2019届高三文科数学一轮复习21：一元二次不等式的解法(解析版附后)

高考数学精品复习资料2019.5专题三十四 一元二次不等式及其解法【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【热点题型】题型一 一元二次不等式的解集 例1、不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2.－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)【提分秘籍】1．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先需将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．2．由二次函数图象与一元二次不等式的关系，可以得到两个常用的结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩⎨⎧ a >0Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧a <0Δ<0.【举一反三】已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【热点题型】题型二 一元二次不等式的解法 例2、 (1)不等式x －12x ＋1≥0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}【提分秘籍】 解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．【热点题型】题型三含参数的一元二次不等式的解法例3、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．提示：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．【举一反三】解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.【热点题型】题型四一元二次不等式的应用例4、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【提分秘籍】解不等式应用题，一般可按如下四步进行(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题． 【举一反三】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系，s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【高考风向标】1．（20xx·全国卷） 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}2．（20xx·安徽卷） 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k 时，求I 长度的最小值．3．（20xx·安徽卷） 函数y ＝ln1＋1x＋1－x 2的定义域为________．4．（20xx·重庆卷） 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．5．（20xx·重庆卷） 关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152【随堂巩固】1．不等式x －2x 2－1＜0的解集为( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |x ＜2且x ≠1}C ．{x |－1＜x ＜2且x ≠1}D ．{x |x ＜－1或1＜x ＜2}2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)3．不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x <－12D ．x ≤－12或x ≥34．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－35或a >1 B ．－35<a <1C ．－35<a ≤1或a ＝－1D ．－35<a ≤15．已知命题p ：存在x ∈R ，使得mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，均有x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≤－2B ．m ≥2C ．m ≥2或m ≤－2D ．－2≤m ≤26．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)>0的解集是[2,3]，则a＋b ＝()A．1 B．2C．4 D．87．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则不等式f(x－1)<|x|的解集为________．9．已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1,2]，且y∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．若关于x的不等式x2＋12x－⎝⎛⎭⎫12n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]恒成立，求实常数λ的取值范围．11．一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？12．已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)>3x.。

第二讲一元二次不等式及其解法知识梳理·双基自测知识梳理知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的_判别式__.(3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集．知识点二三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0 Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有_两相异__实根x1，x2(x1<x2)有_两相等__实根x1＝x2＝－b2a_没有__实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|_x>x2或x<x1__}{x|x∈R且_x≠x1__}_R__ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__重要结论1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．4．简单分式不等式的解法(1)f x g x>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0gx ≠0.5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a>1，a f(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；若0<a<1，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)．(2)若a>1，log a f(x)>log a g(x)⇔f(x)>g(x)>0； 若0<a<1，log a f(x)>log a g(x)⇔0<f(x)<g(x)．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集为(x 1，x 2)，则必有a>0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为R.( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ＝b 2－4ac≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集一定不是空集．( √ )题组二 走进教材2．(必修5P 26T2改编)不等式x(1－2x)>0的解集是( B ) A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 3．(必修5P 80A 组T4改编)已知集合A ＝{x|x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( B )A ．{x|－2<x<3}B ．{x|－2≤x≤3}C ．{x|x<－2}∪{x|x>3}D ．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}[解析] ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0， ∴x>3或x<－2，即A ＝{x|x>3或x<－2}． 在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x|－2≤x≤3}．故选B ．4．(必修5P 80A 组T2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是_⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞__.[解析] 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 走向高考5．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围是_⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23__.[解析] 3x 2＋x －2<0⇒(x ＋1)(3x －2)<0， ⇒(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23<0⇒－1<x<23，∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，23.考点突破·互动探究考点一 一元二次不等式的解法——多维探究角度1 不含参数的不等式例1 解下列不等式 (1)－2x 2＋x ＋3<0； (2)x 2－2x ＋2>0.[分析] (1)将二次项系数化为正数，变为2x 2－x －3>0，求方程2x 2－x －3＝0的根，若无根，则解集为R ，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集．[解析] (1)化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，∴(x ＋1)(2x －3)>0，即(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32>0，∴x>32或x<－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. (2)因为Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2>0的解集为R.名师点拨解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 角度2 含参数的不等式例2 解下列关于x 的不等式： (1)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)； (2)x 2－2ax ＋2≤0(a∈R)；[分析] (1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a 与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论1a与1的关系，故需分a<0，a ＝0,0<a<1，a ＝1，a>1五种情况求解；(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系； [解析] (1)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1. 若a ＜0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a 或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得1＜x ＜1a . 综上所述：当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1. (2)对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a ＝±2时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根， 当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}， 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；当Δ＞0，即a ＞2或a ＜－2时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1＜x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2－2≤x≤a＋a 2－2}．综上，当a ＞2或a ＜－2时，解集为{x|a －a 2－2≤x≤a＋a 2－2}；当a ＝2时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2＜a ＜2时，解集为∅.名师点拨含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x 1＝x 2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·北京市海淀区期末)不等式x 2＋2x －3<0的解集为( D ) A ．{x|x<－3或x>1} B ．{x|x<－1或x>3} C ．{x|－1<x<3}D ．{x|－3<x<1}(2)(角度2)解不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0(a ∈R)[解析] (1)由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x<1.故选D ． (2)由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a)(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a>1时，x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集为{x|1<x<a}， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集为∅， ③当a<1时，x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集为{x|a<x<1}. 考点二 三个二次间的关系——师生共研例 3 (1)(2021·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<－13，则不等式x 2－bx －a≥0的解集是( B ) A ．{x|2<x<3}B ．{x|x≤2或x≥3}C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13<x<12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤13或x ≥12(2)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235[分析] (1)利用根与系数的关系求解．(2)令f(x)＝x 2＋ax －2，Δ＝a 2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x 2＋ax －2≤0在区间[1,5]上恒成立的a 的取值集合，只需f(5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．[解析] (1)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x<－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x≤2或x≥3.故选B ． (2)令f(x)＝x 2＋ax －2，则Δ＝a 2＋8>0，∴方程f(x)＝0，有两个不等实根，又两根之积为负， ∴方程有一正根和一负根．解法一：不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，只要f(1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f 5>0.解得a≥1或－235<a<1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞，故选A ． 解法二：不等式x 2＋ax －2≤0在[1,5]上恒成立，只要f(5)≤0，即25＋5a －2≤0，解得a≤－235，∴不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解的a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.解法三：x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解⇔a>2x －x 在[1,5]上有解⇔a>f(x)min (记f(x)＝2x －x ，x ∈[1,5])，显然f(x)为减函数，∴f(x)min ＝f(5)＝－235，∴a>－235.[引申]若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是_(－∞，1)__.[解析] 由例3(2)的解析知，不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a<2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g(x)＝2x－x 在[1,5]上递减，g max (x)＝g(1)＝1，∴a<1.名师点拨已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．〔变式训练2〕(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52 B ．72 C ．154D ．152(2)(2021·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)[解析] (1)解法一：由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.又x 2－x 1＝15，∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.∵a>0，∴a ＝156＝52，故选A ．解法二：由x 2－2ax －8a 2＝(x ＋2a)(x －4a)<0，∵a>0，∴不等式的解集为(－2a,4a)．又不等式的解集为(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a.∴x 2－x 1＝4a －(－2a)＝6a ＝15，∴a ＝52，故选A ．(2)解法一：由函数f(x)＝x 2－4x －2－a 图象的对称轴为x ＝2.∴不等式x 2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A ．解法二：(分离参数法)不等式x 2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x 2－4x －2)max ，令g(x)＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选A ． 考点三 一元二次不等式恒成立问题——师生共研例4 已知f(x)＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f(x)<0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若对于|m|≤1，f(x)<0恒成立，求实数x 的取值范围．[分析] (1)二次项系数含有字母m ，应分m ＝0和m≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m 的一次不等式，根据一次函数的性质求解．[解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m 2＋4m<0⇒－4<m<0.所以m 的取值范围为(－4,0]．(2)要使f(x)<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m<6恒成立(x ∈[1,3])，又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以m<6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3)将不等式f(x)<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x)m －1<0. 令g(m)＝(x 2－x)m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎪⎨⎪⎧g－1<0，g 1<0即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0，解得1－52<x<1＋52，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.名师点拨一元二次不等式恒成立问题1．在R 上恒成立(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ＝b 2－4ac<0或≤0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c<0(或≤0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝b 2－4ac<0或≤0.2．在给定某区间上恒成立(1)当x ∈[m ，n]，f(x)＝ax 2＋bx ＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min ≥0即可； (2)当x ∈[m ，n]，f(x)＝ax 2＋bx ＋c≤0恒成立，只需f(x)max ≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．“不等式f(x)≥0有解(或解集不空)的参数m 的取值集合”是“f(x)<0恒成立的参数m 取值集合”的补集；“f(x)>0的解集为∅”即“f(x)≤0恒成立．”注意：ax 2＋bx ＋c>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c>0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝b 2－4ac<0；ax 2＋bx ＋c<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c<0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0Δ＝b 2－4ac<0.〔变式训练3〕(1)若不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合为( D ) A ．(－∞，3) B ．(－1,3) C ．[－1,3]D ．(－1,3](2)(2021·山西忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( A )A ．m≤－3B ．m≥－3C ．－3≤m<0D ．m≥－4(3)已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( B )A ．{x|1<x<3}B ．{x|x<1或x>3}C ．{x|1<x<2}D ．{x|x<1或x>2}[解析] (1)当a ＝3时，－4<0恒成立；当a≠3时，⎩⎪⎨⎪⎧a<3，Δ＝4a －32＋16a －3<0，解得－1<a<3.所以－1<a≤3.故选D ．(2)令f(x)＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x ＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A ．(3)记g(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g1>0，g －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x<1或x>3，故选B ．名师讲坛·素养提升 一元二次方程根的分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，记f(x)＝ax 2＋bx ＋c. (1)方程无根Δ＝b 2－4ac<0；(2)方程有两等根Δ＝b 2－4ac ＝0；(3)方程有两不等实根Δ＝b 2－4ac>0，记其根为x 1，x 2且x 1<x 2.①x 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac>0，x 1＋x 2＝－b a >0，x 1x 2＝c a >0.或x 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af 0>0，－b2a>0；②x 1<0<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac>0x 1x 2＝ca <0或x 1<0<x 2⇔af(0)<0； ③x 1<x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac>0，x 1＋x 2＝－b a<0，x 1x 2＝c a >0，或x 1<x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af 0>0，－b 2a<0. ④x 2>x 1>k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af k >0，－b 2a >k ，⑤x 1<k<x 2⇔af(k)<0；⑥x 1<x 2<k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af k >0，－b 2a <k.⑦m<x 1<n<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧af m >0，af n <0；x 1<m<x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧af m <0，afn >0；m<x 1<x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧af m >0，af n >0，m<－b 2a <n ，Δ>0.x 1<m<n<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧afm <0，af n <0.⑧m<x 1<n<x 2<p ⇔⎩⎪⎨⎪⎧fm ·f n <0，f n ·f p <0.例5 若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ＝0，分别满足下列条件时，求m 的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内； (2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内； (3)一根小于1，另一根大于2； (4)一根大于－1，另一根小于－1； (5)两根都在区间(－1,3)； (6)两根都大于0； (7)两根都小于1； (8)在(1,2)内有解．[解析] 设f(x)＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ，Δ＝4(m ＋1)2＋4m(m －1)＝8m 2＋4m ＋4＝4(2m 2＋m ＋1)>0.(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内应满足⎩⎪⎨⎪⎧f 1f 2<0f 0f －1<0即⎩⎪⎨⎪⎧m 2m ＋1<0－2m －3－m <0，解得－12<m<0.(2)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足f(－1)f(1)<0，即(2m ＋1)(－2m －3)<0，∴m>－12或m<－32，又∵m －1≠0，∴m≠1， ∴m 范围⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1∪(1，＋∞)．(3)一根小于1，另一根大于2，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1f 1<0m －1f 2<0即⎩⎪⎨⎪⎧m －12m ＋1<0m －1m<0解得：0<m<1.(4)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m －1)f(－1)<0，即(m －1)(－2m －3)<0， 解得：m>1或m<－32.(5)两根都在(－1,3)内，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－1<－m ＋1m －1<3m －1f －1>0m －1f 3>0，解得：－32<m<314.(6)两根都大于0，应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－m ＋1m －1>0m －1f0>0，解得：0<m<1.(7)两根都小于1，应满足：⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－m ＋1m －1<1m －1f 1>0，解得：m>1或m<－12.(8)在(1,2)内有解应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥01<－m ＋1m －1<2m －1f 1>0m －1f 2>0或f(1)f(2)≤0解得－12≤m≤0，经检验m ＝－12及m ＝0都不合题意舍去，∴－12<m<0.〔变式训练4〕(1)(2021·山东实验中学诊断)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是_(－2,1)__.(2)若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1,1)内，则k 的取值范围为_－4＋23≤k<－12__.[解析] (1)记f(x)＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由题意可知f(1)＝m 2＋m －2<0，解得－2<m<1.(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f －1>0，f 1>0.解得－4＋23≤k<－12.。

第32讲一元二次不等式及其解法考纲要求考情分析命题趋势三个二次之间的关系有两相等1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(√)(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R .( × )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集一定不是空集．( √ )解析 (1)正确．由不等式解集为(x 1，x 2)可知a ＞0. (2)正确．由不等式的解集可知命题正确． (3)错误．当a ＜0时，不等式的解集为∅.(4)错误．不等式恒成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ≤0.(5)正确．图象开口向下，则一定有小于0的部分．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －13－x ＞0，B ＝{ x |}y ＝4－2x ，则A ∩B ＝( D )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(1,2]解析 ∵x －13－x ＞0，∴(x －1)(x －3)＜0，∴1＜x ＜3.又∵4－2x ≥0，∴4≥2x ，∴x ≤2，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．故选D ．3．不等式x (2－x )＞0的解集为__(0,2)__.解析 ∵x (2－x )＞0，∴x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2，故解集为(0,2)．4．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝__－14__. 解析 由题意可知a ＜0，且－12和13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧－12＋13＝－b a，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.5．不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__(－∞，－4]∪[4，＋∞)__.解析 由题意可知Δ＝a 2－16≥0，解得a ≥4或a ≤－4.一 一元二次不等式的解法(1)解一元二次不等式的一般步骤①化为标准形式(二次项系数大于0)；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ<0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论①二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；②当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系；③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【例1】 解下列关于x 的不等式． (1)－2x 2＋x ＋3<0； (2)ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解析 (1)化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. (2)原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或 x ≤－1. ③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为{ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a 或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为{ x ⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为{ x ⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a . 二 一元二次不等式恒成立问题不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．【例2】 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求x 的取值范围．解析 (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有2个交点，但在x ∈ [－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2＜－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2＜－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a ＞4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2＞2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2＞2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a ＜－4，a ≥－7，∴－7≤a <－6.综上，得－7≤a ≤2，即a 的取值范围是[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3，当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6，故x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．三 一元二次不等式的实际应用求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读、理解、审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，并注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．【例3】 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解析 (1)根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10，故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元，即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．1．不等式||x 2－2＜2的解集是( D )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)解析 ∵||x 2－2＜2，∴－2＜x 2－2＜2，∴0＜x 2＜4，∴－2＜x ＜0或0＜x ＜2.故选D ．2．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{}x |2＜x ＜4，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为( D )A ．{ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12B ．{ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜14 C ．{ x ⎪⎪⎭⎬⎫14＜x ＜12 D ．{ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜14 解析 由已知得a ＜0且2,4为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，得－b a ＝2＋4 ①，c a ＝2×4 ②.①除以②，得－b c ＝34，由②得a c ＝18.∵a ＜0，∴c ＜0，∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0⇔x 2＋b c x ＋a c ＞0⇔x 2－34x ＋18＞0⇔⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x －14＞0，∴x ＞12或x ＜14.故选D ． 3．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( D )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．故选D ．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13 x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为__⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪[1，＋∞)__. 解析 由题意知m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14＋12＝14， ∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.易错点 分不清主元、次元错因分析：如果式子中含有两个或多个变量，解题时通常是以一个为主，再兼顾其他． 【例1】 (1)对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围．(2)对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解析 (1)当x ∈[－1,1]时，x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立⇔(x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0恒成立⇔(x －2)a ＞－(x －2)2恒成立．∵当－1≤x ≤1时，－3≤x －2≤－1，∴a ＜－(x －2)恒成立． ∵1≤－(x －2)≤3，∴a 的取值范围是(－∞，1)． (2)f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，依题意，在a ∈[－1,1]时，g (a )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4＞0，g (1)＝(x －2)×1＋x 2－4x ＋4＞0，解得x ＜1或x ＞3. ∴x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．【跟踪训练1】 设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件： ①对任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，且f (－1)＝－1.若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是( D )A ．[－2,2]B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)解析 由题设条件知f (x )是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1.f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即1≤t 2－2at＋1，即t 2－2at ≥0恒成立．设g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.故选D ．课时达标 第32讲[解密考纲]考查一元二次不等式的解法，常利用判别式讨论解集，常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．不等式2x ＋1<1的解集是( A )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)解析 ∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＜0，即1－x x ＋1＜0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)＞0，∴x ＜－1或x ＞1.故选A ．2．(2018·湖南株洲期中)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( B )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析 根据条件由x ⊙(x －2)<0，得(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1.故选B ． 3．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( C ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |0<x <1} C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，－1≤x ≤1，所以函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为{x |0＜x ≤1}．故选C ．4．(2018·辽宁庄河联考)不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A ．{ x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >12 B ．{ x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}， ∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12.故选A ．5．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( B ) A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (5)<f (－1)<f (2)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)解析 ∵ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，∴a ＜0，而且函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝4－22＝1，∴f (－1)＝f (3)．又∵函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数， ∴f (5)＜f (3)＜f (2)，即f (5)＜f (－1)＜f (2)．故选B ．6．若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是( C ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立， 则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ＝12.由a 2－a ≥12， 解得a ≤1－32或a ≥1＋32.二、填空题7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是__[10,30]__.解析 矩形的一边长为x ，则由相似三角形可得其邻边长为40－x ，故矩形面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ，由S ≥300，得－x 2＋40x ≥300，解得10≤x ≤30.8．若对任意实数p ∈[－1,1]，不等式px 2＋(p －3)x －3>0成立，则实数x 的取值范围为__(－3，－1)__.解析 不等式可变形为(x 2＋x )p －3x －3＞0，令f (p )＝(x 2＋x )p －3x －3，p ∈[－1,1]．原不等式成立等价于f (p )＞0，p ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3x －3＞0，x 2＋x －3x －3＞0，解得－3＜x ＜－1.9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是__(－4,0)__.解析 由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－a4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0.三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0， 即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧(－1)＋3＝a (6－a )3，(－1)×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.11．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )． 解析 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}．③当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2. 12．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3).(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解析 (1)因为f (x )＋2x ＞0的解集为(1,3)，f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a . ①由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0. ②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①， 得f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0. 故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。

高三数学一元二次不等式试题答案及解析1.已知，则“”是“成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解得其解集，解得，因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选.【考点】充要条件，一元二次不等式的解法.2.已知同时满足下列条件：①；②.则实数的取值范围 .【答案】【解析】①说明给定一个的值，中至少一个的值小于0.对，当时；当时.所以当时必有，从而.由得.由得.当时，的解为或，此时应有.当时，的解为或，此时应有，所以.时，此时，不满足②.当时，都满足②.故实数的取值范围是.【考点】函数与不等式.3. [2014·大连模拟]若关于x的不等式ax－b>0的解集为(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)>0的解集为________．【答案】(－1,2)【解析】由题意可得a＝b<0，故(ax＋b)(x－2)>0等价于(x＋1)(x－2)<0，解得－1<x<2，故所求不等式的解集为(－1,2)．4.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】由题意，当时，原不等式变为，其解集为，不满足题意.当时，令，其对称轴，要使对恒成立，需，解得；当时，令，其对称轴，要使对恒成立，需解得，综上，.【考点】1.一元二次含参不等式的求解；2.分类讨论思想的应用.5.不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.【答案】【解析】由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.6.已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．【答案】k>2或k<－2【解析】由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.7.已知不等式(2＋x)(3－x)≥0的解集为A，函数f(x)＝(k<0)的定义域为B.(1)求集合A；(2)若集合B中仅有一个元素，试求实数k的值；(3)若B A，试求实数k的取值范围．【答案】（1）A＝[－2，3]（2）k＝－4（3）－4≤k≤－【解析】(1)由(2＋x)(3－x)≥0，得(2＋x)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3，故A＝[－2，3]．(2)记g(x)＝kx2＋4x＋k＋3，则g(x)≥0在R上有且仅有一解，而k<0，所以Δ＝0.由k<0与16－4k(k＋3)＝0，解得k＝－4.(3)记g(x)＝kx2＋4x＋k＋3，首先g(x)≥0在R上有解，而k<0，所以Δ＝16－4k(k＋3)≥0,解之得－4≤k<0.①设g(x)＝0的两个根为x1，x2(x1<x2)，则B＝[x1，x2]．由BA，得即②由①与②，解得－4≤k≤－.8.不等式2x2-x-1>0的解集是()A．（-,1）B．(1,+∞)C．(-∞,1)∪(2,+∞)D．（-∞,-）∪(1,+∞)【答案】D【解析】由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,∴2x2-x-1>0的解集为(-∞,- )∪(1,+∞).故选D.9.“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．10.已知，若，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，等价于即若，则，解得．【考点】解不等式．11.已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于 .【答案】-3【解析】由x2－2x－3<0解得;由x2＋x－6<0解得，则，于是是方程的二根，即，所以.【考点】一元二次不等式的解法、集合的运算、根与系数的关系12.（本小题12分）已知全集U=R，非空集合＜，＜. （1）当时，求；（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）{x︱ }；（2）或【解析】（1）首先接触集合A，B，然后求出,最后计算即可；（2）若，则,可得，解之即可.试题解析：（1）A={x︱ },当时，B={x︱ },所以={x︱ }。