圆锥曲线联立及韦达定理

韦达定理在解析几何中的应用韦达定理步骤 1、 设直线0Ax By C ++=与曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,既设而不求。

2、 直线与曲线方程联立方程组。

3、 消去x, 得到关于或y 的一元二次方程.4、结合具体问题与韦达定理建立联系， 如求弦长等。

韦达定理注意与向量的联系一，求弦长.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ， 1．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点。

（1）若12||x x -=||AB = （2）12||y y -=||AB =2．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB =3、抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)44、y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。

已知向量()()()()m x n m x n y 1122201101====，，，，，，，（其中x ，y 是实数），又设向量1221m m n m ==u r u u r u r r u u r r，，且m n ∥，点()P x y ，的轨迹为曲线C 。

图6图7解：∵AD⊥平面D1DCC1,∴AD⊥DP，同理可得BC⊥CP,∵∠APD=∠MPC，BC⊥CP，AD⊥DP，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC,以点D为坐标原点，以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立如图7所示的空间直角坐标系，则C()0,6,0,D()0,0,0,M()3,6,0,设点P()0,y,z，∵PD=2PC，∴|| PD2=4|| PC2，即y2+z2=4éëùû()6-y2+z2，整理可得z2+()y-82=16，由题意可知，△BCD的面积为定值，要使三棱锥P-BCD的体积最大，需使点P的纵坐标最大，由于点P在曲线z2+()y-82=16上，所以当该曲线与CC1相交时点P的纵坐标最大，此时交点的坐标为()0,6,23，V P-BCD=13×18×23=123，∴三棱锥P-BCD的体积的最大值为123.因为△BCD的面积为定值，所以求三棱锥P-BCD的体积的最大值，只需求得三棱锥P-BCD的高的最大值，通过向量坐标运算求得动点P的轨迹方程，便可根据图形找到三棱锥P-BCD的高的最大值.可见，运用向量法解答立体几何中的角度问题、距离问题、面积问题、体积问题，关键在于建立合适的空间直角坐标系，构造出向量，将问题转化为向量运算问题来求解.同学们在解答立体几何问题时，要学会根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，构造出空间向量，以便转换解题的思路，提升解题的效率.（作者单位：江苏省江安高级中学）在解答直线和圆锥曲线问题时，我们往往要采用代数法，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立起来，再消去x或y，得到一个关于x或y的一元二次方程.不妨设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2，由韦达定理可得x1+x2=-b a、x1x2=c a，即可得x12+x22、||x1-x2、1x1+1x2等的值.但在某些问题中，可能会出现两根不是轮换对称的式子，如x1=tx2（t≠1），λx1+μx2()λ≠μ等，像这种结构的式子，我们称之为非对称韦达式，此时利用韦达定理无法直接求得问题的答案.那么如何求解这类“韦达定理非对称”的问题呢？下面结合实例进行探讨.类型一：形如x1=tx2(t≠1)的非对称韦达式当遇到形如x1=tx2（t≠1）的非对称韦达式时，需先将该式变形，推出(x1+x2)2=()t+1x22,x1x2=tx22，可得(x1+x2)2x1x2=t+1t，即通过配凑、变形，构造出关于x1+x2、x1x2的式子，再根据韦达定理，通过整体替换，建立关于t的方程，从而求得答案.例1.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1 , 0)，C1的中心和C2的顶点均是坐标原点，过点M(4 , 0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．解题宝典40（1）求抛物线C 2的标准方程；（2）若 AM =12MB ，求直线l 的方程.解：（1）抛物线C 2的方程为：y 2=4x ；（过程略）（2）设直线AB 的方程为y =k (x -4)（k ≠0）．将直线与抛物线C 2的方程联立可得ìíîy =k (x -4)，y 2=4x ，消去x 得ky 2-4y -16k =0，可得Δ=16+64k 2>0，设A (x 1 , y 1) , B (x 2 , y 2)，则y 1+y 2=4k①，y 1∙y 2=-16②，又 AM =12 MB ，所以y 1=-12y 2，所以y 1+y 2=12y 2，y 1y 2=-12y 22，可得(y 1+y 2)2y 22=-12，由①②得(y 1+y 2)2y 22=(4k )2∙(1-16)=-1k2，所以-1k 2=-12，解得k =±2.故直线l 的方程为y =2x -42或y =-2x +42．解答第二个问题，需将直线l 与抛物线C 2的方程联立，根据韦达定理得到y 1+y 2、y 1y 2，然后通过配凑得到有关y 1+y 2、y 1y 2的式子，最后通过恒等变换消去y 1、y 2，得到只含有k 的式子，通过解方程求得k 的值，即可解题.类型二：形如λx 1x 2+μx 2()λ≠μ的非对称韦达式当题中出现形如λx 1x 2+μx 2()λ≠μ的非对称韦达式，直接运用韦达定理肯定是行不通的，此时我们可以利用韦达定理，将一个根用另外一个根表示出来，再代入目标式中，通过整体约分来求得问题的答案.例2.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左右焦点分别为F 1（-c ,0），F 2（c ,0），M ，N 分别为左、右顶点，直线l ：x =+1与椭圆C 交于点A ，B ，其中A 是椭圆的上顶点，ΔAF 1F 2的周长为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，BN 交于Q 点，求证：点Q 在定直线上.解：（1）椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（过程略）（2）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，建立方程组得ìíîïïx 24+y 23=1，x =ty +1，消去x 得()3t 2+4y 2+6ty -9=0，所以y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4.又M (-2,0),N (2,0)，所以直线AM 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),直线BN 的方程为y =y 2x 2+2(x -2),联立方程得x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(ty 1+3)y 1(ty 2-1)=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1（*）.方法一：由y 1+y 2=-6t 3t 2+4,得y 1=-6t 3t 2+4-y2将其代入（*）得x +2x -2=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1=-9t 3t 2+4+3y2-9t 3t 2+4+6t 3t 2+4+y2=-9t 3t 2+4+3y2-3t 3t 2+4+y2=3，解得x =3.方法二：由y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4得到ty 1y 2=32(y 1+y 2)，将其代入（*）得到x =3.所以点Q 在定直线x =3上.对于第二个问题，将两直线方程联立得到ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1，该式为非对称韦达式，需根据韦达定理求得y 1+y 2，y 1y 2，然后根据和式或积式，用y 2来表示y 1，通过代入消元、整体约分，求得x 的值.在解题中，同学们要学会识别非对称韦达式，将其与一元二次方程、韦达定理关联起来，进行适当的配凑或变形，再根据韦达定理进行计算或整体约分，从而使问题得解.在日常解题的过程中，同学们要学会总结解题方法，归纳通性通法，从而真正地提升解题的能力.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）解题宝典41。

圆锥曲线中的联立与判别式知其然，更要知其所以然.我们在处理直线与圆锥曲线的位置关系时，都很自然地用到联立消元，利用韦达定理（现行教材好像改为“根与系数的关系”）求出两根之积，两根之和，再设法整体代换，屡试不爽！然而，在处理两个二次曲线的交点问题时， “韦达定理”似乎就失效了，这是为什么呢？这就关系到联立背后的原理了，这在教学过程中往往不被强调，遂写文以记之.先从解方程组谈起我们先来看以下三个方程组的求解过程：以上三个方程的求解过程大致相同，都是消元，求得其中一个未知数，再代回原方程求另一个未知数.区别只在于方程组①和方程组③在求得 x 之后，把它的两个值代入求 y ，都有唯一的 y 与之对应，而方程组②则不然，它 在把 x 1 代入之后求得两个 y 值，把 x 2 代入之后得不到相应的 y .下面将以三个方程组为例谈谈曲线的交点、方程（组）的解、判别式的适用性问题.AOB直线与圆锥曲线的位置关系以直线 y = + 1 和椭圆 x 2 + y 2= 1 为例，从上述解方程组的结果易知直线与椭圆相交于点 A ⎛1, 3 ⎫， x 2 4 3 2 ⎪⎝ ⎭B ⎛ - 11, - 15 ⎫ ，如下图所示. 7 14 ⎪ ⎝ ⎭的横坐标正是联立消元所得方程7x 2 + 4x -11 =实根，因此满足韦达定理的使用条件，有⎧x + x= x + x = - 4⎪ A B 1 2x 的二次方程，为若（*若（*+ n 可得 y = mx + n ，此时直线l 与椭圆C 若（*= mx + n 可得 y = mx+ n ，11y 2 = mx 2 + n ，此时直线l 与椭圆C 有两个公共点( x 1 , mx 1 + n ) ，( x 2 , mx 2 + n ) ， 我们可以看见，这两个公共点的横坐标 x 1 , x 2 即为方程（*）的两个不等实根，故满足韦达定理使用条件.1 AOB( - )2+2 = 9x 2 + y 2 = 圆与椭圆的位置关系A ⎛1, 3 ⎫B ⎛1, - 3 ⎫ 以 圆 x 1 y 和椭圆 4 4 3 为例，从上述解方程组的结果易知圆与椭圆相交于点 2 ⎪ ， 2 ⎪ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭如下图所示.的横坐标对应的是联立消元所得方程 7x 2 + 4x -实根 x = 1 ，故虽然这个方的横坐标不满足韦达定理，即 ⎧x + x = - 4 ⎧x + x ≠ - + y 2 = 9 中，就已经隐含了4⎡ 1 5 ⎤ x ∈ ⎢- , ⎥ 这个条件，在椭圆. ⎣ 2 2 ⎦1⎨ ⎩ 0 0CAODBAB O现在我们把圆的方程调整一下，使得圆与椭圆有四个交点，如下图所示：轴上，所以联立消元后仍然会得到一个关于ax 2 + bx + c = 0 ，（*）= x B = x 1 ， x C = x D = x 2 ，对于. 如果研究对角线 AD , BC 的有关性质，也可以利用韦达定理进行整体代换，即此时圆与椭圆确实有两个不同的交点，但因为圆心不在椭圆的对称轴上，所以两个曲线方程联立之后无法得到综合来看，研究圆与椭圆的位置关系，并不能直接用判别式进行判定 当圆心不在椭圆的对称轴上，方程组一般不可解，只能通过画图研究其位置关系.⎧ x 2 + y 2 =当圆心 E 在椭圆 M 的对称轴上时，以⎪ a 2 b 2 1 为例，可以消去 y 2 ，得到关于 x 的二次方程，记为⎪(x - m )2 + y 2 = r 2Ax 2 + Bx + C = 0 ，（*）若（*）式无实数解，则圆 E 与椭圆 M 无公共点.若（*）式恰有一个实数解，即 ∆ = B 2 - 4AC = 0 ，设这个唯一解为 x . 若 x> a ，则圆 E 与椭圆 M 无公共点；若 x 0 = a ，则圆 E 与椭圆 M 恰有一个公共点；若 x 0 < a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点关于 x 轴4 4 1 22 A OB 对称；若（*）式恰有两个个实数解，即∆ = B 2- 4AC > 0 ，设两个不等实根分别为 x , x ( x≥ x ). 若 x> a ，则圆 E与椭圆 M 无公共点；若 x 1 > a , x 2 = a ，则圆 E 与椭圆 M 有三个公共点；若 x 1 = x 2 = a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点就是椭圆长轴端点，此时这个圆就是椭圆的外准圆（蒙日圆）；若 x 1 > a , x 2 < a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点关于 x 轴对称；若 x 1 = a , x 2 < a ，则圆 E 与椭圆 M 只有一个公共点，它们相切；若 x 1 < a ，则圆 E 与椭圆 M 没有公共点.⎛ 3 ⎫ ⎛ 45 ⎫A 1, ⎪,B 4, - ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝⎭ 如下图所示：的横坐标正是联立消元所得方程 x 2 - 8x + 7 = 0 实根，因此满足韦达定理的使用条件，有⎧x A + x B = x 1 + x 2 = 8 ⎨x x = x x = 7 .⎩ A B 1 2更一般地，对于开口不同的抛物线 y = a x 2 + b x + c 和抛物线 y = a x 2 + b x + c ，联立方程组，消去 y 可以得到11222关于 x 的二次方程，为了便于讨论，不妨记为若（*）式无实数解，两条抛物线无交点.Ax 2 + Bx + C = 0 ，（*）若（ * ） 式恰有一个实数解， 即 ∆ = B 2 - 4AC = 0 ， 设这个唯一解为 x ，代入 y = a x 2 + b x + c 可得11120 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 12 1 2 1 2 1 y = a x 2+ b x + c ，此时这两条抛物线相切，有唯一公共点(x, a x 2 + b x + c ).若（*）式有两个实数解，即∆ = B 2 - 4AC > 0 ，设两个不等实根分别为 x , x ，分别代入 y = a x 2 + b x + c 可得1 211y = a x 2 + b x + c ， y = a x 2 + b x + c ，此时这两条抛物线有两个公共点(x , a x 2 + b x + c ) ， (x , a x 2 + b x + c )，我们可以看见，这两个公共点的横坐标 x 1 , x 2 即为方程（*）的两个不等实根，故满足韦达定理使用条件.归根到底，其实还是要注意对概念的理解.判别式法只能直接判定对应二次方程的解的个数，但是这个二次方程的解是不是交点的坐标，则需要具体情况具体分析，不能一概而论.当判别式大于 0，即二次方程有两个不等实根时，韦达定理用起来很舒服，但是要注意到的是这个韦达定理刻画的是这个二次方程两个不等实根之间的关系，到底所设两个交点的坐标是不是与这两个不等实根一一对应，也是一件需要考虑的事情.这其实恰恰就是我们所学过的三段论! 韦达定理是大前提，当然没错，但是我们在使用的时候还必须注意小前提是否满足，是不是呢？最近我有一个感觉，很多问题的产生都是由于我们对概念的理解并不确切或逻辑链不完整所造成的，希望以后高考评分标准能在这方面给出引导，让更多的师生从数学学习过程中获得更多真正有用的东西，而不是仅仅学到一些对大多数人来说都没有用的专业知识和解题套路.。

第19讲 韦达定理之设而不求知识与方法在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去y （或x ）整理得出关于x （或y ）的一元二次方程是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是()11,A x y 、()22,B x y ，很多时候我们都不去求这两个交点的坐标，而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于x （或y ）的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用到的量，这种处理方法叫做设而不求.一般地，若联立后得到的关键方程用20ax bx c ++=()0a ≠来表示，其判别式24b ac ∆=−，则：（1）12b x x a+=−；（2）12c x x a=；（3）12x x a−==；（4）()2222121212222b ac x x x x x x a −+=+−=；（5）12121211x x bx x x x c++==−.借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于1x 和2x 的具有对称结构的代数式. 典型例题1.（★★★）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，且21122244x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差得：()()()1212124x x x x y y +−=−，所以12121214y y x x x x −+==−，故直线AB 的斜率为1. （2）解法1：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，124x x t =−，1212242y y x x t t +=++=+，2212124x x y y t ⎛⎫== ⎪⎝⎭()112,1MA x y =−−，()222,1MB x y =−−，因为AMBM ⊥，所以0MA MB ⋅=，即()()()()()()2121212121212221125484250x x y y x x x x y y y y t t t −−+−−=−++−++=−−+−−+=解得：7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.解法2：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，1212242y y x x t t +=++=+， 所以AB 中点为()2,2N t +，故211MN t t =+−=+而12AB x x =−==，因为AM BM ⊥，所以2AB MN =，故()21t =+，解得7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.2.（★★★★）已知抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M 、N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.【解析】（1）将点()1,1代入22y px =解得：12p =，故抛物线C 的方程为2y x =，其焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =−.（2）设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y将2y x =代入12y kx =+消去x 整理得：22210ky y −+=()0k ≠判别式()22420k ∆=−−⨯>，所以12k <且0k ≠，由韦达定理，121y y k +=，1212y y k=，直线AB 的方程为1x x =，直线OP 的方程为y x =，直线ON 的方程为22y y x x =联立1x x y x =⎧⎨=⎩，解得：1y x =，所以1A y x =，联立122x x y y xx =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：122x y y x =，所以122B x y y x = 故()122212212121221221122112112222222222M BA x y y y y y y y y y y x x y x y y y y y x x y x x x x x ++−+++−−=−=−== 2211122202k k k x ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭== 所以2M B A y y y +=，故A 为线段BM 的中点.3.（2021·北京·20·★★★★）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2A −，以4个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()0,3P −的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B 、C ，直线AB 交3y =−于点M ，直线AC 交3y =−于点N ，若15PM PN +≤，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，2b =，四个顶点围成的四边形面积1222S a b =⨯⨯=，所以a =，即椭圆E 的标准方程为22154x y += （2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l 的方程为3y kx =−， 直线AB 的斜率为112y x +，其方程为1122y y x x +=−， 联立11223y y x x y +⎧=−⎪⎨⎪=−⎩，解得：112x x y =−+， 所以112x PM y =+，同理，222x PN y =+，所以121222x x PM PN y y +=+++，联立223154y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()224530250k x kx +−+=，判别式()22900100450k k ∆=−+>.解得：1k <−或1k >，由韦达定理，1223045kx x k +=+，1222545x x k =+，显然120x x >，故1x 、2x 同号，而120y +>，220y +>，所以112x y +与222xy +同号， 故()()12121212122121212121222222111kx x x x x x x x x x PM PN y y y y kx kx k x x k x x −++=+=+=+=++++−−−++ 222222503045455253014545k k k k k k k k k −++==−+++，由题意，15PM PN +≤，所以515k ≤，故33k −≤≤， 综上所述，k 的取值范围为[)(]3,11,3−−.强化训练4.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，长轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y kx m =+()0k ≠与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线过点()1,0P ，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，椭圆C的离心率e=，长轴长2a =，所以a =，2b =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222214280k x kmx m +++−=， 判别式()()222216421280k m k m ∆=−+−>，化简得：()224210k m +−>①， 由韦达定理，122421km x x k +=−+，()121222221my y k x x m k +=++=+，所以AB 中点为222,2121m m G k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，因为AB 的中垂线过点()1,0P ，所以PG AB ⊥，从而222112121m k k km k +⋅=−−−+，化简得：221k m k +=−，代入①得：()222214210k k k ⎛⎫++−−> ⎪⎝⎭解得：2k <或2k >，故k 的取值范围为2,,22⎛⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.（★★★）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为2，且过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03D ⎛⎫− ⎪⎝⎭且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点()1,0A ，证明：AP AQ ⊥.【解析】（1）由题意，2213124a b =⎨⎪+=⎪⎩，解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2212y x +=. （2）由题意，可设直线1的方程为13x my =−，代入2212yx +=消去x 整理得：()2241621039my my +−−=， 易得判别式0∆>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()1224321my y m +=+，()12216921m y y m =−+ 所以()()12122223321x x m y y m +=+−=−+，()()221212122111839921m m x x m y y y y m −=−++=+ ()111,AP x y =−，()221,AQ x y =−，故()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=−−+=−+++()()()()()222222211869211611821610921321921921m m m m m m m −+++−−=++−==++++ 所以AP AQ ⊥.。

圆锥曲线韦达定理联立公式
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a：x1*x2=c/a；x1+x2=-b/a。

韦达定理公式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1/x12+1/x22=(x12+x22)/x1x2，
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)等。

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。

由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为：（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。

韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。

判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

圆锥曲线定比分点和韦达定理圆锥曲线是平面上的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在几何学中，圆锥曲线定比分点是指在圆锥曲线上取定比分点的方法，而韦达定理则是关于圆锥曲线上点的坐标之间的关系定理。

本文将分别介绍圆锥曲线定比分点和韦达定理的概念、原理和应用。

一、圆锥曲线定比分点1. 椭圆的定比分点椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

在椭圆上取一点P(x, y)，连接PF1和PF2，并延长交椭圆于点Q。

若满足条件|PF1|:|PF2|=m:n，则称P为椭圆的定比分点，记作P(m:n)。

2. 双曲线的定比分点双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a 的点P的轨迹。

在双曲线上取一点P(x, y)，连接PF1和PF2，并延长交双曲线于点Q。

若满足条件|PF1|:|PF2|=m:n，则称P 为双曲线的定比分点，记作P(m:n)。

3. 抛物线的定比分点抛物线是平面上到定直线L和定点F的距离相等的点P的轨迹。

在抛物线上取一点P(x, y)，连接PF并延长交抛物线于点Q。

若满足条件|PF|:|PL|=m:n，则称P为抛物线的定比分点，记作P(m:n)。

圆锥曲线定比分点的性质和应用：1. 定比分点构造了圆锥曲线上的一类特殊点，它们具有一些特殊性质，如与圆锥曲线上其他点的位置关系、几何意义等。

2. 定比分点可以用来解决一些几何问题，如确定圆锥曲线上满足特定条件的点的坐标、证明一些几何性质等。

二、韦达定理韦达定理是关于圆锥曲线上点的坐标之间的关系定理，它适用于椭圆、双曲线和抛物线。

具体来说，对于圆锥曲线上三个不共线的点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)、P3(x3, y3)，若它们满足关系式：%[ %frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} = %frac{(y-y_1)(y-y_2)}{(y_3-y_1)(y_3-y_2)} %]则这三个点共线。

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。

(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。

圆锥曲线非对称性韦达定理怎么处理
在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程，消去x或y,得到一个一元二次方程。

很多都是利用韦达定理得到两根之间的关系来处理有关x1,x2（或y1,y2）的对称量，诸如：
x1+x2,x1x2,|x1−x2|,x12+x22,x1
x2+x2
x1
,y1
x1−2
·y2
x2−2
等，它们都是关于x1,x2（或y1,y2）的轮换对称
式，即将x1与x2互换之后，结果不变，被称之为“对称性”。

这类问题，我们称之为“对称型韦达定理”题型，只需要将韦达定理代入化简即可得到结果。

但还有少部分题不是关于x1,x2（或y1,y2）的轮换对称式，比如我们会遇到两根不对称的结构，比如：
x1 x2,λx1+μx2(λ≠μ),kx1x2+3x1−2x2
kx1x2−3x2+2x1
,m y1y2−3y1
m y
1
y
2
+2y
2
这类问题我们称之为“非对称型韦达定理”题型，一般
都是定值定点的证明题，这类问题我们不能简单的代入韦达定理来得到结果，那么这类问题我们该怎么处理呢？
最常见的处理办法是——和积代换（非对称结构中不含常数项时可尝试使用此法）
即寻求x1x2与x1+x2或y1y2与y1+y2之间的关系，将积式替换成和式，从而求定点定值最值问题。

同类题：解答：。

圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。

利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。

例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。

首先联立方程组，得到两个交点的坐标。

然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。

最后利用XXX定理求解，得到a的值。

二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。

设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。

根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。

然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。

最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。

已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。

解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。

则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。

韦达定理——圆锥曲线硬解定理 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222212k a b km a x x +-=+；22222221)(ka b b m a x x +-=+；)(4222222m k a b b a -+=∆ 消去x 得：0)(2)(222222222=-+-+k a m b my b y k a b2222212k a b m b y y +-=+；222222221)(ka b b a m b y y +-=+；)(42222222m k a b k a b -+=∆ 韦达定理：主要适用于设而不求，弦长公式，如面积;2222222222212)(411k a b m k a b b a k x x k AB +-+•+=-+= 22222222222212)(41111k a b m k a b k a b k y y k AB +-+•+=-+=超级韦达定理——反向点乘双根式 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222222222222121212)()())((p k a b kmp a k a b b m a p x x p x x p x p x ++++-=++-=-- 2222222222221)(2)())((ka b b m a kmp a p k a b p x p x +-+++=-- 22222222222221)(2)())((k a b k a m b mq b q k a b p y p y +-+-+=-- 超级韦达定理：主要适用于λ=•→→MB MA 型，如垂直、圆过定点；例1、（全国卷）已知)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点)2,0(-A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．例2、（上海高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,求直线l 的方程.例3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.对称与对称思想： 1、标准对称例1、如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。

高考数学圆锥曲线专题：韦达定理第一部分：直线的斜截式方程使用条件一：已知斜率第一类直线的方程：直线的斜截式方程直线的斜截式方程：b kx y +=，其中k 为斜率，b 为与y 轴的截距。

第一种使用条件：已知直线的斜率。

【例题一】：已知：斜率为1的直线与椭圆C ：1222=+y x 相交于A ，B 两点。

【本题解析】：第一部分：韦达定理的计算部分。

韦达定理的使用条件：直线与曲线相交于两点。

第一步：假设两个交点的坐标。

假设：点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。

第二步：假设直线的方程。

本题已知直线l 的斜率为1，需要假设直线l 与y 轴的截距得到直线l 的方程。

假设：直线l 的方程为：m x y +=。

第三步：联立直线l 的方程和椭圆C 的方程。

mx +022********=-+⇒=+⇒=+y x y x y 把m x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x 0)22(430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。

第四步：韦达定理计算两个交点的横坐标之和21x x +，横坐标之积21x x 。

原理：一元二次方程02=++c bx ax 的两个根1x ，2x ：a b x x -=+21，ac x x =21。

340)22(432122mx x m mx x -=+⇒=-++，322221-=m x x 。

第五步：根据直线的方程的纵坐标之和21y y +，纵坐标之积21y y 。

),(11y x A ，),(22y x B 为直线m x y l +=:上两点m x y +=⇒11，m x y +=22；3236342342212121mm m m m m x x m x m x y y =+-=+-=++=+++=+；2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅323342233343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。

“韦达定理”“反点斜式”“⽬标函数”——玩转圆锥曲线题圆锥曲线试题作为⾼考⾼难度甚⾄压轴题，⼀直是⼴⼤⾼考学员甚⾄是所有⾼中学员的⼀块⼼病和挥之不去的“梦魇”。

这么说毫不夸张，据我的学员和我说，她的同学被圆锥曲线题完全弄得绝望了！客观的说，圆锥曲线有如此境遇确实和它本⾝的难度扯不开关系。

原因有三：1、知识⾯涉及⼴。

圆锥曲线题不只是涉及圆锥曲线本⾝，同时经常和函数、⼀元⼆次⽅程、⼏何等等知识相联相关。

2、因为涉及的知识⾯多⽽⼴，故解题过程⽐较复杂，花费时间长，打持久战⼀直是⼴⼤⾼中学员不愿意做的事情。

3、也是最主要的：代数化简繁杂，抽象思维要求⾼，对学员的综合计算推导能⼒要求⾼！尽管如此，本⽂将通过“韦达定理”+“反点斜式”+“⽬标函数”三个⽅⾯玩转圆锥曲线试题。

让你找到⼀条捷径，原来运⽤“韦达定理”+“反点斜式”+“⽬标函数”——可以轻松玩转圆锥曲线题。

游戏规则介绍：⼩⼉垂钓⾃学始，圆锥曲线：平⾯与圆锥相交所成的切⾯，有椭圆、双曲线、抛物线以及圆四种。

平时我们⼀般仅指除圆外的三种。

椭圆、双曲线、抛物线分别有如下不同的性质和特征。

椭圆：双曲线：抛物线：直线⽅程：韦达定理：⽬标函数：题⽬中能⽤韦达定理表⽰的条件，⽐如两直线的斜率之和，线段的长度，两个向量的点积等等⽤韦达定理表⽰的函数表达式。

游戏开始：第⼀步：理论分享与证明（以椭圆为例进⾏与直线相交联⽴分析）第⼆步：⾼考真题分享解：由题意有如下⽰意图：下图请欣赏：抛物线与直线相交动态图第三步：⼩结从以上的椭圆与直线相交的理论推导求解韦达定理，以及实操中【2019全国⼀】题中涉及的抛物线与斜率不变的平⾏直线问题和【2018全国⼀】题涉及的椭圆与过椭圆内⼀定点的旋转直线问题的两道⾼考真题。

分别通过圆锥曲线与直线联⽴得出“韦达定理”，同时因为⽤的是“反斜率直线⽅程”，【2019全国⼀】题中“⽬标函数”是关于“两段焦点弦的和”，“过定点直线两段弦的向量关系”和“弦长公式”需要运⽤“韦达定理”的数量关系；【2018全国⼀】题中的直线与x轴垂直的问题因运⽤“反斜率直线”不需要单独讨论“k不存在”的情况(令m=0即可)，同时“韦达定理”的解答过程和表达也有⼀定的简捷，最后在“⽬标函数”——“斜率和”的解答过程中也表现解答简捷⽅便。