关于幂指函数求极限的问题

指数函数与对数函数的极限计算指数函数与对数函数是高中数学中重要的函数概念，它们在求极限时经常被用到。

本文将探讨指数函数和对数函数的极限计算方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、指数函数的极限计算指数函数是以底数为常数的幂函数，形如y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。

求指数函数的极限时，可以利用以下两个重要的性质进行计算。

1. 当x趋近于正无穷大（x→+∞）时，指数函数以底数大于1的情况下，极限趋于正无穷大；以底数小于1的情况下，极限趋于零。

即：lim(a^x) = +∞ （当a>1）x→+∞lim(a^x) = 0 （当0<a<1）x→+∞例如，计算lim(2^x)当x→+∞：当底数为2时，指数函数指数增长迅速，无限逼近正无穷大，即lim(2^x)=+∞。

2. 当x趋近于负无穷大（x→-∞）时，指数函数以底数大于1的情况下，极限趋于零；以底数小于1的情况下，极限趋于正无穷大。

即：lim(a^x) = 0 （当a>1）x→-∞lim(a^x) = +∞ （当0<a<1）x→-∞例如，计算lim(0.5^x)当x→-∞：当底数为0.5时，指数函数指数减小迅速，无限逼近正无穷大，即lim(0.5^x)=+∞。

二、对数函数的极限计算对数函数是指数函数的反函数，以a为底，x为真数的对数函数记为y=logₐx。

求对数函数的极限时，可以利用以下两个重要的性质进行计算。

1. 当x趋近于正无穷大（x→+∞）时，以任意正数为底的对数函数的极限等于正无穷大。

即：lim(logₐx) = +∞x→+∞例如，计算lim(log₂x)当x→+∞：当以2为底时，对数函数的结果随着x的增大而增大，无限逼近正无穷大，即lim(log₂x)=+∞。

2. 当x趋近于零（x→0+）时，以任意正数为底的对数函数的极限等于负无穷大。

即：lim(logₐx) = -∞x→0+例如，计算lim(log₂x)当x→0+：当x趋近于0时，对数函数的结果随着x的减小而无限逼近负无穷大，即lim(log₂x)=-∞。

Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。

但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。

一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。

在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。

课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。

大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。

如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。

鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。

2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。

对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。

而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。

2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。

例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。

例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。

幂指函数求极限马凤丽;徐为;马茜【摘要】在函数极限的计算中,有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变,总结了一些幂指函数极限的计算方法,并通过例题说明这些方法的应用性.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2019(039)005【总页数】3页(P57-59)【关键词】幂指函数;极限;连续性【作者】马凤丽;徐为;马茜【作者单位】陆军工程大学基础部,江苏南京 211101;陆军工程大学基础部,江苏南京 211101;陆军军事交通学院基础部,天津 300161【正文语种】中文【中图分类】O172;G642.0幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题，许多学生不能对各种题型加以区分，找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性．分析发现，产生这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧．因此，对于幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义，讨论幂指函数极限的类型，并对解题方法进行整理和总结，让更多的学习者更好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题和解决问题的能力.幂指函数结构极限式的极限计算是函数与数列极限计算中频繁出现的一类问题. 定义[1} 底数与指数中都含有变量的函数，称为幂指函数，记为且.幂指函数极限的求法主要包括[2-6]：（1）利用重要极限进行计算.（2）若且，，则.（3）利用对数恒等式，则.例1[7] 设，计算解数列为幂指函数结构，考虑对数函数法求极限．设原极限为，则，由函数的连续性，转换为求极限因为，所以．例2[8] 设为上连续函数，在上可积且恒大于或者恒小于0，证明：．证明由于且为连续函数，所以由闭区间上连续函数的最值定理有，，于是由夹逼定理可知，．因此，所需证明等式左侧的极限为未定型，考虑对数函数法.基于函数的连续性，极限可以转换为计算极限．由于，问题转换为证明．由于，可得．由数列极限的定义，对于任意，存在，当时，恒有．于是，当时，有，故由数列极限的定义可知，，所以，其中：，结论得证．例3[9] 设，存在，求．解，因为，根据导数定义，，所以．在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到多种方法，如等价无穷小代换[10]、洛必达法则和极限的四则运算等，在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技巧，找到正确快速的解题方法．【相关文献】[1] 同济大学数学系．高等数学（上册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014[2] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2001[3] 陈茜，舒慧颖．浅谈幂指函数的极限问题[J]．衡水学院学报，2011，13（4）：10-12[4] 张红玉．关于幂指函数的极限求法[J]．大同职业技术学院学报，2004，18（1）：66-68[5] 甘媛．幂指函数极限的推广及应用[J]．安徽电子信息职业技术学院学报，2011，57（10）：45-47[6] 何晓岭．幂指函数极限的计算[D]．石家庄：石家庄学院，2017[7] 钱吉林．数学分析题解精粹[M]．2版．武汉：湖北辞书出版社，2003[8] 刘小华．关于幂指函数求极限的问题[J]．高等数学研究，2008，11（5）：5-7[9] 冯加才．幂指函数的极限问题[J]．焦作工学院学报，1999，18（5）：15-17[10] 康佳鑫．浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（2）：21-23。

专升本考试中幂指函数求极限求导数解题方法探讨
作者：***
来源：《理科爱好者(教育教学版)》2021年第01期
【摘要】在专升本考试中，幂指函数求导数以及求极限的题型对学生来说难度较大。

对此，本文针对幂指函数求导数以及求极限的问题提出了几种解决方法，希望对学生的专升本考试有所帮助。

【关键词】幂指函数;导数;极限
形如u（x）v（x）的函数被称为幂指函数。

幂指函数形式上既像幂函数，又像指数函数。

在高等数学教学中，幂指函数的求极限以及求导数的运算是学生学习的一個难点，对学生来说非常棘手[1-4]。

1 幂指函数求极限
1.1 公式恒等变形后用洛必达法则
本文给出了幂指函数求极限以及求导数时一些常用方法，这些方法对学生学习幂指函数有很大的帮助，能够提高学生计算能力，提高学生的思维发散能力，增强学生对数学的运用能力，希望对学生备考专升本有帮助。

【参考文献】
[1]贺电鹏.幂指函数求导法的探索[J].学科探索，2017（21）.
[2]刘亚轻，纵封磊.幂指函数的求导与应用[J].教育教学论坛，2020（45）.
[3]陈茜，舒慧颖.浅析幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011（4）.
[4]冉金花.用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨[J].科技资讯，2019（27）.
【作者简介】
宋小平（1994～），女，汉族，山东烟台人，硕士研究生，助教。

研究方向：高等数学及教育研究。

第22卷第5期2019年9月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.22,No.5Sep.,2019doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2019.05.001幕指函数中未定式00"!、！0型极限的若干定理陈建梅，翟书杰(郑州大学数学与统计学院,河南郑州450001)摘要本文给出计算数中未定式00、1!、！0型极限的若干定理，并举例说明正确的解题方法与技巧.关键词-.函数；未定式00,1!,!0中图分类号O13,G642.0文献标识码A文章编号1008-1399(2019)05-0001-03On LimiSs of Indeterminate Forms of Power Exponential FunctionsCHEN Jianmei and ZHAI Shujie(School of Mathematics and Statistic,Zhengzhou University,Zhengzhou450001,China)Abstract In this paper,we revisit some theorems for calculating the limits of indeterminate forms of pow­er exponential functions,and illustrate the corresponding methods and techniques.Keywords power exponential function,indeterminate form00,1!,!01引言高等数学是工科类学生的公共基础必修课程,数学分析是理科数学类的基础必修课程,微分学是高等数学或者数学分析的主要内容,也是学习后续专业课程的基础.只有学好微分学,才能更好地学习后续的各门专业课程,幕指函数中未定式00、1!、80型的极限是微分学的重点内容，也是难点内容.目前的教材没有给出计算未定式00、1!、80型极限的完整形式定理(参考文献，也没有给出正确的解题方法(参考文献[3]).本文给出计算未定式00、1!、80型极限的若干完整形式定理及其证明，并举确的解题与方法!2关于计算3种未定式00、1!、80型极限的两个定理定理1在Z的某一变化过程中,#(")3属于3种未定式00、1!、80型之一,『(实数)(1)如果lim g(")ln#(")="+!(2)$—8(3)则lim#(")g(")=nme g("ln/(")(lim gC")^/"")J e="+8$0Ae1)(2)(3)证明#(,x)g(,=e g<'I>'n f<">,f(x)>0由e",& g")ln#")复合而成的.下面证明(1)：因为lim&= lim g(")ln f(")=A(实数)，1i me"=e A,利用复合函数"&A收稿日期：2019-03-06修改日期2019-05-02基金项目：国家青年/然科学基金项目(11801524)；郑州大学教改项目(13210020).作者简介：陈建梅(1966-),女,副教授,从事高等数学教学研究工作,Email：c hjm@.翟书杰(1979—),女,博士、讲师，从事基础数学研究工作,Email:zhaishujie@.的极限运算法则,所以lim f(")2=lime g")f") lime"=e A.类似证明(2),(3)."&A这里需要特别注意的是：第一不能无条件的写成下面的式子lim g("))n f(")elim f(")$">当g(")n f")无变化趋势或者lim g(")ln f") +8、一8、8的情形之一时,不能写成lim f")g")2高等数学研究2019年9月8?心应？比如下面的例2.=与例2.5,又如：limd+sin.z)'2，不能直接写成"2lim-J•lnd+sinc)lm4^*si"lim(1+sin")"=e"&0"=e"&°""&0利用⑴，所以lim(arCsm")7=e1""&+0例2.4计算lim「S"!［土"&+0e解这是未定式18型，因为e A"=e!，这是不正确的;正确的是:lim丄l n"&+0"(1+")"e因为lim$ln(l+sin") "&0"lim$sin"=!,"&0"8*0W limp l n1+("&+0 "(1+")1e1)所以lim(l+sin"%2不存在."&0第二当g(")ln/(")无变化趋势或者lim g(") ln#(")=8时，则#都无变化趋势.:例2.1计算lim"n+)."&+0解这是未定式0#型，因为0*8lim ln(1+")ln"=lim"In""&+0"&+0lim丄(1+")丄"&+0 "e1)丄lim(1+")1——ee"&+00_e im"&+0"2(1+")1n(1+")4"(1+")2"11ee p"—(1+")ln(1+")2"&+0"3(1+")"&+08丄-In"8-"小=lim—^―=lim------=0,"&+01"&+0_1""2利用(1)所以lim"ni+")we0w1."&+01tan"例2.2计算lim(―)."&+0"解这是未定式80型，因为10*81lim tan"ln—=lim"In—=——lim"In""&+0""&+0""&+08丄ln"8"=一lim=—lim-------=0,"&+01"&+0_1""2tan"0利用(1)所以lim(丄)we W1."&+0"例2.3计算l i m(as")?."&+0"解这是未定式18型，因为1e 0_w21,’arcsin"、lim-^-ln(---------) "&+0 ""8*0W lim飞1口|1+( "&+0 "arcsm""1arcsin" lim飞("&+0 "1)"e1"——1+")n1+")—lim lim2"&+01十""&+0"1—l n(1+")—(1+")*丄1+"lim"&+01r—ln(1+")2im"&+03"23"21 1."1 1.1=—可lim-~2=—可lim—w—8，2"&+0："2"&+0："利用(3),所以lim「1+")")?=0."&+0e例2.5计算lim(@"")7."&+0"解这是未定式18型，因为lim飞］n(+0 "arcsm"")8*01arcsln"=im^lnl1+(---------"&+0"L"lim1(s"——1)+0""利用(2),所以lim(Qs")7=+8."&+0"利用定理1类同的证明方法得到：定理2当"&8时属于3种未定式00、18、80型之一，第22卷第5期陈建梅，翟书杰：幕指函数中未定式00、1!、！0型极限的若干定理3如果 lim gS ) In f (宛)A ( 数)1 )+ !一 !(2)(3 )则lm f (s)g(l ) =lime g(l)lnf(l )lim g(n ) \n f(n )Ae ”&8e+ 81)(2)(3)例 3.2 计算 lim (1 + x ) [2x &+0 L e 」解 这是未定式18型，因为lim ((1+x )x & + 01) -1x1 r (1+x )1 — e ——lim e x &+0ex 23 关于计算未定式型极限的两个定理定理3在x 的某一变化过程中，f (x )gx )属于1!型的未定式,20 1=—lim e x &+0(1+x )1ln(1+x )+^+)如果 lim[f(") —叮g")A ( 数)1 )+! (2)1e 一 !1e2x e x 一(1+x )ln(1+x )2 x -i +0x 3 (1+x )e 1. 1 1. x 一(1 + x )ln(1+x )—lim — ■ lim -------------3--------------------------2 x &+01 +x "& + 0"& + 0则 lim f (x )gx )="+ !$01)(2)(3 )1一ln(1+x ) —(1+x ) ■ 111+xV lm 厶 x & + 00_=1=2g(x)(f(x) 1) -1 -证明 f (x)g(x ) = [1+f(x ) —叮=+ (+ (f(x )—1)[们｝ [fx T [31匚f(x ) —1 [ g(x ) I n [1+ ( f(x ) — 1 ) [ fx )1=e,3x 21 - 一ln(1 +x ) 1 - x~c)~ lm—2 = 下 lim ——2 x &+0 3 x 2 x &+0 3 x"& + 03x 211—可 lim —= — !,2 x &+03 x利用(3),所以 lim (1+x ) [1=0.由 e" ," = [f(x ) — 叮g(x )In [1 + (f (x ) — 1)[心 1 复合而成的.下面证明(1)：im[f (x ) 一1 [g (x ) =A ( 数)!lim [1 + (f(x ) —1)[#x —f =e,得到lim " = lim[f(x ) — 1]g(x )ln [1 + (f(x ) — 1) [f () 1=A ( 数) !因为 lim " = A (实数)，lime ""&Ae ，&"& + 0e例 3.3 计算 lim (as x )4x & + 0限运算法则，所以e A ，利用复合函数的极x 解 这是未定式18型，因为1)1x 30_ ____________0「 1 一 槡 1一 x 2=lim ----------x &+04x 3 * 槡 1一 xarcsin x lim (---------x &+0x imx & + 0arcsm "一x x 4lim f (x )gx ) = lime 匚fx 〉一13gx )in 匚 1+ fx —1)zi ~1"A=ime =e !"&A类似证明(2),(3).特别注意的是：当[f(x)—1]g(x)无变化趋势或者lim f(x )—叮g(x )= 8时，则f (x )g(x )都无变 化趋势.一x 22+ !,例 3.1 计算 lim (arcsin x )7x &+0 x 解 这是未定式18型，因为arcsin x 1lim (---------一 1)=x &+0xx0_=lim —利用(2),所以 lim (ac x )4= + 8.x 显然，例3. 1、例3. 2、例3. 3的解法分别比例2. 3、例2. 4、例2. 5的解法要简单一些.对于计算未定式18型的极限，同学们可以选择定理3的方法,定理3的方法要比定理1的方法简单一些.定理:类 的 方法 ：定理4 当"&8时f (n)gl 属于18型的未定式,x & + 0arcsin x —x lim x & + 0x 一x 22利用(1),所以 lim (arCSln x )? = ex &+0 x16一 !1 一 槡 1 一 x 2如果 lim f (n ) — 叮 g(n )="n &8c 2 * 槡 1一x 2#e A (1)贝Ij l im f (n)g(n )="+ 8 (2)1$0⑶A (实数)+ !1)(2)(3 )(下转第6页)6高等数学研究2019年9月结论2曲线C：*=f(x)有渐近线y=kx+b当且仅当f(x')=kx+b+o(1),其中o(1)满足lim o(1)=0.x&+8(x&-8)证明以x&+8为例：(1)如果y=f(.x)有渐近线*=kx+b,则lim£f(x)一kx)=b,x&+8即f(x)一kx=b+o(1)，其中lim o(1)=0,即f(x)=x&+8kx+b+o1)!(2)如果f(x)=kx+b+o(1),其中lim o(1)=0,则x&+8lim f$x)—im kx+b+o(1)x&+8x x&+8xb+o1)k I liim k,x&+8xlim[f(x)—kx)=lim[b+o(1))=b.x&+8x&+8所以曲线C：y=f(x)有渐近线*=kx+b.证毕.由渐近线的几何意义可知，当曲线上动点远离原点时，曲线与渐近线的距离趋于零，因此通过把曲线化为线性部分和相应过程的无穷小的部分之和,即f(.x)=ax+b+o(1),线性部分即为曲线的渐近线，这就是结论2所描述的求解过程.(3)y=槡x3—x2—x+1解(1)由于=x3y x2+2x一3x—27x一6x2+2x一3W x—2+o1)其中o(1)满足lim o(1)=lim2x.+6=0,所以曲x&8x&8x+~2x3有斜y=x—2(2)—2x2一y=)=22x—2(—x)2=2+o1),中o(1)满足lim o(1)=lim门_、？=0,所以曲线有水x&8x&8(丄CC)平y=2(3)y—槡x3—x2—x+1—x槡一十一右+右x(i+1(-=x一g+o(1)(x&8),所以曲线有斜渐近线y=x—1.比如例2中的函数y=槡1+x2—x,借助带皮亚诺余项的泰勒公式，当x&—8时可以改写为一x(2+空。