浙江省三市2020届高三4月教学质量检测数学试卷Word版

浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷一、单选题（共10题；共20分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.椭圆的离心率是（）A. B. C. D.3.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. 4 C. D. 84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件（）A. 21B. 22C. 23D. 245.函数的图象大致为( )A. B.C. D.6.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.若，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（）A. b的最小值为4B. b的最小值为6C. b的最小值为8D. b的最小值为109.如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确的是（）A. 是定值.B. 是定值.C. 是定值.D. 是定值.10.对任意的实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（共3题；共3分）11.若复数（i为虚数单位），则________.12.在平面直角坐标系中，已知点M是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若，则双曲线离心率等于________.13.已知函数，，，，则实数a的取值范围是________.三、双空题（共4题；共4分）14.在数列中，为它的前项和，已知，，且数列是等比数列，则________ ，=________.15.二项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．16.已知直线若直线与直线平行，则m的值为________，动直线被圆截得的弦长最短为________.17.已知随机变量X的分布列如下表：X 0 2 aP b其中.且，则b=________ ，=________.四、解答题（共5题；共50分）18.在中，内角A，B，C所对的边分别为已知.（1）求的值；（2）若的面积，，求的值.19.如图，已知四棱锥，正三角形ABC与正三角形ABE所在平面互相垂直，平面，且，.（1）求证：；（2）若，求与平面所成角的正弦值.20.已知数列的前项和，且.（1）写出的值，并求出数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和；求证：.21.如图，设抛物线方程为(p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22.已知，（1）当时，判断函数的单调性；（2）当时，记的两个极值点为，若不等式恒成立，求实数的值.答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】D二、填空题11.【答案】12.【答案】13.【答案】或三、双空题14.【答案】；15.【答案】；16.【答案】；17.【答案】；24四、解答题18.【答案】（1）解：由题意，所以（2）解：由（1）可得：即，又，，所以，；又，可得；所以.19.【答案】（1）证明：因为平面，，且平面平面，所以（2）解：取中点O，连接EO，CO，由题意可得OC、OB、OE两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，各点的坐标分别为，，，，..所以，，所以，.所以，所以.所以，因为平面的一个法向量是设CF与平面ABE所成的角为，则，所以CF与平面ABE所成角的正弦值为.20.【答案】（1）解：因为，当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，当时，，化简得，因为，所以；所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，（2）证明：由（1）可得，；所以，所以；又；所以；综上可得21.【答案】（1）解：设，，抛物线方程可变为，所以，所以，，直线的方程为，直线方程为，则解得，，又，所以直线的方程为，化简得，令，，又，所以，所以直线AB与轴的交点坐标为（2）解：记，设点，可得直线的方程为，由可得，同理，所以，所以，同理，所以，设，记，则，，，，，于是，所以，所以22.【答案】（1）解：当时，，所以，令，得，所以，，0 0单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以单调递减区间为，，单调递增区间为（2）解：因为，，所以有两个不等实根，由题意，为方程即的两相异根，则，所以，所以可以转化为，所以上式可化为，则即，①当时，由、、可得，所以，所以恒成立，因为此时所以；②当时，，显然恒成立，即；③当时，由可得，，所以恒成立，因为此时，所以；综上可知：。

绝密★启用前2020年浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班下学期4月联考质量检测数学试题2020年4月一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}--B ．{2}C ．{1,2}D ．{0}2． 已知i 为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是A ．2155i +B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i --3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩,则32z x y =-的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示,则函数()log ()a f x x b =-+的图象是 正视图侧视图2A ．B ．C ．D ．6．设0,0a b >>,则“2a b +≥”是“222a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．设 1a <<,随机变量X 的分布列为 则当a 在(0,)3增大时,A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>,12,F F 为椭圆的左,右焦点,过2F的直线交椭圆与,A B两点,190AF B ∠=o,2223AF F B =u u u u r u u u u r ,则椭圆的离心率是A ．5 B ．5 C ．10 D ．109．如图：ABC ∆中,AB BC ⊥,60ACB ︒∠=,D 为AC 中点,ABD ∆沿BD 边翻折过程中,直线AB 与直线BC 所成的最大角,最小角分别记为11,αβ,直线AD 与直线BC 所成的最大角,最小角分别记为22,αβ,则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤A DCBA。

台州市2020年4月高三年级教学质量评估试题数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则()UA B =（ ）A. ∅B. {}4C. {}3D. {}3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】先求出{}4,5U C A =,再求(){}4U C A B ⋂=，从而得到答案.【详解】由全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,得{}4,5U C A =. 又{}3,4B =，则(){}4U C A B ⋂= 故选：B【点睛】本题考查求集合的补集和交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()34i i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A. 25 B. 125C. 5D.15【答案】D 【解析】 【分析】由()34i i z -=先求出复数z ，再求z . 【详解】由()34i i z -=,得()()()344334343425i i i i z i i i +-+===--+ 则224351+=2525255z -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算和求模长，属于基础题. 3.已知a ，b ∈R ，则“33a b <”是“33a b <”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由函数33，x y y x ==在R 上是单调递增函数，则3333a b a a b b ⇔<<⇔<可得答案. 【详解】由函数33，x y y x ==在R 上是单调递增函数，所以3333a b a a b b ⇔<<⇔<即当33a b <时，33a b <成立，反之当33a b <时，33a b <成立 所以“33a b <”是“33a b <”的充要条件. 故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题.4.若实数x ，y 满足12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩则3x y +的最大值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由条件12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩作出可行域，目标函数中z 表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距，根据可行域可以得到直线3y x z =-+在y 轴上截距的最大值，从而得到答案.【详解】由条件12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩作出可行域，如图.由13=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()2,1A -, 由15=2x y x y=+⎧⎨+⎩得点()4,3B -由23=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()1,1C , 由25=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()3,1D -设目标函数z 3x y =+，则变形为3y x z =-+.所以目标函数中z 表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距.根据可行域，可得当直线3y x z =-+过点()4,3B -时，在y 轴上的截距最大. 所以z 的最大值为343=9⨯- 故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意目标函数的几何意义，属于中档题. 5.函数()y f x =的部分图象如图所示，则（ ）A. ()()()1112121x f x x x =+++-B. ()()()1112121x f x x x =-++-C. ()()()1112121x f x x x =+-+-D. ()()()1112121x f x x x =--++-【答案】A 【解析】【分析】由函数图象的对称性可得，函数为奇函数，再根据当0x >且0x →时，()0f x >，可得答案.【详解】由函数图象的对称性可得，函数()y f x =为奇函数.在选项C 中，()()()21111121211f x x x x x x =+-=-+--,()()111122+2323f f -=--≠-=-不是奇函数，所以排除.在选项D 中，()()()21111121211x x x x f x x=--+=-+--,()()11112+23223f f -=≠-=-不是奇函数，所以排除.在选项B 中. ()()()()2211112121111x x x x x x x x f x =-+=-=+---()()()211x x f x f x -==---是奇函数,由()()211x f x x =-，当0x >且0x →时，()0f x <，不满足条件，所以排除.故选：A【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，考查函数的基本性质，注意在选择题中排除法的应用，属于中档题.6.已知数列{}n a 满足：()1211n n n a a n +++-=（n *∈N ），若65a =，则1a =（ ） A. 26- B. 0C. 5D. 26【答案】B 【解析】 【分析】 由递推关系()1211n n n a a n +++-=得21224k k a a k +-=，()222+212+14412k k k k a a k +==+++，将两式相减得22241k k a a k ++=+，由65a =可得44a =，从而得出21a =，进一步得到答案.【详解】由()1211n n n a a n +++-=，当2,n k k Z =∈时，有21224k k a a k +-=……………①当21,n k k Z =+∈时，有()222+212+14412k k k k a a k +==+++……………② 由②－①可得22241k k a a k ++=+所以当2k =时有：649a a +=，又65a =，则44a = 当1k =时有：425a a +=，则21a = 又当1n =时，211a a +=，所以10a =. 故选：B【点睛】本题考查递推数列，由递推数列的递推关系求数列中的项，属于中档题. 7.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ） A. 10% B. 30%C. 50%D. 100%【答案】A 【解析】 【分析】由C 大约增加的百分比为()()()22222log 12000log 110001+log 11lg 2log 11000lo 10001000g 3W W W +-+≈-=+，再根据113411lg10lg 2lg1043=<<=，可以估算出答案. 【详解】当1000SN=时，()2log 11000C W =+ 当2000SN=时，()2log 12000C W =+ 则()()()222222220log 12000log 11000log 1+log 111lg 2log 11000log log 011000100110003W W W +-+=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%. 故选：A【点睛】本题考查一个量的增加的百分比的计算方法，考查估算法，属于中档题.8.已知1F ，2F 分别为双曲线221916x y -=的左右焦点，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12F PF ∆的面积为（ ）A. 166B. 6C. 86D. 46【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，所以12F F P 为等腰三角形，可求出其面积.【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±.则焦点()25,0F 到渐近线的距离为2245434d ⨯==+因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF = 又1210F F =所以12F F P 为等腰三角形，则边2PF ==所以121=42F PF S ∆⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查双曲线的基本性质，求三角形的面积，属于中档题.9.平面向量a ，b ，c ，d 满足2a b -=，3b c -=，4c d -=，5d a -=，则()()a c b d -⋅-=（ ）A. 14-B. 14C. 7-D. 7【答案】D 【解析】 【分析】由()()a cb d a bcd c b a d -⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅，将2a b -=，3b c -=，4c d -=，5d a -=，分别平方，然后结合所求可得出答案.【详解】()()a cb d a bcd c b a d -⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅由2a b -=可得2224a a b b -⋅+=……………①3b c -=可得2229b b c c -⋅+=……………② 4c d -=可得22216c c d d -⋅+=……………③ 5d a -=可得22225d d a a -⋅+=……………④由②+④-(①+③) 可得()214a b c d c b a d ⋅+⋅-⋅-⋅=所以()()a cb d -⋅-=7 故选: D【点睛】本题考查数量积的运算法则，向量模的处理技巧，属于中档题.10.已知函数()2f x x px q =++，满足022p p f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，则（ ）A .函数()()y ff x =有2个极小值点和1个极大值点B. 函数()()y f f x =有2个极大值点和1个极小值点C. 函数()()y ff x a =-有可能只有一个零点D. 有且只有一个实数a ，使得函数()()y f f x a =-有两个零点【答案】A 【解析】 【分析】()()()()222f f x x px q p x px q q =++++++,则()()2222p h x x p x px q ⎛⎫'=++++ ⎪⎝⎭，由022p p f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，方程202p x px q +++=有两个不等实数根12,x x ，则设122p x x <-<，可得出函数()()ff x 的单调性，从而可判断出答案.【详解】设()()()()()222h x ff x xpx q p x px q q ==++++++所以()()()()()22222222p h x x px qx p p x p x p xpx q ⎛⎫'=+++++=++++⎪⎝⎭设()22pg x x px q =+++，由022p pf ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭. 所以0222p p pg f ⎛⎫⎛⎫-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为二次函数()g x 的开口向上，对称轴方程为2p x =-. 所以方程202p x px q +++=有两个不等实数根12,x x ，则设122px x <-<. 则令()0h x '>可得12px x <<-或2x x >.令()0h x '<可得22px x -<<或1x x <.所以函数()()()h x ff x =在()1，x -∞上单调递减，在12，p x ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在22，px ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()2+，x ∞上单调递增. 又当,x →+∞x →-∞时，()()+ff x →∞，又221122022p p x px q x px q +++=+++=，所以2211222p x px q x px q ++=++=- 由()()()()222ff x x px q p x px q q =++++++，所以()()()()12=f f x f f x所以()()()()()()12=ff x f f x f f x ≥根据单调性可知，函数()()f f x 有2个极小值点和1个极大值点，所以选项A 正确，B 不正确.根据函数的单调性，可画出函数()()f f x 的大致草图如下.当()()1a f f x <时，函数()()y f f x a =-没有零点 当()()1a f f x =时，函数()()y f f x a =-有两个零点当()()12p ff x a f f⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有四个零点 当2p a f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有三个零点 当2p a f f ⎛⎫⎛⎫>- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有两个零点 由上可知选项C,D 都不正确. 故选：A【点睛】本题考查函数的极值的个数的判断和零点个数的判断，属于难题. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.在二项式()61x -的展开式中，含3x 项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答）【答案】 (1). 20- (2). 0 【解析】【分析】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rrT C x =-，可得含3x 项的系数，令1x =可得各项系数之和.【详解】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rr T C x =- 所以含3x 项的系数为()336120C -=-设()62601261x a a x a x a x -=++++令1x =得()60126110a a a a -=++++=所以各项系数之和为0故答案为：(1). 20- (2). 0【点睛】本题考查二项式定理的指定项的系数和所有项的系数之和，属于基础题. 12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则它的体积是______.93【解析】 【分析】由三视图可知，原几何体为四棱锥,根据锥体的体积公式可求出答案. 【详解】由三视图可知，原几何体为如图所示的四棱锥. 将该四棱锥补成三棱柱，则该三棱柱为正三棱柱过点B 作BO AC ⊥ 交AC 于点O ，则由正三棱柱的性质可得BO ⊥平面1ACC D 则33BO =所以11243393 =3332V Sh+=⨯⨯⨯=故答案为：93 2【点睛】本题考查根据三视图求原几何体的体积问题，属于中档题.13.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有______种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ表示他遇到红灯的次数，则()Eξ=______.（用数字作答）【答案】 (1). 15 (2). 2【解析】【分析】从经过的6个红绿灯路口中取出2个，即2615C=,他遇到红灯的次数ξ满足二项分布，可得答案.【详解】他恰好遇见2次红灯的不同的分布情形共有2615C=他遇到红灯的次数ξ值为0,1,2,3,4,5,6.他在每个路口遇见红灯的概率均为13,他遇到红灯的次数ξ满足二项分布.即163，Bξ⎛⎫⎪⎝⎭所以()1623Eξ=⨯=故答案为：(1). 15 (2). 2【点睛】本题考查组合问题和将实际问题转化为二项分布并求期望，属于中档题.14.如图，过1,0A ，10,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点的直线与单位圆221x y +=在第二象限的交点为C ，则点C 的坐标为______；9sin 4AOC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭______.【答案】 (1). 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2). 210【解析】 【分析】 过1,0A ，10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点的直线方程为21x y +=，将直线方程与圆的方程联立可求出点C 的坐标，利用三角函数的定义有4sin 5y AOC r ∠==，3cos 5x AOC r ∠==-，利用诱导公式和正弦的差角公式可得9sin sin cos cos sin 444AOC AOC AOC πππ⎛⎫∠-=∠-∠ ⎪⎝⎭，可得出答案. 【详解】过1,0A ，10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点的直线方程为21x y +=. 则由22211x y x y +=⎧⎨+=⎩有2540y y -=，解得45y =或0y =(舍) 由21x y +=得431255x =-⨯=- 所以点C 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭根据三角函数的定义有4sin 5y AOC r ∠==，3cos 5x AOC r ∠==- 所以9sin sin sin cos cos sin 4444AOC AOC AOC AOC ππππ⎛⎫⎛⎫∠-=∠-=∠-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：10【点睛】本题考查直线与圆联立求交点，考查三角函数的定义和诱导公式、正弦函数的差角公式，属于中档题.15.若函数()2lg ,0,2,0,x x f x x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩则f f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；不等式()()1f x f x +≥的解集为______.【答案】 (1). 34(2). [)30,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由1lg 10102f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则可求出10f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.分段将函数()1f x +，()f x 表达式代出来，然后分段打开绝对值求解.【详解】由12f ==-⎝⎭所以2111322224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0x >时，()()()1lg 1lg f x x x f x +=+≥=，显然成立. 当0x =时，()()()1lg 010f x f x +=+≥=，显然成立.当10x -<<时，()()1lg 10f x x +=+<，()220f x x x =+>，此时无解.当1x ≤-时,()222f x x x x x =+=-+, ()()21213f x x x x x +=+=-++由()()1f x f x +≥，即()132x x x x ++≤+. 当3x ≤-时，即()()()132x x x x -++≤-+，解得32x ≥-，所以不成立. 当32x -<<-时，即()()()132x x x x ++≤-+x ≤≤所以此时满足条件的x2x ≤<-, 当21x -≤≤-时,即()()()132x x x x ++≤+，解得32x ≤-， 所以此时满足条件的x 范围是322x -≤≤-综上所述，不等式()()1f x f x +≥的解集为[)30,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦.故答案为：[)333,0,422⎡⎤+--+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查求函数值和解含绝对值的不等式，解含绝对值的不等式关键是打开绝对值符号，本题还可以结合函数的图象求解，属于中档题.16.在等差数列{}n a 中，若2211910a a +=，则数列{}n a 的前10项和10S 的最大值为______.【答案】25 【解析】 【分析】 由101109102S S a d ⨯==+，有14510S d a -=，所以1913510S d a +=，代入2211910a a +=，因为{}n a 为等差数列，则其公差d 一定存在，即关于公差d 的方程一定有解.根据0∆≥可得到答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .101109102S S a d ⨯==+，则11094510210S d S a ⨯-=+= 所以1911351810S da a d +=+=由2211910a a +=，得()()()2222222211921804513545135100100100S Sd d S d S d a a +++-++=+= 即2224510+180+210000d Sd S ⨯-= (*)因为{}n a 为等差数列，则其公差d 一定存在，即关于公差d 的方程(*)一定有解. 所以()()22218044510210000S S ∆=-⨯⨯⨯-≥整理即2625S ≤,即25S ≤所以数列{}n a 的前10项和10S 的最大值为25. 故答案为：25【点睛】本题考查等差数列的性质，考查方程思想，属于中档题.17.如下图①，在直角梯形ABCD 中，90ABC CDB DAB ∠=∠=∠=，30BCD ∠=，4BC =，点E 在线段CD 上运动.如下图②，沿BE 将BEC △折至BEC '△，使得平面BEC '⊥平面ABED ，则AC '的最小值为______.【答案】1943- 【解析】 【分析】过点C 作CO BE ⊥交BE 于O ,由平面BEC '⊥平面ABED ，则CO ⊥平面ABED .设C BE α'∠=，060α︒≤≤︒,sin 4sin C O C B αα''==，cos 4cos BO C B αα'==,在三角形AOB中,2222cos AO BO AB BO AB ABO=+-⋅∠,则所以2222216sin 16cos 343sin 2AC C O AO ααα''=+=++-，可得出答案.【详解】由90ABC CDB DAB ∠=∠=∠=，30BCD ∠=，则2,1,3BD AD AB === 过点C 作CO BE ⊥交BE 于O ,由平面BEC '⊥平面ABED ，则CO ⊥平面ABED . 设C BE α'∠=，060α︒≤≤︒则在直角三角形C OB '中，sin 4sin C O C B αα''==，cos 4cos BO C B αα'==在三角形AOB 中, 2222cos AO BO AB BO AB ABO =+-⋅∠216cos 324cos cos 2πααα⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭216cos 32αα=+-所以2222216sin 16cos 32AC C O AO ααα''=+=++-192α=-由060α︒≤≤︒，所以当45α=︒时，2AC '有最小值19-所以AC '【点睛】本题考查线面垂直的应用，考查余弦定理解三角形，考查空间线段的长度的最值.属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()22cos cos sin x x x f x x =--.（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）问方程()23f x =在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和. 【答案】（1）T π=，最大值2；（2）4个不同的实数根，之和为103π【解析】 【分析】(1)将函数()f x 化简得()2sin 26x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据周期公式求最小周期，利用三角函数的有界性求最大值. (2)作出函数()f x 在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，可得方程的实数根的个数，再根据对称性可求出这些实数根之和.【详解】（1）因为()cos 222sin 26x x x y f x π⎛⎫==--⎝=⎪⎭，所以22T ππ==， 当2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，即6x k ππ=-，k ∈Z 时， 函数()y f x =取得最大值2. （2）由2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，可得函数()f x 的对称轴为26k x ππ=-，k ∈Z ， 26x π-2ππ32π 2πx12π3π 712π 56π 1312πy-11作出函数()f x 在11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的大致图象如下，所以方程()23f x =在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上共有4个不同的实数根， 且这些实数根关于56x π=对称，所以实根之和103π. 【点睛】本题考查正弦函数的周期性、最值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题. 19.如图，ABC 与等边ABD △所在的平面相互垂直，//DE BC ，M 为线段AD 中点，直线AE 与平面CBM 交于点N .22BC BA DE ===，90ABC ∠=.（1）求证：平面CBMN ⊥平面ADE ； （2）求二面角B CN A --的平面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（22【解析】 【分析】(1)由条件可得BC ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥，又ABD △为等边三角形可得BM AD ⊥，从而可得AD ⊥平面CBMN ，从而得证. (2)由条件可得DE 平面CBMN ，即得到DEBCMN ，所以N 为AE 的中点，以AB中点O 为坐标原点，,OB OD 为,x z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面ABC ⊥平面ABD ，且两平面交于AB ，90ABC ∠=， 所以BC ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥.又因为ABD △为等边三角形，M 为线段AD 中点， 所以BM AD ⊥. 因为BCBM B =，所以AD ⊥平面CBMN ，因为AD ⊂平面ADE ，所以平面CBMN ⊥平面ADE（2）解：因为DE BC ∥，DE ⊄平面CBMN ，且BC ⊂平面CBMN ， 所以DE 平面CBMN ，因为平面ADE 平面CBMN MN =，所以DEBCMN ，所以N 为AE 的中点.以AB 中点O 为坐标原点，,OB OD 为,x z 轴，建立空间直角坐标系，如图.根据已知可得：()1,0,0A -，()1,2,0C -，113,,222N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,3D ， 所以()2,2,0AC =-，113,,222AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ACN 的法向量()1,,n x y z =，由110,0,AC n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得220,1130,222x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取1x =，则1y =，0z =，所以平面ACN 的一个法向量()11,1,0n =， 由（Ⅰ）得AD ⊥平面CBMN ，所以平面CBMN 的一个法向量(23n AD ==， 设二面角B CN A --的大小为θ，所以11222cos 22n n n n θ⋅===⋅ 所以二面角B CN A --的平面角的余弦为24. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求二面角平面角的余弦值，求二面角的平面角多用向量法，属于中档题.20.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()134n n S a =+，2211n n nS b S -=+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：1117714n n T n <<+. 【答案】（1）113n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2121113173n n n b --+=-；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由n a 与n S 的递推关系()134n n S a =+可求出113n n a a -=-，得到数列{}n a 是等比数列，从二得到答案.（2）由2121113173n n n b --+=-,知17n b >，故17n T n >,又()21212121212118811141333117777121377733n n n n n n n b ------+-=-=<=⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,从而可证11714n T n <+.【详解】（1）解：因为()134n n S a =+，令1n =得11a =， 当2n ≥时，由()134n n S a =+，()11134n n S a --=+两式相减得()()1113344n n n a a a -=+-+，即113n n a a -=-，由此可知数列{}n a 是首项1为公比为13-的等比数列，故113n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()1131134443n n n S a -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，21222111131173n n n n n S b S --+-==+-.（2）证明：由2121113173n n n b --+=-,结合不等式的性质有212121111133177723n n n n b ---++=>>- 知17n b >，故17n T n >,又()21212121212118811141333117777121377733n n n n n n n b ------+-=-=<=⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12321111411177721333n n b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-<⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为3211111133113339819n n -⎛⎫++⋯+=⋅-< ⎪⎝⎭-，所以1431721814n T n -<⋅=， 综上，1117714n n T n <<+.【点睛】本题考查求数列的通项公式，利用放缩法证明数列不等式的问题，属于中档题.21.如图，已知椭圆1C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为22，并以抛物线2C ：28x y=的焦点F 为上焦点.直线l ：y kx m =+（0m >）交抛物线2C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作抛物线2C 的切线，两切线相交于点P ，又点P 恰好在椭圆1C 上.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求mk 的最大值；（3）求证：点F 恒在AOB 的外接圆内.【答案】（1）22184y x +=；（2）22；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由条件有()0,2F ，即2c =，由离心率可得22a =b ，得到椭圆方程.(2) 设()11,A x y ，()22,B x y ,将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，PA ：求出直线PA 的方程21148x x y x =-，同理可得PB ：22248x x y x =-，可得到1212,28x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点P 在椭圆，得到22328m k +=，利用均值不等式可到答案.(3) 因为过原点O ，所以可设AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey +++=,将()11,A x y ，()22,B x y 坐标代入圆的方程，求出288E k m =---，将点()0,2F 代入外接圆方程可得()22428816212k m k m -++=---，从而可证.【详解】【详解】（1）解：由已知得()0,2F ，所以2c =，又因为c e a ==，所以a = 所以椭圆1C 的方程为22184y x +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线l ：y kx m =+（0m >）与抛物线2C ：28x y =方程联立可得2880x kx m --=，所以121228,8,64320,x x k x x k m +=⎧⎪=-⎨⎪∆=+>⎩因为4x y '=，所以PA ：()211184x x y x x -=-，即PA ：21148x x y x =-，同理可得PB ：22248x x y x =-，由直线PA 的方程与直线PB 的方程联立有2222114848x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得122x x x += 将122x x x +=代入直线21148x x y x =-可得128x x y =所以1212,28x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()4,P k m -， 因为点P 在椭圆22184y x +=上，所以2216184m k +=，即22328m k +=.因为2232m k +≥， 所以当2m =，k =mk（3）证法：因为过原点O ，所以可设AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey +++=，由已知可得2211112222220,x y Dx Ey x y Dx Ey ⎧+++=⎨+++=⎩ 故()()4422122122221221121221212212211221648x x x x x x x x x x y x x x y x E x x x x x y x y --++-+==-- ()331222121212218888x x x x x x x x x x --+++==---， 所以288E k m =---，将点()0,2F 代入外接圆方程可得()22428816212k m k m -++=---，因为0m >，所以2162120k m ---<， 所以点F 恒在AOB 的外接圆内. 证法二：设AOB 的外心为(),Q Q Q x y ，由已知可得OA 的中垂线为21118162x x y x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即31118416x x y x x +=+， 同理OB 的中垂线为32228416x x y x x +=+，联立可得()()33121212416Q x x x x y x x --=+-所以()22222121212113444161624Q x y x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=+++=+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又因为()2222Q Q x y FQ =+-，2222Q QR OQ x y ==+， 所以FQ OQ R <=，所以点F 恒在AOB 的外接圆内.【点睛】本题考查求椭圆的方程，抛物线的切线问题和椭圆、抛物线中的最值问题，圆与点的位置关系的证明，属于难题.22.已知函数()2e xf x x =-，()g x ax =.（1）求证：存在唯一的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切； （2）若[]1,2a ∈，[]0,2x ∈，求证：()()2e 6f xg x -≤-.（注：e 2.71828=为自然对数的底数.）【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）曲线()y f x =在()(),t f t 处的切线为()()()22tty e te t x t --=--，所以()()2e 2,e e 2,t t ta t t t t ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩只需证明()21e 0t t t --=有唯一解即可. (2) 要证()()2e 6f x g x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-,设()2e xax F x a =--，即()()22226e 1e 66e 2e 6F F ⎧-≤≤-⎪⎨-≤≤-⎪⎩，只要证明()()221e 626e F F ⎧≤-⎪⎨≥-⎪⎩，然后构造函数，讨论单调性，分析函数的最值，即可证明.【详解】证明：（1）由()e 2xf x x '=-知，在()(),t f t 处的切线为()()()22t t y e t e t x t --=--，当该直线为y ax =时，可得()()2e 2,e e 2,t t ta t t t t ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩所以()21e 0tt t --=，所以1t >，令()()21e th t t t =--，则当1t >时，()()e 20th t t '=->，所以()h t 在()1,t ∈+∞单调递增，而()110h =-<，()22e 40h =->，所以存在唯一的实数t （()1,2t ∈），使得()0h t =，相应的e 2t a t =-也是唯一的，即存在唯一-的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切. （2）要证()()2e 6f xg x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-，令()2e xax F x a =--，对于确定的x ，()F a 是一次函数，只要证明，()()22226e 1e 6,6e 2e 6,F F ⎧-≤≤-⎪⎨-≤≤-⎪⎩注意到对于同一[]0,2x ∈，()()12F F ≥，所以只要证明()()221e 6,26e ,F F ⎧≤-⎪⎨≥-⎪⎩①② 先证明①：记()()21e xG x F x x ==--，则()e 21xx G x '=--，令e 21xy x =--，因为e 2xy '=-，所以ln 20x y '⇒>>，由此可知()G x '在区间[]0,ln 2递减，在区间[]ln 2,2递增. 又因为()00G '=，()ln2e2l 2l n 10n 2G =--<'，()22e 50G '=->，所以，在区间[]ln 2,2上存在唯一实数0x ，使得()00G x '=. 故在区间[]00,x ，()G x 递减，在区间[]0,2x ，()G x 递增. 于是()()(){}2max max 0,2e 6G x G G ==-.①得证.再证明②：记()()22e 2xH x F x x ==--，当[]0,1x ∈时，利用不等式e 1x x ≥+得，()()22221111116e x x x x H x x --=--+≥--=->-≥+；当[]1,2x ∈时，利用不等式2e 12xx x ≥++（0x ≥）得()()2121e e e e e 11222x x x x -⎛⎫-⋅≥⋅+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，于是()()222e e e e 2122222x x x x x H x ⎛⎫⎛⎫≥++--=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中二次函数()2e e 1222x x x ϕ⎛⎫=--+⎪⎝⎭开口向上，对称轴为222x e =>-，当[]1,2x ∈时，()x ϕ最小值()e e 5e41822224ϕ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，所以()()()226e H x x ϕϕ≥≥>-. 综上，不等式①②均成立.所以，当[]0,2x ∈，对任意的[]1,2a ∈，总有()()2e 6f xg x -≤-.【点睛】本题考查曲线的切线问题，根据单调性分析方程的解，考查不等式的证明问题，考查构造函数解决问题，属于难题.。

1绝密★启用前2020年浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班下学期4月联考质量检测数学试题参考答案解析2020年4月1． B {2,1,0,1}A B =--U ，所以()U C A B U ={2}2． C 211255i z i i -==--+ 3．A 2224322433V πππ⋅⋅=⋅⋅-= 4．D 322z y x =-，有图像知取(1,1)-，最大值为5 5．D 因01,10a b <<-<<，有图像变换可知6．A 因为 2a b +≥可知2()22a b +≥,而222()2a b a b ++≥, 7．C 计算可知2211()3(2)4()336D X a a =--=--+ 8．B 设22113,2,23,22F A x F B x F A a x F B a x ===-=-,则222(5)(23)(22)x a x a x =-+-,可知3a x =,15,3AB a AF a ==,13cos 5F AB ∠=,1sin 25F AB ∠=,因A 为顶点,则5e =9．D 翻折到180o 时,,AB BC 所成角最小,可知130β=o ,,AD BC 所成角最小,20β=o ,翻折0o 时,,AB BC 所成角最大,可知190α=o ,翻折过程中,可知AD 的投影可与BC 垂直,所以,AD BC 所成最大角290α=o ,所以 1190,30αβ︒︒==,2290,0αβ︒︒==10．C 图像1y x =+与y x =有两个交点(0,0),(1,1),利用蛛网图,可知当10a <,则数列递减,所以0n a <,当101a <<,则数列递增,并且n a 趋向1,可知当11a >,则数列。

2020年4月杭州市统测模拟数学一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知R 实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ）A. {|3}x x >-B. {|3}x x <-C. {|3}x x ≤-D. {|23}x x ≤< 【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可.【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-，所以A B U {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.2.复数5i z i =+上的虚部为（ ） A. 526 B. 526i C. 526- D. 526i - 【答案】A【解析】【分析】 化简得到152626z i =+计算虚部得到答案. 【详解】()515262626i i z i -==+，所以5i z i =+的虚部为526. 故选：A 【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.3.已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 1-B. 1C. 5-D. 5【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -， 据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=.故选B .【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题. 4.已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.5.一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 6B. 203C. 7D. 223【答案】D【解析】【分析】 根据三视图还原几何体，根据其几何特征，即可求得结果.【详解】根据三视图还原几何体如下所示：由题意，该几何体是由一个边长为2的正方体截去一个底面积为1，高为2的一个三棱锥所得的组合体， 所以312221233V =-⨯⨯=， 故选：D，【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.6.已知函数f （x ）＝sin x x ωω（0ω＞，x ，R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ）A. 函数g （x ）是奇函数B. g （x ）的图象关于直线6x π=对称 C. g （x ）在33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数 D. 当66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数g （x ）的值域是[0，2] 【答案】B【解析】【分析】 先根据题意化简函数，然后根据题意求出周期，再根据变换求出g （x ），然后判断选项即可．【详解】()f x ＝sin ωx x ω=2sin (3x πω-)， 由题意知函数周期为π， 则2T ππω==，ω＝2，从而()f x ＝2sin (23x π-），把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位， 横坐标伸长到原来的2倍得到函数()g x ＝2sin (3x π+)，()g x 不是奇函数，A 错；()g x 在[36ππ-，]是单调递增，C 错； 66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x 的值域是[1,2]，D 错； ()g x 的图象关于直线6x π=对称，B 对；只有选项B 正确，故选：B．【点睛】本题考查三角函数，图象的变换，以及图象的性质，属于中档题．7.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A. 17B.27C.37D.47【答案】D【解析】【分析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，,A C区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出,A C区域涂色不相同的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,,,,A B C D E,分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与,A B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域,D C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域,D C有3227+⨯=种选择，则不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=种，其中，,A C 区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E 与,,A B C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域,D C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选，则区域,D C 有2214+⨯=种选择，不同的涂色方案有5434240⨯⨯⨯=种，,A C ∴区域涂色不相同的概率为24044207p == ,故选D ． 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m P n =求得概率. 8.下列函数图象中，函数()()||x f x x e Z αα=∈图象不可能的是（ ） A.B. C.D. 【答案】C【解析】【分析】当2α=时，验证A 正确. 当2α=-时，验证B 正确. 当1α=时，验证D 正确.【详解】当2α=时，()2x f x x e =，定义域为R 关于原点对称. 的()()()22x x f x x e x e f x --=-==，则()f x 为偶函数.当0x >时，()2xf x x e =. 则()()()()22222(2)0x x x x x x f x x e x e e x xe x e xe x '''==+=+=+>' 即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减.此时函数()f x 的图象可能为A 选项.当2α=-时，()2xe f x x =，定义为{|x x R ∈且}0x ≠关于原点对称. ()()()22xxe ef x f x x x --===-，则()f x 为偶函数. 当0x >时，()2xe f x x=. 则()()()()222224322(2)x x x x x x e x x e e x e xe e x f x x x x x '''-⎛⎫--==== ⎪⎝⎭' 当02x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递减当2x ≥时()0f x '≥，即则函数()f x 在[)2,+∞上单调递增.根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为B 选项.当1α=时，()x f x xe =，定义为R 关于原点对称.()()()x x f x x e xe f x --=-=-=-，则()f x 为奇函数.当0x >时，()x f x xe =.则()()()()(1)0xx x x x x f x xe x e e x e xe e x '''==+=+=+>' 令()()1x g x e x =+，则()()()()()()111(2)0x x x x g x e x e x e x e x '''⎡⎤=+=+++=+'>⎣⎦ 即()0f x '>并且在()0,∞+上单调递增，并且()f x 在()0,∞+上单调递增.根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为D 选项.故选：C【点睛】本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.9.设点M 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，点P 在面BCC 1B 1所在的平面内，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则点P 到点C 1的最短距离是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】过点P 作1D M 的平行线交BC 于点Q 、交11B C 于点E ，连接MQ ，则PN 是平面1D PM 与平面11BCC B 的交线，MN 是平面1D PM 与平面ABCD 的交线，EF 与1BB 平行，交BC 于点F ，过点F 作FG 垂直MQ 于点G ，推导出点E 一定是11B C 的中点，从而点P 到点1C 的最短距离是点1C 到直线BE 的距离，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P 到点1C 的最短距离．【详解】如图，过点P 作1D M 的平行线交BC 于点Q 、交11B C 于点E ，连接MQ ，则PQ 是平面1D PM 与平面11BCC B 的交线，MQ 是平面1D PM 与平面ABCD 的交线．EF 与1BB 平行，交BC 于点F ，过点F 作FG 垂直MQ 于点G ，则有，MQ 与平面EFG 垂直， 所以，EG 与MQ 垂直，即角EGF 是平面1D PM 与平面ABCD 的夹角的平面角，且sin EF EGF EG ∠=， MN 与CD 平行交BC 于点N ，过点N 作NH 垂直EQ 于点H ， 同上有：sin MN MHN MH∠=，且有EGF MHN ∠=∠，又因为EF MN AB ==，故EG MH =， 而2EMQ S EG MQ MH EQ ∆=⨯=⨯，故MQ EQ =，而四边形1EQMD 一定是平行四边形，故它还是菱形，即点E 一定是11B C 的中点，点P 到点1C 的最短距离是点1C 到直线BE 的距离，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,1,2E ，()2,0,0B ， ()12,2,2C ，()0,1,2BE =u u u r ， ()10,2,2BC =u u u u r ，∴点P到点1C的最短距离：1||d BC===u u u u r．故选：A．【点睛】本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．10.函数()4ln3f x x ax=-+在两个不同的零点12,,x x函数2()2g x x ax=-+存在两个不同的零点34,,x x且满足3124,x x x x<<<则实数a的取值范围是（）A. (0,3)B.C.144)e- D.14(3,4)e-【答案】D【解析】【分析】先求出()f x有两个不同零点时a的范围,再求出()g x有两个不同零点时a的范围,再画出4ln3y x=+与22y x=+的图象,可得一交点为()1,3,进而由图象得到a的范围,使之满足3124,x x x x<<<再与之前所求得交集即可【详解】由题,()4f x ax'=-,当0a≤时,()0f x'>恒成立,即()f x在()0,∞+上单调递增,无法满足题意,故舍去；当0a>时,令()0f x'=,可得4xa=,则()f x在40,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,4,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减,且0x→时,()0f x<,故由题需满足4fa⎛⎫>⎪⎝⎭,即144a e-<；由上式可得0a >,因为2()2g x x ax =-+存在两个不同的零点,则()280a ∆=-->,即a > 令()0f x =,()0g x =,则4ln 3x ax +=,22x ax +=,可得当24ln 32x x +=+时,易得一解为1x =,此时3a =,另一解设为0x x =,则当()01,x x ∈时,4ln 3y x =+在22y x =+的上方.只有当3a >时,由图象可得203141x x x x x <<<<<,综上,143,4a e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查由零点个数求参问题,考查利用导数判断单调性的应用,考查运算能力二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.已知直线l 1：ax +2y ﹣3＝0和直线l 2：（1﹣a ）x +y +1＝0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值为_____；若l 1∥l 2，则实数a 的值为_____．【答案】 (1). ﹣1或2 (2).23 【解析】【分析】根据两直线垂直和平行时的条件，列方程求出a 的值即可．【详解】直线l 1：ax +2y ﹣3＝0和直线l 2：（1﹣a ）x +y +1＝0；当l 1⊥l 2时，a （1﹣a ）+2×1＝0，化简得a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝﹣1或a ＝2；当l 1∥l 2时，a ﹣2（1﹣a ）＝0，解得a 23=． 故答案为：﹣1或2；23． 【点睛】本题考查了利用直线的位置关系求参数值的问题，是基础题．12.随机变量X 的取值为0、1、2，P （X ＝0）＝0.2，DX ＝0.4，则P （X ＝1）＝_____；若Y ＝2X ，则DY ＝_____．【答案】 (1). 0.6 (2). 1.6 【解析】 【分析】设P （X ＝1）＝x ，则P （X ＝2）＝0.8﹣x ，0≤x ≤0.8，则EX ＝0×0.2+x +2（0.8﹣x ）＝1.6﹣x ，通过DX ，解得x ，由此能求出P （X ＝1）以及DY ．【详解】∵随机变量X 的取值为0、1、2，P （X ＝0）＝0.2，DX ＝0.4， ∴设P （X ＝1）＝x ，则P （X ＝2）＝0.8﹣x ，0≤x ≤0.8， 则EX ＝0×0.2+x +2（0.8﹣x ）＝1.6﹣x ，DX ＝（x ﹣1.6）2×0.2+（x ﹣0.6）2x +（x +0.4）2（0.8﹣x ）＝0.4， 整理，得：x 2﹣0.2x ﹣0.24＝0，解得x ＝0.6或x ＝﹣0.4（舍），P （X ＝1）＝0.6，∴EX ＝1.6﹣x ＝1.6﹣0.6＝1．D （Y ）＝D （2X ）＝4D （X ）＝1.6 故答案为：0.6；1.6．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.已知()()51210ax x a x ⎛⎫++≠ ⎪⎝⎭，若展开式中各项的系数和为81，则a =______，展开式中常数项为______．【答案】 (1). 23- (2). 10 【解析】 【分析】令1x =，可得出()51381a +⋅=，可求出实数23a =-，然后将二项式变形为()()551221213x x x x +-+，结合二项展开式通项可求出展开式中的常数项. 【详解】令1x =，可得出()51381a +⋅=，则113a +=，得23a =-， ()()()555211221212133x x x x x x x ⎛⎫-++=+-+ ⎪⎝⎭，展开式通项为()()5554565555122222233r kr k r r r k k k C x xC x C x C x x ------⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅， 其中05r ≤≤，05k ≤≤，且r 、k ∈N ，则60k -≠，令40-=r ，得4r =.因此，展开式中的常数项为45210C ⨯=.故答案为：23-；10. 【点睛】本题考查利用各项系数和求参数，同时也考查了指定项系数的求解，考查计算能力，属于中等题.14.已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：，若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________，双曲线N 的离心率为__________，【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率，由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m++∴===∴=， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15.已知单位向量,,i j k r r r 两两的夹角均为(0θθπ<<，且2πθ≠），若空间向量a r满足(,,)a xi yj zk x y z R =++∈r r r r，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a r 在“仿射”坐标系O-xyz （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=r有下列命题：①已知(1,3,2),(4,0,2)a b θθ=-=r r，则a r ·b r =0；②已知33(,,0),(0,0,)a x y b z ππ==r r 其中xyz≠0，则当且仅当x=y 时，向量a r ，b r 的夹角取得最小值； ③已知111222121212(,,),(,,),(,,);a x y z b x y z a b x x y y z z θθθ==+=+++r rr r 则④已知333(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),OA OB OC πππ===u u u r u u u r u u u r则三棱锥O —ABC 的表面积S =其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【解析】 试题分析：①由定义可得()()(1,3,2)(4,0,2)222323cos 0,02a b i k i k i k a b θθπθθπθ⋅=-⋅=-+=+⋅-=<<≠∴⋅≠rr r r r r r r r r Q ，故①错；②由33(,,0),(0,0,)a x y b z ππ==r r ，则a b λ=r r，而0xyz ≠，根据仿射”坐标的定义可知②正确；③根据仿射”坐标的定义可得111222111222(,,)(,,)()()a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k θθ+=+=+++++rr r r r r r r ()()()()121212121212,,x x i y y j z z k x x y y z z θ=+++++=+++r r r，故③正确；④由已知可知三棱锥O —ABC 为正四面体，棱长为1，其表面积为1422S =⨯⨯=，即④不正确 考点：新定义概念16.已知a v 、b v 、2c v 是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v 的最小值是________【答案】【解析】 【分析】设2(,)c e x y ==r r ，(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+r r r r ，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值.【详解】令2c e =r r，设(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，e r 对应的点C 在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值.因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=r r r r r r ，所以|2||2|a e a e +=+r r r r ，所以|64||2|a e a b e ++-=+r r r rr表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和， 过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y -+=，原点到直线220x y -+=1=<，所以与单位圆相交， 所以|2||64|a e a b e +++-r r r r r最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即故答案为：【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与解析几何中直线与圆的位置关系的交会，求解的关键在于问题的等价转化，即将最小值转化为两点问的距离，考查数形结合思想、转化与化归思想的灵活运用，综合性很强．17.设a ，R ，若不等式331148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】[4﹣] 【解析】 【分析】 由题意可得|x 31+x |+|x 31-x|+8≥（4﹣a ）x 恒成立，讨论x ＞0，x ＜0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围． 【详解】|x 31+x |+|x 31-x |+ax ≥4x ﹣8恒成立， 即为|x 31+x |+|x 31-x|+8≥（4﹣a ）x 恒成立，当x ＞0时，可得4﹣a ≤|x 221+x |+|x 221-x |8+x的最小值，由|x 221+x |+|x 221-x |8+≥x |x 221++x x 221-x |8+=x 2x 28+=x 2x 244++≥x x=当且仅当x 3＝2即x =4﹣a ≤，则a ≥4﹣；当x ＜0时，可得4﹣a ≥﹣[|x 221+x |+|x 221-x |8-x]的最大值， 由|x 221+x |+|x 221-x |8-≥x 2x 28+=-x 2x 244++≥--x x=， 当且仅当x 3＝﹣2即x =取得最大值﹣4﹣a ≥﹣a ≤的综上可得4﹣≤a ≤，故答案为：[4﹣]．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共5小题，共74分.）18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin B ＝b sin （A 3π-）． （1）求A ；（2）D 是线段BC 上的点，若AD ＝BD ＝2，CD ＝3，求△ADC 的面积．【答案】（1）A 23π=；（2. 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理可得a sin B ＝b sin A ，然后利用两角差的正弦公式展开化简即可求解.（2）设∠B ＝θ，πθ0,3骣琪Î琪桫，由题意可得∠BAD ＝θ，∠ADC ＝2θ，∠DAC 23π=-θ，在△ADC 中，利用正弦定理可得sin θ=θ，根据同角三角函数的基本关系求出sin2θ，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得a sin B ＝b sin A ，则有b sin A ＝b （12sin A cos A ），化简可得12sin A 2=-cos A ，可得tan A = 因为A ∈（0,π）， 所以A 23π=． （2）设∠B ＝θ，03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π，由题意可得∠BAD ＝θ，∠ADC ＝2θ， ∠DAC 23π=-θ，∠ACD 3π=-θ，在△ADC 中，CD ADDAC ACD =∠∠sin sin ，则32233=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin θsin θ，2222=sinθ=θ， 又因为sin 2θ+cos 2θ＝1，可得sinθ14=，cosθ14=，则sin2θ＝2sin θcosθ=， 所以S △ADC 12AD CD =⋅⋅sin ∠ADC 1232=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点E 是DC 的中点，将△ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB ．（1）求证：平面ADE ⊥平面BDE ； （2）求AD 与平面BDC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得：AE ⊥EB ，再利用面面垂直的判定定理即可得出：BE ⊥平面ADE ，进而证明结论．（2）建立空间直角坐标系．设平面BDC 的法向量为(),,n x y z =r ，可得0n CB n DB ⋅=⋅=r u u u r r u u u r 求出n r，可得AD 与平面BDC 所成角的正弦值n ADn AD⋅⋅r u u u r r u u u r . 【详解】（1）证明：AE 2+BE222=+=16＝AB 2，∴AE ⊥EB ， 又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面ADE ，又BE ⊂平面BDE ， ∴平面ADE ⊥平面BDE ；（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．E （0,0,0），A （,0,0），B （0,,0），D,0），C（,0）．CB u u u r =(,0)．DB =u u u r(,,)，AD =u u u r(,0)，设平面BDC 的法向量为(),,n x y z =r则0n CB n DB ⋅=⋅=r u u u r r u u u r，0-=，x＝0，取()1,1,3n =-r．∴AD 与平面BDC 所成角的正弦值n AD n AD ⋅⋅r u u u r r u u ur 11==．【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 2+2a n ＝4S n ﹣1（n ，N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n 21211n n n a S S -++=⋅，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围．【答案】（1）a n ＝2n ﹣1，n ∈N *；（2）[29，14）.【解析】 【分析】（1）题先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行转化计算可发现数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{a n }的通项公式；（2）题先根据第（1）题的结果计算出S n 的表达式，以及数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n 项和T n ，最后运用放缩法即可计算得到T n 的取值范围． 【详解】（1）由题意，当n ＝1时，a 12+2a 1＝4S 1﹣1＝4a 1﹣1， 整理，得a 12﹣2a 1+1＝0， 解得a 1＝1．当n ≥2时，由a n 2+2a n ＝4S n ﹣1，可得2111241n n n a a S ---+=-，两式相减，可得22111224141n n n n n n a a a a S S ---+--=--+，即a n 2﹣a n ﹣12＝2a n +2a n ﹣1，∴（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）＝2（a n +a n ﹣1）， ∵a n +a n ﹣1＞0， ∴a n ﹣a n ﹣1＝2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，n ∈N *． （2）由（1）知，S n ＝n ()12-+⋅n n 2＝n 2，则b n 2221211211(21)(21)n S n n a S -++-+==⋅-⋅+n n n221814(21)(21)4n n n =⋅=-⋅+[2211(21)(21)n n --+]， ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n14=（1213-）14+（221135-）14++L [2211(21)(21)n n --+]14=[12222211111335(21)(21)n n -+-++--+L ] 14=[121(21)n -+]14＜，又∵a n ＞0，n ∈N *，∴b n ＞0， ∴T n ≥T 1＝b 114=（1213-）29=， ∴29≤T n 14＜． ∴T n 的取值范围为[29，14）． 【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了转化与化归思想，分类讨论思想，放缩法，不等式的计算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．21.已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=u u u v u u u v(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N (12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围． 【答案】（1）22y x =；（2）1,)+∞ 【解析】 分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），结合题意得出点Q 的坐标，再利用向量数量积的运算可得出点P 的轨迹方程；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、D （x 3，y 3），设直线AM 的方程为12y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该直线方程与曲线C 的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点B 和点D 的横坐标相等，于是得出BD ⊥x 轴，根据几何性质得出△MBD 的内切圆圆心H 在x 轴上，且该点与切点的连线与AB 垂直．方法一是计算出△MBD 的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式；方法二是设H （x 2﹣r ，0），直线BD 的方程为x ＝x 2，写出直线AM 的方程，利用点H 到直线AB 和AM 的距离相等得出r 的表达式；方法三是利用△MTH ∽△MEB ，得出MH HTMB BE=，然后通过计算得出△MBD 内切圆半径r 的表达式． 【通过化简得到r 关于x 2的函数表达式，并换元2112t x =+＞，将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系式，然后利用单调性可求出r 的取值范围．详解】（1）设点(),P x y ，则()2,Q y - ∴(),OP x y u u u v =，()2,OQ y =-u u u v∵0OP OQ ⋅=u u u v u u u v ∴220OP OQ x y u u u v u u u v⋅=-+=，即22y x =（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，直线BD 与x 轴交点为E ，内切圆与AB 的切点为T ．设直线AM 的方程为：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则联立方程2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：()2222204k k x k x +-+= ∴1214x x =且120x x << ∴1212x x << ∴直线AN 的方程为：111122y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， 与方程22y x =联立得：22222111111122024y x y x x x y ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭，化简得：221111122022x x x x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭解得：114x x =或1x x = ∵32114x x x == ∴BD x ⊥轴 ，MBD ∆，，，，，，，H ，，H ，x ，，，HT AB ⊥ 方法（一）∴2211222MBDS x y ∆⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，且MBD ∆的周长为：22y∴22211122222MBDS y r x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦V∴221x y r ⎛⎫+ ⎪===.方法（二）设()2,0H x r -，直线BD 的方程为：2x x =，其中2222y x =直线AM 的方程为：221122y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，即22211022y x x y y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，且点H 与点O 在直线AB 的同【侧，∴()2221x r y y r -+==，，，，2221x y y r +==方法（三）∵MTH MEB ∆~∆ ∴MHHT MB BE =221x r r y +-=，解得：22211x y x r ⎛⎫++⎪==21x +==令212t x =+，则1t> ∴r =()1,+∞上单调增，则r >，即r 的取值范围为)1,+∞．【点睛】本题考查轨迹方程以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能力与化简变形能力，属于难题． 22.已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间与极值；（2）若不等式23ln 0322x x x e x λλ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围. 【答案】（1）单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,()1e f x =-极小值,无极大值.（2）127ln 32λ≤ 【解析】 【分析】（1）因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,则()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;（2）223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,23e 2x x x λ+≥,23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤,即可求得正实数λ的取值范围.【详解】（1）Q ()ln f x x x =∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,又∴()0f x '>,1e x >,()0f x '<,10ex <<. ∴()f x 的单减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴()1111ln e e ee f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值,无极大值.（2）Q 223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +> ∴将223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+化简可得: 2233ln e 22xx x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭.Q 2322x x +≥,0e e 1x λ>=, ∴由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,∴23e 2x x x λ+≥, ∴23ln 2x x x λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,即23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤.令()23ln 2x x h x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=, ()223232ln 322x x x x h x x +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+'∴=令()23232ln 322x k x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+, 则()22332223322x k x x x x +'=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭3321223322x x x x ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭29231403322x x x x x ---=⋅<⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭, ∴ ()k x 在[]1,3上单减,()751ln 052k =->,()5273ln 032k =-<, ∴()01,3x ∃∈,()00k x =且在()01,x 上,()0k x >,()0h x '>,()h x 单增,在()0,3x 上,()0k x <,()0h x '<,()h x 单减.()()(){}()()min 27ln52min 1,3,1ln ,323h x h h h h ===∴=∴()()13h h >∴127ln 32λ≤.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.。