2019届高三数学一轮复习：第51讲双曲线

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。

课时达标 第51讲[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步．一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( D )A ．5x 2－45y 2＝1B ．x 25－y 24＝1C ．y 25－x 24＝1D ．5x 2－54y 2＝1解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为 F (1,0)，∴c ＝1，∴e ＝c a ＝1a ＝5，得a 2＝15，b 2＝c 2－a 2＝45，则双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，故选D ．2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A ．63B ．2C ．63或2 D ．22或 3 解析 根据条件可知m 2＝9，∴m ＝±3.当m ＝3时，e ＝c a ＝63；当m ＝－3 时，e ＝2，故选C ．3．双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线与圆x 2＋(y ＋a )2＝1相切，则正实数a ＝( C )A ．174 B ．17 C ．52D ． 5解析 ∵双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，圆心为(0，－a )，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得|2a |5＝1，解得a ＝52.4．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( D )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5，双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选D ．5．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )A ．x 24－y 24＝1B ．x 28－y 28＝1C ．x 24－y 28＝1D ．x 28－y 24＝1解析 由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y ＝±x ，由P (0,4)知左焦点F 的坐标为(－4,0)，所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故选B ．6．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0解析 由已知得1－⎝⎛⎭⎫b a 2·1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，解得b a ＝12，故选A ． 二、填空题7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，C 的一个焦点到直线l 的距离为1，则C 的方程为__x 2－y 23＝1__.解析 ∵双曲线的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直， ∴双曲线的渐近线的斜率为3，即ba＝ 3.①由题意知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得|c |2＝1，∴c ＝2，即a 2＋b 2＝4.② 联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3 ，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.8．若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是__(1,2]__．解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝c 2a 2＝1＋b 2≤4，所以1<e ≤2.9．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±2x __.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上． 解析 (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3， 又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23， 0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝ (－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上．11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析 (1)由题意知a ＝23，焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离bcb 2＋a 2＝3，即b ＝3， ∴双曲线方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解析 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1. 故双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)， 由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。

2021年高考数学一轮精选练习：51《双曲线》一、选择题1.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2=3m(m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线距离为( )A. 3B.3C.3mD.3m2.设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216=1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2=9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，且与椭圆x 212＋y23=1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210=1 B.x 24－y 25=1 C.x 25－y 24=1 D.x 24－y 23=1 4.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2=16，则双曲线实轴长是( ) A.32 B.16 C.84 D.45.已知双曲线x 2－y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A.3B.2C.－3D.－26.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2=0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1,2) D.(2，＋∞)7.焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( )A.1B.62C. 3D.28.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|=2a ，∠F 1AF 2=2π3，则S△AF 1F 2S△ABF2=( ) A.1 B.12 C.13 D.23二、填空题9.已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y24－m=1，它的焦点到渐近线的距离取值范围是 .10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p>0)交于A ，B 两点.若|AF|＋|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 .11.已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b2=1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|=2且∠F 1AF 2=45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等 .12.已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO(O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P|=|F 1Q|，∠F 1PF 2=23π，则双曲线C 的离心率为 .13.已知双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 .三、解答题14.已知双曲线C ：x 2－y 2=1及直线l ：y=kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值.15.已知双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.16.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y=kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.答案解析1.答案为：A ；解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23=1，其中a 2=3m ，b 2=3，故c=a 2＋b 2=3m ＋3，不妨取F(3m ＋3，0)，一条渐近线为y=1mx ，化成一般式即为x －my=0， 由点到直线的距离公式可得d=|3·m ＋1|1＋－m2=3，故选A.2.答案为：D ；解析：连接PF 2，OT ，则有|MO|=12|PF 2|=12(|PF 1|－2a)=12(|PF 1|－6)=12|PF 1|－3，|MT|=12·|PF 1|－|F 1T|=12|PF 1|－c 2－32=12|PF 1|－4， 于是有|MO|－|MT|=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4=1，故选D.3.答案为：B ；解析：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25=k(k ＞0)，即x 24k －y25k=1，∵双曲线与椭圆x 212＋y23=1有公共焦点，∴4k ＋5k=12－3，解得k=1，故双曲线C 的方程为x 24－y25=1，故选B.4.答案为：B ；解析：由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y=bax 上，由题意可知|F 2M|=bc a 2＋b2=b ，所以|OM|=c 2－b 2=a. 由S △OMF 2=16，可得12ab=16，即ab=32，又a 2＋b 2=c 2，c a =52，所以a=8，b=4，c=45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5.答案为：B ；解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=|PF 1||PF 2|=e=2，∴|PF 1|=2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|=2，∴|PF 1|=4，|PF 2|=2. 又|F 1F 2|=4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|=4＋16－162×2×4=14，∴F 2P →·F 2F 1→=|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1=2×4×14=2.故选B.6.答案为：A ；解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±bax ，即bx ±ay=0，圆C 2：x 2＋y2－2ax ＋34a 2=0可化为(x －a)2＋y 2=14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r=12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab|a 2＋b 2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2，又知b 2=c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)，即c 2＜43a 2，所以e=c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7.答案为：C ；解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21=1，C 2：y 2a 22－x2b 22=1，由题设b 1a 1=a 2b 2，则e 1=1＋b 21a 21，e 2=1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)=1， 即e 21e 22=e 21＋e 22，故e 22=e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22=e 21＋4e 21e 21－1=5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1=4e 21－1时取等号)，e 21－1=2⇒e 1=3时取等号.8.答案为：B ；解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|=2a.又|AF 1|=2a ，所以|AF 2|=4a ，因为∠F 1AF 2=23π，所以S △AF 1F 2=12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2=12×2a ×4a ×32=23a 2.设|BF 2|=m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|=2a ，所以|BF 1|=2a ＋|BF 2|， 又知|BF 1|=2a ＋|BA|，所以|BA|=|BF 2|.又知∠BAF 2=π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2=34|AB|2=34×(4a)2=43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF2=23a 243a 2=12，故选B.一、填空题9.答案为：(0,2)；解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay=0的距离为|bc|b 2＋a2=b.本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m =1即x 28－m －y2m －4=1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，则焦点到渐近线的距离d=m －4∈(0,2).10.答案为：y=±22x ； 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).因为4|OF|=|AF|＋|BF|，所以4×p 2=y 1＋p 2＋y 2＋p2，即y 1＋y 2=p.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y2b2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2=0，所以y 1＋y 2=2pb2a2.②由①②可得b a =22，故双曲线的渐近线方程为y=±22x.11.答案为：4；解析：由题意知a=1，如图，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|=2a=2，|BF 1|－|BF 2|=2a=2， ∴|AF 1|=2＋|AF 2|=4，|BF 1|=2＋|BF 2|. 由题意知|AB|=|AF 2|＋|BF 2|=2＋|BF 2|， ∴|BA|=|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2=45°，∴∠ABF 1=90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形.∴|BA|=|BF 1|=22|AF 1|=22×4=2 2.∴S △F 1AB=12|BA|·|BF 1|=12×22×22=4.12.答案为：576； 解析：设|PF 1|=x ，则|PF 2|=x －2a ，作Q 关于原点对称的点S ，如图，连接PS ，RS ，SF 1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|=|OR|，S 在双曲线上， 所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S|=|QF 1|=x ，则∠F 1PS=2π3，根据双曲线的定义，有|F 1S|=x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a)2=x 2＋(2x －2a)2－2·x(2x －2a)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得x=73a ，所以|PF 2|=13a ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e=c a =576.13.答案为：53；解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|=2a.又|PF 1|=4|PF 2|，∴|PF 1|=83a ，|PF 2|=23a.当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|=649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a =178－98e 2，即e 2=179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53.当P ，F 1，F 2三点共线时， ∵|PF 1|=4|PF 2|，∴e=c a =53，综上，e 的最大值为53.二、解答题14.解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2=0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1. 即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2).(2)设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2=0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时，S △OAB =S △OAD －S △OBD =12(|x 1|－|x 2|)=12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时，S △OAB =S △ODA ＋S △OBD =12(|x 1|＋|x 2|)=12|x 1－x 2|.所以S △OAB =12|x 1－x 2|=2，所以(x 1－x 2)2=(x 1＋x 2)2－4x 1x 2=(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2=8，解得k=0或k=±62. 又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1，所以当k=0或k=±62时，△AOB 的面积为 2.15.解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±bax ，∴a=b ，∴c 2=a 2＋b 2=2a 2=4，∴a 2=b 2=2，∴双曲线方程为x 22－y22=1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)=－1，∴x 0=3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2=c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20=c 2，即y 0=12c ，∴x 0=32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2=1，即34b 2c 2－14a 2c 2=a 2b 2，②又∵a 2＋b 2=c 2，∴将b 2=c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4=0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4=0，∴(3e 2－2)(e 2－2)=0， ∵e ＞1，∴e=2，∴双曲线的离心率为 2.16.解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0).由已知得a=3，c=2，再由a 2＋b 2=c 2，得b 2=1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2=1.(2)设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，将y=kx ＋2代入x 23－y 2=1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9=0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A＋x B＝62k1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1. 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B =62k1－3k2，所以y A ＋y B =(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)=k(x A ＋x B )＋22=221－3k 2.所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为y=－1k x ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m=421－3k 2.因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0.所以m ＜－2 2. 所以m 的取值范围为(－∞，－22).。

高三数学第一轮复习：双曲线苏教版（文）【本讲教育信息】一、教学内容：双曲线高考要求：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

二、知识要点1、双曲线的两种定义（1）平面内与两定点F 1，F 2的 常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ． ②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．（2）平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为1d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF 2211==2、双曲线的标准方程（1）标准方程：1b y a x 2222=-，焦点在 轴上；1bx a y 2222=-，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．（2）双曲线的标准方程的统一形式：)0nm (1ny mx 22<=+3、双曲线的几何性质（对0b ,0a ,1by a x 2222>>=-进行讨论）（1）范围：∈x ，∈y ．（2）对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．（3）顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．（4）离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．（5）焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若)y ,x (P 00是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若)y ,x (P 00是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ．（6）具有相同渐近线x ab y ±=的双曲线系方程为（7） 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．（8）1by a x 2222=-的共轭双曲线方程为 ．【典型例题】例1、根据下列条件，写出双曲线的标准方程 （1）中心在原点，一个顶点是（0，6），且离心率是1.5． （2）与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M （2，－2）．（3）已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点（2，－6），求双曲线的方程；（4）已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F （10，0），离心率为e ＝2，求双曲线的方程．解：（1）∵顶点为（0，6），设所求双曲线方程为1bx a y 2222=- ∴6=a又∵5.1=e ∴95.1b e a c =⨯=⨯=故所求的双曲线方程为145x 36y 22=-（2）令与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线为x 2－2y 2＝k ∵ 双曲线过M （2，－2） ∴ 4－2×4＝k 得k ＝－4∴ x 2－2y 2＝－4即14x 2y 22=-（3）设2222,3,1492712x y y x λλ-=∴=-∴-=（42223(2)16x y =∴-+=例2、ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4BC =，且A sin 21B sinC sin =-，求顶点A 的轨迹方程．答案：221(0)3y x x -=>例3、可以证明函数x bax y +=（b ≠0）的图象是双曲线，试问双曲线C ：x 33x y +=的离心率e 等于 ．答案：332（提示：22x 3)3x )(3x (x 331y -+=-='）解：列表如下：x )3,(--∞3-)0,3(- 0 )3,0(3),3(∞+y ´ ＋ 0 － － 0 ＋ y极大 值－2无意义极小值2根据上表，可作出x 33x y +=的草图如下：渐近线有两条，一条为y 轴，另一条可设为y ＝kx ．由渐近线的意义知：设P （x ，y ）为双曲线x 33x y +=上任一点，则点P 到渐近线y ＝kx 的距离为 d ＝1k x33x kx 2++-＝1k x3x )31k (2++-显然：01k x3x )31k (limd lim 2x x =+--=∞→∞→∴3331k ==即33a b = 故双曲线的离心率332311)a b (1a b a ace 2222=+=+=+==.例4、直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：（1）将y ＝kx ＋1代入2x 2－y 2＝1后并整理得：（k 2－2）x 2＋2kx ＋2＝0 ①依题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-02k 202k k 20)2k (8)k 2(02k 22222⇒－2＜k ＜－2（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由①得：x 1＋x 2＝2k2k2-，x 1x 2＝2k 22- ② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0），则FA ⊥FB ，因此⋅＝0即（x 1－c ）（x 2－c ）＋y 1y 2＝0 又y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1 ∴（k 2＋1）x 1x 2＋（k －c ）（x 1＋x 2）＋c 2＋1＝0 ③把②及c ＝26代入③得：5k 2＋62k －6＝0解得：k ＝－566+∈（－2，－2） 或k ＝566-∉（－2，－2）（舍去）因此当k ＝－566+时，符合题给要求．例5、在双曲线112y 13x 22-=-的一支上有不同的三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3）与焦点F （0，5）的距离成等差数列．（1）求y 1＋y 3；（2）求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．解：（1）依题意，A 、B 、C 均在双曲线的上支，则|AF|＝ey 1－32， |BF|＝6e －32， |CF|＝ey 3－32∵|AF|，|BF|，|CF|成AP∴6e －32＝232ey 32ey 31-+- 即y 1＋y 3＝12（2）∵A 、C 在双曲线上∴113x 12y 2121=-，113x 12y 2323=-两式相减得：13x x )y y (13)x x (12x x y y 3131313131+=++=-- 于是AC 的垂直平分线方程为： y －6＝－)2x x x (x x 133131+-+ 即y ＝－31x x 13+x ＋225故直线恒过定点（0，225）例6、一双曲线以y 轴为其右准线，它的右支过点M （1，2）， 且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列试求：（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的右焦点F 的轨迹方程；（3）过点M ，F 的弦的另一端点Q 的轨迹方程 解：（1）依题意，2a=b+c ， ∴b 2=（2a －c ）2 = c 2－a 2， 5a 2－4ac=0，两边同除以a 2，得54e =； （2）设双曲线的右焦点F （x ，y ）， 由双曲线的定义，点M 到右焦点的距离与点M 到准线的距离之比为e=45， ∴1)2y ()1x (22--+-=45， ∴F 的轨迹方程为（x －1）2+（y －2）2=1625 （3）设Q （x ，y ）， 点Q 到右焦点的距离与点Q 到准线的距离之比为5/4，∴|QF|=4x5，又设点F （x 1，y 1）， 则点F 分线段QA 的比为FM QF =4x 5：45= x ，∴x 1=x 11x x +⨯+=x 1x 2+ ， y 1=x12x y +⨯+=x 1y x 2++ ，代入（x 1－1）2+（y 1－2）2=1625整理得：点Q 的轨迹方程为 9x 2－16y 2+82x+64y －55=0例7、若1F 、2F 为双曲线)0b ,0a (1by ax 2222>>=-的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支，M 在右准线上，且满足OF 2=，)0|OM |(11>=λλ（1）求双曲线离心率；（2）若双曲线过点N （2，3），它的虚轴端点为1B ，2B （1B 在y 轴正半轴上）过2B 作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，当A B 1⊥B B 1时，求直线l 的方程。

考点51 双曲线1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，所以2p c =,由224y px cx ==，22221x y a b-=得2222222()4()0c a x a cx a c a ----=解得12()(),a c a a c a x x c a c a +--==-+，所以(),A a c a x c a+=- 不妨设c,0F（）,则222343()()A A AF A A A A y y k cx x c x c x c ==⇒=⇒=---, 因此222222()()43()4()3(2)a c a a c a cc ca c a a ac c c a c a++=-∴-=+---，2224324(1)3(12),31661630e e e e e e e e ∴-=+--+++=，222(341)(43)013e e e e e e +∴----=>∴=或2e =， 因为点A 在x 轴上方，所以2()20,112A a c a x c e e e e c a+=>∴+-<>∴<<-因此23e +=，选B. 2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线22:14y x C m -=(0)m >的0y ±=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C D ．2【答案】B 【解析】已知双曲线C y 0±=，且0m >=，得12m =.4c ==，所以双曲线C 的离心率为c e a ===故选：B3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C D【答案】B 【解析】解：由双曲线的定义得：|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，（不妨设该点在右支上） 又|PF 1|+|PF 2|＝3b ，所以()()1211233222PF a b PF b a =+=-，，两式相乘得()22199444b a ab -=．结合c 2＝a 2+b 2得53c a =． 故e 53=． 故选：B ．5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C 【解析】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C 【解析】连接12,BF AF ,由双曲线的定义可得:212AF AF a -=, 122BF BF a -=,由112BF AF c ==,可得2222,22AF a c BF c a =+=-,在12AF F ∆中,可得()2222212244222cos 2?2?22c c a c c ac a AF F c cc +-+--∠==,在12BF F ∆中,可得()()222214224cos 2?2?222c c a c c aBF F c c a c+---∠==-,由12//F A F B ，可得2112BF F AF F π∠+∠=,即有2112cos cos 0BF F AF F ∠+∠=,可得22222c ac a c --+02c ac -=,化为22230c ac a --=,得22310e e --=,解得e =34+ ,负值舍去,故选C. 7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．3y x =± B ．y = C ．7y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】22243c b c =⇒=，即223bb a a=⇒=B 。

第51讲双曲线考试说明 1 .认识圆锥曲线的实质背景, 认识圆锥曲线在刻画现实世界和解决实质问题中的作用.2.认识双曲线的定义、几何图形和标准方程, 知道它的简单几何性质.3 认识圆锥曲线的简单应用..4.理解数形联合的思想.考情剖析考点考察方向考例考察热度双曲线的2016 全国卷Ⅰ5定义及标定义应用2017 全国卷Ⅲ5 ★★☆准方程2017 全国卷Ⅱ9,2016 全国双曲线的卷Ⅱ11,2015 全国卷Ⅱ11,求渐近线与离心率★★★几何性质2014 全国卷Ⅰ4,2013 全国卷Ⅰ4直线与双曲线的位弦长问题★★☆置关系真题再现■[2017 - 2013] 课标全国真题再现1. [ 2017 ·全国卷Ⅱ]若双曲线C:- =1( a>0, b>0)的一条渐近线被圆( x- 2) 2+y2=4 所截得的弦长为2, 则C 的离心率为()A.2B.C.D.[ 分析 ] A设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d== . 依据已知得12+=4,即=3,因此 b2= c2,因此 e= ===2.2. [ 2017 ·全国卷Ⅲ] 已知双曲线C: -=1( a>0, b>0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆+ =1有公共焦点,则C的方程为( )A.- =1B. -=1C.- =1D. -=1[ 分析 ] B∵ 双曲线的一条渐近线方程为y= x,∴ =①.又∵椭圆+ =1与双曲线有公共焦点, ∴c=3, 则a2+b2=c2=9②.由①②解得 a=2, b=, 故双曲线C的方程为-=1.3 [ 2016 ·全国卷Ⅰ] 已知方程 1 表示双曲线 , 且该双曲线两焦点间的距离为4, 则n的取值范围. -= 是()A. (-1,3)B. (-1,)C. (0,3) D .(0,)[分析]A 若已知方程表示双曲线2 2 2 2 2 2因此 - 1<n<3. , 则 ( m+n) ·(3 m-n ) >0, 解得 -m <n<3m. 又4 =4m,因此 m=1,4. [ 2015 ·全国卷Ⅰ] 已知 M( x , y )是双曲线C: 2 上的一点 , F,F是C的两个焦点.若·<0,则-y =10 0 1 2y0的取值范围是( )A.B.C.D.[分析]A 由题意不如取1(- ,0), 2( ,0), 因此(-x0,-y0), (-x0,-y0),因此F F = - =·= + - 3 0 又点在曲线C上, 因此有1, 即 2 2 , 代入上式得<, 因此0 , 故< . M - = = + - <y <选 A.5. [ 2014 ·全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C: x2-my2=3m( m>0)的一个焦点,则点 F 到 C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.mD. 3m[ 分析 ] A双曲线的一条渐近线的方程为x+ y=0. 依据双曲线方程得a2=3m, b2=3,因此 c=, 双曲线的右焦点坐标为(,0) .故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为=.6. [ 2013 ·全国卷Ⅰ]已知双曲线C:- =1( a>0, b>0)的离心率为, 则C的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x[ 分析 ] C离心率=, 因此=== . 由双曲线方程知焦点在x 轴上,故渐近线方程为y=± x. ■[2017 - 2016] 其余省份近似高考真题1. [ 2017 ·天津卷 ] 已知双曲线- =1( a>0, b>0) 的左焦点为 F , 离心率为. 若经过 F 和 P (0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线, 则双曲线的方程为()A . - =1B . - =1C .- =1D .-=1[分析] B由离心率为知该双曲线为等轴双曲线, 渐近线方程为y=±x. 又 ∵过F 和P (0,4)的直线与双曲线的渐近线平行, ∴c=4, a=b=2. 应选B .2. [ 2017 ·山东卷 ] 在平面直角坐标系 xOy 中 , 双曲线 - =1( a>0, b>0) 的右支与焦点为 F 的抛物线22 ( 0)交于 , B 两点 . 若 |AF|+|BF|= 4 |OF| , 则该双曲线的渐近线方程为.x = py p> A[ 答案 ] y=± x[分析] 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2则设交点 A ( x , y ), B ( x , y ), 则 |AF|+|BF|= +y + +y =p+y +y . 由 得 a y - 2pb y+a b =0,12, 因此由|AF|+|BF|= 4|OF| 得 p+ 2 ,解得 = , 即 = , 因此渐近线方程为y=± x.y +y == p 3. [ 2017 ·北京卷 ] 若双曲线 x 2- =1 的离心率为 , 则实数 m=.[答案]2[ 分析 ] 因为 a=1, b= , 因此 c= , 因此 e= = = , 解得 m=2.【课前双基稳固】知识聚焦1. 距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a<|F 1F 2| 2a=|F 1F 2|2a>|F 1F 2|3 ≥ a 或 x ≤ -a y ≤ -a 或 y ≥a ( -a ,0) ( a ,0)(0,-a ) (0, a ) ± x ± x(1, +∞ )222 2b.xa +b a 对点操练1. 14 [ 分析]由双曲线的定义知 |PF |-|PF |= ± 2a , 因此 |PF |-|PF |= ±10, 因此 |PF |= 14.2121221 [分析] 设所求双曲线的方程为2 21,将 , 点的坐标代入方程 , 得 解得. - =ax +by = P Q因此所求双曲线的方程为 - =1.3. y=± 2x [ 分析 ] 因为 12x 2- 3y 2=24, 因此 - =1, 因此 a= , b=2 , c= , 因此 e= =, 渐近线方程为 y=± x=±2x.5. 两条射线[分析]由已知得 |F F |= 12, 而 |PF |-|PF 2|= ±12, 故所求点的轨迹是两条射线 .1216 双曲线1 的下支 [分析 ] 由1 |-|PF 2|= 6128,得 3, 又 4, 则2227,∴ 所求点的轨迹.- =|PF <|F F |= a= c= b =c -a =是双曲线- =1的下支.7. 2 或[ 分析 ] 若双曲线的焦点在 x 轴上 , 设双曲线的方程为 - =1, 则渐近线的方程为 y=± x , 由题意可得 b=a , 可得 c=2a , 则 e= =2; 若双曲线的焦点在 y 轴上 , 设双曲线的方程为 - =1, 则渐近线的方程为y=± x , 由题意可得 a= b , 可得 c= a , 则 e= . 综上可得 e=2 或 e=.8. 17 [ 分析 ] 由题设知 a=4, b=9, c== , 因为 |PF 1|= 9<a+c=2+ , 故 P 点只好在左支上 , ∴|PF 2|-|PF 1|= 2a=8, ∴|PF 2|=|PF 1|+ 8=17.【讲堂考点研究】例 1 [ 思路点拨 ] (1)由双曲线的定义求得, 即可求得△PF1F2的周长 ;(2) 第一设出点A( x0, y0),而后利用条件成立方程组求得x0, y0,代入查验选项中的方程即可.(1)D (2)C [分析](1) 由双曲线的方程可知a=3, b= ,因此 c=4,则=- 2a=2, =2c=8,据此可知△ PFF 的周长为8+2+8=18,应选D.1 2(2) 由题意设A( x0, y0),则=2, 即c=2 , 联合=,=4,可得解得或代入各选项查验, 可得双曲线C的方程为- =1,应选C.变式题(1)D (2)B [ 分析](1) 依据双曲线的定义可知点M到两焦点的距离的差的绝对值为2a, 即||MF 1|-|MF 2||= 2a=10,又|MF1|= 18,因此 |MF2|= 8或28,应选D.(2)由题意 , 得直线l是线段F1Q的中垂线 , 则 2a=|PF1|-|PF2|=|PQ|-|PF2|=|F2Q|=2, 即a=1, 又因为该双曲线的离心率为=, 因此c=, b2=2, 因此双曲线的方程为x2-=1,应选B.例 2 的斜率[ 思路点拨 ]由双曲线的离心率得出, 从而获得渐近线的方程.a, c 的关系,再利用a2+b2=c2,可得出a, b 的关系, 即可求得渐近线B [ 分析 ]双曲线- =1( a>0, b>0)的离心率为, 即=. 又 = ===, 因此= ,得 =, 则其渐近线方程为 y=± x,应选B.例 3 [ 思路点拨 ] 由双曲线的渐近线方程得出2 2 2a, b 的关系,再利用 a +b =c ,可得 a, c 的关系,从而求得双曲线的离心率 .C [ 分析 ]依题意得=, 故e== ,应选C.例 4 [ 思路点拨] 已知离心率的取值范围, 利用a2+b2=c2,可求的取值范围, 从而求得此中一条渐近线与实轴夹角的取值范围, 从而获得渐近线的夹角的取值范围.D [ 分析 ] 由题意 , 得 e 2= =1+ ∈ [2,4], ∴ ∈ [1,3], 设双曲线的渐近线与 x 轴的夹角为 θ , 双曲线的渐近线方程为 y=± x , 则 θ ∈ ,, 可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为 ,,应选 D .例 5 [ 思路点拨 ] 先依据双曲线渐近线的斜率, 设出非渐近线直线的方程 , 与另一条渐近线联立 , 可求得点1222 2a , c 的不M 的坐标 , 而后依据∠ F MF 为锐角及圆的性质成立对于a ,b ,c 的不等式 , 联合 c =a +b 转变为对于等式 , 从而求得离心率的取值范围 .A [ 分析 ] 双曲线- =1 的渐近线方程为 y=± x , 不如设过点 F 2 且与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为 y= ( x-c ), 与 y=- x 联立 , 可得交点 M , - . 若∠ F 1MF 2 为锐角 , 则点 M 在以线段 F 1F 2 为直径的圆外,∴>2 2 2 2 2 2∴双曲线离( O 为坐标原点 ), 即 + >c , ∴ >3, 即 b >3a , ∴c -a >3a , 即 c>2a , 则 e= >2, 心率的取值范围是 (2, +∞),应选A.加强操练1 A [分析] 因为双曲线的离心率为 , 因此= , 即 3, 因此 = , 因此双曲线的渐近线方程为.=y=± x , 应选 A .2 D [分析] 因为双曲线的渐近线方程为y=± x , 因此 = , 因此双曲线的离心率.e= ==== , 应选 D .3. C [ 分析 ] 由题意可得双曲线的渐近线方程为 y=±bx , 则 b=tan = , 因此 e= = = =2, 应选 C .22222 2y=± x=± x , ∴渐近线与 x 轴的4. C [ 分析 ] ∵e = = = , ∴3a +3b =4a , ∴3b =a , ∴渐近线的方程为夹角为 , 故两条渐近线的夹角为 , 应选 C .5. B [ 分析 ] 将 x=c 代入 - =1, 得 y=± , 不如取 A c , , B c , - , 则 |AB|= , 将 x=c 代入 y=± x ,得y=± , 不如取 C c ,, , - , 则= . ∵≥, ∴ ≥ ×, 即 ≥ , 则 2≥c 2, 即D cb cbc 2 -a 2≥ c 2, 即 c 2≥ a 2, 则 e 2≥ , 则 e ≥ , 应选 B .例 6 [思路点拨 ](1)利用条件中的离心率与虚轴长及关系式c 2=a 2+b 2 可得出 a , b 的值 , 从而求得双曲线的 标准方程 ;(2) 第一由条件确立出 · =0, 而后转变为对于A ,B 两点坐标间的关系 , 而后将直线方程代入双曲线方程化为二次方程, 并联合韦达定理确立出参数 , 间关系 , 从而可求得直线过定点坐标.k m解 :(1) 设双曲线的标准方程为 - =1( a>0, b>0) .由已知得 = ,2 b=2, 又 a 2+b 2 =c 2, ∴a=2, b=1, ∴双曲线的标准方程为-y 2=1.(2) 证明 :设 (1,y 1), ( 2, y 2), 联立得 (1 - 4 2)284( 2 1) 0,A xB xk x - mkx- m+ =∴ 2 2 2 2>0, x 1+x 2= , x 1x 2=,=64mk +16(1 - 4k )( m+1)∴y y22.=( kx +m )( kx +m ) =k x x +mk ( x +x ) +m=1 212 1 212∵以线段 AB 为直径的圆过双曲线C 的左极点D ( - 2,0),∴k AD ·k BD =- 1, 即· =- 1,∴y y +x x + x +x+ = 即+++ =1 2 1 2 2(1 ) 40,4 0,23 2 16 20 2 0,解得 2 或m= .∴ m-mk+ k = m= k当 m=2k 时, l的方程为y=k(x+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾;当 m=时,l的方程为y=k x+, 直线过定点-,0 , 经查验切合已知条件.故直线 l 过定点-,0.【备选原因】例 1 考察求双曲线的标准方程 , 难度略有加大 ; 例 2 考察“焦点三角形” ; 例 3 考察“点差法”的使用 .1 [ 配合例 1 使用 ] [ 2017·武汉三模] 已知O为坐标原点, 双曲线C: -=1( b>a>0)上有一点P( , m)( m>0), 点 P在x 轴上的射影恰巧是双曲线C的右焦点, 过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A, B,若平行四边形PAOB的面积为1, 则双曲线的标准方程是( ) A.x2-=1B. -=1C.x2-=1D. -=1[分析] A 由题意知c= . 设过P且平行于渐近线0 的直线为l,l与渐近线bx-ay=0 交于点, 则直bx+ay= A线l 的方程为y-m=-(x-), 与y= x联立,解得A, 则= ·, 又点P到直线y= x的x =距离 d= , ∴··=1,化简得=1,又 -2 2 2 2 2=1,∴5b -a m=a b ,∴ab=2. 又c=, ∴a=1, b=2, ∴双曲线的标准方程是x2- =1,应选A.2 [ 配合例 1 使用 ] [ 2017·宁德质检] 已知M为双曲线C: -=1( a>0, b>0)右支上一点, A, F分别为双曲线C的左极点和右焦点, |MF|=|AF| , 若∠MFA=60°, 则双曲线C的离心率为( )A. 2B.3C. 4D.62019届高考理科数学一轮复习精选教案：第51讲双曲线(含分析)11 / 11[ 分析 ] C设双曲线的左焦点为F' , 由题意可知 , △ MAF 为等边三角形 , 因此= =a+c , 因此由双曲线的定义, 得=+2a=3a+c. 在△ MFF'中 , 由余弦定理得cos ∠ MFF'==, 化简得c 2 - 3ac- 4a 2=0,得 e 2- 3e- 4=0, 解得e=4 或e=-1( 舍 ),即双曲线的离心率为4, 应选C .3 [ 配合例 6 使用 ] [ 2017·大理模拟 ] 已知双曲线 y 2- =1 与可是原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 相 交于 , 两点,线段的中点为 , 设直线 l 的斜率为 k 1, 直线的斜率为k 2,则1 2= ()M N MN P OP k kA .B .-C .2D .- 2[分析]A设 (1,y 1),( 2,y 2),( 0, 0), 则 1, 1, 两式相减可得 (1-y 2)(12)=, 所M x N x P x y - = - =y y +y以直线 l 的斜率 k 1= == , 又直线 OP 的斜率 k 2= , 因此 k 1k 2= ·= , 应选 A .。