《弹性力学与有限元》第8章结构动力分析

(8.8)
这里 A 是杆的横截面积，杆的单元长度设为 1。 8.2.1.2 梁单元 梁单元的形函数矩阵为 N = [ N1
N2 N3 N 4 ] ，其中
x x x N1 = 1 − 3( ) 2 + 2( )3 , N 2 = x(1 − ) 2 l l l x x x x N3=3( ) 2 − 2( )3 , N 4 = x( − 1)( ) l l l l
代入(8.5)有
[ M ]e
⎡ 156 22l 2 ⎢ ρ Al ⎢ 22l 4l = ∫ ρ N T Ndv = ve 13l 420 ⎢ 54 ⎢ 2 ⎣ −13l −3l
54 13l 156 −22l 2
−13l ⎤ −3l 2 ⎥ ⎥, −22l 2 ⎥ ⎥ 4l 2 ⎦
(8.9)
8.2.1.3 平面三角形单元 形函数 N 可用面积坐标表示为 [ N ] = ⎡ ⎣ IN i
u, v, w 分别为总体坐标 x, y, z 的位移分量。
U 为线形弹性体的应变能，定义为 U = ∫
v
1 T {ε } {σ }dv 2
W p 是外力（体积力和表面力）所做的功，可以表示为 W p = ∫ ( wx u + wy v + wz w)dv + ∫∫ ( ρ x u + ρ y v + ρ z w)ds = ∫ {a}T wdv + ∫∫ {a}T ρ ds
[M ]
e
(8.10)
关于更复杂的单元协调质量矩阵的推导及显式，不一一列出。
8.2.2 集中质量矩阵（聚缩质量矩阵） 在动力问题计算中，人们常用集中质量矩阵，它是假定单元的质量集中在它 的节点上， 质量的平移和转动可同样处理。 显然， 这样得到的质量矩阵为对角阵。 类似的，下面给出几种典型结构的集中质量矩阵。 8.2.2.1 杆单元 把杆单元总的质量分在两个节点上：
(8.13)
结合上述两种质量矩阵，有以下特点： 从存贮的角度看，集中质量矩阵是一个对角阵，而协调质量矩阵是满阵，显 然采用集中质量矩阵可以节省更多的存贮单元；从计算时间看，由于协调质量矩 阵为满阵，为了形成它需要耗费更多的计算时间。 计算实际表明，在单元数目相同的情况下，两种质量矩阵得到的精度相差不 多。对于那种小而重的物体放在轻型结构节点上这种情况，集中质量矩阵几乎给 出精确的结果；而若在动载荷作用下的实际变形形状已包含在形函数内，则协调 质量矩阵会给出很好的结果。
[c] 为结构阻尼矩阵， [c]e 为单元 e 的阻尼矩阵，且 [c] = ∑ [c]e ， [ K ] 为结构刚度矩阵， [ K ]e 为单元 e 的刚度矩阵，且 [ K ] = ∑ [ K ]e ， { p} 为结构载荷向量， { p}e 为单元 e 的载荷向量，且 { p} = ∑ { p}e 。
本节给出利用拉格朗日方程推导出运动方程的过程： c 拉格朗日泛函： L = T − U + W p = T − π p
(8.3)
1 其中 T 是弹性体的动能，可以写成 T = ∫ ρ{u}T {u}dV v 2
这里 ρ 为材料的密度。字母上面的原点表示对时间 t 求导数，即 {u} = [u, v, w]T
利用集中质量通常给出的固有频率有降低的趋势，而在协调元的网格中，单元刚度矩 阵产生“过刚”的现象，又会使固有频率有升高的趋势，两种趋势相互抵消，常常给出较好 的结果。此外，在波动传播问题中，必须采用集中质量矩阵才能求得可信的结果。当采用高 次单元时，推导集中质量矩阵是比较困难的，这时就要采取协调质量矩阵。在离散化时保持 了单元之间的连续性，由协调质量矩阵所算得的频率代表了结构真实自振频率上限。
[M ]
e
=
ρ Al ⎛ 1 0 ⎞
⎜ ⎟ 2 ⎝ 0 1⎠
(8.11)
8.2.2.2 梁单元 略去转动项，仅有线位移相对应的质量：
[M ]
8.2.2.3 平面三角形单元
e
⎡1 ⎢ ρ Al ⎢0 = 2 ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 0
0 0 1 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦
(8.12)
把单元质量三等分，分配给每个节点，得到
IN j
IN m ⎤ ⎦=⎡ ⎣ ILi
IL j
ILm ⎤ ⎦，
⎛ 1 0⎞ 1 式中 I = ⎜ ( ai + bi x + ci y ) ， ⎟ , Li = N i = 2λ ⎝ 0 1⎠
设单元厚度为 b，单元面积为 ∆ ，则
4 热动 3 王正伟 1360136Leabharlann 209《弹性力学及有限元法》
1 2
n
1 T n R = ∑ R = {a} (∑ ∫ µ[ N ]T [ N ]dv){a} 2 e =1 e =1 ve
n e
把以上积分分别定义为：
[ M ]e = ∫ ρ[ N ]T [ N ]dv （单位质量矩阵）
Ve
(8.4) (8.5) (8.6)
[ K ] = ∫ [ B ]T [ D][ B]dv （单位刚度矩阵）
第8章
T
结构动力分析
[M ]
e
= ∫ [ N ] ρ [ N ] dV = ρ b ∫∫ [ N ] [ N ] dxdy
T e
⎡ ILi ⎤ ⎢ ⎥ = ρ b ∫∫ ⎢ IL j ⎥ ⎡ ⎣ ILi e ⎢ IL ⎥ ⎣ m⎦
IL j
⎛ Li Li ⎜ ILm ⎤ ⎦ dxdy = ρ bI ∫∫e ⎜ L j Li ⎜L L ⎝ m i
1 ρ{u}T {u}dv Ve 为单元体积域。 ∫ 2 Ve
e πρ =
T T 1 {ε }T {σ }dv − ∫ {u} wdv − ∫∫ {u} ρ ds ∫ 2 Ve Ve Se
设 Re =
1 ，这里 µ 为阻尼导数。 µ{u}T {u}dv （R 为单元 e 的耗散函数） ∫ 2 ve
n n 1 T 于是 T = ∑ T e = {a}T (∑ ∫ ρ [ N ] [ N ] dv){a} ， 2 e =1 e =1 ve
3 热动 3 王正伟 13601363209
《弹性力学及有限元法》
第8章
结构动力分析
协调质量矩阵是由(8.5)式得到的，如此计算的单元质量矩阵，单元的动能和 位能是相互协调的，因此叫做协调质量矩阵。 下面我们来推导几种典型结构的协调质量矩阵的表达式： 8.2.1.1 杆单元
⎡⎛ x ⎞ e u ( x) = [ N ]{a} ，这里 [ N ] = ⎢⎜1 − ⎟ ⎣⎝ l ⎠ ⎡u1 ⎤ x⎤ e , {a} = ⎢ ⎥ ， ⎥ l⎦ ⎣u2 ⎦
e Ve
[c]e = ∫ µ[ N ]T [ N ]dv （单位阻尼矩阵）
Ve
代入 整理 得(8.3)式： [ M ]{a} + [c]{a} + [ K ]{a} = { p}
[ M ] 称为结构质量矩阵， [ M ]e 称为单元 e 的质量矩阵， 且 [ M ] = ∑ [ M ]e (8.3)式中，
Li L j Lj Lj Lm L j
Li Lm ⎞ ⎟ L j Lm ⎟ dxdy Lm Lm ⎟ ⎠
⎧∆ 当r ≠ s ⎪ ⎪12 注意到 ∫∫ Lr Ls dxdy = ⎨ ⎪ ∆ 当r=s ⎪ ⎩6
故上式积分后有
0 0.25 0 0.25 0 ⎤ ⎡ 0.5 ⎢ 0 ⎥ 0.5 0 0.25 0 0.25 ⎢ ⎥ 0.5 0 0.25 0 ⎥ ρ∆b ⎢0.25 0 = ⎢ ⎥ 0.25 0 0.5 0 0.25⎥ 3 ⎢ 0 ⎢ 0.25 0 0.25 0 0.5 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0.25 0 0.25 0 0.5 ⎦ ⎣ 0
u(x)是轴面位移
单元协调质量矩阵为
[ M ]e
x ⎛ (1 − ) 2 ⎜ l = ∫ ρ N T Ndv = ∫ ρ ⎜ ⎜ (1 − x ) x ve ve ⎜ l l ⎝
x ⎞ x (1 − ) ⎟ ρ Al ⎛ 2 1 ⎞ l l ⎟dxA = ⎟， ⎜ x 2 ⎟ 3 ⎝ 1 2⎠ ( ) ⎟ l ⎠
我们推出： 对于一个单元，其运动微分方程为：
[ M ]e {a}e + [c]e {a}e + [ K ]e {a}e = { p}e
(8.2)
对于一个结构，其运动微分方程为：
1 热动 3 王正伟 13601363209
《弹性力学及有限元法》
第8章
结构动力分析
[ M ]{a} + [c]{a} + [ K ]{a} = { p} (8.2)式和(8.3)式都可由哈密顿原理或达朗贝尔原理严格推导出。
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结构动力分析
第8章 结构动力分析
概述 在前面几章讨论的结构应力分析中，作用在弹性体上的载荷都是与时间无关 的静载荷，因而相应的应力、应变、位移等与时间无关。在工程实际中，结构还 常常受到动力作用。这时，弹性体所引起的应力、应变、位移等都与时间 t 有关。 在这种情况下，应用有限元分析时，必须考虑动载荷对弹性体的影响。 本章主要考虑动力响应问题即振动问题。首先，给出了动力问题的分析中最 基本的运动微分方程。然后，给出了在动态问题的计算中的两种质量矩阵，即协 调质量矩阵和集中质量矩阵， 接着介绍了由结构振型阻尼比导出阻尼矩阵的两种 方法。最后，分析了结构自振频率的计算和动力响应的计算，并通过一个实例加 以说明。 8.1 运动方程 在动力问题的分析中，根据达朗贝尔原理，只要引入相应的惯性力就可以将 弹性体的动力问题化为相应静力问题，即化为弹性体的平衡问题来处理。例如， 将运动质点的加速度 f 与质量 m 的乘积，冠以负号，即 −mf ，称为惯性力。这 样一来，就可以把运动方程式作为动力平衡方程式来处理。 和前几章处理弹性体的平衡问题一样，先把整体结构分割为有限几个单元。 单元节点位移表示为 {a(t )}e ；利用前边所讲到的有关插值函数，可以得到在单元