上海交通大学附属中学 2017-2018 学年度第二学期(含答案解析)

2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为______．2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=______．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为______．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为______．5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标______．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有______．（填上所有正确答案的序号）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于______．8．三个平面能把空间分为______部分．（填上所有可能结果）9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=______．10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=______．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l 于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为______．12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是______．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于______．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为______．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．017．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1∴∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣故答案为：x=﹣2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=1008﹣1008i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数单位的幂运算，化简求解即可．【解答】解：i+2i2+3i3+…+2016i2016=（i﹣2﹣3i+4）+（5i﹣6﹣7i+8）+…+2016=504（2﹣2i）=1008﹣1008i．故答案为：1008﹣1008i．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为[30°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，在平面α所有与OP'垂直的线，由此能求出直线b与c所成的角的范围．【解答】解：如图作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，∠POP'=30°．在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是30°．在平面α所有与OP'垂直的线∵PP'⊥平面α，∴该线⊥PP′，则该线⊥平面OPP'，∴该线⊥b'，与b'的夹角为90°，与OP'夹角大于0°，小于90°的线，与b'的夹角为锐角且大于30°．∴直线b与c所成的角的范围[30°，90°]．故答案为：[30°，90°]．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=，EF=∴cos∠EB1F=，故答案为5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标A（5，2），B（5，﹣2）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据垂心的性质可得A，B关于x轴对称，且AF⊥OB，设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．求出AF，OB的斜率，令k OB•k AF=﹣1解出y1即可得出A，B的坐标．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），∵焦点F是△AOB的垂心，∴直线AB⊥x轴．∴A，B关于x轴对称．设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．∴k OB==﹣．k AF==．∵焦点F是△AOB的垂心，∴AF⊥OB．∴k OB•k AF=﹣1，即﹣•=﹣1，解得y1=2．∴A（5，2），B（5，﹣2）．故答案为：A（5，2），B（5，﹣2）．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有（2）、（4）．（填上所有正确答案的序号）【考点】异面直线的判定．【分析】图（1）中，直线GH∥MN，图（2）中M∉面GHN，图（3）中GM∥HN，图（4）中，H∉面GMN．【解答】解析：如题干图（1）中，直线GH∥MN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图（4）中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图（2）、（4）中GH与MN异面．故答案为：（2）、（4）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于1．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，故可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，代入，|z1﹣z2|=，及|z1+z2|，比较即可求得所求的答案【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=1，可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB∵|z1﹣z2|=，故有（cosA﹣cosB）2+（sinA﹣sinB）2=3，整理得2cosAcosB+2sinAsinB=﹣1又|z1+z2|2=（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=2+2cosAcosB+2sinAsinB=1∴|z1+z2|=1故答案为：1．8．三个平面能把空间分为4，或6，或7，或8部分．（填上所有可能结果）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】此类问题可以借助实物模型来研究，用房屋的结构来研究就行．【解答】解：若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4，或6，或7，或8．9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=．【考点】余弦定理的应用；复数求模．【分析】由余弦定理可得Z1+Z2|=，|Z1﹣Z2|=，故==【解答】解：如图在三角形OBC中由余弦定理得|Z1+Z2|=|OB|==，同理可得|Z1﹣Z2|=|CA=|=，∴===10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=．【考点】复数求模．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，判断三角形是直接三角形，即可求得所求的答案．【解答】解：因为|z1|=|z2|=1，，所以复数z1，z2，构成的三角形是直角三角形，|z1+z2|是平行四边形的对角线，则|z1+z2|=．故答案为：．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】要求出AM+CM的最小值，可将空间问题转化成平面问题，将二面角展开成平面中在BD上找一点使AM+CM即可，而当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，从而求出对角线的长即可．【解答】解：将二面角α﹣l﹣β平摊开来，即为图形当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，最小值即为对角线AC而AE=5，EC=1故AC=故答案为：12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是[﹣，]．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的模，利用模长公式得：（x﹣2）2+y2=1，根据表示动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果．【解答】解：∵复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为1，∴（x﹣2）2+y2=1根据表示动点（x，y）到定点（0，0）的斜率知：的最大值是，同理求得最小值是﹣，如图示：∴的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得k AB，可得直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用弦长公式可得|AB|，再利用点到直线的距离公式可得点F到直线AB的距离d，利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点，∴F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∵线段AB的中点为M（2，2），∴y1+y2=2×2=4，又=k AB，4k AB=4，解得k AB=1，∴直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，联立，解得，，∴|AB|==4．点F到直线AB的距离d=，∴S△ABF===2，故答案为：2．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为30．【考点】二次函数的性质．【分析】把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标；设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．【解答】解：直线y=x与抛物线y=x2﹣4联立，得到A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．∴直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==|x2+8x﹣32|，|OQ|=5，∴S△OPQ=|OQ|d=|x2+8x﹣32|，|∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．故答案为：30．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．【解答】解：如图，在正方体AC1中：∵A1B∥D1C∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A．16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】的真假判断与应用；复数的基本概念．【分析】直接利用复数的基本概念频道的真假即可．【解答】解：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；不正确，和一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；不正确，因为实系数方程的虚根是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，如果虚数为i，则设z=x+yi（x，y∈R），由z2=（x+yi）2=i，得x2﹣y2+2xyi=i，∴，解得：或．∴z=+i或z=﹣﹣i．所以正确．故选：C．17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】点P到BC的距离就是当P点到B的距离，它等于到直线A1B1的距离，满足抛物线的定义，推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．从而得出正确选项．【解答】解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据公理1及直线在面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．【解答】解：当a∩α=P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β=P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选D三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a 的值，从而求出m的值．【解答】解：（1）由条件得，z1﹣z2=（）+（a2﹣3a﹣4）i…因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…∴解得﹣2＜a＜﹣1…（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根所以z1+==6，即a=﹣1，…把a=﹣1代入，则z1=3﹣2i，=3+2i，…所以m=z1•=13…20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）不妨设AD=1，由AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，可得AB=，AA1=2．在△ABD中，利用余弦定理可得：DB=1．利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°．由DD1⊥底面ABCD，可得DD1⊥DB，可得DB⊥平面ADD1，即可得出异面直线AD1与BD所成角．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，可得OB⊥AD1．∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：（1）不妨设AD=1，∵AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，∴AB=，AA1=2．在△ABD中，DB2==1，解得DB=1．∴AD2+DB2=AB2，∠ADB=90°．∴AD⊥DB．∵DD1⊥底面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴DD1⊥DB，又AD∩DD1=D，∴DB⊥平面ADD1，∴DB⊥AD1，∴异面直线AD1与BD所成角为90°．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，则OB⊥AD1．∴∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．在Rt△ADD1中，OD===．在Rt△ODB中，tan∠BOD===．∴∠BOD=arctan．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=+i为实数，可得y﹣=0，因此y=0，或x2+y2=9．通过分类讨论即可得出．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+，由﹣4＜ω＜2，可得﹣4＜＜2，利用基本不等式的性质即可得出．②x2+y2=9时．ω=2x，由于﹣4＜ω＜2，即可得出x的取值范围．由u=（α＞0）为纯虚数，化简可得α，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=z+=x+yi+=x+yi+=+i为实数，∴y﹣=0，∴y=0，或x2+y2=9．①y=0时，ω=x+∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜＜10，x＞0时，解得1＜x＜9．x＜0时，x∈∅．综上可得：y=0时，点Z的轨迹方程是．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜2x＜10，解得﹣1＜x＜5．因此x2+y2=9时．可得：点Z的轨迹方程是x2+y2=9（﹣1＜x＜5）．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜＜2，∵x＜0时，≤﹣6；x＞0时，≥6．综上可得：y=0时，x∈∅，点Z的轨迹无方程．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜2x＜2，解得﹣2＜x＜1．∵u=（α＞0）为纯虚数，u==，∴α2﹣9=0，2yα≠0，解得α=3，y≠0．∴u==，∵x∈（﹣2，1），∴|u|===∈．∴α=3，|u|∈．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆（x﹣1）2+y2=1外切建立方程，化简得答案；（2）设M的坐标，利用两点间的距离公式结合配方法求得定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）写出过B斜率存在的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得k 值，再结合图形求得直线m与轨迹C的公共点个数，并分析对应的斜率情况．【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为（x，y），则，∴（x﹣1）2+y2=x2+2|x|+1，当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=4x；（2）如图，由图可知，M到轨迹C上的点与A的距离最小，则M在抛物线y2=4x上，设M（x，y），则|MA|===．∴当x=1，即M（1，±2）时，|MA|的最小值为；（3）设过B与抛物线y2=4x相切的直线方程为y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，联立，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0．由△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=﹣1或k=．∴当直线m的斜率k不存在时或斜率存在为0时或直线m的斜率k∈（，+∞）∪（﹣∞，﹣1）时，m与C有1个交点；当直线m的斜率为k=﹣1或k=或k∈[﹣，0）时，m与C有2个交点；当直线m的斜率k∈（0，）∪（﹣1，﹣）时，m与C有3个交点．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据复数条件求出关系式，结合复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动即可得出复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）先按向量方向平移个单位得到即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位，再进行函数式的变换即可得出C 的轨迹方程； （3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0） 代入（y +6）2=﹣2x ﹣3消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点，从而解决问题．【解答】解：（1）∵i ﹣z 2=（m ﹣ni ）•i ﹣（2+4i ）=（n ﹣2）+（m ﹣4）i ；∴⇒．∵复数z 1对应的点M （m ，n ）在曲线上运动∴x +2=﹣（y +7）2﹣1⇒（y +7）2=﹣2（x +3）．复数z 所对应的点P （x ，y ）的轨迹方程：（y +7）2=﹣2（x +3）．（2）∵按向量方向平移个单位，==1×．即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位（y +7）2=﹣2（x +3）⇒y +7=±．得轨迹方程 y +7=±⇒（y +6）2=﹣2（x +）=﹣2x ﹣3．C 的轨迹方程为：（y +6）2=﹣2x ﹣3． （3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0） （k ≠0）， 代入（y +6）2=﹣2x ﹣3整理得：（y +6）2=﹣2（）﹣3，△=0⇒k=，设定点M （1，0），且．∴以线段AB 为直径的圆恒过一定点M ，M 点的坐标（1，0）．2016年9月14日。

2017-2018学年上海交大附中高二（下）期末数学试卷(J)副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45∘的纬度线上去，且其经度差为90∘，则A，B两地的球面距离是()A. πRB. πR2C. πR3D. πR6【答案】C【解析】解：设在北纬45∘的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC，则OC⊥平面ABCRt△ACO中，AC=OAcos45∘=√22R，同理BC=√22R，∵A、B两地经度差为90∘，∴∠ACB=90∘，Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=R由此可得△AOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=π3∴A、B两地的球面距离是π3R.故选：C．设在北纬45∘的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC.根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=√22R.由A、B两地经度差为90∘，在Rt△ABC中算出AB=√AC2+BC2=R，从而得到∠AOB=π3，利用球面距离的公式加以计算，即可得到A、B两地的球面距离．本题求地球上北纬45度圈上两点的球面距离，着重考查了球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于基础题．2.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β．其中，可以判定α与β平行的条件有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①α与β平行.此时能够判断①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α与β平行，如正方体的底面与相对的侧面.也可能α与β不平行.②不正确．③不能判定α与β平行.如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；④可以判定α与β平行．∵可在α面内作l′//l，m′//m，则l′与m′必相交．又∵l//β，m//β，∴l′//β，m′//β，∴α//β．故选：B．直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．本题考查平面与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．3.一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为()A. √510B. √105C. √55D. √1010【答案】D【解析】解：还原正方体如右图所示设AD=1，则AB=√5，AF=1，BE=EF=2√2，AE=3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为cos∠ABE=2×√5×2√2=√1010，故选：D．先还原正方体，将对应的字母标出，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，在三角形ABE中再利用余弦定理求出此角的余弦值即可．本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．4.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，若f(0)=A，f(1)=B，那么下列四个命题中①必存在x∈[0,1]，使得f(x)=A+B2；②必存在x∈[0,1]，使得f(x)=√AB；③必存在x∈[0,1]，使得f(x)=√A2+B22；④必存在x∈[0,1]，使得f(x)=21A+1B．真命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，若f(0)=A，f(1)=B，对于①，由y=f(x)−A+B2，[f(0)−A+B2]⋅[f(1)−A+B2]=−(A−B)22≤0，可得函数y存在零点，即①成立；对于②，由y=f(x)−√AB，[f(0)−√AB]⋅[f(1)−√AB]=(A−√AB)(B−√AB)，若A>0，B>0，则上式为−√AB(√A−√B)2≤0，可得函数y存在零点；若A<0，B<0，则上式>0，可得函数y不一定存在零点；即有②不成立；对于③，由y=f(x)−√A2+B22，[f(0)−√A2+B22]⋅[f(1)−√A2+B22]=[A−√A2+B22][B−√A2+B22]，若A<0，B<0，则上式>0，可得函数y不一定存在零点；即有③不成立；对于④，由y=f(x)−21A+1B，[f(0)−21A+1B]⋅[f(1)−21A+1B]=(A−21A+1B]⋅[B−21A+1B]=−ABA+B⋅(A−B)2，若AB(A+B)<0，则上式>0，可得函数y不一定存在零点；即有④不成立．故选：A．对于①，由y=f(x)−A+B2；对于②，由y=f(x)−√AB；对于③，由y=f(x)−√A2+B22；对于④，由y=f(x)−21A+1B，运用函数零点存在定理，即可判断是否成立．本题考查命题的真假判断，注意运用函数的零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.函数f(x)=√x+1+12−x的定义域为______．【答案】[−1,2)U(2,+∞)【解析】解：根据题意：{2−x≠0x+1≥0解得：x≥−1且x≠2∴定义域是：[−1,2)∪(2,+∞)故答案为：[−1,2)∪(2,+∞)根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．本题主要考查定义域的求法，这里主要考查了分式函数和根式函数两类．6.表面积为π的球的体积为______．【答案】16π【解析】解：由S=4πR2=π得R=12，所以V=43πR3=π6．则该球的体积为π6．故答案为：π6．先根据球的表面积，就可以利用公式得到半径，再求解该球的体积即可．本题考查球的体积和表面积，主要考查学生对公式的利用，是基础题．7.(2x−1x)7的二项展开式中，x项的系数是______.(用数字作答)【答案】−448【解析】解：(2x−1x )7的二项展开式的通项为T r+1=C7r(2x)7−r(−1x)r=(−1)r⋅27−r⋅C7r⋅x7−2r．由7−2r=1，得r=3．∴(2x−1x)7的二项展开式中，x项的系数是−24×C73=−448．故答案为：−448．写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．本题考查二项式定理的应用，关键是熟悉二项展开式的通项，是基础题．8.高一(10)班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为______人.【答案】6【解析】解：由分层抽样的定义得抽取男生的人数为3636+12×8=3648×8=6人，故答案为：6根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基础．9.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有______种.(用数字作答)【答案】480【解析】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有A44中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A52种方法，所以共有：A44⋅A52=480．故答案为：480．排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．10.若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为______．【答案】1【解析】解：∵交大附中共有400名教职工，∴其中至少有两人生日在同一天是必然事件，∴其中至少有两人生日在同一天的概率为1．故答案为：1．交大附中共有400名教职工，其中至少有两人生日在同一天是必然事件，由此能求出其中至少有两人生日在同一天的概率．本题考查概率的求法，考查必然事件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x2，则使得f(x)>f(2x−1)成立的x的取值范围为______．【答案】13<x<1【解析】解：由函数的解析式可得函数f(x)是定义域上的偶函数，且x>0时函数单调递增，则不等式等价于：f(|x|)>f(|2x−1|)，脱去f 符号有：|x|>|2x −1|，求解关于实数x 的不等式可得使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围为13<x <1． 故答案为：13<x <1．首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f 符号求解自变量的取值范围即可． 本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．12. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =4，AA 1=2，则直线BC 1与平面BB 1D 1D所成角的正弦值为______． 【答案】√105【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(2,2，0)，C 1(0,2，1)，D(0,0，0)，D 1(0,0，1)， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，设平面BB 1D 1D 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0，取x =1，得n⃗ =(1,−1,0)，设BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为θ， 则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√105． ∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为：√105．故答案为：√105．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．13. 一个正方体的8个顶点可以组成______个非等边三角形． 【答案】48【解析】解：一个正方体的8个顶点可以组成C 83=56个三角形， 其中等边三角形有8个，如图所示；所以非等边三角形有56−8=48个．故答案为：48．找出一个正方体的8个顶点可以组成三角形的个数，去掉等边三角形的个数，即得所求．本题考查了空间几何体的结构特征应用问题，是基础题，14.将集合M={1,2，…，12}的元素分成互不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a1,a2,a3,a4}，B={b1,b2,b3,b4}，C={c1,c2,c3,c4}，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则满足条件的集合C有______个.【答案】3【解析】解：若A={1,2，3，4}，B={5,8，7，9}，则C={6,10，12，11}，若A={1,2，3，4}，B={5,6，8，10}，则C={7,9，12，11}，若A={1,2，3，4}，B={5,6，7，11}，则C={8,10，12，9}，故满足条件的集合C为3个，故答案为：3．讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15.设非空集合A为实数集的子集，若A满足下列两个条件：(1)0∈A，1∈A；(2)对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x−y∈A，xy∈A，xy∈A(y≠0)则称A为一个数域，那么命题：①有理数集Q是一个数域；②若A为一个数域，则Q⊆A；③若A，B都是数域，那么A∩B也是一个数域；④若A，B都是数域，那么A∪B也是一个数域．其中真命题的序号为______．【答案】①②③④【解析】解：由已知中数域的定义可得：则有理数集Q满足定义，是一个数域，故①正确；若A为一个数域，则A中包含任意整数和分数，故Q⊆A，故②正确；若A，B都是数域，那么Q⊆A∩B，故A∩B中的元素均满足定义，故A∩B也是一个数域，故③正确；若A，B都是数域，那么Q⊆A∪B，故A∪B中的元素均满足定义，故A∪B也是一个数域，故④正确；故真命题的序号为①②③④，故答案为：①②③④根据已知中数域的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得答案．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解数域的定义，是解答的关键．16.已知函数f(x)=−2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0<m<n，并且x∈[m,n]时，f(x)的取值范围为[1n ,1m]，则m+n=______．【答案】3+√32【解析】解：根据题意，函数f(x)=−2x2+bx+c在x=1时有最大值1，则有−b−4=b4=1，即b=4，且−2+4+c=1，解可得c=−1，则f(x)=−2x2+4x−1，又有x ∈[m,n]时，f(x)的取值范围为[1n ,1m ]， 则1m ≤1，解可得m ≥1， f(x)在[m,n]上单调递减， 则有f(m)=1m ，f(n)=1n ，即有m 、n 是方程−2x 2+4x −1=1x 的两个根， −2x 2+4x −1=1x ⇒(x −1)(2x 2−2x −1)=0， 其根为1、1+√32、1−√32，又有1≤m <n ， 则m =1，n =1+√32，则m +n =3+√32； 故答案为：3+√32．根据题意，结合二次函数的性质分析可得b 、c 的值，即可得f(x)=−2x 2+4x −1，进而可得1m ≤1，解可得m ≥1，分析可得f(x)在[m,n]上单调递减，据此可得f(m)=1m ，f(n)=1n ，即有m 、n 是方程−2x 2+4x −1=1x 的两个根，又有−2x 2+4x −1=1x ⇒(x −1)(2x 2−2x −1)=0，求出方程的根，分析可得m 、n 的值，相加即可得答案． 本题考查二次函数的性质以及应用，关键是求出m 、n 的值，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t −12t 2(万元)． (1)若该公司这种产品的年产量为x(单位：百件).试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y 表示为年产量x 的函数；(2)当该公司的年产量x 多大时，当年所得利润y 最大？ 【答案】解：(1)由题意得：y ={(5x −12x 2)−0.5−0.25x,0<x ≤5(5×5−12×52)−0.5−0.25x,x >5={−12x 2+194x −12,0<x ≤5−14x +12,x >5(6分) (2)当0<x ≤5时，函数对称轴为x =194=4.75∈(0,5)，故x =4.75时y 最大值为34532. (3分) 当x >5时，函数单调递减，故y <−54+12=434<34532，(3分)所以当年产量为475件时所得利润最大. (2分)【解析】(1)由已知中某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当t2(万元).根据年出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t−12利润=销售额−成立，构造出该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x 的函数．(2)根据(1)的分段函数解析式，我们分别求出各段上函数的最大值，进而得到该公司当年所得利润y的最大值，及相应的生产量．本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，分段函数的解析式求法，二次函数的性质，其中(1)中要注意由于市场对该产品的年需求量为500件，故要分0<x≤5，x>5两种情况将问题转化为分段函数模型，(2)要注意分段函数最值，分段处理．18.解关于x的不等式ax2+ax−1>x.(a∈R)【答案】解：关于x的不等式ax2+ax−1>x，a∈R；①当a=0时，解不等式得x<−1；②当a≠0时：(i)若a>0，则不等式化为ax2+(a−1)x−1>0，因为△=(a−1)2+4a=(a+1)2>0，；所以不等式化为：(ax−1)(x+1)>0，解得x<−1或x>1a<x<−1；(ii)当−1<a<0时，不等式化为(−ax+1)(x+1)<0，解得1a(iii)当a=−1时，不等式化为x2+2x+1<0，此时解集为空集；(iv)当a<−1时，不等式化为(−ax+1)(x+1)<0，解得−1<x<1；a综上，a=0时，不等式的解集为(−∞,−1)；,+∞)；a>0时，不等式的解集为(−∞,−1)∪(1a,−1)；−1<a<0时，不等式的解集为(1aa=−1时，不等式的解集为空集；).a<−1时，不等式的解集为(−1,1a【解析】讨论a=0以及a>0和−1<a<0、a=−1以及a<−1时，求出对应不等式的解集．本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题．19.如图，二面角D−AB−E的大小为π，四边形ABCD是边长2为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)求二面角B−AC−E的大小；(3)求点D到平面ACE的距离．【答案】(1)证明：∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE ，∵二面角D −AB −E 为直二面角，且CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABE ， ∴CB ⊥AE ， ∵BF ∩CB =B ，∴AE ⊥平面BCE ，则AE ⊥BE ；(2)解：设二面角B −AC −E 的大小为θ， 由(1)知，AE ⊥EB ，AE ⊥EC ，在Rt △AEB 中，由AB =2，可得AE =EB =√2， 则S △AEB =12×√2×√2=1，在Rt △CBE 中，由BE =√2，BC =2，可得EC =√6， ∴S △AEC =12×√2×√6=√3， ∴cosθ=S △AEB S △AEC=1√3=√33，即θ=arccos√33； (3)解：设点D 到平面ACE 的距离为h ， 则V E−ADC =V D−ACE ，即12×13×2×2×1=13×√3ℎ，则ℎ=2√33， 即点D 到平面ACE 的距离为2√33． 【解析】(1)由BF ⊥平面ACE ，得BF ⊥AE ，再由二面角D −AB −E 为直二面角，且CB ⊥AB ，可得CB ⊥平面ABE ，则CB ⊥AE ，由线面垂直的判断可得AE ⊥平面BCE ，从而得到AE ⊥BE ；(2)设二面角B −AC −E 的大小为θ，分别求出三角形AEB 与三角形AEC 的面积，由两三角形面积比为二面角B −AC −E 的余弦值求解；(3)设点D 到平面ACE 的距离为h ，由V E−ADC =V D−ACE 列式求解点D 到平面ACE 的距离．本题考查空间中直线与直线、直线与平面间位置关系的判定，考查二面角平面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20. 设全体空间向量组成的集合为V ，a⃗ =(a 1,a 2,a 3)为V 中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”f(x ⃗ )：f(x ⃗ )=−x ⃗ +2(x ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ (x ⃗ ∈V)． (1)设u ⃗ =(1,0,0)，v ⃗ =(0,0,1)，若f(u ⃗ )=v ⃗ ，求向量a ⃗ ； (2)对于V 中的任意两个向量x ⃗ ，y ⃗ ，证明：f(x ⃗ )⋅f(y ⃗ )=x ⃗ ⋅y ⃗ ； (3)对于V 中的任意单位向量x ⃗ ，求|f(x ⃗ )−x ⃗ |的最大值．【答案】解：(1)依题意得：f(u⃗ )=−u ⃗ +2(u ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ =v ⃗ ， 设a⃗ =(x,y,z)， 代入运算得：{2x 2−1=02xy =02xz =1，解得a ⃗ =(√22,0，√22)或a ⃗ =(−√22,0,−√22)．证明：(2)设x⃗ =(a,b,c)，y ⃗ =(m,n,t)，a ⃗ =(a 1,a 2,a 3)， 则f(x⃗ )⋅f(y ⃗ )=[−x ⃗ +2(x ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ ]⋅[−y ⃗ +2(y ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ ]=x ⃗ ⋅y ⃗ −4(y ⃗ ⋅a ⃗ )(x ⃗ ⋅a ⃗ )+4(y ⃗ ⋅a ⃗ )(x ⃗ ⋅a ⃗ )(a ⃗ )2=x ⃗ ⋅y ⃗ −4(y ⃗ ⋅a ⃗ )(x ⃗ ⋅a ⃗ )+4(y ⃗ ⋅a ⃗ )(x ⃗ ⋅a ⃗ )=x ⃗ ⋅y ⃗ ． ∴f(x ⃗ )⋅f(y ⃗ )=x ⃗ ⋅y ⃗ ．解：(3)设x⃗ 与a ⃗ 的夹角为α， 则x ⃗ ⋅a ⃗ =|x ⃗ |⋅|a ⃗ |cosα=cosα， 则|f(x ⃗ )−x ⃗ |=|2x ⃗ −2(x ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ |=√(2x ⃗ −2cosαa ⃗ )2=√4−4cos 2α≤2， ∴|f(x ⃗ )−x ⃗ |的最大值为2．【解析】(1)f(u⃗ )=−u ⃗ +2(u ⃗ ⋅a ⃗ )a ⃗ =v ⃗ ，设a ⃗ =(x,y,z)，列方程组能求出向量a ⃗ ． (2)设x ⃗ =(a,b,c)，y ⃗ =(m,n,t)，a ⃗ =(a 1,a 2,a 3)，由此能证明f(x ⃗ )⋅f(y ⃗ )=x ⃗ ⋅y ⃗ ． (3)设x ⃗ 与a ⃗ 的夹角为α，则x ⃗ ⋅a ⃗ =|x ⃗ |⋅|a ⃗ |cosα=cosα，由此能求出|f(x ⃗ )−x ⃗ |的最大值为2．本题考查向量的求法，考查等式的证明，考查向量的模的最大值的求法，考查向量、向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．21. 对于函数y =f(x)，若关系式t =f(x +t)中变量t 是变量x 的函数，则称函数y =f(x)为可变换函数.例如：对于函数f(x)=2x ，若t =2(x +t)，则t =−2x ，所以变量t 是变量x 的函数，所以f(x)=2x 是可变换函数．(1)求证：反比例函数g(x)=kx (k >0)不是可变换函数； (2)试判断函数y =−x 3是否是可变换函数并说明理由；(3)若函数ℎ(x)=log b x 为可变换函数，求实数b 的取值范围．【答案】(1)证明：假设g(x)是可变换函数，则t =g(x +t)=kx+t ⇒t 2+tx −k =0， ∵变量x 是任意的，故当△=x 2+4k <0时，此时有关变量t 的一元二次方程无解， 与假设矛盾，故原结论正确，∴反比例函数g(x)=kx (k >0)不是可变换函数； (2)解：若y =−x 3是可变换函数，则t =−(x +t)3， 则有关t 的两个函数：{ℎ(t)=(t +x)3ϕ(t)=−t必须有交点，而φ(t)连续且单调递减，值域为R ，ℎ(t)连续且单调递增，值域为R ， ∴这两个函数φ(t)与ℎ(t)必定有交点，即变量t 是变量x 的函数，故y =−x 3是可变换函数；(3)解：函数ℎ(x)=log b x 为可变换函数，则t =ℎ(x +t)⇒t =log b (x +t)，若b >1，则t 恒大于log b (x +t)，即函数y =t 与y =log b (t +x)无交点，不满足题意； 若0<b <1，则{y =log b (t +x)y=t必定有交点，即方程t =log b (x +t)有解，从而满足题意，∴实数b 的取值范围为(0,1)．【解析】(1)利用可变换函数的定义结合反证法证明；(2)由题意可得t =−(x +t)3，结合关于t 的两函数y =−t 与y =(x +t)3有交点可得函数y =−x 3是可变换函数；(3)由题意可得t =log b (x +t)，若b >1，则t 恒大于log b (x +t)，函数y =t 与y =log b (t +x)无交点；若0<b <1，则{y =log b (t +x)y=t必定有交点，从而得到实数b 的取值范围．本题是新定义题，考查函数解析式的求解及常用方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．第11页，共11页。

2018年交附高二下数学期末试卷第Ⅰ卷（共54分）一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上） 1.函数()112f x x x=+-的定义域为 ． 2.表面积为π的球的体积为 ．3.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 项的系数是 ．（用数字作答）4.高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为 人．5.6人并排站成一行，其中甲、乙两人必须相邻，那么不同的排法有 种.（用数学作答）6.若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为 ．7.设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 ．8.在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ．9.一个正方体的8个顶点可以组成 个非等边三角形. 10.将集合{}1,2,,12M =的元素分成互不相交的三个子集：M A B C =，其中{}1234,,,A a a a a =,{}1234,,,B b b b b =，{}1234,,,C c c c c =，且k k k a b c +=，1,2,3,4k =，则满足条件的集合C 有 个．11.设非空集合A 为实数集的子集，若A 满足下列两个条件： （1）0A ∈，1A ∈；（2）对任意,x y A ∈，都有x y A +∈，x y A -∈，xy A ∈，()0xA y y∈≠ 则称A 为一个数域，那么命题：①有理数集Q 是一个数域；②若A 为一个数域，则Q A ⊆；③若A ，B 都是数域，那么A B也是一个数域；④若A ，B 都是数域，那么AB 也是一个数域.其中真命题的序号为 ．12.已知函数()22f x x bx c =-++在1x =时有最大值1，0m n <<，并且[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为11,n m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则m n += ．第Ⅱ卷（共96分）二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13.设地球的半径为R ，地球上A ，B 两地都在北纬45的纬度线上去，且其经度差为90，则A ，B 两地的球面距离是（ ） A ．R π B ．2R π C.3R π D ．6Rπ 14.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得//l α，//l β，//m α，//m β 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个15.一个正方体的展开如图所示，点B ，C ，D 为原正方体的顶点，点A 为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线CD 与AB 所成角的余弦值为（ ）A ．10 B ．5 C.5 D ．1016.已知函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，若()0f A =，()1f B =，那么下列四个命题中①必存在[]0,1x ∈，使得()2A Bf x +=；②必存在[]0,1x ∈，使得()f x =；③必存在[]0,1x ∈，使得()222A B f x +=； ④必存在[]0,1x ∈，使得()211f x A B=+.真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个三、解答题 （本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元.此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25万元.经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t （单位：百件）时，销售所得的收入约为2152t t -（万元）. （1）若该公司这种产品的年产量为x （单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y 表示为年产量()x x R +∈的函数；（2）当该公司的年产量x 为多少时，当年所得利润y 最大？最大为多少？ 18. 解关于x 的不等式21ax ax x +->.（a R ∈） 19. 如图，二面角D AB E --的大小为2π，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE BE ⊥；（2）求二面角B AC E --的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离.20. 设全体空间向量组成的集合为V ，()123,,a a a a =为V 中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”()()()():2f x f x x x a a x V =-+⋅∈.（1）设()1,0,0u =，()0,0,1v =，若()f u v =，求向量a ； （2）对于V 中的任意两个向量x ，y ，证明：()()f x f y x y ⋅=⋅； （3）对于V 中的任意单位向量x ，求()f x x -的最大值.21. 对于函数()y f x =，若关系式()t f x t =+中变量t 是变量x 的函数，则称函数()y f x =为可变换函数.例如：对于函数()2f x x =，若()2t x t =+，则2t x =-，所以变量t 是变量x 的函数，所以()2f x x =是可变换函数. （1）求证：反比例函数()()0kg x k x=>不是可变换函数； （2）试判断函数3y x =-是否是可变换函数并说明理由； （3）若函数()log b h x x =为可变换函数，求实数b 的取值范围.试卷答案一、填空题 1.[)()1,22,-+∞ 2.16π 3.448- 4.6 5.480 6.1 7.113x <<8.5 9.48 10.3 11. ①②③④12.32+ 二、选择题 13-16:CBDA 三、解答题17.解析：（1）由题意得：2221119150.50.25,05,0522421112,55550.50.25,542x x x x x x x y x x x x ⎧⎛⎫⎧---<≤-+-<≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-+>⨯-⨯--> ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩；（2）当05x <≤时，函数对称轴为(]190,54x =∈， 故当194x =时，max 34532y =； 当5x >时，函数单调递减，故543345124432y <-+=<， 所以当年产量为475件时，所得利润最大. 18.解析：讨论法！ ①当0a =时，1x <-； ②当0a ≠时：1 0a >，()2110ax a x +-->，因为()()221410a a a ∆=-+=+>，故等式左边因式分解得：()()()1110,1,ax x x a ⎛⎫-+>⇒∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭； 2当10a -<<时，()()11101ax x x a-++<⇒<<-； 3当1a =-时，2210x x ++<，此时解集为空集；4当1a <-时，()()11101ax x x a-++<⇒-<<； 19.解析：（1）证明：∵BF ⊥平面ACE ，∴BF AE ⊥，∵二面角D AB E --为直二面角，且CB AB ⊥，∴CB ⊥平面ABE ， ∴CB AE ⊥，∴AE ⊥平面BCE . （2）arcsin3；（3）3. 20.解析：（1）依题意得：()()2f u u u a a v =-+⋅=，设(),,a x y z =，代入运算得：2210220,0,21x xy a xz ⎧-=⎛⎪=⇒= ⎨ ⎝⎭⎪=⎩或2,0,a ⎛=- ⎝⎭；（2）设(),,x a b c =，(),,y m n t =，()123,,a a a a =，则()()()()22f x f y x x a a y y a a ⎡⎤⎡⎤⋅=-+⋅⋅-+⋅⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()24444x y y a x a y a x a ax y y a x a y a x a x y =⋅-⋅⋅+⋅⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅=⋅从而得证；（3）设x 与a 的夹角为α，则cos cos x a x a αα⋅=⋅=， 则()()()22222cos 44cos 2f x x x x a a x a α-=-⋅=-=-≤，故最大值为2.21.解析：（1）证明：假设()g x 是可变换函数，则()20kt g x t t tx k x t=+=⇒+-=+， 因为变量x 是任意的，故当240x k ∆=+<时，此时有关变量t 的一元二次方程无解， 则与假设矛盾，故原结论正确，得证；（2）若3y x =-是可变换函数，则()3t x t =-+，则有关t 的两个函数：()()()3t t h t t x ϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩必须有交点，而()t ϕ连续且单调递减，值域为R ， ()h t 连续且单调递增，值域为R ，所以这两个函数()t ϕ与()h t 必定有交点，即：变量t 是变量x 的函数，所以3y x =-是可变换函数；（3）函数()log b h x x =为可变换函数，则()()log b t h x t t x t =+⇒=+，若1b >，则t 恒大于()log b x t +，即无交点，不满足题意；()log b tt x ==+必定有交点，即方程()log b t x t =+有解，从而满足题意.单独统一招生考试语文冲刺模拟试题（五）总分：__________一、语文知识（每小题4分，共40分）】内讧．（h òng ） 呼号．（h ào ） 循规蹈矩． （j ǔ） 押解．（ji è） 贿赂．（l ù） 脍．（ku ài ）炙人 埋．（m án ）怨 勉强．（qi ǎng ） 含情脉脉．（m ò） 剽．（pi āo ）悍 拘泥．（n ì） 拈．（ni ān ）轻怕 】磐竹难书 临渊羡鱼，不如退而结网 并行不背 功欲善其事，必先利其器 一诺千金 城门失火，殃及池鱼自立更生 穷则独善其身，达则兼济天下 】_________这个成语的含义通常不很好。

2018年交附高二下数学期末试卷第Ⅰ卷（共54分）一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上）1. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】分析：解不等式组即可得结果.详解：要使函数有意义，则有，故答案为.点睛：定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.2. 表面积为的球的体积为__________．【答案】【解析】分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.详解：，，故答案为.点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.3. 的二项展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中项的系数.详解：的二项展开式的通项为，，展开式项的系数为故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4. 高一（10）班有男生人，女生人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取男生的人数为__________人．【答案】6【解析】分析：根据分层抽样的定义直接计算即可.详解：设抽取男生的人数为，因为男生人，女生人，从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，所以，取男生的人数为，故答案为.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5. 人并排站成一行，其中甲、乙两人必须相邻，那么不同的排法有__________种.（用数学作答）【答案】240【解析】分析：甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法与其余的人全排即可.详解：甲乙相邻全排列种排法，利用捆绑法与其余的人全排有种排法，共有，故答案为.点睛：常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6. 若交大附中共有名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．【答案】1【解析】分析：根据每年有天，可判断名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果.详解：假设每一天只有一个人生日，则还有人，所以至少两个人同日生为必然事件，所以至少有两人生日在同一天的概率为，故答案为.点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.7. 设函数，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为，两边平方利用一元二次不等式的解法求解即可.详解：且在时，，导数为，即有函数在单调递增，函数为偶函数，等价为，即，平方得，解得，所求的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8. 在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】分析：过作，垂足为，则平面，则即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，由平面，可得，所以平面，则即为所求平面角，因为，，所以，故答案为.点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.9. 一个正方体的个顶点可以组成__________个非等边三角形.【答案】48【解析】分析：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，作差即可得结果.详解：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，所以非等边三角形共有个，故答案为.点睛：本题主要考查组合数的应用，属于简单题.10. 将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】分析：由可得，令，则，，，然后列举出的值，从而可得结果.详解：，所以，令，根据合理安排性，集合的最大一个元素，必定为：，则，又，，①当时，同理可得.②当时，同理可得或，综上，一共有种，故答案为.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定，从而得到，由此打开突破点.11. 设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：（1），；（2）对任意，都有，，，则称为一个数域，那么命题：①有理数集是一个数域；②若为一个数域，则；③若，都是数域，那么也是一个数域；④若，都是数域，那么也是一个数域.其中真命题的序号为__________．【答案】①②③④【解析】分析：根据“数域”的定义，对四个结论逐一验证即可，验证过程一定注意“照章办事”，不能“偷工减料”.详解：，则①正确；对于②，若是一个数域，则，于是任何一个分数，都可以构造出来，即，②正确；对于③，，③正确；定义④，④正确，故答案为①②③④.点睛：本题考查集合与元素的关系，以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.12. 已知函数在时有最大值，，并且时，的取值范围为，则__________．【答案】【解析】分析：由函数在时有最大值，可得，先判断在上单调递减，可得，解高次方程即可得结果.详解：函数在时有最大值，则可得，，，在上单调递减，则满足，，，解得，又，故答案为.点睛：本题考查求二次函数闭区间上的最值，二次函数的应用，体现了分类讨论的数学思想以及转化与划归思想，属于难题.解答本题的关键是判断出函数的单调性，求出解析式，将问题转化为解高次方程.第Ⅱ卷（共96分）二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13. 设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为，则，两地的球面距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，根据地球纬度的定义，算出小圆半径，由两地经度差为，在中算出，从而得到，利用球面距离的公式即可得到两地球面的距离.详解：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，则平面，在中，，同理，两地经度差为，，在中，，由此可得是边长为的等边三角形，得，两地球面的距离是，故选C.点睛：本题考查地球上北纬圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题.14. 对于不重合的两个平面与，给定下列条件：①存在平面，使得、都垂直于；②存在平面，使得、都平行于；③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线，，使得，，，其中，可以判定与平行的条件有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①与平行．此时能够判断①存在平面γ，使得都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得都垂直于γ；可以判定与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．②不正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作，则与必相交．又．故选B．考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．15. 一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先还原正方体，将对应的字母标出，与所成角等于与所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.详解：还原正方体，如图所示，设，则，与所成角等于与所成角，余弦值为，故选D.点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.16. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，若，，那么下列四个命题中①必存在，使得；②必存在，使得；③必存在，使得；④必存在，使得.真命题的个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】分析：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，根据不等式的性质可得①正确；利用特值法可得②③④错误，从而可得结果.详解：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，对于①，，故①正确.对于②，若，则，无意义，故②错误.对于③，时，不存在，使得，故③错误.对于④，可能为，则无意义，故④错误，故选A.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函不等式的性质及连续函数的性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，利用定理、公理、结论以及特值判断，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题（本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本万元.此外，每生产件这种产品还需要增加投入万元.经测算，市场对该产品的年需求量为件，且当出售的这种产品的数量为（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）.（1）若该公司这种产品的年产量为（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量的函数；（2）当该公司的年产量为多少时，当年所得利润最大？最大为多少？【答案】(1) ;(2) 当年产量为件时，所得利润最大.【解析】分析：（1）利用销售额减去成本即可得到年利润关于年产量的函数解析式；（2）分别利用二次函数的性质以及函数的单调性，求得两段函数值的取值范围，从而可得结果.详解：（1）由题意得：；（2）当时，函数对称轴为，故当时，；当时，函数单调递减，故，所以当年产量为件时，所得利润最大.18. 解关于的不等式.（）【答案】见解析.【解析】分析：对分五种情况讨论，分别利用一元一次不等式与一元二次不等式的解法求解即可.详解：①当时，；②当时：，，因为，故等式左边因式分解得：；当时，；当时，，此时解集为空集；当时，；点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.19. 如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由平面可证，由二面角为直二面角及是正方形可证，再由线面垂直判定定理得平面，即可得证；（2）取的中点，连接，，由四边形为正方形可证，，即可得为二面角的平面角，根据题设条件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等体积法，由即可得点到平面的距离.试题解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角为直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中点，连接，.∵四边形为正方形，∴，∴，即为二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值为.（3）取的中点，连接，∵，二面角为直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.点睛：立体几何的证明需要对证明的逻辑关系清楚，证明线线垂直，先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；用普通法求二面角，讲究“一作、二证、三求”，通过辅助线先把二面角的平面角及计算所需线段作出来，再证明所作角是二面角的平面角；点到面的距离还原到体积问题，则利用等体积法解题.20. 设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.【答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.【解析】分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：或；（2）设，，，则从而得证；（3）设与的夹角为，则，则，故最大值为.点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.21. 对于函数，若关系式中变量是变量的函数，则称函数为可变换函数.例如：对于函数，若，则，所以变量是变量的函数，所以是可变换函数.（1）求证：反比例函数不是可变换函数；（2）试判断函数是否是可变换函数并说明理由；（3）若函数为可变换函数，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.详解：（1）假设是可变换函数，则，因为变量是任意的，故当时，此时有关变量的一元二次方程无解，则与假设矛盾，故原结论正确，得证；（2）若是可变换函数，则，则有关的两个函数：必须有交点，而连续且单调递减，值域为，连续且单调递增，值域为，所以这两个函数与必定有交点，即：变量是变量的函数，所以是可变换函数；（3）函数为可变换函数，则，若，则恒大于，即无交点，不满足题意；若，则必定有交点，即方程有解，从而满足题意.点睛：本题主要考查函数的性质、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“可变换函数”达到考查函数性质的目的.。

上海交大附中2017-2018学年第二学期高三数学摸底考试卷一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至12题，每题5分，共54分）1. 已知a 是实数，i 是虚数单位，若21(1)z a a i =-++是纯虚数，则a =____________．2. 已知二元一次方程组111222a x b y c a x b y c ì+=ïïíï+=ïî的增广矩阵是111113骣-÷ç÷ç÷ç÷桫，则此方程组的解是____________．3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频数分布统计图如图所示，如果得分值的中位数为a ，众数为b ，平均数为c ，则a 、b 、c 中的最大者是____________．4. 命题：“若a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =”及其逆命题、否命题、逆否命题（这四个命题）中正确的个数是____________．5. 已知正数a 、b 满足430a b +=，使得14a b+取最小值的实数对(,)a b 是____________． 6. 不等式10x x ->的解集为____________．7. 已知2(1)(1)(1)f x x x +=-?，则1(1)f x -+=____________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 正半轴为始边的钝角a 的终边与圆22:4O x y +=交于点11(,)P x y ，点P 沿圆顺时针移动23p个单位弧长后到达点22(,)Q x y ，则12y y +的取值范围是____________．9. 已知三棱锥V ABC -，底面是边长为2的正三角形，VA ^底面ABC V ，2VA =，D 是VB 中点，则异面直线VC 、AD 所成角的大小为____________．（用反三角函数表示） 10. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数，则112在这“等差数阵”中出现的次数为____________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，设(1,1)A -，,B C 是函数1(0)y x x=>图像上的两点，且ABC V 为正三角形，则ABC V 的高为____________．12. 如图，平面上两点(0,1),(3,6)P Q ，在直线y x =上取两点,M N 使MN =，且使PM MN NQ ++的值取最小，则N 的坐标为____________．二、选择题（每题5分，共20分）13. 某电商设计了一种红色，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则它获奖的概率为（ ）A.38B.58C.49D.7914. 设,,l m n 表示三条直线，,,a b g 表示三个平面，给出下列四个命题： ①若,l m a a ^^，则//l m ；②若m b Ì，n 是l 在b 内的射影，m l ^，则m n ^； ③若,//m m n a Ì，则//n a ；④若,a g b g ^^，则//a b ，其中真命题为（ ） A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ①③④15. 在平面内，定点,,,A B C O 满足2OA OB OC ===uu r uu u r uuu r ，AC AB BC BA OB AC AB BC BA骣骣鼢珑鼢珑鼢珑-=?鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫uuu r uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu r 0=，动点P 满足1,AP PM MC ==uu u r uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是（ ）A.434B.494C.374D.37216. 设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a --=+，4,2k a k Z p 刮且公差(1,0)d ?，若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A. 3,22pp 轾犏犏臌B. 3,22pp 骣÷ç÷ç÷ç桫C. 7,24pp 轾犏犏臌D. 7,24pp 骣÷ç÷ç÷ç桫三、解答题17. （本题满分14分）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为钝角三角形，角A所对边a =角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABCV 的面积．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2 小题8分）如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,2,5AB CD AB CD ==，过A 、B 分别作,AE CD BF CD ^^，垂足分别为E 、F ，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得,//AF BD DE CF ^，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）证明：//BE 面ACD ；（2）求三棱锥B ACD -的体积．19. （本题满分14分）某小区有一块三角形空地，如图ABC V ，其中180AC =米，90BC =米，90C ?o ，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC V 内的点P 处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点D ，，然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E ，在ADE V 区域内绿化，在四边形BCDE 区域内修建运动场所，现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米，与BC 距离为100米，设DC d =米，试问d 取何值时，运动场所面积最大？20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知O 为坐标原点，圆22:(1)16M x y ++=，定点(1,0)F ，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点O ，点Q 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的交点分别为1B 、2B ，某直线1B P 和2B P 分别与x 轴交于C 、D 两点，请问线段之积OC OD ×是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C 坐标为(1,0)-，过点C 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，求ABD V 面积的最大值．21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设()f x 是定义在[,]a b 上的函数，若存在(,)x a b Î，使得()f x 在[,]a x 单调递增，在[,]x b 上单调递减，则称()f x 为[,]a b 上的单峰函数，x 为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：b a -．（1）判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；2123241()2,()121,()log ,()sin 42f x x x f x x f x x f x x 骣÷ç=-=--=+=÷ç÷ç桫； （2）若函数3()(0)f x ax x a =+<是[1,2]上的单峰函数，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 是区间[0,1]上的单峰函数，证明：对于任意的1212,(0,1),x x x x ?，若12()()f x f x ³，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x £，则1(,1)x 为含峰区间；试问当12,x x 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．参考答案一、填空题 1. 12. 21x y ì=ïïíï=ïî3. c4. 2个5. 15,154骣÷ç÷ç÷ç桫 6. (0,1)(1,)+?U7. )2[0,)x -??8.9. 1arccos410. 711. 212. 99,44骣÷ç÷ç÷ç桫二、选择题 13. C 14. A 15. B 16. D三、解答题17. （1）,2pp 轹÷ê÷÷êøë； （2）4 18. （1）证明略； （2）2319. 6020. （1）22143x y +=； （2）定值为4； （3）9221. （1）①21()2f x x x =-是[0,1]上的单峰函数，峰点为14； ②2()121f x x =--不是[0,1]上的单峰函数； ③321()log 2f x x 骣÷ç=+÷ç÷ç桫不是[0,1]上的单峰函数； ④4()sin 4f x x =是[0,1]上的单峰函数，峰点为8p（2）11,312a 骣÷ç?-÷ç÷ç桫 （3）证明略；120.40.6x x ì=ïïíï=ïî。

2017-2018年上海市交大附中高二下开学考..一、填空题..1、复数i 32+（i 是虚数单位）的模是;.2、在如图所示的正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为3、已知点()3,1A 、()1,4-B ，则与→AB 方向相同的单位向量的坐标为4、已知双曲线15422=-y x ，则以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点的椭圆方程 为5、已知两圆1022=+y x 和()()203122=-+-y x 相交于B A ,两点，则直线AB 的方程是6、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是7、已知椭圆15222=+ty t x 的焦距为62，则实数=t 8、已知ai +2，i b +是实系数一元二次方程02=++q px x 的两根，则q p +的值为 9、若b a ,为非零实数，则下列四个命题都成立：①01≠+aa ；②()2222b ab a b a ++=+；③若b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =则对于任意非零复数b a ,，上述命题仍然成立的序号是10、如图，S 是三角形 ABC 所在平面外的一点，SC SB SA ==，且2π=∠=∠=∠CSA BSC ASB ，N M 、分别是AB 和SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成角的大小为（用反三角函数表示）11、已知直线n m ,及平面α，其中n m //，那么在平面α内到两条直线n m ,距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

其中正确的是12、动点()y x P ,在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点O 沿正偏北⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20παα方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定()y x P ,速度为10米/分钟，则当α变化时()y x P ,行走2分钟内的可能落点的区域面积是 二、选择题13、在下列命题中，不是公理的是（ ）A 、平行于同一个平面的两个平面相互平行B 、过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C 、如果同一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D 、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线14、若空间三条直线c b a ,,满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c （ ）A 、一定平行B 、一定相交C 、一定是异面直线D 、一定垂直15、在四边形ABCD 中，()2,1=→AC ，()2,4-=→BD ，则四边形的面积为（ ）A 、5B 、52C 、5D 、1016、已知动点P 的横坐标x 、纵坐标y 满足：①1sin cos =+ααy x （R ∈α）；②422≤+y x ，那么当α变化时，点P 形成的图形的面积为（ ）A 、πB 、π3C 、π4D 、π-4三、解答题17、如图，ABCD 是正方形，直线⊥PD 底面ABCD ，PC PD =，E 是PC 的中点。

上海交通大学附属中学2017-2018学年第二学期高一物理期中试卷一、单选题（共12小题，每小题3分） 1. 下列说法正确的是( ) A. 匀速圆周运动是一种匀速运动 B. 匀速圆周运动是一种匀变速运动C. 物体做圆周运动，合外力一定沿半径指向圆心D. 匀速圆周运动是一种变加速运动2. 如图所示,O 为弹簧振子平衡位置,将振子拉至A 处后放手,振子可沿水平光滑杆在A 、B 间作简谐振动,则振子（ ）A. 从B→O 回复力不断减小，速度不断减小B. 从B→O 回复力不断增大，速度不断增大C. 在O 处速度最大D. 在B 处速度最大3.计算机上的硬磁盘的磁道如图所示, 硬盘绕磁道的圆心O 点转动，A 、B 两点位于不同的磁道上,当磁盘以角速度 匀速转动时,线速度分别为,A B v v ，向心加速度分别为,A B a a ，则它们大小关系正确的是 ( )A. A B A B v v ＜，a ＜aB. A B A B v v ＞，a ＜aC. A B A B v v ＜，a ＞aD. A B A B v v ＞，a ＞a4. 有一列沿x 轴负方向传播的横波，某时刻波的图象如图所示，P 质点此时的运动方向是( )A. y 轴正方向B. y 轴负方向C. x 轴正方向D.沿曲线向左上方5. 如图所示，空心球壳半径为R，绕过竖直直径的OO’轴以角速度ω匀速转动时，物块A 相对静止在内壁上。

下列说法中正确的是（）A.A物体可能受两个力作用B.若球不光滑，则A物一定受三个力作用C.若ω增大为1.2ω，则A物一定慢慢向上滑动D. A物体作圆周运动的半径为R6. 关于横波与纵波,下列说法正确的是( )A、纵波的传播方向与质点的振动方向相同,且作变速运动B、横波可以在气体,液体,固体中传播,而纵波只能在固体中传播C、横波一定是水平传播的,纵波一定是竖直传播的D、横波在传播过程中有波峰和波谷,纵波在传播过程中有疏部和密部7. 如图所示，质量为m的小球，用一细绳把它拴在圆锥体的顶点，圆锥顶角为2θ，侧面是光滑的。

2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）把一个圆柱切削成一个体积最大的圆锥.已知削去部分的体积比圆锥的体积大3.6立方米.那么圆锥的体积是___ 立方米．2.（填空题.4分）正四面体ABCD的表面积为S.其中四个面的中心分别是E、F、G、H．设四等于___ ．面体EFGH的表面积为T.则TS3.（填空题.4分）已知PA.PB.PC两两垂直.空间一点M到PA.PB.PC的距离分别为8.9.12.则MP的长为___ ．4.（填空题.4分）若圆锥的侧面积为2π.底面面积为π.则该圆锥的体积为___ ．5.（填空题.4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的12条面对角线中.与体对角线BD1垂直的共有___ 条．6.（填空题.4分）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中.∠BAD=∠A1AD=∠A1AB=60°.AB=AD=AA1=1.则对角线AC1的长度为___ ．7.（填空题.5分）已知△ABC的三个顶点A.B.C在平面α的同侧.△ABC的两个顶点AB到平面α的距离分别为3cm.4cm.且△ABC的重心到平面α的距离为5cm.则顶点C到平面α的距离为___ ．8.（填空题.5分）在60°的二面角M-α-N内有一点P.P到平面M、平面N的距离分别为1和2.P点到直线a的距离为___ ．9.（填空题.5分）已知异面直线a、b所成的角为60°.P为空间一点.则在空间中过P点且与直线a、b所成的角为60°的直线有且仅有___ 条．10.（填空题.5分）正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球.若A.B两点的球面距离为π.则正三棱柱的体积为___ ．11.（填空题.5分）在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是BC的中点.点P是正方体表面DCC1D1（即正方形及其内部）的动点.且满足∠APD=∠MPC.则三棱锥P-BCD的体积最大值是___ ．12.（填空题.5分）如图.斜边长为4的直角△ABC.∠B=90°.∠A=60°且A在平面α上.B、C在平面α的同侧.M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形△AB′C′.则M到平面α的距离的取值范围是___ ．13.（单选题.5分）分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是（）A.不平行B.不相交C.相交或平行D.既不相交又不平行14.（单选题.5分）已知两条不同直线m和两个不同平面aB.给出下面四个命题：① m⊥α.n⊥α⇒m || n；② α || β.m⊂α.n⊂α⇒m || n；③ m || n.m || α⇒n || α；④ α || β.m || n.m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是（）A. ① ③B. ② ④C. ① ④D. ② ③15.（单选题.5分）已知ABCD-A′B′C′D′为长方体.对角线AC′与平面A′BD相交于点G.则G是△A′BD的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心16.（单选题.5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在CDD1C1所在的平面上.满足∠PBD1=∠A1BD1.则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线17.（问答题.14分）在一次练习中有这样一道题：设一个圆锥与一个圆柱的底面半径及高都对应样等.它们的侧面积分别为S1.S2.试判断S1与S2的大小．某同学的解答如下：【解1】显然圆锥可以放进圆柱内.从而圆柱的侧面积大于圆锥的侧面积.即S1＜S2【解2】设底面半径和高均为1.则S2=2π×1×1=2π.S1=π×1× √12+12 = √2π.所以S1＜S2该同学的解法是否正确？若不正确.试判断S1与S2的大小．18.（问答题.14分）如图：PA⊥平面ABCD.ABCD是矩形.PA=AB=1.PD与平面ABCD所成角是30°.点F是PB的中点.点E在边BC上移动．（1）点E为BC的中点时.试判断EF与平面PAC的位置关系.并说明理由；（2）无论点E在边BC的何处.PE与AF所成角是否都为定值.若是.求出其大小；若不是.请说明理由；（3）当BE等于何值时.二面角P-DE-A的大小为45°．19.（问答题.14分）沙漏是古代的一种计时装置.它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成.开始时细沙全部在上部容器中.细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图.某沙漏由上下两个圆锥组成.圆锥的底面直径和高均为8cm.细（细管长度忽略不计）．沙全部在上部时.其高度为圆锥高度的23（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙.则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后.恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．20.（问答题.16分）如图.正三棱柱ABC-A1B1C1中.D是BC的中点.AA1=AB=1．（1）异面直线AB1与A1C所成角的大小；（2）设P为线段B1C1上的动点.试确定动平面APD和平面AA1C1C所成的锐二面角的平面角大小取值范围．21.（问答题.18分）我们可以用多种方法命题：已知平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和.求证它的对角线互相垂直．即在四边形ABCD中.若|AB|2+|CD|2=|AD|2+|CB|2.则AC⊥BD（1）请用向量进行证明；（2）写出上述命题的逆命题.判断逆命题的真假并说明理由；（3）请观察平面勾股定理的条件和结论特征.试根据表格提示.得出勾股定理在空间上推广的结论．说明：对于第（4）题.将根据写出的真命题所体现的思维层次的对问题探究的完整性.给予不同的评分．2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）把一个圆柱切削成一个体积最大的圆锥.已知削去部分的体积比圆锥的体积大3.6立方米.那么圆锥的体积是___ 立方米．【正确答案】：[1]3.6【解析】：把一个圆柱切削成一个最大的圆锥.这个圆锥与圆柱等底等高.等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.则这个圆柱比这个圆锥的体积多2倍.即削去部分的体积是圆锥体积的2倍.由此即可计算得出圆锥的体积．【解答】：解：设圆锥的体积是x立方米.∵把一个圆柱切削成一个体积最大的圆锥.削去部分的体积比圆锥的体积大3.6立方米.∴2x-x=3.6.解得x=3.6（立方米）.∴圆锥的体积是3.6立方米．故答案为：3.6．【点评】：本题考查圆锥的体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．2.（填空题.4分）正四面体ABCD的表面积为S.其中四个面的中心分别是E、F、G、H．设四等于___ ．面体EFGH的表面积为T.则TS【正确答案】：[1] 19【解析】：因为正四面体四个面都是正△.其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半.通过作出辅助线.可得两四面体的边长比.由面积比是边长比的平方.可得出答案【解答】：解：如图所示.正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H.∴四面体EFGH也是正四面体．连接AE并延长与CD交于点M.连接AG并延长与BC交于点N．∵E、G分别为面的中心.∴ AE AM = AGAN= 23．∴ GE MN = 23．又∵MN= 12BD.∴ GE BD = 13．∵面积比是相似比的平方.∴两四面体的面积比为TS = 19．故答案为：19【点评】：本题考查了多面体的面积比是边长比的平方.本题关键是求边长比是多少；类似的有体积比是边长比的立方.三角形的高.中线.角平分线的比等于边长的比3.（填空题.4分）已知PA.PB.PC两两垂直.空间一点M到PA.PB.PC的距离分别为8.9.12.则MP的长为___ ．【正确答案】：[1]17【解析】：先根据三棱锥P-ABC中.PA、PB、PC两两互相垂直可构造一个以PA、PB、PC为长宽高的长方体.空间一点M到点PA、PB、PC等距离长方体的面对角线长.求出长方体的体对角线的长.即可求出所求．【解答】：解：∵三棱锥P-ABC中.PA、PB、PC两两互相垂直∴构造一个以PA、PB、PC为长宽高的长方体（如图）空间一点M到点PA、PB、PC等距离长方体的面对角线长．设PA=a.PB=b.PC=c.c2+b2=64.a2+b2=144.a2+c2=81．∴a2+b2+c2=289.∴ √a2+b2+c2=17 .∴PM=17．故答案为：17．【点评】：本题主要考查了点线面的距离的计算.以及构造法的运用等有关知识.同时考查了空间想象能力.计算能力.以及转化与划归的思想.属于基础题．4.（填空题.4分）若圆锥的侧面积为2π.底面面积为π.则该圆锥的体积为___ ．【正确答案】：[1] √3π3【解析】：求出圆锥的底面周长.然后利用侧面积求出圆锥的母线.求出圆锥的高.即可求出圆锥的体积．【解答】：解：根据题意.圆锥的底面积为π.则其底面半径是1.底面周长为2π.又12×2πl=2π .∴圆锥的母线为2.则圆锥的高√3 .所以圆锥的体积13 × √3×π= √3π3．故答案为√3π3．【点评】：本题是基础题.考查圆锥的有关计算.圆锥的侧面积.体积的求法.考查计算能力．5.（填空题.4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的12条面对角线中.与体对角线BD1垂直的共有___ 条．【正确答案】：[1]6【解析】：利用线面垂直的判定定理和性质定理.证明AC⊥平面BD1.从而AC⊥BD1.同理可证明A1C1.A1D.B1C.AB1.DC1.都与直线BD1垂直.即可得正确结果【解答】：解：如图：BD1为正方体的体对角线.∵AC⊥BD.AC⊥BB1.∴AC⊥平面BD1.∴AC⊥BD1.同理A1C1.A1D.B1C.AB1.DC1.都与直线BD1垂直∴与BD 1垂直的各个表面的12条对角线中有AC 、A 1C 1.A 1D.B 1C.AB 1.DC 1.共6条直线 故答案为 6【点评】：本题考查了空间想象能力.考查了空间线面、面面.线线相互垂直的位置关系.所得结果尽量记住．6.（填空题.4分）在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.∠BAD=∠A 1AD=∠A 1AB=60°.AB=AD=AA 1=1.则对角线AC 1的长度为___ ．【正确答案】：[1] √6 【解析】：根据空间向量可得 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .两边平方即可得出答案．【解答】：解：∵AB=AD=AA 1=1.∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°.∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12又 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .两边平方得AC 12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6．∴AC 1= √6 ．故答案为： √6 ．【点评】：本题考查了空间向量在立体几何中的应用.属于中档题．7.（填空题.5分）已知△ABC 的三个顶点A.B.C 在平面α的同侧.△ABC 的两个顶点AB 到平面α的距离分别为3cm.4cm.且△ABC 的重心到平面α的距离为5cm.则顶点C 到平面α的距离为___ ．【正确答案】：[1]8cm【解析】：根据题意画出图形.设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′.△ABC的重心为G.连接CG交AB于中点E.又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′.利用平面图形：直角梯形EE′C′C中数据可求得△C到平面α的距离CC′．【解答】：解析：如图.设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′.△ABC的重心为G.连接CG交AB于中点E.又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′.则E′∈A′B.G′∈C′E.EE′= 1（A′A+B′B）=3.5.CG：GE=2：1.2在直角梯形EE′C′C中可求得CC′=3.5+3×（5-3.5）=8．故答案为：8cm．【点评】：本题考查棱锥的结构特征、三角形五心.考查计算能力.空间想象能力.是基础题.三角形重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．8.（填空题.5分）在60°的二面角M-α-N内有一点P.P到平面M、平面N的距离分别为1和2.P点到直线a的距离为___ ．【正确答案】：[1] 2√213【解析】：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离.过PA、PB作平面α.分别交M、N于AQ、BQ.根据二面角平面角的定义可知∠AQB是二面角M-a-N的平面角.连PQ.则PQ是P到a 的距离.PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R.在△PAB中由余弦定理得求出AB.最后根据正弦定理可求出PQ.从而求出点P到直线a的距离．【解答】：解：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离.过PA、PB作平面α.分别交M、N 于AQ、BQ．PA⊥平面M.a⊂平面M.则PA⊥a.同理.有PB⊥a.∵PA∩PB=P.∴a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ 平面PAQB∴AQ⊥a.BQ⊥a．∴∠AQB是二面角M-a-N的平面角．∴∠AQB=60°连PQ.则PQ是P到a的距离.在平面图形PAQB中.有∠PAQ=∠PBQ=90°∴P、A、Q、B四点共圆.且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R在△PAB中.∵PA=1.PB=2.∠BPA=180°-60°=120°.由余弦定理得 AB2=1+4-2×1×2cos120°=7.由正弦定理：PQ= 2√213．∴点P到直线a的距离为2√213．故答案为：2√213【点评】：本题考查点到直线的距离的求法.考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力.考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.是中档题．9.（填空题.5分）已知异面直线a、b所成的角为60°.P为空间一点.则在空间中过P点且与直线a、b所成的角为60°的直线有且仅有___ 条．【正确答案】：[1]3【解析】：由异面直线a、b所成的角实质可看成相交直线所成的角可得.三条直线相交且都成60°.故以四面体为例即可；【解答】：解：∵异面直线a、b所成的角为60°可看成两条相交直线所成的角.∴要使第三条直线与它们都成60°.故可能的情况有：正四面体中.有三条．故答案为：3．【点评】：本题考查了空间中线线所成角的认识.属于基础题．10.（填空题.5分）正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球.若A.B两点的球面距离为π.则正三棱柱的体积为___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由已知中正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球.若A.B两点的球面距离为π.我们易求出∠AOB的大小.进而求出棱柱底面棱长.进而求出棱柱的高和底面面积.代入棱柱体积公式.即可求出答案．【解答】：解：∵正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的又∵A.B两点的球面距离为π.故∠AOB=90°.又∵△OAB是等腰直角三角形.∴AB=2 √2 .则△ABC的外接圆半径为2√63则O点到平面ABC的距离为2√33∴正三棱柱高h= 4√3.又∵△ABC的面积S= 2√33∴正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S•h=8．故答案为：8【点评】：本题考查的知识点是棱柱的体积公式.球内接多面体.其中根据已知条件计算出棱柱的底面面积和高是解答本题的关键．11.（填空题.5分）在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是BC的中点.点P是正方体表面DCC1D1（即正方形及其内部）的动点.且满足∠APD=∠MPC.则三棱锥P-BCD的体积最大值是___ ．【正确答案】：[1]12 √3【解析】：根据Rt△ADP∽△Rt△PMC.PD=2PC.利用体积公式求解得出PO⊥CD.求解OP最值.根据勾股定理得出：3h2=-3x2+48x-144.0≤x≤6.利用函数求解即可．【解答】：解：∵在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是BC的中点.点P是面DCC1D1所在的平面内的动点.且满足∠APD=∠MPC.∴Rt△ADP∽△Rt△PMC.∴ AD MC = PDPC=2.即PD=2PC.设DO=x.PO=h.作PO⊥CD.∴ √x2+ℎ2 =2 √(6−x)2+ℎ2 .化简得：3h2=-3x2+48x-144.0≤x≤6. 根据函数单调性判断：x=6时.3h2最大值为36.h大=2 √3 .∵在正方体中PO⊥面BCD.∴三棱锥P-BCD的体积最大值：13×12×6×6×2√3 =12 √3．故答案为：12 √3．【点评】：本题考查了空间几何体中的最值问题.关键是列出式子.转化为距离问题.借助函数求解即可.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是难题．12.（填空题.5分）如图.斜边长为4的直角△ABC.∠B=90°.∠A=60°且A在平面α上.B、C在平面α的同侧.M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形△AB′C′.则M到平面α的距离的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（2. 52）【解析】：设出B.C到面的距离.则M到平面α的距离为两者和的一半.确定ab=4.即可求出M 到平面α的距离的取值范围．【解答】：解：斜边长为4的直角△ABC.∠B=90°.∠A=60°.则AB=2.BC=2 √3 .AM= √7设B.C到平面α距离分别为a.b.则M到平面α距离为h= a+b2射影三角形两直角边的平方分别4-a2.16-b2.设线段BC射影长为c.则4-a2+16-b2=c2.（1）又线段AM射影长为c2 .所以（c2）2+ (a+b)24=7.（2）由（1）（2）联立解得ab=4. ∵a＜2.b＜4.∴1＜a＜2.∴h= a+b2 = 12（a+ 4a）∈（2. 52）．故答案为：（2. 52）．【点评】：本题考查M到平面α的距离的取值范围.考查学生分析解决问题的能力.确定ab=4是关键．13.（单选题.5分）分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是（）A.不平行B.不相交C.相交或平行D.既不相交又不平行【正确答案】：A【解析】：已知直线a与b是异面直线.直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A.B.C.D.假设直线AB与直线CD平行.则A.B.C.D四点共面.根据直线与直线的位置公式得到矛盾.进而得到答案．【解答】：解：已知直线a与b是异面直线.直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A.B.C.D.根据题意可得当点D与点B重合时.两条直线相交.当点D与点B不重合时.两条直线异面．下面证明两条直线不平行：假设直线AB与直线CD平行.则A.B.C.D四点共面.所以直线BD与直线AC共面.这与直线a、直线b异面相互矛盾.所以假设错误.即直线AB与直线CD不平行．所以分别与两条异面直线都相交的两条直线一定不平行．故选：A．【点评】：本题主要考查空间中直线与直线的位置关系.以及反证法的应用．14.（单选题.5分）已知两条不同直线m和两个不同平面aB.给出下面四个命题：① m⊥α.n⊥α⇒m || n；② α || β.m⊂α.n⊂α⇒m || n；③ m || n.m || α⇒n || α；④ α || β.m || n.m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是（）A. ① ③B. ② ④C. ① ④D. ② ③【正确答案】：C【解析】：由垂直于同一平面的两直线平行.可判断① ；由面面平行的性质和线线的位置关系.可判断② ；由线面的位置关系可判断③ ；由面面平行和线面垂直的性质定理.可判断④ ．【解答】：解：对于① .m⊥α.n⊥α⇒m || n.故① 正确；对于② .α || β.m⊂α.n⊂α⇒m || n或m.n异面.故② 错误；对于③ .m || n.m || α⇒n || α或n⊂α.故③ 错误；对于④ .m || n.m⊥α可得n⊥α.又α || β.可得n⊥β.故④ 正确．故选：C．【点评】：本题考查空间线线、线面和面面的位置关系.考查平行和垂直的判断和性质定理的运用.考查空间想象能力和推理能力.属于基础题．15.（单选题.5分）已知ABCD-A′B′C′D′为长方体.对角线AC′与平面A′BD相交于点G.则G是△A′BD的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心【正确答案】：B【解析】：画出长方体如图.说明G在三角形A′BD的中线A′E和BF上即可说明G是△A′BD 的重心．【解答】：解：由题意画出长方体如图.不能发现三角形A′BD的中线A′E和BF的交点为G.因为G在平面C′CA和平面C′D′A的交线上.所以G 是三角形的重心．故选：B．【点评】：本题考查三角形的五心.考查逻辑思维能力.逻辑推理能力.是基础题．16.（单选题.5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在CDD1C1所在的平面上.满足∠PBD1=∠A1BD1.则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【正确答案】：D【解析】：利用平面与圆锥面的关系.即可得出结论．【解答】：解：P在以B为顶点.BD1为对称轴.A1B为母线的圆锥与平面CC1D1D的交面上.而A1B || 平面CC1D1D.知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分.故选：D．【点评】：本题考查轨迹方程.考查学生分析解决问题的能力.比较基础．17.（问答题.14分）在一次练习中有这样一道题：设一个圆锥与一个圆柱的底面半径及高都对应样等.它们的侧面积分别为S1.S2.试判断S1与S2的大小．某同学的解答如下：【解1】显然圆锥可以放进圆柱内.从而圆柱的侧面积大于圆锥的侧面积.即S1＜S2【解2】设底面半径和高均为1.则S2=2π×1×1=2π.S1=π×1× √12+12 = √2π.所以S1＜S2该同学的解法是否正确？若不正确.试判断S1与S2的大小．【正确答案】：【解析】：设圆锥与圆柱的底面半径为r.高为h.可得圆锥的母线长为l= √r2+ℎ2 .分别求出圆柱与圆锥的侧面积.分类讨论得答案．【解答】：解：对于解法1.圆锥可以放进圆柱内.说明圆锥的表面积小于圆柱的表面积.不能说明侧面积的大小；对于解法2.取了特殊值.不能说明在半径与高变化后仍有S1＜S2.该同学的解法不正确．具体解法如下：设圆锥与圆柱的底面半径为r.高为h.则圆锥的母线长为l= √r2+ℎ2 .∴ S1=πr•√r2+ℎ2 .S2=2πrh．S1 S2=πr•√r2+ℎ22πrℎ=√r2+ℎ22ℎ．当√r 2+ℎ22ℎ＜1.即r＜√3ℎ时.S1＜S2；当√r 2+ℎ22ℎ=1.即r= √3ℎ时.S1=S2；当√r 2+ℎ22ℎ＞1.即r＞√3ℎ时.S1＞S2．【点评】：本题考查圆柱、圆锥体积的求法.考查分类讨论的数学思想方法.是中档题．18.（问答题.14分）如图：PA⊥平面ABCD.ABCD是矩形.PA=AB=1.PD与平面ABCD所成角是30°.点F是PB的中点.点E在边BC上移动．（1）点E为BC的中点时.试判断EF与平面PAC的位置关系.并说明理由；（2）无论点E在边BC的何处.PE与AF所成角是否都为定值.若是.求出其大小；若不是.请说明理由；（3）当BE等于何值时.二面角P-DE-A的大小为45°．【正确答案】：【解析】：解法一（几何法）：（1）线与面的位置关系有三种相交、平行与在面内.由题设中的条件E.F 为中点可得EF || PC.由此可判断出EF 与平面PAC 的位置关系是平行.再由线面平行的判定定理证明说明理由；（2）由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE.由线面垂直的定义可得出无论点E 在边BC 的何处两线都垂直．（3）先作出二面角的平面角.令其大小是45°.设BE=x.在直角三角形DCE 中用勾股定理建立方程求同x 值．解法二（向量法）：（1）的解法同法一中（1）的解法；（2）建立如图示空间直角坐标系.由ABCD 是矩形.PA=AB=1.PD 与平面ABCD 所成角是30°.点F 是PB 的中点.点E 在边BC 上移动.给出各点的坐标.求出PE 与AF 所对应的向量的坐标.验证其内积为0即可得出直线所成的角是直角；（3）先求出两平面的法向量.再由公式求出两个平面的夹角．【解答】：解：解法一：（1）当点E 为BC 的中点时.EF 与平面PAC 平行．∵在△PBC 中.E 、F 分别为BC 、PB 的中点.∴EF || PC 又EF⊄平面PAC而PC⊂平面PAC∴EF || 平面PAC ．（2）∵PA⊥平面ABCD.BE⊂平面ABCD.∴EB⊥PA ．又EB⊥AB .AB∩AP=A .AB.AP⊂平面PAB.∴EB⊥平面PAB.又AF⊂平面PAB.∴AF⊥BE ．又PA=AB=1.点F 是PB 的中点.∴AF⊥PB .又∵PB∩BE=B .PB.BE⊂平面PBE.∴AF⊥平面PBE ． ∵PE⊂平面PBE.∴AF⊥PE ．即无论点E 在边BC 的何处.PE 与AF 所成角都是定值90°．（3）过A 作AG⊥DE 于G.连PG.又∵DE⊥PA .则DE⊥平面PAG.则∠PGA 是二面角P-DE-A 的平面角.∴∠PGA=45°.∵PD 与平面ABCD 所成角是30°.∴∠PDA=30°.∴ AD =√3 .PA=AB=1．∴AG=1. DG =√2 .设BE=x.则GE=x. CE =√3−x .在Rt△DCE 中. (√2+x)2=(√3−x)2+12 . BE =x =√3−√2 ．解法二：（向量法）（1）同解法一（2）建立图示空间直角坐标系.则P （0.0.1）.B （0.1.0）. F (0，12，12) . D(√3，0，0) ．设BE=x.则E （x.1.0） PE ⃗⃗⃗⃗⃗ - AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = (x ，1，−1)•(0，12，12)=0 ∴AF⊥PE 即PE 与AF 所成角是定值90°（3）设平面PDE 的法向量为 m ⃗⃗ =(p ，q ，1) .由 {m ⃗⃗ •PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ •PE⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .得： m ⃗⃗ =(1√3，1−x √3，1) .而平面ADE 的法向量为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) . ∵二面角P-DE-A 的大小是45°.所以cos45°= √22=|m ⃗⃗⃗ • AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ || AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | . ∴ 1√13+(1−x √3)2+1=1√2. 得 BE =x =√3−√2 或 BE =x =√3+√2 （舍）．【点评】：本题考查空间向量求两平面的夹角.解题的关键是理解并掌握用空间向量求两平面夹角的方法.近几年高中数学引入空间向量.大大降低了立体几何中点线面间关系判断的思维含量.降低了难度.使得抽象的几何问题变成了简明的代数计算.用向量示解几何问题的一般步骤是：先根据图形的结构建立适当的坐标系.给出各点的坐标.如果研究两线的位置关系问题.可以求出两向量的方向向量.用公式求夹角.若研究线面夹角问题可求出线的方向向量与面的法向量.由公式求角.若研究两面的夹角问题.可求出两面的法向量.由公式求夹角．19.（问答题.14分）沙漏是古代的一种计时装置.它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成.开始时细沙全部在上部容器中.细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图.某沙漏由上下两个圆锥组成.圆锥的底面直径和高均为8cm.细沙全部在上部时.其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙.则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后.恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．【正确答案】：【解析】：（1）开始时.沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H= 23 ×8= 163.底面半径为r= 23×4= 83；从而求时间；（2）细沙漏入下部后.圆锥形沙堆的底面半径4.设高为H′.从而得V= 13π×42×H′= 102481π；从而求高．【解答】：解：（1）开始时.沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H= 23 ×8= 163.底面半径为r= 23×4= 83；V= 13πr2H= 13π×（83）2× 163= 102481π≈39.71；V÷0.02≈1986（秒）所以.沙全部漏入下部约需1986秒．（2）细沙漏入下部后.圆锥形沙堆的底面半径4.设高为H′.V= 13π×42×H′= 102481π；H′= 6427≈2.4；锥形沙堆的高度约为2.4cm．【点评】：本题考查了函数在实际问题中的应用.属于中档题．20.（问答题.16分）如图.正三棱柱ABC-A1B1C1中.D是BC的中点.AA1=AB=1．（1）异面直线AB1与A1C所成角的大小；（2）设P为线段B1C1上的动点.试确定动平面APD和平面AA1C1C所成的锐二面角的平面角大小取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）连接A1B.交AB1于E.连DE.由矩形的性质及三角形中位线定理.可得DE || A1C.再由线面平行的判定定理.即可得到A1C || 平面AB1D．（2）如图建立空间直角坐标系.设P（m.0.1）.（- 12≤m≤12）．求得面AA1C1C的法向量.面ADP的法向量.由cos ＜m⃗⃗ ，n⃗＞ = √32×√1+m2∈[ √155. √32]即可得平面APD和平面AA1C1C所成的锐二面角的平面角大小取值范围．【解答】：解：（1）连结A 1B.AB 1交于点E.则E 是AB 1中点.连结DE.∵D 是BC 的中点. ∴DE 是△A 1BC 的中位线.∴DE || A 1C.∴∠AED （或补角）就是异面直线AB 1与A 1C 所成角．∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.D 是BC 的中点.∴AD⊥面B 1BCC 1.即AD⊥B 1D ． ∴在△AED 中.AD= √32.AE= √22.DE= √22.cos∠AED= AE 2+ED 2−AD 22AE•ED = 14 .∴异面直线AB 1与A 1C 所成角的大小为arccos 14 ；（2）如图建立空间直角坐标系.D （0.0.0）.A （0. √32 .0）.C （ 12 .0.0）.A 1（0. √32 .1）设P （m.0.1）.（- 12 ≤m ≤12 ）． 设面AA 1C 1C 的法向量为 m ⃗⃗ =(x ，y ，z) AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，−√32，0) . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) ． 由 {m ⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −√32y =0m ⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0⇒ m ⃗⃗ =(√3，1，0) ．设面ADP 的法向量为 n ⃗ =(a ，b ，c)DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√32，0) . DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ，0，1)由 n ⃗ •DA⃗⃗⃗⃗⃗ =√32b =0 . n ⃗ •DP⃗⃗⃗⃗⃗ =ma +c =0 . ⇒ n ⃗ =(1，0，−m) ． cos ＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞ =√32×√1+m 2∈[ √155 . √32 ]. ∴平面APD 和平面AA 1C 1C 所成的锐二面角的平面角大小取值范围为[ π6 .arccos √155]．【点评】：本题考查异面直线所成角、二面角的求法.考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力.是中档题．21.（问答题.18分）我们可以用多种方法命题：已知平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和.求证它的对角线互相垂直．即在四边形ABCD 中.若|AB|2+|CD|2=|AD|2+|CB|2.则AC⊥BD （1）请用向量进行证明；（2）写出上述命题的逆命题.判断逆命题的真假并说明理由；（3）请观察平面勾股定理的条件和结论特征.试根据表格提示.得出勾股定理在空间上推广的结论．说明：对于第（4）题.将根据写出的真命题所体现的思维层次的对问题探究的完整性.给予不同的评分．【正确答案】：【解析】：由于平面向量与空间向量的运算法则类似.上面的向量运算与四边形 ABCD 是否共面无关.因而立即可以作得出结论.由此可以将平面四边形这一性质推广到空间四边形．【解答】：（1）证明：设有四边形ABCD.由条件|AB|2+|CD|2=|AD|2+|CB|2得知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇒ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +（ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2+ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ⇒ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ⇒ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 . ∴AC⊥BD（2）逆命题：对角线互相垂直的四边形四边形的两组对边的平方和相等．是真命题． 证明：∵在四边形ABCD 中.∴AC⊥BD . ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°.由勾股定理得.AD 2+BC 2=AE 2+DE 2+BE 2+CE 2. AB 2+CD 2=AE 2+BE 2+CE 2+DE 2. ∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2．（3）S 2△OAB +S 2△OBC +S 2△OAC =S 2△ABC ．（4）（2）逆命题的推广：对角线互相垂直的空间四边形的两组对边的平方和相等． 证明：| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+| CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+ CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2- BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2- DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2+（ OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2-（ OC⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2-（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2 =-2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=2 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 若AC⊥BD . 则 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即：| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+| CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0.即：| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+| CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2.即命题成立．【点评】：本题主要考查推理和证明的应用.类比推理的定义是解决本题的关键．综合性较强.运算量较大.有一定的难度．。