上海交通大学附属中学2004年度外省市招生数学试卷(第一次)

上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、填空题1．已知全集R U =，集合{}|A x x a =<，{}|13B x x =-<<，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是．2．已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数21x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为．3．用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a 在第一次就被抽取的可能性为18，那么n ＝. 4．两正数a 与b 的几何平均值为2，则2a 与2b 的算术平均值的最小值为．5．已知二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，正整数n 的最小值为． 6．不等式2log 1x x <-+的解集是.7．已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =-表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n S 是严格增数列，则{}n a 的公差d 取值范围是.8．已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=.9．满足定义域为{}1,2,3,4且值域为{}1,2,3的函数共有个.10．已知函数()sin (0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>>≤<的图像与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标依次是1,2,4，则ϕ=.11．已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列，抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距离均大于98，则q 的取值范围是． 12．在边长为1的正六边形ABDEFG 中，以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ､､､､，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345d d d d d u u r u u u u r u u r u u r r ､､､､，若m M ､分别为()()l j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值､最大值，其中{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t ⊂⊂.则m M +的值为.二、单选题13．若1i -是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根，则a b +的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．414．在ABC V 中，若20AB BC AB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形15．正方体1111ABCD A B C D -有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（ ）A ．24对B ．30对C ．32对D ．64对16．定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的最小周期分别是1T 和2T ，已知()()y f x g x =+的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ）A ．121,2T T ==B ．1213,24T T == C ．1235,44T T == D ．123,32T T ==三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为2．(1)求该圆锥的侧面积：(2)设OA OB ､为该圆锥的底面半径，且90,AOB M ∠=︒为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的余弦值．18．已知()22,f x x x a a =+-为常数.(1)若()y f x =为偶函数，求a 的值；(2)设()()0,f x a g x x >=，若函数()(],0,y g x x a =∈为减函数，求实数a 的取值范围.19．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n 年绿洲面积为n a 万平方千米．(1)求第n 年绿洲面积n a 与上一年绿洲面积()12n a n -≥的关系；(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（lg 20.3010≈）20．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过圆22(1)1y x +-=的圆心的直线交抛物线与圆分别为A C D B ､､､（从左到右）.(1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程；(2)若抛物线和圆只有一个公共点，求p 的取值范围；(3)在（1）的条件下，,AOC BOC △△的面积满足：4AOC BOD S S =△△，求弦AB 的长. 21．已知函数()y f x =的定义域为()0,∞+，若存在常数0T >，使得对任意的()0,x ∈+∞，都有()()f Tx f x T =+，则称函数()y f x =具有性质()P T ．(1)若函数()y f x =具有性质()3P ，求：()()31f f -的值；(2)设()12log f x x =，求证：存在常数0T >，使得()y f x =具有性质()P T ；(3)若函数()y f x =具有性质()P T ，且()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数()y f x =的值域为R ．。

2004年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、若,则= .2、设抛物线的顶点坐标为,准线方程为,则它的焦点坐标为 .3、设集合,集合.若,则.4、设等比数列（）的公比,且,则 .5、设奇函数的定义域为.若当时,的图象如右图,则不等式的解是 .6、已知点,若向量与同向, =2,则点B的坐标为 .7、在极坐标系中,点到直线的距离 .8、圆心在直线上的圆C与y轴交于两点,,则圆C的方程为 .9、若在二项式的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .(结果用分数表示)10、若函数在[0,+∞)上为增函数,则实数a、b的取值范围是 .11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列,下列的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)①与; ②与; ③与; ④与.其中n为大于1的整数, 为的前n项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、在下列关于直线、与平面、的命题中,真命题是( )A．若且,则. B．若且∥,则.C．若且,则∥. D．若且∥,则∥.14、三角方程的解集为( )A．. B．.C．. D．.15、若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到,则( )A．. B．. C．. D．.16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )A．计算机行业好于化工行业. B．建筑行业好于物流行业.C．机械行业最紧张. D．营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17、(本题满分12分)已知复数满足,, 其中为虚数单位,, 若,求a的取值范围.18、(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数的定义域为,() 的定义域为B.(1) 求；(2) 若, 求实数a的取值范围.20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分已知二次函数的图象以原点为顶点且过点,反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8,.(1) 求函数的表达式；(2) 证明：当时，关于的方程有三个实数解.21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC为正四面体；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设, ,…,() 是二次曲线C上的点, 且, , …, 构成了一个公差为（）的等差数列, 其中O是坐标原点. 记.（1）若C的方程为,. 点及, 求点的坐标；(只需写出一个)（2）若C的方程为(a>b>0). 点, 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点存在的充要条件,并说明理由.2004年全国普通高等学校招生统一考试理科数学参考答案（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、32、(5,0)3、{1,2,5}4、25、(－2,0)∪(2,5]6、(5,4)7、 8、(x－2)2+(y+3)2=5 9、 10、a>0且b≤011、用代数的方法研究图形的几何性质 12、①、④二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、B 14、C 15、A 16、B三、解答题(本大题满分86分)17、【解】由题意得 z1==2+3i,于是==,=.<,得,.18、【解】由题意得,∴ ().于定, 框架用料长度为.当,即时等号成立.此时, x≈2.343,y=2≈2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.19、【解】(1), 得, 或即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由, 得.∵,∴, ∴.∵, ∴或, 即或, 而,∴或, 故当时, 实数的取值范围是(－∞,－2]∪[,1) 20、【解】(1)由已知,设,由,得, ∴.设 (k>0),它的图象与直线的交点分别为，由,得, ∴.故.(2) 【证法一】,得,即.在同一坐标系内作出和的大致图象,其中的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, 与的图象是以为顶点,开口向下的抛物线.因此与的图象在第三象限有一个交点,即有一个负数解.又∵，当时,,∴当时,在第一象限的图象上存在一点在图象的上方.∴与的图象在第一象限有两个交点,即有两个正数解.因此,方程有三个实数解.【证法二】由,得,即,得方程的一个解.方程化为,由，,得, ,∵, ∴,且.若,即,则, ,得或,这与矛盾, ∴.故原方程有三个实数解.21、【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.又∵截面DEF∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体. 【解】(2)取BC的中点M,连接PM,DM.AM.∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,∴PM=AM=,由D是PA的中点,得,∴.(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为,则该六面体棱长和为6, 体积为.∵正四面体P-ABC的体积是,∴,.可知故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为的直平行六面体即满足要求.22、【解】(1) ,由,得.由，得∴点的坐标可以为.(2) 【解法一】原点O到二次曲线（）上各点的最小距离为,最大距离为.∵, ∴,且,∴. ∵,>0∴在[,0)上递增,故的最小值为·=.【解法二】对每个自然数,由，解得∵,得∴以下与解法一相同.(3) 【解法一】若双曲线－=1,点,则对于给定的, 点存在的充要条件是.∵原点O到双曲线C上各点的距离,且,∴点存在当且仅当2>2,即d>0.【解法二】若抛物线,点,则对于给定的, 点存在的充要条件是.理由同上【解法三】若圆（）, ,则对于给定的n, 点存在的充要条件是.∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2,且=0, ∴d>0且.即.文档已经阅读完毕，请返回上一页！。

2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。

篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。

G图1E2004年上海市中等学校高中阶段招生文化考试数学试卷(满分120分，考试时间120分钟)一、 填空题：（本大题共14题，每题2分，共28分） 1．计算：(2)(2)__________a b a b -+=．2．不等式组230320x x -<⎧⎨+>⎩的整数解是______________．3．函数y =__________________． 41x =-的根是________________． 5．用换元法解22114x x x x +++=，可设1y x x=+，则原方程可化为关于y 的方程是______________．6．一个射箭运动员连续射靶5次，所得的环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为__________． 7．已知0a b <<，则点A (,)a b b -在第________象限． 8．正六边形是轴对称图形，它有_______条对称轴．9．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD=1，BD ＝2，:ADE ABC S S ∆∆=__________．10．在△ABC 中，∠A ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则AB ＝______(用b 和θ的三角比表示)． 11．某山路坡面坡度i =沿此山路向上前进200米,升高了__________米． 12．在△ABC 中，点G 是重心，若BC 边上的高为6，则点G 到BC 的距离为______________．13．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆的半径等于__________． 14．如图1，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG ，EF 交AD 与点H ，那么DH 的长为___________． 二、 多项选择题：(本大题共4题，每题3分，共12分)【每题列出的四个答案中，至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣一分，直至扣完为止】15．下列运算，计算结果正确的是（ ）（A ）437a a a =；（B ）632a a a ÷=；（C ）325()a a =；（D ）333()a b a b =．16．如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ， 那么在下列三角形中，与相似的三角形是（ ）（A ） △DBE ； （B ） △ADE ； （C ） △ABD ； （D ） △BDC ． 17．下列命题中，正确的是…………………………（ ） （A ）一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外； （B ）一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线；（C ）两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线；（D ）圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点． 18．在函数(0)ky k x=>的图像上有三点111(,)A x y 、222(,)A x y 、333(,)A x y ，已知1230x x x <<<，则下列各式中，正确的是…………………………（ ）（A ） 130y y <<；（B ） 310y y <<；（C ） 213y y y <<；（D ） 312y y y <<． 三、（本大题共4题，每题7分，共28分） 19-20．关于x 的一元二次方程2(31)210mx m x m --+-=，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根．21．如图3，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交AB 、BC 于点F 、E ．若AD=2，BC ＝8，求：（1）BE 的长； （2）∠CDE 的正切值．22．某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得表一；随后汇总成样本数据，得到部分结果，如表二．请根据表一、表二所示的信息回答下列问题：（1）样本中，学生的数学成绩的平均分数约为_________分（结果精确到0.1分）； （2）样本中,数学成绩在[)84,96分数段的频数________，等第为A 的人数占抽样学生总数的百分比为_________，中位数所在的分数段为______________；（3）估计这8000名学生成绩的平均分数约为__________分（结果精确到0.1分）． 四、（本大题共4题，每题10分，共40分） 23．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，二次函数)4()5(2+--+=k x k x y 的图像交x 轴于A )0,(1x 、B )0,(2x ，且8)1)(1(21-=++x x ．（1）求二次函数的解析式； （2）将上述二次函数的图像沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图像与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积．图424．如图４，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：25．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固．由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？A B C图526．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC=22，⊙A 的半径为1，如图5所示．若点O 在BC 上运动（与点B 、C 不重合），设BO ＝x ，△AOC 的面积为y （1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作⊙O ，求当⊙O 与⊙A 相切时，△AOC 的面积．如图6，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点的坐标为(1，0)，点B 在x 轴上，且在点A 的右侧，AB=OA ，过点A 和B 作x 轴的垂线，分别交二次函数2x y =的图像于点C 和D ，直线OC 交BD 于点M ，直线CD 交y 轴于点H ，记点C 、D 的的横坐标分别为C x 、D x ，点H 的纵坐标为H y ．五、（本大题只有1题，满分12分，（1）小题满分6分，（2）（3）小题满分均为3分）27．数学课上，老师出示图6和下面框中的条件．同学发现两个结论：①3:2:A BM C ＝梯形S S CMD ∆ ②数值相等关系：H D C y x x -=∙ （1）请你验证结论①和结论②成立；（2）请你研究：如果上述框中的条件“A 的坐标(1，0)”改为“A 的坐标(t ，0) (t>0)”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A 的坐标(1，0)”改为“A 的坐标(t ，0) (t>0)”，又将条件“2x y =”改为“)0(2>=a ax y ”， 其他条件不变，那么C x 、D x 与H y 有怎样的数值关系？写出结果并说明由）1MO DCBA y。

2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.ABC VE 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 B 1C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等 （1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．145 10．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由012<+x，解得12-<<-x ，12-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ， 则有,5.7≈n 因此8≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增； 当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}nc 的变化规律： 解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()())54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f 22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(21=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min ==f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。

上海市宝山区上海交通大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．1275B．1326C．1378D．14316．如图，锐角ABC>>，现想在边AB上找一点D，在边AC上找一点E，V中，AB AC BC使得ADEÐ相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点B、C作AC、Ð与C^，AB的垂线，垂足分别是E、D，则D、E即所求；（乙）取AC中点F，作DF AC交AB于点D，取AB中点H，作EH AB^，交AC于点E，则D、E即所求．对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是（）A．甲正确乙错误B．甲错误乙正确C．甲、乙皆正确D．甲、乙皆错误15．在“ “探索一次函数y =标系中的三个点：()(0,2,A B 函数的图像，并得到对应的函数表b +，,k b k b ++的值，其中最大的值等于票的涨跌情况(单位：元)(注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数)(1)星期二收盘时，每股是多少元?(2)本周内最高价是每股多少元?最低价每股多少元?(3)已知铭铭买进股票时付了购买金额0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果铭铭在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益(获利)情况如何?23．如图，AB CD∥，E是直线CD上的一点，CE＝CD，连接AD，AE，BC，AE，BC交于点F，且点F是BC的中点，连接DF．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若∠CEF＝∠CFE，求证：DF⊥AE．24．如图，抛物线C：2698y ax ax a与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），=++-已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．(1)求a的值及顶点D的坐标；(2)点P 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 绕点P 旋转180°后得到抛物线1C ，记抛物线1C 的顶点为E ，抛物线1C 与x 轴的交点为G ，G （点F 在点G 的右侧）．当点P 与点B 重合时（如图1），求抛物线1C 的表达式；(3)如图2，在（2）的条件下，从A ，B ，D 中任取一点，E ，F ，G 中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线1C 为抛物线C 的“勾股伴随同类函数”．当抛物线1C 是抛物线C 的勾股伴随同类函数时，求点P 的坐标．②2、6、7；③3、5、7；④4、4、7；⑤3、6、6；⑥4、5、6；⑦5、5、5；可以围成7种不同的三角形．故选：C ．4．D【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，逐项进行分析即可．【详解】A ．二次函数()222312y x x x =-+-=---的对称轴为直线1x =，故此选项不符合题意；B ．当1x >时， y 随x 的增大而减小，当1x <时， y 随x的增大而增大，故此选项不符合题意；C ．二次函数()222312y x x x =-+-=---顶点坐标为()1,2-，故此选项不符合题意；D ．二次函数223y x x =-+-的开口向下，且顶点()1,2-在x 轴的下方，故图象与x 轴没有交点，故此选项符合题意；故选：D ．5．B【分析】由题将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算．【详解】∵11a =，3312a ==+，56123a ==++，7101234a ==+++，∴99a 是新数列第50项，99123501275a =++++=K ∵22a =，43a =，64a =，85a =，∴100a 是新数列第50项，10051a =，∴991001326a a+=，故选B．【点睛】本题考查了根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关键．6．C【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．【详解】甲：如图，∵CD AB^，BE AC^，∴90BDC BECÐ=Ð=°，∴B，D，E，C四点共圆，∴ADE ACBÐ=Ð，∴甲正确；乙：如图， ∵取AC中点F，作DF AC^，交AB于点D，取AB中点H，作EH AB^，交AC于点E，∴,AD DC AE EB==，∴,A ACD A ABEÐ=ÐÐ=Ð，∴A ACD ABEÐ=Ð=Ð，Q 点E与点A关于线段CA¢所在直线对称，\,AF EF AC CE==，,CAE CEA FAE FEA\Ð=ÐÐ=Ð，\CAF CEFÐ=Ð，,BC AC AC CE==Q，CE BC\=，\CBE CEBÐ=Ð，\CAF CBEÐ=Ð，90 ACF ACH BCH ACHÐ+Ð=Ð+Ð=°Q，ACF BCH\Ð=Ð，\()AASAFC BHCV V≌，\,CF CH AF BH==，\CHFV是等腰直角三角形，45CFH CHF\Ð=Ð=°，180135 BHC AFC CHF\Ð=Ð=°-Ð=°，45AFM\Ð=°∴ABF ECFV V，@∴AB CE=，∵CE CD=，∴AB CD=，又∵AB CD∥，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵CEF CFEÐ=Ð，∴CF CE=，∵CE CD=，∴CF CE CD==，∴CDF CFDÐ=Ð，∵180Ð+Ð+Ð+Ð=°，CDF CFD CFE CEF∴22180Ð+Ð=°，CFD CFE∴90CFD CFEÐ+Ð=°，∴90Ð=°，DFE∴DF AE^．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．。

2004年高考数学上海卷(理科)一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、若1tan 2α=,则tan()4πα+= . 2、设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为1x =-,则它的焦点坐标为 .3、设集合2{5,log (3)}A a =+,集合{,}B a b =.若{2}A B = ,则A B = .4、设等比数列{}n a （n N ∈）的公比12q =-,且135218lim()3n n a a a a -→∞++++= ,则1a = .5、设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-.若当[0,5]x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是 .6、已知点(1,2)A -,若向量AB 与{2,3}a = 同向,AB ,则点B 的坐标为 .7、在极坐标系中,点(4,)3M π到直线:(2cos sin )4l ρθθ+=的距离d = .8、圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -,(0,2)B -,则圆C 的方程为 .9、若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10、若函数()2f x a x b =-+在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围 是 .11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列,下列{}n a 的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) ①1S 与2S ; ②2a 与3S ; ③1a 与n a ; ④q 与n a .其中n 为大于1的整数, n S 为{}n a 的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 ( )A ．若l β⊂且αβ⊥,则l α⊥.B ． 若l β⊥且α∥β,则l α⊥.C ． 若l β⊥且αβ⊥,则l ∥α.D ． 若m αβ= 且l ∥m ,则l ∥α.14、三角方程2sin()12x π-=的解集为 ( )A ．{|2,}3x x k k Z ππ=+∈. B ．5{|2,}3x x k k Z ππ=+∈. C ．{|2,}3x x k k Z ππ=±∈. D ．{|(1),}k x x k k Z π=+-∈.15、若函数()y f x =的图象可由函数lg(1)y x =+的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 ()f x = ( )A ．101x --.B ．101x -.C ．110x --.D ．110x-. 16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 ( )A ．计算机行业好于化工行业.B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17、(本题满分12分)已知复数1z 满足1(1)15i z i +=-+,22z a i =--, 其中i 为虚数单位,a R ∈, 若121z z z -<,求a 的取值范围.18、(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m ) 时用料最省?19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数()f x =A ,()lg[(1)(2)]g x x a a x =---(1a <) 的定义域为B .(1) 求A ；(2) 若B A ⊆, 求实数a 的取值范围.20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分已知二次函数1()y f x =的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数2()y f x =的图象与直线y x =的两个交点间距离为8,12()()()f x f x f x =+.(1) 求函数()f x 的表达式；(2) 证明：当3a >时，关于x 的方程()()f x f a =有三个实数解.21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P -ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长P A 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC , 且棱台DEF -ABC 与棱锥P -ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P -ABC 为正四面体；(2) 若PD =21P A , 求二面角D -BC -A 的 大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF -ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF -ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分 设111(,)P x y , 222(,)P x y ,…, (,)n n n P x y (3,n n N ≥∈) 是二次曲线C 上的点, 且1a =21OP , 2a =22OP , …, n a =2n OP 构成了一个公差为d （0d ≠） 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记12n n S a a a =+++ . （1）若C 的方程为22110025x y +=,3n =. 点1(3,0)P 及3255S =, 求点3P 的坐标； (只需写出一个)（2）若C 的方程为12222=+by a x (a >b >0). 点1(,0)P a , 对于给定的自然数n , 当公差d 变化时, 求n S 的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n ,写出符合条件的点12,,,n P P P 存在的充要条件,并说明理由.参考答案一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、32、(5,0)3、{1,2,5}4、25、(－2,0)∪(2,5]6、(5,4)7、5152 8、(x －2)2+(y +3)2=5 9、114 10、a >0且b ≤0 11、用代数的方法研究图形的几何性质 12、①、④二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、B 14、C 15、A 16、B三、解答题(本大题满分86分)17、【解】由题意得 z 1=ii ++-151=2+3i , 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.4)4(2+-a <13,得2870a a -+<,17a <<.18、【解】由题意得2184xy x +=,∴28844x x y x x -==-(0x << 于定, 框架用料长度为3161222()(2)4222x y x x x =++=+≥.当316(2x x=,即8x =-. 此时, x ≈2.343,y =22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.19、【解】(1)3201x x +-≥+, 得101x x -≥+, 1x <-或1x ≥ 即A =(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(1)(2)0x a a x --->, 得(1)(2)0x a x a ---<.∵1a <,∴12a a +>, ∴(2,1)B a a =+.∵B A ⊆, ∴21a ≥或11a +≤-, 即12a ≥或2a ≤-, 而1a <, ∴112a ≤<或2a ≤-, 故当B A ⊆时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1) 20、【解】(1)由已知,设21()f x ax =,由1()1f x =,得1a =, ∴21()f x x =.设2()k f x x =(k >0),它的图象与直线y x =的交点分别为A ，(B由8AB =,得8k =, ∴28()f x x =.故28()f x x x=+. (2) 【证法一】()()f x f a =,得2288x a x a+=+, 即2288x a x a=-++. 在同一坐标系内作出28()f x x =和2238()f x x a a=-++的大致图象,其中2()f x 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, 3()f x 与的图象是以28(0,)a a +为顶点,开口向下的抛物线.因此2()f x 与3()f x 的图象在第三象限有一个交点,即()()f x f a =有一个负数解.又∵2(2)4f =，238(2)4f a a =-++当3a >时,2328(2)(2)80f f a a-=+->, ∴当3a >时,在第一象限3()f x 的图象上存在一点(2,(2))f 在2()f x 图象的上方. ∴2()f x 与3()f x 的图象在第一象限有两个交点,即()()f x f a =有两个正数解. 因此,方程()()f x f a =有三个实数解.【证法二】由()()f x f a =,得2288x a x a +=+, 即8()()0x a x a ax -+-=,得方程的一个解1x a =. 方程80x a ax+-=化为2280ax a x +-=, 由3a >，4320a a ∆=+>,得2x =, 3x =, ∵230,0x x <>, ∴12x x ≠,且23x x ≠.若13x x =,即a =则23a 44a a =,得0a =或a =这与3a >矛盾, ∴13x x ≠.故原方程()()f x f a =有三个实数解.21、【证明】(1) ∵棱台DEF -ABC 与棱锥P -ABC 的棱长和相等,∴DE +EF +FD =PD +OE +PF .又∵截面DEF ∥底面ABC ,∴DE =EF =FD =PD =OE =PF ,∠DPE =∠EPF =∠FPD =60°, ∴P -ABC 是正四面体.【解】(2)取BC 的中点M ,连接PM ,DM .AM .∵BC ⊥PM ,BC ⊥AM , ∴BC ⊥平面P AM ,BC ⊥DM ,则∠DMA 为二面角D -BC -A 的平面角.由(1)知,P -ABC 的各棱长均为1,∴PM =AM =23,由D 是P A 的中点,得sin 3AD DMA AM ∠==,∴arcsin 3DMA ∠=(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF -ABC 的棱长和为定值6,体积为V .设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为1sin 8V α=. ∵正四面体P -ABC 的体积是122,∴0V <<,081V <<.可知arcsin(8)V α= 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsin(8)V 的直平行六面体即满足要求. 22、【解】(1) 211100a OP ==,由3133()2552S a a =+=,得23370a OP ==. 由22223311002570x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得23236010x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴点3P的坐标可以为.(2) 【解法一】原点O 到二次曲线2222:1x y C a b+=（0a b >>）上各点的最小距离为b ,最大距离为a .∵2211a OP a ==, ∴0d <,且222(1)n n a OP a n d b ==+-≥,∴2201b a d n -≤<-. ∵3n ≥,2)1(-n n >0 ∴2(1)2n n n S na d -=+在[122--n a b ,0)上递增, 故n S 的最小值为2(1)2n n na -+·122--n a b =2)(22b a n +. 【解法二】对每个自然数(2)k k n ≤≤, 由2222222(1)1k k k k x y a k d x y a b⎧+=+-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得2222(1)k b k d y a b --=-∵220k y b ≤≤,得2201b a d k -≤<- ∴2201b a d n -≤<- 以下与解法一相同.(3) 【解法一】若双曲线22:x C a －22by =1,点1(,0)P a , 则对于给定的n , 点12,,,n P P P 存在的充要条件是0d >. ∵原点O 到双曲线C 上各点的距离[||,)h a ∈+∞,且21OP a =,∴点12,,,n P P P 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0. 【解法二】若抛物线2:2C y x =,点1(0,0)P ,则对于给定的n , 点12,,,n P P P 存在的充要条件是0d >.理由同上【解法三】若圆22:()C x a y a -+=（0a ≠）, 1(0,0)P , 则对于给定的n , 点12,,,n P P P 存在的充要条件是2401a d n <≤-. ∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2a ,且1OP =0, ∴d >0且22(1)4n OP n d a =-≤.即2401a d n <≤-.。