22y x =-7.已知221log [(1)]4y ax a x =+-+的定义域是一切实数,则实数a 的取值范围( )(A)(B)(C) 35(,)++∞ (D) 8已.知数列{}n a 的首项13a =，又满足13,nn n a a +=则该数列的通项n a 等于（ ）（A ）(1)23n n - （B ）2223n n -+ （C ）213n n +- （D ）213n n -+9等差数列{}n a 共有21n +项，其中13214,n a a a ++++=2423,n a a a +++=则n 的值为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）910．如右图所示，四边形ABCD 为直角梯形，上底CD 为 下底AB 的一半，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线l 距离为x ，则函数()y f x =的大致图象为( )11．方程2(2)50x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的范围是( )(A)2a <- (B) 52a -<<- (C)54a -<<- (D)4a >或4a <- 12．已知数列{}n a 的通项公式12112,,n n n a n S a a a =-=+++则10S =（ ）（A ）100 （B ）50 （C ）25 （D ）125二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上 13．(3a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(965ab )的结果为________________14．在等差数列{}n a 中，1231215,78,n n n a a a a a a --++=++=155,n S =则n =_____15．函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，已知(25)2f =，则125(log 2)f -=_________。

2023-2024学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．命题：“∃x∈R，x2+2x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x≤0B．∃x∈R，x2+2x≥0C．∀x∈R，x2+2x＞0D．∃x∈R，x2+2x＞03．若α的终边与−π6的终边垂直，且0＜α＜π，则cosα＝（）A．−12B．12C．−√32D．√324．已知某种放射性元素在一升液体中的放射量c（单位：Bq/L）与时间t（单位：年）近似满足关系式c＝k•a−t12（a＞0且a≠1）．已知当t＝12时，c＝100；当t＝36时，c＝25，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量c为10时，t大约为（）（参考数据：log25＝2.32）A．50B．52C．54D．56 5．函数y＝|x﹣2|+|2x﹣2|的最小值为（）A．0B．1C．32D．26．已知函数f（x）在R上的图象不间断，则“∀x∈（0，+∞），f（x）＞f（0）”是“f（x）在（0，+∞）上是增函数”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＝sin1，b＝cos1，c＝tan1，d＝1，则（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．b＜a＜d＜c8．已知函数y＝f（x）+x2为偶函数，y＝f（x）﹣2x为奇函数，则f（log23）＝（）A．53B．98C．32D．3二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．函数y=lgx−12x+1的零点所在的区间为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）10．已知x ＞0，则（ ） A ．x （2﹣x ）的最大值为1 B ．3−x −1x的最大值为1C ．2√x 2+4的最小值为2D ．x +4x+1的最小值为3 11．将函数y ＝cos2x 的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度，再向上平移12个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．函数y ＝g （x ）的周期为πB ．g （x ）在（0，π2)上单调递增C ．g （x ）的图象关于直线x =3π4对称 D ．g （x ）的图象关于点（0，12）中心对称12．设定义在R 上的函数f （x ）满足：①当x ＜0时，f （x ）＜1；②f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，则（ ） A ．f （0）＝1B ．f （x ）为减函数C ．f （x ）+f （﹣x ）＝2D ．f （2x ）+f （2﹣x ）≥2f （1）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。