非线性常微分方程组边值问题三正解的存在性

非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解的开题报告题目：非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解一、选题背景随着科学技术的不断发展和社会的不断进步，越来越多的问题需要研究者去求解，其中许多问题都涉及到非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解。

非线性积分方程在数学、物理、工程、财经等领域应用十分广泛，非线性常微分方程边值问题则在生物、天文、力学等领域有着广泛而深入的研究。

二、研究目的本研究旨在深入探究非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解，为解决实际问题提供理论依据和数学基础。

三、研究内容1.非线性积分方程的求解方法及其应用非线性积分方程作为一类特殊的积分方程，具有较强的适用性和广泛的应用领域。

针对非线性积分方程的求解方法，本研究将探究分歧理论、分支理论等方法，并结合实际问题进行分析。

2.非线性常微分方程边值问题的求解非线性常微分方程边值问题主要包含两类：Dirichlet问题和Neumann问题，本研究将以具体实例为例，详细阐述利用变分法、重点法、边值问题的变换方法等求解非线性常微分方程边值问题的方法。

3.理论分析和实际应用本研究将综合运用前两部分的内容，并根据学术研究和实际经验的结合，进行理论分析和实际应用的深入研究，为实现非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解提供有力的理论支持。

四、研究方法本研究将主要采用文献资料查阅法、数理统计法、数理分析法、计算机仿真模拟法等方法。

五、预期研究成果本研究预期得出非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解方法，为实际问题提供理论依据和数学基础，并探索其在工程、科学、经济等领域的应用，为相关科研工作提供有力的支撑。

六、研究时间安排本研究计划用两个学期的时间阅读相关文献、进行分析和实践，大致的时间安排如下：第一学期：文献查阅、理论学习、方法总结、模型建立；第二学期：模型计算、实验验证、实际应用、撰写论文、答辩等工作。

七、参考文献[1] Agarwal R P, Grace S R. Integral Equations and their Applications[M]. New York: Marcel Dekker, Inc., 1991.[2] Anderson D R, Freedman B R. Eigenvalues for some nonlinear boundary value problems[J]. Arch. Rat. Mech. Anal., 1981, 77(3): 253-262.[3] Agarwal R P, O'Regan D. Boundary Value Problems of Nonlinear Differential Equations[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1992.[4] Coddington E A, Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations[S]. Berlin: Springer, 1955.[5] Georgiev S V. Nonlinear Integral Equations and their Applications in Data Mining and Image[J]. Inform. Sci., 2007, 177(22): 5005-5029.。

一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性王彩勋【摘要】利用乘积锥上的不动点指数定理,研究了一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性.【期刊名称】《产业与科技论坛》【年(卷),期】2016(015)015【总页数】2页(P58-59)【关键词】三阶微分方程组;乘积锥;不动点指数;正解【作者】王彩勋【作者单位】青海大学基础部【正文语种】中文三阶微分方程在应用数学和物理学的不同领域得到了广泛应用,但关于三阶微分方程组的研究并不多见。

文献[1]研究了当f是超线性或次线性的情况下, 三阶微分方程三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=(0),u′(1)=au′(η)至少存在一个正解。

本文进一步研究三阶微分方程组三点边值问题：正解的存在性。

文中总是假设下面条件成立：(H0)0<η<1，0<aη<1,ai∈C((0,1),R+)且满足:0<ai(t)dt<+∞,fi∈C([0,1]×R+×R+,R+),R+=[0，+∞),i=1,2方程组(1)中一个方程的非线性项是超线性的,另一个的是次线性的, 通过构造新的Green函数, 利用乘积锥上的不动点指数定理解决三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性。

由文献[2]中非线性项的定义得到启发, 给出如下定义。

定义1如果fi,i=1,2满足：关于v+∈R+一致成立,则称1关于u在原点是超线性的,2关于v在原点是次线性的。

定义2如果i=1,2满足:关于v∈R+一致成立,关于u∈R+一致成立,则称2关于u在无穷远处是超线性的,2关于v在无穷远处是次线性的。

若1关于u在原点和无穷远处均是超线性的, 称1是超线性的；若2关于在原点和无穷远处均是次线性的, 称2是次线性的。

记E=C[0，1],取‖u‖|u(t)|, 则E是Banach空间。

当k≥2时定义K为：则K是E中的锥。

目录中文摘要 (1)英文摘要 (3)第一章绪论 (5)1.1研究背景及本文的主要工作 (5)1.2预备知识 (5)第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性 (7)2.1引言 (7)2.2预备知识和引理 (8)2.3主要结果及证明 (14)第三章三点边值问题多解的存在性 (25)3.1引言 (25)3.2上下解与度理论,变分方法 (26)3.2.1上下解 (26)3.2.2上下解与度理论 (29)3.2.3上下解与变分方法 (31)3.3多解及变号解的存在性 (38)参考文献 (50)在读期间发表的学术论文 (54)致谢 (55)山东师范大学硕士学位论文三点边值问题解的存在性、唯一性及多解的存在性研究董瑶(山东师范大学数学与统计学院,济南,山东,250358)摘要近年来,在微分方程领域,三点边值问题在物理、化学、生物学等学科内一直被广泛应用,在如今科技迅速发展的时代,边值问题的应用更加普遍.随着对微分方程三点边值问题需求的提高,学者们关于三点边值问题的正解的研究也逐渐深入.但是我们发现,迄今为止,对于三点边值问题的多个解,无穷多解,以及变号解的研究文章却是少之又少.本文也将围绕着三点边值问题解的情况展开研究,我们首先对于特殊的三点边值问题的正解展开研究,其次,对于更加一般的三点边值问题,我们将研究它的多解的情况.第一章,我们介绍了三点边值问题的研究背景,本文主要做的工作以及一些预备知识.第二章,我们考虑如下三点边值问题：{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,并且λ是一个正参数.本章建立了针对三点边值问题的上、下解定理,并主要应用此定理,结合比较原则、第一特征值第一特征函数、Arzela-Ascoli引理等知识,在问题中的K,a,η,λ处于不同范围时,我们得出带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性等结论.在第三章,我们研究如下问题,{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).在本章,我们进行了对于三点边值问题多解的存在性研究.首先,我们定义了针对此问题的广义的上下解定义,其次为建立上下解方法与度理论的联系,我们给出了严格上下解的定义,并在上下解存在的情况下,利用度理论给出了三个解的存在性结论.此外,我们将上下解方法与变分方法结合,在空间W1,2((0,1))1中,将上述问题转化成为了能量泛函,通过求该泛函的临界点,得到了三点边值山东师范大学硕士学位论文问题解的存在性结论.我们利用此方法,通过改变条件,得出了三点边值问题的四个解、五个解以及变号解的存在性结论.另外,当右端项f(t,u(t))具有特殊形式时,我们得出问题具有无穷多个解的结论.关键词:三点边值问题;多解;上下解;度理论;变分方法.分类号:O175.8山东师范大学硕士学位论文The Existence,Uniqueness and MultipleSolutions of Three-point Boundary ValueProblemsYao DongInstitute of Mathematics and Statistics,Shandong Normal UniversityJinan,Shandong,250358,P.R.ChinaABSTRACTIn recent years,in the field of differential equations,the three-point boundary value problem has been widely used in physics,chemistry,biology and other fields. In the era of rapid development of science and technology,the application of the three-point boundary value problem is more and more common.With the increasing demand for three-point boundary value problems of differential equations,many scholars have gradually deepened their research on the positive solutions of three-point boundary value problems.However,we find that there are very few studies on multiple solutions,infinite solutions and sign-changing solutions of three-point boundary value problems.In this thesis,we will study the solutions of three-point boundary value problems.Firstly,we will study the positive solution of special three-point boundary value problems.Secondly,for more general three-point boundary value problems,we will obtain the existence of its multiple solutions.In the Chapter1,we introduce the background of three-point boundary value problems and the main work of this paper,and we give some preliminary knowledge.In the Chapter2,we consider the three boundary value problems{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),where K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,andλis a positive parameter.In this chapter,we establish the upper and lower solution theorem for the three-point boundary value problems,and combine this theorem with the knowledge of comparison principle,eigenvalues and corresponding eigenfunctions,and Arzela-Ascoli lemma.When K,a,ηandλare in different ranges,we obtain the existence, uniqueness,and dependence of the solutions on the three-point boundary value problem with singular nonlinear terms.山东师范大学硕士学位论文In Chapter3,we study the following problem{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).In this chapter,we make a study on the existence of multiple solutions to the three-point boundary value problem.Firstly,we define a generalized definition of the upper and lower solutions for this problem.And secondly,to establish the connection between the upper and lower solution method and degree theory,we give the definition of the strictly upper and lower solutions.In the presence of the upper and lower solutions,the existence of three solutions is given by using the degree theory.In addition,we combine the upper and lower solution method with the variational method.In space W1,2((0,1)),we transform the above problem into1an energy functional.By finding the critical point of the functional,we obtain the existence conclusion of the solution of the three-point boundary value problems. We use this method to obtain the existence of four solutions,five solutions,and sign-changing solutions for the three-point boundary value problem by changing the conditions.In addition,when the right term f(t,u(t))with special forms,we obtain that the problem has infinitely many solutions.Keywords:three-point boundary value problem,multiple solutions,upper and lower solutions,degree theory,variational method.Classification:O175.8山东师范大学硕士学位论文第一章绪论1.1研究背景及本文的主要工作最初的微分动力系统理论,是在经典力学蓬勃发展的背景下发展起来的.众所周知,Newton开创了一套体系相对完备的经典力学理论,他和Leibniz创立了微积分的理论基础,这部分数学与物理的发展是相辅相成的.在处理许多物理问题中,人们首先想到的是微分方程,这与经典力学理论与微分方程的共同发展是脱不开关系的.微分方程初值问题和边值问题是微分方程理论研究的重要课题,其中初值问题仅与定义域中的某一点有关,而边值条件至少与定义域中的两个不同的点有关.自然界中的许多物理现象都可以归结为一些典型的方程来研究.因此,研究三点边值问题解的情况就显得非常必要.再者,奇异边值问题起源于化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料中的热传导理论的研究,应用前景也逐渐广泛,如大气对流、边界层流动、天体运动等,因此具有奇异性的微分方程边值问题解的研究也成为重要的研究方向之一．在目前的研究中,绝大部分是通过利用锥上的不动点定理来证明解的存在性以及多解性.而我们发现,上、下解方法对于研究边值问题的解也有很重要的作用.上下解方法在两点边值问题中的研究已较为广泛,但在三点边值问题中的应用相对较少,且大多条件较为严格.所以如何把已有的较为成熟的两点边值问题的上下解方法应用到三点边值问题中,并且适当减少所需条件从而得出解的相关结论,是本文需要重点考虑的问题之一.此外,拓扑度理论对于研究三点边值问题解的存在性也非常有用,我们还将将上下解方法与拓扑度理论相结合,借助拓扑度的计算,来得出三点边值问题多个解存在的结论.而我们通过阅读大量的文献发现,关于两点边值问题和椭圆形边值问题经常有无穷多解方面的理论结果，而三点边值问题无穷多个解的存在性还未被研究过，我们计划将上下解方法与变分方法结合,将边值问题转换成一个能量泛函,然后通过寻找能量泛函的临界点来证明此临界点是原问题的解,从而得出相关的结论.1.2预备知识本文中,我们将用到以下空间符号：C([0,1])是[0,1]上连续函数u(t)的全体,‖u‖=max|u|∞,山东师范大学硕士学位论文C 1([0,1])={u :[0,1]→R |u (t )在[0,1]上连续可微},‖u ‖=max {|u |∞,|u ′|∞},其中|u ′|∞=max t ∈[0,1]|u ′(t )|.显然,C 1([0,1])是一个Banach 空间.W 2,1((0,1))是函数集,若u ∈W 2,1((0,1)),则u ∈C 1([0,1]),且二阶弱导u ′′∈L 1(0,1).W 1,21((0,1))={u ∈W 1,2((0,1))|u (0)=0,u (1)=au (η)}.此空间相应的范数为||u ||=(∫︀10|u ′|2dt )12.Arzela-Ascoli 引理对于我们解决文章中的问题是非常重要的.引理1.2.1.(Arzela-Ascoli 引理)[39]任何定义在区间[a,b ]上的一致有界且等度连续的函数族{f (x )},必可从中选出一个在此区间上一致收敛的子列.下面是关于线性方程{︃−x ′′(t )=λx (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(1.1)的特征值和特征函数的相关引理.引理1.2.2.[30]问题(1.1)的频谱由一组严格递增的特征值序列λk >0,k =1,2,···组成,特征函数φk =sin(λ12k t ).此外,(i)lim k →+∞λk =+∞;(ii)φk (t )在(0,1)内有k −1个简单零点,k =2,3,···并且φ1在(0,1)上严格为正.在文献[9]中,作者对微分方程{︃−x ′′(t )=f (t,x (t )),0<t <1,x (0)=ax (η),x (1)=0建立了最大值原理.引理1.2.3.假设0<η<1,且F ={x ∈C [0,1]∩C 2(0,1),x (0)−ax (η)≥0,x (1)≥0}.若x ∈F 使得−x ′′(t )≥0,t ∈(0,1),那么x (t )≥0,t ∈[0,1].山东师范大学硕士学位论文第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性2.1引言本章中,我们研究以下三点边值问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.1)其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,p,q>0,并且λ是一个正参数.我们在p,q处于不同范围下展开研究,分别是0<p,q<1,0<p<1的情况.1987年,Ilin和Moiseev开始对非线性二阶m点边值问题展开研究[19,20].从那以后,出现了许多关于一般非线性多点边值问题解的存在性结果,见文献[10], [14],[23],[30]及它们的参考文献.例如,2007年,Rynne[30]采用Rabinowitz bifur-cation理论研究了以下问题：⎧⎪⎨⎪⎩−u′′=f(u),on(0,1),u∈R×X, u(0)=0,u(1)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),其中,m≥3,ηi∈(0,1),αi>0,m−2∑︁i=1αi<1且f(0)=0.Rynne在文中给出了该问题变号解的存在性.2008年,Rynne利用半特征值法和Fuˇc ik光谱理论研究了如下问题的可解性和不可解性：{︃−u′′=f(u)+ℎ,on(0,1),u(0)=0,u(1)=αu(η),我们知道,上下解方法对于研究边值问题是非常重要的,见文献[3],[6],[8],[26], [27],[32],[33],[36],[37],[16].因此,建立上下解方法对于研究三点边值问题是重要且有必要的.2007年,杜新生和赵增勤[9]研究了如下三点边值问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0,其中,0<a<1,0<η<1.在f不减的条件下,作者利用单调迭代技巧和上下解方法得出了正解存在的充要条件.2008年,在f递减的条件下,二人[10]又研究了山东师范大学硕士学位论文如下m点边值问题,⎧⎪⎨⎪⎩−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1), u(0)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),u(1)=0.作者通过构造问题的上下解得出了问题正解的存在和唯一性结果.同年,韦忠礼在[33]中构造了三点边值问题的上下解,并且给出问题{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0.的正解存在的充要条件.另一方面,奇异边值问题出现在化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料的热传导理论中,见文献[2,4,5,7,11,31].史俊平[31]应用上下解方法研究了下述问题,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−Δu+K(x)u−q=λu p,x∈Ω, u(x)>0,∀x∈Ω,u|ðΩ=0,其中K∈C2,β(Ω),p,q∈(0,1),且λ是一个正参数.K(x)在不同情况下,史俊平得到了获得了问题古典解的存在唯一性.受上述文献启发,对于不同的λ,当p,q和K(t)在不同情况下,我们将得出问题(2.1)正解的存在性和唯一性.2.2预备知识和引理在本节,我们首先研究以下带导数的三点边值问题，{︃−x′′(t)=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.2)其中,η∈(0,1),0<a<1,且f∈[0,1]×R×R.下面,我们给出问题(2.2)的上下解的定义.定义2.2.1.如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t),α′(t)),t∈(0,1),α(0)≤0,α(1)≤aα(η),(2.3)那么α(t)称为问题(2.2)的一个下解.通过改变上述问题中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.山东师范大学硕士学位论文如果问题(2.2)存在一个上解α(t)和一个下解β(t)满足α(t)≤β(t),那么,我们称(α(t),β(t))为问题(2.2)的一对上下解.设Dβα={(t,x)∈(0,1)×R+|α(t)≤x≤β(t),t∈(0,1)}.引理2.2.1.假设ℎ∈L1(0,1).那么在C[0,1]内，对于每一个λ>0,问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=αx(1)(2.4)都有唯一解.证明:假设v1(t)和v2(t)分别满足{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x′(0)=1和{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(1)=0,x′(1)=−1.定义G(t,s)=1ω{︃v2(t)v1(s),0≤s≤t≤1,v1(t)v1(s),0≤t≤s≤1,且x(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].那么−x′′(t)+λx(t)=−1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]′′−e′′1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=−1ω[v′2(t)v1(t)−v′1(t)v2(t)]ℎ(t)−1ω[λ∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+λ∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t)−λ1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t),t∈(0,1),山东师范大学硕士学位论文并且x(1)−αx(η)=∫︁10G(1,s)ℎ(s)ds+e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=0.因此,x(t)是问题(2.4)的一个C[0,1]解.因为λ>0,问题(2.4)有唯一的C[0,1]解.证毕.定理2.2.1.设α,β∈C([0,1])∩C1(0,1)是(2.2)的一组上下解,满足α≤β.设ψ∈L1[0,1],并且φ:R+→R+0是一个连续函数，满足∫︁∞01φ(s)ds=+∞.(2.5)假设f:Dβα×R→R是一个L1-Carath´e odory函数，使得|f(t,x,v)|≤ψ(t)φ(|v|),∀(t,x)∈Dβα,v∈R.(2.6)那么问题(2.2)至少有一个解x∈C1[0,1]使得对于∀t∈[0,1],α(t)≤x(t)≤β(t).证明:我们的证明分为以下五步.一.我们考虑一个新的问题.由(2.5),存在一个足够大的R>0使得∫︁R 01φ(s)ds>‖ψ‖1.(2.7)并且(2.6)保证了存在一个N∈L1[0,1]使得|f(t,x,v)|≤N(t),∀(t,x)∈Dβα,|v|≤R.(2.8)定义χ(t,x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩α(t),x<α(t),x,α(t)≤x≤β(t),β(t),x>β(t),(2.9)g(t,x,v)=max{min{f(t,χ(t,x),v),N(t)},−N(t)}.(2.10)选择一个λ>0,考虑新边值问题{︃−x′′(t)+λx=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.11)山东师范大学硕士学位论文其中0<a<1,0<η<1.二.我们考虑问题(2.11)的C1[0,1]解得存在性.引理2.2.1保证了对于∀ℎ∈L1[0,1],线性问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ,t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η)有唯一的C[0,1]解v(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].对于x∈C1[0,1],我们定义(F x)(t)=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈[0,1],(T x)(t)=∫︁10G(t,s)(F x)(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)(F x)(s)ds,s∈[0,1].由(2.9)和(2.10),我们可以得到|g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t))|≤N(t)+λmax{supt∈[0,1]|α(t)|,supt∈[0,1]|β(t)|},这表明函数属于集合{(T x)(t):x∈C1[0,1]}且{(T x)′(t):x∈C1[0,1]},且函数有界并等度连续.Arzela-Ascoli定理保证了T C1[0,1]是相对紧集.T的连续性证明成立.应用Schauder不动点定理,我们可以证明T至少有一个不动点x∈C1[0,1].三.(2.11)的解满足α(t)≤x(t)≤β(t).我们只需证明对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).事实上,假设存在一个t0∈[0,1)使得x(t0)>β(t0).因为x(0)=0≤β(0),t0>0.设w(t)=x(t)−β(t), t∈[0,1].则w(0)≤0,w(t0)>0.设t*=sup{t|w(s)>0,s∈[t0,t]},t*=inf{t| w(s)>0,s∈[t,t0]}.显然对于∀t∈(t*,t*)都有w(t)>0,w(t*)=0且w(t*)≥0.如果w(t*)=0,那么存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).如果w(t*)>0,显然t*=1且w(1)=x(1)−β(1)>0.因为w(η)=x(η)−β(η)=1a(x(1)−β(1))=1a w(1)>w(1),所以也存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).因此,w′(t′)=0(i.e.,β′(t′)=x′(t′))并且−w′′(t′)≥0.另一方面,因为−w′′(t′)=β′′(t′)−x′′(t′)≤−f(t′,β(t′),β(t′))+g(t′,x(t′),x′(t))+λχ(t′,x(t′))−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+max{min{f(t′,β(t′),β′(t)),N(t)},−N(t)} +λβ(t′)−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+f(t′,β(t′),β′(t′))+λβ(t′)−λx(t′)=λ(β(t′)−x(t′))<0,山东师范大学硕士学位论文矛盾.同理可证对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).因此,由(2.10),x满足{︃−x′′(t)=g(t,x(t),x′(t))=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)},t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η).(2.12)四.(2.11)的解满足|x′|∞≤R.相反地,假设存在一个t′∈(0,1)使得|x′(t′)|>R.不失一般性,我们假设x′(t′)>R.因为当0<a<1时,x(0)=0,x(1)=ax(η),所以存在一个t0∈(0,1)使得x′(t0)=0.不失一般性,对于∀t∈(t′,t0),我们假设x′(t)>0.观察到对于∀(t,x)∈Dβα,v∈R,max{min{f(t,x,v),N(t)},−N(t)}≤ψ(t)φ(|v|).那么,由(2.12),我们有∫︀R 01φ(s)ds=|∫︀x′(t′)x′(t0)1φ(s)ds|=|∫︀t0t′1φ(x′(t))dx′(t)|=|∫︀t0t′x′′(t)φ(x′(t))dt|=|∫︀t0t′g(t,x(t),x′(t))φ(x′(t))dt| =∫︀t0t′ψ(t)φ(x′(t))φ(x′(t))dt=∫︀t0t′ψ(t)dt=‖ψ‖1.这与(2.7)矛盾.因此|f(t,x(t),x′(t))|≤N(t),又因为u∈[α,β],我们得到g(t,x(t),x′(t))=f(t,x(t),x′(t)),∀t∈(0,1).五.我们证明x(t)满足问题(2.2).因为|x′|∞≤R,α(t)≤x(t)≤β(t),由(2.8),(2.10),(2.12),我们可以得到{︃−x′′(t)=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)}=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),也就是说,x(t)是问题(2.2)的一个C1[0,1]解.证毕.现在我们考虑下述问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.13)山东师范大学硕士学位论文其中η∈(0,1),0<a<1且f∈[0,1]×R×R.下面我们给出(2.13)的上下解的定义.定义2.2.2.[36]如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)且满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t)),t∈(0,1),(2.14)α(0)≤0,α(1)≤aα(η),那么函数α(t)称为(2.13)的一个下解.通过改变问题(2.14)中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.通过定理2.2.1,我们可以得到下述结论.推论2.2.1.假设存在问题(2.2)的一个下解α(t)和一个上解β(t),使得对,都于∀t∈[0,1],有α(t)≤β(t),并且存在F∈L1[0,1]使得对于∀(t,x)∈Dβα有|f(t,x)|≤F(t),那么问题(2.13)至少有一个C[0,1]解x(t),满足α(t)≤x(t)≤β(t),t∈[0,1].注2.2.1.这个结论在文献[33]中出现过,我们的定理改进了先前文献中的结论.引理2.2.2.假设f:(0,1)×[0,+∞)→R是一个连续函数,使得当s>0时,对于∀t∈(0,1)都有s−1f(t,s)严格递增.设w,v∈C[0,1]∩C2(0,1)满足(a)w′′+f(t,w)≤0≤v′′+f(t,v),t∈(0,1);(b)w,v>0,t∈(0,1)且w(0)≥v(0),w(1)≥aw(η),v(1)≤av(η);(c)v′′∈L1[0,1].那么w(t)≥v(t),t∈[0,1].证明:由v′′∈L1(0,1),我们可以知道v′(0+)和v′(1−)存在并且v∈C1[0,1].假设在[0,1]上v(t)≤w(t).不失一般性,我们假设存在t0∈(0,1)使得v(t0)−(v(t)−w(t))>0.设w(t0)=max0≤t≤1t*=inf{t1|0≤t1<t0,v(t)>w(t),t∈(t1,t0)},t*=sup{t2|t0≤t2<1,v(t)>w(t),t∈(t0,t2)}.显然0≤t*<t*≤1,且v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),其中D+表示Dini导数.对于t*≤1,有三种情况.(1)t*<1.那么v(t*)=w(t*),v′(t*)≤w′(t*),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t).(2)t*=1且v(t*)=w(t*),v′(t*−)≤D−w(t*−),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t),其中D−表示Dini导数.(3)t*=1且v(t*)>w(t*),对于∀t∈(t*,t*],v(t)>w(t).因为v(1)−w(1)≤山东师范大学硕士学位论文a(v(η)−w(η))<v(η)−w(η),所以存在t′∈[η,1]使得v(t′)−w(t′)>0,(v(t′)−w(t′))′<0.综上,存在一个t′>t*使得v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),v(t′)≥w(t′),v′(t′−)≤D−w(t′−),且v(t)>w(t),∀t∈(t*,t′).设y(t)=v′(t)w(t)−w′(t)v(t),t∈(t*,t′),那么我们可以得到lim t→t*+inf y(t)≥0≥limt→t′−sup y(t).(2.15)另一方面,对于t∈(t*,t′),我们有y′(t)=w(t)v′′(t)−w′′(t)v(t)=−w(t)f(t,v(t)+v(t)f(t,w(t))=w(t)v(t)(f(t,w(t))w(t)−f(t,v(t))v(t))≥0,并且在(α,β)内y′(t)≡0.这表明y(t′)>y(t*),这与(2.15)矛盾,所以v(t)≤w(t).证毕.利用文献[9]中类似的方法,我们可以建立下述极大值原理,这可以应用在我们正解的唯一性证明中.引理2.2.3.(极大值原理)假设0<η<1,且F={x∈C[0,1]∩C2(0,1),x(1)−ax(η)≥0,x(0)≥0},如果对于∀t∈(0,1),x(t)∈F时都有−x′′(t)≥0,那么x(t)≥0,t∈[0,1].2.3主要结果及证明定义K*=maxt∈[0,1]K(t),K*=mint∈[0,1]K(t).定理2.3.1当K*>0时,(i)若0<p,q<1,存在λ>0使得对于λ>λ,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)对于λ>λ,(2.1)有一个极大解xλ(t)并且xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.16)山东师范大学硕士学位论文其中0<q,p <1,K ∈C [0,1],K *>0,0<a <1,0<η<1,且λ是一个正参数.在[9]中,当f (t,x )关于x 递增时,问题{︃−x ′′(t )=f (t,x ),t ∈(0,1),x (0)=ax (η),x (1)=0有唯一C 1[0,1]正解.因此,我们可以假设x *(t )是问题{︃−x ′′(t )=x p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(2.17)的唯一C 1[0,1]正解,其中0<a <1,0<η<1.令β(t )=λ11−p x *(t ),则−β′′(t )+K (t )β−q (t )=λ11−p x *(t )+K (t )λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x *(t )+K *λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x p *(t ),λβp (t )=λ11−p x p *(t ).因此,−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ).结合(2.17)我们可以得到{︃−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ),t ∈(0,1),β(0)=0,β(1)=aβ(η).因此,β(t )是问题(2.16)的一个上解.设α(t )=Mϕ21+q1,其中M 是一个正实数,且ϕ1是第一特征函数.那么−α′′(t )+K (t )α−q(t )=−2M 1+q ϕ1−q1+q1(t )ϕ′′1(t )+K (t )M q ϕ2q 1+q 1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q1+q 1=2λ1M 1+q ϕ21+q1+K (t )M qϕ2q 1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q 1<2λ1Mϕ21+q 1+K *M q ϕ2q1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.由引理2.2.1我们有ϕ1(t )=sin(√λ1t ),ϕ′1(t )=√λ1cos(√λ1t ).因此我们可以得到，存在δ0>0和b ∈(0,1)使得|ϕ′1(t )|=|√︀λ1cos(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[0,b ),|ϕ1(t )|=|sin(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[b,1].(a )在[0,b )上,选择M ≥M 1=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q,那么我们有K *M q ϕ2q 1+q1≤2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.山东师范大学硕士学位论文(b )在[b,1]上,选择M ≥M 2=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q ,那么我们有K *M q ϕ2q1+q1≤λ1M 1+qϕ21+q 1.固定M =max {M 1,M 2},则−α′′(t )+K (t )α−q(t )≤3λ1M 1+q ϕ21+q 1,λαp (t )=λM pϕ2q 1+q1.令λ0=3M 1−q1+q|ϕ1|2−2p1+q ∞,我们有3Mλ11+q ϕ21+q 1<λM p ϕ2p 1+q1,∀λ>λ0.因此,∀λ>λ0,−α′′(t )+K (t )α−q (t )<λαp (t ).由引理2.2.1,α(0)=Mϕ21+q1(0)=0,α(1)=Mϕ21+q1(1)=M [aϕ1(η)]21+q=Ma21+qϕ21+q 1(η)<aMϕ21+q1(η)=aα(η).令λ2=(M |ϕ1x *|∞|ϕ1|1−q 1+q∞)1−p.那么对于∀λ>λ2,α(t )=Mϕ21+q1(t )≤λ11−p x *(t )=β(t ).因此我们选择λ=max {λ0,λ2},且λ>λ,则(α(t ),β(t ))是问题(2.16)的一对上下解.我们令F (t )=λβp +K *β−q ,则对于∀(t,x )∈D βα,|f (t,x )|≤F (t ),则F (t )∈L 1[0,1].由推论2.2.1,对于λ>λ,问题(2.16)至少有一个C [0,1]正解x (t )满足α(t )≤x (t )≤β(t ).(ii)(极大解的存在性)我们观察以下问题,{︃−x ′′(t )=λx p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η).(2.18)由[9],对于∀λ>0,我们记问题(2.18)的唯一解是w λ(t ).在(i)中,我们得到了问题(2.16)的解x λ(t ),则w ′′λ(t )+λw pλ(t )=0<x ′′λ(t )+λx p λ(t ),并且x −1f (t,x )=λx p −1λ(t )关于x 递减.由(i),x λ(t )∈L 1[0,1].由引理2.2.3,我们可以得到x λ(t )≤w λ(t ).设Ωj =[1i 0+j,1),j =1,2,···,且对于j =1,2,···,w j (t )是问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x ′′(t )+K (t )w −q j −1(t )=λw p j −1(t ),t ∈Ωj ,x (t )=w j −1(t ),t ∈[0,1i 0+j),x (1)=ax (η)(2.19)的解,w 0(t )=w λ(t )在(2.18)中已经被定义.设x λ(t )是(2.16)的解.山东师范大学硕士学位论文在(2.19)中,设j=1我们可以得到⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−w′′1(t)+K(t)w−qλ(t)=λw pλ(t),t∈Ω1,w1(t)=wλ(t),t∈[0,1i0+j),w1(1)=aw1(η).(2.20)结合(2.18)我们可以得到t∈Ω1时,w′′1(t)−w′′λ(t)≥0.由极大值原理,我们可以得到w1(t)≤w0(t)=wλ(t).同样地,我们可以得到w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t).下面,我们观察问题(2.16),结合(2.20)我们得到−w′′1(t)+x′′λ(t)+K(t)(w−qλ(t)−x−qλ(t))=λ(w pλ(t)−x pλ(t))≥0,因此当t∈Ω1时,x′′λ(t)−w′′1(t)≥0.由极大值原理易证当t∈[0,1]时,xλ(t)≤w1(t).同样的方法,我们可以得到xλ(t)≤w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t),t∈[0,1].此外,我们有{w j(t)}j∈N下方有界,且被xλ(t)界定.因为w j(t)是问题(2.18)的解,所以−w′′j (t)=λw pj−1(t)−K(t)w−qj−1(t)≤λw pj−1(t)−K*w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj(t).假设t0∈(0,1),w j(t0)=max0≤t≤1w j(t),则w′j(t0)=0,且w j(t)在(t,t0)上递增.对于−w′′j (t),从t到t0进行积分,可以得到∫︁t0t−w′′j(s)ds≤∫︁t0t[λw p+qj−1(s)−K*]w−qj(s)ds.所以w′j (t)w qj(t)≤λw p+qj−1(t0)−K*.同样地,通过对−w′′j(t)从t0到t上进行积分,我们也可以得到|w′j (t)w j(t)|≤λw p+qj−1(t0)−K*.对于给定的t1,t2∈[0,1],我们可以得到∫︁t2 t1w′j(s)w qj(s)ds≤∫︁t2t1|w′j(s)w qj(s)|ds≤∫︁t2t1[λw p+qj−1(t0)−K*]ds.我们可以找到一个足够大的K使得|λw p+qj−1(t0)−K*|<K.那么∫︀t2t1w′j(s)w qj(s)ds≤K|t2−t1|,|w q+1j (t2)−w q+1j(t1)|≤K|t2−t1|.(2.21)我们定义算子I(w)=w q+1,则I−1(w)=w1q+1.由(2.21)可知{I(w j(t))}j∈N 在[0,1]上一致有界且等度连续.显然,I−1在有界闭域Ω上一致连续,即对于∀ε> 0,存在一个δ>0使得当w1,w2∈Ω时,|w1−w2|<δ,我们得到|I−1(w1)−I−1(w2)|<ε.因为0<w j(t)<w0(t),所以存在一个M>0使得w j(t)∈(0,M].山东师范大学硕士学位论文由(2.21),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t 1−t 2|<δ′时,|w q +1j (t 2)−w q +1j (t 1)|<δ.所以,∀ε>0,存在δ′>0,当|t 1−t 2|<δ′时,|w j (t 2)−w j (t 1)|=|I −1(w q +1j (t 2))−I −1(w q +1j (t 1))|<ε.因此{w j (t )}j ∈N 等度连续.由Arzela-Ascoli 引理得出,存在子列{w j k (t )}j k ∈{j }使得lim j k →+∞w j k (t )=x λ(t ).不失一般性,我们设lim j →+∞w j (t )=x λ(t ),t ∈[0,1].(2.22)接下来,我们将证明x λ(t )是问题(2.16)的C [0,1]正解.固定t ∈(0,1)(t =12),那么w j (t )可以表示为w j (t )=w j (12)+w ′j (12)(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )w −q j −1(s )−λw pj −1(s )]ds.(2.23)固定j ∈N ,由Lagrange 中值定理,存在t n ∈(12,1)使得x λ(1)−w j (12)≤w j (1)−w j (12)=w ′j (t n )(1−12)<w 0(1).所以,存在M 1>0使得|w ′j (t n )|<2M 1.因为{w j (t )}j ∈N 在[0,1]上有界,我们可以假设m <w j (t )<M 2,t ∈[12,t n].|∫︀t n 12−w ′′j (s )ds |=|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K (s )w −q j −1(s )]ds |≤|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K *w −q j −1(s )]ds |≤λM p −K *m −q ,因此|w ′j (12)|−|w ′j (t n )|≤|w ′j (12)−w ′j (t n )|≤λM p 2−K *m −q ,i.e.,|w ′j (12)|≤2M 1+λM p2−K *m −q .所以{w ′j (12)}j ∈N 和{w j (12)}j ∈N均有界.那么它们都有一个收敛子列.不失一般性,我们假设lim j →∞w ′j (12)=r 0.在(2.23)中,t ∈(0,1)时,令j →∞,我们可以得到x λ(t )=x λ(12)+r 0(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )x −q λ(s )−λx pλ(s )]ds,即,−x ′′λ(t )+K (t )x −q λ(t )=λx pλ(t ).所以x λ(t )是问题(2.16)的一个C [0,1]正解.所以x λ(t )是问题(2.16)的一个极大解.下面我们将给出此极大解对于参数λ的依赖性.令H ={μ>0:当λ=μ时,(2.16)有一个C [0,1]正解}.由(i),显然H =∅.令λ1∈H ,且λ=λ1时,x λ(t )是相应的(2.16)的一个极大解.则对于∀λ2>λ1>λ,x ′′λ1(t )+λ1x p λ1(t )≥0,t ∈(0,1).由引理2.2.3可知,在[0,1]山东师范大学硕士学位论文内,xλ1(t)≤wλ2(t).在以上证明中,用xλ1(t)来替换xλ(t),我们发现{︃−x′′λ1(t)+K(t)x−qλ1(t)=λ1x pλ1(t)≤λ2x pλ1,t∈(0,1),−w′′λ2(t)+K(t)w−qλ2(t)≥λ2w pλ2(t).将此与边值条件相结合,可以得到当λ=λ2>λ1时,(xλ1(t),wλ2(t))是问题(2.16)的一对上下解.这可以证明λ=λ2时,xλ2(t)是问题(2.16)的一个解,满足xλ1(t)≤xλ2(t)≤wλ2(t).因此,λ2∈H.另外,由(ii),对于∀λ2>λ1≥λ,都有xλ2(t)≥xλ1(t).证毕.定理2.3.2当K*<0时,(i)若0<p<1,0<q,对于∀λ>0,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)若0<p,q<1,对于∀λ>0,问题(2.1)存在唯一C1[0,1]正解xλ(t).(iii)(ii)中的xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.24)其中q>0,0<p<1,K(t)∈C[0,1],K*<0,0<a<1,0<η<1且λ是一个正参数.我们首先考虑如下这个近似问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=1n ,x(1)=ax(η)+1n,(2.25)其中0<a<1,0<η<1,n≥1.令ε足够小,我们将证明αn(t)=εϕ1(t)+1n是(2.25)的一个下解.事实上,当n足够大时,我们可以得到εϕ1(t)+1n 无限接近于0.因为√λ1∈(π2,3π2)[30],我们可以推出−α′′n (t)+K(t)α−qn(t)−λαpn(t)=λ1εϕ1(t)+K(t)(εϕ1(t)+1n)−q−λ(εϕ1(t)+1n)p<λ1εϕ1(t)−λ(εϕ1(t)+1n)p<εϕ1(t)[λ1−λ(εϕ1(t)+1n)p−1]<0,αn(0)−1n =εϕ1(0)=0,且αn(1)−[aαn(η)+1n]=εaϕ1(η)+1n−aεϕ1(η)−an−1n<0,这表明αn(t)是问题(2.25)的一个下解.接下来,我们将构造(2.25)的一个上解.令β(t)=−Mt2+(M+aM)t+M,山东师范大学硕士学位论文其中M足够大,满足M>{(2λ)11−p,1n(1−a)}.我们可以得到−β′′(t)+K(t)β−q(t)=2M+K(t)[−Mt2+(M+aM)t+M]−q>2M+K*M−q>M,λβp(t)=λ[−Mt2+(M+aM)t+M]p<λ[M(1+a)24+M]p<λ(2M)p,−β′′(t)+K(t)β−q(t)≥λβp(t),β(1)−(aβ(η)+1n )=(a+1)M−a[−Mη2+(M+aM)η+M]−1n >(a+1)M−2aM−1n=M−aM−1n>0,且β(0)−1n =M−1n>0.易知β(t)是问题(2.25)的一个上解.选择F n(t)=λβp−K*α−qn ,那么对于∀(t,x)∈Dβαn,都有|f(t,x)|≤F n(t).易证F n(t)∈L1[0,1].由于ε足够小,且n足够大,所以αn(t)≤β(t).由推论2.2.1, (αn(t),β(t))是问题(2.25)的一对上下解.并且对于∀n∈N,(2.25)至少有一个C[0,1]正解x n(t)满足αn(t)≤x n(t)≤β(t).下面,我们将得出结论,存在子列{x nk (t)}和x(t)使得limn k→∞x nk(t)=x(t).因为β(t)∈C[0,1]∩C2(0,1),所以β(t)有界.因此,{x n(t)}n∈N在[0,1]上一致有界.因为x n(t)是问题(2.25)的一个C[0,1]正解,所以x n(t)满足−x′′n (t)=λx pn(t)−K(t)x−qn(t)≤λx pn(t)−K*x−qn(t)≤[λx p+qn(t)−K*]x−qn(t).假设t0∈(0,1),x n(t0)=max0≤t≤1x n(t),那么x′n(t0)=0,且x n(t)在(t,t0)上递增.对于−x′′n (t),从t到t0进行积分,我们可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].我们可以找到一个K>0使得x′n(t)x qn(t)≤K.并且对−x′′n (t)从t0到t进行积分,可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以−x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].对于上述K,可以得到|−x′n(t)x qn(t)|≤K,即|x′n (t)x qn(t)|≤K.山东师范大学硕士学位论文给定t1,t2∈[0,1],我们得到∫︁t2 t1x′n(s)x qn(s)ds≤∫︁t2t1|x′n(s)x qn(s)|ds≤∫︁t2t1Kds.那么∫︀t2t1x′n(s)x qn(s)ds≤K|t2−t1|,此等式可以写为|∫︁x n(t2)x n(t1)x qn(s)dx n(s)|≤K|t2−t1|,|x q+1n(t2)−x q+1n(t1)|≤K|t2−t1|.(2.26)我们定义算子I(x)=x q+1,则I−1(x)=x1q+1.由(2.26)我们可以得出,在[0,1]内,{I(x n(t))}n∈N一致有界,等度连续.显然在有界闭域Ω内,I−1一致连续,即,∀ε>0,存在一个δ>0使得当x1,x2∈Ω,|x1−x2|<δ时,|I−1(x1)−I−1(x2)|<ε.因为0<x n(t)<β(t),存在一个M>0使得x n(t)∈(0,M].由(2.26),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,有|x q+1n (t2)−x q+1n(t1)|<δ.所以,对于∀ε>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,|x n(t2)−x n(t1)|=|I−1(x q+1n (t2))−I−1(x q+1n(t1))|<ε.因此,{x n(t)}n∈N等度连续,由Arzela-Ascoli引理,存在子列{x nk (t)}使得limn k→+∞x nk(t)=x(t).不失一般性,我们假设limn→+∞x n(t)=x(t),t∈[0,1].(2.27)接下来,我们将证明x(t)是问题(2.24)的C[0,1]正解.固定t∈(0,1)(t=12),x n(t)可以表示为x n(t)=x n(12)+x′n(12)(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−qn(s)−λx pn(s)]ds.(2.28)固定n∈N,由Lagrange中值定理,存在t n∈(12,1)使得αn(1)−x n(12)≤x n(1)−x n(12)=x′n(t n)(1−12)≤β(1).所以,存在M1>0使得|x′n(t n)|≤2M1.因为{x n(t)}n∈N在[0,1]内有界,可以假设m≤x n(t)≤M2,t∈[12,t n].|∫︁t n12−x′′n(s)ds|=|∫︁t n12[λx pn(s)−K(s)x−qn(s)]ds|.我们可以得到|−x′n (t n)+x′n(12)|≤λM p2−K*M−q2,且|x′n(12)|≤2M1+λM p2−K*M−q2.因此{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N均有界,它们都有收敛子列.不失一般性,我们记子列为{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N.固定n∈N,假设limn→∞x′n(12)=r0.由(2.28),令n→∞,我们得到x(t)=x(12)+r0(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−q(s)−λx p(s)]ds.通过对x(t)进行二次求导,我们得到−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t).山东师范大学硕士学位论文结合(2.27),可以得到x(t)是问题(2.24)的一个C[0,1]正解.(ii)我们研究(2.24)的C1[0,1]正解的唯一性.令F(t)=λβp−K*(εϕ1)−q.显然,当0<q<1时,F(t)在(0,1)上可积,因为|x′′(t)|≤F(t),x(t)在(0,1)上绝对可积.那么x′(0+)和x′(1−)都存在,即x(t)∈C1[0,1].我们采用反证法来证明,假设x1(t),x2(t)是问题(2.24)的两个C1[0,1]正解,且在[0,1]上x1(t)≡x2(t).不失一般性,我们假设存在t*∈(0,1)使得x2(t*)−x1(t*)=max0≤t≤1(x2(t)−x1(t))>0.设α=inf{t1|0≤t1<t*,x2(t)>x1(t),t∈(t1,t*)},β=sup{t2|t*≤t2<1,x2(t)>x1(t),t∈(t*,t2)}.显然0≤α<β≤1,且x1(α)=x2(α),x′1(α)≤x′2(α),x1(β)≤x2(β),x′1(β+)≥x′2(β+),x1(t)<x2(t),t∈(α,β).设y(t)=x1(t)x′2(t)−x2(t)x′1(t),t∈(α,β).那么我们有limt→α+inf y(t)≥0≥limt→β+sup y(t).(2.29)另一方面,当t∈(α,β)时,y′(t)=x1x′′2−x2x′′1=x1(Kx−q2−λx p2)+x2(λx p1−Kx−q1)=Kx1x−q2−λx1x p2+λx p1x2−Kx−q1x2=Kx1x2(x−q−12−x−q−11)+λx1x2(x p−11−x p−12)≥0,且在(α,β)上,y′(t)≡0.这表明y(β−)>y(α+),这与(2.29)矛盾,所以x1(t)≡x2(t).因此,(2.24)的C1[0,1]正解唯一.(iii)我们假设0<λ1<λ2,且xλ1(t),xλ2(t)是相应的问题(2.24)的C1[0,1]正解.显然,x′′λ1(t)∈L1[0,1].在(2.24)中,f(t,x)=λx p(t)−K(t)x−q(t)连续.因为p,q∈(0,1),K*<0,易知当t∈[0,1]时,x−1f(t,x)=λx p−1(t)−K(t)x−q−1(t)关于x>0递减.当t∈(0,1)时,x′′λ2(t)−K(t)x−qλ2(t)+λ2x pλ2(t)=0<x′′λ1(t)−K(t)x−qλ1(t)+λ2x pλ1(t),xλ2(0)≥xλ1(0),xλ2(1)≥axλ2(η),且xλ1(1)≥axλ1(η).因此由引理2.2.3,xλ1(t)≤xλ2(t),t∈[0,1].所以x(t)关于λ递增.证毕.。

奇异四阶三点边值问题正解的存在性达举霞;韩晓玲【摘要】本文研究了非线性四阶三点边值问题u(4)(t)=λ(t)f(t,u(t)),t∈[0,1],u(0)=u'(η)=μ''(1)=μ'''(0)=0正解的存在性,其中λ＞0是正参数,η∈[1/2,1)为常数.利用锥上的不动点定理,本文获得了该问题的一个正解的存在性,并在关于非线性项f和a的假设条件下给出了问题存在正解的λ的取值范围.值得注意的是这里的a(t)是奇异函数.%In this paper,we investigate existence of positive solutions for the following nonlinear singular fourth-order three-point boundary value problem:u（4) (t) =λa (t)f(t,u(t)),t ∈ [0,1],u(0) =u'(η) =u''(1) =u'''(0) =0,whereλ ＞0 is a positive parameter,η ∈ [1/2,1) is a constant.By using the fixed point theorem of cone expansion-compression type duo to Krasnoselskii and under some suitable assumptions of f and a(t),we obtain the boundary ofλ,in which the existence of positive solutions is guaranteed.Note that here we allow a(t) has some suitable singularities.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(054)003【总页数】6页(P441-446)【关键词】三点奇异边值问题;四阶微分方程;正解;不动点定理【作者】达举霞;韩晓玲【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8(2010 MSC 34B15, 34B18)弹性梁是工程建筑的基本构件.在弹性力学和工程物理中,四阶多点边值问题常被用于刻画弹性梁的平衡状态，因而备受关注[1-12].例如，2005年, 张和曾[1]运用Krasnoselskii不动点定理获得了四阶三点边值问题u(4)(t)=λa(t)f(t,u(t)),t∈[0,1],u(0)=u′(0)=u″(η)=u‴(1)=0,正解的存在性结果；2014年, 周, 吴, 韩[2]运用不动点理论获得了四阶三点边值问题u(4)(t)=g(t)f(u(t)),t∈[0,1],u(0)=u′(0)=u″(β)=u″(1)=0正解的存在性结果, 这里,1]为常数, g∈([0,1],[0,+∞)); 2005年，孙[3]运用锥上的不动点定理获得了非线性奇异三阶三点边值问题u‴(t)=λa(t)f(t,u(t)),0<t<1,u(0)=u′(η)=u″(1)=0正解的存在性, 这里λ是正的参数, ,1)是一个常数.本文研究非线性奇异四阶三点边值问题u(4)(t)=λa(t)f(t,u(t)),t∈[0,1]u(0)=u′(η)=u″(1)=u‴(0)=0正解的存在性，得到了存在正解时λ的取值范围,这里,1],a(t)为定义在(0,1)上的连续函数且在t=1和t=0处奇异,w为连续函数.本文所得结果是文献[3]中相应结果的直接推广.本文所用的主要工具定理如下：定理2.1 设E是一个Banach空间,并设K⊂E是一个锥.假定Ω1,Ω2是E的两个开子集，⊂.设是全连续算子，使得且或且,则T在上有不动点.定义2.2 设E是一个实的Banach空间. 一个非空闭凸集K⊂E称为E上的一个锥, 如果它满足下面两个条件：(i) 若x∈K,λ>0, 则λX∈K;(ii) 若x∈K,-x∈K,则x=0.定义2.3 如果一个算子是连续的并且映有界集到前紧集, 则称它是全连续的.考虑Banach 空间C[0,1],定义范数.是非负函数C[0,1]上的一个锥.在证明主要结果之前，我们先给出一些预备结果. 引理2.4 设y∈C[0,1]. 则边值问题u(4)(t)=y(t),0<t<1u(0)=u′(η)=u″(1)=u‴(0)=0有唯一解s.它的Green函数为：当s≥η时，G(t,s)=当s≤η时，G(t,s)=简单计算可知0≤G(t,s)≤G(1,s),0≤t,s≤1. 引理2.5 假设.则任意y∈C+[0,1], 边值问题(3)-(4) 的唯一解u(t)非负且满足‖u‖.证明设y∈C+[0,1]及G(t,s)≥0.我们知道u(t)∈C+[0,1].由于u(4)(t)=y(t)≥0,t∈[0,1],从而u″(t)是一个递增函数. 再加上边界条件u″(1)=0, 我们得到u″(t)≤0,t∈[0,1].因此u(t)一个凸函数,也就是说,对任意t1,t2∈[0,1]和α∈[0,1],u(αt1+(1-α)t2)≥αu(t1)+(1-α)u(t2).由u′(η)=0可知).因此.进一步，.定义锥及积分算子Tλ:K→C+[0,1],由引理2.4知边值问题 (1)-(2) 有一个正解u=u(t)当且仅当u是Tλ的不动点. 证毕. 我们给出下列假设条件：(H1) a∈C((0,1),(0,+∞))和(H2) f∈C([0,1]×[0,+∞),(0,+∞)). 引理2.6 假设(H1),(H2)成立. 则Tλ:K→K是全连续的.证明由引理2.5，我们知道Tλ(K)⊂K.对n≥2, 定义an=并定义Tn:K→K,s.由Ascoli-Arzela定理[8], 当n≥2时，因为G(t,s)an(s)在[0.1]×[0,1]是连续的, 因而Tn在K上是紧的. 记当n→∞时, Tn一致收敛到Tλ.事实上, 对任意t∈[0,1], 固定Q>0u∈BQ, 我们有,n→∞.再由假设(H1), (H2),当t,s∈[0,1]时, G(t,s)≤G(1,s). 因此当n→∞时, Tn一致收敛到Tλ, 并且Tλ是全连续的. 证毕.为了叙述方便, 我们给出下列记号：,,这里我们选取使得t0∈(θ,1-θ), 因此A≥B>0. 同时我们定义,,,,,.定理3.1 假设(H1),(H2) 成立,并设存在两个正常数r≠R, 使得,,则边值问题 (1)-(2) 至少有一个正解u*∈K, 并且.证明我们仅仅考虑情形 r<R, 情形r>R是的证明类似的.设，.由假设(A1),对任意的u∈K∩∂Ω1,,因此另一方面，对任意的θ. 再由假设(A2)有,因此由式 (6) 和式 (7)，定理2.1(i)成立, Tλ有一个不动点u*).则u*是边值问题(1)-(2) 的一个正解. 证毕.定理3.2 假设(H1)-(H2) 成立, 并设(A3)f0=0,f∞=∞,或(A4)f0=∞,f∞=0.则对任意的λ∈(0,∞), 边值问题(1)-(2)至少有一个正解.证明首先我们考虑第一种情形. 当(A3)成立时，对任意λ∈(0,∞), 由于f0=0, 则对存在R1>0, 使得,此时(t,x)∈[0,1]×[0,R1]. 从而,.另一方面，由于f∞=∞, 对存在R2>R1,使得).这意味着,(t,x)∈[0,1]×[θR2,∞).因此,由定理3.1,Tλ有一个不动点u*∈K.其次，设(A4)成立. 由f0=∞,对存在 R1>0,使得及,且当u∈K∩Ω1时,.于是由式 (5) 和式 (8)可得‖u(s)‖ds=这意味着再次，由f∞=0, 对存在 R0>0, 使得下面我们分f有界和f无界两种情形讨论.情形(i), f有界. 设f≤M. 设若u∈K且,则有.从而.如果设则情形(ii),f无界.设,使得f(t,x)≤f(t,R2),(t,x)∈[0,1]×[0,R2].则u∈K并且由式(5)和式(11)有.设.则由式(10)和式(12)可得定理2.1(ii)成立,并且Tλ有一个不动点u*).同样，由式(10)和式(13), 定理2.1(ii)成立并且Tλ有一个不动点u*).因此u*是边值问题(1)-(2)的一个正解.证毕.定理3.3 假设(H1)， (H2)成立，并设0<Af0<θBf∞<∞.则对每一个,边值问题 (1)-(2) 至少有一个正解.证明为了应用定理2.1，我们构造集合Ω1,Ω2.设).取ε>0使得由 f0的定义，存在R1>0, 使得f(t,x)≤(f0+ε)x,(t,x)∈[0,1]×[0.R1].设u∈K并且则‖u‖ds≤设.则由f∞的定义, 存在2使得f(t,x)≥(f0-ε)x,(t,x)∈[0,1]×[R2,∞). 设.又设u∈K并且则因此‖u‖ds=由式 (14)和式 (15), 定理2.1(i)成立, 并且Tλ有一个不动点u*).则u*是边值问题(1)-(2)的一个正解. 证毕.定理3.4 假设(H1),(H2)成立,并设0<Af∞<θBf0<∞.对每一个边值问题 (1)-(2) 至少有一个正解.证明为了应用定理2.1, 我们构造集合Ω1,Ω2.设). 取ε>0, 使得由f0的定义,存在R1>0, 使得f(t,x)≤(f0+ε)x,(t,x)∈[0,1]×[0.R1].设u∈K且则因此λθB(f0-ε)‖u‖ =‖u‖.设.则由f∞的定义,存在2使得f(t,x)≤].下面我们分f有界和f无界两种情形讨论.情形(i), f是有界的,f≤M.设若u∈K且则从而. 如果设则情形(ii), f是无界的. 设使得f(t,x)≤f(t,R2),(t,x)∈[0,1]×[0,R2].对u∈K且有.设.则由式(16)和式(17)可知, 定理2.1(ii)成立,Tλ有一个不动点u*).同样, 由式(16)和式(18)可知定理2.1(ii)成立,Tλ有一个不动点u*).因此u*是特征值问题(1)-(2)的一个正解. 定理证毕.下面定理的证明是类似的.定理3.5 假设(H1),(H2) 成立. 则(i) 若f∞=∞,0<f0<∞, 则对每一个边值问题 (1)-(2) 至少有一个正解;(ii) 若f0=∞,0<f∞<∞, 则对每一个边值问题 (1)-(2) 至少有一个正解;(iii) 若f0=∞,0<f∞<∞, 则对每一个边值问题 (1)-(2) 至少有一个正解;(iv) 若f∞=∞,0<f0<∞, 则对每一个边值问题 (1)-(2) 至少有一个正解.【相关文献】[1] Zhang Y H, Zeng Y D. The existence of positive solution for a fourth three-point boundary value problem [J]. J Fuzhou Univ: Nat Sci Ed, 2006, 33: 325.[2] Zhou S L, Wu H P, Han X L. Existence of positive solutions of the fourth-order three-point boundary value problems [J]. J Sichuan Univ: Nat Sci Ed (四川大学学报：自然科学版), 2014, 51: 11.[3] Sun Y. Positive solutions of singular fourth-order three-point boundary value problem [J]. J Math Anal Appl, 2005, 36: 589.[4] Sun J P, Zhao J. Iterative technique for a third-order three-point BVP with sign-changing Green's function [J]. J Math Anal Appl, 2003, 215: 1.[5] Da J X, Han X L. Existence of positive solutions for a nonlinear third-order ordinary differential equations [J]. J Sichuan Univ: Nat Sci Ed (四川大学学报：自然科学版), 2016, 6: 1177.[6] Palamides A P, Veloni A N. A singular third-order 3-point boundary-value problem with non-positive Green，s function [J]. Electron J Differ Eq, 2007, 151: 1.[7] Alex P. Palamides, George Smyrlis. Positive solutions to a singular third-order three-point boundary value problem with an indefinitely signed Green's function [J]. Nonlinear Anal-Theor, 2008, 68: 2014.[8] Sun Y, Zhu C. Existence of positive solutions for singular fourth-order three-point boundary value problems [J]. Adv Differ Equ-NY, 2013, 51: 1.[9] Zhou Y L, Zhang X M. Triple positive solutions of fourth-order impulsive differential equations with integral boundary conditions [J]. Bound Value Probl, 2015, 2: 1.[10] Wang H Y. Positive solutions for nonlinear eigenvalue problems [J]. J Math Anal Appl, 1997, 208: 252.[11] Anderson D, Davis J M. Multiple solutions and eigenvalues for third-order right focal boundary value problems [J]. J Math Anal Appl, 2002, 267：135.[12] Li Y X. Existence of positive solutions for the cantilever beam equations with fully nonlinear terms [J]. Nonlinear Anal-Real, 2016, 27: 221.。

一类二阶常微分方程组两点边值问题三个正解的存在性
刘杰操;金淑女;李欣桐
【期刊名称】《吉林化工学院学报》
【年(卷),期】2017(034)009
【摘要】考虑二阶常微分方程组两点边值问题三个正解的存在性,适当定义半序巴拿赫空间及其上的锥,并利用Legget-Williams不动点定理,建立二阶常微分方程组两点边值问题三个正解的存在性结果.
【总页数】8页(P66-73)
【作者】刘杰操;金淑女;李欣桐
【作者单位】吉林化工学院石油化工学院,吉林吉林132022;吉林市朝鲜族中学校,吉林吉林132022;北华大学数学与统计学院,吉林吉林132013
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类三维二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 [J], 夏大峰;洪子康;姜威;符美芬
2.一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 [J], 王彩华
3.一类二阶常微分方程两点边值问题多个正解的存在性 [J], 安乐
4.一类二阶常微分方程组多点边值问题多个正解的存在性 [J], 谢淳;罗治国
5.一类二阶常微分方程组边值问题三个正解的存在性 [J], 李高尚;刘锡平;贾梅;李春岭;李芳菲
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具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性1. 引言1.1 背景介绍分数阶微分方程是一种介于整数阶和整数阶之间的微分方程，其在描述复杂系统动力学行为和非线性现象方面具有独特的优势。

随着分数阶微积分的发展和应用，人们对分数阶微分方程的研究也越来越深入。

在实际问题中，往往会涉及到非线性项，而非线性项的特性决定了微分方程解的性质。

具有变号非线性项的分数阶微分方程是研究中的一个重要课题。

变号非线性项的引入会使得微分方程的解集合更加复杂，从而增加了研究的难度和挑战性。

边值问题是求解微分方程时常常遇到的问题之一，对于具有变号非线性项的分数阶微分方程来说，边值问题的正解存在性成为了研究的焦点之一。

正解的存在性理论不仅对深入理解微分方程的性质具有重要意义，还具有广泛的实际应用价值。

在本文中，我们将讨论具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性问题，并探讨相关的证明方法和存在性结论。

通过对这一问题的研究，我们希望能够为分数阶微分方程的理论研究和实际应用提供一定的参考和指导。

【2000字】1.2 研究意义分数阶微分方程是近年来研究的热点之一，由于其在描述复杂系统中的行为具有更好的适应性和精确性，因此受到了广泛关注。

具有变号非线性项的分数阶微分方程是一类更为复杂和具有挑战性的问题，对其性质和解的存在性进行研究具有极大的理论和应用价值。

在实际问题中，很多现象和过程并不能完全用传统的整数阶微分方程来描述，而需要引入分数阶微积分来更准确地刻画。

研究具有变号非线性项的分数阶微分方程可以更好地解释现实中复杂系统的行为，为相关领域的研究提供理论支持和指导。

正解的存在性问题一直是数学研究的重要课题之一，对于分数阶微分方程边值问题正解的存在性理论的研究不仅可以深化对这类方程的理解，还可以提高数学领域对于非线性问题的分析能力，拓展数学的应用范围和解决实际问题的能力。

研究具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性对于推动分数阶微分方程领域的发展具有重要的意义，对于理论研究和实际应用都具有积极的推动作用。

非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。

如y'=2xy。

2.非线性，就是除了线性的。

如y'=2xy^2。

若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。

这种方程的
函数图象为一条直线，所以称作线性方程。

可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。

比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线
性微分方程。

可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的
各阶导数也必须就是不少于一次的。

三阶非线性两点边值问题的正解的存在性 吉林省公主岭市第三高级中学 张娜摘要：讨论了三阶非线性两点边值问题(,())0(0)(0)0,(1)0,(1)0u f tu t u u u u αβ'''-=⎧⎨''''-===⎩正解的存在性.利用锥上的不动点定理证明了该问题至少存在两个正解.关键词：三阶常微分方程；边值问题；正解的存在性；锥.Abstract ：The existence of a positive solution to two-point boundary value problemsare considered for third-order nonlinear differential equation (,())0u f t u t '''-=,is studied with (0)(0)0,(1)0,(1)0u u u u αβ''''-===.At least two positive solution exists by using the Fixed Point Theorem in cones.Key words: third-order nonlinear differential equation; boundary value problem;existence of a positive solution; cone.目录中文摘要Abstract1、引言 (1)1.1研究背景 (1)1.2研究问题 (1)2、基本理论 (2)2.1基本概念 (2)2.2基本引理 (2)3、主要结果 (5)4、致谢 (8)5、参考文献 (9)1、引 言1.1 研究背景常微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的,在十七世纪作为微积分的一部分,微分方程和微积分彼此不分,十八世纪由于天文学,力学,物理学的需要,同时也是由于解决许多复杂的问题需要专门的技术,这样微分方程开始成为了一门独立的学科,在数学及许多应用学科中,发挥着越来越大的作用,直到现在作用仍然有增无减.非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一个十分重要的研究领域.近几年来,人们在对三阶微分方程的两点边值问题正解的存在性研究方面做了许多工作,起到了举足轻重的作用,并且非线性边值问题在自然科学,生产实践以及工程技术领域中都有广泛的应用.最近,国内外许多学[39]-者相继用不动点定理,非线性抉择和迭合度理论等研究给出非线性边值问题正解的存在性的一些结果.文献[10],[11]中只在局部范围内对此类问题进行了研究,本文将在更广泛的范围内研究边值问题至少存在两个正解的情况,使其更具有实际意义. 1.2 研究问题本文研究如下三阶非线性两点边值问题(,())0(0)(0)0,(1)0,(1)0u f t u t u u u u αβ'''-=⎧⎨''''-===⎩(1)(2)正解的存在性.这里,αβ是非负常数,且0αβ+>.以下,我们总假定:1()H ([0,1][0,),[0,))(,)[0,1]f C f t u t ∈⨯∞∞∈且在的任何子区间上不恒为零; 2()H [0,1]0lim min ((,)/),t u f t u u ∈→+=∞[0,1]l i m m i n ((,)/);t u f t u u ∈→+∞=∞3()H 存在0,p >使得0,01,u p t ≤≤≤≤且则(,)f t u p η<, 110((0,))G s ds η-=⎰,其中102δ<<. 在第二部分我们给出了基本理论,包括基本概念和基本引理．第三部分我们给出了本文的主要结果及证明．2、基 本 理 论2.1 基本概念定义2.1.1 设E 是Banach 空间,P 是E 中的非空闭集．如果P 满足 ()i 任给,0,0,,≥≥∈βαP y x 有P y x ∈+βα； ()ii 若,,θ≠∈x P x 则P x ∉-， 则称P 是E 中的锥．定义2.1.2 设Y X ,是B 空间,设Y X A →:线性；称A 是紧算子，如果()1B A 在Y 中是紧集，其中1B 是X 中的单位球．定义2.1.3 连续算子2:A M E →,若A 把M 中的任一有界集映为2E 中的紧致集,则称A 为全连续算子.定义 2.1.4 所谓()t u 是边值问题(1),(2)的正解,是指()t u 是边值问题(1),(2)的解,且()()1,0,0∈>t t u . 2.2 基本引理引理2.1[1]边值问题0(0)(0)0,(1)0,(1)0y y y y y αβ'''=⎧⎨''''-===⎩(3)(4)有唯一解1()(,),y t G t s ds =⎰这里2221[(1)(1)(1)(1)],12(,)1[(1)(1)(1)(1)()],2t t s s t s G t s t t s s t s αβαβαβαβ+⎧--+--≤≤≤⎪+⎪=⎨+⎪--+--+-≤≤≤⎪+⎩ 0 0s t 1 是边值问题(3),(4)的Green 函数.引理2.2 (,)(0,),0, 1.G t s G s t s ≤≤≤ 证明 设2221(,):[(1)(1)(1)(1)],121(,):[(1)(1)(1)(1)()],2t t s t s s t s t t s t s s t s αβϕαβαβψαβ+=--+--≤≤≤++=--+--+-≤≤≤+ 0 0s t 1当1t s ≤≤≤0时,有(,)(1)0,t t t s s αβϕαβ+=-≤+ 故(,)(0,),t s G s ϕ≤当1s t ≤≤≤0时,有(,)(1)0,t s t s t αβψαβ+=-≤+ 故(,)(,)t s G s s ψ≤,从而(,)(0,),0, 1.G t s G s t s ≤≤≤引理2.3 (,)(),(0,)G t s q t G s ≥这里2(1)().2t q t βαβ-=+证明 当1t s ≤≤≤0时,有(1)(1)(1)(,)(,)(0,)(0,)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()2().t t s G t s t s G s G s s t t t s t t q t αβϕαββαβαβαββαβαβαβ+-+--+==+--++-+--+≥++-+≥+≥当1s t ≤≤≤0时,有222(1)(,)(,)(0,)(0,)(1)()(1)()(1)()(1)()2()s t G t s t s G s G s s s t s s s s t s q t αβψαββαβαββαβαβαβ+-+==-++-+=-++-+≥+≥引理2.3证毕.不难验证边值问题(1),(2)等价于积分方程1()(,)(,()):().u t G t s f s u s d s A u t ==⎰(5)记{}1[0,1]:()0,m i n ()()t K u C u t u t q t u δδ≤≤-=∈≥≥ (6)(在本文中仅用到sup 范数).这里{}21(1)0,(),:s u p(),01.22t q t u u t t βδαβ-<<==≤≤+显然K 是[0,1]C 中的一个锥.引理2.4 ()A K K ⊂. 证明 由引理2.3可知10111010min ()()min(,)(,())()(0,)(,())()max (,)(,())()()t t A u t G t s f s u s dsq t G s f s u s ds q t G t s f s u s dsq t A u δδδδ≤≤-≤≤-=≥==⎰⎰⎰ .注意到(,)0G t s ≥的事实,可得()A K K ⊂.证明完成.引理 2.5[2]设X 是一个Banach 空间，K 为X 中的一个锥.对于0p >,定义{}p K x K x p =∈≤.假设:p A K K→是一个全连续算子,对于{}px K x K x p ∈∂=∈≤,使得Fx x ≠. ()i 对于p x K ∈∂,如果x Ax ≤,那么(,,)0p i A K K =;()ii 对于p x K ∈∂,如果x Ax ≤,那么(,,)1p i A K K =.3、主 要 结 果定理3.1 假设(,)f t u 满足1()H ,2()H ,3()H ,则边值问题(1)和(2)至少有两个正解1x 和2x ,使得120x p x <<<.证明 任取0M >使得211(,)122M G s ds σσβσαβ->+⎰ (7)由2()H ,存在0r >,使得r p <,且当0u r ≤≤时,有(,)f t u Mu ≥.可断言,对于r u K ∈∂,()A u u >,事实上,对于r u K ∈∂,1011()()(,)(,())22A u G s f s u s ds =⎰101211(,)21(,)()21(,)22M G s u dsM G s ds q t uM G s ds uu σσσσσβαβ--≥≥⋅⋅≥⋅+>⎰⎰⎰ .由引理2.5得(,,)0r i A K K = (8)同样0M >满足2()H 及(7),存在10R >,使得(,)f t u Mu ≥.对于所有的1u R ≥,选取21max ,2R p R σβαβ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭.由R u K ∈∂,得到21min ()()2u t q t u u R σαβ≥≥=+.于是1012111()()(,)(,())221()(,)21(,)22A u G s f s u s dsq t G s M u dsM G s u ds u σσσσσβαβ--=≥≥+>⎰⎰⎰ .又由引理2.5得(,,)0p i A K K =(9)另一方面,又由3()H ,对于p u K ∈∂,1001111()max (,)(,())(0,)(,())(0,)(0,).t A u G t s f s u s dsG s f s u s dsG s u dsG s ds uu ηη≤≤=≤≤=<⎰⎰⎰⎰其中0η>,如3()H 得.因此,对于p u K ∈∂,()A u u <.显然,对于p u K ∈∂,()A u u ≠.再次由引理2.5得(,,)1p i A K K =.(10)由不动点指数的可加性和(8),(9),(10),有(,\,)1R P i A K K K =-且(,\,)1p r i A K K K =.因此,A 有一个不动点01\R P x K K ∈且有一个不动点02\p r x K K ∈.这两个都是边值问题(1)和(2)的解.对于(0,1)t ∈有1()0x t >和2()0x t >. 定理证毕.5、参考文献[1] Zhao Weili.Singular perturbations for third order nonlinear boundary valueproblems [J]. 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