专题一 求极限的方法
【考点】求极限
1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的
概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、
单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）
3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理
化，变量代换等等。
4、 两个重要极限0sin lim 1x x
x
→= 1
01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式
子1
lim(1)x
x x e
→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞
”的形式的典型求极
限题目。
5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限
（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解
题，如
11
1
lim x x e
-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e
的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）
（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：
①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理
③用定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0
（5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。
6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。
7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。
【例题精解·求极限的方法】
方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。
【例1】求极限 11
lim 1
m n x x x →--
解
12
12 11
1(1)(
)
lim lim
1(1)()
m m m
n n n
x x
x x x x
x x x x
--
--
→→
--++
=
--++
…1
…1
=
m
n
注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。
【例2】求极限22
lim(1)
x
x x x
→+∞
+--
解22
22
1
lim(1)lim
2
1
x x
x x x
x x x
→+∞→+∞
+--==
++-
注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。
2、一个最基本的多项式极限
1
12
1
12
lim
n n
n
m m
x
n
a x a x a
b x b x b
-
-
→+∞
+++
+++
…
…
(系数均不为0)：
①若n>m，则极限为正无穷；
②若n③若n=m，则极限为1
1
a
b
。（本质为比较次数）
要注意的是x是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的
1
2
次来计算，如21
x+的次数为1。
方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限
【例3】设112
u≥-，
1
12(1,2,...)
n n
u u n
+
=+=,证明lim n
n
u
→∞
存在并求之
方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。
【例4】求极限(1
lim
123...n n n n n n
→∞++++
解 因 (1111=123...=n n n
n n n n n n n n n
⋅<
+++<⋅ 而 lim1=lim =1n
n n n →∞
→∞
故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n
→∞
++++=1
方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。（化加减为乘除！）
【例5】求极限tan 0
lim tan x x
x e e x x
→--
解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x
-→→--==--
【例6】求极限112
1
lim ()x x x x a a
+→+∞
-
解
11
1111222(1)
1
1
1
lim ()=lim (1)lim 1(1)x x x
x x x x x x x x a a x a
a
x a
-++++→+∞
→+∞
→+∞
--=⋅⋅-=
21
lim 1ln ln (1)
x x a a x x →+∞⋅⋅
⋅=+
