山东省青岛二中2013届高三下学期第二次模拟考试数学(文科)试题含答案

高三自评试题 数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0．5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，甩2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}20,2U x x M x x x =>=<，则U C M = A.{}2x x ≥B.{}2x x >C.{}02x x x ≤≥或D.{}02x x <<2.若,,a b R i ∈是虚数单位，()21a b i i i +-=+，则a b +为 A.0B.1C.2D.33.“3a ≥”是“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图.若输出31S =，则框图中①处可以填入 A.8n >B.16n >C.32n >D.64n >5.下列函数中，与函数y =定义域相同的函数为A.1sin y x= B.ln x y x= C.cos x y x= D.3xy x e =6.设变量x 、y 满足线性约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数()7log 23z x y =+的最小值为 A.7B.7log 23C.7log 8D.17.已知函数()cos f x x x =，为了得到函数()sin 2cos 2g x x x =+的图象，只需要将()y f x =的图象 A.向右平移4π个单位长度 B.向左平移4π个单位长度 C.向右平移8π个单位长度D.向左平移8π个单位长度8.已知F 1、F 2分别是双曲线()2222:10,0x y C a b ab-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点，21212,PF F F PF ⊥=且，则双曲线的离心率为A.B.1+C.D. 1+9.已知l ，m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列五个命题： ①,//,//l l βαβα⊂若且则；②若,//,l l βαβα⊥⊥且则 ③,,//l l βαβα⊥⊥若且则；④若,//,//m l m l αβα⋂=且则 ⑤若,//,//,//m l l l m αβαβ⋂=则.则所有正确命题的序号是 A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①②④10.已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 A.[]30,27--B.()30,33C.()30,27--D.[]30,3311.某几何体的三视图如图所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是 A.8a b +=B.4b =C.1a =D.2a =12.设函数()(),y f x =-∞+∞在内有定义，对于给定的实数k ，定义函数()()()(),,,fx f x k g x k fx k≥⎧⎪=⎨<⎪⎩设函数()213x fx x x e=++-，若对任意的(),x ∈-∞+∞恒有()()g x f x =，则A.k 的最大值为2-B.k 的最小值为2-C.k 的最大值为2D.k 的最小值为2第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.已知两条直线()23210y ax x a y =--++=和互相垂直，则a 等于_______； 14.已知回归直线的斜率的估计值 1.23，样本的中心点为()5,4，则回归直线方程是_______；15.无限循环小数可以化为分数，如0.i =19，0.i .3=1399,0..01.5=5333，…，请你归纳出0..199.9=________； 16.一同学为研究函数 ())01f x x =≤≤的性质，构造了如图所示的两具边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一动点，设C P x =，则()AP PF f x +=.请你参考这些信息，推知函数()()37g x f x =-的零点的个数是________. 17.（本小题满分12分）已知函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （I ）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（II ）设A B C ∆的内角A,B,C 的对应边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，若向量()1,sin m B =与向量()2,sin n C = 共线，求ab的值.18.（本小题满分12分）已知集合{}()(){}2230,lg 23A x x x B x y x x =+-<==+-. （I ）从A B⋃中任取两个不同的整数，记事件E={}A B P ⋂两个不同的整数中至少有一个是集合中的元素，求（E ）； （II ）从A 中任取一个实数x ，从B 中任取一个实数y ，记事件{}()1F x y P F =与之差的绝对值不超过，求.19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2,1,AB BC E CD ==为的中点，F 为AE 的中点.现在沿AE 将三角形ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列两句：（I ）在线段AB 上是否存在一点K ，使BC//面DFK ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（II ）若面A D E ⊥面ABCE ，求证：面B D E ⊥面ADE. 20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()*11211,12n n a a a a a n n N -=++⋅⋅⋅+-=-≥∈且. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）设()()()*1111n n n n a b n N a a ++=∈++，求数列{}n b 的前n 项和nT.21.（本小题满分13分）已知点()1,0F 为椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的右焦点，过点(),0A a 、()0,B b 的直线与圆22127x y +=相切.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，求证：11M FN F+为定值.22.（本小题满分13分） 已知函数()()()32211ln 13f x x ax a x a =-+-++（其中a 为常数）（I ）若()f x 在区间()1,1-上不单调，求a 的取值范围；（II ）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()()21ln x f x a x x Γ=--+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足02x >，求实数a 的取值范围；（III ）记函数()y f x =的极大值点为m ，极小值点为n ，若25cos 2x m n x +≥+对于[]0,x π∈恒成立，试求a 的取值范围.11。

山东省青岛市2013届高三第二次模拟考试（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U {|0}x x =>，2{|2}M x x x =<，则U M =ð A .{|2}x x ≥ B . {|2}x x > C . {|0x x ≤或2}x ≥D . {|02}x x <<2．若,R a b ∈，i 是虚数单位，(2)1a b i i i +-=+，则a b +为A ．0B ．1C ．2D ．3 3．“3a ≥”是“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的A ．充分不必要条件 B.要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图．若输出31S =， 则框图中①处可以填入 A. 8n > B. 16n > C. 32n > D. 64n > 5．下列函数中，与函数31xy =定义域相同的函数为 A ．x y sin 1=B. x xy ln = C. cos x y x= D. 3x y x e = 6．设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数7log (23)z x y =+的最小值为A. 7B. 7log 23C. 7log 8D. 17．已知函数()cos f x x x =，为了得到函数()sin 2cos 2g x x x =+的图象，只需要将()y f x =的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度8．已知1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点， 212PF F F ⊥，且122PF PF =，则双曲线的离心率为A.B. 1C.D. 1+9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列五个命题： ①若l β⊂，且//αβ，则//l α；②若l β⊥，且//αβ，则l α⊥； ③若l β⊥，且αβ⊥，则//l α；④若m αβ=，且//l m ，则//l α；⑤若m αβ=，//l α，//l β，则//l m ．则所有正确命题的序号是A. ①③⑤B. ②④⑤C. ①②⑤D. ①②④10．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 A. [30,27]--B. (30,33)C. (30,27)--D. [30,33]11．某几何体的三视图如图所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是A. 8a b +=B. 4b =C. 1a =D. 2a =12．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义,对于给定的实数k ,定义函数(),()() , ()f x f x k g x k f x k≥⎧=⎨<⎩，设函数()f x =213x x x e ++-,若对任意的(,)x ∈-∞+∞恒有()()g x f x =,则A. k 的最大值为2-B. k 的最小值为2-C. k 的最大值为2D. k 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相垂直，则a 等于 ； 14．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本的中心点为(5,4)，则回归直线方程 是 ；15．无限循环小数可以化为分数，如11350.1,0.13,0.015,999333===，请你归纳出0.1999= ； 16．一同学为研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和,BEFC 点P 是边BC 上的一动点，设,x CP =则()AP PF f x +=．请你参考这些信息，推知函数()3()7g x f x =-的零点的个数是．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演AB C DEFP算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-．（Ⅰ）求函数()f x 在[]π,0上的单调递减区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0f A =，若向量(1,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线，求ab的值． 18．（本小题满分12分）已知集合2{|230}A x x x =+-<，{|lg(2)(3)}B x y x x ==+-.（Ⅰ）从A B 中任取两个不同的整数，记事件E ={两个不同的整数中至少有一个是集合A B 中的元素}，求()P E ；（Ⅱ）从A 中任取一个实数x ，从B 中任取一个实数y ，记事件F ={x 与y 之差的绝对值不超过1}，求()P F .19．（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点.现在沿AE 将三角形ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列两问：（Ⅰ）在线段AB 上是否存在一点K ，使BC ∥面DFK ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若面ADE ⊥面ABCE ，求证：面BDE ⊥面ADE . 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，1211n n a a a a -+++-=-（2n ≥且*N n ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设*11(N )(1)(1)n n n n a b n a a ++=∈++，求数列{}n b 的前n 项和n T .A21．（本小题满分13分）已知点(1,0)F 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点，过点(,0)A a 、(0,)B b 的直线与圆22127x y +=相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，求证：11MF NF+为定值. 22．（本小题满分13分） 已知函数3221()(1)ln(1)3f x x ax a x a =-+-++（其中a 为常数） （Ⅰ）若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围；（Ⅱ）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数2()()(1)ln x f x a x x Γ=--+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足02x >，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记函数()y f x =的极大值点为m ，极小值点为n ，若25cos 2xm n x +≥+对于[0,]x π∈恒成立，试求a 的取值范围．数学 (文科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． AABBC DDBCC DA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 12-14. 1.23 2.15y x =- 15. 1999999916．2 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2()sin(2)2cos 6f x x x π=+- sin 2coscos 2sin(cos 21)66x x x ππ=+-+12cos 212x x =--sin(2)16x π=-- ……………………………………………3分由3222(Z)262k x k k πππππ+≤-≤+∈得：5(Z)36k x k k ππππ+≤≤+∈所以，()f x 在[]π,0上的单调递减区间为5[,]36ππ………………………………………6分（Ⅱ）()sin(2)106f A A π=--=，则sin(2)16A π-=0A π<<，112666A πππ∴-<-<，262A ππ∴-=，3A π=………………………8分向量(1,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线，sin 2sin C B ∴=，由正弦定理得，2c b = …………………………………………………………………10分 由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即222242a b b b =+-ab∴= ………………………………………………………………………12分18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知可得：{|31}A x x =-<<，{|23}B x x =-<<，{|33}A B x x ∴=-<<，{|21}A B x x =-<<A B 中的整数为2, 1, 0, 1, 2--，∴从中任取两个的所有可能情况为{2,1},{2,0},{2,1},{2,2},{1,0},{1,1},{1,2},{0,1},{0,2},{1,2}--------共10种，…3分A B 中的整数为1, 0-，∴事件E 包含的基本事件为{2,1},{1,1},{2,1},{2,0},{1,0},{2,0},{0,1}------共7个， …………………………5分 7()10P E ∴=………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）(,)x y 可看成平面上的点，全部结果构成的区域为{(,)|31, 23}x y x y Ω=-<<-<<，其面积为4520S Ω=⨯=， …………………………………………8分事件F 构成的区域为{(,)|31, 23, |-|1}F x y x y x y =-<<-<<≤，其为图中阴影部分，它的面积为114422622F S =⨯⨯-⨯⨯=……………………………………11分 3()10F S P F S Ω∴==…………………………………………………………………………12分1+1x -19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）线段AB 上存在一点K ，且当14AK AB =时，BC ∥面DFK ………1分 证明如下：设H 为AB 的中点，连结EH ，则BC ∥EH 又因为14AK AB =，F 为AE 的中点 所以KF ∥EH ，所以KF ∥BC ，………………………………………………………4分KF ⊂面DFK ，BC ⊄面DFK ，∴BC ∥面DFK …………………………………5分（Ⅱ）因为F 为AE 的中点，1DA DE ==， 所以DF AE ⊥.………………………………………6分 因为面ADE ⊥面ABCE ，所以DF ⊥面ABCE 因为BE ⊂面ABCE ，所以DF ⊥BE …………8分又因为在折起前的图形中E 为CD 的中点，2AB =，1BC =，所以在折起后的图形中：AE BE == 从而2224AE BE AB +==所以AE ⊥BE ………………………………………………………………………………10分 因为AEDF F =，所以BE ⊥面ADE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以面BDE ⊥面ADE . ………………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由题1211n n a a a a -+++-=-……①1211n n a a a a +∴+++-=-……②由①-②得：120n n a a +-=，即12(2)n na n a +=≥…………………………………………3分 当2n =时，121a a -=-，11a =，∴22a =,212a a = 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列故12n n a -=（*N n ∈）………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）12n n a -=（*N n ∈）ACEDF所以11112112()(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n nn n a b a a +--+===-++++++ …………………9分 所以1211111112[()()()]23352121n n n nT b b b -=+++=-+-++-++ 11212()22121n n n -=-=++ …………………………………………………………………12分21.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1,0)F 为椭圆的右焦点，所以221a b =+……① ……………………1分AB 的直线方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-= 所以2222()127ab d a b ==+，化简得222212()7a b a b +=……② …………………………3分 由①②得：24a =，23b =所以椭圆C 的方程为22143x y += …………………………………………………………4分 (Ⅱ) 设11(,)M x y 、22(,)N x y当直线l 的斜率不存在时，121x x ==，则211143y +=，解得2194y = 所以32MF NF ==，则1143MF NF +=………………………………………………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=221212228412,3434k k x x x x k k -+==++…………………………………………………………8分11MF ==-同理21NF =-不妨设211,1x x <>，则211111()11MF NF x x +=+--21121211()11x x =+=--224313434k k ===--++ 所以11MF NF+为定值43 ………………………………………………………………13分 22．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3221()(1)ln(1)3f x x ax a x a =-+-++，22()21f x x ax a '∴=-+- 因为函数()f x 在区间(1,1)-不单调，所以函数()f x '在(1,1)-上存在零点． 而()0f x '=的两根为1a -，1a +，区间长为2， ∴()f x '在区间(1,1)-上不可能有2个零点．所以(1)(1)0f f ''-<， …………………………………………………………………2分即2(2)(2)0a a a +-<，又由题意可知：1a >-∴(1,0)(0,2)a ∈-．………………………………………………………………………3分（Ⅱ）2321()()(1)ln ln ln(1)3x f x a x x x ax x a Γ=--+=-+++，21()2x x ax x'Γ=-+，存在一条与y 轴垂直的直线和函数2()()(1)ln x f x a x x Γ=--+的图象相切，且切点的横坐标0x ，200001()20x x ax x '∴Γ=-+=02011()2a x x ⇒=+,0(2)x > ………………………5分令211()()2h x x x =+(2)x >，则312()(1)2h x x'=-当2x >时，312()(1)02h x x'=->，∴211()()2h x x x =+在(2,)+∞上为增函数，从而0020119()()(2)28h x x h x =+>=，又由题意可知：1a >-98a ∴> ……………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）22()21f x x ax a '=-+-，由()0f x '=得：1x a =-，或1x a =+， 当x 变化时，(), ()f x f x '变化如下表由表可知：()f x 的极大值点1m a =-，极小值点1n a =+2573m n a ∴+=+ ……………………………………………………………………10分令()h x =，[0,]x π∈，则()h x '= 由2()03h x x π'=⇒=，当2[0,)3x π∈时，()0h x '>，当2(,]3x ππ∈时，()0h x '<， ∴当23x π=时，()h x 取最大值为2()13h π=，…………………………………………12分 为满足题意，必须max 25()m n h x +≥，所以731a +≥，又由题意可知：1a >-， 27a ∴≥- ……………………………………………………13分。

山东省2013届高三高考模拟卷（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0}x M y y x ==>，{N y y ==，则M N 等于A ．∅B ．{1}C ．{1}y y >D ．{1}y y ≥2．已知复数2ii ia b -=+（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则2a b -= A. 1 B. 2 C. 3 D.43.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A. 3,y x x R =∈ B. sin ,y x x R =∈ C. lg ,0y x x => D. 3(),2x y x R =∈4．命题“对任意的01,23≤+-∈x x x R ”的否定是 A ．不存在01,23≤+-∈x x x R B ．存在01,23≤+-∈x x x RC ．存在01,23>+-∈x x x RD ．对任意的01,23>+-∈x x x R5.向量a ，b 的夹角为60︒，且||1a =，||2b =，则|2|a b -等于A.1D.2 6．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60︒，E 为BC 的中点， 则AE BD =A ．3-B ．1-C ．0D ．17．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为A ．13422=+y xB ．16822=+y xC ．1222=+y xD ．1422=+y x 8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且21813a a =，则313335319log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=A. 5B. 5-C. 53D.1039．把函数)2,0(),sin(πφωφω<>+=x y 的图像向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图示，则,ωϕ的值分别为 A ．3,1πB ．3,1π-C ．3,2πD ． 3,2π-10．已知()f x '是函数()f x 的导函数，如果()f x '(1,1)，那么曲线()f x 上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是A. (1,]4πB. [,)42ππC. 3(,]24ππD.[,)4ππ 11．若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是A ．211>abB ．111≤+ba C ．2≥ab D ．81122≤+ba12．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则有A. 2(2)(3)(l o g )af f f a << B. 2(3)(log )(2)af f a f <<C. 2(l o g )(3)(2)af a f f<< D. 2(log )(2)(3)af a f f <<第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，满分16分．13．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的弦长是 ．14．已知：l m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，给出下列五个命题： ①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //.其中正确命题的序号是15．已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是 ．16.已知偶函数()y f x =（x R ∈），满足：(1)(1)f x f x +=-，且[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =与函数3|log |y x =图象的交点个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3cos 5B =，且符合21AB BC ⋅=-． （Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若7a =，求角C ．18．（本小题满分12分） 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件=E {5x y -≤}，事件F ={15->x y }，求()P E F ．19．（本小题满分12分）数列}{n a 是首项14a =的等比数列，且3S ，2S ，4S 成等差数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n b a =，设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和，若1n n T b λ+≤对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的最小值． 20．（本题满分12分）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．(Ⅰ) 当1BE =，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP PD λ=，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；(Ⅱ) 设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A -CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．21．（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．（Ⅰ）设椭圆的半焦距1c =，且222,,a b c 成等差数列，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设（1）中的椭圆C 与直线1y kx =+相交于P Q 、两点，求OP OQ 的取值范围．22．(本小题满分13分)已知函数2()8ln f x x x =-，2()14g x x x =-+. (Ⅰ) 求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ) 若函数()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,求a 的取值范围； (Ⅲ) 若方程()()f x g x m =+有唯一解,试求实数m 的值.数学（文科）参考答案一、选择题：1．A 2．C 3． A 4．C 5． D 6． C 7． A 8 ．B 9． D10． B 11． D 12． C二、填空题：A B C D E F E F A B C D13． 2 14．④ 15．16． 3三、解答题：17．【解析】（Ⅰ）21cos()21AB BC AB BC B π⋅=-⇒⋅⋅-=- ………………2分 cos 21c a B ⇒⋅⋅=． …………………………………………………………… 3分又3cos 5B =，故35ac =． ………………………………………………4分由3cos 5B =可推出4sin 5B == ………………………………………5分1sin 14.2ABC S ac B ∆∴== ………………………………………6分（Ⅱ）7,35a ac ==由，可得5c=， ………………………………………7分又2223cos 2cos 325B b a c ac B b =∴=+-=⇒= ………………8分cos 2C ∴==， ………………10分 又(0,)C π∈　，4C ∴=． ………………12分18．【解析】（Ⅰ）第六组的频率为40.0850=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=； ……………………………4分 （Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=， 身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=， 身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=， 身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=，由于0.040.080.20.320.5++=<，0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ，则170175<<m 由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 …………………………6分由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,所以身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为0.18800144⨯=人． ………………8分（Ⅲ）第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况，因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况，故7()15P E =． ……………………10分 由于max 19518015x y -=-=，所以事件F ={15->x y }是不可能事件，()0P F =， 由于事件E 和事件F 是互斥事件，所以7()()()15P EF P E P F =+=………12分 19．【解析】（Ⅰ）当1q =时，32412816S S S ===，，,不成等差数列……………1分当1q ≠时，234111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+--- ，∴2342q q q =+ ，…………3分∴220q q +-=，∴2q =-， …………………………………………………………4分∴114(2)(2)n n n a -+=-=-．………………………………………………………………5分（Ⅱ）122log log (2)1n n n b a n +==-=+，………………………………………… 6分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， ………………………………………… 7分 11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-=++++， ………………8分1n n T b λ+≤，∴(2)2(2)n n n λ≤++，∴22(2)nn λ≥+， …………………… 10分又211142(2)2(44)162(4)n n n n=≤=++++，∴λ的最小值为116． ……… 12分 20．【解析】(Ⅰ)存在P 使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时32λ=．…………… 2分下面证明：当32λ=时，即此时32AP PD =，可知35AP AD =，过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，则有35MP FD =，又FD ＝5，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP //=EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．……………………… 6分(Ⅱ)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC ．由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x (0<x …4)，FD ＝6-x ．故222111112(6)(6)[(3)9](3)332333A C D F V x x x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-=--+=--+．所以，当x ＝3时，A CDF V -有最大值，最大值为3． ……………………… 12分21．【解析】（Ⅰ）由已知：221a b =+，且2221b a =+，解得223,2a b ==， ……4分所以椭圆C 的方程是22132x y +=． …………………………5分 （Ⅱ）将1y kx =+代入椭圆方程，得22(1)132x kx ++=， …………………………6分 化简得，()2232630k x kx ++-= …………………………7分设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122263,3232k x x x x k k +=-=-++， …………………8分 所以，()()()()21212121212121111OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x =+=+++=++++EFA B C D M P()22222223166131232323232k k k k k k k -+--=-+==-+++++， ………………………10分 由222233310,322,0,22322322k k k k ≥+≥<≤-<-+≤-++，…………………12分所以OP OQ 的取值范围是1(2,]2--. …………………………13分22．【解析】(Ⅰ)因为8()2f x x x'=-,所以切线的斜率(1)6k f '==- …………2分又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+ …………4分 (Ⅱ)因为2(2)(2)()x x f x x+-'=,又x >0,所以当x >2时,()0f x '>；当02x <<时, ()0f x '<.即()f x 在(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减 ……………………………………………5分又2()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减 ………6分欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则217a a ≥⎧⎨+≤⎩,解得26a ≤≤ ……8分(Ⅲ) 原方程等价于228ln 14x x x m --=,令2()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =. ……………………9分 因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点……………………10分又82(4)(21)()414x x h x x x x-+'=--=,且0x >， 所以当4x >时,()0h x '>，函数()h x 单调递增；当04x <<时, ()0h x '<，函数()h x 单调递减. 故()h x 在4x =处取得最小值． ……………12分 从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--． ………13分0z =。

一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝，则A∩B= ( )（A）｛0｝（B）｛－1，,0｝（C）{0，1} （D）｛－1，,0，1}（2） 1＋2i(1－i)2＝ ( )（A）－1－12i （B）－1＋12i （C）1＋12i （D）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）12 （B）13 （C）14 （D）16（4）已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为（）（A）y=±14x （B）y=±13x （C）y=±12x （D）y=±x（5）已知命题p：∀x∈R,2x＞＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1－x2，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为23 的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an－1 （B）Sn =3an－2 （C）Sn =4－3an （D）Sn =3－2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )（A）[－3,4]（B）[－5,2]（C）[－4,3]（D）[－2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=42x的焦点，P为C上一点，若|PF|=42，则△POF的面积为( )（A）2 （B）22 （C）23 （D）4（9）函数f(x)=(1－cosx)sinx在[－π，π]的图像大致为( )A B C D（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=( )（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π （B）8+8π（C）16+16π （D）8+16π（12）已知函数f(x)＝－x2＋2x x≤0ln(x＋1) x＞0，若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )（A）（－∞，0] （B）（－∞，1] (C)[－2，1] (D)[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

山东省青岛二中2013届高三10月份阶段性检测数学（文）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是A．46，45，56 B．46，45，53C．47，45，56 D．45，47，532．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于A．15B．25C．35D．453．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A，编号落入区间[]451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为A．7 B．9 C．10 D．155．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为A．17B．27C．37D．476．在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就A．越大B．越小C．无法判断 D．以上都不对7．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 （ ）A ．30％B ．10％C ．3％D ．不能确定8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i =1,2,…,n ）都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为A ．－1B ．0C ．12D ．110．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A ．4πB ．22π- C ．6πD ．44π-11．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是 A ．l 1和l 2有交点（s ，t ） B ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ） C ．l 1与l 2必定平行D ．l 1与l 2必定重合12．在半径为R 的圆周上任取A 、B 、C 三点，试问三角形ABC 为锐角三角形的概率 A ．103 B ．41 C ．52 D ．54第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

2013-2014学年山东省某校高三（上）第二次诊断数学试卷（文科）一、选择题：本大题共13小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U ={−2, −1, 0, 1, 2, 3}，M ={0, 1, 2}，N ={0, 1, 2, 3}，则(C U M)∩N =( )A {0, 1, 2}B {−2, −1, 3}C {0, 3}D {3}2. 命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是（ ）A 不存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0B 存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0 C 存在x 0∈R ，x 03−x 02+1>0 D 对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1>0 3. 下列函数中在区间(0, π)上单调递增的是（ ） A y =sinx B y =log 3x C y =−x 2 D y =(12)x4. 不等式|x +3|−|x −1|≥−2的解集为（ ）A (−2, +∞)B (0, +∞)C [−2, +∞)D [0, +∞) 5. 设函数f(x)={√x ，x ≥0√−x ，x <0，若f(a)+f(−1)=2，则a =( )A −3B ±3C −1D ±16. 已知a =π13，b =log π3，c =log 3sin π3，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A a >b >c B b >c >a C c >a >b D c =a >b 7. 函数y =lg1|x+1|的大致图象为（ ）A B C D8. 函数f(x)=e x +x −2的零点所在的一个区间是( ) A (−2, −1) B (−1, 0) C (0, 1) D (1, 2) 9. 已知tanα=12，则(sinα+cosα)2cos2α=( )A 2B −2C 3D −310. 已知函数f(x)=2x −2x −a 的一个零点在区间(1, 2)内，则实数a 的取值范围是（ ）A (1, 3)B (1, 2)C (0, 3)D (0, 2)11. 同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在(−π6, π3)上是增函数．”的一个函数是（ ）A y ＝sin(x2+π6) B y ＝cos(x2−π6) C y ＝cos(2x +π3) D y ＝sin(2x −π6)12. 对于任意a ∈[−1, 1]，函数f(x)=x 2+(a −4)x +4−2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A {x|1<x<3}B {x|x<1或x>3}C {x|1<x<2}D {x|x<1或x>2}13. 已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)＝2f(3)，y＝f(x−1)的图象关于点(1, 0)对称，则f(2013)＝（）A 10B −5C 5D 0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．14. 已知角α的终边经过点P(m, −3)，且cosα=−45，则m=________．15. 函数y=√−x2−3x+4x的定义域为________．16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，A=60∘，c=√33，则△ABC的面积为________．17. 已知定义域是(0, +∞)的函数f(x)满足；(1)对任意x∈(0, +∞)，恒有f(3x)=3f(x)成立；(2)当x∈(1, 3]时，f(x)=3−x．给出下列结论：①对任意m∈Z，有f(3m)=0；②函数f(x)的值域为[0, +∞)；③存在n∈Z，使得f(3n+1)=0；④“函数f(x)在区间(a, b)上单调递减”的充要条件是“∃k∈Z，使得(a, b)⊆(3k, 3k+1)．”其中正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6分，共74分.18. 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且asinA =√3(Ⅰ)确定角C的大小；(Ⅱ)若c=√7，且△ABC的面积为3√32，求a2+b2的值．19. 已知a>0，设p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，q：实数x满足x−32−x≥0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围是________．20. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的图象与y轴的交点为(0, 1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0, 2)和(x0+2π, −2)．（1）求f(x)的解析式及x0的值；（2）若锐角θ满足cosθ=13，求f(4θ)的值．21. 已知f(x)=x3+ax2−a2x+2．（1）若a =1，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； （2）若a ≠0，求函数f(x)的单调区间；（3）若不等式2xlnx ≤f′(x)+a 2+1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)={10.8−130x 2(0<x ≤10)108x−10003x 2(x >10)(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）23. 已知函数f(x)=x 2−alnx ，g(x)=x −a √x ． （1）若a ∈R ，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)在(1, 2)上是增函数，g(x)在(0, 1)上为减函数，求f(x)，g(x)的表达式； （3）对于（2）中的f(x)，g(x)，求证：当x >0时，方程f(x)=g(x)+2有唯-解．2013-2014学年山东省某校高三（上）第二次诊断数学试卷（文科）答案1. D2. C3. B4. C5. D6. A7. D8. C9. C 10. C 11. D 12. B 13. D 14. −415. [−4, 0)∪(0, 1] 16. √36 17. ①②④ 18. （1）∵ asinA =√3，∴ 由正弦定理得asinA =csinC =√3∴ sinC =√32∵ △ABC 是锐角三角形，∴ C =π3（2）∵ c=√7，C=π3，△ABC的面积为3√32，∴ 由面积公式得12absinπ3=3√32∴ ab＝6由余弦定理得a2+b2−2abcosπ3=7∴ a2+b2＝1319. 1<a≤220. 解：（1）由题意可得：A=2,T2=2π，即2πω=4π∴ ω=12，f(x)=2sin(12x+φ)，f(0)=2sinφ=1，由|φ|<π2，∴ φ=π6．f(x0)=2sin(12x0+π6)=2，所以12x0+π6=2kπ+π2，x0=4kπ+2π3(k∈Z)，又∵ x0是最小的正数，∴ x0=2π3；（2）f(4θ)=2sin(2θ+π6)=√3sin2θ+cos2θ，∵ θ∈(0,π2)，cosθ=13，∴ sinθ=2√23，∴ cos2θ=2cos2θ−1=−79，sin2θ=2sinθcosθ=4√29，∴ f(4θ)=√3⋅4√29−79=4√69−79．21. 解：（1）∵ a=1，∴ f(x)=x3+x2−x+2，∴ f′(x)=3x2+2x−1，∴ k=f′(1)=4，又f(1)=3，所有切点坐标为(1, 3)．∴ 所求切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0．（2）f′(x)=3x2+2ax−a2=(x+a)(3x−a)由f′(x)=0，得x=−a或x=a3．①当a>0时，由f′(x)<0，得−a<x<a3；由f′(x)>0，得x<−a或x>a3，此时f(x)的单调递减区间为(−a, a3)，单调递增区间为(−∞, −a)和(a3, +∞)．②当a<0时，由f′(x)<0，得a3<x<−a；由f′(x)>0，得x<a3或x>−a．此时f(x)的单调递减区间为(a3, −a)，单调递增区间为(−∞, a3)和(−a, +∞)．综上：当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−a, a3)，单调递增区间为(−∞, −a)和(a3, +∞)；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(a3, −a)，单调递增区间为(−∞, a3)和(−a, +∞)．（3）依题意x∈(0, +∞)，不等式2xlnx≤f′(x)+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在(0, +∞)上恒成立，可得a≥lnx−32x−12x在(0, +∞)上恒成立，设ℎ(x)=lnx−3x2−12x，则ℎ′(x)=1x−32+12x2=−(x−1)(3x+1)2x2．令ℎ′(x)=0，得x=1，x=−13（舍），当0<x<1时，ℎ′(x)>0；当x>1时，ℎ′(x)<0，当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：max∴ a的取值范围是[−2, +∞)．22. 解：(1)当0<x≤10时，W=xR(x)−(10+2.7x)=8.1x−x330−10；当x>10时，W=xR(x)−(10+2.7x)=98−10003x−2.7x．∴ W={8.1x−x330−10,(0<x≤10),98−10003x−2.7x,(x>10).(2)①当0<x<10时，由W′=8.1−x210=0，得x=9，且当x∈(0, 9)时，W′>0；当x∈(9, 10)时，W′<0，∴ 当x=9时，W取最大值，且W max=8.1×9−130×93−10=38.6.②当x>10时，W=98−(10003x +2.7x)≤98−2√10003x⋅2.7x=38，当且仅当10003x=2.7x，即x=1009时，W=38，故当x=1009时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．23. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，函数的导数为f′(x)=2x−ax，①若a≤0，f′(x)>0横成立，此时函数f(x)单调递增，无极值．②若a>0，则由f′(x)=2x−ax =2x2−ax>0，解得x>√2a2，此时函数f(x)单调递增．由f′(x)=2x 2−ax<0，解得0<x<√2a2，此时函数f(x)单调递减．所以当x=√2a2时，函数f(x)取得极小值f(√2a2)=12a(1−lna+ln2)．综上，若a≤0，函数f(x)无极值．若a>0，函数f(x)取得极小值f(√2a2)=12a(1−lna+ln2)．（2）若函数f(x)在(1, 2)上是增函数，则f′(x)=2x 2−ax≥0恒成立，即a≤2x2在(1, 2)上恒成立，所以a≤2．又g′(x)=1−2√x，要使g(x)在(0, 1)上为减函数，则g′(x)=1−2√x≤0在(0, 1)上恒成立，即a≥2√x在(0, 1)上恒成立，所以a≥2．综上a=2．（3）由f(x)=g(x)+2得f(x)−g(x)−2=0，设ℎ(x)=f(x)−g(x)−2=x2−2lnx−x+2√x−2，则ℎ′(x)=2x−2x −1√x，由ℎ′(x)=2x−2x−1+√x>0且x>0，得(√x−1)(2x√x+2x+√x+2)>0，解得x>1，此时函数ℎ(x)单调递增．由ℎ′(x)<0，解的0<x<1．此时函数ℎ(x)单调递减．所以函数ℎ(x)在x=1处取得极小值同时也是最小值ℎ(0)=0，当x>0时，且x≠1时，ℎ(x)>0，所以ℎ(x)=0在(0, +∞)上只有一个解，即当x>0时，方程f(x)=g(x)+2有唯-解．。

2013年山东省青岛市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U={x|x＞0}，M={x|x2＜2x}，则∁U M=()A.{x|x≥2}B.{x|x＞2}C.{x|x≤0或x≥2}D.{x|0＜x＜2}【答案】A【解析】试题分析：把集合M化简，由实数集中不在集合M中的元素构成的集合就是M的补集．M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}．又全集U={x|x＞0}，所以∁U M={x|x≥2}．故选A．2.若a，b∈R，i是虚数单位，a+(b-2i)i=1+i，则a+b为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】试题分析：利用复数的运算和相等即可得出．∵a+(b-2i)i=1+i，∴a+bi+2=1+i，化为a+1+(b-1)i=0，∴，∴a+b=0．故选A．3.“a≥3”是“∀x∈[1，2]，x2-a≤0”为真命题的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由恒成立可得a≥4，再由集合{a|a≥4}是集合{a|a≥3}的真子集，可得结论．∵“∀x∈[1，2]，x2-a≤0”为真命题，∴a≥x2，在x∈[1，2]时恒成立，而当x∈[1，2]时，x2的最大值为4，故只需a≥4，因为集合{a|a≥4}是集合{a|a≥3}的真子集，故“a≥3”是“∀x∈[1，2]，x2-a≤0”为真命题的必要不充分条件，故选B4.执行如图所示的程序框图．若输出S=31，则框图中①处可以填入()A.n＞8B.n＞16C.n＞32D.n＞64【答案】B【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量n到S并输出S，模拟程序的执行过程，分析出进行循环的条件，可得答案．程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/01第一圈12是第二圈1+2=34是第三圈1+2+4=78是第四圈1+2+4+8=1516是第五圈1+2+4+8+16=3132否所以判断框内可填写“n＞16”，故选B．5.下列函数中，与函数定义域相同的函数为()A. B. C. D.y=x3e x【答案】C【解析】试题分析：原函数的定义域是满足分母不等于0的x的取值集合，然后逐一分析给出的四个选项中函数的定义域，比较后即可得到答案．函数定义域是{x|x≠0}．而函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，函数的定义域是{x|x＞0}，函数的定义域是{x|x≠0}，函数y=x3e x的定义域是R．所以与函数定义域相同的函数为．6.设变量x、y满足线性约束条件，则目标函数z=log7(2x+3y)的最小值为()A.7B.log723C.log78D.1【答案】D【解析】试题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．变量x，y满足约束条件画出图形：目标函数z′=2x+3y经过点A(2，1)，z′在点A处有最小值：z=2×2+3×1=7，则目标函数z=log7(2x+3y)的最小值为log77=1．故选D．7.已知函数，为了得到函数g(x)=sin2x+cos2x的图象，只需要将y=f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】D【解析】试题分析：利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数f(x)和g(x)的解析式，再根据函数y=A sin(ωx+∅)的图象变换规律，得出结论．由于函数=sin2x，函数g(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+)=sin2(x+)，故将y=f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)的图象，8.已知F1、F2分别是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，，且，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由于|PF1|=|PF2|故点P是靠近F2的那一支上的一点则可根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a再结合|PF1|=|PF2|求出|PF1|，|PF2|的值然后再根据PF1⊥PF2可|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2即可得出关于a，c的关系式从而可求出离心率e=．∵|PF1|=|PF2|∴|PF1|-|PF2|=2a∴|PF1|=2a(2+)，|PF2|=2a(1+)∵PF1⊥PF2，|F1F2|=2c∴|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2∴c2=(3+2)a2∴e==1+故答案为：1+．9.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列五个命题：①若l⊂β，且α∥β，则l∥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α；⑤若α∩β=m，l∥α，l∥β，则l∥m．则所有正确命题的序号是()A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①②④【答案】C【解析】试题分析：我们可以根据空间中点、线、面位置关系的有关定义、定理、公理、结论对这五个命题逐一进行判断，可以得到正确的结论．①由于l⊂β，且α∥β，则l∥α，显然命题①正确；②由于l⊥β，且α∥β，则l⊥α，显然命题②正确；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α或l⊂α，显然命题③错误；故排除A．④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α或l⊂α，显然命题④错误；⑤由于l∥α，则一定存在平面γ，满足l⊂γ，α∩γ=a(异于直线m)，所以l∥a，同理l∥β，则一定存在平面ρ，满足l⊂ρ，β∩ρ=b(异于直线m)，所以l∥b，所以a∥b，又由于a⊂α，a⊄β，b⊂β，所以a∥β，又α∩β=m，a⊂α，所以a∥m，故l∥m．故命题⑤正确．故答案为C．10.已知数列{a n}是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S10是数列{S n}中的唯一最小项，则数列{a n}的首项a1的取值范围是()A.[-30，-27]B.(30，33)C.(-30，-27)D.[30，33]【答案】C【解析】试题分析：利用等差数列的前n项和公式和配方即可得出=，又因为S10是数列{S n}中的唯一最小项，根据二次函数的单调性即可得出．∵=，又∵S10是数列{S n}中的唯一最小项，∴，解得-30＜a1＜-27．∴数列{a n}的首项a1的取值范围是(-30，-27)．故选C．11.某几何体的三视图如图所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是()A.a+b=8B.b=4C.a=1D.a=2【答案】D【解析】试题分析：三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．解答：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a．设CD=x，AD=y，则x2+y2=6，x2+1=b2，y2+1=a2，消去x2，y2得．a2+b2=8≥，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，此时x=，y=，几何体的体积最大．故选D．12.设函数y=f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对于给定的实数k，定义函数，设函数f(x)=，若对任意的x∈(-∞，+∞)恒有g(x)=f(x)，则()A.k的最大值为-2B.k的最小值为-2C.k的最大值为2D.k的最小值为2【答案】A【解析】试题分析：由已知条件可得，k≤f(x)在(-∞，+∞)恒成立即k≤f(x)min，结合函数f(x)的性质可求函数f(x)的最小值．因为对于任意的x∈(-∞，+∞)，恒有g(x)=f(x)，由已知条件可得，k≤f(x)在(-∞，+∞)恒成立∴k≤f(x)min∵f(x)=，∴f′(x)=2x+1-，令f′(x)=0得x=0，当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，∴f(x)在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，∴当x=0时函数f(x)的最小，最小值为-2，∴k≤-2，即k的最大值为-2故选A．二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相垂直，则a等于．【答案】【解析】试题分析：把直线方程都化为一般式，然后利用A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0列式求解a的值．由y=ax-2，得ax-y-2=0，又3x-(a+2)y+1=0，不妨设A1=a，B1=-1，A2=3，B2=-(a+2)，∵两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相垂直，∴A1A2+B1B2=0，即3a+(-1)×[-(a+2)]=0，解得：a=-．∴使两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相垂直的a的值为-．故答案为：-．14.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本的中心点为(5，4)，则回归直线方程是．【答案】【解析】试题分析：根据回归直线的斜率的估计值为1.23，样本的中心点为(5，4)，借助点斜式方程，可求得回归直线方程．回归直线的斜率的估计值为1.23，样本的中心点为(5，4)，根据回归直线方程恒过样本的中心点，可得回归直线方程为-4=1.23(x-5)，即．故答案为：．15.无限循环小数可以化为分数，如，，…，请你归纳出= ．【答案】【解析】试题分析：通过分析给出的三个无限循环小数和分数的互化，看出有几位循环节分母就是含几个9的数字，而分子是小数点后从第一个非0数字开始的数，由此可归纳得到化成的分数．由，，=，可以看出，无限循环小数在化分数时，得到的分数的分母的各个位置上的数字都是9，且循环节占几位就有几个9，而分子就是小数点后的数，首位从非零数字开始计数．由此可以判断=．故答案为．16.一同学为研究函数f(x)=+(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f(x)，请你参考这些信息，推知函数g(x)=4f(x)-9的零点的个数是．【答案】2【解析】试题分析：由题意可得当A、P、F共线时，f(x)取得最小值为＜，当P与B或C 重合时，f(x)取得最大值为+1＞．g(x)=4f(x)-9的零点的个数就是f(x)=的解的个数，而由题意可得f(x)=的解有2个，从而得出结论．由题意可得函数f(x)=+=AP+PF，当A、P、F共线时，f(x)取得最小值为＜，当P与B或C重合时，f(x)取得最大值为+1＞．g(x)=4f(x)-9=0，即f(x)=．故函数g(x)=4f(x)-9的零点的个数就是f(x)=的解的个数．而由题意可得f(x)=的解有2个，故答案为2．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知函数．(Ⅰ)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间；(Ⅱ)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f(A)=0，若向量与向量共线，求的值．【答案】解：(Ⅰ)===，由求得：，所以，f(x)在[0，π]上的单调递增区间为，．(Ⅱ)∵，则．∵0＜A＜π，∴，∴，．∵向量与向量共线，∴sin C=2sin B，由正弦定理得，c=2b．由余弦定理得，，即a2=b2+4b2-2b2，解得【解析】(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为．令，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间，从而求得函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．(Ⅱ)由，求得A的值．由向量与向量共线，可得sin C=2sin B，由正弦定理得c=2b，再由余弦定理求得的值．18.已知集合A={x|x2+2x-3＜0}，B={x|y=lg(x+2)(3-x)}．(Ⅰ)从A∪B中任取两个不同的整数，记事件E={两个不同的整数中至少有一个是集合A∩B中的元素}，求P(E)；(Ⅱ)从A中任取一个实数x，从B中任取一个实数y，记事件F={x与y之差的绝对值不超过1}，求P(F)．【答案】解：(Ⅰ)由已知可得：A={x|-3＜x＜1}，B={x|-2＜x＜3}，∴A∪B={x|-3＜x＜3}，A∩B={x|-2＜x＜1}∵A∪B中的整数为-2，-1，0，1，2，∴从中任取两个的所有可能情况为{-2，-1}，{-2，0}，{-2，1}，{-2，2}，{-1，0}，{-1，1}，{-1，2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}共10种，∵A∩B中的整数为-1，0，∴事件E包含的基本事件为{-2，-1}，{1，-1}，{2，-1}，{-2，0}，{1，0}，{2，0}，{0，-1}共7个，∴(Ⅱ)(x，y)可看成平面上的点，全部结果构成的区域为Ω={(x，y)|-3＜x＜1，-2＜y＜3}，其面积为SΩ=4×5=20，事件F构成的区域为F={(x，y)|-3＜x＜1，-2＜y＜3，|x-y|≤1}，其为图中阴影部分，它的面积为∴【解析】(Ⅰ)由题意可得：A∪B中的整数为-2，-1，0，1，2，A∩B中的整数为-1，0，可列举得到方法种数，进而可得所要求的概率；(Ⅱ)首先确定为几何概型，然后分别求两个面积可得答案．19.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：(Ⅰ)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)若面ADE⊥面ABCE，求证：面BDE⊥面ADE．【答案】解：(Ⅰ)线段AB上存在一点K，且当时，BC∥面DFK，证明如下：设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH，又∵，F为AE的中点，∴KF∥EH，∴KF∥BC，∵KF⊂面DFK，BC⊄面DFK，∴BC∥面DFK．(II)∵在折起前的图形中E为CD的中点，AB=2，BC=1，∴在折起后的图形中：，从而AE2+BE2=4=AB2∴AE⊥BE．∵面ADE⊥面ABCE，面ADE∩面ABCE=AE，∴BE⊥平面ADE，∵BE⊂平面BDE，∴面BDE⊥面ADE．【解析】(Ⅰ)线段AB上存在一点K，且当时，BC∥面DFK；设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH，利用三角形的中位线定理即可证明FK∥BC，再利用线面平行的判定定理即可证明；(II)利用勾股定理的逆定理即可证明BE⊥AE，又面ADE⊥面ABCE，利用面面垂直的性质可得BE⊥平面ADE，再利用面面垂直的判定定理即可证明结论．20.已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+…+a n-1-a n=-1(n≥2且n∈N*)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)设，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：(Ⅰ)由题a1+a2+…+a n-1-a n=-1…①∴a1+a2+…+a n-a n+1=-1…②由①-②得：a n+1-2a n=0，即当n=2时，a1-a2=-1，∵a1=1，∴a2=2，所以，数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列故(n∈N*)(Ⅱ)由(Ⅰ)(n∈N*)所以所以=【解析】(Ⅰ)由a1+a2+…+a n-1-a n=-1可得a1+a2+…+a n-a n+1=-1，两式相减可得a n与a n-1的递推公式，结合等比数列可求a n。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013山东，文1)复数z ＝22i i(-)(i 为虚数单位)，则|z |＝( )．A ．25 BC ．5 D2．(2013山东，文2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且(A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩＝( )．A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．3．(2013山东，文3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－24．(2013山东，文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )．A．8B．83C．，83D ．8,85．(2013山东，文5)函数f (x )( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1] 6．(2013山东，文6)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )．A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.87．(2013山东，文7)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b，则c ＝( )．A．．2 CD ．1 8．(2013山东，文8)给定两个命题p ，q ．若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．(2013山东，文9)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．10．(2013山东，文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 则7个剩余分数的方差为( )．A ．1169B ．367 C ．36 D．11．(2013山东，文11)抛物线C 1：y ＝212x p(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A．16 B．8 C．3 D．312．(2013山东，文12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )．A ．0B ．98C ．2D ．94第2卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(2013山东，文13)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________．14．(2013山东，文14)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360,20,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是__________．15．(2013山东，文15)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为__________．16．(2013山东，文16)定义“正对数”：ln ＋x ＝0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．(2013山东，文17)(本小题满分12分)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(2(1)从该小组身高低于(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．18．(2013山东，文18)(本小题满分12分)设函数f (x )＝2-2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．(2013山东，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点． (1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足1212112n n n b b b a a a +++=-，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .21．(2013山东，文21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a ＞0，且对任意x ＞0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小．22．(2013山东，文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.4设OP＝tOE，求实数t的值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：C解析：44i 134i43i i iz ---==--，所以|z | 5.故选C. 2． 答案：A解析：∵(A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}． 又∵B ＝{1,2}，∴A 一定含元素3，不含4. 又∵＝{3,4}，∴A ∩＝{3}．3． 答案：D解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－2.4．答案：B解析：由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：由图可知PO ＝2，OE ＝1，所以PE =，所以V ＝13×4×2＝83，S ＝1422⨯5．答案：A解析：由题可知12030x x ⎧-≥⎨+>⎩⇒213x x ⎧≤⎨>-⎩⇒0,3,x x ≤⎧⎨>-⎩ ∴定义域为(－3,0]．6． 答案：C解析：第一次：a ＝－1.2＜0，a ＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2＜0，a ＝－0.2＋1＝0.8＞0，a ＝0.8≥1不成立，输出0.8.第二次：a ＝1.2＜0不成立，a ＝1.2≥1成立，a ＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2. 7． 答案：B解析：由正弦定理sin sin a bA B=得：1sin A =又∵B ＝2A ，∴1sin sin 22sin cos A A A A ==，∴cos A A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴c 2. 8． 答案：A解析：由题意：q ⇒⌝p ，⌝pq ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A.9．答案：D解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 10． 答案：B解析：∵模糊的数为x ，则：90＋x ＋87＋94＋91＋90＋90＋91＝91×7， x ＝4，所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，方差为s 2＝222229091291912949187917(-)+(-)+(-)+(-)＝367.11． 答案：D解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p⎛⎫== ⎪⎝⎭，故M 点切线的斜率为03x p =，故M 1,36p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.由1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得p D. 12． 答案：C解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥-=-=， 当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，z xy有最小值1，将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．答案：解析：如图，当AB 所在直线与AC 垂直时弦BD 最短，AC ＝=CB ＝r ＝2，∴BA =BD ＝14．解析：由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．由图可知OM 的最小值即为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，即d min=. 15．答案：5解析：∵OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)， ∴BA ＝OA －OB ＝(－3，t －2)．又∵∠ABO ＝90°，∴BA ·OB ＝0， 即(－3，t －2)·(2,2)＝0， －6＋2t －4＝0， ∴t ＝5. 16．答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12. (2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝310. 18．解：(1)f (x )＝22ωx －sin ωx cos ωx＝1cos 21sin 2222x x ωω---＝2cos 2ωx －12sin 2ωx＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2ππ=424ω⨯.因此ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝πsin 23x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.当π≤x ≤3π2时，5π3≤π8π233x -≤.所以πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因此－1≤f (x )≤2.故f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2，－1. 19．(1)证法一：取PA 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD .因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE 平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD . 证法二：连接CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB . 又CD ＝12AB ， 所以AF ＝CD . 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD .又CF 平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又EF 平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF ， 所以CE ∥平面PAD .(2)证明：因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又AB ⊥PA ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD .又AB ∥CD ，所以MN ∥AB . 因此MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得：11114684,212211,a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由已知1212112n n n b b b a a a +++=-，n ∈N *， 当n ＝1时，1112b a =；当n ≥2时，111111222n n n n n b a -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 所以12n n n b a =，n ∈N *. 由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝212nn -，n ∈N *. 又T n ＝23135212222nn -++++，231113232122222n n n n n T +--=++++， 两式相减得2311122221222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 113121222n n n -+-=--， 所以T n ＝2332nn +-. 21．解：(1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝221ax bx x+-.①当a ＝0时，f ′(x )＝1bx x-.若b ≤0，当x ＞0时，f ′(x )＜0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)． 若b ＞0，当0＜x ＜1b时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 当x ＞1b时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以函数f (x )的单调递减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得2ax 2＋bx －1＝0.由Δ＝b 2＋8a ＞0得x 1，x 2.显然，x 1＜0，x 2＞0.当0＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞x 2时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝⎭，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当a ＝0，b ＞0时，函数f (x )的单调递减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭； 当a ＞0时，函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝⎭，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. (2)由题意，函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由(1)知4b a -+是f (x )的唯一极小值点，＝1，整理得2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝14xx-， 令g ′(x )＝0，得x ＝14.当0＜x ＜14时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞14时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．因此g (x )≤14g ⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋1ln 4＝1－ln 4＜0，故g (a )＜0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0，即ln a ＜－2b . 22解：(1)设椭圆C 的方程为2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)，由题意知222,22,a b c ca b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得a，b ＝1.因此椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.(2)当A ，B 两点关于x 轴对称时， 设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意＜m ＜0或0＜m将x ＝m 代入椭圆方程22x ＋y 2＝1，得|y |所以S △AOB ＝|m =解得m 2＝32或m 2＝12.① 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB +＝12t (2m,0)＝(mt,0)， 因为P 为椭圆C 上一点，所以22mt ()＝1.② 由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t . 当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h . 将其代入椭圆的方程22x ＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由判别式Δ＞0可得1＋2k 2＞h 2， 此时x 1＋x 2＝2412kh k -+，x 1x 2＝222212h k -+， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2212h k +，所以|AB |＝因为点O 到直线AB 的距离d， 所以S △AOB ＝1|AB |d＝12⨯||h .又S △AOB|h =.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0，解得n ＝4h 2或n ＝243h ， 即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝243h .④ 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB + ＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝222,1212kht ht k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以2222212121212kh h t k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即222112h t k =+.⑤将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43，又知t ＞0，故t ＝2或t ＝3.经检验，适合题意．综上所得t ＝2或t .。

2013年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）（第2套）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若(1+i)z=-2i，则复数z=()A.iB.-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】试题分析：由题意可得复数z=，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．∵(1+i)z=-2i，则复数z===-=-1-i，故选D．2.已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=()A.{0}B.{0，4}C.{2，4}D.{0，2，4}【答案】D【解析】试题分析：由集合B中的元素的属性用列举法写出集合B，直接取交集即可．因为集合A={0，1，2，3，4}，所以集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，所以A∩B={0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6，8}={0，2，4}．故选D．3.“”是“直线x-y+k=0与圆“x2+y2=1相切”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径可得m的值，进而由充要条件的定义可作出判断．由点到直线的距离公式可得：圆心(0，0)到直线x-y+m=0的距离d==1，解得k=，故“k=”是“直线y=x+k与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件，故选A4.若是夹角为的单位向量，且，，则=()A.1B.-4C.-D.【答案】C【解析】试题分析：利用数量积运算和向量的运算法则即可得出．由题意得．∴===-6++2=．故选C．5.已知函数，若x0是函数y=f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)()A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0【答案】A【解析】试题分析：根据指数函数与对数函数的性质可得：为减函数，所以结合题意可得：f(x1)＞f(x0)=0．根据指数函数与对数函数的性质可得：为减函数，因为x0是函数y=f(x)的零点，所以f(x0)=0．因为0＜x1＜x0，所以有：f(x1)＞f(x0)=0．故选A．6.当时，函数f(x)=A sin(x+φ)(A＞0)取得最小值，则函数是()A.奇函数且图象关于点对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线对称D.偶函数且图象关于点对称【答案】C【解析】试题分析：由f()=sin(+φ)=-1可求得φ=2kπ-(k∈Z)，从而可求得y=f(-x)的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可．∵f()=sin(+φ)=-1，∴+φ=2kπ-，∴φ=2kπ-(k∈Z)，∴y=f(-x)=A sin(-x+2kπ-)=-A sinx，令y=g(x)=-A sinx，则g(-x)=-A sin(-x)=A sinx=-g(x)，∴y=g(x)是奇函数，可排除B，D；其对称轴为x=kπ+，k∈Z，对称中心为(kπ，0)k∈Z，可排除A；令k=0，x=为一条对称轴，故选C．7.已知m、n、l是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出以下命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥n；③若n∥m，m⊂α，则n∥α；④若α∥γ，β∥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是()A.②④B.②③C.③④D.①③【答案】A【解析】试题分析：逐个判断：①由条件可得m∥n，或m，n异面；②由线面垂直的判定可得，m⊥β，再由n⊂β，可得m⊥n；③由条件可得n∥α，或n⊂α；④由平面平行的传递性可得α∥β，综合可得答案．①由m⊂α，n∥α，可得m∥n，或m，n异面，故错误；②若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则可得m⊥β，再由n⊂β，可得m⊥n，故正确；③若n∥m，m⊂α，则n∥α，也可能n⊂α，故错误；④若α∥γ，β∥γ，由平面平行的传递性可得α∥β，故正确．故正确的命题为②④故选A8.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()A.4πB.C.3πD.2π【答案】B【解析】试题分析：通过三视图判断几何体的形状，利用数据直接求解几何体的表面积即可．由题意以及三视图可知几何体的圆柱，底面圆的直径为1，高为1，所以圆柱的表面积为：=．故选B．9.若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是()A.a2＞b2B.C.lg(a-b)＞0D.【答案】D【解析】试题分析：由题意a、b是任意实数，且a＞b，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A，B，C可通过特例排除，D可参考函数y=是一个减函数，利用单调性证明出结论．由题意a、b是任意实数，且a＞b，由于0＞a＞b时，有a2＜b2成立，故A不对；由于当a=0时，无意义，故B不对；由于0＜a-b＜1是存在的，故lg(a-b)＞0不一定成立，所以C不对；由于函数y=是一个减函数，当a＞b时一定有成立，故D正确．综上，D选项是正确选项故选D10.已知函数f(x)=2x-1，对于满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，给出下列结论：(1)(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]＜0(2)x2f(x1)＜x1f(x2)(3)f(x2)-f(x1)＞x2-x1(4)＞f()其中正确结论的序号是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)【答案】C【解析】试题分析：本题要借助指数函数的图象与性质来研究，对四个命题的形式加以变化变成规范的形式，利用相关的性质判断即可．对于选项(1)由于)(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]＜0等价于＜0故可借助函数的图象的单调性得出结论对于选项(2)由于x2f(x1)＜x1f(x2)等价于，可借助函数图象上点的几何意义得出结论对于选项(3)由于f(x2)-f(x1)＞x2-x1⇔，故可借助函数的图象上点的切线斜率变化规律得出结论对于选项(4)＞f()说明函数是一个凹函数，以此由函数图象即可得出结论．解(1)∵f(x)=2x-1为R上的单调增函数，故满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，总有f(x1)＜f(x2)，即f(x2)-f(x1)＞0，∴(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]＞0，故(1)错误；(2)设y===，其几何意义为f(x)图象上的点与原点连线斜率，由函数f(x)=2x-1在(0，+∞)上的图象可知y=为增函数，∵0＜x1＜x2，∴＜，即x2f(x1)＜x1f(x2)，(2)正确；(3)∵函数f′(x)=2x ln2，由x＞0，∴2x ln2∈(ln2，+∞)，即存在x0，使f′(x0)＜1，而f(x2)-f(x1)＞x2-x1⇔⇔函数f(x)在所给的区间上导数值恒大于1，∴(3)错误；(4)＞f()反映函数f(x)为凹函数，由f(x)=2x-1的图象可知此函数在(0，+∞)上确为凹函数，(4)正确故正确结论的序号是：(2)、(4)故选C11.等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，f'(x)为函数f(x)的导函数，则f'(0)=()A.0B.26C.29D.212【答案】D【解析】试题分析：对函数进行求导发现f′(0)中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3 (8)由此求得f'(0)的值．考虑到求导中f′(0)，常数项为a1a2a3…a8，再由含有x项均取0，可得：f′(0)=a1a2a3…a8=(a1a8)4=212．故选D．12.已知x、y满足约束条件，若0≤ax+by≤2，则的取值范围为()A.[1，3]B.[]C.[]D.[]【答案】B【解析】试题分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．因为不等式0≤ax+by≤2对约束条件的所有x、y都成立，所以关于a、b的不等式组恒成立，在aob坐标系内作出相应的平面区域，设Q(a，b)为区域内部及其边界上一点，利用T、Q两点连线的斜率加以计算，即可得到的取值范围．作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A(1，0，B(0，1)，∵不等式0≤ax+by≤2对于约束条件的所有x、y都成立∴记F(x，y)=ax+by，可得即，在aob坐标系中作出不等式组表示的平面区域，得到如图的正方形形POMN及其内部，其中M(2，0)，N(2，2)，P(0，2)，O是坐标原点而k=表示点T(-1，-2)与Q(a，b)连线的斜率，点Q是四边形MKNO内部或边界一点运动点Q可得：当Q与M重合时，k达到最小值，k min==当Q与P重合量，k达到最大值，k max==4∴的取值范围为[]故选：B二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.定义某种运算S=a⊗b，运算原理如框图所示，则式子的值为．【答案】13【解析】试题分析：根据流程图，a≥b时，a⊗b=a(b+1)；a≤b时，a⊗b=b(a+1)，可得结论．根据流程图，a≥b时，a⊗b=a(b+1)；a≤b时，a⊗b=b(a+1)，可得=2×(1+1)+3×(2+1)=13故答案为：13．14.已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是()，则其离心率为．【答案】【解析】试题分析：由双曲线x2-ky2=1的一个焦点是()，可得a2=1，，利用离心率计算公式即可得出．∵双曲线x2-ky2=1的方程可化为：，∴a2=1，．∵一个焦点是()，∴．∴．故答案为．15.在等差数列{a n} 中，a2=4，a4=12，则数列{a n} 的前10项的和为．【答案】180【解析】试题分析：设公差为d，可得关于a1和d的方程组，解之代入求和公式计算可得答案．设等差数列的公差为d，则，解得a1=0，d=4，故数列{a n} 的前10项的和S10=10a1+=10×0+45×4=180．故答案为：18016.下列说法中正确的是(把所有正确说法的序号都填上)．①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；②线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点；③命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”；④命题“函数f(x)在x=x0处有极值，则f′(x)=0”的否命题是真命题．【答案】③【解析】试题分析：①先写出其逆命题，然后判断真假；②线性回归方程对应的直线是由最小二乘法计算出来的，它一定经过其样本数据点；③根据写命题否定的原则，可判断真假；④根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件若“f′(x0)=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数f(x)在x0处取得极值”．故可判断．①由于“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，而m=0时，am2=bm2，故是错误的；②：线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点(x1-y1)，(x2-y2)，…，(x n，y n)中的中心点，但一定经过其样本数据点(x1-y1)，(x2-y2)，…，(x n，y n)中的一个点，故错；对于③：存在性命题的命题写否定时，要改成全称命题，∴③是真命题④命题“函数f(x)在x=x0处有极值，则f′(x)=0”的否命题是：“函数f(x)在x=x0处没有极值，则f′(x)≠0”．是假命题．因为其等价于：“若f′(x0)=0，则函数f(x)在x=x0处有极值”，“f′(x0)=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数f(x)在x=x0处有极值”．故答案为：③．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知函数的最小正周期为T=6π，且f(2π)=2．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设α，β∈[0，]，，，求cos(α-β)的值．【答案】解：(Ⅰ)依题意得=6π，ω=．∴．再由f(2π)=2得，即A sin=2，∴A=4，∴(Ⅱ)由f(3α+π)=得，即∴cosα=，又∵α∈[0，]，∴sinα=．由得，即sin(β+π)=-，∴sinβ=，又∵β∈[0]，∴cosβ=．从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=+=．【解析】(Ⅰ)由函数的最值求出A，由周期求出ω，从而求得函数的解析式．(Ⅱ)由f(3α+π)=，利用诱导公式求得cosα的值，可得sinα的值．由求得sinβ，可得cosβ，再利用两角和差的余弦公式求得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的值．18.有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4．(Ⅰ)若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；(Ⅱ)若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线ax+by+1=0与圆x2+y2=有公共点的概率．【答案】解：(Ⅰ)用(a，b)(a，b分别表示第一、二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件，则基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12个设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，则事件A包含的基本事件有：(2，1)，(2，4)，(4，2)共有3个；∴P(A)==(Ⅱ)基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共16个设“直线ax+by+1=0与圆x2+y2=有公共点”为事件B，由题意知：，即a2+b2≥16，则事件B包含的基本事件有：(1，4)，(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共有8个；∴P(B)=【解析】(Ⅰ)用(a，b)表示先后两次取球构成的基本事件，列举可得共12个，而要求的事件包含的基本事件有有3个，由古典概型的公式可得答案；(Ⅱ)同理列出总的基本事件有共16个，由直线和圆的位置关系可得满足的条件为a2+b2≥16，所包含的基本事件共有8个，代入公式可得．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D 三点的平面交PC于M．(Ⅰ)求证：PD∥平面ANC；(Ⅱ)求证：M是PC中点；(Ⅲ)若PD⊥底面ABCD，PA=AB，BC⊥BD，证明：平面PBC⊥平面ADMN．【答案】证明：(Ⅰ)连结BD，AC，设AC∩BD=O，连结NO，∵ABCD是平行四边形∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC．(Ⅱ)∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN．∵平面PBC∩平面ADMN=MN，∴BC∥MN，又N是PB的中点∴M是PC的中点．(Ⅲ)∵PA=AB，N是PB的中点，∴PB⊥AN，∵BC⊥BD，AD∥BC，∴AD⊥BD，∴PD⊥平面ABCD，AD⊂底面ABCD，PD⊥AD，又PD∩BD=D，∴AD⊥平面PBD，∴PB⊥AD∵AD∩AN=A∴PB⊥平面ADMN，PB⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面ADMN【解析】(I)利用线面平行的判定定理，由线线平行证线面平行即可；(II)先证线面平行，再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M为PC 的中点；(III)先证AD与平面PBD的垂直性，再通过证明PB垂直于平面ADMN中的两条相交直线证线面垂直，由线面垂直证面面垂直即可．20.设函数f(x)=lnx，g(x)=ax+，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公切线．(Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)试比较f(x)与g(x)的大小．【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=lnx=0，得x=1，所以函数f(x)=lnx的图象与x轴的交点坐标是(1，0)，依题意，得g(1)=a+b=0①又′，′，∵f(x)与g(x)在点(1，0)处有公切线，∴g′(1)=f′(1)=1，即a-b=1②由①、②得a=，；(Ⅱ)令F(x)=f(x)-g(x)，则，函数F(x)的定义域为(0，+∞)．∵′≤0，∴函数F(x)在(0，+∞)上为减函数．当0＜x＜1时，F(x)＞F(1)=0，即f(x)＞g(x)；当x=1时，F(x)=F(1)=0，即f(x)=g(x)；当x＞1时，F(x)＜F(1)=0，即f(x)＜g(x)．综上可知，当0＜x≤1时，f(x)≥g(x)；当x＞1时，f(x)＜g(x)．【解析】(Ⅰ)首先求出函数f(x)的图象与x轴的交点坐标(1，0)，代入函数g(x)后得到关于a，b 的等式，再由两函数在(1，0)处由公切线，得到关于a，b的另一等式，两式联立即可求得a，b的值；(Ⅱ)令辅助函数F(x)=f(x)-g(x)，把函数f(x)和g(x)的解析式代入，整理后求出其导函数，由导函数可知F(x)在定义域(0，+∞)内是减函数，然后分0＜x＜1，x=1，x＞1进行大小比较．21.已知数列{a n} (n∈N*)是首项为a，公比为q≠0的等比数列，S n是数列{a n} 的前n项和，已知12S3，S6，S12-S6成等比数列．(Ⅰ)当公比q取何值时，使得a1，2a7，3a4成等差数列；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求T n=a1+2a4+3a7+…+na3n-2．【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，a≠0①当q=1时，则12s3=36a，s6=6a，s12-s6=6a，此时不满足条件12S3，S6，S12-S6成等比数列；②当q≠1时，则，s6=s12-s6=由题意得：12×=化简整理得：(4q3+1)(3q3-1)(1-q3)(1-q6)=0解得：或或q=-1当q=-1时，a1+3a4=-2a，2a7=2a，∴a1+3a4≠2(2a7)，不满足条件；当时，，，即∴a1+3a4=2(2a7)，所以当q=-时，满足条件当时，，∴a1+3a4≠2(2a7)，从而当时，不满足条件综上，当q=时，使得a1，2a7，3a4成等差数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：na3n-2=所以…①则=…②①-②得：=所以T n=．【解析】(Ⅰ)由已知12S3，S6，S12-S6成等比数列，结合等比数列的性质及求和公式可求q，然后代入检验即可(Ⅱ)由(Ⅰ)可求：na3n-2=，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可22.在平面直角坐标系x O y中，已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点C满足：△ABC的周长为2+2，记动点C的轨迹为曲线W．(Ⅰ)求W的方程；(Ⅱ)曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设E曲线W上的一动点，M(0，m)，(m＞0)，求E和M两点之间的最大距离．【答案】解：(Ⅰ)设C(x，y)，∵△ABC的周长为，∴，又|AB|=2，∴，根据椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆(除去与x轴的两个交点)．从而，b2=a2-c2=1∴W的方程为(y≠0)；(Ⅱ)存在两个点和满足题意．事实上，假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y2=4x与曲线(y≠0)的交点，由消去y得：x2+8x-2=0．解得或(舍去)．把代人抛物线的方程得．所以存在两个点和满足题意．(Ⅲ)设E(x，y)，则由(y≠0)得x2=2-2y2(-1≤y≤1，且y≠0)=．若-m＜-1，即m＞1时，当y=-1时，；若-1≤-m＜0，即0＜m≤1时，当y=-m时，．【解析】(Ⅰ)由：△ABC的周长为2+2，得到两边BC与AC的长度和，又点A(-1，0)，B(1，0)，符合椭圆定义，所以W的方程可求；(Ⅱ)若线W上存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离，说明点P又在抛物线在y2=4x上，联立椭圆和抛物线方程即可得到点P的坐标；(Ⅲ)把动点E的坐标仅用y表示，然后直接写出E和M两点之间的距离，距离中只含有参数m，对m进行分类讨论求解距离的最大值．。