历届中考第5大题 三角形 四边形动点问题

动点问题题型方法概括动向几何特色----问题背景是特别图形，考察问题也是特别图形，殊的关系；剖析过程中，特别要关注图形的特征（特别角、特别图形的性质、图形置。

）动点问题向来是中考热门，近几年考察研究运动中的特别性：等腰相像三角形、平行四边形、梯形、特别角或其三角函数、线段或面积的最值。

下边就此问题的常有题型作简单介绍，解题方法、重点给予点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线y3x6与坐标轴分别交于A、B4从O点出发，同时抵达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之（3）当48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为S5四个极点M的坐标．yBPxO Q A提示：第（2）问按点P到拐点B全部时间分段分类；2、（2009年衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延伸线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0 t 2)，连结EF为直角三角形．注意：第（3）问按直角地点分类议论C CFEA AB AO B D O图（1）图（2）图（面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．注意：发现并充足运用特别角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

二、4、（2009特别四边形边上动点年吉林省）如下图，菱形ABCD的边长为6厘米，B始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A C以2厘米/秒的速度沿 A B C D的方向运动，当点Q运动到同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答以下问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时3）求y与x之间的函数关系式．D CPBA Q轴于点H．（1）求直线AC的分析式；（2）连结BM，如图 2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以 2点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S 0），点P的运动时间为数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；3）在（2）的条件下，当t为什么值时，△MPB与△BCO互为余角，并线AC所夹锐角的正切值．yAHB yA H BMOx MCxO C图（1）2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；注意：第（图（2）第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运∠MPB=∠ABM的两种状况，求出t值。

中考九年级数学高频考点专题训练--三角形-动点问题一、单选题1．如图，正方形ABCD和等腰直角三角形EFG，斜边EF与AD在一条直线上，AB=6，EG=4，△EFG沿射线DA方向运动（点E从点D出发），设ED=x，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为y．若y=7，则x的值为（）A．3√2或4√2B．3√2或6+√2C．6+√2或6−√2D．3√2或6−√22．如图，在等边△ABC中，AB=2 √3，点D在△ABC内或其边上，AD=2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．设CE的最小值为m；当ED的延长线经过点B时，∠DEC=n∘，则m，n的值分别为（）A．√3，55B．√3，60C．2 √3-2，55D．2 √3-2，603．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（）A．5B．10C．20D．25 4．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（）A．3 √3﹣2B．4√3−2C．2 √13﹣4D．4 √13﹣85．如图，线段AB的长为8，点D在AB上，ΔACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（）A．5B．4C．4√3D．5√3 6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值（）A．3√2B．3+ √2C．3√3D．3+ √3 7．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线.以上结论正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A 落在A′处，点B落在B′处，A′B′交BC于G．下列结论错误的是（）A．当A′为CD中点时，则tan∠DA′E=34B．当A′D：DE：A′E=3：4：5时，则A′C=163C．连接AA′，则AA′=EFD．当A′（点A′不与C、D重合）在CD上移动时，△A′CG周长随着A′位置变化而变化二、填空题9．如图，△ABC中．AC=BC，∠ACB=100°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E，若△BDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，点P的对应点为P′，连接PP′，则PP′长的最小值为．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5 √2cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）．12．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= √33x﹣√33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B22作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC 上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为.14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为．三、综合题15．如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+16x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M （0，﹣1）．已知AM=BC．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求1BP+1BQ的值；16．在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD＝AE；（2）如图②，若AB＝1，BC＝2，求DE的长；（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数．17．如图，△ABC中，AB =BC=AC =6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间.（3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△BMN？18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别是x轴和y轴上的一动点．（1）如图1．若点B的横坐标为﹣4，求点C的坐标；（2）如图2，BC交x轴于点D，若点B的纵坐标为3，A（5，0），求点C的坐标；（3）如图3，当A（5，0），C（0，﹣2）时，以AC为直角边作等腰直角△ACE，（﹣2，0）为F点坐标，连接EF交y轴于点M，当点E在第一象限时，求S△CEM：S△ACO的值．19．已知ΔABC是边长为8cm的等边三角形，动点P,Q同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，他们的运动时间为t(s)．（1）如图1，若P点由A向B运动，Q点由C向A运动，他们的速度都是1cm/s，连接PQ．则AP=，AQ=，（用含t式子表示）；（2）在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得ΔAPQ为直角三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，若P点由A出发，沿射线AB方向运动，Q点由C出发，沿射线AC方向运动，P的速度为3cm/s,Q的速度为．acm/s是否存在某个a的值，使得在运动过程中ΔBPO恒为以BP为底的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=4，BD=3，DC=8，点P是BC边上一点（不与点B、D、C重合），过点P作PQ⊥BC交AB或AC于点Q，作点Q关于直线AD的对称点M，连结QM，过点M作MN⊥BC交直线BC 于点N．设BP=x，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的周长为y．（1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）．（2）求矩形PQMN成为正方形时x的值．（3）求y与x的函数关系式.（4）当过点C和点M的直线平分△ADC的面积时，直接写出x的值．答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】D9．【答案】50º或80º或110º 10．【答案】√6 11．【答案】①③④ 12．【答案】22017−1213．【答案】251214．【答案】815．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax 2+16x+c 的图象经过点B （-3，0），M （0，-1），∴{9a +16×(−3)+c =0c =−1， 解得a=16，c=-1． ∴二次函数的解析式为：y=16x 2+16x-1．（2）证明：∵二次函数的解析式为：y=16x 2+16x-1，令y=0，得0=16x 2+16x-1，解得x 1=-3，x 2=2， ∴C （2，0）， ∴BC=5； 令x=0，得y=-1， ∴M （0，-1），OM=1． 又AM=BC ， ∴OA=AM-OM=4， ∴A （0，4）．设AD ∥x 轴，交抛物线于点D ，如图1所示， 则y D =16x 2+16x −1=OA =4，解得x 1=5，x 2=-6（位于第二象限，舍去） ∴D 点坐标为（5，4）． ∴AD=BC=5， 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．即在抛物线F 上存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．设直线BD 解析式为：y=kx+b ， ∵B （3，0），D （5，4），∴{−3k +b =05k +b =4， 解得：k=12，b=32，∴直线BD 解析式为：y=12x+32．（3）解：在Rt △AOB 中，AB =√OA 2+OB 2=5， 又AD=BC=5， ∴▱ABCD 是菱形．①若直线l ∥BD ，如图1所示． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， ∴AC ∥直线l ，∴BA BP =BC BQ =BN BD =12，∵BA=BC=5， ∴BP=BQ=10，∴1BP +1BQ =110+110=15．16．【答案】（1）证明：∵△ABD 是等边三角形，∴AB=BD ，∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=BE ，∵∠ABD=∠CBE=60°， ∴∠ABE=∠CBD ， ∴△ABE ≌△DBC （SAS ）， ∴CD=AE ；（2）解： 取BE 的中点F ，连接DF ，∵BD=BF=1，∠DBF=60°，∴△BDF为等边三角形，∴DF=1，∴FD=FE=FB=1,∴△BED为直角三角形，即∠BDE=90°，∴DE=√BE2−BD2=√3；（3）解：如图，连接DC，∵△ABD和△ECB都是等边三角形，∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC= 60°，∴∠ABE=∠DBC，∴AB=BD，在△ABE和△DBC中，AB=AD，∠ABE =∠DBC，BE=BC，∴△ABE≌△DBC ( SAS) ,∴AE=DC，∴DE2+BE2=AE2，BE=CE ,∴DE2+CE2=CD2 ,∴∠DEC=90° ,∴∠BEC=60° ,∴∠DEB=∠DEC-∠BEC=30° .17．【答案】（1）解：设M、N运动t秒后，M、N两点重合，依题可得，t×1+6=2t，解得：t=6.答：点M、N运动6秒后，M、N两点重合.（2）能得到以MN为底边的等腰△AMN，①当点M在AC上，点N在AB上，如图①所示：设运动时间为t秒，依题可得，AM=t，AN=6-2t，∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，∴AM=AN，∴t=6-2t，解得：t=2；②当点M、N都在BC上时，如图②所示：设运动时间为t秒，依题可得，CM=t-6，BN=18-2t，∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，∴AM=AN，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C，AC=AB，在△ACM和△ABN中，{∠AMC=∠ANB∠C=∠BAC=AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，即t-6=18-2t，解得：t=8；综上所述：能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时，M、N的运动时间为2秒或8秒.（3）解：①当∠BNM=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：BN=2t，AN=6-2t，AM=t，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠AMN=30°，∴AM=2AN，即t=2（6-2t），解得：t=2.4；②当点M、N都在AC上时，当∠BNM=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：AN=2t-6，∴CN=6-AN=12-2t，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CBN=30°，∴BC=2CN，即6=2（12-2t），解得：t=4.5；③当点M、N都在AC上时，当∠BMN=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：AM=t，∴CM=6-AM=6-t，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CBM=30°，∴BC=2CM，即6=2（6-t），解得：t=3；综上所述：当点M、N运动2.4秒或3秒或4.5秒时，可得到直角△BMN. 18．【答案】（1）解：如图1中，作BH⊥y轴于H．∵∠BHC＝∠BCA＝∠AOC＝90°，∴∠BCH＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BCH＝∠OAC，∵BC＝AC，∴△BHC≌△COA（AAS），∴OC＝BH，∵点B的横坐标为−4，∴BH＝4，∴OC＝4，∴C（0，−4）；（2）解：如图2中，作BH⊥y轴于H．由（1）可知△BHC≌△COA∴OC＝BH，OA＝CH，∵若点B的纵坐标为3，A（5，0），∴OA＝CH＝5，OH＝3，∴BH＝OC＝2，∴C（0，−2）；（3）解：如图3中，由题意点E在第一象限，作EH⊥OA于H．同法可证：△AHE≌△COA（AAS），∴AH ＝OC ，AO ＝EH ， ∵A （5，0），C （0，−2）， ∴EH ＝OA ＝5，OC ＝AH ＝2， ∴E （3，5），设直线 FE 的解析式为： y =kx +b ， 则 {0=−2k +b 5=3k +b ，解得 {k =1b =2 ，∴直线 FE 的解析式为： y =x +2 ， 令 x =0 ，则 y =2 ， ∴OM ＝2，∴S △CEM ：S △ACO ＝ (12×4×3)：(12×2×5)=6：5 ．19．【答案】（1）tcm ；（6-t ）cm（2）解：存在 t =83s 或16s时，使得 ΔAPQ 为直角三角形，理由是①当 PA ⊥AB 时，由题意有 2t =8−t ，解得 t =83s②当 PQ ⊥AC 时，由题意有 t =2(8−t), 解得 t =163s∴ 综上所述，存在 t =83s 或16s时，使得 ΔAPQ 为直角三角形（3）解：存在 a =3cm/s 时， ΔBPQ 恒为以 BP 为底的等腰三角形，理由是： 作 QM ⊥BP 于M ，如图2所示由题意得： AP =3t,CQ =at ，则 AQ =8+at,BP =|8−3t|∵PQ =BQ,QM ⊥BP ∴PM =BM =12BP∵ΔABC 是等边三角形，∴∠A ＝60° ∴∠AQM ＝30° ∴AQ ＝2AM ，①当 t ≤83 时，由题意有 2(3t +8−3t2)=8+at ，解得 a =3cm/s ，②当 t ≥83 时，由题意有 2(3t −3t−82)=8+at ，解得 a =3cm/s ，∴ 综上所述，存在 a =3cm/s 时， ΔBPQ 恒为以 BP 为底的等腰三角形．20．【答案】（1）解：①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3，∵AD ⊥BC ，AD=4，BD=3，∴tan ∠B= 43，∵PQ ⊥BC ， ∴PQ BP =43， ∴当0<x<3时，PQ= 43x ；②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11， ∵AD ⊥BC ，AD=4，CD=8， ∴tan ∠C= 12 ，∵PQ ⊥BC ，∴PQ PC =12，PC=11-x ， ∴当3<x<11时，PQ= 11−x 2；（2）解：①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3， ∵四边形PQMN 为正方形， ∴PQ=QM=MN=NP ， ∵QM=2（3-x ）， ∴43x=2（3-x ）， 解得x= 95；②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11， ∵四边形PQMN 为正方形，∴PQ=QM=MN=NP ， ∵QM=2（x-3）， ∴(11−x)2=2（x-3），解得x= 235（3）解：y=PQ+MN+QM+PN ， =2× 43x+2×2（3-x ），=12- 43x ；（4）解：如图，连接CM 交AD 于O ，由题可知： AE =DE =12AD =2 ，∵QP =ED =43x ，∴OE =OD −DE =2−43x ， EM =QE =PD =3−x ，∵QM ∥BC ， ∴△OME ∼△OCD ， ∴EO DO =EM DC， ∴2−43x 2=3−x 8， 化简得： 4(2−43x)=3−x ，∴x =1513．。

四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。

中考数学动点问题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间图（3）B图（1）B图（2）的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 解：1、A （8，0） B （0，6）提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论A-，0，抛物线的顶点3、如图，已知抛物线(1)20)y a x a=-+≠经过点(2)∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B 为D，过O作射线OM AD在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点Pt s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯运动的时间为()形？等腰梯形？=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1（3）若OC OB个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

§1. 三角形、四边形中的动点问题【解题思路与方法】1.关注变化因素和不变因素以及图形的特殊性，寻找常量和变量；2.化动为静 (由一般到特殊)，以静制动；3.数学建模：确定图形运动中的变量关系时常常建立函数模型，确定图形运动中的特殊位置关系 时常常建立方程模型；4.关注运动问题的三个要素：运动方向、速度、范围（直线、射线、线段、折线）；5.注重分类讨论，通过分别画图与分离图形使问题简单化；6.根据运动元素的不同分为动点问题、动线问题、动图问题三大类型（包括点、线、图同时运动）.◆典例解析一、三角形中的动点问题例1. 已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动.设运动时间为t （s ），（1）如图1，当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？（2）如图2，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?（3）如图3，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D ，连接PC.如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和 △QCD 的面积是否相等？BCPA QDBCPAQDBCPA已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC 的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由。

例2.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？如图（1）△ABC 为等边三角形，动点D 在边CA 上，动点P 边BC 上，若这两点分别从C 、B 点同时出发，以相同的速度由C 向A 和由B 向C 运动，连接AP ，BD 交于点Q ，两点运动过程中AP=BD 。

xA OQP By 动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1（20XX 年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3）ABC OEFA B C O D 图（1） A BOE FC 图（2） 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论xyM CDP QOA B xyM CD PQOAB 3.如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

一、动点产生的相似三角形问题1、 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6,2、 满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =． 由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BCBE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+考点伸展第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．二、因动点产生的等腰三角形问题 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图54.思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ． 三、①因动点产生的直角三角形问题5、满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4②动点产生的平行四边形问题 2 满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=． 解得4x=-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．。

中考数学“动点问题”例析 南安市梅岭中学 张子源动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。

一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X 、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

一、 与三角形有关的动点问题 1、例题：(05重庆课改)如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式； (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？ 解：（１）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b 由题意，得b ＝68k ＋b ＝0解得 k ＝－43b ＝6 所以，直线AB 的解析式为y ＝－43x ＋6．（２）由 AO ＝6， BO ＝8 得 AB ＝10 所以AP ＝t ，AQ ＝10－2t1°当∠APQ ＝∠AOB 时，△APQ ∽△AOB ．所以 6t ＝10210t - 解得 t ＝1130(秒)2°当∠AQP ＝∠AOB 时，△AQP ∽△AOB ． 所以10t ＝6210t - 解得 t ＝1350(秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E ． 在Rt △AOB 中，Sin ∠BAO ＝AB BO ＝54在Rt △AEQ 中，QE ＝AQ·Sin ∠BAO ＝(10-2t )·54＝8－58t 所以，S △APQ ＝21AP ·QE ＝21t ·(8－58t )＝－254t ＋4t ＝524解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）．xBxBxBx2、练习：（2006浙江台州）如图(1)，直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），以线段OA 为边在第四象限内作等边△AOB ，点C 为x 正半轴上一动点(OC ＞1)，连结BC ，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD ，直线DA 交y 轴于点E. （1）△OBC 与△ABD全等吗？判断并证明你的结论; （2）随着点C 位置的变化，点E 的位置是否 会发生变化? 若没有变化，求出点E 的坐标； 若有变化，请说明理由.二、与四边形有关的动点问题 1. 例题：（2006晋江）在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2.① 求S 关于t 的函数关系式；② (附加题) 求S 的最大值。

xAOQP By 图（3）ABC OEF ABCOD图（1） ABOE FC 图（2）动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段O A 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论 3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线O M A D ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线O M 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结B C ． （1）求该抛物线的解析式；O M BH ACxy 图（1）O M B H A Cxy 图（2）xy M CD PQOAB PQA BC D（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线O M 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形D A O P 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿O C 和B O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

备战2015中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇专题复习篇专题38 动点综合问题☞解读考点知识点名师点晴动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题☞2年中考[2014年题组]1.（2014年甘肃天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿AB线段BO、OA匀速运动到点A，则OP 的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）2.（2014年贵州安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A. 2B. 1C. 2D. 223.（2014年安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是【】A、B、C、D、4.（2014年江苏苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．5.（2014年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为__________6.（2014年浙江嘉兴中考）如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ．下列结论：①CE=CF ；②线段EF 的最小值为23；③当AD=2时，EF 与半圆相切；④若点F 恰好落在BC 上，则AD=25；⑤当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是163．其中正确结论的序号是 ．7.（2014年湖南衡阳）如图，直线AB 与x 轴相交于点()40A -，，与y 轴相交于点()03B ，，点P 从点A 出发，以每秒个单位长度的速度沿直线AB 向点B 移动.同时，将直线34y x =以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA 于点C ，交OB 于点D ，设运动时间为()05t t <<秒.⑴证明：在运动过程中，四边形ACDP 总是平行四边形；⑵当t 取何值时，四边形ACDP 为菱形？请指出此时以点D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理.8.（2014年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线B O方向以每秒2个单位的速度运动.以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t 秒.（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围.[2013年题组]1. （2013年北京市）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.2. （2013年浙江金华、丽水）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=900，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止。