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考点40直线与圆锥曲线的位置关系一、解答题1.(12分)(2018年全国卷I高考理科·T19)设椭圆C:＋y2＝1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程.(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA＝∠OMB.【试题解析】(1)由已知得F(1,0),l的方程为x＝1.代入＋y2＝1可得,点A的坐标为或.所以直线AM的方程为y＝-x＋或y＝x-.(2)当l与x轴重合时,∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时,OM为线段AB的垂直平分线,所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y＝k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),,x2＜,直线MA,MB的斜率之和为k MA＋k MB＝＋.则x由y1＝kx1-k,y2＝kx2-k得k MA＋k MB＝.将y＝k(x-1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2-4k2x＋2k2-2＝0.所以,x1＋x2＝,x1x2＝.则2kx1x2-3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而k MA＋k MB＝0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA＝∠OMB.综上,∠OMA＝∠OMB.2.(12分)(2018年全国卷I高考文科·T20)设抛物线C:y2＝2x,点A,B,过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程.(2)证明:∠ABM＝∠ABN.【试题解析】(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x＝2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝-x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y＝k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1＞0,x2＞0.由得ky2-2y-4k＝0,可知y1＋y2＝,y1y2＝-4.直线BM,BN的斜率之和为k＋k BN＝＋＝.①BM＋2,x2＝＋2及y1＋y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得将xx2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.所以k BM＋k BN＝0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM＝∠ABN.综上,∠ABM＝∠ABN.3.(2018年全国卷II高考理科·T19)(12分)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【试题解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y＝k(x-1)(k＞0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0,故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8,解得k＝-1(舍去),k＝1.因此l的方程为y＝x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2＝-(x-3),即y＝-x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2＋(y-2)2＝16或(x-11)2＋(y＋6)2＝144.4.(2018年全国卷II高考文科·T20)(12分)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【试题解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y＝k(x-1)(k＞0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0,故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8,解得k＝-1(舍去),k＝1.因此l的方程为y＝x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2＝-(x-3),即y＝-x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2＋(y-2)2＝16或(x-11)2＋(y＋6)2＝144.5.(2018年全国Ⅲ高考理科·T20)(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:＋＝1交于A,B两点.线段AB的中点为M.(1)证明:k＜-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且＋＋＝0.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质,考查推理论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.【试题解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则＋＝1,＋＝1.两式相减,并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1,＝m,于是k＝-.①由题设得0＜m＜,故k＜-.(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)＋(x1-1,y1)＋(x2-1,y2)＝(0,0).由(1)及题设得x3＝3-(x1＋x2)＝1,y3＝-(y1＋y2)＝-2m＜0.又点P在C上,所以m＝,从而P,||＝.于是||＝＝＝2-.同理||＝2-.所以||＋||＝4-(x1＋x2)＝3.故2||＝||＋||,即||,||,||成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|＝|||-|||＝|x1-x2|＝.②将m＝代入①得k＝-1.所以l的方程为y＝-x＋,代入C的方程,并整理得7x2-14x＋＝0.故x1＋x2＝2,x1x2＝,代入②解得|d|＝.所以该数列的公差为或-.6.(本小题14分)(2018年北京高考理科·T19)已知抛物线C:y2＝2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围.(2)设O为原点,＝λ,＝μ,求证:＋为定值.【命题意图】考查圆锥曲线中的取值范围与定值问题,意在考查知识的运用能力,推理能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【试题解析】将点P代入C的方程得4＝2p,即p＝2,所以抛物线C的方程为y2＝4x,(1)方法一(代数法):显然l斜率存在,设为k,则l:y＝kx＋1,由消去y得k2x2＋(2k-4)x＋1＝0,(*)由已知,方程(*)有两个不同的根,且1不是方程的根(因为PA,PB都与y轴有交点),所以Δ＝-16k＋16＞0且k2＋(2k-4)＋1≠0,即k＜1,且k≠-3,且k≠1,所以k＜1,且k≠-3,即直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA方程为y-2＝(x-1),令x＝0得y＝-＋2,即点M为(0,-＋2),所以＝(0,-＋1),又＝(0,-1),＝λ,所以(0,-＋1)＝λ(0,-1),所以λ＝-1＝,＝,又点A(x1,y1)在直线l:y＝kx＋1上,所以＝＝＝-,同理＝-,由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1＋x2＝-,x1x2＝,所以＋＝-＋-＝-＝-·＝-·＝＝2,即＋为定值2.7.(本小题满分14分)(2018年天津高考理科·T19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|＝6.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设直线l:y＝kx(k＞0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点),求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.【试题解析】(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,由已知得＝,又由a2＝b2＋c2,可得2a＝3b.由已知可得,|FB|＝a,|AB|＝b,由|FB|·|AB|＝6,可得ab＝6,从而a＝3,b＝2.所以,椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1＞y2＞0,故|PQ|sin∠AOQ＝y1-y2.又因为|AQ|＝,而∠OAB＝,故|AQ|＝y2.由＝sin∠AOQ,可得5y1＝9y2.由方程组消去x,可得y1＝.易知直线AB的方程为x＋y-2＝0,由方程组消去x,可得y2＝.由5y1＝9y2,可得5(k＋1)＝3,两边平方,整理得56k2-50k＋11＝0,解得k＝或k＝.所以,k的值为或.8.(本小题满分14分)(2018年天津高考文科·T19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为,|AB|＝.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l:y＝kx(k＜0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.【解题指南】(Ⅰ)结合离心率,线段AB的长,利用方程思想,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)注意△BPM与△BPQ同底,且△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|＝2|PQ|,再利用解析法即可求解.【试题解析】(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得＝,又由a2＝b2＋c2,可得2a ＝3b.又|AB|＝＝,从而a＝3,b＝2.所以,椭圆的方程为＋＝1.(II)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2＞x1＞0,点Q 的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|＝2|PQ|,从而x2-x1＝2[x1-(-x1)],即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6,由方程组消去y,可得x2＝.由方程组消去y,可得x1＝.5x1,可得＝5(3k＋2),两边平方,整理得18k2＋25k＋8＝0,解得由xk＝-,或k＝-.当k＝-时,x2＝-9＜0,不合题意,舍去;当k＝-时,x2＝12,x1＝,符合题意.所以,k的值为-.9.(本小题满分16分)(2018年江苏高考·T18)如图,在平面直角坐标系xOy,0),中,椭圆C过点,焦点FF,0),圆O的直径为F1F2.2((1)求椭圆C及圆O的方程.(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.,0),F2(,0),可设椭圆C的方【试题解析】(1)因为椭圆C的焦点为F程为＋＝1(a＞b＞0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为＋y2＝1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2＋y2＝3.y0)(x0＞0,y0＞0),则＋＝3,(2)①设直线l与圆O相切于P(x所以直线l的方程为y＝-(x-x0)＋y0,即y＝-x＋..(*)由消去y,得(4＋)x2-24x因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,2-4(4＋)(36-4)＝48(-2)＝0.所以Δ＝(-24xy0＞0,所以x0＝,y0＝1.因为x因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP＝,从而AB＝.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2＝,所以AB2＝(x1-x2)2＋(y1-y2)2＝·.因为＋＝3,所以AB2＝＝,即2-45＋100＝0,解得＝(＝20舍去),则＝,因此P的坐标为.综上,直线l的方程为y＝-x＋3.10.(2018年浙江高考T21)(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2＝4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C 上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴.(Ⅱ)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【试题解析】(Ⅰ)设P (x 0,y 0),A,B.因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以y 1,y 2为方程＝4·即y 2-2y 0y ＋8x0-＝0的两个不同的实数根. 所以y 1＋y 2＝2y 0. 因此,PM 垂直于y 轴.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知所以|PM |＝(＋)-x0＝-3x 0,|y 1-y 2|＝2.因此,△PAB 的面积S△PAB ＝|PM |·|y 1-y 2|＝(-4x 0.因为＋＝1(x0＜0),所以-4x 0＝-4-4x 0＋4∈[4,5].因此,△PAB 面积的取值范围是.。
考点41直线与圆锥曲线的位置关系（1)了解圆锥曲线的简单应用。
(2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ,已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y Cg x y ==,求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解. 方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点。
若方程组无实数解,则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组,消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.（1）当0a≠时，∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线0有两个交点;∆=⇔方程有两个相同的实数解,即直线与圆锥曲线有0一个交点；∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点。
（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0，c≠0,方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点,与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切;直线与椭圆没有交点⇔相离。
(2）直线与双曲线有两个交点⇔相交。
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行。
直线与双曲线没有交点⇔相离. (3)直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点⇔相离。
二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解(1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长2222121121221()()1|1|(0)＝AB x x y y k x x y y k k-+-+-=+-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长。
韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
计算题1. 已知直线：与椭圆：交于，两点，与直线：交于点。
（1）证明：与相切。
（2）设线段的中点为，且，求的方程。
2. （本小题满分12分）已知点，，动点满足条件，记动点的轨迹为。
（1）求的方程。
（2）若，是上的不同的两点，是坐标原点，求的最小值。
3. （本小题满分14分）已知直线经过椭圆：（）的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线：分别交于、两点，（1）求椭圆的方程；（2）确定线段的长度的最小值；（3）当线段的长度取最小值时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定的个数；若不存在，请说明理由。
4. （本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点。
（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率存在且与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点，求到直线的距离。
5. （本小题满分12分）已知椭圆的方程为（），称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“伴随圆”，椭圆的短轴长为，离心率为。
（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，与其“伴随圆”交于，两点，当时，求面积的最大值。
6. （本小题满分14分）已知椭圆：（，）的右准线的方程为，短轴长为。
（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线（）与椭圆交于、两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。
7. （本小题满分13分）已知椭圆：（）的离心率，并且经过定点。
（1）求椭圆的方程；（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于点、，满足。
若存在，求的值，若不存在，请说明理由。
8. （本小题满分14分）如图，已知椭圆（）的离心率为，、为其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，的周长为。
（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值（为坐标原点）；（3）直线也过且与椭圆交于、两点，且，设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
9. 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：（）相交于不同的两点，，与抛物线的准线相交于不同的两点，，且。
直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的重要工具之一。
它是由法国数学家韦达在18世纪提出的，用于求解直线与圆锥曲线的交点坐标。
在解决这类问题时，我们可以采用以下的应用策略：1. 确定直线和圆锥曲线的方程首先，我们需要确定直线和圆锥曲线的方程。
对于直线而言，我们可以使用点斜式或两点式来表示；对于圆锥曲线而言，我们需要根据其类型来确定其方程。
例如，对于椭圆而言，其方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1；对于双曲线而言，其方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1等等。
2. 将直线方程代入圆锥曲线方程接下来，我们将直线方程代入圆锥曲线方程中，得到一个关于未知数的一元二次方程。
通过求解这个方程，我们可以得到直线与圆锥曲线的交点坐标。
3. 判断交点个数在求解交点坐标之前，我们需要先判断交点的个数。
如果一元二次方程的判别式为正，那么直线与圆锥曲线将会有两个交点；如果判别式为零，那么直线与圆锥曲线将会有一个交点；如果判别式为负，那么直线与圆锥曲线将不会有交点。
4. 求解交点坐标在确定了交点个数之后，我们可以通过求解一元二次方程来得到交点坐标。
如果直线与圆锥曲线有两个交点，那么我们需要分别求解两个交点的坐标；如果直线与圆锥曲线只有一个交点，那么我们只需要求解这个交点的坐标即可。
总之，韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的重要工具之一。
在应用韦达定理时，我们需要先确定直线和圆锥曲线的方程，然后将直线方程代入圆锥曲线方程中，求解一元二次方程，最后判断交点个数并求解交点坐标。
通过这些步骤，我们可以有效地解决直线与圆锥曲线问题。
高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理第一部分：韦达定理解法设计【题型一】：已知直线的斜率例题一：已知斜率为1的直线l 与椭圆12:22=+y x C 相交于A 、B 两点。
解法设计：假设：直线l 与y 轴的截距为m 。
根据直线的斜截式方程得到直线l 的方程：m x y +=。
假设：两个交点的坐标。
A 点的坐标为),(11y x ，B 点的坐标为),(22y x 。
联立直线l 的方程和椭圆C 的方程： m x y +=022122222=-+⇒=+y x y xm x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x022430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
根据韦达定理得到：3421mx x -=+，322221-=⋅m x x 。
A ，B 为直线l 与椭圆C 的两个交点),(11y x A ⇒，),(22y x B 为直线:l m x y +=上的两点m x y +=⇒11，m x y +=22；322342212121mm m m x x m x m x y y =+-=++=+++=+； 2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅3233422343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
【题型二】：已知直线与y 轴的截距例题二：已知：过点)2,0(的直线l 与双曲线C ：x y 42=相交于A ，B 两点。
解法设计：假设：直线l 的斜率为k ，直线l 过点⇒)2,0(根据直线的斜截式方程的直线l ：2+=kx y 。
假设：两个交点的坐标。
点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。
专题07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-20186的椭圆C的一个焦点坐标为()2,0-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()0,2P 的直线l 与轨迹C 交于不同的两点E F 、，求PE PF ⋅的取值范围.【答案】（1）2213x y +=;（2）93,2PE PF ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）由离心率为63，及一个焦点坐标为()2,0-，求出基本量，可得椭圆C 的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得PE PF ⋅的取值范围．121222129,1313k x x x x k k+=-=++， 由()()22212361301k kk∆=-+>⇒>()()()2211221222992,2,21311313k PE PF x y x y kx x k k +⎛⎫⋅=-⋅-=+==+ ⎪++⎝⎭由21k >知93,2PE PF ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭；综上所述： 93,2PE PF ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析; （1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+-- ()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知椭圆22+197x y =的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为32. （1）求双曲线E 的标准方程；（2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为42，求直线l 的方程.【答案】（1）22145x -=;（2）20x y -+= 【解析】试题分析: （1）利用双曲线E 与椭圆22+197x y =有公共焦点，且离心率为32.，求出基本量，即可求双曲线E 的方程；（2）设直线l 的方程为y x t =+，与双曲线E 的方程联立，结合弦长公式，即可求l 方程．（2）设直线l 的方程为y x t =+，由221 {45xy x t-==+得()228450x tx t--+=，∴()28010t∆=+>，12442x x t+==，∴2t=.∴直线方程为20x y-+=.5．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的短轴端点到右焦点()10F，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A B，两点，交直线4l x=：于点P，若1PA AFλ=，2PB BFλ=，求证：12λλ-为定值．【答案】(1)22143x y+=;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AFx λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭ ()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k--=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.方法三：由题意直线AB 过点()1,0F ，设方程为1x my =+ ()0m ≠， 将4x =代人得P 点坐标为34,m ⎛⎫⎪⎝⎭， 由221{ 143x my x y =++= 消元得()2234690m y my ++-=， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且122122634{ 934my y m y y m -+=+-⋅=+，因为1PA AF λ=，所以11111330y PA my m AF y my λ--===-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.6．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知双曲线C ： 22221x y a b-=（0,0a b >>）54． （1）求双曲线的标准方程；（2）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点， O 为坐标原点，求OAB ∆的面积．【答案】．（1）2214y x -=;（2）43OAB S ∆= 【解析】试题分析：（1）由题意得2225{24 cab c a b ===+，解出a ,b ,c 即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线l 的方程为1y x =+，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长AB 及原点到直线的距离d ，可求得三角形的面积。
试题解析：(1)依题意可得2225{24 cab c a b ===+，解得1,2,5a b c ===，∴双曲线的标准方程为2214y x -=．∴11822422323OAB S AB d ∆=⋅⋅=⨯⨯=。
点睛：双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则弦长|AB |＝|x 1－x 2|。
7．【江苏省清江中学2017-2018学年高二上学期期中】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。
（1）已知椭圆221:14x C y +=，写出与椭圆1C 相似且焦点在x 轴上、短半轴长为b 的椭圆b C 的标准方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线2y x =+对称，求实数b 的取值范围；（2）从外层椭圆顶点A 、B 向内层椭圆引切线AC 、BD ，设内层椭圆方程为22x a +22y b=1 (a >b >0)，AC 与BD的斜率之积为－78，求椭圆的离心率。
【答案】（1）25b >；（2）2． 【解析】试题分析：（1）由两点M 、N 关于直线2y x =+对称可设出直线MN 的方程为y x t =-+，将此方程与椭圆方程联立消去y 可得()2225840x tx t b -+-=，由题意此方程有两个不等实根，再根据MN 的中点在直线2y x =+上可消去t ，根据判别式可得b 的范围；试题解析：（1）椭圆b C 的方程为： 22221(0)4x y b b b+=>设直线MN 的方程为y x t =-+，由2222{ 14y x tx y b b =-++=消去y 整理得()2225840x tx t b -+-=即方程228010054039x x b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭有两个不同的实数解， 所以228010080039b ⎛⎫⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得25b >25b <。
所以实数b 的取值范围为25⎫+∞⎪⎪⎝⎭。
（2）设外层的椭圆的方程为22222(0)x y m b a b+=>，设切线AC 的方程为()1y k x ma =-, 由()()()()1222{y k x ma bx ay ab =-+=消去y 整理得()2222322422211120ba k x ma k x m a k ab +-+-=∵直线AC 与椭圆相切， ∴()()()23222224222111240ma k b a k m a ka b ∆=--+-=，即椭圆的离心率为24。
