2017年甘肃省高考数学一诊试卷(文科)

2017甘肃高考文科数学真题及答案注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=ABA. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，， 2.（1+i ）（2+i ）=A.1-iB. 1+3iC. 3+iD.3+3i 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为A.4πB.2πC. πD. 2π4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a5.若a ＞1，则双曲线x y a=222-1的离心率的取值范围是A. ∞）B. ）C. （1D. 12（，）6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π7.设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩。

则2z x y =+ 的最小值是A. -15B.-9C. 1 D 98.函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是A.(-∞,-2)B. (-∞,-1)C.(1, +∞)D. (4, +∞)9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A.乙可以知道两人的成绩 B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩 10.执行右面的程序框图，如果输入的a =-1，则输出的S= A.2 B.3 C.4 D.511.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C.310D.2512.过抛物线C:y 2=4x 的焦点F 的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为A. C.二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，0∈∞时，()322=+f x x x ,则()2=f15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，学|科网其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=三、解答题：共70分。

2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={y|y=|x|+1，x∈R}，则A∩∁R B=（）A．（0，2）B．[1，2）C．（0，1]D．（0，1）2．下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．下列命题推断错误的是（）A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件D．命题p：存在x0∈R，使得，则非p：任意x∈R，都有4．关于右面两个程序框图，说法正确的是（）A．（1）和（2）都是顺序结构B．（1）和（2）都是条件分支结构C．（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构D．（1）是直到型循环结构，（2）是当型循环结构5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=4，S4=16，则a5+a6=（）A．11 B．16 C．20 D．286．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．B．C．D．47．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+48．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx 的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）个单位长度．A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．11．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A． B．C．D．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2] C．[，1）D．[，1]二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．令p（x）：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是．14．若tan（π+θ）=2，则的值为．15．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为．16．函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x）成立，且函数y=f（x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）=4，则f+f17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．20．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程．21．已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．[选做题]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．[选做题]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|（1）解不等式f（x）＞5；（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={y|y=|x|+1，x∈R}，则A∩∁R B=（）A．（0，2）B．[1，2）C．（0，1]D．（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解不等式可得集合A，求B的值域可得集合B，根据集合的基本运算即可求A∩∁R B．【解答】解：由不等式x2﹣2x＜0解得：0＜x＜2∴集合A={x|0＜x＜2}，由函数y=|x|+1，x∈R，可得值域为[1+∞），∴集合B=[1+∞），∴∁R B=（﹣∞，1）．那么：A∩∁R B=（0，1）故选D2．下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．【解答】解：复数z===1+i的四个命题：p：|z|=≠2，因此是假命题；1p2：z2=（1+i）2=2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．3．下列命题推断错误的是（）A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件D．命题p：存在x0∈R，使得，则非p：任意x∈R，都有【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用原命题与逆否命题的真假关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题为真命题，所以A正确；对于B，若p且q为假命题，则p，q均为假命题，只要一个命题是假命题，命题就是假命题，所以B不正确；对于C，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，满足充要条件，正确；对于D，命题p：存在x0∈R，使得，则非p：任意x∈R，都有．满足命题的否定形式，正确；故选：B．4．关于右面两个程序框图，说法正确的是（）A．（1）和（2）都是顺序结构B．（1）和（2）都是条件分支结构C．（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构D．（1）是直到型循环结构，（2）是当型循环结构【考点】流程图的概念；设计程序框图解决实际问题．【分析】欲判断选项的正确性，主要讨论程序进行判断前是否执行循环体，如果先执行循环体，则是直到型循环，否则是当型循环．解题的关键是弄清循环体是在判断框前还是后．【解答】解：（1）观察图（1），它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；（2）观察图（2），它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图．故（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构．故选C．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=4，S4=16，则a5+a6=（）A．11 B．16 C．20 D．28【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】可利用等差数列的性质S2，S4﹣S2，S6﹣S4仍然成等差数列来解决．【解答】解：∵{a n}为等差数列，前n项和为S n，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，∴2（S4﹣S2）=S2+（S6﹣S4），又S2=4，S4=16，∴24=4+S6﹣S4=a5+a6+4，∴a5+a6=20．故选C．6．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．B．C．D．4【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角．【分析】本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的．【解答】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴====．故选C．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx 的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）个单位长度．A ．向右平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向左平移【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．【解答】解：根据函数的图象：求得：T=π进一步利用：当x=|φ|＜所以：φ=即函数f （x ）=要得到f （x ）=sin2x 的图象只需将函数f （x ）=向右平移个单位即可． 故选：A9．已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f′（x ）的图象如图所示．当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 的零点的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f （x）﹣a的零点的个数．【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：C．10．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用；几何概型．【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内和圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．【解答】解：满足约束条件区域为△ABO 内部（含边界），与圆x 2+y 2=2的公共部分如图中阴影扇形部分所示， 则点P 落在圆x 2+y 2=2内的概率概率为：P===．故选A ．11．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2] C．[，1）D．[，1]【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得S n，进而S n的取值范围．【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），即==f（1）=，∴数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n=f（n）=（）n，∴S n==1﹣（）n∈[，1）．故选C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．令p（x）：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是a＞1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】首先把命题恒成立转化为不等式恒成立问题，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，当a=0时为一次不等式，当a≠0为二次不等式，二次不等式恒成立时，结合不等式对应函数的图象的开口方向和与x轴没交点得出不等式组，最后求解．【解答】解：对∀x∈R，p（x）是真命题，是对∀x∈R，ax2+2x+1＞0恒成立，当a=0时，ax2+2x+1＞0化为2x+1＞0，解得，，不等式不是对∀x∈R恒成立；若a≠0，由题意，得解得a＞1．所以∀x∈R，ax2+2x+1＞0恒成立的a的范围是a＞1，即若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是a＞1．故答案为a＞1．14．若tan（π+θ）=2，则的值为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】tan（π+θ）=2，可得tanθ=2，利用“弦化切”即可得出．【解答】解：∵tan（π+θ）=2，∴tanθ=2，则===．故答案为：．15．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为4．【考点】基本不等式；指数函数的图象与性质．【分析】最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【解答】解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny﹣1=0上，∴m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=（）（m+n）==2++≥2+2•=4，当且仅当两数相等时取等号．故答案为4．．16．函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x）成立，且函数y=f（x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）=4，则f+f的图象关于（1，0）对称，且由y=f（x﹣1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象可知，函数y=f（x）的图象关于原点对称，即函数y=f（x）为奇函数，由已知条件可得函数的周期为4，利用所求周期即可求解．【解答】解：∵函数f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称且把y=f（x﹣1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，∴f（0）=0，∵f（x+2）=f（﹣x），又f（﹣x）=﹣f（x），从而可得f（x+2）=﹣f（x），将x换成x+2，可得f（x+4）=f（x），即函数是以4为周期的周期函数，∴f=f（0）=0，f=f（1）=4，f=f（2）=﹣f（0）=0，即有f+f17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）首先根据三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出最值和对应的区间．（2）直接利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出bc的值，进一步求出三角形的面积．【解答】解：（1）=∴∴（2）由∴在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣bc又∴12=（b+c）2﹣3bc=36﹣3bc，bc=8所以18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，∴这40辆小型汽车车速的众数为：=77.5（km/h）．由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：（0.010+0.020+0.040）×5=0.35，[75，80）对应的频率为：0.060×5=0.3，∴中位数的估计值为：=77.5（km/h）．（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5=0.15，∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40=6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40=2辆，车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40=4辆，∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数n=，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m==8，∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p==．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC ⊥平面A1AB，问题得证；（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．【解答】解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B；（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，，∠ABD=60°，在Rt∠△ABA1中，．由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，．∵P为AC的中点，∴=．20．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．又点（1，）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出a的值，从而求出b．（2）首先应考虑直线l⊥x轴的情况，此时A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意．当直线l与x轴=．设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：不垂直时，），s△AF2B（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，用弦长公式可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得圆F2的半径r=，这样根据题中所给面积可求出k的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为．【解答】解：（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．又点（1，）在该椭圆上，所以．所以a=2，b2=3．所以椭圆C的方程为．（2）①当直线l⊥x轴时，可得A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意（3+4k2）②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得圆F2的半径r=，∴△AF2B的面积=|AB|r=，化简得：17k4+k2﹣18=0，得k=±1，∴r=，圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．21．已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．【解答】解：（1）当m=2时，（x＞0）令f′（x）＜0，可得或x＞2；令f′（x）＞0，可得，∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增故（2）（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则，故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0此时f（x）在上单调递减，在单调递增（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即⇒∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m＞0∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立令，则对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”∴x1+x2的取值范围为[选做题]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．[选做题]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|（1）解不等式f（x）＞5；（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据函数f（x）=，分类讨论求得不等式f（x）＞5的解集．（2）由（1）可得函数f（x）的最小值为f（﹣1）=2，结合题意求得a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，当x＜﹣1时，由﹣3x﹣1＞5，求得x＜﹣2．显然，当﹣1≤x≤1时，不等式f（x）＞5无解，当x＞1时，由3x+1＞5，求得x＞．综上可得，不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞}．（2）由（1）可得f（x）=，函数f（x）的最小值为f（﹣1）=2，故当a≤2时，不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试甘肃省文科数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=ABA. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，， 2.（1+i ）（2+i ）=A.1-iB. 1+3iC. 3+iD.3+3i 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为A.4πB.2πC. πD. 2π4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a5.若a ＞1，则双曲线x y a=222-1的离心率的取值范围是A. ∞）B. 2）C. （1D. 12（，）6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π7.设x、y满足约束条件2+330233030x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩。

则2z x y=+的最小值是A. -15B.-9C. 1 D 98.函数2()ln(28)f x x x=--的单调递增区间是A.(-∞,-2)B. (-∞,-1)C.(1, +∞)D. (4, +∞)9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩10.执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=A.2B.3C.4D.511.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110 B.15 C.310D.2512.过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为A. B. C. D.二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，0∈∞时，()322=+f x x x ,则()2=f15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=三、解答题：共70分。

甘肃省兰州市2017年高考诊断考试数学（文科）试卷（一）答 案一、选择题1~5：ACBDD 6~10：ABBDC 11~12：AC二、填空题13 14．232a15．16．20162017三、解答题17．解：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=，∴sin sin sin cos 0A B B A += 即sin (sin cos )0B A A +=由于B 为三角形内角，所以sin cos 0A A +=)04A π+=而A 为三角形内角 ∴34A π=； (Ⅱ)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a c b cb A =+-，即22044(2c c =+-，解得c =-舍)或c =∴11sin 22222S bc A ==⨯⨯=． 18．解：（Ⅰ）由题意得：66980340=+9803404101506060n +++++， 解得100n =； （Ⅱ）因为所有参与调查的人数为980+340+410+150+60+60=2000，所以从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为10060+60=62000⨯（）， 其中男生为10060=32000⨯人，女生为10060=32000⨯人，设从“带头闯红灯”中抽取的6人中男生用123,A A A ，表示，女生分别用123,,B B B 表示，则从这6人中任选取2人所有的基本事件为： 12)A A （，13()A A ，23()A A ，11()A B ，12()A B ，132122(),(),(),A B A B A B 2331323312(),(),(),(),()A B A B A B A B B B 1323(),()B B B B 共有15个．这两人均是男生的基本事件为121323(),(),()A A A A A A ，则至少有一个是女生的基本事件共有12个．故从这6人中任选取2人，至少有一个是女生的概率124155P ==． 19．解：（Ⅰ）证明，连接1A C 交1AC 于F ，则F 为1AC 的中点，连接DF ，则1//A B DF ，而DF ⊂平面，1AC D所以1//A B 平面1AC D ；（Ⅱ）∵1AE mEC =，∴1AE mEC =，过E 作EM AC ⊥于M ，则EM ⊥平面ABC ，设EM h =，则1132CD AD h ⨯••=111122BC AD AA ⨯⋅⋅，解得32h =， 所以此时E 为1AC 的中点，故1m =．20．解：(Ⅰ) 2'()32f x x x =-+(32)x x =--，令'()0f x =，得0x =或23x =． 当1(,0)2x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 为减函数； 当2(0,)3x ∈时，'()0f x >，函数()f x 为增函数； 当2(,1)3x ∈时，'()0f x <，函数()f x 为减函数； ∵13()28f b -=+， 24()327f b =+，∴12()()23f f ->． 即最大值为133()288f b -=+=， ∴0b =； (Ⅱ)由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(1n )2x x a x x -≤-，∵[]1,x e ∈， ∴1n 1x x ≤≤，由于不能同时取等号，所以1n x x ≤，即1n 0x x ->， ∴221n x x a x x-≤-[](1,)x e ∈恒成立， 令22()1n x x h x x x-=-，[]1,x e ∈，则2(1)(221n )'()(1n )x x x h x x x -+-=-， 当[]1,x e ∈时，10x -≥，221n x x +-=2(11n )0x x +->，从而'()0h x ≥， 所以函数22()1n x x h x x x-=-在[]1,x e ∈上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==-， 所以1a ≤-．21．解：(Ⅰ)∵2e = ∴2212b a = 又∵椭圆C经过点 ∴22211a b+= 解得：24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=； （Ⅱ）设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由2OP OM ON =+得即122x x x =+，12+2y y y =，因为点,M N 在椭圆22142x y +=上， 所以221124x y +=，222224x y +=，故222211222(44)x y x x x x +=++2211222(4+4)y y y y ++，22221122(2)4(2)x y x y =+++12124(2)x x y y ++，1212204(2)x x y y =++，设OM k ，ON k 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，121212OM ON y y k k x x •==-，因此121220x x y y +=， 所以22220x y +=，所以点P 是椭圆22+12010x y =上的点， 所以由椭圆的定义知存在点2,F F，满足12PF PF +==又因为12F F =所以2,F F坐标分别为（、． 22．解：(Ⅰ)圆C 的直角坐标方程为222()24a a x y +-=； 直线l 的普通方程为4380x y +-=； （Ⅱ）圆2221:()24aC x y a +-=，直线:4380l x y +-=， ∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C倍，∴圆心C 到直线的距离3|8|12522a a d -==⨯， 解得32a =或3211a =． 23．解：（Ⅰ）因为函数的定义域为R ，所以130x x m ++--≥恒成立， 设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值， 又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（Ⅱ）当m 取最大值4时，原不等式等价于324x x --≤，所以有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 解得3x ≥或133x -≤<， 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．甘肃省兰州市2017年高考诊断考试数学（理科）试卷（一）解 析9．D 解析：设点P 的坐标为cos θ,1+sin θ)，A(t,0)-，B(t,0)cos θ+t,1+sin θ)AP =u u u r ，cos θt,1+sin θ)BP =-u u u rAP BP =u u u r u u u r g 2250t sin θθ-+++=即225t sin θθ=++=4sin()503πθ++=(0θ2π)≤<所以1t 3≤≤10．C11．A 解析：根据双曲线定义，122PF PF a -=，且点P 在左支，则122PF PF a -=，设1PF m =，PF n =２，则2m n a =-,282n a n a=-,则4n a =,2m a =,在12PF F ∆中,2m n c +≥,则离心率3e ≤. ∴13e <≤.12.C 解析:依题意,函数()y f x =是周期为2的偶函数,在02x ≤<上,由图像可得0a =或14-时,直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点,所以a 的值为2n 或12()4n n Z -∈. 二、填空题13.解析：22cos 15sin 15cos30-==14.解析：由菱形性质得BD =，CD a =，且夹角为6π，所以232BD CD a =g ．15.答案：16. 解析：由11n n n b b a --=+得11n n n b b a ---=，所以211b b a -=,322,,b b a -=L 所以21321++n n b b b b b b --+--L 121n a a a -=+++L 1111223(1)n n=+++⨯⨯-⨯L 即1121n n b b a a a --=+++L 1111223(1)n n=+++⨯⨯-⨯L 11111223=-+-++L 111111n n n n n --=-=- 由于10b =，所以1n n b n -=，故201720162017b =三、解答题17．解：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=∴sin sin sin cos 0A B B A += 即sin (sin cos )0B A A +=由于B 为三角形内角，所以sin cos 0A A +=)04A π+=而A 为三角形内角 ∴34A π= (Ⅱ)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a c b cb A =+-即22044(2c c =+-，解得c =-舍)或c =∴11sin 22222S bc A ==⨯⨯= 18．解：（Ⅰ）由题意得：66980340=+9803404101506060n +++++， 解得100n =． （Ⅱ）因为所有参与调查的人数为980+340+410+150+60+60=2000，所以从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为10060+60=62000⨯（）， 其中男生为10060=32000⨯人，女生为10060=32000⨯人，设从“带头闯红灯”中抽取的6人中男生用123,A A A ，表示，女生分别用123,,B B B 表示，则从这6人中任选取2人所有的基本事件为： 12)A A （，13()A A ，23()A A ，11()A B ，12()A B ，132122(),(),(),A B A B A B 2331323312(),(),(),(),()A B A B A B A B B B 1323(),()B B B B 共有15个．这两人均是男生的基本事件为121323(),(),()A A A A A A ，则至少有一个是女生的基本事件共有12个．故从这6人中任选取2人，至少有一个是女生的概率124155P == 19．解：（Ⅰ）证明，连接1A C 交1AC 于F ，则F 为1AC 的中点连接DF ，则1//A B DF ，而DF ⊂平面1AC D所以1//A B 平面1AC D ；（Ⅱ）∵1AE mEC =∴1AE mEC =过E 作EM AC ⊥于M ，则EM ⊥平面ABC ，设EM h =，则1132CD AD h ⨯=g g 111122BC AD AA ⨯g g解得32h = 所以此时E 为1AC 的中点，故1m =．20．解：(Ⅰ) 2'()32f x x x =-+(32)x x =--，令'()0f x =，得0x =或23x =． 当1(,0)2x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 为减函数； 当2(0,)3x ∈时，'()0f x >，函数()f x 为增函数； 当2(,1)3x ∈时，'()0f x <，函数()f x 为减函数； ∵13()28f b -=+， 24()327f b =+，∴12()()23f f ->． 即最大值为133()288f b -=+=， ∴0b =． (Ⅱ)由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(1n )2x x a x x -≤-∵[]1,x e ∈， ∴1n 1x x ≤≤，由于不能同时取等号，所以1n x x ≤，即1n 0x x ->． ∴221n x x a x x-≤-[](1,)x e ∈恒成立． 令22()1n x x h x x x-=-，[]1,x e ∈，则2(1)(221n )'()(1n )x x x h x x x -+-=- 当[]1,x e ∈时，10x -≥，221n x x +-=2(11n )0x x +->，从而'()0h x ≥ 所以函数22()1n x x h x x x-=-在[]1,x e ∈上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==- 所以1a ≤-．21．解：(Ⅰ)∵e = ∴2212b a =又∵椭圆C 经过点 ∴22211a b+= 解得：24a =，22b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=． （Ⅱ）设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由2OP OM ON =+得即122x x x =+，12+2y y y =，因为点,M N 在椭圆22142x y +=上，所以221124x y +=，222224x y +=故222211222(44)x y x x x x +=++2211222(4+4)y y y y ++22221122(2)4(2)x y x y =+++12124(2)x x y y ++1212204(2)x x y y =++设OM k ，ON k 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知， 121212OM ON y y k k x x ==-g ，因此121220x x y y += 所以22220x y +=，所以点P 是椭圆22+12010x y =上的点， 所以由椭圆的定义知存在点2,F F，满足12PF PF +==又因为12F F =所以2,F F坐标分别为（、． 22．解：(Ⅰ)圆C 的直角坐标方程为222()24a a x y +-=； 直线l 的普通方程为4380x y +-=． （Ⅱ）圆2221:()24aC x y a +-=，直线:4380l x y +-=， ∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C倍，∴圆心C 到直线的距离3|8|12522a a d -==⨯， 解得32a =或3211a =． 23．解：（Ⅰ）因为函数的定义域为R ，所以130x x m ++--≥恒成立， 设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值， 又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4 所以4m ≤．（Ⅱ）当m 取最大值4时，原不等式等价于324x x --≤所以有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 解得3x ≥或133x -≤<． 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．。

甘肃省兰州市2017年高考诊断考试数学（文科）试卷（一）答 案一、选择题1~5：ACBDD 6~10：ABBDC 11~12：AC二、填空题13 14．232a15．16．20162017三、解答题 17．解：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=，∴sin sin sin cos 0A B B A += 即sin (sin cos )0B A A +=由于B 为三角形内角，所以sin cos 0A A +=)04A π+=而A 为三角形内角 ∴34A π=； (Ⅱ)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a c b cb A =+-，即22044()2c c =+--，解得c =-舍)或c =∴11sin 2222S bc A ==⨯⨯=． 18．解：（Ⅰ）由题意得：66980340=+9803404101506060n +++++， 解得100n =； （Ⅱ）因为所有参与调查的人数为980+340+410+150+60+60=2000，所以从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为10060+60=62000⨯（）， 其中男生为10060=32000⨯人，女生为10060=32000⨯人，设从“带头闯红灯”中抽取的6人中男生用123,A A A ，表示，女生分别用123,,B B B 表示，则从这6人中任选取2人所有的基本事件为： 12)A A （，13()A A ，23()A A ，11()A B ，12()A B ，132122(),(),(),A B A B A B 2331323312(),(),(),(),()A B A B A B A B B B 1323(),()B B B B 共有15个．这两人均是男生的基本事件为121323(),(),()A A A A A A ，则至少有一个是女生的基本事件共有12个．故从这6人中任选取2人，至少有一个是女生的概率124155P ==． 19．解：（Ⅰ）证明，连接1A C 交1AC 于F ，则F 为1AC 的中点，连接DF ，则1//A B DF ，而DF ⊂平面，1AC D所以1//A B 平面1AC D ；（Ⅱ）∵1AE mEC =，∴1AE mEC =，过E 作EM AC ⊥于M ，则EM ⊥平面ABC ，设EM h =，则1132CD AD h ⨯∙∙=111122BC AD AA ⨯⋅⋅，解得32h =， 所以此时E 为1AC 的中点，故1m =．20．解：(Ⅰ) 2'()32f x x x =-+(32)x x =--，令'()0f x =，得0x =或23x =． 当1(,0)2x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 为减函数； 当2(0,)3x ∈时，'()0f x >，函数()f x 为增函数； 当2(,1)3x ∈时，'()0f x <，函数()f x 为减函数； ∵13()28f b -=+， 24()327f b =+，∴12()()23f f ->． 即最大值为133()288f b -=+=， ∴0b =； (Ⅱ)由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(1n )2x x a x x -≤-，∵[]1,x e ∈， ∴1n 1x x ≤≤，由于不能同时取等号，所以1n x x ≤，即1n 0x x ->， ∴221n x x a x x-≤-[](1,)x e ∈恒成立， 令22()1n x x h x x x-=-，[]1,x e ∈，则2(1)(221n )'()(1n )x x x h x x x -+-=-， 当[]1,x e ∈时，10x -≥，221n x x +-=2(11n )0x x +->，从而'()0h x ≥， 所以函数22()1n x x h x x x-=-在[]1,x e ∈上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==-， 所以1a ≤-．21．解：(Ⅰ)∵2e = ∴2212b a = 又∵椭圆C经过点 ∴22211a b+= 解得：24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=； （Ⅱ）设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由2OP OM ON =+得即122x x x =+，12+2y y y =，因为点,M N 在椭圆22142x y +=上， 所以221124x y +=，222224x y +=，故222211222(44)x y x x x x +=++2211222(4+4)y y y y ++，22221122(2)4(2)x y x y =+++12124(2)x x y y ++，1212204(2)x x y y =++，设OM k ，ON k 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，121212OM ON y y k k x x ∙==-，因此121220x x y y +=， 所以22220x y +=，所以点P 是椭圆22+12010x y =上的点， 所以由椭圆的定义知存在点2,F F，满足12PF PF +=又因为12F F =所以2,F F坐标分别为（、． 22．解：(Ⅰ)圆C 的直角坐标方程为222()24a a x y +-=； 直线l 的普通方程为4380x y +-=； （Ⅱ）圆2221:()24aC x y a +-=，直线:4380l x y +-=， ∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C∴圆心C 到直线的距离3|8|12522a a d -==⨯， 解得32a =或3211a =． 23．解：（Ⅰ）因为函数的定义域为R ，所以130x x m ++--≥恒成立， 设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值， 又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（Ⅱ）当m 取最大值4时，原不等式等价于324x x --≤，所以有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 解得3x ≥或133x -≤<， 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．甘肃省兰州市2017年高考诊断考试数学（理科）试卷（一）解 析9．D 解析：设点P 的坐标为cos θ,1+sin θ)，A(t,0)-，B(t,0) (3cos θ+t,1+sin θ)AP =，(3cos θt,1+sin θ)BP =-AP BP =2250t sin θθ-+++=即225t sin θθ=++=4sin()503πθ++=(0θ2π)≤<所以1t 3≤≤ 10．C 11．A 解析：根据双曲线定义，122PF PF a -=，且点P 在左支，则122PF PF a -=，设1PF m =，PF n =２，则2m n a =-,282n a n a=-,则4n a =,2m a =,在12PF F ∆中,2m n c +≥,则离心率3e ≤. ∴13e <≤.12.C 解析:依题意,函数()y f x =是周期为2的偶函数,在02x ≤<上,由图像可得0a =或14-时,直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点,所以a 的值为2n 或12()4n n Z -∈. 二、填空题13.解析：22cos 15sin 15cos30-==14.解析：由菱形性质得BD ，CD a =，且夹角为6π，所以232BD CD a =．15.答案：16. 解析：由11n n n b b a --=+得11n n n b b a ---=，所以211b b a -=,322,,b b a -=所以21321++n n b b b b b b --+--121n a a a -=+++1111223(1)n n=+++⨯⨯-⨯ 即1121n n b b a a a --=+++1111223(1)n n=+++⨯⨯-⨯ 11111223=-+-++111111n n n n n--=-=- 由于10b =，所以1n n b n -=，故201720162017b =三、解答题17．解：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=∴sin sin sin cos 0A B B A += 即sin (sin cos )0B A A +=由于B 为三角形内角，所以sin cos 0A A +=)04A π+=而A 为三角形内角 ∴34A π= (Ⅱ)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a c b cb A =+-即22044()2c c =+--，解得c =-舍)或c =∴11sin 2222S bc A ==⨯⨯= 18．解：（Ⅰ）由题意得：66980340=+9803404101506060n +++++， 解得100n =． （Ⅱ）因为所有参与调查的人数为980+340+410+150+60+60=2000，所以从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为10060+60=62000⨯（）， 其中男生为10060=32000⨯人，女生为10060=32000⨯人，设从“带头闯红灯”中抽取的6人中男生用123,A A A ，表示，女生分别用123,,B B B 表示，则从这6人中任选取2人所有的基本事件为： 12)A A （，13()A A ，23()A A ，11()A B ，12()A B ，132122(),(),(),A B A B A B 2331323312(),(),(),(),()A B A B A B A B B B 1323(),()B B B B 共有15个．这两人均是男生的基本事件为121323(),(),()A A A A A A ，则至少有一个是女生的基本事件共有12个．故从这6人中任选取2人，至少有一个是女生的概率124155P == 19．解：（Ⅰ）证明，连接1A C 交1AC 于F ，则F 为1AC 的中点连接DF ，则1//A B DF ，而DF ⊂平面1AC D所以1//A B 平面1AC D ；（Ⅱ）∵1AE mEC =∴1AE mEC =过E 作EM AC ⊥于M ，则EM ⊥平面ABC ，设EM h =，则1132CD AD h ⨯=111122BC AD AA ⨯解得32h = 所以此时E 为1AC 的中点，故1m =．20．解：(Ⅰ) 2'()32f x x x =-+(32)x x =--，令'()0f x =，得0x =或23x =． 当1(,0)2x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 为减函数； 当2(0,)3x ∈时，'()0f x >，函数()f x 为增函数； 当2(,1)3x ∈时，'()0f x <，函数()f x 为减函数； ∵13()28f b -=+， 24()327f b =+，∴12()()23f f ->． 即最大值为133()288f b -=+=， ∴0b =． (Ⅱ)由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(1n )2x x a x x -≤-∵[]1,x e ∈， ∴1n 1x x ≤≤，由于不能同时取等号，所以1n x x ≤，即1n 0x x ->． ∴221n x x a x x-≤-[](1,)x e ∈恒成立． 令22()1n x x h x x x-=-，[]1,x e ∈，则2(1)(221n )'()(1n )x x x h x x x -+-=- 当[]1,x e ∈时，10x -≥，221n x x +-=2(11n )0x x +->，从而'()0h x ≥ 所以函数22()1n x x h x x x-=-在[]1,x e ∈上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==- 所以1a ≤-．21．解：(Ⅰ)∵e = ∴2212b a =又∵椭圆C 经过点 ∴22211a b+= 解得：24a =，22b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=． （Ⅱ）设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由2OP OM ON =+得即122x x x =+，12+2y y y =，因为点,M N 在椭圆22142x y +=上，所以221124x y +=，222224x y +=故222211222(44)x y x x x x +=++2211222(4+4)y y y y ++22221122(2)4(2)x y x y =+++12124(2)x x y y ++1212204(2)x x y y =++设OM k ，ON k 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知， 121212OM ON y y k k x x ==-，因此121220x x y y += 所以22220x y +=，所以点P 是椭圆22+12010x y=上的点， 所以由椭圆的定义知存在点2,F F ，满足12PFPF += 又因为12F F =所以2,F F 坐标分别为（、． 22．解：(Ⅰ)圆C 的直角坐标方程为222()24a a x y +-=； 直线l 的普通方程为4380x y +-=． （Ⅱ）圆2221:()24aC x y a +-=，直线:4380l xy +-=， ∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C∴圆心C 到直线的距离3|8|12522a a d -==⨯， 解得32a =或3211a =． 23．解：（Ⅰ）因为函数的定义域为R ，所以130x x m ++--≥恒成立， 设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值， 又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4所以4m ≤．（Ⅱ）当m 取最大值4时，原不等式等价于324x x --≤所以有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 解得3x ≥或133x -≤<． 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．。

2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={y|y=|x|+1，x∈R}，则A∩∁R B=（）A.（0，2）B.[1，2）C.（0，1]D.（0，1）【答案】D【解析】解：由不等式x2-2x＜0解得：0＜x＜2∴集合A={x|0＜x＜2}，由函数y=|x|+1，x∈R，可得值域为[1+∞），∴集合B=[1+∞），∴∁R B=（-∞，1）．那么：A∩∁R B=（0，1）故选D求解不等式可得集合A，求B的值域可得集合B，根据集合的基本运算即可求A∩∁R B．本题考查了不等式的计算，值域的问题和集合的基本运算，比较基础．2.下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为-1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A.p2，p3B.p1，p2C.p2，p4D.p3，p4【答案】C【解析】解：复数z===1+i的四个命题：p1：|z|=≠2，因此是假命题；p2：z2=（1+i）2=2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1-i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.下列命题推断错误的是（）A.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B.若p且q为假命题，则p，q均为假命题C.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件D.命题p：存在x0∈R，使得＜，则非p：任意x∈R，都有【答案】B【解析】解：对于A，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题为真命题，所以A 正确；对于B，若p且q为假命题，则p，q均为假命题，只要一个命题是假命题，命题就是假命题，所以B不正确；对于C，“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，满足充要条件，正确；对于D，命题p：存在x0∈R，使得＜，则非p：任意x∈R，都有．满足命题的否定形式，正确；故选：B．利用原命题与逆否命题的真假关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，基本知识的考查．4.关于右面两个程序框图，说法正确的是（）A.（1）和（2）都是顺序结构B.（1）和（2）都是条件分支结构C.（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构D.（1）是直到型循环结构，（2）是当型循环结构【答案】C【解析】解：（1）观察图（1），它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；（2）观察图（2），它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图．故（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构．故选C．欲判断选项的正确性，主要讨论程序进行判断前是否执行循环体，如果先执行循环体，则是直到型循环，否则是当型循环．解题的关键是弄清循环体是在判断框前还是后．本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=4，S4=16，则a5+a6=（）A.11B.16C.20D.28【答案】C【解析】解：∵{a n}为等差数列，前n项和为S n，∴S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，∴2（S4-S2）=S2+（S6-S4），又S2=4，S4=16，∴24=4+S6-S4=a5+a6+4，∴a5+a6=20．故选C．可利用等差数列的性质S2，S4-S2，S6-S4仍然成等差数列来解决．本题考查等差数列的性质，关键在于掌握：“等差数列中S n，S2n-S n，S3n-S2n…仍成等差数列”这一性质，属于中档题．6.已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴====．故选C．本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的．本题考查向量模的求法，求向量的模一般先求其平方，或者恒等变形，将其拿到根号下平方，以达到用公式求出其值的目的，解此类题时注意总结此规律，这是解本类题的通用方法，切记！7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4【答案】D【解析】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．8.函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）个单位长度．A.向右平移B.向右平移C.向左平移D.向左平移【答案】A【解析】解：根据函数的图象：求得：T=π进一步利用：解得：当x=时，|φ|＜所以：φ=即函数f（x）=要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．故选：A首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A、ω、Φ的值，函数图象的平移变换问题．9.已知函数f（x）的定义域为[-1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）-a的零点的个数为4个．故选：C．根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）-a的零点的个数．本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．10.已知集合，，，表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：满足约束条件区域为△ABO内部（含边界），与圆x2+y2=2的公共部分如图中阴影扇形部分所示，则点P落在圆x2+y2=2内的概率概率为：P=扇形==．故选A．由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内和圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．11.已知双曲线＞，＞的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=-6，则由题意知，点F（-6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．由抛物线标准方程易得其准线方程为x=-6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲线的左焦点为（-6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．12.设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A.[，2） B.[，2] C.[，1） D.[，1]【答案】C【解析】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），即==f（1）=，∴数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n=f（n）=（）n，∴S n==1-（）n∈[，1）．故选C．根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得S n，进而S n的取值范围．本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{a n}是等比数列，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.令p（x）：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是______ ．【答案】a＞1【解析】解：对∀x∈R，p（x）是真命题，是对∀x∈R，ax2+2x+1＞0恒成立，当a=0时，ax2+2x+1＞0化为2x+1＞0，解得，＞，不等式不是对∀x∈R恒成立；若a≠0，由题意，得＞＜解得a＞1．所以∀x∈R，ax2+2x+1＞0恒成立的a的范围是a＞1，即若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是a＞1．故答案为a＞1．首先把命题恒成立转化为不等式恒成立问题，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，当a=0时为一次不等式，当a≠0为二次不等式，二次不等式恒成立时，结合不等式对应函数的图象的开口方向和与x轴没交点得出不等式组，最后求解．分类讨论思想是重要的数学思想，特别是解决含有未知量的恒成立问题，分类讨论尤为重要．14.若tan（π+θ）=2，则的值为______ ．【答案】【解析】解：∵tan（π+θ）=2，∴tanθ=2，则===．故答案为：．tan（π+θ）=2，可得tanθ=2，利用“弦化切”即可得出．本题考查了“弦化切”、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则的最小值为______ ．【答案】4【解析】解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny-1=0上，∴m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=（）（m+n）==2++≥2+2•=4，当且仅当两数相等时取等号．故答案为4．．最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a1-x （a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny-1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．16.函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）=4，则f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为______ ．【答案】4【解析】解：∵函数f（x-1）的图象关于（1，0）对称且把y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，∴f（0）=0，∵f（x+2）=f（-x），又f（-x）=-f（x），从而可得f（x+2）=-f（x），将x换成x+2，可得f（x+4）=f（x），即函数是以4为周期的周期函数，∴f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=4，f（2018）=f（504×4+2）=f（2）=-f（0）=0，即有f（2016）+f（2017）+f（2018）=4．故答案为：4．由函数f（x-1）的图象关于（1，0）对称，且由y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f （x）的图象可知，函数y=f（x）的图象关于原点对称，即函数y=f（x）为奇函数，由已知条件可得函数的周期为4，利用所求周期即可求解．本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．【答案】解：（1）=∴，此时，∴，的取值集合为，（2），即由＜＜∴，即在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-bc又，∴12=（b+c）2-3bc=36-3bc，bc=8所以【解析】（1）首先根据三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出最值和对应的区间．（2）直接利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出bc的值，进一步求出三角形的面积．本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最值，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用．属于基础题型．18.“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【答案】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，∴这40辆小型汽车车速的众数为：=77.5（km/h）．由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：（0.010+0.020+0.040）×5=0.35，[75，80）对应的频率为：0.060×5=0.3，∴中位数的估计值为：=77.5（km/h）．（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5=0.15，∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40=6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40=2辆，车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40=4辆，∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数n=，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m==8，∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p==．【解析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P-A1BC的体积．【答案】解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC （2分）∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，（5分）又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B；（6分）（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在R t∠△ABD中，，AB=BC=2，∠，∠ABD=60°，在R t∠△ABA1中，．（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，．∵P为AC的中点，（10分）∴=．（12分）【解析】（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P-A1BC的体积可转化成求三棱锥A1-PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．20.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程．【答案】解：（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．又点（1，）在该椭圆上，所以．所以a=2，b2=3．所以椭圆C的方程为．（2）①当直线l⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），△AF2B的面积为3，不符合题意②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得圆F2的半径r=，∴△AF2B的面积=|AB|r=，化简得：17k4+k2-18=0，得k=±1，∴r=，圆的方程为（x-1）2+y2=2．【解析】（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．又点（1，）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出a的值，从而求出b．（2）首先应考虑直线l⊥x轴的情况，此时A（-1，-），B（-1，），△AF2B的面积为3，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，），s△AF2B=．设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，用弦长公式可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得圆F2的半径r=，这样根据题中所给面积可求出k的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为．本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆与圆，用弦长公式点到直线的距离公式、属于中档题．21.已知函数f（x）=（m+）lnx+-x，（其中常数m＞0）．（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f （x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【答案】解：（1）当m=2时，′（x＞0）令f′（x）＜0，可得＜＜或x＞2；令f′（x）＞0，可得＜＜，∴f（x）在，和（2，+∞）上单调递减，在，单调递增故极大（2）′（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则＞，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m=1时，则，故x∈（0，1），有′＜恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则＜＜，故，时，f′（x）＜0；，时，f′（x）＞0此时f（x）在，上单调递减，在，单调递增（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即⇒∵x1≠x2，由不等式性质可得＜恒成立，又x1，x2，m＞0∴＜⇒＞对m∈[3，+∞）恒成立令，则′＞对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故从而“＞对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“＞”∴x1+x2的取值范围为，∞【解析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键22.在直角坐标系x O y中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．【答案】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【解析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．23.已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|（1）解不等式f（x）＞5；（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．【答案】解：（1）函数f（x）=|x-1|+|2x+2|=，＜，，＞，当x＜-1时，由-3x-1＞5，求得x＜-2．显然，当-1≤x≤1时，不等式f（x）＞5无解，当x＞1时，由3x+1＞5，求得x＞．综上可得，不等式的解集为{x|x＜-2或x＞}．（2）由（1）可得f（x）=，＜，，＞，函数f（x）的最小值为f（-1）=2，故当a≤2时，不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集．【解析】（1）根据函数f（x）=，＜，，＞，分类讨论求得不等式f（x）＞5的解集．（2）由（1）可得函数f（x）的最小值为f（-1）=2，结合题意求得a的取值范围．本题主要考查队友绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．。

2017年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，则实数m的取值集合是（）A．{0} B．{2} C．{0，2}D．{0，1，2}2．设i为虚数单位，则=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．“sinα=“是“α=30°”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅ D．m⊥l，m⊥α5．三次函数f（x）=ax3﹣x2+2x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则实数a=（）A．B．C．1 D．26．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石7．当双曲线M：﹣=1（﹣2＜m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±2x D．y=±x8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2π B ．8+2π C ．4+π D ．8+π9．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.910．一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（ ）A ．81πB ．16πC ．D ．11．已知等比数列{a n }的公比q=2，a 4=8，S n 为{a n }的前n 项和，设a=a 20.3，b=0.3，c=log an （S n +），则a ，b ，c 大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a12．已知函数f（x）=x2017，若f（log2a）+f（log0.5a）≤，则实数a 的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，]∪[1，+∞）C．（0，]∪[2，+∞）D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若向量满足，则x=．14．若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最小值为．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a2+a3=8，则数列{a n}的前n项和S n=．16．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣4=0与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相切，则m+n的取值范围是．三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知△ABC的面积为S，且•=S．（Ⅰ）求tan2B的值；（Ⅱ）若cosA=，且|﹣|=2，求BC边中线AD的长．18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一．为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机选取了30人进行调查，将他们的年龄（单位：岁）数据绘制成频率分布直方图（图1），并将调查情况进行整理后制成表2：表2：（Ⅰ）由于工作人员粗心，不小心将表2弄脏，遗失了部分数据，请同学们将表2中的数据恢复，并估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（Ⅱ）把频率当作概率估计赞成车辆限行的情况，若从年龄在[55，65），[65，75]的被调查者中随机抽取一个人进行追踪调查，求被选2人中至少一个人赞成车辆限行的概率．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（Ⅰ）若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成角为45°，求点D到平面PBC的距离．20．在直角坐标系xOy中，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且椭圆C1经过点A（1，），同时F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）E，F是椭圆C1上两个动点，如果直线AE与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．21．设函数f（x）=x2﹣2klnx（k＞0）．（Ⅰ）当k=4时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（1，]上的零点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．2017年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，则实数m的取值集合是（）A．{0} B．{2} C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A∩B=B，得B⊆A，然后利用子集的概念求得m的值．【解答】解：∵A∩B=B，∴B⊆A．当m=0时，B={1，0}，满足B⊆A．当m=2时，B={1，2}，满足B⊆A．∴m=0或m=2．∴实数m的值为0或2．故选：C．2．设i为虚数单位，则=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质化简即可．【解答】解：==﹣i（3﹣i）=﹣1﹣3i，故选：A．3．“sinα=“是“α=30°”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当α=150°，满足sinα=，但α=30°不成立．若α=30°，满足sinα=，∴“sinα=“是“α=30°”的必要不充分条件．故选：B．4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅ D．m⊥l，m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：设过l和l在平面α内的射影的平面为β，则当m⊥β时，有m⊥l，m∥α或m⊂α，故A，B正确．若m∥l，则m与平面α所成的夹角与l与平面α所成的夹角相等，即m与平面α斜交，故C正确．若m⊥α，设l与m所成的角为θ，则0＜θ＜．即m与l不可能垂直，故D 错误．故选：D．5．三次函数f（x）=ax3﹣x2+2x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则实数a=（）A．B．C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，可得x=1处切线的斜率，由切线与x轴平行，可得切线的斜率为0，解方程可得a的值．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣x2+2x+1的导数为f′（x）=3ax2﹣3x+2，由f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，可得f′（1）=0，即3a﹣3+2=0，解得a=．故选：A．6．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石【考点】简单随机抽样．【分析】根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石，故选：B．7．当双曲线M：﹣=1（﹣2＜m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±2x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c2=m2+2m+4=（m+1）2+3，可得m=﹣1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．【解答】解：由题意可得c2=m2+2m+4=（m+1）2+3，可得当m=﹣1时，焦距2c取得最小值，双曲线的方程为=1，即有渐近线方程为y=±x．故选A．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2π B．8+2π C．4+πD．8+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．∴该几何体的体积V==8+．故选：D．9．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．10．一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（）A ．81πB ．16πC ．D ．【考点】类比推理．【分析】根据类似推理可以得到一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，利用等体积求出内切球半径，即可求出该三棱锥内切球的体积．【解答】解：由一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，设三棱锥的四个面积分别为：S 1，S 2，S 3，S 4， 由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V=（S 1×r +S 2×r +S 3×r +S 4×r ）=S ×r∴内切球半径r===2，∴该三棱锥内切球的体积为π•23=．故选：C11．已知等比数列{a n }的公比q=2，a 4=8，S n 为{a n }的前n 项和，设a=a 20.3，b=0.3，c=log an （S n +），则a ，b ，c 大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a 【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质得a 1=1，a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，a 2=2，a 3=4， =2n﹣1，由此利用对数函数和指数函数的单调性质能判断a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：∵等比数列{a n }的公比q=2，a 4=8，S n 为{a n }的前n 项和，∴，∴8=a 1•8，解得a 1=1，∴a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，∴a 2=2，a 3=4，=2n ﹣1，设a=a20.3，b=0.3，c=log an（S n+），∴a=20.3∈（1，），a=20.3＜20.5=，b=0.34∈（0，1），∵n∈N*，∴1≤2n﹣1≤2n﹣1，∴＜c=＜2，∴a，b，c大小关系是b＜a＜c．故选：B．12．已知函数f（x）=x2017，若f（log2a）+f（log0.5a）≤，则实数a 的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，]∪[1，+∞）C．（0，]∪[2，+∞）D．[，2]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数是偶函数，且函数在（0，+∞）上是增函数，不等式转化为﹣1≤log2a≤1，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，且函数在（0，+∞）上是增函数，∵f（log2a）+f（log0.5a）≤，∴f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），∴f（log2a）≤f（1），∴﹣1≤log2a≤1，∴a∈[，2]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若向量满足，则x=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值．【解答】解：∵，∴，又，且，∴x﹣1=0，即x=1．故答案为：1．14．若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域：联立，解得A（﹣2，2），化z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣6．故答案为：﹣6．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a2+a3=8，则数列{a n}的前n项和S n=n2．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出a1=1，d=2，由此能求出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，a2+a3=8，∴，解得a1=1，d=2，∴数列{a n}的前n项和S n=．故答案为：n2．16．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣4=0与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相切，则m+n的取值范围是x≥2+2或x≤2﹣2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣4=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==2，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x（x＞0），则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为x≥2+2或x≤2﹣2，故答案为x≥2+2或x≤2﹣2．三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知△ABC的面积为S，且•=S．（Ⅰ）求tan2B的值；（Ⅱ）若cosA=，且|﹣|=2，求BC边中线AD的长．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据△ABC的面积，结合平面向量的数量积求出tanB的值，再求tan2B的值；（Ⅱ）根据tanB的值，求出sinB、cosB，再由cosA的值求出sinA，从而求出sinC=sinB，判断△ABC是等腰三角形，求出底边上的中线AD的长．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为S，且•=S；∴accosB=acsinB，解得tanB=2；∴tan2B==﹣；（Ⅱ）∵|﹣|=2，∴||=2，又tanB==2，sin2B+cos2B=1∴sinB=，cosB=；又cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=；∵sinB=sinC，∴B=C，∴AB=AC=2，∴中线AD也是BC边上的高，∴AD=ABsinB=2×=．18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一．为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机选取了30人进行调查，将他们的年龄（单位：岁）数据绘制成频率分布直方图（图1），并将调查情况进行整理后制成表2：表2：（Ⅰ）由于工作人员粗心，不小心将表2弄脏，遗失了部分数据，请同学们将表2中的数据恢复，并估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（Ⅱ）把频率当作概率估计赞成车辆限行的情况，若从年龄在[55，65），[65，75]的被调查者中随机抽取一个人进行追踪调查，求被选2人中至少一个人赞成车辆限行的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）由频率分布图和频数分布表得填表数值分别是9和3，由此能求出平均年龄和赞成率．（Ⅱ）[55，65）中3人设为A ，a 1，a 2表示赞成，利用列举法能求出被选2人中至少一个人赞成车辆限行的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布图和频数分布表得填表数值分别是9和3， 平均年龄是：20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（岁）， 赞成率是：p==．（Ⅱ）[55，65）中3人设为A ，a 1，a 2表示赞成， 各抽取一人所有事件为：AB 1，AB 2，Ab ，a 1B 1，a 1B 2，a 1b ，a 2B 1，a 2B 2，a 2b ，共9个， 设“被选2人中至少有一个人赞成车辆限行”为事件M ， 则事件M 包含的基本事件有7个，∴被选2人中至少一个人赞成车辆限行的概率P（M）=．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（Ⅰ）若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成角为45°，求点D到平面PBC的距离．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设PC交DE于点N，连结MN，推导出MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．（Ⅱ）推导出∠PBD为PB与平面ABCD所成角，从而PD=BD=，设D到平•PD=S△PBC•d，能求出点D到平面PBC的距离．面PBC的距离为d，由S△BDC【解答】证明：（Ⅰ）设PC交DE于点N，连结MN，在△PAC中，∵M，N分别为PA，PC的中点，∴MN∥AC，又AC⊄平面MDE，MN⊂平面MDE，∴AC∥平面MDE．解：（Ⅱ）∵平面PDCE⊥平面ABCD，四边形PDCE为矩形，∴PD⊥平面ABCD，∴∠PBD为PB与平面ABCD所成角，∵PB与平面ABCD所成角为45°，∴PD=BD=，设D到平面PBC的距离为d，•PD=S△PBC•d，∴S△BDC∵，∴d=1，∴点D到平面PBC的距离为1．20．在直角坐标系xOy中，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且椭圆C1经过点A（1，），同时F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）E，F是椭圆C1上两个动点，如果直线AE与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意求得c=1，可得椭圆方程为，将点（1，）代入方程求得a值得答案；（Ⅱ）写出AE所在直线方程，y=k（x﹣1）+，代入椭圆方程，求出E的坐标，同理求出F的坐标，然后代入斜率公式可得直线EF的斜率为定值，并求得这个定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，F2（1，0），则c=1，b2=a2﹣1，椭圆方程为．将点（1，）代入方程可得a2=4，∴椭圆方程为；（Ⅱ）设AE的方程为y=k（x﹣1）+，代入椭圆方程得：（4k2+3）x2﹣（8k2﹣12k）x+（4k2﹣12k﹣3）=0．∵1是方程的一个根，∴，①∵直线AF与AE的斜率互为相反数，∴，②∵，，∴=，将①②代入可得．21．设函数f（x）=x2﹣2klnx（k＞0）．（Ⅰ）当k=4时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（1，]上的零点个数．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由f（x）定义域是（0，+∞），，令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2（舍），列表讨论，能求出f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）f（x）的最小值为f（）=k﹣klnk，若函数有零点，则有f（）≤0，解得k≥e，此时函数f（x）在（1，]上有一个零点，当k＜e时，函数f（x）在（1，]上没有零点．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2﹣2klnx（k＞0），∴f（x）定义域是（0，+∞），，令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2（舍），列表如下：∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），函数在x=2处取得极小值f（2）=4﹣8ln2，无极大值．（Ⅱ）由（1）知f（x）的最小值为f（）=k﹣klnk，若函数有零点，则有f（）≤0，解得k≥e，当k≥e时，函数f（x）在（1，]上单调递减，又f（1）=1＞0，f（）=e﹣k≤0，∴函数f（x）在（1，]上有一个零点，当k＜e时，函数f（x）的最小值为正数，∴函数f（x）在（1，]上没有零点．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），普通方程为（x﹣1）2+y2=1，（y＜0），极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），普通方程2x+y﹣6=0；（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；θ=﹣代入曲线C的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），2∴|PQ|=6﹣=5．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x 的取值范围．（2）当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函数f （x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，此时，﹣2≤x≤1．（2）函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|=，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜率为﹣a的一条直线，如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．2017年4月3日。

甘肃省高台县第一中学2017届高三第一次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}21,0,1,2,3,|20A B x x x =-=->，则A B =A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2 2.在复平面内，复数11i i++对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点向左平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为 A ．5sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．5sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．5sin 224x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为 A ．1：2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:165.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．4 B ．2 C ．-2 D ．-46. 直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．D ． 47. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则主视图中x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．38. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为（ ）1.732=，sin150.2588︒≈，sin 7.50.1305︒≈． A ．12 B ．24C ．48D ．969.函数()()2l n 0,fx x x b x a b a R =+-+>∈的图象在点()(),b f b处的切线斜率的最小值为 A．．1 D ．210.从正六边形的6个顶点中随机选择4个，则以它们为顶点的四边形是矩形的概率为 A ．110B ．18C ．16D ．1511.函数()()log 320,1a y x a a =-+>≠的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则的值为sin 2cos 2αα+A ．75B ．65 C ．4 D ．512.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当(]1,3x ∈-时，()(]()(],1,112,1,3x f x t x x ∈-=--∈⎪⎩其中0t >，若方程()3x f x =有3个不同的实数根，则t 的取值范围是A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。