利用韦达定理及对称解决圆锥曲线大题

（1）中点弦问题：（上题麻烦了。

是圆不用中点法）（2）轨迹以及弦长最大问题。

（3）利用通径最断解题（4）利用第二定义求离心率?我在楼上说的方法不很好，有焦点弦和准线了，当然要想第二定义过P做PD垂直准线于D,那么可得,PF/PD=e,PD/PM=1/2所以PF/e=1/2PM,又PF/PM=sin60/sin45=根3/根2,所以最终可得离心率为根6 ?????????和楼上算的怎么不一样?（5）抛物线的一证明，过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,通过点A 和抛物线的顶点的直线与抛物线的准线交于点D,求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴.我没搞懂为什么必须用平几？为什么学解析几何，就是想把我们从烦琐的平几中解放出来，前人开创这个来干吗的呀？建系我就不说了，看图加解答。

令22y px=，1122(,),(,)A x y B x y ，:()2p A B y k x =-连立两方程消x 可得212y y p =-，其实这是一个结论又令0(,)2p D y -，则01101122y y y p y p x x =⇒=--，又2112y x p=，则有2021p y y y -==。

完（6）抛物线（7）很好的一题，圆锥曲线都实用这题的问题不在思路上，而是在计算上。

看我的。

这题做了你们可以自己再去做下05江西文21题。

练练。

第一问我不想说了就是重新高考的思路，算出椭圆方程为22340x y +-=（为哈要弄成这样？因为一般式对于一会直线联立不容易出错，我的习惯）开动了。

分析下意思，就是直线CP 与直线CQ 要关于C 点对称才行。

所以这题思路，令出两直线方程，都过C 点，斜率相反数，解出两点坐标，算出斜率为定。

解：若斜率不存在，CP ，CQ 重合，故两直线都有斜率，令:(1)11C P y k x kx k =-+=-+。

:(1)11C Q y k x kx k =--+=-++由222221(13)6(1)3610340y kx k k x k k x k k x y =-+⎧⇒+--+--=⎨+-=⎩，从这里就要解出P x 来。

韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

第19讲 韦达定理之设而不求知识与方法在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去y （或x ）整理得出关于x （或y ）的一元二次方程是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是()11,A x y 、()22,B x y ，很多时候我们都不去求这两个交点的坐标，而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于x （或y ）的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用到的量，这种处理方法叫做设而不求.一般地，若联立后得到的关键方程用20ax bx c ++=()0a ≠来表示，其判别式24b ac ∆=−，则：（1）12b x x a+=−；（2）12c x x a=；（3）12x x a−==；（4）()2222121212222b ac x x x x x x a −+=+−=；（5）12121211x x bx x x x c++==−.借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于1x 和2x 的具有对称结构的代数式. 典型例题1.（★★★）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，且21122244x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差得：()()()1212124x x x x y y +−=−，所以12121214y y x x x x −+==−，故直线AB 的斜率为1. （2）解法1：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，124x x t =−，1212242y y x x t t +=++=+，2212124x x y y t ⎛⎫== ⎪⎝⎭()112,1MA x y =−−，()222,1MB x y =−−，因为AMBM ⊥，所以0MA MB ⋅=，即()()()()()()2121212121212221125484250x x y y x x x x y y y y t t t −−+−−=−++−++=−−+−−+=解得：7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.解法2：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，1212242y y x x t t +=++=+， 所以AB 中点为()2,2N t +，故211MN t t =+−=+而12AB x x =−==，因为AM BM ⊥，所以2AB MN =，故()21t =+，解得7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.2.（★★★★）已知抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M 、N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.【解析】（1）将点()1,1代入22y px =解得：12p =，故抛物线C 的方程为2y x =，其焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =−.（2）设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y将2y x =代入12y kx =+消去x 整理得：22210ky y −+=()0k ≠判别式()22420k ∆=−−⨯>，所以12k <且0k ≠，由韦达定理，121y y k +=，1212y y k=，直线AB 的方程为1x x =，直线OP 的方程为y x =，直线ON 的方程为22y y x x =联立1x x y x =⎧⎨=⎩，解得：1y x =，所以1A y x =，联立122x x y y xx =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：122x y y x =，所以122B x y y x = 故()122212212121221221122112112222222222M BA x y y y y y y y y y y x x y x y y y y y x x y x x x x x ++−+++−−=−=−== 2211122202k k k x ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭== 所以2M B A y y y +=，故A 为线段BM 的中点.3.（2021·北京·20·★★★★）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2A −，以4个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()0,3P −的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B 、C ，直线AB 交3y =−于点M ，直线AC 交3y =−于点N ，若15PM PN +≤，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，2b =，四个顶点围成的四边形面积1222S a b =⨯⨯=，所以a =，即椭圆E 的标准方程为22154x y += （2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l 的方程为3y kx =−， 直线AB 的斜率为112y x +，其方程为1122y y x x +=−， 联立11223y y x x y +⎧=−⎪⎨⎪=−⎩，解得：112x x y =−+， 所以112x PM y =+，同理，222x PN y =+，所以121222x x PM PN y y +=+++，联立223154y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()224530250k x kx +−+=，判别式()22900100450k k ∆=−+>.解得：1k <−或1k >，由韦达定理，1223045kx x k +=+，1222545x x k =+，显然120x x >，故1x 、2x 同号，而120y +>，220y +>，所以112x y +与222xy +同号， 故()()12121212122121212121222222111kx x x x x x x x x x PM PN y y y y kx kx k x x k x x −++=+=+=+=++++−−−++ 222222503045455253014545k k k k k k k k k −++==−+++，由题意，15PM PN +≤，所以515k ≤，故33k −≤≤， 综上所述，k 的取值范围为[)(]3,11,3−−.强化训练4.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，长轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y kx m =+()0k ≠与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线过点()1,0P ，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，椭圆C的离心率e=，长轴长2a =，所以a =，2b =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222214280k x kmx m +++−=， 判别式()()222216421280k m k m ∆=−+−>，化简得：()224210k m +−>①， 由韦达定理，122421km x x k +=−+，()121222221my y k x x m k +=++=+，所以AB 中点为222,2121m m G k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，因为AB 的中垂线过点()1,0P ，所以PG AB ⊥，从而222112121m k k km k +⋅=−−−+，化简得：221k m k +=−，代入①得：()222214210k k k ⎛⎫++−−> ⎪⎝⎭解得：2k <或2k >，故k 的取值范围为2,,22⎛⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.（★★★）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为2，且过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03D ⎛⎫− ⎪⎝⎭且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点()1,0A ，证明：AP AQ ⊥.【解析】（1）由题意，2213124a b =⎨⎪+=⎪⎩，解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2212y x +=. （2）由题意，可设直线1的方程为13x my =−，代入2212yx +=消去x 整理得：()2241621039my my +−−=， 易得判别式0∆>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()1224321my y m +=+，()12216921m y y m =−+ 所以()()12122223321x x m y y m +=+−=−+，()()221212122111839921m m x x m y y y y m −=−++=+ ()111,AP x y =−，()221,AQ x y =−，故()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=−−+=−+++()()()()()222222211869211611821610921321921921m m m m m m m −+++−−=++−==++++ 所以AP AQ ⊥.。

专题3 圆锥曲线大题处理策略：非对称韦达定理在圆锥曲线解答题中我们通常利用直线与二次曲线联立得到一元二次方程的韦达定理来处理类似12212122212111,y x y x x x x x x x +++-，，等结构，这些形式通过合理的变形均可以用2121x x x x ⋅+，整体带入的方法达到避开解交点坐标的目的。

（这是圆锥曲线大题中普遍使用韦达定理的初衷）。

但我们在做题中也经常会遇到类似于11212122121232,2x x x x x x x x x x x x λμ+-+-+，这种系数不对称的结构，称之为“非对称韦达定理”。

显然按照先前的方法就很难顺利的处理掉，本专题就此类问题给出几个常见的处理策略。

（1）求椭圆C 方程（2）B A ,分别为椭圆C 的上下顶点，过()40，P 点斜率为k 的直线与椭圆C 交于N M ,两点，求证：直线ANBM ,的交点在定直线上 韦达化处理由引例1可知，核心条件坐标化后，并不全是直接韦达化的形式．对于坐标化后的表达式不是韦达形式的，还需进行韦达化处理．韦达化处理主要有以下几种处理方法：代换（直线代换或曲线代换）、和积消元法、配凑、解方程组．韦达化处理一：代换——即消去x 或y 中的一个由于我们联立后的方程式关于x 或y 的二次方程，韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x 或y 的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换：方向一：直线代换：1122x ty m x ty m =+⎧⎨=+⎩）又1122x ty mx ty m =+⎧⎨=+⎩，即()()()2212121212x x ty m ty m t y y tm y y m =+⋅+=+++ 方向二：曲线代换：若两个点均在直线12y kx =-和曲线2219x y +=上，那么形如()()122111x y x y +-的式子，如果用直线替换显然麻烦，注意到()()2222211111111999119x y x y x y y +=⇒=-⇒=-+，替换掉原式中含有的()11y -，可以得到()()1212911y y x x ++。

2024年全国一卷新高考题型细分S13——圆锥曲线 大题31、试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。

其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。

2、题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。

方便老师备课选题。

3、题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。

4、《圆锥曲线——大题》题目主要按长短顺序排版，具体有：短，中，长，涉后导数等，大概206道题。

每道题目后面标注有类型和难度，方便老师备课选题。

1. （2024年冀J12大数据应用调研）19. 已知圆()()22:4,1,0,1,0O x y B C +=-.点M 在圆O 上，延长CM 到A ，使CM MA =，点P 在线段AB 上，满足()0PA PC AC +⋅=.（1）求点P 的轨迹E 的方程；（①）（2）设Q 点在直线1x =上运动，()()122,0,2,0D D -.直线1QD 与2QD 与轨迹E 分别交于G H ，两点，求OGH 面积的最大值.（椭圆，中下；面积，最值，中档；）2. （2024年冀J16邯郸三调）18. 已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>经过2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（②）（2）若圆221x y +=的两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直，且直线12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值． （椭圆，基础；面积，最值，中档；）3. （2024年冀J11衡水一模）17. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（③）（2）求AB 的范围.（椭圆，基础；长度，范围，中档；）4. （2024年粤J105湛江二模）18. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点(D 到左､右焦点的距离之差为6，（1）求双曲线C 的方程，（④）（2）已知()(),3,03,0A B -，过点()5,0的直线l 与C 交于,M N （异于,A B ）两点，直线MA 与NB 交于点P ，试问点P 到直线2x =-的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由， （双曲线，易；距离，定值，中档；）5. （2024年粤J104名校一联考）16. 现有一“v ”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A 点．物件可绕A 点在平面内旋转．AP 间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．（1）在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP 间距离最短为多少；（⑤）（2）为了使椭圆物件能自由绕A 点自由转动，AP 间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性． （椭圆，距离最值，中档；距离最值，中档；）6. （2024年闽J13厦门二检）17.（15分）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，点T在C 上.（1）求C 的方程；（⑥）（2）设圆O ：222x y +=上任意一点P 处的切线交C 于M 、N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.（双曲线，基础；圆切线，定点，中档；）7. （2024年湘J42岳阳三检）18．已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(⑦)(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=； (2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值． （斜率，中下；中点，定值，中档；）8.（2024年湘J47长沙雅礼二模）17．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 的方程；（⑧） （2）求PAB 的面积. （椭圆，易；面积，中下；）9. （2024年鲁J46烟台二模）19．已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()1,0F ，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ． (1)求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；（⑨）(2)设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值． （椭圆，定直线，中档；长度，中档；）10. （2024年鲁J38济宁三模）18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P . (1)求椭圆E 的标准方程；（⑩）(2)过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.（椭圆，基础；角度，直线，中档；）11. （2024年鲁J42青岛二适）16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E的离心率为12，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1． (1)求椭圆E 的方程；（11）(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程． （椭圆，中下；直线，中档；）12. （2024年浙J40台州二评）18．已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x -交椭圆于M ，N 两点，T为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标；（12） (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长. （椭圆，易；圆，中下；圆切线，周长，中档；）13. （2024年浙J31五校联考）16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离11． (1)求该椭圆的方程；（13）(2)对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P '，求PF P F '+； (3)过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB 面积的最大值． （椭圆，中下；椭圆，基础；面积最值，中档；）14. （2024年苏J35南京二模）18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧). (1)求E 的渐近线方程；（14）(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围． （双曲线，基础；范围分析，中档；）15. （2024年粤J138汕头金南三模）19．已知动圆M （M 为圆心）过定点(2,0)P ，且与定直线:2l x =-相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；（15）(2)设过点P 且斜率为1）中的曲线交于A 、B 两点，求AOBS ；(3)设点(,0)N a 是x 轴上一定点，求M 、N 两点间距离的最小值()d a ． （抛物线，中下；面积，中下；距离最值，中档；）16. （2024年粤J137梅州二模）15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，且经过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程：（16）(2)求椭圆C 上的点到直线l ：2y x =的距离的最大值． （椭圆，基础；最值，中下；）17. （2024年粤J136茂名高州一模）21．已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为抛物线的焦点，,P Q 其为准线上的两个动点，且PF QF ⊥.当2PF QF =时，5PQ =. (1)求抛物线C 的标准方程；（17）(2)若线段,PF QF 分别交抛物线C 于点,A B ，记PQF △的面积为1S ，ABF △的面积为2S ，当129S S =时，求PQ 的长.（抛物线，基础；面积，长度，中档；）18. （2024年粤J135茂名二测）17．已知椭圆22:12x C y +=，右焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于,A B 两点.(1)若直线l 的倾斜角为π4，求AB ；（18）(2)记线段AB 的垂直平分线交直线=1x -于点M ，当AMB ∠最大时，求直线l 的方程. （椭圆，常规，基础；最值求直线，中档）19. （2024年粤J133江门开平忠源）18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点与椭圆2215x y +=的焦点重合，其渐近线方程为y =. (1)求双曲线C 的方程；（19）(2)若,A B 为双曲线C 上的两点且不关于原点对称，直线1:3l y x =过AB 的中点，求直线AB 的斜率.（双曲线，常规，基础；直线中点，斜率，中下）20. （2024年冀J47唐山二模）18．已知椭圆C 的右焦点为()1,0F ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为ABDE 内接于椭圆C ． (1)求椭圆C 的标准方程；（20）(2)（ⅰ）坐标原点O 在边AB 上的投影为点P ，求点P 的轨迹方程； （ⅰ）求菱形ABDE 面积的取值范围．（椭圆，基础；轨迹，中档；面积范围，中上）①【答案】（1）22143x y +=（2【解析】【分析】（1）由题意可得PA PC =，再根据M 为AC 的中点，可得12OM AB =，再根据PB PC PB PA AB +=+=，结合椭圆的定义即可得解；（2）设()()()011221,,,,,Q y G x y H x y ，根据1,,Q G D 三点共线，2,,Q H D 三点共线，求出,G H 两点坐标的关系，设GH 的方程为ty x m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,y y y y +，再根据弦长公式及点到直线的距离公式分析即可得解. 【小问1详解】因为()0PA PC AC +⋅=，所以()()0PA PC PC PA +⋅-=， 所以22PA PC =，所以PA PC =， 因为CM MA =，所以M 为AC 的中点， 又因O 为BC 的中点，所以122OM AB ==，所以AB 4=，则4PB PC PB PA AB BC +=+==>，所以点P 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆，而22213-=，所以点P 的轨迹E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）得()()122,0,2,0D D -是椭圆E 的左右顶点， 设()()()011221,,,,,Q y G x y H x y ，由1,,Q G D 三点共线，得11//D Q D G ，而()()101113,,2,D Q y D G x y ==+， 所以()10132y y x =+，所以10132y y x =+， 由2,,Q H D 三点共线，得22//D Q D H ，而()()101221,,2,DQ y DG x y =-=-， 所以()1012y y x -=-，所以2022y y x =--， 所以1212322y y x x =-+-，即()()12213220y x y x -++=， 设GH 的方程为ty x m =+，联立22143ty x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223463120t y tmy m +-+-=，则()()()222222Δ3643431248340t m t m t m =-+-=-+>，21212226312,3434tm m y y y y t t -+==++，所以()2121242m ty y y y m-=+，由()()12213220y x y x -++=，得()()12213220y ty m y ty m --+-+=， 即()()122142320ty y m y m y ---+=， 所以()()()()21221242320m y y m ym y m-+---+=，所以()()()214220m m y m y ⎡⎤+--+=⎣⎦恒成立，所以4m =-， 则()2Δ483120t =->，所以24t >， 则21221234243634,t y y y y t t ==++-+，GH 的方程为4ty x =-，所以GH ==，原点O 到直线GH 的距离d =则12424323416OGHSGH d t ====-++≤===t =时取等号，所以OGH【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．②【答案】（1）22143x y +=．（2）24049． 【解析】【分析】（1）依据椭圆经过两点，将点的坐标代入椭圆方程，待定系数法解方程即可；（2）设其中一条的斜截式方程，首先由直线与圆相切，得出直线的斜率与截距关系；再设而不求，用韦达定理表示出两条直线与椭圆相交的弦长，再利用条件知两弦垂直，故四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅，利用弦长将面积表示成其中一条直线斜率的函数，利用函数求最值. 【小问1详解】因为E过点P ⎛ ⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以2222231,2191,4a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩ 故E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由题知12,l l 的斜率存在且不为0． 设1:(0)l y kx m k =+≠． 因为1l 与圆221x y +=1=，得221m k =+．联立1l 与E 的方程，可得()2223484120kxkmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,C x y ，则122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+．所以12AC x =-==，将221m k =+代入，可得AC =．用1k-替换k，可得BD =四边形ABCD 的面积123434S AC BD k k =⋅=++令21t k=+，则(1,)t ∈+∞，可得212S t t==+-， 再令u =(1,)t ∈+∞，则52u ⎤∈⎥⎦，可得2242424240652649625u S u u u ==≥=+++⨯，即四边形ABCD 面积的最小值为24049．③【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4 【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解； 【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a b a b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b ==，所以椭圆的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】由（1）知()11,0F -，()21,0F ， 当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 易得()22Δ636(34)0m m =++>，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB ==2221212443434m m m +===-++， 因为20m ≥，所以2344m +≥，所以240134m <≤+，所以34AB ≤<，综上，34AB ≤≤，即AB 的范围是[]3,4.④【答案】（1）2219x y -=（2）是定值，定值为195【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义与点在双曲线上得到关于,a b 的方程，解之即可得解；（2）假设直线l 方程5x my =+，联立双曲线方程得到1212,y y y y +，再由题设条件得到直线AM 与BN 的方程，推得两者的交点P 在定直线上，从而得解. 【小问1详解】依题意可得22222661a ab =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得23,1a b ==，故双曲线C 的方程为2219x y -=.【小问2详解】由题意可得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为5x my =+，联立22519x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()22910160m y my -++=， 则290m -≠，()()()222Δ10416936160m m m =-⨯-=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则1212221016,99m y y y y m m -+==--， 又()()3,0,3,0A B -， 直线11:(3)3y AM y x x =++，直线22:(3)3y BN y x x =--， 联立1122(3)3(3)3y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得()()()()2121122121212138833322y x y my my y y x x y x y my my y y ++++===--++()1122212121121112216806488889994161622299m m my y my y y y y m m m m m my y y y y m m ----++----====-+++--， 即343x x +=--，解得95x =， 所以点P 在定直线95x =上，因为直线95x =与直线2x =-之间的距离为919255+=， 所以点P 到直线2x =-的距离为定值，且定值为195. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.⑤【答案】（1）13- （2）13+，证明见解析 【解析】【分析】（1）如图，设00(,)P x y 和过点P 的直线，切线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示1212,k k k k +，进而可得121200tan 1k k MPN k k -∠==+，结合tan 0MPN ∠>或tan MPN ∠≤（2）当PA 恒为正实数R 时，设11(,)B x y 1(11)y -≤≤为椭圆上任意一点，则2163PB ≤，进而1R x >=.由（1）可得222012(320)(320)160R y R -+--≤或20320620R y -++≥，利用换元法，结合011R y R -≤≤+建立不等式组，化简可得2310R ≥+.【小问1详解】由题意，如图，该椭圆的方程为2214x y +=，(0,1)A ，,PM PN 分别为椭圆的2条切线，切点分别为,M N ，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k .设00(,)P x y ，当02x =±时，12,k k 其中1个不存在，另1个趋于∞； 当02x ≠±时，设过点P 的直线为00()y k x x y =-+(0)k ≠，00222200002()(14)8()4()4014y k x x y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩， 所以2222000064()16(14)[()1]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理，得220000(4)210x k x y k y --+-=，①由12,k k 是方程①的2个实根，得20001212220021,44x y y k k k k x x -+==--， 所以220002222200121212222012122021()444()4tan 11(1)(1)4x y y x x k k k k k k MPN y k k k k x -----+-∠===-+++- 2222222000000022222222000004()4(1)(4)(4)4(44)(4)(5)(5)x y y x x x y x x y x y ----+-=⨯=-+-+-， 又220014x y +>，所以2200440x y +->， 当220050x y +->时，点P 在圆225x y +=的外部，则tan 0MPN ∠>，此时00tan MPN ∠=；当220050x y +-<时，点P 在圆225x y +=的内部，则tan 0MPN ∠>，此时00tan MPN ∠=，所以00tan MPN ∠=.又tan 0MPN ∠>或tan tan120MPN ︒∠≤=，000>00≤整理，得220050x y +-≥或2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-.要求PA 的最小值，只需考虑MPN ∠为钝角的情况，即2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-且220050x y +-<，得22222220000003(5)4(44)4(444)x y x y x y +-≤+-≤+-.令2OP t =，则5t <且23(5)4(44)t t -≤-，即2346910t t -+≤，解得7133t ≤≤，所以OP ≥13PA OP OA ≥-=-，当且仅当,,P O A 三点共线时等号成立.故00tan MPN ∠=053=-，得120MPN ︒∠=. 综上，PA的最小值为13-. 【小问2详解】当PA 恒为正实数R 时，设11(,)B x y 1(11)y -≤≤为椭圆上任意一点， 则22222211111111216(1)213255333PB x y x y y y y =+-=+-+=--+≤-++=，当且仅当1113x y ==时等号成立，所以13R x >=. 由（1）知，2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-或220050x y +-≥，由22200(1)x y R +-=，得22222200004[(1)44]3[(1)5]R y y R y y --+-≥--+-或22200(1)50R y y --+-≥，即22220004(325)3(26)y y R R y ++-≥+-或20260R y +-≥，整理，得222012(320)(320)160R y R -+--≤或20320620R y -++≥，令2320u R =-，则4u >-，得2012160uy u +-≤或0620u y ++≥，011R y R -≤≤+.当2203R ≤即0u <时，201612u y u-≥或026u y --≥，令v u =-，则04v <<，得201612v y v -≥-或026v y -≥，又011y ≤得216112v v --或216v -≥，而12111136v -=<-<-<，所以216112v v--，整理，得010v <≤-10u ≥- 当0u ≥时，010u ≥>，符合题意.综上，10u ≥，则232010u R =-≥，即2310R ≥+解得1R ≥+，所以R1，即PA1.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．⑥17. 方法一：（1）依题意：22222221a b c a b ca⎧-=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，……2分解得：21a =，22b =，……3分所以双曲线方程为2212y x -=.……4分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，①当切线斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，=2222m k =+，……6分联立()22222122202y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩， 则12222kmx x k+=-，212222m x x k --=-，()()()222222442282k m k m m k ∆=+-+=+-.……8分 由对称性知，若以MN 为直径的圆过定点，则定点必为原点.……9分1212OM ON x x y y ⋅=+……10分()()()()22121212121x x kx m kx m k x x mk x x m =+++=++++……11分 ()2222222122m km kmk m k k--=+++-- 222222m k k --=-.……12分又2222m k =+，所以0OM ON ⋅=，所以OM ON ⊥，故以MN 为直径的圆过原点.……13分②当直线斜率不存在时，直线方程x =(222x y ±+=，恒过原点.综上所述，以MN 为直径的圆过原点.……15分 方法二：（1）同方法一；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，①当切线斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，=2222m k =+，……6分联立()22222122202y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩， 则12222km x x k+=-，212222m x x k --=-，()()()222222442282k m k m m k ∆=+-+=+-.……8分 以()11,M x y ，()22,N x y 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=， 即()()22121212120x x x x x x y y y y y y -+++-++=，……9分因为()()()()221212*********x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++，所以()222221212222222210222m km m k x x y y k km m k k k ----+=+⋅+⋅+==---，……11分 且()121222242222km my y k x x m k m k k +=++=⋅+=--， 所以所求的圆的方程为222224022km m x x y y k k -+-=--，……12分所以MN 为直径的圆过原点.……13分②当直线斜率不存在时，直线方程x =(222x y ±+=，恒过原点.综上所述，以MN 为直径的圆过原点.……15分⑦18．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）先有两点间距离公式求出圆心的轨迹方程，再由斜率的定义表示出斜率，利用轨迹方程化简斜率之差即可证明；（2）先设直线MN 的方程为y kx b =+，直曲联立，用韦达定理表示出线段MN 中点坐标()22,21Q k k --+进而得到Q 的轨迹方程是222x y =-+，再与动圆P 的方程联立，得到C 、D 、G 的横坐标分别为c ，d ，g ，最后利用()()()0x c x d x g ---=的展开式系数与3(42)40x b x a +-+=相同，得到2x 系数为零即可. 【详解】（1）设点(,)P x y ，|3|y =-， 化简并整理成248x y =-+， 圆心P 的轨迹E 的方程为248x y =-+1211,22y y k k x x --==+-，122114(1)224y y y k k x x x -----=-=+--， 又248x y =-+， 所以24(1)4(1)1444y y x y ，所以121k k -=.（2）显然直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx b =+，由248x y y kx b ⎧=-+⎨=+⎩，消y 并整理成24480x kx b ++-=， 在判别式大于零时，1248x x b =-， 又124x x =-，所以1b =， 所以2440x kx +-=，1y kx =+，()21212124,242x x k y y k x x k +=-+=++=-+，所以线段MN 的中点坐标为()22,21Q k k --+，设(,)Q x y ，则2221x k y k =-⎧⎨=-+⎩，消k 得222x y =-+， 所以Q 的轨迹方程是222x y =-+，圆P 过定点(0,1)F ，设其方程为22(1)(1)0x y ax b y +-++-=，由222(1)(1)022x y ax b y x y ⎧+-++-=⎨=-+⎩，得42(42)40x b x ax +-+=， 设C 、D 、G 的横坐标分别为c ，d ，g ，因为C 、D 、G 异于F ，所以c ，d ，g 都不为零， 故3(42)40x b x a +-+=的根为c ，d ，g ， 令()()()0x c x d x g ---=，即有32()()0x c d g x cd dg gc x cdg -+++++-=， 所以0c d g ++=，故CDG 的重心的横坐标为定值．【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是圆P 过定点(0,1)F ，设其方程为22(1)(1)0x y ax b y +-++-=，然后与Q 的轨迹方程联立，表示出重心横坐标的方程，然后利用待定系数法求出结果.⑧17．（1）221.124x y +=（2）92【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知a =2224b a c =-=，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线y x m =+，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出AB 中点为00(,)E x y 的坐标，再根据ⅰPAB 为等腰三角形知PE AB ⊥，从而得PE 的斜率为241334mk m -==--+，求出2m =，写出AB ：20x y -+=，并计算||AB = 【详解】（1）由已知得c =ca=a =2224b ac =-=， 所以椭圆G 的方程为221124x y +=．（2）设直线l 的方程为y x m =+，由22,{1124y x m x y ，=++=得22463120x mx m ++-=，ⅰ设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y （12x x <），AB 中点为00(,)E x y ， 则120324x x m x +==-，004my x m =+=， 因为AB 是等腰ⅰPAB 的底边，所以PE AB ⊥．所以PE 的斜率为241334mk m-==--+，解得2m =，此时方程ⅰ为24120x x +=． 解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以||AB =， 此时，点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离d =所以ⅰPAB 的面积1922S AB d =⋅=． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．⑨19．(1)证明见解析，4x =(2)12【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，写出,A B 两点处的切线方程，由对称性得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得Q x ，再代入()()1122=1,=1y k x y k x --即可证明；法二：由点(),Q Q Q x y 在两切线上得直线AB 的方程143Q Q x y x y +=，结合直线AB 过点()1,0F ，即可得出Q x ；（2）由（1）得出直线OQ 的方程，设直线AB 和OQ 交于点P ，得出P 为线段AB 的中点，由弦长公式得出AB 进而得出AP ，由两直线夹角公式得出tan APM ∠，得出243k AM AP k+=⋅，根据基本不等式求解即可．【详解】（1）由题意可知，231a -=， 所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=， 设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠， 联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 可得，()22223484120k x k x k +-+-=， 所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++， 因为过点A 的切线为11143x x y y+=，过点B 的切线为22143x x y y +=， 由对称性可得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上， 法一：联立1122143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，()2112214Q y y x x y x y -=-，将()()1122=1,=1y k x y k x --代入上式得()()()()212112211244411Q k x x k x x x kx x kx x kx kx --===----+，所以Q 点在直线4x =上．法二：因为点(),Q Q Q x y 在两切线上，所以1122114343Q QQ Q x x y y x x y y+=+=，， 所以直线AB 的方程为143Q Q x y x y +=，又直线AB 过点()1,0F ，所以10143QQ x y ⨯+⨯=，解得4Q x ．（2）将4x =代入11143x x y y+=得，()()()1111313131Q x x y y k x k --===--，直线OQ 的方程为34y x k =-， 设直线AB 和OQ 交于点P ，联立()134y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得22434P kx k =+， 又221222418342342P k k x x x k k +==⋅=++，所以P 为线段AB 的中点，因为()212212134k AB x k +=-==+， 所以()226134k AP k +=+，又因为23434tan 314k AM k kAPM k AP k k ++∠===⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()2222614343161234k k k AM AP k k k k k +⎛⎫++=⋅=⋅=+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭， 当且仅当1k =±时，等号成立， 故AM 的最小值为12．⑩18．(1)2212x y +=；(2)550x y ++=.【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得. 【详解】（1）令(,0)F c -，由c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =， 由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2， 则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=， 由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++， 由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=， 则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-， 所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.1116．(1)22143x y +=(2)10x y -=或10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B、C坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c ，则2PF =00c c x a a x a a =-=-，显然0x a =时2min PF a c =-，由题意得222121c a a c a b c⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A == 所以122y y =-ⅰ设直线l 的方程为1x my =+，联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=， 由韦达定理得()122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩， 把ⅰ式代入上式得222226349234m y m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩，得()()22222236923434m y m m ==++， 解得m =， 所以直线l 的方程为：10x y +-=或10x y -=.1218．(1)0,⎛ ⎝⎭(2)221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）化简椭圆的标准方程，根据,,a b c 的关系即可求得焦点坐标；（2）先联立方程求得()1,3M -，()1,3N --，求出直线MT 的方程，然后利用待定系数法求得内切圆的方程；（3）设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =-+，利用相切关系求得点A ，B 坐标，进而结合内切圆的半径利用三角形中等面积法求解即可.【详解】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988-=，所以焦点坐标为0,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x -代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M -，()1,3N --， 直线MT 的方程为()3313y x =---，即3490x y +-=， 设圆Q 方程为()222x t y r -+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >-， 则Q 到直线MN 和直线MT的距离相等，即1t r +=，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在， 设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =-+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率. 由圆Q32=，化简得：2812270k k +-=，则121232278k k k k ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++-+--=， 可得21121848989A P A k k x x x k --==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫----+=-+=-+= ⎪++⎝⎭ ()()()111113271218271833271291232k k k k k ---+-===--+-.同理22222848989B k k x k --=+，32B y =-，所以直线AB 的方程为32y =-， 所以AB 与圆Q 相切，将32y =-代入229881x y +=得x =所以AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB的面积13192222ABC S m =⨯=⨯△，解得m =所以PAB的周长为.1316．(1)2212x y +=；(2)【分析】（1）设出椭圆上的点00(,)M x y ，求出||MF 的最值，进而求出,a c 即可. （2）利用椭圆的对称性及椭圆定义求解即得.（3）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的表达式，再求出最大值即得.【详解】（1）令(,0)F c -，设00(,)M x y 是椭圆22221x y a b+=上的点，则22220002(),b y a x a x a a =--≤≤，则0||c MF a x a===+，显然当0x a =-时，min ||MF a c =-，当0x a =时，max ||MF a c =+，则11a c a c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）记椭圆的右焦点为F '，由椭圆对称性知，||||P F PF ''=，所以2PF P F PF PF a +=+==''（3）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为2x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由22222x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(2)420m y my +++=，222168(2)8(2)0m m m ∆=-+=->，则12122242,22m y y y y m m +=-=++，12||y y -=因此12|1|||2ABFS QF y y =-=，令0t =>，于是ABFS=≤=，当且仅当2t =，即m =所以FAB1418．(1)y =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，3a b ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围． 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =. 由222+=a b c ，得3ab ，所以E的渐近线的方程为y = （2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，12111122OP OQ y y +=+===设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，343411y y AF BFy y --=3423422y y pm y y p p +== 由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣⎭，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．1519．(1)28y x =(3)4(),4a d a a a ≥=<⎪⎩【分析】（1）根据抛物线的定义即得动圆圆心M 的轨迹方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，再由12AOBA B SOP y y =-计算可得； （3）根据题设先求出MN 的解析式，可将距离最小值问题转化为二次函数最小值问题，分类讨论即得. 【详解】（1）因为动圆M （M 为圆心）过定点(2,0)P ，且与定直线:2l x =-相切，即点M 到定点(2,0)P 的距离与到直线:2l x =-的距离相等，且点(2,0)P 不在直线:2l x =-上， 所以由抛物线定义知：圆心M 的轨迹是以定点()2,0P 为焦点，定直线:2l x =-为准线的抛物线，抛物线方程形如()220y px p =>，又22p=，则4p =， 故圆心M 的轨迹方程为28y x =．（2）如图，由题知，直线AB的方程为)2y x =-，由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得6x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23A ⎛ ⎝⎭，(6,B -， 所以()11222AOBA B SOP y y =-=⨯-=（3）设(),M x y ，则28y x =()0x ≥，又(,0)N a ，则MN ==)0x =≥，因二次函数()24816y x a a =-++-的对称轴为4x a =-，故当40a -≥，即4a ≥时，min 816y a =-，此时min ()MN d a =当40a -<，即4a <时，2min y a=，此时min ||()MN d a a ==.所以4(),4a d a a a ≥=⎨<⎪⎩.1615．(1)22143x y +=【分析】（1）由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将点T 的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）设与2y x =平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．【详解】（1）由椭圆的离心率为12，可得12c e a=，可得2234a b =，设椭圆的方程为：2222143x y t t+=，20t >，又因为椭圆经过点3(1,)2T ，所以2213144t t +=，解得21t =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）设与直线2y x =平行的直线的方程为()20y x m m =+≠，联立222143y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：2219164120x mx m ++-=，22216419(412)0m m ∆=-⨯⨯-=，可得219m =，则m =所以直线2y x m =+到直线2y x =的距离d ==所以椭圆C 上的点到直线:2l y x =1721．(1)24y x = (2)649【分析】（1）首先利用勾股定理求出QF ，PF ，再由等面积法求出p ，即可得解；（2）设直线AB 的解析式为x ky b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意0FA FB ⋅=，即可得到22614b b k -+=，再由129S S =得到线段的比例关系，从而求出b ，再计算出12y y -，最后根据P Q PQ y y =-及韦达定理计算可得. 【详解】（1）方法一：5PQ =，PF QF ⊥，2PF QF =，22225QF PF PQ ∴+==，解得QF =PF = ∴在PQF △中，根据等面积法1122PQ MF PF QF ⋅=⋅，5p ⨯=2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =；方法二：设x 轴与准线的交点为M .,PF QF ⊥∴当2PF QF =时，tan 2tan PQF AFM ∠==∠，2PM MF ∴=，2MF MQ =.552PQ PM MQ MF ∴=+==，2MF p ∴==， ∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）由（1）可得抛物线的焦点()1,0F ，准线为=1x -， 依题意，直线AB 的斜率不为0，∴设直线AB 的解析式为x ky b =+，()11,A x y ，()22,B x y .联立24y x x ky b⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y ky b --=，显然0∆>，124y y k ∴+=，124y y b =-.由PF QF ⊥，则0FA FB ⋅=，可得()()11221,1,0x y x y -⋅-=，()()1212110x x y y ∴--+=，整理得22614b b k -+=.ⅰ易知直线AF 的解析式为()1111y y x x =--，令=1x -，可得1121P y y x -=-， 同理可得2221Q y y x -=-. 129S S =，9PF QF AF BF ∴⋅=⋅，即9PF BFAFQF =⨯，219P Qy y y y ∴=.129P Q y y y y ∴=，12121222119y y x x y y --⋅--∴=，()()124911x x ∴=--，即1249y y -=，19b ∴=.12169y y ∴-=. 所以()()1212211212122222221111P Q y y x y x y y y PQ y y x x x x ---+-=-=-=---- ()121212121264249y y y y y y y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-=-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.1817．(2)10x-=或10x -=【分析】（1）由椭圆方程，即可求出椭圆右焦点坐标，根据直线的点斜式，联立直线方程和椭圆方程，求得交点,A B 的坐标，根据两点之间距离公式可求得AB ；（2）联立直线方程和椭圆方程，根据椭圆的弦长公式可求得|AB |，计算AB 的中点,G MG ，利用AMB ∠最大求得直线方程【详解】（1）由题意可得()1,0F ，因为直线l 的倾斜角为π4，所以πtan 14k ==，因此，l 的方程为1y x =-，联立方程22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得2340x x -=解得1240,3x x ==所以()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，AB =（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得，直线l 的斜率不为0，故设l 为1x my =+， 联立方程22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得，()222210m y my ++-=，0∆>，因此12122221,22m y y y y m m -+==-++， 所以)2212m AB m +==+，设线段AB 的中点为G ， 则12222,1222G G G y y m y x my m m +==-=+=++，所以()22242122m MG m m +=-=++，所以12tan 2ABAMB MG∠==设t =，则tan 2AMB t t ∠===≤+，当且仅当t =m = 当2AMB∠最大时，AMB ∠也最大，此时直线l 的方程为1x =+， 即10x-=或10x -=1918．(1)2213x y -=(2)1【分析】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程. （2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验.【详解】（1）椭圆2215x y +=的焦点为()2,0±，故224a b +=，由双曲线的渐近线为y x =，故b a =1,b a == 故双曲线方程为：2213x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M ， 因为M 在直线1:3l y x =，故13M M y x =，而121231y x -=，222231y x -=，故()()()()1212121203x x x x y y y y -+--+=， 故()()121203M M x x xy y y ---=，由题设可知AB 的中点不为原点，故0M M x y ≠，所以121213M My y xx x y -==-， 故直线AB 的斜率为1.此时12:33M M M AB y x x x x x =-+=-，由222333M x y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩可得222333M x x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得到：22424303M M x x x x -++=， 当222416Δ168324033M M M x x x ⎛⎫=-+=-> ⎪⎝⎭即M x <M x >即当M x <M x >AB 存在且斜率为1.2018．(1)22143x y +=(2)（ⅰ）2212 7x y+=；（ⅰ）48,7⎡⎢⎣．【分析】（1）利用题意列出两个方程，联立求解得,a b的值，即得椭圆方程；（2）（ⅰ）设AB方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用菱形对角线互相垂直得到()221217km+=，再由题意推出22212||17mOPk==+，即得点P的轨迹方程；（ⅰ）利用弦长公式求出AB =算出AOB的面积表达式S=t的函数S=图象即可求其取值范围.【详解】（1）根据题意设椭圆C的标准方程为22221x ya b+=，由已知得，1222a b⨯⨯==ab1c=可得，221a b-=，联立解得，2a=，b=故椭圆C的标准方程为：22143x y+=．（2）ⅰ 如图，当直线AB的斜率存在时，设其方程为y kx m=+，由22143y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x kmx m+++-=，由题意()()()222222Δ6443441248430k m k m k m=-+-=-+>，设1122(,),(,)A x yB x y，则122834kmx xk+=-+，212241234mx xk-=+，于是，()()2212121212()y y kx m kx m k x x km xx m=++=+++。

務虫例谈圆锥曲线中的中点和对称问题■浙江省吴兴高级中学杨金军解析几何是高中数学的重点内容之一，直线和圆锥曲线构成了解析几何的核心部分。

圆锥曲线中的中点弦问题、对称问题一直是高考数学试题中的常考问题之一，这类问题常涉及直线与圆锥曲线的位置关系、方程与函数等重要的数学知识。

纵观近几年各地的高考模拟试题和高考真题，我们会发现这类试题既注重对数学基础知识的全面考査，又注重对数学思想和思维方法的考查，而且试题综合性强、题目新颖、灵活多样，对同学们的解题能力要求比较高。

解析几何是高考数学的热点更是难点，所以有“得解几者得数学”之说，本文对解几中的中点弦及对称问题的求解策略进行探究，为同学们高考助力O一、中点问题直线和圆锥曲线相交弦的中点有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题，在高考选择题、填空题、解答题中时有出现，属于中档偏难题型。

解决这类问题的常用策略有数形结合法、消元法、点差法、公式法等，具体选用哪种方法视问题实际背景而定。

151!f（2020年衢丽湖三地市教学质量2检测）已知椭圆丁：脊+b=l,抛物线M：录=2i>a的焦点为F,且动点在抛物线M的准线上。

（1）当点G在椭圆T上时，求|GF|的值；（2）如图1,过点G的直线Zi与椭圆丁交于P,Q两点，与抛物线M交于A,B两点，且G是线段PQ的中点，过点F的直线12交抛物线M于C,D两点，若AC//BD,求直线l i的斜率k的取值范围。

图1解析：（1）因为点G（-1,O在椭圆上，所12以忑+『=1，解得/=忑。

又因为点在抛物线的准线上，所以p=2,则所以|GF|=A+F/19—2°（2）由题意知点G在椭圆内，所以#+护VI,解得i2<—Ob2由椭圆的中点弦公式可得k x=-—・空=_丄._1=1yc4Z所以直线ty—e=£（h+1）。

设直线乙：工=加夕+1（皿工0）。

联立直线厶和抛物线M的方程任=4丈（》一i）—1,9消去工整理得y2~16tyL=仏，+16/+4=0。

圆锥曲线大题全攻略含答案详解本文介绍了圆锥曲线中常见的问题和解题技巧，包括求轨迹方程问题、定点问题、定值问题、最值问题、点差法解决中点弦问题、常见几何关系的代数化方法、非对称“韦达定理”问题处理技巧、三点共线问题、巧用曲线系方程解决四点共圆问题、抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用、双切线题型等。

求轨迹方程问题是圆锥曲线中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

直译法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，由已知条件建立关于x,y的方程，化简整理；相关点法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，相关点为Q(xO,yO)，根据点的产生过程，找到(x,y)与(xO,yO)的关系，并将xO,yO用x和y表示，将(xO,yO)代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程；定义法的步骤是分析几何关系，由曲线的定义直接得出轨迹方程；参数法的步骤是引入参数，将求轨迹的点(x,y)用参数表示，消去参数，研究范围。

本文还给出了四个例题，分别是求点P的轨迹方程、求动点M的轨迹方程、求动点Q的轨迹方程、求AB中点M的轨迹方程。

最后，给出两道专题练题，帮助读者巩固所学知识。

3.抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，点P满足AP=-2FA，求动点P的轨迹方程。

改写：已知抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，设点P的坐标为(x,y)，则有AP=-2FA，求P的轨迹方程。

4.已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，动圆P过定点F且与定圆M内切，求动圆圆心P的轨迹方程。

改写：已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，设动圆P的圆心坐标为(x,y)，则P过定点F且与定圆M内切，求P的轨迹方程。

5.已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，动圆H与直线l相切，与定圆A外切，求动圆圆心H的轨迹方程。

改写：已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，设动圆H的圆心坐标为(x,y)，则H与直线l相切，与定圆A外切，求H的轨迹方程。

韦达定理——圆锥曲线硬解定理 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222212k a b km a x x +-=+；22222221)(ka b b m a x x +-=+；)(4222222m k a b b a -+=∆ 消去x 得：0)(2)(222222222=-+-+k a m b my b y k a b2222212k a b m b y y +-=+；222222221)(ka b b a m b y y +-=+；)(42222222m k a b k a b -+=∆ 韦达定理：主要适用于设而不求，弦长公式，如面积;2222222222212)(411k a b m k a b b a k x x k AB +-+•+=-+= 22222222222212)(41111k a b m k a b k a b k y y k AB +-+•+=-+=超级韦达定理——反向点乘双根式 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222222222222121212)()())((p k a b kmp a k a b b m a p x x p x x p x p x ++++-=++-=-- 2222222222221)(2)())((ka b b m a kmp a p k a b p x p x +-+++=-- 22222222222221)(2)())((k a b k a m b mq b q k a b p y p y +-+-+=-- 超级韦达定理：主要适用于λ=•→→MB MA 型，如垂直、圆过定点；例1、（全国卷）已知)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点)2,0(-A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．例2、（上海高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,求直线l 的方程.例3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.对称与对称思想： 1、标准对称例1、如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。

【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB 为抛物线G :y 2=2px (p >0)的弦，点C 在抛物线的准线l 上.当AB 过抛物线焦点F 且长度为8时，AB 中点M 到y 轴的距离为3.(1)求抛物线G 的方程；(2)若∠ACB 为直角，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)y 2=4x(2)证明见解析【分析】(1)利用抛物线弦长公式，以及中点到y 轴的距离公式，计算出p 即可；(2)先设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB 的方程：x =ty +n ，联立方程组，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ，又因为∠ACB 为直角可得CA ⋅CB=0，化简求解可得n =1，所以得出直线过定点1,0 .【详解】(1)设A x A ,y A ,B x B ,y B ，则由题意得|AB |=x A +x B +p =8x A +x B 2=3，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x (2)直线AB 过定点1,0 ，证明如下：设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB 的方程：x =ty +n ，将x =ty +n 代入y 2=4x 得y 2-4ty -4n =0，则Δ>0，得t 2+n >0，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ，所以CA =y 214+1,y 1-c ,CB =y 224+1,y 2-c，因为∠ACB =90∘，所以CA ⋅CB =0，即y 21y 2216+y 21+y 224+1+y 1y 2-c y 1+y 2 +c 2=0，即n 2+4t 2+2n +1-4n -4tc +c 2=0，即(n -1)2+(2t -c )2=0，所以n =1，所以直线AB 过定点1,0 .2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于P ,Q 两点.当PQ ⊥x 轴时，PA =10，△PAQ 的面积为3.(1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.【答案】(1)x2-y23=1(2)证明见解析【分析】(1)根据题意，可得PF=b2a，b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2，进而求解；(2)设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，联立直线和双曲线方程组，可得3m2-1y2-12my+9 =0，以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，进而得到x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，进而求解.【详解】(1)当PQ⊥x轴时，P,Q两点的横坐标均为-c，代入双曲线方程，可得y P=b2a，y Q=-b2a，即PF=b2a，由题意，可得b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2，解得a=1，b=3，c=2，∴双曲线C的方程为：x2-y23=1；(2)方法一：设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2y2-4my+4-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y=0，可得x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，而x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=43m2-1，x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=-3m2-4 3m2-1，∴x2-43m2-1x+-3m2-43m2-1+93m2-1=0⇒3m2-1x2-4x+5-3m2=0⇒3m2-1x+3m2-5x-1=0对∀m∈R恒成立，∴x=1，∴以PQ为直径的圆经过定点1,0；方法二：设PQ方程为x=my-2,P x1,y1,Q x2,y2，x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点.设以PQ 为直径的圆过E t ,0 ，∴EP ⋅EQ=0⇒x 1-t x 2-t +y 1y 2=0⇒x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+y 1y 2=0，而x 1x 2=my 1-2 my 2-2 =m 2y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=m 2⋅93m 2-1-2m ⋅12m 3m 2-1+4=-3m 2-43m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 -4=12m 23m 2-1-4=43m 2-1∴-3m 2-43m 2-1-4t 3m 2-1+t 2+93m 2-1=0，3m2-1 t 2-4t +5-3m 2=0，即3m 2-1 t +3m 2-5 t -1 =0对∀m ∈R 恒成立，∴t =1，即以PQ 为直径的圆经过定点1,0 .3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．【答案】(1)x 24+y 2=1(x ≠±2)(2)证明见解析【分析】(1)设P 点坐标为(x ,y )，由y x +2⋅y x -2=-14可得结果；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立y =kx +m x 24+y 2=1，得x 1+x 2和x 1x 2，再求出E ,F 的坐标，根据EO =3OF得k =m ，从而可得结果.【详解】(1)设P 点坐标为(x ,y )，则y x +2⋅y x -2=-14，即x 24+y 2=1(x ≠±2)，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2).(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0，得4k 2+1>m 2,所以x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1．MA :y =y 1x 1+2(x +2)⇒E 0,2y 1x 1+2 ，NB :y =y 2x 2-2x -2 ⇒F 0,-2y 2x 2-2 ，因为EO =3OF ，所以-2y 1x 1+2=3⋅-2y 2x 2-2，即y 1(x 2-2)=3y 2(x 1+2)，∴kx 1+m x 2-2 =3kx 2+m x 1+2 ，∴2kx 1x 2+(2k +3m )x 1+x 2 +4(k -m )x 2+8m =0，所以2k ⋅4m 2-44k 2+1+(2k +3m )⋅-8km4k 2+1+4(k -m )x 2+8m =0，所以(k -m )4km -2+4k 2+1 x 2 =0对任意x 2都成立，∴k =m ，故直线l 过定点(-1,0)．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．【答案】(1)x 28-y 24=1(2)x 2+(y ±26)2=40【分析】(1)由已知条件列方程求出a ,b ,c ，即可求出双曲线的方程；(2)讨论直线MN 的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线MN 的方程为y =kx +m ，联立双曲线的方程，由韦达定理求出MN 的中点Q 的坐标以及C 的坐标，根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2，代入解方程即可得出答案.【详解】(1)由已知条件得：463+c ,233 ⋅463-c ,233 =0323a 2-43b 2=1a 2+b 2=c 2⇒a 2=8b 2=4c =23双曲线方程为：x 28-y 24=1．(2)若直线MN 的斜率不存在，则圆C 的圆心不在y 轴上，因此不成立．设直线MN 的方程为y =kx +m ，由y =k (x -23)x 28-y 24=1消元得：2k 2-1 x 2-83k 2x +24k 2+8 =0⇒2k 2-1≠0Δ=32k 2+1 >0x 1+x 2=83k 22k 2-1,y 1+y 2=k x 1+x 2 -43k =83k 32k 2-1-43k =43k2k 2-1∴MN 的中点Q 的坐标为43k 22k 2-1,23k2k 2-1．设C (0,m )，直线CQ :y =-1k x +m ，得C 0,63k2k 2-1，又|MN |=k 2+1⋅82⋅-8k 2+4+12k 28k 2-4 =42k 2+1 2k 2-1，根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2∴63k 2k 2-1 2+42=43k 22k 2-1 2+23k 2k 2-1-63k 2k 2-1 2 +22k 2+1 2k 2-12．化简得2k 4-5k 2+2=0解得k 2=2或k 2=12(舍)∴C (0,±26)，∴圆C 的方程为x 2+(y ±26)2=40．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点F 关于直线y =12x +34的对称点恰好在y 轴上．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)直线l :y =k x -2 k ≥6 与抛物线E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，若D 6,0 ，求AB CD的最大值．【答案】(1)y 2=4x(2)2915【分析】(1) 由题意得F p 2,0 ，设F 关于直线y =12x +34的对称点为F 0,m ，根据题意列出方程组，解之即可求解；(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB 的垂直平分线方程为y -2k =-1k x -2k 2+2k 2 ，进而得到AB CD=22+49t +36t-12，利用函数的单调性即可求解.【详解】(1)由题意得F p 2,0 ，设F 关于直线y =12x +34的对称点为F0,m ，则m -p 2=-2m 2=18p +34 ，解得m =p =2，∴抛物线E 的标准方程为y 2=4x ．(2)由y =k x -2 y 2=4x 可得k 2x 2-4k 2+4 x +4k 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2+4k 2，x 1x 2=4，∴AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅4k 2+4k 22-16=42k 4+3k 2+1k 2，y 1+y 2=k x 1+x 2 -4k =4k ，∴线段AB 的中点坐标为2k 2+2k 2,2k ，则线段AB 的垂直平分线方程为y-2k =-1k x -2k 2+2k 2 ，令y =0，得x =4+2k2，故C 4+2k 2,0 ，又D 6,0 ，得CD =4+2k 2-6=2-2k 2．∴ABCD =22k 4+3k 2+1k 2-1=22+7k 2-1k 4-2k 2+1，令t =7k 2-1k ≥6 ，则k 2=17t +1 ，t ≥41，∴AB CD=22+t 149t +1 2-27t +1+1=22+49t +36t-12，易知函数f t =t +36t在41,+∞ 上单调递增，∴当t =41时，f t 取得最小值，此时k =6，故AB CD的最大值为22+4136-12+1=2915．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=10<a 10,b 0 的右顶点为A ，左焦点F -c ,0 到其渐近线bx +ay =0的距离为2，斜率为13的直线l 1交双曲线C 于A ，B 两点，且AB=8103．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点T 6,0 的直线l 2与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线x =6相交于M ，N 两点，试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)x 29-y 24=1(2)以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 ．【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解b =2，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解a =3，(2)联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x 轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【详解】(1)∵双曲线C 的左焦点F -c ,0 到双曲线C 的一条渐近线bx +ay =0的距离为d =bca 2+b2=b ，而d =2，∴b =2．∴双曲线C 的方程为x 2a2-y 24=10<a <10 ．依题意直线l 1的方程为y =13x -a ．由x 2a 2-y 24=1,y =13x -a ,消去y 整理得：36-a 2 x 2+2a 3x -a 2a 2+36 =0，依题意：36-a 2≠0，Δ>0，点A ，B 的横坐标分别为x A ,x B ，则x A x B =a 2a 2+36a 2-36．∵x A =a ，∴x B =a a 2+36a 2-36．∴AB =1+132x A -x B =103x A -x B =8103，∴x A -x B =8．即a -a a 2+36a 2-36=8，解得a =3或a =12(舍去)，且a =3时，Δ>0，∴双曲线C 的方程为x 29-y 24=1．(2)依题意直线l 2的斜率不等于0，设直线l 2的方程为x =my +6．由x =my +6,x 29-y 24=1,消去x 整理得：4m 2-9 y 2+48my +108=0，∴4m 2-9≠0，Δ1>0．设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-48m 4m 2-9，y 1y 2=1084m 2-9．直线AP 的方程为y =y 1x 1-3x -3 ，令x =6得：y =3y 1x 1-3，∴M 6,3y 1x 1-3 ．同理可得N 6,3y 2x 2-3．由对称性可知，若以线段MN 为直径的圆过定点，则该定点一定在x 轴上，设该定点为R t ,0 ，则RM =6-t ,3y 1x 1-3 ，RN =6-t ,3y 2x 2-3 ，故RM ⋅RN =6-t 2+9y 1y 2x 1-3 x 2-3 =6-t 2+9y 1y 2my 1+3 my 2+3 =6-t 2+9y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=6-t 2+9×1084m 2-9m 2×1084m 2-9-3m ×48m 4m 2-9+9=6-t 2-12=0．解得t =6-23或t =6+23．故以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 ．【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x 2a 2+y 2b 2=λ(a >b >0)表示的椭圆C λ称为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的相似椭圆.(1)如图，已知F 1-3,0 ,F 23,0 ,M 为⊙O :x 2+y 2=4上的动点，延长F 1M 至点N ，使得MN =MF 1 ,F 1N 的垂直平分线与F 2N 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆C λ是椭圆C 的相似椭圆，M 1,N 1是椭圆C λ的左､右顶点.点Q 是C λ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e 2(e 为曲线C 的离心率)时，设直线QM 1与椭圆C 交于点A ,B ，直线QN 1与椭圆C 交于点D ,E ，求AB +DE 的值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)5【分析】(1)由图可知OM 是△F 1NF 2的中位线，由此可得F 2N 长为定值，因为点P 在F 1N 的垂直平分线上，所以PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN ，根据椭圆定义求解析式即可；(2)假设出点Q 坐标，表示直线QM 1与直线QN 1的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C 联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出AB +DE 的值.【详解】(1)连接OM ，易知OM ∥12F 2N 且OM =12F 2N ，∴F 2N =4，又点P 在F 1N 的垂直平分线上，∴PF 1 =PN ，∴PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN =NF 2 =4>23，满足椭圆定义，∴a =2,c =3,b =1，∴曲线C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆C 方程为x 24+y 2=1，则离心率e =32⇒λ=34，∴楄圆C λ的标准方程为x 23+4y 23=1，设Q x 0,y 0 为椭圆C λ异于四个顶点的任意一点，直线QM 1,QN 1斜率k QM 1,k QN 1，则k QM1⋅k QN 1=y 0x 0+3⋅y 0x 0-3=y 2x 20-3，又x 203+4y 203=1⇒y 20=143-x 20 ，∴k QM 1⋅k QN 1=-14k QM 1≠±12.设直线QM 1的斜率为k ，则直线QN 1的斜率为-14k.∴直线QM 1为y =k x +3 ，由y =k x +3 ,x 24+y 2=1,得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k 2，∴AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=41+k 21+4k 2，同理可得DE =1+16k 21+4k 2，∴AB +DE =41+k 2 1+4k 2+1+16k 21+4k 2=5.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)y 2=2x(2)(i )0；(ii )48【分析】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p 2,0 ，由几何性质易得：CP 2=CP 0 ⋅CO ，即可解决；(2)设T x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，(i )中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得y 0+y 12 2=2⋅x 0+x 12，将A x 1,y 1,B x 2,y 2 ，代入联立得D 点纵坐标为y 1+y 22=y 0，即可解决；(ⅱ)由(i )得点D 3y 20-4x 02,y 0，S =12TD ⋅y 1-y 2 =322⋅y 20-2x 03，又点T 在圆C 上，得y 20=-x 20-4x 0-1，可得：S =322⋅-x 0+32+8 3即可解决.【详解】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p2,0 .由几何性质易得：△CPP 0与△OCP 相似，所以CP CP 0=CO CP，CP2=CP 0 ⋅CO ，即：3=-p2+2 ⋅2，解得：p =1. 所以抛物线E 的标准方程为：y 2=2x .(2)设T x0,y0,A x1,y1,B x2,y2(i)由题意，TA中点M在抛物线E上，即y0+y122=2⋅x0+x12，又y21=2x1，将x1=y212代入，得：y21-2y0y1+4x0-y20=0，同理：y22-2y0y2+4x0-y20=0，有y1+y2=2y0y1y2=4x0-y20，此时D点纵坐标为y1+y22=y0，所以直线TD的斜率为0.(ⅱ)因为x1+x22=y21+y224=y1+y22-2y1y24=3y20-4x02，所以点D3y20-4x02,y0 ，此时S=12TD⋅y1-y2，TD =3y20-4x02-x0=32y20-2x0，y1-y2=y1+y22-4y1y2=8y20-2x0，所以S=322⋅y20-2x03，又因为点T在圆C上，有x0+22+y20=3，即y20=-x20-4x0-1，代入上式可得：S=322⋅-x20-6x0-13=322⋅-x0+32+83，由-2-3≤x0≤-2+3，所以x0=-3时，S取到最大价322⋅83=48.所以S的最大值为48.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y2=4x(2)存在，-1,0或-1,-4【分析】(1)设点M的坐标为-p 2,a，根据直线MF的斜率为-1，得到a=p，再根据△OFM的面积为1求出p，即可得解；(2)假设存在点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方．设直线l 的方程为x=my+1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N -1,t ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又k NF =-t2，k NA+k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1，化简k NA +k NB ，即可得到方程，求出t 的值，即可得解.【详解】(1)解：由题意知F p 2,0 ，设点M 的坐标为-p2,a ，则直线MF 的斜率为a -0-p 2-p 2=-ap ．因为直线MF 的斜率为-1，所以-ap =-1，即a =p ，所以△OFM 的面积S =12OF a =p 24=1，解得p =2或p =-2(舍去)，故抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)解：假设存在点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方．由(1)得F 1,0 ，抛物线C 的准线l 的方程为x =-1．设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N -1,t ，联立x =my +1y 2=4x得y 2-4my -4=0，所以Δ=16m 2+16>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4．因为k NF =0-t 1+1=-t 2，k NA +k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1=2my 1y 2+2-tm y 1+y 2 -4t m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=2m ⋅-4 +4m 2-tm -4t -4m 2+2m ⋅4m +4=-4t m 2+14m 2+1 =-t ，所以-t =-t22，解得t =0或t =-4．故存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方，其坐标为-1,0 或-1,-4 ．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)12【分析】(1)根据条件，得到关于a ,b ,c 的方程，即可得到结果；(2)根据题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由k 2=-3k 1列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)S ΔF 1AF 2=12⋅23⋅b =3，∴b =1，a =b 2+3=2，故椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)依题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ，P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +mx 24+y 2=1，消元得：1+4k 2 x 2+8km x +4m 2-4=0，∴x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =161+4k 2-m 2 >0，由k 2=-3k 1得：y 2+1x 2=-3⋅y 1-1x 1，两边同除x 1，y 2+1x 1x 2=-3⋅y 1-1x 21=-3⋅y 1-141-y 21 =341+y 1 ，即3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =0；将y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式得：3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =3x 1x 2-4kx 1+m +1 kx 2+m +1 =3-4k 2 x 1x 2-4k m +1 x 1+x 2 -4m +1 2=3-4k 2 4m 2-41+4k 2-4k m +1 -8km 1+4k 2 -4m +1 2=0,整理得：m 2-m -2=0所以m =2或m =-1(舍)，S △PQB =12⋅1⋅x 1-x 2 =12x 1+x 2 2-4x 1x 2=12-8km 1+4k 2 2-44m 2-41+4k 2=24k 2-31+4k 2=24k 2-3+44k 2-3≤12,当k =±72时等号成立，满足条件，所以△PQB 面积的最大值为12.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．【答案】(1)k =±12；(2)证明过程见解析.【分析】(1)根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；(2)根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】(1)当直线l 不存在斜率时，方程为x =±2，显然与圆也相切，不符合题意，设直线l 的斜率为k ，方程为y =kx +m ，与椭圆方程联立，得x 24+y 23=1y =kx +m⇒(3+4k 2)x 2+8km x +4m 2-12=0，因为直线l 与C 相切，所以有Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =0⇒m 2=4k 2+3，圆O :x 2+y 2=4的圆心坐标为0,0 ，半径为2，圆心0,0 到直线y =kx +m 的距离为mk 2+-12，因为|MN |=455，所以有455=2×4-mk 2+-1 22⇒45=4-4k 2+3k 2+1⇒k =±12；(2)A -2,0 ,B 2,0 ，由x 2+y 2=4y =kx +m ⇒1+k 2 x 2+2km x +m 2-4=0，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,x 1<x 2，则有x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1，x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2，k 1k 2=y 1x 1+2⋅y 2x 2-2=kx 1+m kx 2+m x 1x 2-2x 1+2x 2-4=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2-2x 1+2x 2-4，把x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1，x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2代入上式，得k 1k 2=k 24k 2-1k 2+1+km -2km k 2+1+m 24k 2-1k 2+1-2⋅-km -1k 2+1+2⋅-km +1k 2+1-4=m 2-4k 2m 2-4-4k2，而m 2=4k 2+3，所以k 1k 2=4k 2+3-4k 24k 2+3-4-4k 2=-3.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，根据向量关系用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3，代入椭圆方程即可求解；(2)用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3，代入斜率公式即可求解.【详解】(1)设P x ,y ，因为OP =2AO ，所以x ,y =2-x 1,-y 1 解得x =-2x 1y =-2y 1 ，又因为BP =2CP ，所以-2x 1-x 2,-2y 1-y 2 =2-2x 1-x 3,-2y 1-y 3 解得x 3=-x 1+12x 2y 3=-y 1+12y 2，因为点C 在椭圆上，所以-x 1+12x 2 22+-y 1+12y 2 2=1⇒x 212+y 21+14x 222+y 22-12x 1x 2-y 1y 2=1，即x 1x 2+2y 1y 2=12.(2)设直线AC 与OB 斜率分别为k AC ,k OB ，k AC k OB =y 3-y 1x 3-x 1×y 2x 2=-y 1+12y 2-y 1-x 1+12x 2-x 1×y 2x 2=-2y 1y 2+12y 22-2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-12+121-12x 22 -2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-14x 22-2x 1x 2+12x 22=-12是定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析【分析】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据AB =AF ⋅BF 建立方程求出p 得解；(2)由直线方程求出M ,N 的坐标，计算y M ⋅y N =-4，设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上任意一点，根据MQ ⋅NQ=0化简0=x +1 2+y -y M y -y N ，根据对称性令y =0可得解.【详解】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则联立y 2=2pxx =my +p 2得y 2-2pmy -p 2=0，所以Δ=4p 2m 2+4p 2>0y 1+y 2=2pm y 1y 2=-p 2，所以x 1+x 2=2m 2+1 px 1x 2=p 24，又AF =x 1+p 2，BF =x 2+p2，所以AB =AF +BF =x 1+x 2+p 由AB =AF ⋅BF 得x 1+x 2+p =x 1+p 2 x 2+p2 ，即x 1+x 2+p =x 1x 2+p 2x 1+x 2 +p 24所以2m 2+1 p +p =p 22m 2+1 p +p 22，化简得m 2+1 p p -2 =0，又p >0，所以p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由(1)知AB :x =my +1m ∈R ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，易得x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1，由题意知AP :y -4=y 1-4x 1-4x -4 ，BP :y -4=y 2-4x 2-4x -4 ，所以令x =-1得y M =-5y 1-4 my 1-3+4，y N =-5y 2-4my 2-3+4，即M -1,-5y 1-4 x 1-4+4，N -1,-5y 2-4 x 2-4+4，所以y M ⋅y N =-5y 1-4my 1-3+4-5y 2-4 my 2-3+4=4m -5 y 1+8 4m -5 y 2+8my 1-3 my 2-3=4m -52y 1y 2+84m -5 y 1+y 2 +64m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-44m -5 2+32m 4m -5 +64-4m 2-12m 2+9=64m 2-36-16m 2+9=-4设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上得任意一点，则有MQ ⋅NQ=0，即0=x +1 2+y -y M y -y N ，由对称性令y =0得0=x +1 2+y M y N =x +1 2-4，所以x =1或x =-3所以以线段MN 为直径的圆经过定点，定点坐标为-3,0 与1,0 .【点睛】关键点点睛：求出M ,N 的点的坐标，计算出y M ⋅y N 为定值-4，是解题的关键之一，其次写出以MN 为直径的圆的方程，根据圆的方程0=x +1 2+y -y M y -y N ，由对称性，令y =0求定点是解题的关键.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为23，且经过点P -3,12 ．(1)求椭圆E 的标准方程：(2)过椭圆E 的左焦点F 1作直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，过点A ，B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ，求AB MF 1的最大值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)2【分析】(1)由待定系数法求解析式；(2)设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M ，再由弦长公式及两点距离公式表示出AB MF 1，进而讨论最值.【详解】(1)由题意得2c =233a 2+14b 2=1a 2=b 2+c2 ，所以a =2b =1 ，即椭圆方程为x24+y 2=1；(2)当直线l 斜率为0时，A ，B 分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l ：x =ty -3，由x 24+y 2=1x =ty -3，得t 2+4 y 2-23ty -1=0．Δ=16t 2+16>0，y 1+y 2=23t t 2+4，y 1y 2=-1t 2+4.AB =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 22-4y 1y 2=1+t212t 2t 2+42+4t 2+4=4t 2+1t 2+4不妨设A x 1,y 1 在x 轴上方，则B x 2,y 2 在x 轴下方．椭圆在x 轴上方对应方程为y =1-x 24，y =-x41-x 24，则A 处切线斜率为-x 141-x 214=-x 14y 1，得切线方程为y -y 1=-x 14y 1x -x 1 ，整理得x 1x4+y 1y =1.同理可得B 处的切线方程为x 2x4+y 2y =1．由x 1x 4+y 1y =1①x 2x 4+y 2y =1②得x M =4y 2-y 1 x 1y 2-x 2y 1=4y 2-y 1 ty 1-3 y 2-ty 2-3 y 1=4y 2-y 1 3y 1-y 2 =-433，代入①得y M =1+33x 1y 1=1+33ty 1-3 y 1=3t 3，所以M -433,3t 3．因为MF 1 =-433+3 2+t 23=1+t 23，所以AB MF 1 =4t 2+1t 2+41+t 23=43t 2+1t 2+4设m =t 2+1≥1，则t 2=m 2-1，则AB MF 1=43m m 2+3=43m +3m≤4323=2，当且仅当m 2=3，即t =±2时，ABMF 1的最大值是2．另解：当直线l 的斜率存在时，设l ：y =k x +3 ，由x 24+y 2=1y =k x +3得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0，所以Δ=k 2+1>0，x 1+x 2=-83k 21+4k 2，x 1x 2=12k 2-41+4k 2，AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅64×3k 21+4k 22-412k 2-41+4k 2=41+k 21+4k 2椭圆在x轴上方的部分方程为y=1-x24，y'=-x41-x24，则过A x1,y1y1>0的切线方程为y-y1=-x14y1x-x1，即x1x4+y1y=x214+y21=1，同理可得过B x2,y2y2<0的切线方程为x2x4+y2y=1.由x1x4+y1y=1x2x4+y2y=1得x M=4y2-y1x1y2-x2y1=4y2-y1y1k-3y2-y2k-3y1=4y2-y13y1-y2=-433设M-43 3,t，则-3x13+ty1=1-3x23+ty2=1 ，所以直线l的方程为-33x+ty=1，所以t=33k.MF1=-433+32+t2=1+k23k2，AB MF1=41+k21+4k2⋅3k21+k2=43k21+k21+4k22令n=1+4k2≥1，则k2=n-14，所以ABMF1=3-3⋅1n2+2⋅1n+1，当1n=-22×-3⇒n=3时，即k=±22时，ABMF1取得最大值，为2．【点睛】直线与圆锥曲线问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理表示出所求的内容，进而进行进一步讨论.15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】(1)根据题意求出椭圆方程为:x28+y22=1，将椭圆，及相关直线、点进行平移，将y1x1,y2x2看作方程8n-4X2+8t-4nX-4t+1=0的两不等实根，进而可得n=-2t，代入直线方程化简即可；(2)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得y3+y4=m，y3y4=m2-22，化简QA|2+QB|2=5y3+y42-2y3y4，代入韦达定理即可求解.【详解】(1)由题意知2a=424a2+1b2=1⇒a=22b=2,∴椭圆方程为:x28+y22=1.将椭圆平移至(x +2)28+(y -1)22=1即x 2+4y 2+4x -8y =0，此时P 点平移至P 0,0 ,A ,B 分别平移至A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，设直线A B 方程为tx +ny =1代入椭圆⇒x 2+4y 2+4x -8y tx +ny =0，整理得8n -4 y 2+8t -4n xy -4t +1 x 2=0，两边同除以x 2⇒8n -4 ⋅y x2+8t -4n ⋅y x-4t +1 =0，∴k PA ⋅k PB=k PA ⋅k PB =14⇒y 1x 1⋅y 2x 2=14令y x =X ，则y 1x 1,y 2x 2可看作关于X 的一元二次方程，8n -4 X 2+8t -4n X -4t +1 =0的两不等实根，∴y 1x 1⋅y 2x 2=X 1X 2=-4t +1 8n -4=14,∴4t =-2n ，即n =-2t ，∴直线A B 方程为tx -2ty =1t ≠0 ,∴y =12x -12t，∴A B 的斜率为定值12，即k 的定值12.(2)设A x 3,y 3 ,B x 4,y 4 ，y =12x +m x 2+4y 2=8⇒8y 2-8my +4m 2-8=0，即2y 2-2my +m 2-2=0,Δ>0，故y 3+y 4=m ，y 3y 4=m 2-22，∴QA |2+ QB 2=1+4⋅y 3 2+1+4⋅y 4 2=5y 23+y 24 =5y 3+y 4 2-2y 3y 4=5m 2-2×m 2-22=10，∴QA |2+ QB |2=1016.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y 2=a 2x 的焦点也是离心率为32的椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点F ．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F 的直线l 交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D ，且A 在B 左侧，C 在D 左侧，A 在C 左侧．设a =AC ，b =μCD ，c =DB ．①当μ=2时，是否存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列，求μ的范围．【答案】(1)抛物线的标准方程是y 2=12x ，椭圆的标准方程为x 212+y 23=1(2)①不存在，理由见解析；②μ∈43-12,+∞【分析】(1)根据相同焦点得到a 24=32a ，解得a =23，得到答案.(2)设l ：x =my +3和各点坐标，联立方程利用韦达定理得到根与系数的关系，计算AB =12m 2+1 ，CD =43m 2+1m 2+4，根据等差数列的性质得到方程，方程无解得到答案；整理得到m 2=3+23μ-123>0，解不等式即可.【详解】(1)抛物线的焦点F a 24,0 ，椭圆的焦点F c ,0 ，由于e =c a =32，即F 32a ,0 ，则有a 24=32a ，因此a =23，c =3，b =a 2-c 2=3，故椭圆的标准方程为x 212+y 23=1，抛物线的标准方程是y 2=12x ．(2)①设l ：x =my +3，m ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，将直线与抛物线联立，则有y 2=12xx =my +3 ，y 2-12my -36=0，Δ=144m 2+36×4>0，则y 1+y 2=12m y 1y 2=-36，于是x 1x 2=my 1+3 my 2+3 =m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9，将直线与椭圆联立，则有x 2+4y 2-12=0x =my +3，得到二次方程m 2+4 y 2+6my -3=0，Δ>0，则有y 3+y 4=-6m m 2+4y 3y 4=-3m 2+4，则AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+m 2⋅y 1+y 22-4y 1y 2=12m 2+1 ，CD =x 3-x 42+y 3-y 4 2=1+m 2⋅y 3+y 4 2-4y 3y 4=1+m236m 2m 2+4 2+12m 2+48m 2+42=43m 2+1 m 2+4，AC +DB =AB -CD =12m 2+1 -43m 2+1m 2+4，假设存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列，即AC +DB =4CD 即有12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2×2×43m 2+1m 2+4，整理得到12m 2=203-48，方程无解，因此不存在l 满足题设．②只需使得方程12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2μ×43m 2+1m 2+4有解即可．整理得到m 2=3+23μ-123，故m 2=3+23μ-123>0，解得μ∈43-12,+∞【点睛】关键点睛：本题考查了抛物线和椭圆的标准方程，等差数列性质，直线和抛物线，椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用韦达定理得到根与系数的关系，根据设而不求的思想，可以简化运算，是解题的关键，需要熟练掌握.17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点F 和抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，且C 1和C 2的一个公共点是23,263．(1)求C 1和C 2的方程；(2)过点F 作直线l 分别交椭圆于A ，B ，交抛物线C 2于P ，Q ，是否存在常数λ，使1AB -λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1， y 2=4x (2)存在，λ=13【分析】(1)先求出抛物线的方程，进而求出焦点，再根据椭圆的右焦点与其重合，列出方程组求解即可；(2)利用弦长公式分别表示出AB ,PQ ，然后代入1AB -λPQ ，可求出使1AB -λPQ为定值的常数λ.【详解】(1)解：由题意知2632=2p ⋅23⇒p =2，∴y 2=4x ，抛物线焦点1,0 ，∴c =149a 2+83b 2=1a 2=b 2+c2 ⇒a =2b =3 ⇒C 1方程：x 24+y 23=1，C 2方程：y 2=4x ．(2)解：方法一：假设存在这样的l ，设直线l 的方程为：x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，x =my +13x 2+4y 2=12⇒3m 2y 2+2my +1 +4y 2=12，3m 2+4 y 2+6my -9=0．Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 ，∴AB =1+m 2⋅y 1-y 2 =1+m 2⋅144m 2+1 3m 2+4=12m 2+13m 2+4．设P x 3,y 3 ，Q x 4,y 4 ，x =my +1y 2=4x⇒y 2=4my +4，y 2-4my -4=0，Δ=16m 2+16，∴PQ =1+m 2⋅y 3-y 4=1+m 2⋅16m 2+16=4m 2+1 ，∴1AB -λPQ =3m 2+412m 2+1 -λ4m 2+1 =3m 2+4-3λ12m 2+1 为定值．∴312=4-3λ12⇒λ=13，∴存在常数λ=13使1AB -λPQ为定值14．方法二：1AB -λPQ =1-14cos 2θ3-λ1-cos 2θ4对比cos 2θ前系数λ=13．方法三：设l 倾斜角为θ，∴AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2×2×34-cos 2θ=124-cos 2θ，PQ =2p sin 2θ=4sin 2θ，∴1AB -λPQ =4-cos 2θ12-λsin 2θ4=4-3λsin 2θ-cos 2θ12为定值，∴3λ=1，λ=13，此时定值为14．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左､右顶点分别为A ,B ，点C 是椭圆上异于A ,B 的动点，过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ,N ,AC 的中点为点D ，直线OD 与椭圆交于点P ,Q ，点P ,C ,M 在x 轴的上方.(1)当AC =5时，求cos ∠POM ；(2)求PQ ⋅MN 的最大值.【答案】(1)-35(2)10【分析】(1)根据题意求出k AC ⋅k OD =-14，根据AC =5分析出点C 满足的方程，求出点C 坐标，进而求出cos ∠POM ；(2)利用弦长公式求出PQ 和MN ，再利用基本不等式求出最值.【详解】(1)由题知A -2,0 ,设C x 0,y 0 ，则D x 0-22,y 02，则k AC ⋅k OD =y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=1-14x 2x 20-4=-14.因为AC =5，所以C 在圆(x +2)2+y 2=5上，又C 在椭圆x 24+y 2=1上，所以C x 0,y 0 满足(x +2)2+y 2=5x 24+y 2=1，所以(x +2)2+1-x 24=5，34x 2+4x =0，所以x 0=0或x 0=-163<-2(舍去)，又C 在x 轴上方，所以C 0,1 ，所以直线AC 的斜率为12，故直线OD 的斜率为-12，所以直线AC 与直线OD 关于y 轴对称.设直线AC 的倾斜角θ，cos ∠POM =cos2π2-θ=-cos2θ=sin 2θ-cos 2θ=sin 2θ-cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-1tan 2θ+1=-35(2)当直线MN 斜率为k ,k >0，则直线MN :y =kx ，直线PQ :y =-14k x ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 满足y =kxx 24+y 2=1，所以4k 2+1 x 2=4,x 2=44k 2+1，所以MN 2=1+k 2 164k 2+1，同理PQ 2=1+116k 2 114k 2+1=416k 2+1 4k 2+1，所以MN 2⋅PQ 2=164k 2+4 16k 2+1 4k 2+1 2≤164k 2+4+16k 2+12 24k 2+1 2=420k 2+5 24k 2+12=100所以MN ⋅PQ ≤10，当且仅当4k 2+4=16k 2+1，即k ≤12时取“=”，所以PQ ⋅MN 的最大值为10.【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的右焦点为F 3,0 ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点(其中A 在第一象限)，交直线x =53于点M ，(i )求|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |的值；(ii )过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP =PQ .【答案】(1)x 25-y 24=1(2)(i )1；(ii )证明见解析【分析】(1)结合点F 到其中一条渐近线的距离为2和a 2+b 2=c 2，即可求得本题答案；(2)(i )设AB 直线方程为x =my +3，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，得y M =-43m，直线方程与双曲线方程联立消x ，然后由韦达定理得y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5，把|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |逐步化简，即可求得本题答案；(ii )把QM 和OB 的直线方程分别求出，联立可得到点P 的坐标，由此即可得到本题答案.【详解】(1)因为双曲线其中一条渐近线方程为bx +ay =0，又点F 3,0 到它的距离为2，所以3b b 2+a2=3bc =2，又c =3，得b =2，又因为a 2+b 2=c 2，所以a 2=5，所以双曲线C 的方程为x 25-y 24=1.(2)(2)设AB 直线方程为x =my +3，则y M =-43m，代入双曲线方程整理得：4m 2-5 y 2+24my +16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5，(i )|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=y 1 ⋅y 2-y M y M -y 1 ⋅y 2 =y 1y 2-y 1y My 2y M -y 2y 1 而y 1y 2-y 1y M -y 2y M -y 2y 1 =2y 1y 2-y M y 1+y 2 =324m 2-5--24m 4m 2-5⋅-43m =0，所以y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1，，则y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1 ，所以|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=1 ；(ii )过M 平行于OA 的直线方程为y +43m =y 1my 1+3x -53，直线OB 方程为y =y 2my 2+3x 与y +43m =y 1my 1+3x -53联立，得y +43m =y 1my 1+3my 2+3y 2y -53，即y 2my 1+3 y +43m my 1+3 y 2=y 1my 2+3 y -53y 1y 2，则3y 2-y 1 y =-3y 1y 2-4my 2，所以y P =-3y 1y 2-4my 23y 2-y 1 ，由y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5两式相除得，y 1y 2y 1+y 2=2-3m ，则y 1y 2=-23m y 1+y 2 ，所以y P =-3y 1y 2-4m y 23y 2-y 1 =2m y 1+y 2 -4m y 23y 2-y 1 =2m y 1-y 2 3y 2-y 1 =-23m ，因为y Q =0，所以y P =y M +y Q2，故P 为线段MQ 的中点，所以|MP |=|PQ |.【点睛】关键点点睛：本题第二小题第一问考了|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |如何用y 1,y 2,y M 表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】(1)23,6(2)y =54x -355或y =-54x +355【分析】(1)设点P (x 0,y 0)，将PO ⋅PB转化为坐标表示，求取值范围；(2)设直线方程，与椭圆方程联立，设MN 中点为D ，若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BM ⊥BN ，BD ⊥MN ，解出直线方程.【详解】(1)设点P (x 0,y 0)，则x 204+y 20=1，PO ⋅PB =(-x 0,-y 0)⋅(1-x 0,-y 0)=x 0(x 0-1)+y 20=34x 0-23 2+23，因为-2≤x 0≤2，所以当x 0=-2时，PO ⋅PB max =34×-2-23 2+23=6，当x 0=23时，PO ⋅PB min =34×23-23 2+23=23，所以PO ⋅PB ∈23,6 .(2)设直线l ：y =kx +m (k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 得，(4k 2+1)x 2+8km x +4m 2-4=0，由题，Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =2m 4k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=m 2-4k 24k 2+1，若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BM ⊥BN ， BM ⋅BN=(x 1-1,y 1)⋅(x 2-1,y 2)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=8km +5m 2-34k 2+1=0，所以8km +5m 2-3=0，①设MN 中点为D ，则D -4km 4k 2+1,m4k 2+1，因为BD ⊥MN ，。

完整版)圆锥曲线大题题型归纳圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1.待定系数法：求解直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等；2.齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3.韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。

但是，如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4.点差法：解决弦中点问题，端点坐标设而不求。

也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5.距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化为水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1.“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2.“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3.证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4.证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5.有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

变式1、已知F1,F2分别是双曲线3x^2-5y^2=75的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积。

变式2、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点。

1）求|PF1|/|PF2|的最大值；2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为100b^2，求b的值。

“韦达定理”“反点斜式”“⽬标函数”——玩转圆锥曲线题圆锥曲线试题作为⾼考⾼难度甚⾄压轴题，⼀直是⼴⼤⾼考学员甚⾄是所有⾼中学员的⼀块⼼病和挥之不去的“梦魇”。

这么说毫不夸张，据我的学员和我说，她的同学被圆锥曲线题完全弄得绝望了！客观的说，圆锥曲线有如此境遇确实和它本⾝的难度扯不开关系。

原因有三：1、知识⾯涉及⼴。

圆锥曲线题不只是涉及圆锥曲线本⾝，同时经常和函数、⼀元⼆次⽅程、⼏何等等知识相联相关。

2、因为涉及的知识⾯多⽽⼴，故解题过程⽐较复杂，花费时间长，打持久战⼀直是⼴⼤⾼中学员不愿意做的事情。

3、也是最主要的：代数化简繁杂，抽象思维要求⾼，对学员的综合计算推导能⼒要求⾼！尽管如此，本⽂将通过“韦达定理”+“反点斜式”+“⽬标函数”三个⽅⾯玩转圆锥曲线试题。

让你找到⼀条捷径，原来运⽤“韦达定理”+“反点斜式”+“⽬标函数”——可以轻松玩转圆锥曲线题。

游戏规则介绍：⼩⼉垂钓⾃学始，圆锥曲线：平⾯与圆锥相交所成的切⾯，有椭圆、双曲线、抛物线以及圆四种。

平时我们⼀般仅指除圆外的三种。

椭圆、双曲线、抛物线分别有如下不同的性质和特征。

椭圆：双曲线：抛物线：直线⽅程：韦达定理：⽬标函数：题⽬中能⽤韦达定理表⽰的条件，⽐如两直线的斜率之和，线段的长度，两个向量的点积等等⽤韦达定理表⽰的函数表达式。

游戏开始：第⼀步：理论分享与证明（以椭圆为例进⾏与直线相交联⽴分析）第⼆步：⾼考真题分享解：由题意有如下⽰意图：下图请欣赏：抛物线与直线相交动态图第三步：⼩结从以上的椭圆与直线相交的理论推导求解韦达定理，以及实操中【2019全国⼀】题中涉及的抛物线与斜率不变的平⾏直线问题和【2018全国⼀】题涉及的椭圆与过椭圆内⼀定点的旋转直线问题的两道⾼考真题。

分别通过圆锥曲线与直线联⽴得出“韦达定理”，同时因为⽤的是“反斜率直线⽅程”，【2019全国⼀】题中“⽬标函数”是关于“两段焦点弦的和”，“过定点直线两段弦的向量关系”和“弦长公式”需要运⽤“韦达定理”的数量关系；【2018全国⼀】题中的直线与x轴垂直的问题因运⽤“反斜率直线”不需要单独讨论“k不存在”的情况(令m=0即可)，同时“韦达定理”的解答过程和表达也有⼀定的简捷，最后在“⽬标函数”——“斜率和”的解答过程中也表现解答简捷⽅便。

圆锥曲线大题解题技巧圆锥曲线是数学中一个重要的几何分支，它包括椭圆、双曲线和抛物线等曲线。

在解决圆锥曲线相关的大题时，掌握一些解题技巧是非常有帮助的。

以下是一些常见的解题技巧：1. 熟悉基本定义和性质：-掌握圆锥曲线的标准方程形式，了解它们的焦点、准线、偏心率等基本性质。

-理解直线与圆锥曲线的位置关系，包括相切、相交和相离。

2. 利用坐标法：-将圆锥曲线问题转化为代数问题，通过建立坐标系，将曲线方程转化为标准形式。

-利用坐标法求解直线与圆锥曲线的交点、弦长、面积等。

3.应用韦达定理：-韦达定理在解决圆锥曲线问题时非常有用，特别是在求解直线与圆锥曲线的交点问题时。

-利用韦达定理可以快速找到交点的坐标。

4. 利用参数方程：-对于某些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来简化问题。

-参数方程可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。

5. 利用极坐标：-在处理与极点和极线相关的问题时，极坐标方法可以提供简洁的解决方案。

-极坐标方法特别适用于求解与焦点、准线相关的问题。

6. 利用图形工具：-利用几何画板等图形工具可以帮助我们直观地理解圆锥曲线的性质和问题。

-图形工具可以帮助我们验证答案的正确性。

7. 注意特殊情况：-在解决圆锥曲线问题时，要注意特殊点的存在，如顶点、焦点、准线等。

-特殊点的性质往往在解题中起到关键作用。

8. 练习和总结：-定期练习圆锥曲线相关的题目，总结解题方法和技巧。

-学习并掌握常见的解题模式和思路。

通过以上技巧的运用，可以大大提高解决圆锥曲线大题的效率和准确性。

重要的是要理解每个技巧背后的数学原理，这样才能在遇到不同问题时灵活运用。

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 标为 。