高考文科数学中档题训练14(学生版)

高考数学（文科）中档大题规范练（三角函数）（含答案）中档大题规范练大中型问题的标准实践——三角函数?sinx－cosx?sin2x1.已知函数f（x）=sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈z)，故f(x)的定义域为{x∈r|x≠kπ，k∈z}．?sinx－cosx?sin2x因为f（x）=sinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)π2x？－1，＝2英寸？4.2π所以F（x）的最小正周期T=π2(2)函数y＝sinx的单调递增区间为? 2kπ－π，2kπ＋π？（k）∈z）。

22??πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈z)，242π3π得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈z)．88所以F（x）的单调递增区间是?kπ－π，kπ?和?kπ，kπ＋3π?(k∈z)．88????2.已知的三个内角a、B和C△ ABC形成一个等差序列，边缘相对角度B=3，函数f （x）=23sin2x+2sinxcosx-3在x=A时获得最大值。

（1）找到f（x）的值范围和周期；(2)求△abc的面积．解（1）因为a，B和C形成一个等差序列，2b=a+C，a+B+C=π，π2π所以b＝，即a＋c＝.33因为f（x）=23sin2x+2sinxcosx－3=3（2sin2x－1）+sin2x=sin2x－3cos2xπ2x？，=2分钟？3.2π所以t＝＝π.二π2x-？∈ [1,1]，因为罪？3.因此，F（x）的值范围为[-2,2]。

（2）因为f（x）在x=a，π时获得最大值2a－?＝1.所以sin?3??2ππ因为0333ππ故当2a－＝时，f(x)取到最大值，325π所以a＝π，所以c＝.1243c由正弦定理，知＝?c＝2.ππsinsin342＋6ππ??又因为sina＝sin?4＋6?＝，43＋31所以s△abc＝bcsina＝.243．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋a.(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；π(2)当x∈[0，]时，函数f(x)有最大值4，求实数a的值．4溶液f（x）=3sin2x+2cos2x+A＝cos2x＋3sin2x＋1＋aπ＝2sin（2x＋）＋a＋1。

2014 年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分） i 是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣ 1+i C．+ i D．﹣+ i 2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（）A．2B．3C．4D．53．（5 分）已知命题 p：? x＞0，总有（ x+1）e x＞ 1，则￢ p 为（）A．? x0≤ 0，使得（ x0+1）e≤1B．? x0＞0，使得（ x0+1）e≤ 1C．? x＞0，总有（ x+1）e x≤ 1D．? x≤ 0，总有（ x+1） e x≤1﹣ 24．（5 分）设 a=log2π， b=log π，c=π，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 5．（ 5 分）设 { a n} 的首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1=（）A．2B．﹣ 2C．D．﹣6．（5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=17．（5 分）如图，△ ABC是圆的内接三角形，∠ BAC的平分线交圆于点D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠ CBF；② FB2=FD?FA；③ AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④8．（5 分）已知函数 f（x）=sin ωx+cos ωx（ω＞ 0），x∈R，在曲线 y=f（x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．（5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（ 5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为m3．11．（ 5 分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S 的值为．12．（ 5 分）函数 f （x） =lgx2的单调递减区间是．13．（ 5 分）已知菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上， BC=3BE，DC=λDF，若 ? =1，则λ的值为．14．（ 5 分）已知函数 f（x）=，若函数y=f（x）﹣a| x|恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（ 13 分）某校夏令营有3 名男同学， A、 B、 C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有1 名男同学和 1 名女同学”，求事件 M 发生的概率．16．（13 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a﹣c= b，sinB= sinC，（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 cos（2A﹣）的值．417．（ 13 分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明 EF∥平面 PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣ AD﹣ B 为 60°，（i）证明平面 PBC⊥平面 ABCD；（ii）求直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值．18．（ 13 分）设椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 | AB| =| F1 F2| ．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过点 F2的直线 l 与该圆相切于点 M ， | MF2| =2，求椭圆的方程．19．（ 14 分）已知函数 f （x）=x2﹣ax3（a＞0）， x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，求 a 的取值范围．20．（ 14 分）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合M={ 0，1，2，，n﹣1q﹣1} ，集合 A={ x| x=x1+x2q+ +x n q，x i∈M，i=1，2， n}．（Ⅱ）设 s，t ∈A，s=a1+a2q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i∈M，i=1，2，，n．证明：若 a n＜b n，则 s＜t ．2014 年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分） i 是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣ 1+i C．+ i D．﹣+ i【考点】 A5：复数的运算．【专题】 5N：数系的扩充和复数．【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选： A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】 7C：简单线性规划．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y=﹣，平移直线 y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣ 的截距最小，此时 z 最小．此时 z 的最小值为 z=1+2×1=3，故选： B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用， 利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．．（ 分）已知命题p ：? x ＞0，总有（ x+1）e x＞ 1，则￢ p 为（ ）3 5A ．? x 0≤ 0，使得（ x 0+1）e ≤1B ．? x 0＞0，使得（ x 0+1）e ≤ 1C ．? x ＞0，总有（ x+1）e x ≤ 1D ．? x ≤ 0，总有（ x+1） e x ≤1【考点】 2H ：全称量词和全称命题； 2J ：命题的否定．【专题】 5L ：简易逻辑．【分析】 据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为 ? x 0＞0，使得（ x 0+1）e ≤1，故选： B ．【点评】 本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．2﹣ 2）π， b=log π，c=π ，则（4．（5 分）设 a=logA ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a8【考点】 4M：对数值大小的比较．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c 的取值范围，即可得到结论．【解答】解： log2π＞，﹣ 2π＜，＜π＜ 1，1 log0 0即 a＞1，b＜0，0＜c＜ 1，∴ a＞ c＞b，故选： C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（ 5 分）设 { a n} 的首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1=（）A．2B．﹣ 2C．D．﹣【考点】 83：等差数列的性质； 87：等比数列的性质．【专题】 54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的前n 项和求出 S1，S2， S4，然后再由 S1，S2，S4成等比数列列式求解 a1．【解答】解：∵ { a n} 是首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，∴S1=a1， S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由 S1，S2， S4成等比数列，得：，即，解得：．故选： D．【点评】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．96．（5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【考点】 KB：双曲线的标准方程．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10，可得=2，结合 c2=a2+b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l 上，令 y=0，可得 x=﹣ 5，即焦点坐标为（﹣ 5，0），∴ c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选： A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5 分）如图，△ ABC是圆的内接三角形，∠ BAC的平分线交圆于点D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠ CBF；② FB2=FD?FA；③ AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【考点】 2K：命题的真假判断与应用；NC：与圆有关的比例线段．【专题】 5B：直线与圆．【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠ DBC对应劣弧 CD，圆周角∠ DAC对应劣弧 CD，∴∠ DBC=∠DAC．∵弦切角∠ FBD对应劣弧 BD，圆周角∠ BAD对应劣弧 BD，∴∠ FBD=∠BAF．∵ AD 是∠ BAC的平分线，∴∠ BAF=∠DAC．∴∠ DBC=∠FBD．即 BD 平分∠ CBF．即结论①正确．又由∠ FBD=∠FAB，∠ BFD=∠AFB，得△ FBD～△ FAB．由，FB2=FD?FA．即结论②成立．由，得 AF?BD=AB?BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选： D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5 分）已知函数 f（x）=sin ωx+cos ωx（ω＞ 0），x∈R，在曲线 y=f（x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【考点】 H1：三角函数的周期性； H2：正弦函数的图象．【专题】 57：三角函数的图像与性质．【分析】根据 f（x）=2sin（ωx+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于 f（ x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期 T 的值．【解答】解：∵已知函数f（ x） = sin ωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线 y=f（ x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于 f（x）的周期的倍，设函数 f（x）的最小正周期为T，则=，∴ T=π，故选： C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．（5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【考点】 B3：分层抽样方法．【专题】 5I：概率与统计．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300× =60，故答案为： 60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10（．5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【考点】 L!：由三视图求面积、体积．【专题】 5Q：立体几何．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为 2，底面直径为 4，∴几何体的体积V=π×12× 4+×π×22× 2=4π+π= π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（ 5 分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S 的值为﹣4．【考点】 EF：程序框图．【专题】 5K：算法和程序框图．【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣ 8， n=2；第二次循环得到： S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣ 4．故答案为：﹣ 4．14能力．．（分）函数2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．12 5 f （x） =lgx【考点】 3G：复合函数的单调性．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】先将 f（x）化简，注意到x≠0，即 f（x） =2lg| x| ，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一： y=lgx2=2lg| x| ，∴当 x＞0 时， f（x）=2lgx 在（ 0，+∞）上是增函数；当 x＜0 时， f （x）=2lg（﹣ x）在（﹣∞， 0）上是减函数．∴函数 f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．故答案为：（﹣∞， 0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞， 0）上是减函数，在（ 0，+∞）为增函数；又 y=lgt 在其定义域上为增函数，∴ f（x）=lgx2在（﹣∞， 0）上是减函数，在（ 0，+∞）为增函数，∴函数 f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．故答案为：（﹣∞， 0）．【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg| x| 中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出 y=2lg| x| 的图象，得到函数的递减区间．13．（ 5 分）已知菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，点 E，F 分别在边 BC，DC上， BC=3BE，DC=λDF，若 ? =1，则λ的值为 2 ．【考点】 9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：∵ BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，= + = += +，= + = += +，∵菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，∴ | | =| | =2，?=2× 2× cos120°=﹣2，∵? =1，∴（ +）?（ +） =++（1+） ?=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为： 2．【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（ 5 分）已知函数 f（x）=，若函数y=f（x）﹣a| x|恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为（1，2）．【考点】 53：函数的零点与方程根的关系．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】由 y=f（x）﹣ a| x| =0 得 f （x） =a| x| ，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由 y=f（ x）﹣ a| x| =0 得 f（x）=a| x| ，16当 a≤0，不满足条件，∴ a＞ 0，当 a≥2 时，此时 y=a| x| 与 f（ x）有三个交点，当 a=1 时，当 x＜0 时， f （x）=﹣x2﹣5x﹣4，由 f（ x）=﹣x2﹣ 5x﹣4=﹣x得 x2+4x+4=0，则判别式△ =16﹣4×4=0，即此时直线 y=﹣ x 与 f（x）相切，此时 y=a|x| 与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣ a| x| 恰有 4 个零点，则 1＜a＜2，故答案为：（ 1， 2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（ 13 分）某校夏令营有3 名男同学， A、 B、 C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”，求事件 M 发生的概率．【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】 5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15 个．（Ⅱ）用列举法求出事件M 包含的结果有 6 个，而所有的结果共15 个，由此求得事件 M 发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X， Z ）、（Y，Z），共计 15 个结果．（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”，则事件M 包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计 6 个结果，故事件 M 发生的概率为=．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a﹣c= b，sinB= sinC，（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 cos（2A﹣）的值．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【专题】 56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的 a，b 代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由 cosA 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出 sin2A 与 cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）将 sinB= sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入 a﹣c=b，得： a﹣c=c，即 a=2c，∴ cosA=== ；（Ⅱ）∵ cosA=，A 为三角形内角，∴ sinA==，2﹣﹣，，∴ cos2A=2cosA1=sin2A=2sinAcosA=则 cos（2A﹣） =cos2Acos+sin2Asin =﹣× +× =．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（ 13 分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明 EF∥平面 PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣ AD﹣ B 为 60°，（ i）证明平面 PBC⊥平面 ABCD；（ ii）求直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5G：空间角； 5H：空间向量及应用； 5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面 PAB，可以先证明平面EFH∥平面 PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面 ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面 ABCD即可；（ii）由（ i）知， BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系 B﹣DAP，得到直线 EF的方向向量与平面 PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面 ABCD是平行四边形，∴ H 为 BD 中点，∵E 是棱 AD 的中点．∴在△ ABD中， EH∥ AB，又∵ AB? 平面 PAB，EH?平面 PAD，∴ EH∥平面 PAB．同理可证， FH∥平面 PAB．又∵ EH∩ FH=H，∴平面 EFH∥平面 PAB，∵EF? 平面 EFH，∴ EF∥平面 PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结 PE，BE．∵BA=BD= ，AD=2，PA=PD= ，∴ BE=1，PE=2．又∵ E 为 AD 的中点，∴ BE⊥ AD，PE⊥AD，∴∠ PEB即为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角，即∠ PEB=60°，∴ PB= ．∵△ PBD中， BD2+PB2 =PD2，∴ PB⊥BD，同理 PB⊥BA，∴ PB⊥平面 ABD，∵PB? 平面 PBC，∴平面 PAB⊥平面 ABCD；（ii）由（ i）知， PB⊥BD，PB⊥ BA，∵ BA=BD= ，AD=2，∴ BD⊥BA，∴ BD，BA，BP 两两垂直，以 B 为坐标原点，分别以 BD，BA，BP 为 X，Y，Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B﹣DAP，则有 A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面 PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故 =（1，1，0），∵ E， F 分别是棱 AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴ sin θ====﹣，即直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（ 13 分）设椭圆1、F2，右顶点+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为 F为 A，上顶点为 B，已知 | AB| = | F1 2| ．F（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点 F1，经过点 F2的直线 l 与该圆相切于点 M ， | MF2| =2，求椭圆的方程．【考点】 K3：椭圆的标准方程； K4：椭圆的性质； KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）分别用a，b，c 表示出 | AB| 和 | F1F2| ，根据已知建立等式求得a 和 c 的关系，进而求得离心率e．（Ⅱ）根据（ 1）中 a 和 c 的关系，用 c 表示出椭圆的方程，设出P 点的坐标，根据 PB 为直径，推断出BF1⊥ PF1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sin θ和 cos θ，表示出 P 点坐标，利用 P，B 求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出 | OB| ，| OF2| ，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知=?2c，∵b2=a2﹣ c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e= = ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣ c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣ c，0）设 P 点坐标（ csin θ，ccosθ），以线段 PB 为直径的圆的圆心为 O，∵ PB为直径，∴ BF1⊥ PF1，∴ k BF1?k PF1=?=﹣ 1，求得 sin θ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知， P 在 x 轴下方和上方结果相同，只看在x 轴上方时，cos θ== ，∴P 坐标为（﹣ c， c），∴圆心 O的坐标为（﹣ c， c），∴ r=| OB| == c， | OF2| ==c，∵r2+| MF2| 2=| OF2| 2，∴+8= c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得 a 和 c 的关系；第（ 2）问较难，利用参数法设出P 点坐标是关键．19．（ 14 分）已知函数 f （x）=x2﹣ax3（a＞0）， x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，求 a 的取值范围．【考点】 6C：函数在某点取得极值的条件；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由 f（ 0） =f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（ 0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，（fx）＜0．设集合 A={ f（x）| x∈（2，+∞）} ，集合 B={| x∈（1，+∞），f（x）≠0} ，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，等价于 A? B，分类讨论，即可求 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ） f ′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令 f （′x）=0，解得 x=0 或 x=．当 x 变化时， f ′（x）， f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞， 0）0（0，）（，+∞）f （′x）﹣0+0﹣f（x）递减0递增递减所以，（fx）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当 x=0 时，有极小值 f（0）=0，当 x=时，有极大值 f（）=；24（Ⅱ）由 f（ 0） =f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（ 0，）时，f（x）＞0；当x ∈（， +∞）时， f（x）＜ 0．设集合 A={ f（x）| x∈（ 2，+∞） } ，集合 B={| x∈（ 1，+∞），f（ x）≠ 0} ，则对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（ 1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，等价于 A? B，显然 A≠?下面分三种情况讨论：①当＞2，即 0＜ a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0?B，∴ A不是B的子集；②当 1≤≤ 2，即时，f（2）≤ 0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故 A=（﹣∞， f（2）），∴ A? （﹣∞， 0）；由 f（ 1）≥ 0，有 f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞， 0），即（﹣∞， 0）? B，∴ A? B；③当＜1，即 a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴ A不是B的子集．综上， a 的取值范围是 [] ．【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（ 14 分）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合M={ 0，1，2，，n﹣1q﹣1} ，集合 A={ x| x=x1+x2q+ +x n q，x i∈M，i=1，2， n}．（Ⅱ）设 s，t ∈A，s=a1+a2q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i∈M，i=1，2，，n．证明：若 a n＜b n，则 s＜t ．【考点】 8E：数列的求和； 8K：数列与不等式的综合．【专题】 54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）当 q=2， n=3 时， M={ 0，1} ， A={ x| x=x1+x2?2+x3?22，x i∈M ，i=1，252，3} ．即可得到集合A．（Ⅱ）由于 a i，b i∈ M，i=1，2，，n．a n＜b n，可得 a n﹣b n≤﹣ 1．由题意可得 s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣ b2）q+ +（a n﹣1﹣ b n﹣1）q n﹣2+（ a n﹣b n）q n﹣1≤（ q﹣ 1） +（ q﹣ 1） q+ +（ q﹣ 1） q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当 q=2，n=3 时，M={ 0， 1} ，A={ x| x=x1+x2?2+x3?22， x i∈ M，i=1，2，3} ．可得 A={ 0，1，2，3，4，5，6，7} ．（Ⅱ）证明：由设s，t∈ A， s=a1+a2 q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i ∈M， i=1， 2，，n．a n＜b n，∴ s﹣t=（a1﹣ b1）+（a2﹣b2） q+ +（a n﹣1﹣ b n）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1﹣1≤（ q﹣1）+（q﹣1）q+ +（q﹣1）q n﹣2﹣ q n﹣1=（q﹣1）（1+q+ +q n﹣2）﹣ q n﹣1=﹣q n﹣ 1=﹣1＜0．∴s＜t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．26。

2014年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（5分）设集合S={x|x≥2}，T={x|x≤5}，则S∩T=（）A．（﹣∞，5]B．[2，+∞）C．（2，5） D．[2，5]2．（5分）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm34．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位1C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α7．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞98．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定210．（5分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）已知i 是虚数单位，计算=．12．（4分）若实数x，y满足，则x+y的取值范围是．13．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．314．（4分）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．16．（4分）已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是．17．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．三、解答题（本大题共5小题，满分72分。

目录第一套：高考数学中档题精选（1）第二套：高考数学中档题精选（2）第三套：高考数学中档题精选（3）第四套：高考数学中档题训练第五套：不等式专练第六套：高考最新模拟试题一套高考数学中档题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q}是等差数列？若存在，试求出p 、q 应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3. （2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q＝An+B, 即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE.（Ⅰ）求此正三棱锥的体积；（Ⅱ）求二面角E-FD-B的正弦值.解：（Ⅰ）作AO⊥平面BCD于O,由正三棱锥的性质可知O为底面中心，连CO,则CO⊥BD,由三垂线定理知AC⊥BD，又AC⊥ED,∴AC⊥平面ABD,∴AC⊥AD, AB⊥AC,AB⊥AD.在Rt△ACD中，由AC2+AD2=2AC2=a2可得：AC=AD=AB=22a .∴V=VB-ACD =13·12·AC·AD·AB=224a3 .（Ⅱ）过E作EG⊥平面BCD于G，过G作GH⊥FD于H，连EH，由三垂线定理知EH⊥FD,即∠EHG为二面角E-FD-B的平面角.∵EG＝12AO 而AO＝VB-ACD13·S△BCD=66a ,∴EG=612a .又∵ED＝AE2+AD2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF∥AC，∴EF⊥DE.∴在Rt△FED中，EH＝EF·EDDF=1512a ∴在Rt△EGH中，sin∠EHG＝EGEH=105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x、y∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当x∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12 ).解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0.又令x∈（－1,1），则-x∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x2)=f(0)=0∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数.（Ⅱ）令－1<x1<x2<1,则x1-x2<0,1-x1x2>0,于是f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x21-x1x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在定义域ABCDEF OGH上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f x x x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即解得r= 2 ,z=1+2i. 解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π 解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i. 解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθ .21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。

2014年高考文科数学真题（三角函数）一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=_________．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=_________．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=_________；sinA=_________．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．2014年高考文科数学真题（三角函数）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．c os2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣c osθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos （α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。

中档大题保分练(1) (推荐时间：50分钟)1．已知函数f(x)＝32sin 2x－12(cos2x－sin2x)－1，x∈R，将函数f(x)向左平移π6个单位后得到函数g(x)，设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若c＝7，f(C)＝0，sin B＝3sin A，求a和b的值；(2)若g(B)＝0且m＝(cos A，cos B)，n＝(1，sin A－cos A tan B)，求m·n的取值范围．2．某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)求x(2)如果杉树的树干周长超过60 cm就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm到40 cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．3．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．4．已知n∈N*，数列{d n}满足d n＝3＋(－1)n2，数列{a n}满足a n＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列{b n}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b m n＝b n m.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第a n项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2 013项和．1.解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a .由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3.∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3. (2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π，∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6.∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B ) ＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6，∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2. 解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株， ∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10. 估计槐树树干周长的众数为45 cm. (2)1460×600＝140， 估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种， ∴P (A )＝316.3.(1)证明 ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， SE ⊥AD ， ∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3， ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 结合SE ∩CE ＝E ，得BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC . (2)解 如图，作EF ⊥BC 于F ，连接SF . 由BC ⊥SE ，SE 和EF 相交， 得BC ⊥平面SEF . 由BC 在平面SBC 内， 得平面SEF ⊥平面SBC . 过E 作EG ⊥SF 于点G ， 则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高． 由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3， 所以SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝SE ·EF SF ＝32，所以三棱锥E －SBC 的高为32. 4.解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d2n .＝3×2n2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n. 若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ， ∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67.方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n .由b m n ＝b nm 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ， ∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019 ＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018) ＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.中档大题保分练(2)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．2． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．3． 如图1，在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，现将△ACD 沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图2)(1)求证：AB ∥平面DEF ； (2)求证：BD ⊥AC ；(3)设三棱锥A －BCD 的体积为V 1，多面体ABFED 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值．4． 已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2b n －2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n .1.解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2.解 (1)共包含12个基本事件．Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y ， 则A ＝{(0,0)，(2,1)}，含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角， 可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则P (B )＝S B S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13.3.(1)证明 在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)证明 ∵平面ACD ⊥平面BCD ， 平面ACD ∩平面BCD ＝CD ， AD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD ，∴AD ⊥平面BCD .又BD ⊂平面BCD ， ∴AD ⊥BD .又∵CD ⊥BD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥平面ACD .又AC ⊂平面ACD ，∴BD ⊥AC . (3)解 由(2)可知AD ⊥平面BCD ， ∴AD 是三棱锥A －BCD 的高， ∴V 1＝13·AD ·S △BCD ，又∵E ，F 分别是AC ，BC 边的中点，∴三棱锥E －CDF 的高是三棱锥A －BCD 高的一半， 三棱锥E －CDF 的底面积是三棱锥A －BCD 底面积的一半， ∴三棱锥E －CDF 的体积V E －CDF ＝14V 1，∴V 2＝V 1－V E －CDF ＝V 1－14V 1＝34V 1，∴V 1∶V 2＝4∶3.4.解 (1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55 ①2a 1＋7d ＝16 ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220， 即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1， 当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2， 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2)＝2b n －2b n －1， ∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．即b n ＝2n . (2)c n ＝a n b n ＝2n －12n ， T n ＝12＋322＋…＋2n －12n12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1 ∴③－④得，12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1 ∴T n ＝3－2n＋32n .中档大题保分练(3)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8的取值范围．2． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .3． 某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y ≥96，z ≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．4． 如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E ，F分别为AD ，BP 的中点，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27. (1)求证：EF ∥平面PDC ；(2)若∠CDP ＝90°，求证：BE ⊥DP ； (3)若∠CDP ＝120°，求该多面体的体积．1.解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝⎛⎭⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，于是sin(A ＋B )＝sin C ， 由正弦定理知：3sin C ＝2sin A sin C ， ∵sin C ≠0，∴sin A ＝32. 又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2x ＋sin x cos x －2 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－32， ∴f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫B ＋π8－π4－32 ＝22sin 2B －32. 由π6<B <π2得π3<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32， 即f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8∈⎝⎛⎦⎤－32，22－32. 2. 解 (1)∵a n ＝3n －1(n ∈N *)，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5. 又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列， 设等差数列{b n }的公差为d ，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n >0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2，∴b 1＝3， ∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知，T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1， ① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)·3n ，②①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n 1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n ， ∴T n ＝n ·3n .3.解 (1)由x900＝0.16，解得x ＝144.(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12，所以应在第三批次中抽取12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y ，z )．由(2)知y ＋z ＝200(y ，z ∈N *，y ≥96，z ≥96)，则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个；而事件A 包含的基本事件有(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)共4个． 所以，所求概率为P (A )＝49.4.(1)证明 取PC 的中点为O ，连接FO ，DO . 因为F ，O 分别为BP ，PC 的中点， 所以FO ∥BC ，且FO ＝12BC .又四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点， 所以ED ∥BC ，且ED ＝12BC ，所以FO ∥ED ，且FO ＝ED ，所以四边形EFOD 是平行四边形，所以EF ∥DO . 又EF ⊄平面PDC ，DO ⊂平面PDC ， 所以EF ∥平面PDC .(2)解 若∠CDP ＝90°，则PD ⊥DC ， 又AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ， 又∵DC ∩AD ＝D ，所以DP ⊥平面ABCD 因为BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥DP .(3)解 连接AC ，由ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等， 所以三棱锥P －ADC 与三棱锥P －ABC 体积相等， 即五面体的体积为三棱锥P －ADC 体积的2倍． 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ， 由AD ＝3，AP ＝5，可得DP ＝4.又∠CDP ＝120°，PC ＝27，由余弦定理得DC ＝2， 所以三棱锥P －ADC 的体积V P －ADC ＝V A －CDP ＝13×12×2×4×sin 120°×3＝23，所以该五面体的体积为4 3.。

2014年⾼考江西⽂科数学试题及答案（word解析版）2014年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江西卷）数学（⽂科）第Ⅰ卷（选择题共40分）⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求．（1）【2014年江西，⽂1，5分】若复数z 满⾜(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则||z =（）（A ）1 （B ）2 （C （D 【答案】C【解析】解法⼀：∵若复数z 满⾜(1i)2i z +=，∴()()()21i 2i 1i 1i 1i 1i i z -===+++-，∴z ==，故选C ．解法⼆：设i z a b =+，则()()i 1i 2i a b ++=，()()i 2i a b a b -++=，0a b -=，2a b +=，解得1a =，1b =，1i z =+，1i z =+C ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．（2）【2014年江西，⽂2，5分】设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B = （）（A ）(3,0)- （B ）(3,1)-- （C ）(]3,1-- （D ）(3,3)- 【答案】C【解析】{|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤，所以{}()31R A C B x x =-<<- ，故选C ．【点评】本题主要考查集合的表⽰⽅法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．（3）【2014年江西，⽂3，5分】掷两颗均匀的骰⼦，则点数之和为5的概率等于（）（A ）118 （B ）19（C ）16 （D ）112【答案】B【解析】点数之和为5的基本事件有：()1,4，()4,1，()2,3，()3,2，所以概率为41369=，故选B ．【点评】本题是⼀个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰⼦，所得两颗骰⼦的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式nN是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰⼦，所得两颗骰⼦的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．（4）【2014年江西，⽂4，5分】已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -??≥=∈?，若[(1)]1f f -=，则a =（）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】A【解析】(1)2f -=，(2)4f a =，所以[(1)]41f f a -==，解得14a =，故选A ．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代⼊到那⼀个解析式中，属于基础题．（5）【2014年江西，⽂5，5分】在ABC ?中，内⾓,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA -的值为（）（A ）19- （B ）13（C ）1 （D ）72【答案】D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --==-=-= ? ?????，故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应⽤，⽐较基础．（6）【2014年江西，⽂6，5分】下列叙述中正确的是（）（A ）若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤（B ）若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >（C ）命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” （D ）l 是⼀条直线，,αβ是两个不同的平⾯，若,l lαβ⊥⊥，则//αβ【答案】D 【解析】（1）对于选项A ：若,,a b c R ∈，当2"0"ax bx c ++≥对于任意的x 恒成⽴时，则有：①当0a =时，0b =，0c ≥，此时240b ac -≤成⽴；②当0a >时，240b ac -≤．∴2"0"ax bx c ++≥是2"40"b ac -≤充分不必要条件，2"40"b ac -≤是2"0"ax bx c ++≥必要不充分条件．故A 不正确．（2）对于选项B ：当22""ab cb >时，20b ≠，且a c >，∴22""ab cb >是""a c >的充分条件．反之，当a c >时，若0b =，则22ab cb =，不等式22ab cb >不成⽴．∴""a c >是22""ab cb >的必要不充分条件．故B 不正确．（3）对于选项C ：结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定应该是“存在x R ∈，有20x <”．故选项C 不正确．（4）对于选项D ：命题“l 是⼀条直线，,αβ是两个不同的平⾯，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ．”是两个平⾯平⾏的⼀个判定定理，故选D ．【点评】本题考查独⽴性检验的应⽤，考查学⽣的计算能⼒，属于中档题．（7）【2014年江西，⽂7，5分】某⼈研究中学⽣的性别与成绩、视⼒、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学⽣，得到统计数据如表1⾄表4，则与性别有关联的可能性最⼤的变量是（）（A ）成绩（B ）视⼒（C ）智商（D ）阅读量【答案】D【解析】表1：()225262210140.00916362032X ??-?=≈；表2：()22524201216 1.76916362032X ??-?=≈；表3：()2252824812 1.316362032X ??-?=≈；表4：()22521430616223.4816362032X ??-?=≈，∴阅读量与性别有关联的可能性最⼤，故选D ．【点评】本题考查独⽴性检验的应⽤，考查学⽣的计算能⼒，属于中档题．（8）【2014年江西，⽂8，5分】阅读如下程序框图，运⾏相应的程序，则程序运⾏后输出的结果为（）（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11 【答案】B【解析】由程序框图知：135i 0lg lg lg lg 357i 2S =++++++ 的值，∵1371lg lg lg lg 13599S =+++=>- ，⽽1391lg lg lg lg 1351111S =+++=<- ，∴跳出循环的i 值为9，∴输出i 9=，故选B ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（9）【2014年江西，⽂9，5分】过双曲线22221x y C a b-=：的右顶点作x 轴的垂线与C 的⼀条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆⼼、半径为4的圆经过A 、O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的⽅程为（）（A ）221412x y -= （B ）22179x y -= （C ）22188x y -= （D ）221124x y -=【答案】A 【解析】以C 的右焦点为圆⼼、半径为4的圆经过坐标原点O ，则4c =．且4CA =．设右顶点为(),0B a ，(),C a b ，ABC ? 为Rt ?222BA BC AC ∴+=，()22416a b ∴-+=，⼜22216a b c +== ．得1680a -=，2a =，24a =，212b =，所以双曲线⽅程221412x y-=，故选A ．【点评】本题考查双曲线的⽅程与性质，考查学⽣的计算能⼒，属于基础题．（10）【2014年江西，⽂10，5分】在同⼀直⾓坐标系中，函数22ay ax x =-+与()2322y a x ax x a a =-++∈R 的图像不可能的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】B【解析】当0a =时，函数22ay ax x =-+的图象是第⼆，四象限的⾓平分线，⽽函数2322y a x ax x a =-++的图象是第⼀，三象限的⾓平分线，故D 符合要求；当0a ≠时，函数22ay ax x =-+图象的对称轴⽅程为直线12x a =，由2322y a x ax x a =-++可得：22341y a x ax '=-+，令0y '=，则113x a =，21x a =，即113x a =和21x a =为函数2322y a x ax x a =-++的两个极值点，对称轴12x a =介于113x a =和21x a=两个极值点之间，故A 、C 符合要求，B 不符合，故选B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握⼆次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．⼆、填空题：本⼤题共5⼩题，每⼩题5分，共25分．（11）【2014年江西，⽂11，5分】若曲线ln y x x =上点P 处的切线平⾏于直线210x y -+=，则点P 的坐标是．【答案】(),e e【解析】11ln ln 1y x x x x=?+?=+，切线斜率2k =，则0ln 12x +=，0ln 1x =，0x e ∴= ()0f x e∴=，所以(),P e e ．【点评】本题主要考查导数的⼏何意义，以及直线平⾏的性质，要求熟练掌握导数的⼏何意义．（12）【2014年江西，⽂12，5分】已知单位向量12,e e 的夹⾓为α，且1cos 3α=，若向量1232a e e =- ，则||a =．【答案】3【解析】()()()222221212123232129412cos 9a a e e e e e e α==-=+-?=+-=，解得3a =．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的⽅法，属于基础题．（13）【2014年江西，⽂13，5分】在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S取最⼤值，则d 的取值范围．【答案】71,8?--【解析】因为170a =>，当且仅当8n =时n S 取最⼤值，可知0d <且同时满⾜890,0a a ><，所以，89770780a d a d =+>??=+18d -<<-．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式⽅程组，属于中档题．（14）【2014年江西，⽂14，5分】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离⼼率等于．【解析】因为AB 为椭圆的通径，所以22b AB a=，则由椭圆的定义可知：212b AF a a =-，⼜因为1AD F B ⊥，则1AF AB =，即2222b b a a a =-，得2223b a =，⼜离⼼率ce a =，结合222a b c =+，得到：e =．【点评】本题主要考查椭圆离⼼率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利⽤直线垂直于斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较⼤．为了⽅便，可以先确定⼀个参数的值．（15）【2014年江西，⽂15，5分】,x y R ∈，若112x y x y ++-+-≤，则x y +的取值范围为．【答案】[]0,2【解析】 11x x +-≥，11y y +-≥，要使112x x y y +-++-≤，只能112x x y y +-++-=，11x x +-=，11y y +-=，∴01x ≤≤，01y ≤≤，∴02x y ≤+≤．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本⼤题共6题，共75分．解答应写出⽂字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年江西，⽂16，12分】已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数，且04f π??=，其中a ∈R ，()0,θπ∈．（1）求,a θ的值；（2）若245f α??=- ，,2παπ??∈，求sin 3πα?+的值．解：（1）()()1cos 1sin 042f a a ππθθ=++=-+= ? ?Q ()0θπ∈，,∴sin 0θ≠,∴10,1a a +=∴=- ………2分 Q 函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数()()02cos cos 0f a θθ∴=+==……………4分 2πθ∴=． ……………5分（2）有（1）得()()2112cos cos 2cos 2sin 2sin 422f x x x x x x π??=-++=-=- ?g……………7分 Q 12sin 425f αα??=-=- ∴4s i n 5α=………8分 Q 2πθπ??∈，，3cos 5α∴=- ……………10分413sin sin cos cos sin 333525πππααα??∴+=+=?-=……………12分【点评】本题主要考查了同⾓三⾓函数关系，三⾓函数恒等变换的应⽤，函数奇偶性问题．综合运⽤了所学知识解决问题的能⼒．（17）【2014年江西，⽂17，12分】已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1n >，都有*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等⽐数列．解：（1）当1n =时111a S ==，当2n ≥时，()22131133222n n n n n n n a S S n ---+-=-=-=-检验，当1n =时11a =，32n a n ∴=-．（2）使1a ，n a ，m a 成等⽐数列．则21n m a a a =，()23232n m ∴--=，即满⾜()2233229126m n n n =-+=-+，所以2342m n n =-+，所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等⽐数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等⽐数列的通项公式、⼆次函数的单调性等基础知识与基本技能⽅法，考查了恒成⽴问题的等价转化⽅法，考查了反证法，考查了推理能⼒和计算能⼒，属于难题．（18）【2014年江西，⽂18，12分】已知函数22()(44f x x ax a =++，其中0a <．（1）当4a =-时，求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在区间[1,4]上的最⼩值为8，求a 的值．解：（1）当4a =-时，()()()2422f x x x =--()f x 的定义域为[)0,+∞，()(2'242x f x x-=-252x x --，令()'0f x >得20,25x x ≤<>，所以当4a =-时，()f x 的单调递增区间为()20,2+5??∞和，．（2）()()2f x x a =+，()(2'221022x a x a x a f x x a +++=+=令()'0f x =，得12,210a a x x =-=-，0a ">，"所以，在区间,,,102a a --+∞ ? ?0上，()'0f x >， )(x f 的单调递增；在区间,102a a ??--上，()'0f x <，)(x f 的单调递减；⼜易知()()220f x x a =+，且02a f ??-=．①当12a-≤时，即20a -≤<时，)(x f 在区间]4,1[上的最⼩值为()1f ，由()21448f a a =++=，得2a =-±，均不符合题意．②当142a<-≤时，即82a -≤<-时，)(x f 在区间]4,1[上的最⼩值为02a f ??-= ，不符合题意．③当42a->时，即8a <-时，)(x f 在区间]4,1[上的最⼩值可能为1x =或4x =处取到，⽽()18f ≠，()242(6416)8f a a =++=，得10a =-或6a =-（舍去），当10a =-时，()f x 在区间[1,4]上单调递减，()f x 在区间[1,4]上的最⼩值()48f =符合题意．综上，10a =-．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利⽤导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学⽣的能⼒要求较⾼，属于难题．（19）【2014年江西，⽂19，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，111,AA BC A B BB ⊥⊥．（1）求证：111AC CC ⊥；（2）若2,AB AC BC ==1AA 为何值时，三棱柱111ABC A B C -体积最⼤，并求此最⼤值．解：（1）三棱柱111ABC A B C -中，1AA BC ⊥，1BB BC ∴⊥，⼜11BB A B ⊥且1BC A B C = ，11BB BCA ∴⊥⾯，11BB CC ∥11CC BCA ∴⊥⾯，⼜11AC BCA ∴?⾯， 11AC CC ⊥．（4分）（2）设1AA x =，在Rt △11Rt A BB ?中，AB同理，1A 1ABC ?中1cos BAC ∠=222211112A B AC BC A B AC +-=1sin BAC ∠=（6分）所以11111sin BA C 2A BCS A B A C =∠= △（7分）从⽽三棱柱111ABC A B C -的体积11A BCV S l S AA =?=?=△8分），因10分）故当x1AA 时，体积V【点评】本题考查空间直线与平⾯垂直的判定与应⽤，⼏何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能⼒．（20）【2014年江西，⽂20，13分】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作⼀直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平⾏线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意⼀条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值解：（1）根据题意可设AB ⽅程为2y kx =+，代⼊2=4x y ，得()242x kx =+，即2480x k x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有：128x x =-，（2分）直线AO 的⽅程为11y y x x =；BD 的⽅程为2x x =，解得交点D 的坐标为2121x x y x y x =??=（4分），注意到128x x =-及211=4x y ，则有1121211824y x x y y x y -===-，（5分）因此D 点在定直线y=-2上（2x ≠）（6分）．（2）依据题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的⽅程为()0y ax b a =+≠，代⼊2=4x y 得2=4+x ax b （）,即2440x ax b --=，由0?=得216160a b +=，化简整理得2b a =-（8分）故切线l 的可写为2y ax a =-．令2y =、2y =-得12,N N 坐标为12(,2)N a a +，22(,2)N a a-+-（11分）则222222122()4()8MN MN a a a a-=-+-+=，即2221MN MN -为定值8．（13分）【点评】本题考查抛物线的⽅程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能⼒、推理论证能⼒、运算求解能⼒，考查特殊与⼀般思想、数形结合思想、函数与⽅程思想，属于难题．（21）【2014年江西，⽂21，14分】将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从⼩到⼤排列构成⼀个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取⼀个数字，()p n 为恰好取到0的概率．（1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式．（3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最⼤值．解：（1）当100n =时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为()11100192p =．（2分）（2）当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()9F n =，当1099n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，9n -个两位数组成，则()29F n n =-，当100999n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，99n -个三位数组成，()3108F n n =-，当10002014n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，999n -个四位数组成，()41107F n n =-，所以,1929,1099()3108,10099941107,10002014n n n n F n n n n n ≤≤??-≤≤?=?-≤≤??-≤≤?（5分）（3）当n b =（+19N b b ≤≤∈，），()0g n =；当()1019,09,,n k b k b k N b N +=+≤≤≤≤∈∈时，()g n k =；100n =时()11g n =，即,0,19,(),n 10,19,09,,11,n 100n g n k k b k b k N b N +?≤≤?==+≤≤≤≤∈∈??=?（8分）同理有,0,18,,n 10,19,09,,()80,8998,20,n 99,100n k k b k b k N b N f n n n +≤≤??=+≤≤≤≤∈∈?=?-≤≤??=?（10分）由()()()1h n f n g n =-=h ，可知9,19,29,49,59,69,79,89,90n =，所以当n 100≤时，}{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =（11分）当9n =时，()90p =，当90n =，()()()901909019g p F ==，当()10918,n k k k N +=+≤≤∈时， ()()()29209g n k k p n F n n k ===-+（13分）由209ky k =+关于k 单调递增，故当109n k =+（18k ≤≤，k N +∈）时，()p n 的最⼤值为()889169p =，⼜8116919<，所以最⼤植为119．（14分）【点评】本题为信息题，也是本卷的压轴题，考查学⽣认识问题、分析问题、解决问题的能⼒，本题的命题新颖，对学⽣能⼒要求较⾼，难度较⼤，解决本题的关键⾸先在于审清题意，搞清楚()F n 、()p n 的含义，这样就可以解决前两问，同时为第三问做好铺垫，第三问在前两问的基础上再加以深⼊，考查学⽣综合分析问题的能⼒．本题由易到难，层层深⼊，是⼀道难得的好题．。

1 文科高考数学中档题系列（ 11 ）
1. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
2. 下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为1—5个档次，例如，表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生共5人，设y x ,分别表示英语成绩和数学成绩
.
（1）4=x 的概率是多少？4=x 且3=y 的概率是多少？3≥x 的概率是多少？在3≥x
的基础上，3=y 同时成立的概率是多少？
（2）2=x 的概率是多少？b a +的值是多少？
3. 在如图所示的空间几何体中，△ABC ，△ACD 都是等边三角形，AE=CE ，DE//平面ABC ，平面ACD ⊥平面ABC 。

（1）求证：DE ⊥平面ACD ；
（2）若AB=BE=2，求多面体ABCDE 的体积。

4. 判断下列函数奇偶性并证明
（1）a 为实数， 1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈． （2）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年广东，文1，5分】已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =（ ）（A ）{}0,2 （B ）{}2,3 （C ）{}3,4 （D ）{}3,5 【答案】B 【解析】{}2,3MN =，故选B ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． （2）【2014年广东，文2，5分】已知复数z 满足(34i)25z -=，则z =（ ）（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】D【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z ++===+--+，故选D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年广东，文3，5分】已知向量(1,2)a =，(3,1)b =，则b a -=（ ）（A ）(2,1)- （B ）(2,1)- （C ）(2,0) （D ）(4,3) 【答案】B【解析】()2,1b a -=-，故选B ．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．（4）【2014年广东，文4，5分】若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（ ）（A ）7 （B ）8 （C ）10 （D ）11 【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+， 由图象可知当直线2y x z =-+经过点()4,2B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大，此时24210z ==⨯+=，故选C ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． （5）【2014年广东，文5，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A ）122x x - （B ）3sin x x （C ）2cos 1x + （D ）22x x +【答案】A【解析】对于函数()122x x f x =-，()()112222x x x x f x f x ---=-=-=-，故此函数为奇函数；对于函数()3sin f x x x =，()()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，故此函数为偶函数；对于函数()2cos 1f x x =+，()()()2cos 12cos 1f x x x f x -=-+=+=，故此函数为偶函数；对于函数()22x f x x =+，()()()2222x x f x x x f x ---=-+=+≠-，同时()()f x f x -=≠故此函数为非奇非偶函数，故选A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．（6）【2014年广东，文6，5分】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）（A ）50 （B ）40 （C ）25 （D ）20 【答案】C【解析】∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25，故选C ． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础． （7）【2014年广东，文7，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 【答案】A【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=，∵ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sin A ，sin B 都是正数，sin sin a b A B ≤⇔≤．∴“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的充分必要条件，故选A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．（8）【2014年广东，文8，5分】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x y k -=-的（ ） （A ）实半轴长相等 （B ）虚半轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】当05k <<，则055k <-<，111616k <-<，即曲线221165x y k-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a =，25b k =-，221c k =-，曲线221165x y k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a k =-，25b =，221c k =-，即两个双曲线的焦距相等，故选D ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键． （9）【2014年广东，文9，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是（ ）（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）1l 与4l 既不垂直也不平行 （D ）1l 与4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ，若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥，故1l 与4l 的位 置关系不确定，故选D ．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．（10）【2014年广东，文10，5分】对任意复数12,ωω，定义1212*ωωωω=，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题： ①1231323()()()z z z z z z z +=**+*②1231213()()()z z z z z z z +=**+*； ③123123()()z z z z z z *=***④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】①12312313231323()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z +++*===*+*，正确；②12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=**+*，正确；③123123123123123(),()()(),z z z z z z z z z z z z z z z ===≠左边=*=右边*左边右边，等式不成立，故错误；④12122121,,z z z z z z z z ==≠左边=*右边=*左边右边，等式不成立，故错误； 综上所述，真命题的个数是2个，故选B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13） （11）【2014年广东，文11，5分】曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为 ． 【答案】520x y ++= 【解析】'5x y e =-，'5x y =∴=-，因此所求的切线方程为：25y x +=-，即520x y ++=．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题． （12）【2014年广东，文12，5分】从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为 ．【答案】25【解析】142542105C P C ===．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．（13）【2014年广东，文13，5分】等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++= ． 【答案】5【解析】设2122232425log log log log log S a a a a a =++++，则2524232221log log log log log S a a a a a =++++，215225log ()5log 410S a a ∴===，5S ∴=．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos =1ρθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,2)【解析】由22cos sin ρθθ=得22cos =sin ρθρθ（），故1C 的直角坐标系方程为：22y x =，2C 的直角坐标系方程为：1x =，12,C C ∴交点的直角坐标为(1,2)．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题． （15）【2014年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆=∆的周长的周长． 【答案】3【解析】由于CDF AEF ∆∆∽，3CDF CD EB AEAEF AE AE∆+∴===∆的周长的周长．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年广东，文16，12分】已知函数()sin ,3f x A x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）若()()0,2f f πθθθ⎛⎫--=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）553()sin()sin 121234f A A ππππ=+==3A ∴．（2）由（1）得：()3sin()3f x x π=+，()()3sin()3sin()33f f ππθθθθ∴--=+--+3(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )6sin cos 3sin 3333πππππθθθθθθ=+--+-===sin 0,2πθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，cos θ∴==()3sin()3sin()3cos 36632f ππππθθθθ∴-=-+=-==【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． （17）【2014年广东，文17，12分】某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21．（2）茎叶图如下： （3）年龄的平均数为：(1928329330531432340)3020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=，这20名工人年龄的方差为：2222222111(11)3(2)3(1)50413210(121123412100)25212.6202020⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+=+++++=⨯=⎣⎦【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题． （18）【2014年广东，文18，14分】如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，1,2AB BC PC ===，做如图2折叠：折痕//EF DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥． （1）证明：CF MDF ⊥平面； （2）求三棱锥M CDE -的体积． 解：（1）PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ⊂，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，MD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF MD ∴⊥，又 CF MF ⊥，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD MF M =，CF ∴⊥平面MDF ．（2）CF ⊥平面MDF ，CF DF ∴⊥，又易知060PCD ∠=，030CDF ∴∠=，从而11==22CF CD ，EF DC ∥，DE CFDP CP ∴=122，DE ∴=，PE ∴=12CDE S CD DE ∆=⋅=，2MD ===，1133M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅== 【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．（19）【2014年广东，文19，14分】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0,n n S n n S n n n N *-+--+=∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++．解：（1）令1n =得：211(1)320S S ---⨯=，即21160S S +-=，11(3)(2)0S S ∴+-=，10S >，12S ∴=，即12a =．（2）由222(3)3()0nn S n n S n n -+--+=，得：2(3)()0n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，0()n a n N *>∈，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，∴当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又1221a ==⨯，2()n a n n N *∴=∈． （3）当k N *∈时，22313()()221644k k k k k k +>+-=-+， 111111111111131111(1)2(21)4444()()()(1)()(1)2444444k k a a k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥∴==⋅<⋅=⋅=⋅-⎢⎥++⎡⎤⎢⎥+-+-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221111111111()()111111(1)(1)(1)41223(1)444444n n a a a a a a n n ⎡⎤⎢⎥∴+++<-+-++-⎢⎥+++⎢⎥-----+-⎣⎦1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0111111()11434331(1)44n n =-=-<+-+-． 【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．（20）【2014年广东，文20，14分】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：（1）cc e a ===3a ∴=，222954b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：22194x y +=． （2）若一切线垂直x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 共4个，它们坐标分别为(3,2)-±，(3,2)±．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，即00()y k x x y =-+，将之代入椭圆方程22194x y +=中并整理得：2220000(94)18()9()40k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，依题意，0∆=， 即22220000(18)()36()4(94)0k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦，即22004()4(94)0y kx k --+=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=，两切线相互垂直，121k k ∴=-，即2020419y x -=--，220013x y ∴+=， 显然(3,2)-±，(3,2)±这四点也满足以上方程，∴点P 的轨迹方程为2213x y +=．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y 关系．（21）【2014年广东，文21，14分】已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()=()2f x f ．解：（1）'2()2f x x x a =++，方程220x x a ++=的判别式：44a ∆=-，∴当1a ≥时，0∆≤，'()0f x ∴≥，此时()f x 在(,)-∞+∞上为增函数．当1a <时，方程220x xa ++=的两根为1-(,1x ∈-∞-时，'()0f x >，∴此时()f x为增函数，当(11x ∈--，'()0f x <，此时()f x 为减函数，当(1)x ∈-+∞时，'()0f x >，此时()f x 为增函数，综上，1a ≥时，()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，当1a <时，()f x 的单调增函数区间为(,1-∞-，(1)-++∞，()f x的单调递减区间为(11---．（2）3232332200000001111111111()()1()()()1()()()2332223222f x f x x ax a x x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+++-+++=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦200011()(414712)122x x x a =-+++∴若存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =， 必须2004147120x x a +++=在11(0,)(,1)2上有解．0a <，21416(712)4(2148)0a a ∴∆=-+=->，00x >，0x ∴ 01<，即711<，492148121a ∴<-<，即2571212a -<<-，12，得54a =-，故欲使满足题意的0x 存在，则54a ≠-，∴当25557(,)(,)124412a ∈----时，存在唯一的011(0,)(,1)22x ∈满足01()()2f x f =．当2575(,][,0)12124a ⎧⎫∈-∞---⎨⎬⎩⎭时，不存在011(0,)(,1)22x ∈使01()()2f x f =．【点评】（1）求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．（2）对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．。

文科高考数学中档题系列（ 20 ）
1. 已知向量.)(),cos 2,1(),cos ,22sin 3(n m x f x n x x m ⋅==+=设函数
（1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间。

（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f △ABC 的面积为
2
3，求a 的值.
2. 设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；
(2)记“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率．
3. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2,1,2,3,n a n -=…。

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式；
（III ）设c n ＝n(3－b n )，求数列{c n }的前n 项和T n
4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为
PC 的中点，.3
1CB CG = （I ）求证：;BC PC ⊥
（II ）求三棱锥C —DEG 的体积；
（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。

若存在，求AM 的长；否则，说明
理由。