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高中高三数学教案设计：排列教学内容: 排列教学目标:1. 理解排列的概念和基本性质。
2. 掌握排列的计算方法。
3. 能够解决相关排列问题。
教学重点:1. 排列的计算方法。
2. 排列问题的解题方法。
教学准备:1. 教师准备幻灯片和板书。
2. 学生准备纸和笔。
教学过程:Step 1: 引入1. 引导学生回顾由重读一个字母在不同位置得到的单词的例子。
如abc、acb、bac、bca、cab、cba。
2. 提问学生是否知道这种情况有个专门的数学名词，然后引出排列的概念。
Step 2: 讲解排列的概念1. 分享幻灯片，并简要讲解排列的含义，即由一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列。
2. 引导学生理解排列的基本性质，包括排列数等于从左到右第1个位置的选择数乘以从左到右第2个位置是否和第1个位置选择的数相同的选择数，以此类推。
Step 3: 讲解排列的计算方法1. 以一个简单的例子开始，如从1、2、3、4这4个数字选取3个数字进行排列。
2. 分步骤讲解计算方法，并与学生一起计算示例。
a. 从4个数字中选取一个数字作为第1个位置的选择数，有4种选择。
b. 第2个位置的选择数要根据第1个位置的选择来决定，有3种选择。
c. 第3个位置的选择数要根据前2个位置的选择来决定，有2种选择。
d. 将每个位置的选择数相乘，得到总的排列数为4*3*2=24。
3. 引导学生总结排列的计算方法。
Step 4: 解决排列问题1. 给学生提供几个排列的问题，并与学生一起解决。
2. 分别讨论不同问题的解题方法和计算过程。
Step 5: 小结与练习1. 小结排列的概念、计算方法和解题方法。
2. 给学生分发练习题，巩固所学内容。
3. 学生独立完成练习题，并教师进行讲解和答疑。
Step 6: 拓展1. 引导学生思考更复杂的排列问题，如含有重复元素的排列问题。
2. 鼓励学生自主学习拓展内容，并在下节课进行讨论和分享。
教学评价:1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和回答问题的质量。
课 题： 10．2排列 (三)教学目的： 1熟练掌握排列数公式；2.熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；3.能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题教学重点：分析和解决排列问题的基本方法教学难点：分析和解决排列问题的基本方法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤）说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅= （叫做n 的阶乘） 6 阶乘的概念：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，这时(1)(2)321n n A n n n =--⋅⋅ ；把正整数1到n 的连乘积，叫做n的阶乘表示：!n ， 即n n A =n 规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 二、讲解范例：例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：3554360A =⨯⨯=，所以，共有60种不同的送法（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555125⨯⨯=，所以，共有125种不同的送法说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有13A 种；第二类用2面旗表示的信号有23A 种；第三类用3面旗表示的信号有33A 种，由分类计数原理，所求的信号种数是：12333333232115A A A ++=+⨯+⨯⨯=，答：一共可以表示15种不同的信号例3．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有44A 种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有44A 种方法， 利用分步计数原理即得分配方案的种数解：由分步计数原理，分配方案共有4444576N A A =⋅=（种）答：共有576种不同的分配方案例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法1：用分步计数原理：所求的三位数的个数是：1299998A A ⋅=⨯⨯=解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有39A 个，个位数字是0的三位数有29A 个，十位数字是0的三位数有29A 个，由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：322999648A A A ++=．解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为310A ，其中以0为排头的排列数为29A ，因此符合条件的三位数的个数是32109648A A -=-29A ．说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列77A ＝5040．（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720．（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有22A 种；第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种，所以，共有22A 55A ⋅=240种排列方法（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法，所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法 解法2：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑三、课堂练习：1．将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（ ）种.A ． 6B ． 9C ． 11D ． 232．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A 不能停在第三条轨道上，货车B 不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种. A ．78 B ．72 C ．120 D ．963．由0，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ）A ．9B ．21C ． 24D ．424．从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条.A ． 14B ．30C ． 70D ．605．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 _____种不同的种植方法6．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 种7．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的正整数？（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，并且比13000大的正整数？8．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有多少种不同的排法？9．某产品的加工需要经过5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？10．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？11. 由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？答案：1. B 2. A 3. B 4. C 5. 24 6. 166320 7.⑴325； ⑵1148. 288 9.⑴96； ⑵36 10. 4811. （1）143472A A =,（2）（141312443322264A A A A A A -+=） 四、小结 ：分析和解决排列问题的基本方法；对于“在”与“不在”的问题的处理方法五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。
高中数学教案排列-数学教案章节一：排列的基本概念教学目标：1. 理解排列的概念和意义。
2. 掌握排列的计算方法。
教学内容：1. 排列的定义。
2. 排列的计算公式。
教学步骤：1. 引入排列的概念，引导学生理解排列的意义。
2. 讲解排列的计算公式，让学生掌握排列的计算方法。
教学练习：1. 完成课后练习题，巩固排列的基本概念和计算方法。
章节二：排列的性质与计算教学目标：1. 掌握排列的性质。
2. 学会排列的计算方法。
教学内容：1. 排列的性质。
2. 排列的计算方法。
教学步骤：1. 讲解排列的性质，让学生理解排列的特性。
2. 演示排列的计算方法，让学生学会计算排列。
教学练习：1. 完成课后练习题，巩固排列的性质和计算方法。
章节三：排列的应用教学目标：1. 学会运用排列解决实际问题。
2. 理解排列在实际生活中的应用。
教学内容：1. 排列在实际问题中的应用。
2. 排列的应用案例。
教学步骤：1. 讲解排列在实际问题中的应用，让学生学会运用排列解决实际问题。
2. 分析排列的应用案例，让学生理解排列在实际生活中的重要性。
教学练习：1. 完成课后练习题，巩固排列的应用方法。
章节四：排列的综合练习教学目标：1. 巩固排列的基本概念、性质和计算方法。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 排列的综合练习题。
教学步骤：1. 给学生发放综合练习题，让学生独立完成。
2. 讲解练习题的解题思路和方法，让学生巩固排列的知识。
教学练习：1. 完成课后综合练习题，巩固排列的知识。
章节五：总结与拓展教学目标：1. 总结排列的主要知识点。
2. 引导学生拓展排列的知识。
教学内容：1. 排列的总结。
2. 排列的拓展知识。
教学步骤：1. 引导学生总结排列的主要知识点，让学生加深对排列的理解。
2. 讲解排列的拓展知识，激发学生对排列的兴趣和好奇心。
教学练习：1. 完成课后练习题，巩固排列的知识。
章节六：排列的进一步应用教学目标：1. 学习排列在组合数学中的更深入应用。
高三新数学第一轮复习教案—排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系m n A =)!(!m n n =n ·(n －1)…(n －m+1)；（3）全排列列：n n A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； （3）组合数的性质①C n m =C n n-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n ·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
【关键点拨】1. 要搞清排列与组合的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先组合后排列两个步骤。
2. 求排列组合应用问题的思路：排列分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘。
例题1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种（用数字作答）解析：按C 的位置分类，在A 、B 左1，左2，左3，左4或者在右1，右2，右3，右4，因为左右是对称的，所以只看在左的情况最后乘以2即可。
答案：（方法一）直接法当C 在左边第1个位置时，有55A （其它5个字母全排列），当C 在左边第2个位置时有2343A A （从后边四个位置中选两个，对AB 进行排列，然后除A 、B 、C 以外的字母进行排列），当C 在左边第3个位置时，有3323A A ， 当C 在左边第4个位置时，有3322A A ，共为240种，乘以2，得480。
则不同的排法共有480种。
故答案为：480。
（方法二）间接法：第一步：先把A 、B 放在C 的两侧，有2种排法；第二步：（插空法）将D 放在A 、B 、C 3个元素形成的4个空当中的一个，有14A 种排法；第三步：（插空法）将E 放在A 、B 、C 、D4个元素形成的5个空当中的一个，有15A 种排法；第四步：（插空法）将F 放在A 、B 、C 、D 、E5个元素形成的6个空当中的一个，有16A 种排法。
611164562720240480A A A A -=-=（种）点拨：结合条件充分利用好分类讨论的思想，做到分好类。
亦可以使用间接的方法解决问题。
例题2 4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分；选乙题答对得90分，答错得-90分。
若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种解析：根据题意，4位同学的总分为0，分①4人都选甲题，②4人都选乙题，③甲、乙两题都选，3种情况讨论，分别计算其情况数目，进而求和可得答案。
高三数学排列组合讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是以高三数学中的排列组合为主题，通过对排列组合基本概念、原理及解题策略的深入讲解，使学生掌握排列组合问题的解题方法和技巧。
具体包括以下几个方面：（1）排列组合的基本概念及其应用；（2）排列组合的计算公式及推导过程；（3）排列组合在实际问题中的应用和转化；（4）排列组合问题的解题策略和技巧。
2、教学对象本节课的教学对象为高三学生，他们在前两年的数学学习中，已经接触过一些排列组合的知识，具备一定的数学基础和逻辑思维能力。
然而，由于排列组合问题具有较强的抽象性和复杂性，学生在解决实际问题时仍存在一定的困难。
因此，本节课旨在帮助学生巩固和提升排列组合方面的知识与技能，为高考数学复习打下坚实基础。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握排列组合的基本概念，包括排列、组合的定义及其区别；（2）熟练运用排列组合的计算公式，如排列公式、组合公式、多重集合的排列组合等；（3）掌握排列组合问题的解题策略，如特殊元素优先法、捆绑法、插空法等；（4）能够将实际问题转化为排列组合问题，运用所学知识解决具体问题；（5）通过排列组合的学习，提高学生的逻辑思维能力和数学素养。
2、过程与方法（1）通过实例分析，让学生体会从具体问题中抽象出排列组合问题的过程，培养他们发现问题、分析问题的能力；（2）采用启发式教学方法，引导学生积极参与课堂讨论，培养他们主动探究、合作学习的习惯；（3）通过讲解、练习、讨论等多种教学方式，使学生掌握排列组合的计算方法和解题技巧；（4）注重培养学生的数学思维能力，让他们在解决排列组合问题的过程中，学会运用数学方法进行推理和论证；（5）鼓励学生多角度思考问题，培养他们的创新意识和发散性思维。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学、探究数学的情感；（2）通过解决排列组合问题，使学生体验到数学学习的成就感，增强自信心；（3）培养学生严谨、踏实的学术态度，让他们认识到数学学习需要勤奋和思考；（4）引导学生正确看待数学学习中的困难，培养他们面对挑战、克服困难的勇气和毅力；（5）通过小组合作学习，培养学生的团队协作精神，使他们学会尊重他人、倾听他人意见；（6）将数学学习与实际生活相结合，让学生认识到数学知识在实际生活中的重要价值，提高他们的数学应用意识。
高三数学排列知识点一、排列的定义与性质排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列的方式。
排列的元素个数称为排列的项数。
1.1 排列的定义在高三数学中，排列是指从n个不同元素中，取出m（1≤m≤n）个元素，按照一定的顺序进行排列的不同方式。
1.2 排列的计算a) 从n个不同元素中，取出m个元素进行排列，计算公式为Anm = n! / (n-m)!。
b) 当m=n时，全排列即Anm = n!。
c) 当m>n时，不存在排列。
二、排列的分类2.1 重复排列重复排列是指从n个不同元素中，允许重复取出m个元素进行排列的方式。
记为Anm。
2.2 不重复排列不重复排列是指从n个不同元素中，不允许重复取出m个元素进行排列的方式。
记为Cnm或Pnm。
三、排列的应用3.1 排列的计数原理在实际问题中，排列有很多应用，其中计数原理是排列常用的一个应用。
a) 乘法原理：如果一个事件可以分为k个步骤来完成，第i 个步骤有ni种方式完成，则整个事件有n1 * n2 * ... * nk种完成方式。
b) 加法原理：如果一个事件可以分为k个情况来完成，第i 个情况有ni种方式完成，则整个事件有n1 + n2 + ... + nk种完成方式。
3.2 难题解析a) 难题1：有n个不同的物品，求由这n个物品所组成的一切排列的个数。
b) 难题2：有n个不同的物品，从中选出m个物品，求由这m个物品所组成的一切排列的个数。
c) 难题3：有n个不同的物品，从中选出m个物品进行排列，其中某些物品有相同的，求由这m个物品所组成的一切排列的个数。
四、全排列4.1 全排列的定义全排列是指从n个不同元素中，取出n个元素按照一定的顺序进行排列的方式，每个元素只能使用一次。
4.2 全排列的计算全排列的计算公式为An = n!4.3 全排列的性质a) n个元素进行全排列，共有n!个不同的排列方式。
b) 每个元素出现在每个位置上的次数相同，都为(n-1)!c) 全排列的逆运算为全排列的倒序。
高三数学教案：排列
教学目标：
1. 了解排列的概念。
2. 学会计算排列的个数。
3. 掌握计算有重复元素的排列的个数。
教学重点：
1. 排列的概念和计算方法。
2. 有重复元素的排列的计算方法。
教学难点：
有重复元素的排列的计算方法。
教学准备：
教材、复习资料、白板、彩笔。
教学过程：
Step 1: 导入新知
教师介绍排列的概念，并给出一些实际生活中的例子来说明排列的应用场景。
例如，从一堆书中取出不同的几本书进行阅读的排列等。
Step 2: 计算没有重复元素的排列的个数
教师讲解如何计算没有重复元素的排列的个数。
引导学生观察问题，例如三张不同的扑克牌、四本不同的书籍等的排列，然后解释计算排列的方法。
Step 3: 计算有重复元素的排列的个数
教师给出有重复元素的排列的例子，例如由不同的字母组成的单词的排列。
引导学生
思考如何计算有重复元素的排列的个数，并提供解决方法。
Step 4: 练习
教师带领学生进行一些排列计算的练习。
可以分成两部分，一部分是没有重复元素的
排列，另一部分是有重复元素的排列。
Step 5: 总结和拓展
教师总结排列的概念和计算方法，并提醒学生注意在实际应用中正确使用排列的方法。
鼓励学生在生活中发现更多排列的应用场景，拓展他们的思维。
Step 6: 课堂小结
教师对本节课的内容进行小结，并布置相应的练习作业。
Step 7: 课后作业
要求学生完成教师布置的练习作业，并在下节课的开头进行相关讨论。
高中数学教案：排列与组合一、教学目标1. 理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容1. 排列的概念与计算方法2. 组合的概念与计算方法3. 排列与组合的应用4. permutation 和bination 的概念与计算公式5. 排列与组合在实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 重点：排列与组合的概念、计算方法及应用。
2. 难点：排列与组合的计算公式推导及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列与组合的规律。
2. 利用实例分析，让学生体会排列与组合在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识与团队精神。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的一些实例，引入排列与组合的概念。
2. 讲解排列与组合的定义及计算方法：讲解排列的概念、计算方法，引导学生理解排列的意义；讲解组合的概念、计算方法，让学生掌握组合的计算技巧。
3. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，加深对排列与组合的理解。
4. 应用拓展：分析一些实际问题，让学生运用排列与组合的知识解决实际问题。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思自己在学习过程中的收获与不足。
教案参考示例：一、教学目标1. 理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容1. 排列的概念与计算方法2. 组合的概念与计算方法3. 排列与组合的应用4. permutation 和bination 的概念与计算公式5. 排列与组合在实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 重点：排列与组合的概念、计算方法及应用。
2. 难点：排列与组合的计算公式推导及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列与组合的规律。
高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（九）复习内容：高中数学第十章-排列组合 复习范围：第十章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4 一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种） 二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n=.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmmn m n -=+--==⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②mn m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n n n n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n kn m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nCkC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .vi. 构造二项式. 如：n nn n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而mm A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A nn ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n m n m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某rx 2x 4个指定位置则有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有m n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
先C 后A策略，排列k k r k r n r r A C C --；组合r k r n r r C C --.ii. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内。
先C 后A策略，排列k k k r n A C -；组合k r n C -.iii 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r 个元素中的s 个元素。
先C 后A 策略，排列k k s k r n s r A C C --；组合s k r n s r C C --.II. 排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为r r A A /（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以k kA . 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/224448210=A C C C .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为44222224262819110/A A C C C C C C ⋅ ②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为m mA A ⋅ 例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210A C C C ⋅⋅⋅种. 若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有334538210A C C C ⋅种 ③均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmr r A A A ⋅/. 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210A A C C C ⋅④非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1m n C A =21m m -n C …km)m ...m (m -n 1-k 21C +++例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210=C C C 若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003729110=C C C .五、二项式定理.1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大；II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大. ③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求n c b a )(++展开式中含rq p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n rn C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为rr q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!.2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n n a C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。
