3.4二次根式复习

二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质：①②③④3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．二次根式强化训练与复习巩固自测试题1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算_________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．2．计算得（）3．若，则化简等于（）4．化简的结果是（）5．计算的结果是（）6．化简的结果是（）7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）9．的值为（）10．若代数式有意义，则的取值范围是（）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求值题：1．已知：，求的值．2．已知，求的值。

页眉内容二次根式的复习知识精要1、二次根式的概念)0a≥叫做二次根式。

其中a是被开方数(可为整式或分式a≥.2、二次根式的性质性质1 ()0a a=≥；※⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2aaaaaaa性质2 ()20a a=≥;性质3 =()0,0a b≥≥※)0,0(≤≤-⋅-=babaab性质4 =（ba,0≥>0）一般地,==3、最简二次根式化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如)0a≥的式子叫做最简二次根式。

4、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。

5.二次根式的混合运算6.分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术。

分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号. 上述的适当代数式即是指有理化因式。

精解名题二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x 的取值范围。

（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x解：（1）要使32-x 有意义，必须320-≥x ，由320-≥x 得x ≤32， ∴当x ≤32时，式子32-x 在实数范围内有意义。

（2）要使x +13有意义，x +1为任意实数均可， ∴当x 取任意实数时x +13均有意义。

（3）∴当x x ≥-≠12且时，式子x x +-12在实数范围内有意义。

（4）当x x ≥-≠11，且时，x x++-113有意义。

（5）当x ≥12时，式子x x --21在实数范围内有意义。

（6）当x x x x ≤-≠-≥≠2525且或且时式子x x 245--有意义 最简二次根式例2.根式x x ma a 12,62,3,17,4,522+中最简二次根式为 ___________________________________________________.解：42+a ，17，2x 6同类二次根式根式： 例 3. 已知二次根式5,23+a 是同类二次根式,写出三个a 的可能值_________________________. 解：3a+2是5的倍数a 为6，11，16（答案不唯一）分母有理化：例4.将下列二次根式分母有理化 （1）242++a a （2）22+-a a解：（1）22+a(2)2222--+a aa（3）x125 （4）qp q p --222（p>q ）解：（3）xx615 （4）2)(qp q p -+化简：例5：化简：()（）（）1424422242242222a ba ba ab ba a a a a a--÷++++++++-解： ()()()（）原式122222=+--÷+a ba b a ba b()()()=+÷+=+=--=+++++-+=++++->≥<<≥=++++-=++++-a b a b a ba b a ba a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a 2212242121224424421212222222202022121222222222222222（）原式原题只保证，因此要分类讨论时，及时当时，原式||||Θ23222021212222222222222622a a aaa a a a a a a aa aa a a a a a aa=+<<=++++-=++++-=+当时，原式化简求值：例6：已知：223223-=+=b a ，，求：a b ab 33+的值。

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质（1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2)a =（0a ≥），如2221122););33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42a 2)a 的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断..要点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则 逆用法则二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）..2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=。

二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“〞．主要内容有：〔 1〕二次根式的有关看法，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；〔 2〕二次根式的性质；〔3〕二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2.二次根式的性质：①②③④3.二次根式的运算二次根式的运算主若是研究二次根式的乘除和加减．〔 1〕二次根式的加减：需要先把二次根式化简，尔后把被开方数相同的二次根式〔即同类二次根式〕的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，要点是合并同类二次根式，平时是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2〕二次根式的乘法：（3〕二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法那么要灵便运用，在实质运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．〔4〕二次根式的混杂运算：先乘方〔或开方〕，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可合适改变运算序次进行简略运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法那么和乘法公式，解析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简略．二次根式运算结果应尽可能化简．别的，根式的分数必定写成假分数或真分数，不能够写成带分数．比方不能够写成．【难点指导】1、若是是二次根式，那么必然有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也能够将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，能够是任意实数；4、差异和的不相同：中的能够取任意实数，中的只能是一个非负数，否那么没心义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个路子：〔 1〕因式的内移：因式内移时，假设，那么将负号留在根号外．即：．〔 2〕因式外移时，假设被开数中字母取值范围未指明时，那么要进行谈论．即：6、二次根式的比较：〔 1〕假设，那么有；〔2〕假设，那么有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去今后再比较大小．二次根式增强训练与复习坚固自测试题1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是 ______．4．当，化简_______．5．比较与的大小： _______．6．分母有理化：〔 1〕__________；〔 2〕__________；〔 3〕__________．7．，，，那么________．8．计算_________．9．若是，那么的值为___________．10．假设有意义，那么的取值范围是___________．1．下式中不是二次根式的为〔〕A．；B．；C．；D．2．计算得〔〕3．假设，那么化简等于〔〕4．化简的结果是〔〕5．计算的结果是〔〕6．化简的结果是〔〕7．把式子中根号外的移到根号内，得〔〕A．B．C．D．8．等式成立的条件是〔〕9．的值为〔〕10．假设代数式有意义，那么的取值范围是〔〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕求值题：1．：，求的值．2．，求的值。

⼆次根式总复习总复习（⼀）⼆次根式知识点：1.⼆次根式的有关概念：（1）形如的式⼦叫做⼆次根式. （即⼀个的算术平⽅根叫做⼆次根式⼆次根式有意义的条件:被开⽅数⼤于或等于零（2）代数式：⽤基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘⽅、平⽅）把数或表⽰数的字母连接起来的式⼦叫做代数式。

（3）最间⼆次根式：满⾜下列两个条件的⼆次根式，叫做最简⼆次根式：①被开⽅数不含分母；②被开⽅数中不含能开得尽⽅的因数或因式；(4）同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式后，如果被开⽅数相同，那么这⼏个⼆次根式叫做同类⼆次根式。

2.⼆次根式的性质：（1）双重⾮负性3.⼆次根式的运算：⼆次根式乘法法则⼆次根式除法法则⼆次根式的加减： (⼀化，⼆找，三合并 )（1）将每个⼆次根式化为最简⼆次根式；（2）找出其中的同类⼆次根式；（3）合并同类⼆次根式。

0()a a ≥ ≥0 2(2))(0)a a (= ≥ a =2(3) (4)(0,0)ab a b = ≥ ≥(5)(00)a a b b = ≥> (0,0)a b a b ?= ≥≥ (0,0)a a b b= ≥>Ps:类似于合并同类项，关键是把同类⼆次根式合并。

⼆次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适⽤填空题：1、n 24是整数，则正整数n 的最⼩值是（）A.4B.5C.6D.72、下列各式中，不是⼆次根式的是（） A.45 B.π-3 C.22+a D.213、若使⼆次根式 21+-x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≥-2B ．x ＞-2C ．x>-2 且x ≠1D ．x ≤-24、(1)若 2)(11y x x x +=---，则x-y 的值为（）A ．-1B ．1C ．2D ．3(2)若实数a 、b 满⾜11122+-+-=a a a b ，则a+b 的值是（） 5、（1）已知a 为实数，那么 2a -等于（）A ．aB ．-aC ．-1D ．0（2）若 a a -=-1)1(2，则a 的取值范围是（）A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1(3)若)3(692a a a --=+-，则a 的取值范围是（）A.a>3B.a<3C.a ≥3D.a ≤3（4）如果代数式ab 1+a 有意义，则直⾓坐标系中点A （a ，b ）的位置（）A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限6、（1）已知a ＜0，那么| 2a -2a|可化简为（）A ．-a B.a C.-3a D.3a（2）如果表⽰a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所⽰，那么化简|a-b|+ 2)(b a +的结果等于（） A.-2b B.2b C.-2a D.2a7、下列根式中3,8,,2,543a x b a a ，最简⼆次根式的个数是（）A.4B.3C.2D.18、下列各式中正确的是（）A ．2-2=-4B ．（33）2=35 C. 1)12)(12(=-+ D ．x 8÷x 4=x 29、（1）若)6(6-=-?x x x x ，则（）A ．x ≥6B ．x ≥0C ．0≤x ≤6D ．x 为⼀切实数（2）1a 3-a 13-=--a a 成⽴的条件是（） A.a ≠1 B.a ≥3且a ≠1 C.a ＞1 D.a ≥3 10、已知实数a 满⾜|2008-a|+=a ，那么a-20082的值是（）A.2009B.2008C.2007D.200911、化简20092009)23()23(+-的结果是（） A.-1 B.23- C.23+ D.23--12、(1)把)2(12---的根号外的（-2）移到根号内的结果是（）(2)把b b 1-的根号外的因式移到根号内的结果是（）A.b -B.b --C.bD.b -13、（1）下列各组⼆次根式中，属于同类⼆次根式的为（）A ．和B ．和C ．和D ．和（2）（填空）如果最简⼆次根式83-a 和a 217-同类⼆次根式，则a=（）（3）如果最简根式63-a 与4+a 是同类⼆次根式，那么使x a 24-有意义的x 的取值范围是（）A ．x ≤10B ．x ≥10C ．x ＜10D ．x ＞1014、下列计算正确的是（） A.228=- B. 14931227=-=- C.()()15252=+- D.23226=- 简答题：1、（1）先化简，在求值：21244422--++++--x x x x x x x 其中x=2-2（2）（x-1-）÷，其中x=3-2、(1)若1＜x ＜4，则|x ?5|+2)1(-x 的值为？(2)若3，ｍ，5为三⾓形三边，化简：-3、已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所⽰，化简：4、计算题：12323-24-27314)3218)(1223(33)154276485(2)3352()3352(122?+-÷+--+）、、、、 5、 )3()23(235a b b a b a b ÷-?（其中a>0 ,b>0）5、找规律：;23231;12)12)(12(12121-=+-=-+-=+...,34341-=+=+=+9910019101)1(（2）从计算结果找出规律：（3）利⽤此规律计算：()12006200520061...341231121+??? ??++++++++的值。

§3.4二次根式复习备课时间: 主备人:一.学习目标：1．能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简；2．能够比较熟练进行二次根式的运算；3．会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题．二．学习重点：二次根式的性质应用及运算．学习难点：二次根式的应用．知识点梳理1. 一般地，式子叫做二次根式.特别地，被开方数不小于 .2. 二次根式的性质：⑴a．(a)；⑵(a)2＝(a)；⑶a2＝__ ___.3.二次根式乘法法则：⑴a·b＝(a≥0，b≥0)；⑵ab＝(a≥0，b≥0).4. 二次根式除法法则：⑴ab＝(a≥0，b＞0)；⑵ab＝(a≥0，b＞0).5. 化简二次根式实际上就是使二次根式满足：⑴；⑵；⑶ .6. 经过化简后，的二次根式，称为同类二次根式.7. 一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 .8. 实数中的运算律、乘法公式同样适用于二次根式的混合运算边讲边练Ⅰ. 二次根式有意义求取值范围1. 要使x －2有意义，则x变式：若分别使1x －2，1x －2，2. 要使13－x有意义，则x 的取值范围是 .3. 使x ＋1，1x，(x －3)0三个式子都有意义的x 的取值范围是 .4. 使x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件 ； 1－xx －2 ＝1－x x －2成立的条件是 .5. 若y =2x －5＋5－2x －3． 则2xy ＝ .Ⅱ. 二次根式的非负性求值1. 已知a ＋2＋||b －1＝0，那么(a ＋b )2011＝ .2. 已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝ .3. 若||4x －8＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，则m 的取值范围 .4. 若a －3与2－b 互为相反数，那么代数式－1a ＋6b的值为 . 5. 已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b ＋||c －1－2＝10a ＋2b －4－22，则△ABC 为 . Ⅲ. 利用公式a 2＝||a 化简1. (－7)2＝ ；（2）(3－π)2＝ ； (3) 62＝2. 已知x ＜1，则化简x 2－2x ＋1的结果＝ ； 若a ＜0，化简||a －3－a 2= .3. 当a ＝2时，代数式a ＋1－2a ＋a 2＝ ； 化简(a －1)11－a＝ . 5. (a －3)2＝3－a 成立，则a 的取值范围是______.6. 若x 3＋4x 2＝－x x ＋4，则x 的取值范围是 .7. 若||x －1＝12，则代数式1x －x 2－2＋1x2的值为 .8. 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，试化简(a ＋c )2－||b －c .9. │＋(x ＋3)2 ＋x 2－10x ＋25.Ⅳ. 最简与同类二次根式1. 下列各式中，不能再化简的二次根式是 （ ）A ．3a 2B ．23C ．24D ．302. 下列各式中，是最简二次根式是 （ ）A ．8B ．70C ．99D ．1x3. 下列是同类二次根式的一组是 （ ）A ．12，－32，18B ．5，75，1245C ．4x 3，22xD ．a 1a ，a 3b 2c4. 若二次根式2a －4与6是同类二次根式，则a 的值为 ．5. 化简后，根式b －a3b 和2b －a ＋2 是同类根式，那么a =_____，b =______.Ⅴ.二次根式的运算 1. 化简：⑴312＝ ；⑵15＋16＝ ；⑶18a＝ . 2. 计算：212－613＋8＝ . 3. 计算12(2－3)＝ .4. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝ ； ⑵(5－2)2010( 5＋2)2011＝ .5.下列各式①33＋3=63；②177=1；③2＋6=8=22；④243=22，其中错误的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6.下列各式计算正确的是 （ ） A ．2＋3＝ 5 B ．2＋2＝2 2 C ．33－2＝2 2 D ．12－102＝6－ 5 7. 计算： ⑴32－212－13－62⑵239x ＋6x4－2x 1x⑶(48－413)－(313－40.5) ⑷(218－18)－(12＋2－213)⑸23x 18x ＋12x x 8－x 22x3⑹(32－45)2 ⑺(3－22)(22－3)⑻(1－23)(1＋23)－(1＋3)2 ⑼(3＋2－5)(3―2―5) 8. 若x ＝5＋32， y ＝5—32，求代数式的值. ⑴x 2－xy ＋y 2 ⑵x y ＋yx9. 观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6 ……将你猜想到的规律用一个式子来表示： .10.有这样一类题目：将a ±2b 化简，如果你能找到两个数m 、n ，使m 2＋n 2＝a 且mn ＝b ，则将a ±2b 将变成m 2＋n 2±2mn ，即变成(m ＋n )2开方，从而使得a ±2b 化简. 例如，5±26＝3＋2＋26＝(3)2＋(2)2＋22×3＝(3＋2)2， ∴5±26＝(3＋2)2＝(3＋2) 请仿照上例解下列问题：（1）8－215； （2）4＋2 3。

二次根式复习专题讲义(补课用)汇总二次根式复专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如 $\sqrt{a}$ （$a\geq 0$）的式子叫做二次根式，也称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.$a$（$a\geq 0$）是一个非负数。

即$\sqrt{a^2}=a$（$a\geq 0$）；③。

$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）2.二次根式的乘：①.一般的，有$\frac{a}{b}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，有$\frac{a\sqrt{b}}{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq 0$，$b>0$）3.二次根式的除：①.一般地，对二次根式的除法规定：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$），即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）4.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、$\frac{1}{x}$、$\sqrt{x}$（$x>0$）、$\sqrt{42}$、-2、$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$（$x\geq 0$，$y\geq 0$）．例2.当$x$是多少时，$\frac{2x+3}{x+1}$在实数范围内有意义？frac{3x-1}{x+2}$在实数范围内有意义？变式题2：①.当$x$是多少时，$\frac{\sqrt{x-2}}{x-1}$有意义？例3.①.已知$y=\frac{2x+3}{x^2}$在实数范围内有意义，求$x$的取值范围和$y$的值．②.若$a+1+\frac{1}{b-1}=0$，求$a^{2004}+b^{2004}$的值．③.已知$\frac{x-y+1}{x-3}=0$，求$xy$的值．例4.计算：1.$\left(\frac{3}{2}\right)^2$2.$\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2$3.$\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$4.$\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2$5.$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$6.$\left(\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2$7.$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2$例5.计算：1.$\frac{(x+1)^2}{x^2}$（$x\geq 0$）2.$\frac{a^2}{a^2+2a+1}$3.$\frac{a^2}{a^2-2a+1}$4.$\frac{9}{25}+\frac{4}{9}$变式题：计算1.$\left(-\frac{3}{2}\right)^2$2.$(23^2-32^2)$例6.在实数范围内分解下列因式:1）$x^2-3$（2）$x^4-4$（3）$2x^2-3$例7.化简：1）$\frac{9}{\sqrt{25}}$2）$(-4)^2$3）$\frac{a^2}{25}$（$a\neq 0$）4）$(-3)^2$例8.填空：当$a\geq 0$时，$\sqrt{a^2}=$ $a$；当$a<0$时，$\sqrt{a^2}=$ $-a$，并根据这一性质回答下列问题．1）若$a^2=a$，则$a$可以是什么数？2）若$a^2=-a$，则$a$可以是什么数？3）若$a^2>a$，则$a$可以是什么数？例9.当$x>2$，化简$(x-2)^2-(1-2x)^2$．例10．先化简再求值：当$a=9$时，求$a^2+1-2a$的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+(1-a)^2=a+1-2a+a^2=1+a-a^2乙的解答为：原式=a+(1-a)^2/(1-a)^2=a+1-a=1；a+(a-1)/(1-a)=2a-1=17．两种解答中，甲的解答是错误的，错误的原因是少写了一步展开式子的步骤．变式题1．根据题目条件，得到|1995-a|+a-2=a，即|1995-a|=a-2，因为a-200≥-199，所以当a≥197时，1995-a为正数，此时a-1995=|1995-a|=a-2-1995=-1993-a；当a<197时，1995-a为负数，此时a-1995=|1995-a|=1995-a-2=1993+a，综上所述，a-1995的值为-1993-a（a≥197）或1993+a（a<197）。

二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.a ≥0）是一个非负数。

③.2＝a （a ≥0）（a ≥0）2.二次根式的乘：①.②. 3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：②. 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．例2.当x+11x+在实数范围内有意义？变式题1：当x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？例3.①.已知，求xy的值．②.=0，求a2004+b2004的值．③.，求x y的值．例4.计算1．22．（）23．24．（2）2例5. 计算1．2（x≥0）2．23．24．2变式题：计算1.（-）22.例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（2（3（4（1例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例9.当x>2．例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．=a，求a-19952的值．变式题1．若│1995-a│变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。

（2（3（4）（1a≥0，b≥0）计算即可．分析：（2（3（4例12 .化简（2（3（1（5（4例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=4（2变式题1：和，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a）．．√169×6变式题3变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．例14．计算：（1（2÷（3÷（4）例15．化简：（1（2（3（4例16．，且x为偶数，求（1+x的值．变式题1.的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：，化”）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)3; (2)总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：-1，=，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算++（+1）的值．练习：一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．y>0） B y>0） C y>0）AD．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．C． D．ABA=a2DC4的结果是（）B．C．D．A．二、填空题1．（x≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．例20.计算 （1（2总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）（2））+例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y-（x -5x）的值．练习： 一、选择题1中，与是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②17=1；③=；④，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、、与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-+）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（）-（，其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？例24．若最简根式3是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习： 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式） A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．，•那么这简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a ±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=（2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12+1=3-2反之，∴-1求：（1（2；（3吗？(√3-1)（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．例25．计算: （1）+（2）（4）÷例26．计算 （1））（3-） （2）））例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习： 一、选择题1．）．AC2（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题+）2的计算结果（用最简根式表示）是 1．（-12________．）（）-（）2的计算结果（用最简2．（二次根式表示）是_______．-1，则x2+2x+1=________．3．若4．已知a=3+2，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+与也是互为有理化因式．+的有理化因式是________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3（44．其它材料：如果n是任意正整数，=_____=_______．例28.-1的大小。

第一部分：知识回顾知识点1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

知识点2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

知识点3.同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

知识点4.二次根式的性质（1）（a）2=a（a≥0）；（2）a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；二次根式总复习⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a ba ba1.,则x 的取值范围是（ ）>-5<-5≠-5≥-52.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数8-的结果是（）4.计算2B.6 D.25.下列根式中属最简二次根式的是（）6.下列各式中与是同类二次根式的是（）A．2B．C．D．7.已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是( )8.如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N9.如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 10.使2x -x 的取值范围是11.中，自变量的取值范围是12.在根式)(2,4,26,27,21,3222y x x a xy +中,最简二次根式有_________ 13.化简：（1）72=___； （2）222524-=_____； （3）61218⨯⨯=____；（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=____； （5）_______420=-。

（5）()24-=_______233与12中较大的是_____15.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为16.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---17.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．已知，求x y 的值。