浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷及答案解析

2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.方程x+|y−1|=0表示的曲线是()A. B.C. D.2.设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知命题p：任意，sinx≤1，则()A. ￢p：存在，sinx0≥1B. ￢p：任意，sinx≥1C. ￢p：存在，sinx0>1D. ￢p：任意，sinx>14.已知ι，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是()A. 若l⊥α，l⊥m，则m⊂αB. 若l//α，m⊂α，则l//mC. 若l⊥α，m//α，则l⊥mD. 若l⊥α，l⊥m，则m//α5.点P(x,2，1)到Q(1,1，2)，R(2,1，1)的距离相等，则x的值为()A. 12B. 1 C. 32D. 26.下列有关命题的说法正确的是()①|x|≠3⇒x≠3或x≠−3；②命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；③“|x−1|<2”是“x<3”的充分不必要条件④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真．A. ①④B. ②③C. ②④D. ③④7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是()A. 13B. √33C. 23D. √638. 已知直线y =2与双曲线Γ：x 29−y 24=1的渐近线交于M ，N 两点，任取双曲线Γ上的一点P ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则( ) A. λ+μ=−14B. λ−μ=−14C. λμ=−14D. λμ=−149. 若抛物线y 2=4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AF|+2|BF|的最小值为( ) A. 6 B. 3+2√2 C. 9 D. 3−2√2 10. 如图，在三棱锥P −ABC 中，∠APB =∠BPC =∠APC =90°，M 在△ABC内，∠MPA =60°，∠MPB =45°，则∠MPC 的度数为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，则b =______；双曲线渐近线的方程为______．12. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,−3).若向量c ⃗ 满足(c ⃗⃗⃗ +a ⃗ )//b ⃗ ，c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则c⃗ = ______ ． 13. 已知向量{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个单位正交基底，向量{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }是空间另一个基底，若向量p ⃗ 在基底{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(32,−12,3)则p ⃗ 在基底{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为______．14. 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点P(−1,0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若S ▵ABF =√2且|AF|<|BF|，则|AF||BF|=________．15. 如图，VA =VB =AC =BC =2,AB =2√3,VC =1，则二面角V −AB −C 的大小为______．16.如图，已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上，抛物线的焦点F在AB上，AB的倾斜角为60°，|BF|=|CF|=4，则直线AC的斜率为______ ．17.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|=2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知命题P：x2−2x−3≥0，命题Q：|1−x2|<1.若P是真命题且Q是假命题，求实数x的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，∠DAB=60°，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2AD=4，线段AB与PC的中点分别为E，F．(1)求证：BF//平面PDE；(2)求二面角A−PB−D的余弦值．20.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右准线方程l:x=4，离心率e=12，左右顶点分别为A，B，右焦点为F，点C:在椭圆上，且位于A，B轴上方．(1)设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，求k1−k2的最小值；(2)点Q在右准线l上，且PF⊥QF，直线QP交k1−k2负半轴于点M，若MF=6，求点P坐标．21.如图(1)，五边形ABCDE中，ED=EA，AB//CD，CD=2AB，∠EDC=150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P−ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若直线PC与AB所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．,0)的距离与到直线x=0的距离之差为1，过点M(p,0) 22.抛物线y2=2px(p>0)上的点P到点F(p2的直线l交抛物线于A，B两点．(1)求抛物线的方程；(2)若△ABO的面积为4√3，求直线l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了方程所表示的曲线，属于基础题．方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，可得x≤0，即可得结果．【解答】解：方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，则x≤0．所以曲线方程为x+y−1=0(x≤0,y≥1)或x−y+1=0(x≤0,y<1)故选B．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x−2|<1”得1<x<3，由x2+x−2>0得x>1或x<−2，所以“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件，故选A．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，且全称命题的否定是特称命题，即￢p：存在，sinx0>1，故选：C．4.答案：C解析：解：A.当满足条件l⊥α，l⊥m的直线m不一定在平面α内，也有可能在平面α外，所以A错误．B.当满足条件l//α，m⊂α时，直线l与直线m，没有任何确定的关系，所以l不一定平行m，也有可能是异面．所以B错误．C.当l⊥α，m//α，根据线面平行的性质知，必有l⊥m，所以C正确．D.当直线m⊄α时，当满足条件l⊥α，l⊥m，结论正确，但当m⊂α时，结论不正确．故选C．A.利用线面垂直的定义和性质．B.利用线面平行的性质和判断定理．C.利用线面垂直的性质．D.利用线面，线线垂直的性质．本题考查线面平行，线面垂直的性质和判断定理，正确掌握相关定理的内容，是解决问题的关键，要根据不同情况，进行讨论．5.答案：B解析：解：因为点P(x,2，1)到Q(1,1，2)，R(2,1，1)的距离相等，所以：(x −1)2+(2−1)2+(1−2)2=(x −2)2+(2−1)2+(1−1)2． 解得x =1． 故选B ．直接利用空间两点间的距离公式求解即可．本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力． 6.答案：D解析：解：若|x|≠3，则x ≠3且x ≠−3，故①错误；命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“a +b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数”，并非“a +b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数”，故②错误；“|x −1|<2”⇔“−1<x <3”，由(1,3)⊊(−∞,3)可得“|x −1|<2”⇔是“x <3”的充分不必要条件，故③正确；一个命题的否命题和它的逆命题互为逆否命题，真假性相同，故④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真命题，故④正确； 故选：D ．由若|x|≠3，则x ≠3且x ≠−3，可判断①；由原命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”，根据四种命题的定义写出其逆否命题，比照后可判断②；解不等式|x −1|<2，求出x 的取值范围，进而根据集合法，可判断出充要性，进而可判断③； 根据四种命题之间的相互关系及互为逆否命题的真假性相同，可判断④本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题，难度不大，属于基本题． 7.答案：D解析：【分析】本题考查了线面角的计算，考查计算能力，属于基础题．连接AC ，则∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角，在Rt △A 1AC 中求出cos∠A 1CA 即可． 【解答】解：连接AC ，∵AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角， 设正方体的棱长为1，则AC =√2，A 1C =√3， ∴cos∠A 1CA =√2√3=√63． 故选：D ． 8.答案：D解析：解：双曲线Γ：x 29−y 24=1的渐近线方程为y =±23x ，将直线y =2代入y =±23x ，可得M(−43,2)，N(43,2)． ∵OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ∈R ，∴P(−43(λ−μ),2λ+2μ)， ∵P 是双曲线Γ：x 29−y 24=1的点，∴1681(λ−μ)2−(λ+μ)2=1，∴可得λμ=−14．故选：D ．求出双曲线的渐近线方程，可得M ，N 两点的坐标，利用向量知识求出P 的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，确定P 的坐标是关键．9.答案：B解析：解：抛物线的焦点F(1,0)， 设直线AB 的方程为x =my +1．联立方程组{y 2=4xx =my +1，得x 2−(4m 2+2)x +1=0．设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，则y 12y 2216=1.∴y 22=16y 12．由抛物线的性质得|AF|=y 124+1，|BF|=y 224+1=4y 12+1．∴|AF|+2|BF|=y 124+1+2(4y 12+1)=3+y 124+8y 12≥3+2√2．故选：B ．设直线方程为x =my +1，联立方程组得出A ，B 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出|AF|+2|BF|关于A ，B 两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值． 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 10.答案：C解析：解：过M 做平面PBC 的垂线，交平面PBC 于Q ，连接PQ ． ∵∠APB =∠APC =90°，∴AP ⊥平面PBC ， ∵MQ ⊥平面PBC ，∴AP//MQ∵∠MPA =60°，∴∠MPQ =90°−60°=30°．由公式：cos∠MPB =cos∠MPQ ×cos∠QPB ，得到cos∠QPB =√63∵∠QPC 是∠QPB 的余角，所以cos∠QPC =√33再用公式：cos∠MPC =cos∠MPQ ×cos∠QPC ，得到cos∠MPC =12∴∠MPC =60° 故选C ．过M 做平面PBC 的垂线，交平面PBC 于Q ，连接PQ ，由公式：cos∠MPB =cos∠MPQ ×cos∠QPB ，得到cos∠QPB =√63，从而可得cos∠QPC =√33，再用公式：cos∠MPC =cos∠MPQ ×cos∠QPC ，即可求∠MPC ．本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，利用好公式是关键． 11.答案：√3；y =±√3x解析：解：∵双曲线x 2−y 2b =1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，∴1+b 2=4， ∵b >0， ∴b =√3，又a =1，∴双曲线渐近线的方程为y =±√3x 故答案为：√3，y =±√3x利用双曲线x 2−y 2b 2=1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，求出b ，即可求出双曲线渐近线的方程．本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b 是关键．12.答案：(−79,−73)解析：解：设c⃗ =(x,y)，则c ⃗ +a ⃗ =(x +1,y +2)， 又(c ⃗ +a ⃗ )//b ⃗ ，∴2(y +2)+3(x +1)=0. ①又c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )， ∴(x,y)⋅(3,−1)=3x −y =0. ② 解①②得x =−79，y =−73． 故应填：(−79,−73)．由题设条件知，本题是求向量c⃗ 的坐标的题，题设中已经给出了与向量c ⃗ 有关系的一平行一垂直的条件．故可设出向量c⃗ 的坐标，将平行关系与垂直关系转化成关于向量c ⃗ 的坐标的方程求其坐标． 本题考点是向量平行的条件与向量垂直的条件，考查利用向量的平行与垂直转化成相关的方程求解的能力．13.答案：(1,2，3)解析：【分析】本题考查的知识点是空间向量的基本定理及其意义，空间向量的坐标，属于基础题．由已知可得p⃗ =32(a ⃗ +b ⃗ )−12(a ⃗ −b ⃗ )+3c ⃗ ，去括号合并同类项后，可得答案． 【解答】解：∵向量p ⃗ 在基底{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(32,−12,3)∴向量p⃗ =32(2+b ⃗ )−12(a ⃗ −b ⃗ )+3c ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ +3c ⃗ ， 故p ⃗ 在基底{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(1,2，3)，故答案为(1,2，3)．14.答案：12解析：【分析】本题考查了曲线的交点与方程组的关系和抛物线的概念及标准方程．利用曲线的交点与方程组的关系，结合题目条件得y 1=√2,y 2=2√2，再利用抛物线的定义计算得结论． 【解答】解：因为抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过点P(−1,0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且｜AF ｜<｜BF ｜． 作图如下：设A (y 124,y 1)，A (y 224,y 2)(0<y 1<y 2)．显然直线l 的斜率存在，且不为0， 不妨设直线l 的方程为y =k (x +1)(k >0)． 由{y =k (x +1)y 2=4x 得ky 2−4y +4k =0， 则y 1+y 2=4k ,y 1y 2=4．因为S ΔABF =√2，所以12×2×(y 2−y 1)=√2． 即(y 2+y 1)2−4y 2y 1=2，所以16k2−16=2，即k=2√23．由2√23y2−4y+8√23=0解得y1=√2,y2=2√2所以|AF||BF|=y124+1y224+1=y12+4y22+4=2+48+4=12．故答案为12．15.答案：60°解析：【分析】本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．取AB中点O，连结VO，CO，则∠VOC是二面角V−AB−C的平面角，然后求解三角形得答案．【解答】解：如图：取AB中点O，连结VO，CO，∵三棱锥V−ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2√3，VC=1，∴AB⊥VO,AB⊥CO，∴∠VOC是二面角V−AB−C的平面角，VO=√VA2−(AB2)2=1，CO=√BC2−(AB2)2=1，△VOC为等边三角形，∴∠VOC=60°．∴二面角V−AB−C的大小为60°．故答案为：60°．16.答案：−√32解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则|AB|=x 1+x 2+p =2p sin 260°=8p 3， ∴x 1+x 2=5p 3， ∵x 1x 2=p 24， ∴x 2=3p 2，x 1=p 6， ∴A(p 6,−√33p)，B(3p 2,√3p)， ∵|BF|=|CF|=4，∴C(3p 2,−√3p)，∴直线AC 的斜率为−√3p+√33p 3p 2−p 6=−√32． 故答案为：−√32． 利用|AB|=x 1+x 2+p ，x 1x 2=p 24，求出A ，B 的坐标，可得C 的坐标，即可求出直线AC 的斜率．本题考查抛物线的性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，确定A ，C 的坐标是关键． 17.答案：[45,1)解析：【分析】本题考查的是椭圆的性质及不等式恒成立的知识，属于难题．由|PA|+|AF 1|≤3|F 1F 2|恒成立转化为3|F 1F 2|⩾(|PA|+|AF 1|)max ，求出(|PA|+|AF 1|)max 可得离心率的取值范围．【解答】解：为使|PA|+|AF 1|≤3|F 1F 2|恒成立，只需3|F 1F 2|⩾(|PA|+|AF 1|)max ，由椭圆的定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a ，所以|PA|+|AF 1|=|PA|−|AF 2|+2a ≤|PF 2|+2a ，当且仅当P ，F 2，A 三点共线时取等号(F 2在线段PA 上)，又点Ｐ的轨迹是以Ｏ为圆心，半径为2a 的圆，所以圆上点Ｐ到圆内点F 2的最大距离为半径与|OF 2|的和，即|PF 2|≤2a +c ，所以|PA|+|AF 1|≤|PF 2|+2a ≤2a +c +2a =4a +c ，所以6c ⩾4a +c ，5c ⩾4a ，e =c a ≥45，又e <1，所以椭圆C 离心率的取值范围为[45,1)．故答案为[45,1) 18.答案：解：命题p ：x 2−2x −3≥0⇔(x −3)(x +1)≥0⇔x ≥3或x ≤−1…(3分) 命题Q ：|1−x 2|<1⇔−1<1−x 2<1⇔0<x <4…(6分)Q 是假命题即x ≥4或x ≤0…(8分)P 是真命题且Q 是假命题即x ≥3或x ≤−1且x ≥4或x ≤0，(10分)综上：x ≥4或x ≤−1．解析：求出命题P ，Q 为真时x 的范围，再求Q 的反面，最后求交集即可．本题考查了命题真假的判断和否命题的求解，属于基础题型，应熟练掌握．19.答案：(1)证明：取CD 的中点G ，连接BG ，FG ，∵底面ABCD 为平行四边形，且E 为AB 的中点，则BE//DG ，BE =DG ，则四边形BEDG 为平行四边形，则BG//DE ，∵DE ⊂平面PDE ，BG ⊄平面PDE ，∴BG//平面PDE ；∵G ，F 分别为DC ，PC 的中点，∴FG//PD ，∵PD ⊂平面PDE ，FG ⊄平面PDE ，∴FG//平面PDE ．∵BG ∩GF =G ，BG ，GF ⊂平面BGF ，∴平面BGF//平面PDE ，又BF ⊂平面BGF ，则BF//平面PDE ；(2)解：以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内，过A 作垂直AB 的直线为y 轴， 以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵∠DAB =60°，AP =AB =2AD =4，∴A(0,0，0)，B(4,0，0)，P(0,0，4)，D(1,√3,0)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−4)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−4)． 设平面PBD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x −4z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −4z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,1)； 平面PAB 的一个法向量为n⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5×1=√155． 且由图可知二面角A −PB −D 为锐二面角，∴二面角A −PB −D 的余弦值为√155．解析：本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．(1)取CD 的中点G ，连接BG ，FG ，由已知可证四边形BEDG 为平行四边形，则BG//DE ，得到BG//平面PDE ，再由中位线定理得到FG//PD ，进一步得到FG//平面PDE ，由面面平行的判定可得平面BGF//平面PDE，从而得到BF//平面PDE；(2)以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，在平面ABCD内，过A作垂直AB的直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBD与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A−PB−D的余弦值．20.答案：解(1)x24+y23=1，设点P(x0,y0)，则，因为y0∈(0,√3],所以当y0=√3时(x0,+∞)的最小值为√3．(2)设点P(x0,y0)，则QF：y=−x0−1y0(x−1)，所以点Q(4,−3(x0−1)y0)，因为点P、Q、M三点共线，所以k PM=k QM，所以3y02=(x0+5)(1−x0)又因为x024+y023=1，所以x0=4或−45，因为x0∈(−2,2)，所以P(−45,3√7 5)解析：本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题．(1)a2c =4,ca=12求出a，c，得到b，就求得椭圆方程，设点P(x0,y0)，利用斜率公式把k1−k2表示为y0的函数，由y0的范围求得最小值；(2)求出QF的方程，得到Q的坐标，再由k PM=k QM，结合x024+y023=1，解出x0，得到P的坐标．21.答案：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，则MN//CD,MN=12CD，又AB//CD,AB=12CD，所以MN//AB，MN=AB，则四边形ABMN为平行四边形，所以AN//BM，又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，∴AN⊥PD，AN⊥CD．由ED=EA即PD=PA，及N为PD的中点，∴PA=AD，可得△PAD为等边三角形，∴∠PDA=60°，又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，∴CD⊥AD，∴CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD.(2)解：AB//CD ，∴∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，由(1)可得∠PDC =90°，∴tan∠PCD =PD CD =12，∴CD =2PD ， 设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则D(−12,0,0),B(12,1,0),C(−12,2,0),P(0,0,√32)， ∴M(−14,1,√34)， 所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−√32),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,0,√34)， 设n ⃗ =(x,y ，z)为平面PBD 的法向量，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =012x +y −√32z =0， 取x =3，则n ⃗ =(3,3,−√3)为平面PBD 的一个法向量，∵cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21×√32=−2√77，则直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为2√77．解析：(1)取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN//CD,MN =12CD ，可得四边形ABMN 为平行四边形，又BM ⊥平面PCD ，可得AN ⊥平面PCD ，AN ⊥PD ，AN ⊥CD.可得△PAD 为等边三角形，∠PDA =60°，又∠EDC =150°，可得CD ⊥AD ，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．(2)AB//CD ，可得∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，可得tan∠PCD =PD CD =12，CD =2PD ，设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设n ⃗ =(x,y ，z)为平面PBD 的法向量，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得出．本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角、等边三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)设P(x0,y0)，由定义知|PF|=x0+p2，∴(x0+p2)−x0=1，即p=2，∴抛物线方程为y2=4x；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时|AB|=4√2，∴△ABO的面积为4√2，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)，代入抛物线方程得：k2x2−4(k2+1)x+4k2=0．△=16(k2+1)2−16k2>0．x1+x2=4+4k，x1x2=4，∴|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(4+4k2)2−4=√1+k2⋅4√2k2+1k2，点O到直线l的距离为d=√1+k2，∴12√1+k2⋅4√2k2+1k⋅2=4√3，解得：k=±1，满足△>0．∴直线l的方程为y=x−2或y=−x+2．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)设P(x0,y0)，由题意列式求得p，可得抛物线方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时△ABO的面积为4√2，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求得点O到直线l的距离，代入三角形面积公式求解k，则直线l的方程可求．。

2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．42．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4 B ．﹣4C ．94D ．−943．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞24．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿5．函数y ＝e x ﹣2x 图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2﹣2ln 2） B ．（2﹣2ln 2，+∞） C ．[2﹣2ln 2，+∞）D ．（2﹣ln 2，+∞）6．已知a =1.01，b =e 0.01，c =√1.02，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Sn n}为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜212．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ ． 14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 项． 16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }． （1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23．（1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2． （1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax +1，a ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）≥﹣a 对任意的x ＞0恒成立，求整数a 的最大值．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：由y =√x +1，得y ′=12(x +1)−12⋅(x +1)′=12√x+1， 所以函数y =√x +1在x ＝3处的导数是2√3+1=14．故选：A ．2．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4B ．﹣4C ．94D ．−94解：由a n ⋅a n+1=(−1)n ⋅(n +1)2，a 1=1，得a 1⋅a 2=(−1)⋅(1+1)2=−4，则a 2＝﹣4， 又a 2a 3=(−1)2⋅(2+1)2=9，得a 3=−94． 故选：D ． 3．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞2解：由题意可得：0＜3+m ＜2﹣m ，解得−3＜m ＜−12， ∴m 的取值范围为(−3，−12)． 故选：A ．4．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿解：依题意可得：从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{a n }，其中a1＝10.9，公比q＝1+6.4%＝1.064，所以2022年进出口累计总额为a10=a1q9=10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1（万亿）．故选：B．5．函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣2ln2）B．（2﹣2ln2，+∞）C．[2﹣2ln2，+∞）D．（2﹣ln2，+∞）解：函数y＝e x﹣2x的定义域为R，求导得y′＝e x﹣2，当x＜ln2时，y′＜0，函数y＝e x﹣2x递减，函数单调减区间为（﹣∞，ln2），当x＞ln2时，y′＞0，函数y＝e x﹣2x递增，函数单调增区间为（ln2，+∞），当x＝ln2时，函数y＝e x﹣2x取得最小值2﹣2ln2，如图，所以函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点时，a＞2﹣2ln2．故选：B．6．已知a=1.01，b=e0.01，c=√1.02，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：令f（x）＝e x﹣（x+1），则f′（x）＝e x﹣1，可知x＜0时f′（x）＜0，x＞0时f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，所以e x≥x+1，x＝0时等号成立，所以b＝e0.01＞0.01+1＝1.01＝a，故b＞a，又√x≤1+x2，当x＝1时等号成立，则c=√1.02＜1+1.022=1.01=a，故c＜a，综上，b＞a＞c．故选：C．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)解：设椭圆的焦距为2c （c ＞0），则c 2＝a 2﹣（a 2﹣16）＝16，即c ＝4， 因为MN 平分∠F 1MF 2，且ON ＝2， 所以|MF 1||MF 2|=|NF 1||NF 2|=62=3，由椭圆的定义知，|MF 1|+|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|=32a ，|MF 2|=a 2， 因为a ﹣c ＜|MF 1|＜a +c ，所以a ﹣c ＜32a ＜a +c ，解得a ＜2c ，即ca＞12，所以离心率e =ca∈（12，1）．故选：B ．8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9解：由a n+2=a n+2023a n+1+1，得a n +2+a n +2•a n +1＝a n +2023，当n ≥2时，a n +1+a n +1•a n ＝a n ﹣1+2023，两式相减得a n +2﹣a n +1+a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n ﹣a n ﹣1，即a n +2﹣a n +a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n +1﹣a n ﹣1， 于是（a n +2﹣a n ）（a n +1+1）＝a n +1﹣a n ﹣1，依题意a n +1+1＞1， 若a n +2﹣a n ≠0，有a n+2−a n =a n+1−a n−1a n+1+1，则0＜|a n+2−a n |=|a n+1−a n−1a n+1+1|＜|a n+1−a n−1|，即{|a n +2﹣a n |}是递减数列，由于{a n }是无穷正整数数列，则必存在n ≥N *，使得|a n +2﹣a n |＝0与|a n +2﹣a n |＞0矛盾， 因此a n +2﹣a n ＝0，即a n +2＝a n ，于是数列{a n }是周期为2的周期数列，当n ＝1时，由a 3＝a 1，得a 1=a 1+2023a 2+1，即a 1a 2＝2023＝1×2023＝7×17×17， 从而a 1∈{1，2023，7，17，119，289}，∴a 1的可能值有6个． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点解：易知函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减， 所以f （1）＜f （6），故选项A 正确； 因为f （5）＜f （6），故选项B 错误；因为y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， 所以1是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项C 正确； 当x ＝3时，f ′（x ）的符号未发生改变，所以3不是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项D 错误． 故选：AC ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Snn }为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，取a n =−2n−1，则{a n }为递减等比数列，公比q ＝2∉（0，1），故A 错误； 对于B ，若{a n }为等差数列，则S n =na 1+n(n−1)2d ，所以S n n =a 1+(n −1)d 2， 故S n+1n+1−S n n=(n +1−1)d 2−(n −1)d 2=d 2（常数），故{Sn n }为等差数列，若{S n n}为等差数列，则S n n=a 1+(n −1)d′，即S n ＝na 1+n （n ﹣1）d ′，所以S n +1＝（n +1）a 1+n （n +1）d ′，两式相减得a n +1＝S n +1﹣S n ＝a 1+2nd ′， 所以a n ＝a 1+2（n ﹣1）d ′，故a n +1﹣a n ＝2d ′（常数），所以{a n }为等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“{Sn n }为等差数列”的充要条件，故B 正确；对于C ，若S n ＝1，满足{S n }为等比数列，此时a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝0， 所以a n ={1，n =10，n ≥2，不是等比数列，故C 错误；对于D ，任意的p ，q ∈N *，满足a p +q ＝a p a q ，不妨取p ＝1，q ＝n ，则 a n +1＝a 1a n ，因为各项均不为0，所以a n+1a n=a 1（不为0的常数），故{a n }为等比数列，故D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜2解：由a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，知a n ＞0，且a n+1+1=(a n +1)2，两边取对数得log 3（a n +1+1）＝2log 3（a n +1）， 即b n +1＝2b n ，而b 1＝log 3（1+a 1）＝1， 所以b n ＞0， 所以b n+1b n=2，即数列{b n }为等比数列，故选项A 正确；由a n+1+1=(a n +1)2，知a n+1+1a n +1=a n +1，不是常数，即选项B 错误；因为{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以b n =1×2n−1=2n−1，S n =1−2n1−2=2n −1=b n+1−1，即选项C 正确；因为1S n=12n −1＜1+12n −1+1=(12)n−1(n ≥2)，所以T n ＜(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1=1−(12)n 1−12=2−2(12)n ＜2（n ≥2），当n ＝1时，T 1=1S 1=1＜2成立， 综上，T n ＜2，即选项D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 解：如图，由双曲线方程x 24−y 25=1，知2a ＝4，所以由双曲线定义知|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ＝4，故A 正确；因为c 2＝a 2+b 2＝9，所以F 2（3，0），|MF 2|=√(2−3)2+(3−0)2=√10， 由|AM|+|AF 1|=|AM|+|AF 2|+4≥|MF 2|+4=√10+4，故B 正确；过M 与两渐近线平行的直线仅有1个交点，过M 与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M 与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C 错误；若∠F 1AF 2＝90°，则|AF 1|2+|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即（|AF 1|﹣|AF 2|）2+2|AF 1|•|AF 2|＝|F 1F 2|2， 所以4a 2+2|AF 1|⋅|AF 2|=4c 2，解得|AF 1|⋅|AF 2|=12(36−16)=10， 所以S △F 1AF 2=12|AF 1|•|AF 2|=12×10＝5，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ 48 ． 解：根据题意，设数列{a n }的公比为q ，由于a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则有a 3+a 4a 1+a 2=q 2=4，所以a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=4×12=48． 故答案为：48．14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= 4 ． 解：由limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ=2lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)2ℎ=2f′(x 0)=4．故答案为：4．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 6 项．解：根据题意，等差数列{a n }中，S 11＞0，S 12＜0， 则有S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6＞0，S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 6+a 7)＜0，显然a 7＜﹣a 6＜0，且|a 7|＞a 6，等差数列{a n }的公差d ＝a 7﹣a 6＜﹣2a 6＜0， 即数列{a n }是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列{S n }的最大项为S 6，a 6是数列{|a n |}中的最小项，且a 6＞0， 所以数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为S 6a 6，是第6项．故答案为：6．16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 (−∞，94) ． 解：已知f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝2（x ﹣m ）+1x ， 因为f ′（x ）＞0在（1，2）上有解， 即m ＜x +12x 在（1，2）上有解， 由对勾函数的性质可知函数y =x +12x在（1，2）上单调递增， 所以y =x +12x 在x ＝2时取得最大值， 此时m ＜2+14=94，则实数m 的取值范围为(−∞，94)．故答案为：(−∞，94)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }．（1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．解：（1）设原等差数列为{b n }，易知b 1＝﹣2，b 2＝1，则d ＝b 2﹣b 1＝3，则b n ＝b 1+（n ﹣1）•d ＝3n ﹣5，由题意知：2a n ＝b n +b n +1＝3n ﹣5+3（n +1）﹣5＝6n ﹣7，则a n =3n −72．（2）令a n =16⇒3n −72=16⇒n =132∉N ∗，故16不是新数列{a n }中的项．18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23． （1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．解：（1）已知f （x ）=13x 3+ax 2+b ，函数定义域为R ，可得f ′（x ）＝x 2+2ax ，因为f （x ）在x ＝2处取到极小值23， 所以{f ′(2)=4+4a =0f(2)=83+4a +b =23， 解得a ＝﹣1，b ＝2，当a ＝﹣1，b ＝2时，f ′（x ）＝x 2﹣2x ，当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）在x ＝2处取得极小值，则a ＝﹣1，b ＝2满足题意；（2）由（1）知f(x)=13x 3−x 2+2，可得f ′（x ）＝x 2﹣2x ，此时f ′（1）＝﹣1，又f （1）=43，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y −43=−（x ﹣1），即3x +3y ﹣7＝0．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2．（1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 解：（1）由抛物线的定义可得：|PF|=x ，+p 2=2=1+p 2，解得P ＝2，所以抛物线的方程为C ：y 2＝4x ；（2）由题意可设直线方程为x ＝ty +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =ty +2y 2=4x，得y 2﹣4ty ﹣8＝0， 所以Δ＝16t 2+4×8＞0，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣8，因为S △AOB =12×2×|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16t 2+32， 所以t 2＝2，得t =±√2，故直线l 的方程为：x =±√2y +2．20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由题意知，{a 10−12=b 23a 4=b 3⇒{a 1+9d −12=b 1⋅q 3(a 1+3d)=b 1⋅q 2⇒{9d −9=3q 3(3+3d)=3⋅q 2，消元得q2﹣q﹣6＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），所以d＝2，故a n=3+2(n−1)=2n+1，b n=3⋅3n−1=3n．（2）由（1）知，c n=a n⋅b n=(2n+1)⋅3n，所以S n=(2×1+1)×31+(2×2+1)×32+(2×3+1)×33+⋯+(2n+1)×3n①，3S n=(2×1+1)×32+(2×2+1)×33+⋯+(2n−1)×3n+(2n+1)×3n+1②，①﹣②得：−2S n=3×3+2(32+33+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2(3+32+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2×3(1−3n)1−3−(2n+1)⋅3n+1=−2n⋅3n+1，故S n=n⋅3n+1．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，此时lnx−a+1+ax≥0，不妨设g(x)=lnx−a+1+ax，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1+ax2=x−(1+a)x2，若1+a≤0，即a≤﹣1时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值，不符合题意；若1+a＞0，即a＞﹣1时，当0＜x＜1+a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1+a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1+a）＝ln（1+a）+1﹣a≥0，不妨设h （a ）＝ln （1+a ）+1﹣a ，可得ℎ′(a)=11+a −1=−a 1+a，函数定义域为（﹣1，+∞）， 当﹣1＜a ＜0时，h ′（a ）＞0，h （a ）单调递增；当a ＞0时，h ′（a ）＜0，h （a ）单调递减，又h （0）＝1＞0，h （1）＝ln 2＞0，h （2）＝ln 3﹣1＝ln 3﹣lne ＞0，h （3）＝2ln 2﹣2＝ln 4﹣lne 2＜0， 故整数a 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．解：（1）由|AB |＝2a ＝2，则a ＝1，又4a 2−9b 2=1，则9b 2=4a 2−1=3，所以b 2＝3，故双曲线Γ的方程为：x 2−y 23=1． （2）证明：如图，由B （1，0），C （2，3），则BC 方程为y ＝3x ﹣3，设直线DE 方程为：y ＝k （x ﹣1）+1，D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则y F ＝3x 2﹣3，则F （x 2，3x 2﹣3），由EF →=FG →，则G （x 2，6x 2﹣6﹣y 2），则k BD =y 1x 1−1=k(x 1−1)+1x 1−1=k +1x 1−1，k BG =b(x 2−1)−y 2x 2−1=6(x 2−1)−k(x 2−1)−1x 2−1=6−k −1x 2−1， 联立{y =k(x −1)+13x 2−y 2=3⇒(3−k 2)x 2−2k(1−k)x −(1−k)2−3=0， 则x 1+x 2=2k(1−k)3−k 2，x 1⋅x 2=−(1−k)2−33−k 2， 则1x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k(1−k)3−k 2−2−(1−k)2−33−k 2−2k(1−k)3−k 2=6−2k ， 所以k BD ﹣k BG ＝k ﹣（6﹣k ）+6﹣2k ＝0， 故k BD ＝k BG ，故DG 过定点B （1，0）．。

绝密★启用前2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高二上学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．若椭圆222116x y b+=过点(-，则其焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C将点(-代入椭圆得到2b =，c =，得到焦距. 解：椭圆222116x y b+=过点(-，故243116b +=，2b =，故c ==焦距为2c =. 故选：C . 点评：本题考查了椭圆的焦距，意在考查学生的计算能力.2．命题“若0m >，则20x x m +-=有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中，假命题的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个答案：C因为0m >，则140m ∆=+>，故20x x m +-=有实数根，原命题的逆命题为：若20x x m +-=有实数根，则0m >，取14m =-，则方程为2104x x ++=，此方程的解为12x =-，故方程有实数根，但104m =-<，故逆命题为假命题.又原命题与其逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假，故4个命题中，假命题的个数为2. 点睛：在命题的真假判断中，注意利用原命题与其逆否命题同真同假来判断. 3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（ ） A ．若//,//m m αβ, 则 //αβB ．若,//m m αβ⊥, 则//αβC ．若,//m n αα⊥ ,则//m nD ．若,m n αα⊥⊥, 则//m n答案：D根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 解：A. 若//,//m m αβ, 则 //αβ或,αβ相交，A 错误；B. 若,//m m αβ⊥, 则αβ⊥，B 错误；C. 若,//m n αα⊥ ,则m n ⊥，C 错误；D. 若,m n αα⊥⊥, 则//m n ，D 正确； 故选：D . 点评：本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.4．下列命题说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠”B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题 答案：B试题分析：A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若，则1x ≠”；B 、即为，可知03x <<是的必要不充分条件；C 、命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有”；D 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为“若sin sin x y =，则x y =”，是假命题（如）.【考点】常用逻辑用语．5．设方程22(3)20x y x y x +-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线答案：A根据题意得到30x y +-=且2220x y x +-≥，或2220x y x +-=，画出图像，分别判断得到答案. 解：22(3)20x y x y x +-+-=，故30x y +-=且2220x y x +-≥，如图所示：画出图像知，表示一条直线； 或2220x y x +-=，即()2211x y -+=表示一个圆.故选：A .点评：本题考查了方程表示的曲线，漏解是容易发生的错误.6．如右图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC BD ，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB 4cm AC 6cm BD 8cm CD 217cm ====，，，，则这个二面角的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：B过点A 作AE BD P 且AE BD =，连接,CE DE ，则AE AB ⊥，即CAE ∠为二面角的平面角，由题意，得2228652AE BD AC CE CD ED ====-=，，，由余弦定理，得2226436521cos 22862AE AC CE CAE AE AC +-+-∠===⋅⨯⨯，则060CAE ∠=，即这个二面角的度数为060；故选B.7．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案：C用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 解：对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 点评：本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 8．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中不正确的是( )A ．MC AN ⊥B ．//GB AMN 平面C ．CMN AMN ⊥平面平面D ．//DCM ABN 平面平面由题意，取MN 中点O ，易知AOC ∠就是二面角A MN C --的平面角，有条件可知，90AOC ∠≠o ，所以平面CMN 与平面AMN 不垂直，故C 错误．故选C ．9．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A ．3 B ．23C ．3π D ．2π 答案：C根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时，AK=4=12，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π，其所对的弧长为1223π⨯=3π，故选：C本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．答案：C等腰中，算出，由线面垂直的判定与性质，证出面，得，从而证明平面，可证明面，三棱锥的高为定值，在中，算出，可得，利用三角函数的有界性求出的最大值，即可得出结果．解：在中，，，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱锥的高为定值，平面平面，中，，，∴当，即时，有最大值为，此时，三棱锥的体积的最大值为，故选C．点评：本题着重考查了线面垂直的判定与性质、棱锥的体积公式，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.二、填空题11．已知原命题为“若0＜x ＜1，则x 2＜1”，写出它的逆否命题形式_____，它是_____（填写”真命题”或”假命题”）．答案：若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1 真命题由原命题为真可得逆否命题也为真，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． 解：原命题为“若0＜x ＜1，则x 2＜1”，显然该命题为真命题， 则它的逆否命题形式“若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1”，是真命题， 故答案为若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1，真命题 点评：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．12．正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AA AB 的中点，则EF 与直线1AC 所成角的大小为______ ；EF 与对角面11BDD B 所成角的正弦值是 __________． 答案：2π 12如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，计算()0,1,1EF =-u u u r，()12,2,2AC =-u u u u r ，对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-r，计算得到答案.解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()2,0,1E ，()2,1,0F ，()2,0,0A ，()10,2,2C ，故()0,1,1EF =-u u u r，()12,2,2AC =-u u u u r.故10EF AC ⋅=u u u r u u u u r ，故EF 与直线1AC 所成角的大小为2π.易知对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-r，设EF 与对角面11BDD B 所成角为θ，故1sin cos ,2EF n EF n EF n θ⋅===⋅u u u r ru u u r ru u ur r . 故答案为：2π；12.点评：本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 13．已知某组合体的三视图如图所示，其侧视图是一个等腰直角三角形，则该组合体的表面积为______ ，体积为____________.答案：1244++ 1123π+根据三视图知，几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形，计算表面积和体积得到答案. 解：根据三视图知：几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形.故11111442424Sππ+=++++=+；1111111343123Vππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故答案为：144++；1123π+.点评：本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14．已知圆锥SO的底面半径是23，母线长是2，则将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于________，若M是SA的中点，从M处拉一条绳子绕圆锥侧面转到点A，则绳子长度的最小值等于__________.答案：23π扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，为24233ππ⨯=，半径为母线长2，从而可得圆心角；设侧面展开图为扇形'ASA，则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值，由余弦定理可得结果.解：扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，为24233ππ⨯=，半径为母线长2，所以，将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于42323ππ=；设侧面展开图为扇形'ASA，则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值，由余弦定理可得为'MA==故答案为23π，点评：本题主要考查圆锥的侧面展开图以及余弦定理的应用，属于中档题.求旋转体表面上两点的最小距离时，往往利用其侧面展开图转化为平面几何知识解答.15．已知方程22131x ym m+=--表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为____________ .答案：()2,3根据题意得到301013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得答案.解：方程22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足：301013m m m m->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得23m <<.故答案为：()2,3. 点评：本题考查了根据方程表示椭圆求参数，意在考查学生对于椭圆定义的理解.16．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =答案：124试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4， 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍． 即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍． 所以V 1：V 2=13S △ADE •h/S △ABC •H ＝124=1：24 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积17．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长6AB =,侧棱长127AA =它的外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 上的任意一点，有以下命题： ①PE 的长的最大值为9;②三棱锥P EBC -的体积的最大值是323; ③存在过点E 的平面，截球O 的截面面积为9π; ④三棱锥1P AEC -的体积的最大值为20；⑤过点E 的平面截球O 所得的截面面积最大时，1BC 垂直于该截面. 其中是真命题的序号是___________答案：①③④计算外接球半径为5R =，4EO =，得到①正确；三棱锥P EBC -的max 75h =，计算得到②错误；当截面与EO 垂直时，9S π=，故③正确；三棱锥1P AEC -，max 5h R ==，计算得到④；根据1//EO BC 得到⑤错误，得到答案.解：外接球半径为：3636285R ++==，36284EO +==，故PE 的最大值为9EO R +=，①正确；13692EBC S ∆=⨯⨯=，高1max 752AA h R =+=，故)max 197537153V =⨯⨯=，②错误；当截面与EO 垂直时，223r R EO =-=，故9S π=，故③正确；1133628122AEC S ∆=⨯+=，max 5h R ==，故max 20V =，故④正确；当过点E 的平面截球O 所得的截面面积最大时，截面过直线EO ，1//EO BC ，故⑤错误.故答案为：①③④.点评：本题考查了四棱柱的外接球问题，体积的最值，截面问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,21AB BC AA AC BC ⊥===，，,E F 分别是11,A C BC 的中点.（1）求证：1//C F 平面ABE ； （2）求三棱锥E ABC -的体积.答案：（1）证明见解析 （2）3E ABC V -=试题分析：（1）做辅助线，先证1//,2FG AC FG AC =及1//,FG EC FG E =四边形1FGEC 为平行四边形⇒11////C F EGC F 平面ABE ； （2）利用勾股定理求得3AB =⇒E ABC V -= 1133ABC S AA ∆⋅=试题解析：（1）证明：取AB 中点G ,连接,EG FG ，则 ∵F 是BC 的中点， ∴1//,2FG AC FG AC =； ∵E 是11A C 的中点， ∴11//,FG EC FG EC =, ∴四边形1FGEC 为平行四边形， ∴1//C F EG ,∵1C F ⊄平面ABE ,EG ⊂平面ABE , ∴1//C F 平面ABE ；（2）∵121AA AC BC AB BC ===⊥，，,∴AB =∴111112332E ABC ABC V S AA -∆=⋅=⨯⨯=19．已知0c >,设p ：函数xy c =在R 上递减； q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果“p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，求c 的取值范围. 答案：[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U 计算p 为真时()0,1c ∈，q 为真时12c >，讨论p 真q 假，或p 假q 真两种情况，分别计算得到答案. 解：p ：函数x y c =在R 上递减，故()0,1c ∈；q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，当2x c ≥时，|2|221x x c x c +-=->，即12c x <-，故min 11222c x c ⎧⎫<-=-⎨⎬⎩⎭， 解得12c >； 当2x c <时，|2|21x x c c +-=>，解得12c >.综上所述：12 c>.“p或q”为真，且“p且q”为假，故p真q假，或p假q真.当p真q假时，0112cc<<⎧⎪⎨≤⎪⎩，故10,2c⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当p假q真时，112cc≥⎧⎪⎨>⎪⎩，故[)1,c∈+∞. 综上所述：[)10,1,2c⎛⎤∈+∞⎥⎝⎦U.点评：本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.20．已知多面体P ABCD-中，AB CD∥，90BAD PAB∠=∠=︒，12AB PA DA PD DC====，M为PB中点.（1）求证：PA CM⊥；（2）求直线BC与平面CDM所成角的正弦.答案：（1）证明见解析（22（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明PA⊥CD直线所在平面（2）过点B作BO CMD⊥面，连接CO，则BCO∠为直线BC与平面CDM所成角的平面角，再采用等体积法求出BO，即可求得也可采用建系法直接求解解：法一：（1）由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；如图：取PA中点E，连接ME，DE得：ME PA⊥，DE PA⊥，PA DEMC⊥面；故：PA CM⊥；（2）过点B作BO CMD⊥面；连接CO，则BCO∠为直线BC与平面CDM所成角的平面角，即有B CDM M CBDV V--=，不妨设122AB PA DA PD DC==-==，即有：111134342132322h h⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=，所以2sin4hBCOBC∠==法二：由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；122AB PA DA PD DC=====如图建系得：()200P，，，()3A，，，()3B，，，()004C，，,()0,0,0D，3312M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，（1）()3,0PA=-u u u r,332CM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u u r则0PA CM PA CM⋅=⇒⊥u u u r u u u u r（2）设面CDM的法向量为(),,n x y z=r，()0,0,4DC=u u u r，3322DM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u u r，()1,BC =-u u u r即有：()4001,030z DC n n DM n x =⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩u u u v rr u u u uv r ，故sin cos 4BC n α=<⋅>==u u u r r 点评：本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题21．在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点(1,1)A -关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1) 求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;(2) 设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于,M N ，问是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：（1）223144x y +=，1x ≠±；（2）存在，53P ⎛ ⎝⎭或5,3P ⎛ ⎝⎭ （1）(1,1)A -，故(1,1)B -，设(),P x y ，221113PA PBy k k x -⋅==--，化简得到答案. （2）设()00,P x y ，则P 到直线AB的距离为d =，故00PAB S x y ∆=+，计算2000002022661x x y y x MN x +--=-，得到()2000000002022661321x x y y x x x y x +---=+-，解得答案. 解：（1）(1,1)A -，故(1,1)B -，设(),P x y ，故2211111113PA PBy y y k k x x x -+-⋅=⋅==-+--. 整理得到：223144x y +=，1x ≠±.（2）设()00,P x y ，则P 到直线AB的距离为d =，故0012PAB S AB d x y ∆=⋅=+； 0011APy k x -=+，故直线PA ：()001111y y x x -=+++，取3x =得到()00413,11y M x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得：()00213,11y N x +⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 故()()2000000020004121226611111y y x x y y x MN x x x -+⎡⎤⎡⎤+--=+--=⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦， 故()20000002022661321PMNx x y y x S x x ∆+--=--， 故()2000000002022661321x x y y x x x y x +---=+-，整理得到()220031x x -=-，故053x =. 故存在点533,39P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或533,39P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.点评：本题考查了椭圆的轨迹方程，面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．如图，在矩形ABCD 中，3,6,,AB AD E F ==分别在,AD BC 上，且1,4AE BF ==,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A EFB ''，使点B '在平面CDEF上的射影H 在直线DE 上（1）求证：平面B CD '⊥平面B HD '； （2）求证：//A D '平面B FC '； （3）求二面角A DE F '--的正弦值 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）105（1）'B H ⊥平面CDEF ，证明故CD ⊥平面B HD '，CD ⊂平面'B CD ，得到证明. （2）//AE BF ，//DE FC 得到平面'//A ED 平面'B FC ，得到证明.（3）以ED 为y 轴，平面CDEF 内与ED 垂直的直线为x 轴，平面'B HD 内与ED 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，计算('0,6B ，根据1'4EA FB =u u u r u u u r得到316',44A ⎛=-- ⎝⎭，平面'A DE 的法向量为)16,0,3n =u r ，平面DEF 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，计算夹角得到答案.解：（1）B '在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上，故'B H ⊥平面CDEF .CD ⊂平面CDEF ，故'B H CD ⊥，CD DE ⊥，'DE B H H =I ，故CD ⊥平面B HD '.CD ⊂平面'B CD ，故平面B CD '⊥平面B HD '.（2）//AE BF ，故'//'A E B F ，'B F ⊂平面'B FC ，故'//A E 平面'B FC .//DE FC ，FC ⊂平面'B FC ，故//DE 平面'B FC ，'DE A E E =I .故平面'//A ED 平面'B FC ，'A D ⊂平面'A ED ，故//A D '平面B FC '.（3）如图所示：以ED 为y 轴，平面CDEF 内与ED 垂直的直线为x 轴，平面'B HD 内与ED 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.()0,0,0E ，()0,5,0D ，()3,3,0F ，设()'0,,B y z ，22'10B E y z =+=u u u u r()22'934B F y z =+-+=u u u u r ，取正解，得到2y =，6z =('0,6B .()11'3,1,644EA FB ==--uu u r u u u r ，故316',,44A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面'A DE 的法向量为()1,,n x y z =u r ，故110'0n DE n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v ，即03160444y x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 取3z =，得到6x =，故()16,0,3n =u r.易知：平面DEF 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，故12121215cos ,15n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r .故二面角A DE F '--的正弦值为10.点评：本题考查了面面垂直，线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。

浙江省宁波市六校联考2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的．） 1.空间中一点()2,3,1A -到平面XOY 的距离为（ ）A. 2B. 3C. 1【答案】C 【解析】 【分析】先求出点A 在平面XOY 的投影点的坐标,||A AA ''即为所求., 【详解】点()2,3,1A -在平面XOY 的投影点(2,3,0),||1A AA ''-=, 即空间中一点()2,3,1A -到平面XOY 的距离为1. 故选:C【点睛】本题考查了空间一点到平面的距离,关键要了解关于点在坐标平面射影点的坐标特征,属于基础题.2.若点(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为4，且在不等式230x y +->表示的平面区域内，则点P 的横坐标是（ ） A. 7或-3 B. 7C. -3D. -7或3【答案】B 【解析】 【分析】(),3P a 坐标满足不等式230x y +->求出a 取值范围，由点到直线距离公式,求出a 的值,.【详解】点(),3P a 在不等式230x y +->表示的平面区域内2330,0a a ∴+->>(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为|491|4,|48|205a a -+=-=,解得7a =或3a =-（舍去）. 故选:B【点睛】本题考查点到直线的距离公式化简求值,理解二元一次不等式表示的平面区域,属于基础题.3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥ D. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交、或异面；故A 错； B 选项，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面；故B 错； C 选项，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，如果再满足αβ⊥，才会有则n 与β垂直，所以n与β不一定垂直；故C 错；D 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故D 正确. 故选D【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.4.在平面直角坐标系中，(),M x y 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则yx 的最小值为（ ） A. 2 B. 1C. 13-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式对应可行域,利用线性规划知识,以及yx的几何意义,即可得到结论.【详解】作出可行域如图：令yz x=几何意义是动点(),M x y 与原点连线的斜率,由图像可知OA 斜率最小, 由220210x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得31x y =⎧⎨=-⎩,即(3,1)A -所以y z x =的最小值为1133-=-. 故选:C【点睛】本题考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决问题的关键,属于基础题.5.已知直线()1:3453l a x y a ++=-与()2:258l x a y ++=平行，则a 等于( ) A. 7-或1- B. 7或1C. 7-D. 1-【答案】C 【解析】【详解】由题意可知(3)(5)42a a ++=⨯ 且(3)8(53)2a a +⨯≠-⨯， 解得7a =-． 故选C ．6.长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AA AD AB ===,E 为11A B 中点，则异面直线1AD 与BE 所成角为（）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】连接11,BC EC ，根据11//AD BC ，可得异面直线1AD 与BE 所成的角为1EBC ∠，解三角形求得1EBC ∠的大小.【详解】画出长方体如下图所示，连接11,BC EC ，由于11//AD BC ，所以异面直线1AD 与BE 所成的角为1EBC ∠，在三角形1BEC 中，112,2,2BE BC EC ===，故三角形1BEC 是等边三角形，所以160EBC ∠=. 故选C.【点睛】本小题主要考查异面直线所成角大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题. 7.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）．A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，221a b ∴+>，圆心O 到直线1ax by +=距离221d a b=<+，∴直线1ax by +=与圆O 相交.故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A. )2,22⎡-⎣B. (22,2⎤--⎦C. )2,22⎡⎣D.(22,2⎤-⎦【答案】B 【解析】 【分析】画出图像,当直线l 过点,A B 时,求出m 值;当直线l 与曲线24x y =-相切时.求出m ,即可得出m 的取值范围. 【详解】画出如下图像：当直线l 过点,A B 时,2m =-,此时直线l 与曲线2=-有两个公共点;x y4直线l与曲线相切时,22m=-,因此当222m-<≤-时，直线l与曲线2=-有两个公共点.4x y故选B【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.9.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为( )A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④【答案】A【解析】【分析】在①中：由题意得AC⊥平面SBD，从而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在③中：由平面EMN∥平面SBD，从而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP与平面SAC不垂直．【详解】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S ﹣ABCD ，可得SO⊥底面ABCD ，AC⊥BD，∴SO⊥AC． ∵SO∩BD＝O ，∴AC⊥平面SBD ，∵E，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， ∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M ，∴平面EMN∥平面SBD ， ∴AC⊥平面EMN ，∴AC⊥EP．故正确．在②中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确； 在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD ，∴EP∥平面SBD ，因此正确． 在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC ，若EP⊥平面SAC ，则EP∥EM，与EP∩EM＝E 相矛盾， 因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即不正确． ∴恒成立的结论是：①③． 故选：A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查空间线面、面面的位置关系判定，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．10.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 分析】先求出圆心和半径，比较半径和要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax+by=0的距离为【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为（2，2），半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax+by=0的距离为，≤∴2()410a a bb ⎛⎫++≤⎪⎝⎭，∴22a b --≤-+，a k b=-，∴22k ≤≤，直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 故选B ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题． 二、填空题11.直线10x +=的斜率为____；倾斜角的大小是____．【答案】6π【解析】 【分析】直线一般式化为斜截式,可求出直线的斜率,再由斜率求出直线的倾斜角.【详解】10x +=化为33y x =+，倾斜角为6π.故答案为6π. 【点睛】本题考查直线的几何特征,关键要掌握直线方程几种形式之间的互化,属于基础题. 12.已知m R ∈，若方程22+220x y x y m +++=表示圆，则圆心坐标为____；m 的取值范围是____．【答案】 (1). (1,1)-- (2). 2m <【解析】 【分析】当圆的方程是以一般方程给出时，根据圆心坐标公式,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,还需满足2240D E F +->表示圆.【详解】（1）若方程表示圆，那么根据圆心坐标公式，可得212x =-=-，212y =-=-， 圆心坐标()1,1--.（2）若方程表示圆，那么需满足222240m +->，即2m <. 故填：()1,1--;2m <.【点睛】本题考查了圆的一般方程，属于简单题型.13.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 为邪田，两畔CD AB ，分别为1，3，正广AD 为，PD ⊥ 平面ABCD ，则邪田ABCD 的邪长为_______；邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为________. 【答案】 (1). 4 (2). 6π【解析】 【分析】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，在Rt CEB ∆中，可求BC 长，即为邪长，又由题意可证AB ⊥平面PAD ，得到AFB ∠ 即为所求，在Rt AFB ∆中，求得正切值，可得角. 【详解】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，延长AD BC ，，使得ADBC F =（如图）.由题意可得23,2CE BE ==，则1244BC =+= 由题意知,//AB AD CD AB ⊥，所以13DF CD AF AB ==，所以3DF =.因为PD ⊥ 平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又AB AD ⊥，所以AB ⊥ 平面PAD ，则AFB ∠ 是直线BC 与平面PAD 所成角的平面角，3tan 33AB AFB AF ∠===，所以6AFB π∠= 故答案为 46π【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证明，考查了转化与化归思想及推理论证能力，属于中档题.14.直线10x y ++=被圆C ：222x y +=所截得的弦长为______；由直线30x y ++=上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为____. 【答案】610【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线10x y ++=的距离,再由垂径定理,求出半弦长,即可得到弦长; （2）M 为30x y ++=直线上一点,过M 向圆C 引切线，切点为N ,根据切线性质,切线段2||||2MN MC =-,要求切线段最小值,转化为求||MC 最小值,就可得切线长的最小值.【详解】（1）圆C :222x y +=的圆心(0,0)C ,半径r =设圆心C 到直线10x y ++=距离为d ,则,2d ==弦长为==（2）M 为30x y ++=直线上一点,过M 向圆C 引切线切于N ,则有||CM MN MN ⊥∴==，故||CM 取最小值时，此时CM 垂直直线30x y ++=,即||CM 取最小值为圆心C 到直线30x y ++=所以||MN. 故答案为【点睛】本题考查相交弦长和切线段长,涉及到点到直线的距离,相交弦长公式以及切线长公式,解决问题关键要正确运用圆的性质,考查等价转化数学思想,属于综合题.15.已知0a >，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为-1，则a =______.【答案】32【解析】 【分析】先根据条件作出可行域,2z x y =+,再利用z 的几何意义求最值,只需求出直线2z x y =+过可行域内的点B 时,从而得到a 的值. 【详解】作出可行域如下图：由2z x y =+得2y x z =-+,z 表示斜率为2-的 直线在y 上的截距,当z 最小为-1时,直线过B 点,由121x x y =⎧⎨+=-⎩,解得13x y =⎧⎨=-⎩,代入直线(3)y a x =-得,32a =. 故答案为:32. 【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组,借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数行结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.属于中档题.16.如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点M ，N 在边长为4的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成的轨迹长度为______.【答案】12π+【解析】 【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算.【详解】若线段MN 不在正方形ABCD 边上,MN 与正方形的一 顶点组成斜边为1的直角三角形，P 与该顶点的距离为12, 此时轨迹为直角扇形,四个顶点有四个直角扇形, 合起来刚好是半径为12的圆,周长为122ππ⨯=;若线段MN 在正方形ABCD 边上,则MN 的中点P 四个 边上滑动为四个等长的线段,长度均为3,轨迹长度为12; 所以轨迹的长度为12π+. 故答案为:12π+.【点睛】本题考查了点的轨迹与正方形性质,判断出轨迹的形状是解题的关键,也是解决为题的难点.17.在ABC ∆中，已知AB =BC =45ABC ∠=︒，D 是边AC 上一点，将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为______.【答案】【解析】 【分析】解ABC ∆可得其为等腰直角三角形,有题意可知折叠前图（1）中AM BD ⊥,根据等腰直角三角形位置关系可推出12BM BC >,在（2）图中，AB 为Rt ABM ∆的斜边,得BM AB <,即可得出答案.【详解】在ABC ∆中,AB =BC =45ABC ∠=︒, 由余弦定理得2222cos 12AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=,222AC AC AC AB BC ==+=,所以ABC ∆为等腰直角三角形.由将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -, 且A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上, 如图2所示,AM ⊥平面BCD ，则AM BD ⊥, 过M 做MN BD ⊥,垂足为N ，连AN , 所以BD ⊥平面AMN ,所以AN BD ⊥, 在折叠前图1中,由MN BD ⊥,AN BD ⊥, 所以,,A M N 三点共线.取BC 中点1M , 连1AM 交BD 于E ,由ABC ∆为等腰直角三角形, 所以1,AM BC D ⊥在线段AC 之间，故AEB ∠为钝角,AN BD ⊥,所以N 在DE 之间,得M 在1CM 之间,所以1BM BM >,即6BM >.在图2中,由于AB 为Rt ABM ∆的斜边,BM 为直角边,所以BM AB <,即23BM <.所以623BM <<. 故答案为:(6,23).【点睛】本题以平面图形为载体,求线段的取值范围,着重考查了空间垂直位置关系的判定和性质、余弦定理解三角形等知识,同时考查了空间想象能力与逻辑推理能力,属于中档题. 三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).(1)求过点P(2,-3)且与直线AB 平行的直线l 的方程;(2)一束光线从B 点射向(1)中直线l ，若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程. 【答案】(1) 直线l 的方程4x+3y+1=0,(2) 11x+27y+74=0.【解析】试题分析：（1）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；（2）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出试题解析：（1）由点斜式43(2)3y x+=-∴直线l的方程4x+3y+1=0（2）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）∴2324224*3*022nmm n-⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩解得14585mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴148(,),55B-'-'86115142785B Ak-+==-+；由点斜式可得116(8)27y x+=-整理得11x+27y+74=0；19.如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，2AB BC==，7AD CD==，3PA=，120ABC∠=︒.G为线段PC的中点.（1）证明：BD⊥面PAC；（2）求DG与平面APC所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2419【解析】【分析】（1）根据已知条件证明CA BD⊥,结合PA⊥平面ABCD.即可得证;（2）解法一（几何法）:先找到DG在平面内的射影直线,则所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得结果;解法二（空间向量法）:建立空间直角坐标系,确定各点坐标,求出DG 坐标和平面APC 的法向量坐标,结合线面角公式，即可得结果.【详解】（1）取AC 中点O ,因为AB BC =,AD CD =, 所以CA BO ⊥,CA OD ⊥,∴CA BD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥, 因为PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =,所以BD ⊥面PAC .（2）法一：连结OG ,由（1）BD ⊥平面PAC 可得BD OG ⊥,DG 与平面PAC 所成角为DGO ∠.∵G ,O 分别是PC ,AC的中点，∴12OG PA ==, 因为2AB BC ==,120ABC ∠=︒, 所以AO OC ==1BO =， 因为AD CD==,所以2DO =,∴在Rt DGO ∆中,tan DO DGO GO ∠=== ∴sin 19DGO ∠=. 因此DG 与平面APC 所成的角的正弦值为19. 法二：以O 为坐标原点,BD ,AC 平行于PA 的直线 为x ，y ，z 轴,建立如图所示空间直角坐标系，则因为2AB BC ==,120ABC ∠=︒,所以AO OC ==1BO =,因为AD CD ==,所以2DO =,因此()1,0,0B ,()2,0,0D -,()C ,()0,A ,(0,P ,从而()3,0,0DB =为平面APC 一个法向量,30,0,G⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,32,0,DG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 419cos ,3344DG DB <>==⨯+.因此DG 与平面APC 所成的角的正弦值为419.【点睛】本题考查线面垂直的判定以及线面角的求法,要充分体会转化与化归思想在解题中的应用.20.已知圆C ：2268210x y x y +--+=，直线l 过定点1,0A .（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时l 的直线方程. 【答案】（1）1x =或3430x y --=；（2）10x y --=或770x y --= 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设出直线l 方程,注意l 的斜率是否存在,圆心到直线l 的距离等于半径,利用点到直线距离公式,即可确定出直线l 的方程;（2）先设直线l 方程,求出圆心到直线l 的距离,再根据垂径定理,求出PQ 弦长,得到CPQ ∆面积的表达式,再求出此表达式的最大值.【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程,得()()22344x y -+-=, ∴圆心()3,4C ，半径2r.①若直线l 的斜率不存在,则直线1x =,符合题意．②若直线l 斜率存在，设直线l ：()1y k x =-,即kx y k 0--=. ∵l 与圆C 相切.∴圆心()3,4C 到已知直线l 的距离等于半径2,2=,解得34k =.∴综上，所求直线方程为1x =或3430x y --=． （2）直线与圆相交,斜率必定存在, 设直线方程为kx y k 0--=.则圆心到直线l的距离d =.又∵CPQ ∆面积12S d =⋅⋅==∴当d =max 2S =.由d ==解得1k =或7k =.∴直线方程为10x y --=或770x y --=.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的性质,涉及到的知识有:点到直线的距离公式,三角形面积公式,垂径定理以及直线方程.要注意分类讨论,是一道多知识点综合题. 21.如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）33（3）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且192FQ = 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即20,0,x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,2)0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩ ，据此可得 201x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP 的一个法向量为()2,0,1n =，226cos ,311221m n <>==++⋅+，于是3sin ,3m n 〈〉=. 故二面角A PB C--3（3）设存在点Q 满足条件.由12,0,,(0,2)22F E ⎛ ⎝⎭，设(01)FQ FE λλ=，整理得12(1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则12(1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以21sin |cos ,|||62||||219107BQ m BQ m BQ m πλλ⋅====⋅-+ 解得21λ=，由01λ知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且19FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22.若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切， 从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ，T 为切点，（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,2)Q -，且PT PQ =， 试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l 与x 轴的交点为F ，点,M N 是直线6x =上两动点，且以,M N 为直径的圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）22(3)(4)25x y -++=（Ⅱ）见解析 （Ⅲ）(16,0)和(4,0)-【解析】试题分析：（Ⅰ）直线与圆相切，则该直线离圆心的距离等于半径，从而确定圆心与半径，可求圆C 的方程；（Ⅱ）由题可得PT⊥CT，求出再由PT PQ =，从而可得结论；（Ⅲ）根据点F 在圆E 上，故0FM FN ⋅=得12100y y =-，从而可得圆的方程，令0y =可得结论．试题解析：（Ⅰ）设圆心(,)C m n 由题易得3m =半径1r n =-=得4n =-，=5r所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++=（Ⅱ）由题可得PT CT ⊥， 所以PT ==PQ ==整理得240a b -+=所以点P 总在直线240x y -+=上（Ⅲ）(4,0)F -由题可设点1(6,)M y ，2(6,)N y ， 则圆心12(6,)2y y E +，半径122y y r -= 从而圆E 的方程为2221212()(6)()24y y y y x y +--+-= 整理得22121212()360x y x y y y y y +--+++=又点F 在圆E 上，故0FM FN ⋅=得12100y y =-所以221212()640x y x y y y +--+-=令0y =得212640x x --=， 所以16x =或4x =-所以圆E 过定点(16,0)和(4,0)-考点：圆的方程及直线与圆的位置关系．【方法点睛】求圆的方程的两种方法：（1）代数法：即用待定系数法求圆的方程①若已知条件与圆心和半径有关，则设出圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设出圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解；（2）几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心，半径，进而写出圆的标准方程。

2019-2020学年浙江省宁波中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果. 【详解】B 中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C 中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D 中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意； A 中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意， 故选A. 【点睛】本题主要考查旋转体的基本定义，考查了空间想象能力，属于基础题. 2．设p ：01x <<，q ：21x ≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据充分必要条件及由x 范围的大小即可判断。

【详解】由题设知，210x x ≥⇒≥，∵()[)010⊂+∞，，，∴满足p q ⇒，但qp ，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知p 是q 的充分不必要条件． 故选A ． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，注意方向性，属于基础题。

3．如图，Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，直角边1=''B O ， 则这个平面图形的面积是（A ）22 （B ） 1 （C ）2 （D ）42【答案】C 【解析】略4．已知直线m ，l ，平面α，β，且m α⊥，l β⊂，给出下列命题，其中正确的是（ ）A ．若//αβ，则m l ⊥B ．若αβ⊥，则//m lC ．若m l ⊥，则//αβD ．若//m l ，则//αβ【答案】A【解析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行判断. 【详解】已知直线m ，l ，平面α，β，且m α⊥，l β⊂， 若//αβ，则m β⊥，所以m l ⊥，A 正确； 若αβ⊥，则m 与l 平行、相交或异面，B 不正确； 若m l ⊥，则//αβ或α与β相交，C 不正确； 若//m l ，则αβ⊥，D 不正确. 故选：A 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，属于基础题.5．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若，则”的否命题B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则”的否命题D ．命题“已知，若，则a ＞b ”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题 【答案】B【解析】根据否命题的定义写出A ，C 的否命题，用特殊法判断其是否为真命题； 根据逆命题的定义写出B 中命题的逆命题，判断真假; 根据D 命题是假命题可知D 的逆否命题为假命题. 【详解】A ．命题“若x ＞1，则x2＞1”的否命题为“若x ≤1，则”假命题；B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|，则x ＞y ”真命题．C ．命题“若x ＝1，则”的否命题为“若x ≠1，则”假命题．D ．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题． 【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用． 6．方程22(3)2610x y x y +-+-=表示的图形是（ ） A ．一条直线与一个圆 B ．两条射线与一个椭圆 C ．两个点 D ．一条直线与一个椭圆【答案】D【解析】由题意知30x y +-=22(2610)x y +-≥或222610x y +-=，表示一条直线与一个椭圆. 【详解】因为22(3)2610x y x y +-+-=，所以30x y +-=22(2610)x y +-≥或222610x y +-=，222610x y +-=即2211126x y +=表示椭圆，所以方程22(3)2610x y x y +-+-=表示的图形是一条直线与一个椭圆. 故选：D 【点睛】本题考查曲线方程与图象的判断问题，属于基础题.7．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 【答案】C【解析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.8．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19【答案】B【解析】试题分析：由题可知，222212||(|4)(|1)PM PN PC PC -=---， 因此2222121212||||3()()3PM PN PC PC PC PC PC PC -=--=-+-12122()32313PC PC C C =+-≥-=，故选B ．【考点】圆锥曲线综合题．9．正三棱柱111ABC A B C -（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点，M 、N 分别是1BB 、1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当M 、N 运动时，下列结论中正确的个数是（ ）①平面DMN ⊥平面11BCC B ； ②三棱锥1A DMN -的体积为定值； ③DMN ∆可能为直角三角形；④平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①由1BM C N =得线段MN 必过正方形11BCC B 的中心O ，则DO ⊥平面11BCC B ，推出面面垂直；②由1A DM 的面积不变，点N 到平面1A DM 的距离不变得到三棱锥1A DMN -的体积为定值；③利用反证法说明DMN ∆不可能为直角三角形；④设三棱柱棱长为a ，([0,1])MB t t =∈，建立空间直角坐标系，利用向量法表示出平面DMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值，根据t 的范围求出cos θ的范围即可求得两平面所成锐二面角的范围. 【详解】①如图当M 、N 分别在1BB 、1CC 上运动时，若满足1BM C N =，则线段MN 必过正方形11BCC B 的中心O ，而DO ⊥平面11BCC B ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B ，①正确；②当M 、N 分别在1BB 、1CC 上运动时，1A DM 的面积不变，点N 到平面1A DM 的距离不变，所以棱锥1N A DM -的体积不变，即三棱锥1A DMN -的体积为定值，②正确；③设三棱柱棱长为a ，([0,])MB t t a =∈，由1BM C N =易知DM DN =且221()2DM DN a a x ==+-，22(2)MN a x a =-+，若DMN ∆为直角三角形则90MDN ∠=，222DM DN MN +=，所以()22222212()(2)2a a x a x a⎛⎫+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，化简得()222(2)ax a =-，解得212x a a +=>或1202x a -=<，均不符合题意，所以DMN ∆不可能为直角三角形，③错误；④建立如图所示空间直角坐标系：设三棱柱棱长为a ，([0,1])MB t t =∈，则3111(,0,),(0,,),(0,,)222M t N a a t D a a --， 3111(,,),(0,,)2222DM a a t a DN a a t =-=-， 设(,,)n x y z =为平面DMN 的法向量，则11()002210()02ay t a z DM n DN n ay a t z ++-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅=⎩⎪+-=⎩， 令1y =可得平面DMN 的一个法向量为(3,1,)12an t a =--， 易知1(0,0,)CC a =为平面ABC 的一个法向量，设平面DMN 与平面ABC 所成二面角为θ，则11cos n CC n CC θ⋅==⋅， 因为[0,1]t ∈，所以222214()[,2]2t a a a a -+∈⇒cos [2θ=， 所以平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π，④正确.故选：C 【点睛】本题考查面面垂直的判定，椎体的体积，二面角的相关问题，属于中档题.10．已知,x y R ∈，则()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．14B ．2C ．12D ．12【答案】C【解析】问题转化为点(,1)x x -到点1(,)y y-的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象1y x=-的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭可看成点(,1)x x -到点1(,)y y -的距离的平方， 点(,1)x x -在直线1y x =-的图象上，点1(,)y y -在反比例函数1y x=-的图象上，问题转化为在图象1y x =-上找一点，使得它到直线1y x =-的距离的平方最小. 注意到反比例函数1y x=-的图象关于直线y x =-对称，直线1y x =-也关于y x=-对称，观察图象知点P 到直线1y x =-的距离最短，1(1,1)y P x y x⎧=-⎪⇒-⎨⎪=-⎩，最短距离为111222d +-==()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为12. 故选：C 【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象1y x=-的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题，属于中档题.二、填空题11．下列语句是命题的有______，其中是假命题的有______．（只填序号） ①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线③若x y +为有理数，则x ，y 也都是有理数． ④8x >．【答案】③ ③【解析】根据命题定义可判断出③为命题；通过反例可知③为假命题，由此得到结果. 【详解】①②不是陈述句，④不能判断真假，均不符合命题定义，不是命题 ③是可以判断真假的陈述句，是命题；当2x =-，2y =时，x y +为有理数，但,x y 不是有理数 ∴③是假命题 本题正确结果：③；③ 【点睛】本题考查命题的定义和真假命题的判断，属于基础题.12．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为_________，表面积为_________.【答案】16 332+ 【解析】根据三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的高为1，底面直角三角形的直角边为1，由棱锥的体积公式及三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的高为1，底面直角三角形的直角边为1，所以该几何体的体积为111(11)1326V =⨯⨯⨯⨯=， 取BC 的中点为D ，连接AD ，因为2AB AC BC ===ABC 为等边三角形且6cos6AD AC π=⋅=，表面积为116333(11)222S +=⨯⨯⨯+= 故答案为：1633+【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积、面积，属于基础题.13．若方程2211x y m m +=-表示的曲线是椭圆，则m 的取值范围为_________.【答案】(1,)+∞【解析】由椭圆的性质得0101m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即可求得m 的范围.【详解】若方程2211x ym m +=-表示的曲线是椭圆，则01011m m m m m >⎧⎪->⇒>⎨⎪≠-⎩，所以m 的取值范围为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.14．在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可有________个；在四面体的4个面中，直角三角形最多可有________个． 【答案】4 4【解析】在正方体中，选取四棱锥、四面体，判断直角三角形的个数，由此得出结论. 【详解】画出正方体ABCD EFGH -如下图所示，根据正方体的几何性质可知，在四棱锥H ABCD -中，,,,HAD HAB HBC HCD ∆∆∆∆都是直角三角形，共4个.在四面体H ABD -中，,,,HAD HAB HBD ABD ∆∆∆∆都是直角三角形，共4个.故填：（1）4；（2）4.【点睛】本小题主要考查四棱锥、四面体的概念和几何性质，考查空间想象能力，属于基础题.15．点F 为椭圆22198x y 的右焦点，M 在椭圆上运动，点()1,2P -，则MPF ∆周长的最大值为_________. 【答案】822+【解析】取椭圆左焦点为左焦点为1(1,0)F -，连接1MF ，则MPF C FP MP MF ∆=++，因为FP 为定值故只需求出||||MP MF +的最大值即可求得MPF ∆周长的最大值. 【详解】由椭圆22198x y 的焦点在x 轴上知3,22,1a b c ===，右焦点(1,0)F ，左焦点为1(1,0)F -，连接1MF ，2MPF C FP MP MF MP MF ∆=++=++由椭圆定义可知：1||2MF MF a +=，11||||||26||MP MF MP a MF MP MF +=+-=+-，即1||MP MF -最大时，||||MP MF +最大，在1PMF 中，两边之差总小于第三边，2211||(11)(20)22MP MF PF -≤=++-=，当且仅当1M F P 、、共线时，1||MP MF -取最大值22，此时||||MP MF +取最大值6+22，则周长2MPF C MP MF ∆=++的最大值为822+. 故答案为：822+ 【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质，椭圆中三角形周长问题，属于中档题. 16．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AC BD ==，5AD BC ==，,E F 分别是,AD BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.【答案】62【解析】本题首先可以将四面体补成长宽高分别为3、2、1的长方体，然后根据EF ⊥平面α得出截面为平行四边形，再然后根据三角形相似的相关性质得出两相邻边的和为5，再然后求出异面直线BC 与AD 所成角的正弦值，最后通过解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A .B为焦点的椭圆”，那么( ) A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件2．抛物线y ＝－81x 2的焦点坐标是( ) A ．(－321, 0) B ．(－21, 0)C ．(0, －2)D ．(0, －4)3．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a ＞b ＞0)的曲线大致是()4．AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的弦，(,0)F c 为椭圆的右焦点，则AFB ∆面积的最大值是( ) A ．2bB ．abC ．acD ．bc5．下列命题的否定是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋2≥0 B ．所有的菱形都是平行四边形 C ．∃x ∈R ，｜x －1｜＜0D ．∃x ∈R ，使得x 3＋64＝06．在相距4k 米的A 、B 两地, 听到炮弹爆炸声的时间相差2秒, 若声速每秒k 米, 则爆炸地点P 必在( ) A ．以A ，B 为焦点, 短轴长为3k 米的椭圆上． B ．以A ，B 为焦点, 实轴长为2k 米的双曲线上． C ．以AB 为直径的圆上．D ．以A ，B 为顶点, 虚轴长为3k 米的双曲线上．7．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线：x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么PQ 的最小值为( )A ．5－1B ．154- C ．122- D ．12-8．已知双曲线：112422=-y x ，则以A (1，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．3x ＋y －2＝0D ．不存在9．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y m n m n-=>> 有相同的焦点(),0c -和(),0c ，若c 是,a m的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是( ) A ．33B ．22C ．14D ．1210．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，那么k 的取值范围是( )A ．(315,315-) B ．(1,1-) C ．(3150，) D ．(3151，) 11．设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O为坐标原点，若2=，且1=⋅，则P 点的轨迹方程是()A ．()0,0132322>>=+y x y x B ．()0,0123322>>=-y x y xC ．()0,0132322>>=-y x y xD ．()0,0123322>>=+y x y x12．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为( )A ．x y 232= B ．x y 32= C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题13．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________________． 14．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 _______________________15．已知P ：64-≤x ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若P ⌝是q ⌝必要不充分条件，则m 的取值范围为________________．16．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__________________ 三、解答题： 17．(满分10分)在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短．18．(满分12分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假．求实数m 的取值范围．19．(满分12分)已知双曲线过点A )4,23(-，它的渐近线方程为x y 34±= (1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2是这双曲线的左、右焦点，点P 在这双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．20．(满分12分)若直线y ＝x ＋t 与椭圆1422=+y x 相交于A 、B 两点，当t 变化时，求|AB |的最大值．21．(满分12分)如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P()()，作两条直线分别交抛物线于A，B (22,y x )．(1)F 的距离；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．22．(满分12分)设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．(Ⅰ)求轨迹C 的方程；(Ⅱ)若点D 的坐标为(0，16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且λ=，求实数λ的取值范围．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案衡阳市八中本试题卷共三大题21小题，全卷满分100分，考试用时120分钟．请将答案写在答卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“2>x ”是“42>x ”成立的( )A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件；2．下列命题中，真命题是( )A ．0)2(,2*>-∈∀x x N ； B ．0lg ,>∈∀x x R ； C ．12,>∈∃x x R ；D ．01,2≤+-∈∃x x x R ；3．“若12=x ，则1=x 或1-=x ”的否命题是( )A ．若12≠x ，则1=x 或1-=x ； B ．若12=x ，则1≠x 且1-≠x ； C ．若12≠x ，则1≠x 或1-≠x ； D ．若12≠x ，则1≠x 且1-≠x ；4．不等式1|1|->-x x 的解集是( )A ．(∞-，1)；B ．(∞-，∞+)；C ．(1，∞+)；D ．(∞-，1)⋃(1，∞+)；5．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A ．21； B ．2；C ．22； D ．23； 6．设点P 是双曲线127922=-y x 上的点，两焦点分别为21,F F ，若7||1=PF ，则=||2PF ( ) A ．1；B ．13；C ．5或13；D ．1或13；7．双曲线19422=-y x 的渐近线的方程是( ) A ．x y 94±=； B ．x y 49±=； C ．x y 23±=； D ．x y 32±=； 8．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．2-B ．2C ．4-D ．49．若点P 在曲线022=-y x 上移动，则点A (0，1-)与点P 连线中点M 的轨迹方程是( )A ．22x y =；B ．28x y =；C ．1822-=x y ；D ．1822+=x y ；10．过抛物线x y 42=上的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，则|AB |的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．命题“01,2>++∈∀x x x R ”的否定是：________________；12．已知椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值为：___________________；13．设双曲线19422=-y x 的右焦点为F ，则点F 到该双曲线的渐近线的距离为：_____； 14．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且=||PM 5，设抛物线的焦点为F ，则MPF∆的面积为：___________________；15．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为21,F F ，若在椭圆上存在一点P ，使1PF ⊥2PF ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是：_______________；三、解答题：本大题共6小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分8分)已知6=c ，经过点P (5-，2)，焦点在x 轴上，求该双曲线的方程；17．(本小题满分8分)过椭圆141622=+y x 内一点M (2，1)引一条弦，使该弦被点M 平分，求这条弦所在直线l 的方程；命题p ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题q ：指数函数xa x f )23()(-=是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围；19．(本小题满分9分)已知椭圆19422=+y x 及直线m x y l +=23:， (1)当直线l 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被椭圆截得的弦长的最大值。

2019-2020学年浙江省宁波市镇海区镇海中学高二上学期期中数学试题一、单选题11=表示的曲线是（ ）A ．一条射线B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支【答案】D【解析】根据方程表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，得到答案. 【详解】1=表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，1221F F =>，故表示的是双曲线的右支. 故选：D . 【点睛】本题考查了方程表示的曲线，转化为几何意义是解题的关键. 2．已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求得不等式11a<的解集为0a <或1a >，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，不等式11a<，等价与1110a a a --=<，即10a a ->，解得0a <或1a >， 所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确理与运算能力，属于基础题．3．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( ) A ．红豆生南国 B ．春来发几枝 C ．愿君多采撷 D ．此物最相思 【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．4．已知m ，n 表示两条不同直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m ⊥α的是（ ） A ．α⊥β且m ⊂β B ．α⊥β且m ∥βC ．α∥β且m ⊥βD ．m ⊥n 且n ∥α【答案】C【解析】ABD 选项均可得到m α⊂，//m α或m 与α相交，得到答案. 【详解】A. α⊥β且m ⊂β，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故排除；B. α⊥β且m ∥β，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故排除；C. α∥β且m ⊥β，则m ⊥α，正确；D. m ⊥n 且n ∥α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故排除； 故选：C . 【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.5．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，O 为坐标原点，若点P （1，﹣2，3）在平面xOz 上的投影为点B ，则线段OB 的长度为（ ）A BCD 【答案】B【解析】计算得到1,0,3B ，再计算长度得到答案.【详解】点P （1，﹣2，3）在平面xOz 上的投影为点()1,0,3B ，故OB ==. 故选：B . 【点睛】本题考查了空间中点的投影，距离的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 6．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若a r⊥b r，则a r •b =r0”的否命题为“若a r⊥b r，则a r •b ≠r0”B ．命题“函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的增函数”的否定是“函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的减函数”C ．命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ”的逆否命题为真命题D ．命题“若x ＝2，则x 2﹣3x +2＝0”的逆命题为真命题 【答案】C【解析】根据否命题，逆命题，逆否命题，命题的否定的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 命题“若a r⊥b r，则a r •b =r0”的否命题为“若a r不垂直b r，则a r •b ≠r0”，故A 错误； B. 命题“函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的增函数”的否定是“函数f （x ）＝（a ﹣1）x 不是R 上的增函数”，故B 错误；C. 命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ”是真命题，故逆否命题为真命题，C 正确；D. 命题“若x ＝2，则x 2﹣3x +2＝0”的逆命题为“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝2”，为假命题，D 错误；故选：C . 【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆否命题，逆命题，意在考查学生对于命题的理解和掌握.7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．13C ．3D ．3【解析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =r，计算夹角得到答案.【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥r u u u r r u u u u r得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =r ，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，故22cos n DE n DE α⋅==⋅r u u u r r u u u r ，故1sin 3α=，直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（ ）A ．3B ．355C ．324D ．32【解析】根据,,A B P 三点共线得到1λμ+=，计算得到,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简得到答案. 【详解】 渐近线为：a y x b =±，取y c =，解得bc x a =±，则,,,bc bc A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，且,,A B P 三点共线，故1λμ+=，2259λμ+=，则1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨取1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得到：222219c c a a -=，即281,9e e ==. 故选：C . 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到1λμ+=是解题的关键.9．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，经过定点P （a ，0）（a ＞0）的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP PA =u u u r u u u r，|AF |+2|BF |＝9，则a ＝（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E ，根据相似得到3NP =，得到答案.【详解】如图所示：过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E .2BP PA =u u u r u u u r，则2AC BE =，29AF BF +=，即29DE =， 4.5DE =.根据三角形相似得到：23NPDE =，故3NP =，1OP =，故1a =. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．四棱锥P ﹣ABCD 中，已知3PAB PAD BAD π∠=∠=∠=，|AB |＝|AD |＝a ，|AP |＝b ，|PC |＝1，则b 的最大值为（ ） A 3B 6 C 6D 3【答案】B【解析】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC ，计算得到6PA =，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC .AD EF ⊥，AD PF ⊥，故AD ⊥平面PEF ，故AD PE ⊥，故2b AE =，32PE =. 3EF =，226PA PE EF =-=. 在PFC ∆中，222PC FC PF =+，即222113b FC =-≤，故6b ≤当F 和C 点重合时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了四棱锥中距离的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题11．双曲线2213y x -=的渐近线方程为_____，焦点坐标为_____．【答案】y 3=±x （±2，0） 【解析】直接利用渐近线方程公式和焦点公式得到答案. 【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程为：3y x =，焦点坐标为()2,0±.故答案为：3y x =；()2,0±. 【点睛】本题考查了渐近线和焦点，属于简单题.12．已知()3211a λ=-r ，，，()102b μμ=+r ，，．若a b ⊥r r ，则μ＝_____；若//a b r r ，则λ+μ＝_____．【答案】35- 710【解析】根据垂直得到()31020a b μμ⋅=+++=r r ，根据平行得到a mb =r r，计算得到答案. 【详解】r r ，故3μ=-；//a br r ，则a mb =r r ，即()()3211102m λμμ-=+，，，，，故()3121012m m μλμ⎧=+⎪-=⎨⎪=⎩，解得1215λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故710λμ+=. 故答案为：35-；710. 【点睛】本题考查根据向量的垂直平行求参数，意在考查学生的计算能力.13．已知向量a r，b r，c r是空间的一组单位正交基底，向量a b +rr，a b -rr，c r是空间的另一组基底，若向量p r 在基底a r ，b r ，c r 下的坐标为（2，1，3），p 在基底a b +r r ，a b -r r ，c r下的坐标为（x ，y ，z ），则x ﹣y ＝_____，z ＝_____． 【答案】1 3【解析】化简得到()()p x y a x y b zc =++-+u r r r r，对比系数得到答案.【详解】根据题意知：23p a b c =++u r r r r，()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+u r r r r r r r r r.故1,3x y z -==； 故答案为：1；3. 【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力.14．若动点P 到点F （0，1）的距离比它到直线y ＝﹣2的距离少1，则动点P 的轨迹C 的方程为_____，若过点（2，1）作该曲线C 的切线l ，则切线l 的方程为_____ 【答案】x 2＝4y y ＝x ﹣1．【解析】设动点P 的坐标为（x ，y ），代入化简得到答案，设过点（2，1）的直线方程为y ＝k （x ﹣2）+1，计算得到答案. 【详解】设动点P 的坐标为（x ，y ）21y =+-； ∴x 2＝4y ；动点P 的轨迹C 方程为x 2＝4y ； 设过点（2，1）的直线方程为y ＝k （x ﹣2）+1；②当k 存在时，联立()2214y k x x y⎧=-+⎨=⎩，∴x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0．∵直线与曲线C 相切，∴△＝16k 2﹣32k +16＝0；解得k ＝1； 切线l 的方程为y ＝x ﹣1．故答案为：24x y =；1y x =-.【点睛】本题考查了轨迹方程，切线问题，意在考查学生的计算能力.15．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，AC =，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．【解析】如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =u r，平面ACD的法向量()2n =u u r，利用夹角公式计算得到答案.【详解】设BD 中点为O，则AO CO ==AC =，故AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面ABD 的法向量()11,0,0n =u r，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，()(),,0,1,0A C D ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r，解得：()2n =u u r，则法向量夹角1212cos 5n n n n θ⋅===⋅u r u u ru r u u r . 故二面角B ﹣AD ﹣C..【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．四边形ABCD 的各个顶点依次位于抛物线y ＝x 2上，∠BAD ＝60°，对角线AC 平行x 轴，且AC 平分∠BAD ，若2BD =，则ABCD 的面积为_____．3【解析】不妨设()()()()2222,,,,,,,A a aC a a B b bD d d -，计算得到3a b -=，3d a -=，计算得到2a =()12D B S AC y y =-计算得到答案.【详解】 不妨设()()()()2222,,,,,,,A a aC a a B b bD d d -.则 )223a b a b+=-，故3a b -=；)223a d d a +=-，故3d a -=. ()()()()()222222212BD b d b db d b d =-+-=-++=，即()241423a +=，2a =()()22212332236D B S AC y y a d b a =-=-=⋅=. 故答案为：3.【点睛】本题考查了抛物线的内接四边形面积，意在考查学生的计算能力.17．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=＞＞，点A ，B 分别是椭圆E 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，其中c 是椭圆的半焦距，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e 2的取值范围是_____．【答案】[54，32-）．【解析】根据直线和圆相离得到a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），根据等腰三角形得到2e 4﹣5e 2+1≤0，计算得到答案. 【详解】AB 所在直线方程为1x ya b+=-，即bx ﹣ay +ab ＝0， 又直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，c ，即a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）＞c 2（2a 2﹣c 2），整理得：e 4﹣3e 2+1＞0，解得0＜e 2 又存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形，则在Rt △OPN 中，OP ==，≤，即a 2b 2≤2c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）≤2c 2（2a 2﹣c 2），整理得2e 4﹣5e 2+1≤0，解得54-≤e 2＜1．∴e 2的取值范围是[54，32-）．故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题18．已知a ＞0，且a ≠1．命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数；命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点．（1）若命题P ，Q 满足P 真Q 假，求实数a 的取值范围；（2）命题S ：函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S 为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（1，2）； （2）（1，74）． 【解析】（1）根据命题P ，Q 满足P 真Q 假，计算得到答案.（2）首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0，再讨论0＜a ＜1和1＜a ＜2两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）由命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数是真，得a ＞1； 由命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点为假，得△＝4a 2﹣16＜0，得﹣2＜a ＜2． ∴使命题P 真Q 假的实数a 的取值范围是（1，2）； （2）若函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数， 则首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0，则△＝4a 2﹣16＜0或()2840a g a a ≤⎧⎨=-⎩＞，得﹣2＜a ＜2．又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜2且a ≠1．当0＜a ＜1时，外层函数f （x ）单调递减，而内层函数g （x ）当x →+∞时，g （x ）→+∞， 此时y ＝f （g （x ））＜0，不合题意；当1＜a ＜2时，外层函数f （x ）单调递增，要使y ＝f （g （x ））＞0在区间[2，+∞）上恒成立，则g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上的最小值大于1．即g（2）＝8﹣4a＞1，得a74＜．∴1＜a74＜．即使命题S为真命题的实数a的取值范围是（1，74）．【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，5AB ，BD＝2．（1）若点E，F分别为线段PD，BC上的中点，求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）79．【解析】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB，证明四边形BFEH为平行四边形得到答案.（2）过A作AN⊥PB于点N，连接NC，AC，BD，设AC交BD于点O，确定则∠ANC 为二面角A﹣PB﹣C的平面角，计算得到答案.【详解】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB；由E ，H 分别为PD ，P A 的中点，则EH ∥AD 且12EH AD =； 又F 为BC 的中点，则BF ∥AD 且12BF AD =； 所以EH ∥BF 且EH ＝BF ，则四边形BFEH 为平行四边形； 所以EF ∥BH ，又HB ⊂平面P AB ； 所以EF ∥平面P AB ；（2）过A 作AN ⊥PB 于点N ，连接NC ，AC ，BD ，设AC 交BD 于点O ，在△PBD 中O 为AC 的中点，PD ＝PB ，则PO ⊥BD ； 又平面PBD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ； 在△PBD 中，PD ⊥PB ，BD ＝2．则PD ＝PB 2=由题意有P A ＝PC 5=AO ＝2，5AB =在等腰三角形APB 中，2232()22PB AN AB =-=； 由△P AB ≌△PCB ，则CN ⊥PB ；CN ＝AN在△ACN中，2229916722293232222AN NC ACcos ANCAN CN+-+-∠===-⋅⨯⨯；故平面P AB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为79．【点睛】本题考查了线面平行和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．如图，已知椭圆2213xC y+=：，过动点M（0，m）的直线交x轴于点N，交椭圆C于A，P（其中P在第一象限，N在椭圆内），且M是线段PN的中点，点P关于x 轴的对称点为Q，延长QM交C于点B，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2．（1）当113k=时，求k2的值；（2）当1213kk=-时，求直线AB斜率的最小值．【答案】（1）k2＝1（2）最小值为1．【解析】（1）设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），计算得到213kk=-，得到答案.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线P A的方程为y＝kx+m，（k＞0），联立方程计算得到1212ABy ykx x-=-，代入数据利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．所以直线PM的斜率1002m m mkx x-==；直线QM的斜率20023m m mkx x--==-；此时213k k =-．当113k=-时k2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线P A的方程为y＝kx+m，（k＞0）由2233x yy kx m⎧+⎨=+⎩，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0()22012231331313mmx xk k-==++，即()()2123113mxk x-=+；所以()()21123113k my kx m mk x-=+=++；直线QB的方程为y＝﹣3kx+m．同理有：()()22231127mxk x-=+，()()22231127k my mk x--=++，31126kk⋅=23126kk=，当且仅当2232HQ HQAB︒===，即13k=时取等号；故直线AB的斜率的最小值为1．【点睛】本题考查了椭圆内的斜率问题，综合考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合理解能力.21．如图，△ABC为正三角形，且BC＝CD＝2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．（1）当AD＝2时，求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角为60°，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】（1）根据长度关系得到AE ⊥平面BCD ，得到证明.（2）取BC 中点O ，BD 中点E ，连接AO ，OE ，得HQ ⊥平面ACD ，计算HQ 3=，AH 3=，计算得到答案.【详解】（1）若AD ＝2，又AB ＝AC ＝2，则A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的外心， ∵△BCD 为直角三角形，且∠BCD ＝90°， ∴A 在底面BCD 内的射影E 落在BD 的中点上， ∴AE ⊥平面BCD ，而AE ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）取BC 中点O ，BD 中点E ，连接AO ，OE ，可得BC ⊥平面AOE ，过A 作AH ⊥OE 于H ，过H 作HN ∥BC 交CD 于N ， 连接AN ，作HQ ⊥AN 于Q ，得HQ ⊥平面ACD ， 点B 到平面ACD 的距离为2HQ ，则sin60231x x +⋅=，得HQ 3=， 设AH ＝x ，有22221(3)22=++=，解得x 3=，即AH 3=，又AO 3=，∴H 与O 重合，则AD01525p--=．【点睛】本题考查了面面垂直，根据线面夹角求线段长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点到直线l ：2x ﹣y ﹣1＝0（1）求抛物线的方程；（2）过点P （0，t ）（t ＞0）的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，交x 轴于点Q ，若抛物线C 上总存在点M （异于原点O ），使得∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，求实数t 的取值范围．【答案】（1）x 2＝y ；（2）t ≥1．【解析】（1）直接利用点到直线的距离公式计算得到答案.（2）过点P （0，t ）（t ＞0）的直线l 的方程设为y ＝kx +t ，联立方程，利用韦达定理得到x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣t ，且y 1＝x 12，y 2＝x 22，根据∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m t m k=-+•tk-=1，化简得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点（0，2p ）到直线l ：2x ﹣y ﹣1＝0的距离为4，可得t k -，解得p 12=，即抛物线的方程为x 2＝y ； （2）过点P （0，t ）（t ＞0）的直线l 的方程设为y ＝kx +t ，联立x 2＝y ，可得x 2﹣kx ﹣t ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得k 2+4t ＞0，x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣t ，且y 1＝x 12，y 2＝x 22，设M （m ，m 2），Q （2m t m-，0），由∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m tm k=-+•tk-=1，化为2211m x m x --m 3﹣mt +m ，①2222m x m x -=--•2tm=1，即（m +x 1）（m +x 2）＝﹣1，化为m 2+km ﹣t +1＝0，②由①②可得t ＝k 2m 2，由k 2﹣4（1﹣t ）≥0可得4（1﹣t ）≤k 21tt-≤，由于m≠0，m2＞0，可得1tt-≤0解得t≥1．【点睛】本题考查了抛物线方程，根据直线和抛物线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.。

浙江省宁波市2019年高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 已知集合，，则A∩B=（）A .B .C . （0，1]D . （0，3]2. （2分）已知f（x）=x+ 在（1，e）上为增函数，则实数b的取值范围是（）A . （﹣∞，1]∪[e2 ，+∞）B . （﹣∞，0]∪[e2 ，+∞）C . （﹣∞，1]D . [1，e2]3. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 记为等差数列的前项和，若，，则（）A . 4B . 5C . 6D . 74. （2分） A为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形5. （2分）给出下列命题，其中错误命题的个数为（）（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则（）A . -8B . -6C . 6D . 87. （2分）函数f（x）=loga（2﹣ax）在[0，4]上为增函数，则b=4的取值范围是（）A .B . （0，1）C .D . [4，+∞）8. （2分） (2016高二下·揭阳期中) 执行如图所示的程序框图，若输出S的值是，则a的值可以为（）A . 2014B . 2015C . 2016D . 20179. （2分）在一次马拉松决赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 814 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 515 0 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为1﹣30号，在用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A . 2B . 6C . 5D .11. （2分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（cm2）（）A . 2π+6B . 2π+6C . 6+(2+2)πD . 6+(+2)π12. （2分）若不等式对一切成立,则的最小值为（）A . 0B . -2C .D . -3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________14. （1分） (2019高二上·德惠期中) 给出下列命题：①命题“若，则”的否命题为“若，则”；②“ ”是“ ”的必要不充分条件；③ 命题“，使得”的否定是：“ ，均有”；④命题“若，则”的逆否命题为真命题其中所有正确命题的序号是________.15. （1分）当x＞0时，函数y=的最小值为________16. （1分）(2016·山东理) 已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分）(2018·淮北模拟) 大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史，皖北多平原地带，黄河故道土地肥沃，适宜种植大豆，2018年春，为响应中国大豆参与世界贸易的竞争，某市农科院积极研究，加大优良品种的培育工作，其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率之间的关系，为此科研人员分别记录了5天中每天100粒大豆的发芽数，得如下数据表格：科研人员确定研究方案是：从5组数据中选3组数据求线性回归方程，再用求得的回归方程对剩下的2组数据进行检验.（1）求剩下的2组数据恰是不相邻的2天数据的概率；（2）若选取的是4月5日、6日、7日三天数据，据此求关于的线性同归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请检验（Ⅱ）中同归方程是否可靠？注：， .18. （5分） (2016高一下·桐乡期中) 设函数的最大值为M，最小正周期为T．（Ⅰ）求M、T；（Ⅱ）若有10个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10），求x1+x2+…+x10的值．19. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 如图，已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N 中，AN∥BB1 ，AB⊥AN，CB=BA=AN= BB1 ．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）求二面角C﹣C1N﹣B的大小．20. （10分）老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，父亲的身高用x表示，儿子的身高用y来表示．（1）完成答题卡中的表格；（2）用回归分析的方法得到的回归方程为 =bx+ ，则预计老张的孙子的身高为多少？21. （10分） (2017高一上·福州期末) 已知圆C的半径为1，圆心C（a，2a﹣4），（其中a＞0），点O（0，0），A（0，3）（1）若圆C关于直线x﹣y﹣3=0对称，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点P，使|PA|=|2PO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．22. （10分）(2017·山东) 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．（1）求数列{an}通项公式；（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列的前n项和Tn．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高二（下）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.0分）全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.3}.B={x|x2-6x+8=0}.则集合（∁U A）∩B=（）A.{4.6}B.{2.4}C.{2}D.{4}2.（单选题.0分）关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根.则a的取值范围为（）A.a＜0B.a＞0C.a＜-1D.a＞13.（单选题.0分）已知角α的顶点在原点.始边与x轴非负半轴重合.点P（-4m.3m）（m＞0）是角α终边上的一点.则sinα+2cosα=（）A.-1B. −25C.1D. 254.（单选题.0分）已知数列{a n}满足a3=-4.a7=-16.则a5=-8是{a n}为等比数列的（）条件A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要5.（单选题.0分）将函数f(x)=sin(x+π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12.再向左平移π12个单位长度.得到函数y=g（x）的图象.则y=g（x）的解析式是（）A. y=sin(x2+π4)B. y=sin(x2+π3)C. y=sin(2x+π3)D. y=sin(2x+π4)6.（单选题.0分）x为实数.[x]表示不超过x的最大整数.则函数f（x）=x-[x]在R上为（）A.周期函数B.奇函数C.偶函数D.增函数7.（单选题.0分）在△ABC中.角A.B.C满足sin2A+sin2B=sin2C.则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形8.（单选题.0分）已知函数f(x)={|log5(2x−1)|，x∈(12，3)x2−10x+22，x∈[3，+∞).若方程f（x）=m有4个不同的实根x1.x2.x3.x4.且x1＜x2＜x3＜x4.则(1x1+1x2)(x3+x4) =（）A.12B.16C.18D.209.（单选题.0分）已知向量a⃗ . b⃗⃗满足|a⃗|=2 . a⃗•b⃗⃗+2=2|a⃗−b⃗⃗| .当a⃗ . b⃗⃗的夹角最大时.则a⃗•b⃗⃗ =（）A.0B.2C.2 √2D.410.（单选题.0分）已知正整数数列{a n}是一个递增数列.满足a an=2n+1.n∈N*.则a2020=（）A.3017B.3044C.4068D.409511.（填空题.3分）已知log a2=m.log a3=n.则a2m+n=___ .用m.n表示log86为___ ．12.（填空题.3分）设函数f （x ）=e x +ae -x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数.则a=___ ；若f （x ）是R 上的增函数.则a 的取值范围是___ ．13.（填空题.3分）如图.在△ABC 中.AB=3.AC=2.∠BAC=60°.D.E 分别是边AB.AC 上的点.AE=1.且 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12 .则 |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =___ .若P 是线段DE 的中点.且 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xPB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则x+y=___ ．14.（填空题.3分）已知数列{a n }满足 a n+1={a n2，a n 为偶数1+a n2，a n 为奇数 .对于给定的正整数a 1.若数列{a n }中首次出现1的项为a k .我们定义φ（a 1）=k.则φ（20）=___ ；设集合S={a 1|φ（a 1）=6}.则集合S 中所有元素的和为___ ．15.（填空题.3分）在△ABC 中. ∠B =π3 .AB=2BC.D 为AC 边上的中点.则 BCBD =___ ．16.（填空题.3分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=3.且 12S n+1=n +a n +a n+1 .若S n +2020＜0.则n 的最小值为___ ．17.（填空题.3分）已知 |a ⃗|=|c ⃗|=1 . |b ⃗⃗|=2 .则 a ⃗•b ⃗⃗+2b ⃗⃗•c ⃗+2c ⃗•a ⃗ 的取值范围为___ ． 18.（问答题.0分）已知函数 f (x )=sin 2x +cosxsin (x −π6) ． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若 f (x 0+π6)=1 .求x 0的值．19.（问答题.0分）已知{a n }是等差数列.其前n 项和为S n .{b n }是正项递增的等比数列.且a 1=b 1=2.a 3=b 3.S 5-b 5=8．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）记T n =a n b 1+a n-1b 2+…+a 1b n .n∈N *.求T n ．20.（问答题.0分）已知函数f（x）=|x-a|-|x-5|．（1）当a=2时.解不等式f（x）＜2；（2）若关于x的不等式f（x）≤x2-8x+20在R上恒成立.求实数a的取值范围．21.（问答题.0分）已知函数f（x）= √3（asinx+bsin2x）+acosx-bcos2x.a.b∈R．（1）若a=b=1.求f（x）的值域；（2）若存在b.使得f（x）+4≥0恒成立.求a的最大值．22.（问答题.0分）已知数列{a n}满足：a1+ 12a2+13a3+⋯+1na n=n2+n2(n∈N∗) .数列{b n}的前n项的和为S n.S n=2b n-2.n∈N*．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和；（3）记c k=b k•（b k+b k+1+…+b n）（1≤k≤n）.数列{c k}（1≤k≤n）的前n项的和为T n.求证：2 T1 + 22T2+…+ 2nT n＜34．2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.0分）全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.3}.B={x|x2-6x+8=0}.则集合（∁U A）∩B=（）A.{4.6}B.{2.4}C.{2}D.{4}【正确答案】：D【解析】：先求出集合B和∁U A.由此能求出集合（∁U A）∩B．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.3}.B={x|x2-6x+8=0}={2.4}.∴∁U A={1.4.5.6}.则集合（∁U A）∩B={4}．故选：D．【点评】：本题考查补集、交集的求法.考查补集、交集的定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.0分）关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根.则a的取值范围为（）A.a＜0B.a＞0C.a＜-1D.a＞1【正确答案】：A【解析】：求利用已知条件.判断方程对应的函数经过的特殊点.判断求解即可．【解答】：解：一元二次方程ax2+2x+1=0.（a≠0）有一个正根和一个负根.对应的函数f（x）=ax2+2x+1的零点有2个.一个正和一个负；函数经过点（0.1）.所以二次函数开口向下．所以a＜0．故选：A．【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系.二次函数的性质的应用.考查转化思想以及计算能力．3.（单选题.0分）已知角α的顶点在原点.始边与x轴非负半轴重合.点P（-4m.3m）（m＞0）是角α终边上的一点.则sinα+2cosα=（）A.-1B. −25C.1D. 25【正确答案】：A【解析】：先求出∴r=5m.再由任意角三角函数定义能求出sinα+2cosα的值．【解答】：解：∵角α的顶点在原点.始边与x轴非负半轴重合.点P（-4m.3m）（m＞0）是角α终边上的一点.∴r= √(−4m)2+(3m)2 =5m.∴sinα+2cosα= 3m5m +2×−4m5m=-1．故选：A．【点评】：本题考查三角函数值的求法.考查任意角三角函数定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．4.（单选题.0分）已知数列{a n}满足a3=-4.a7=-16.则a5=-8是{a n}为等比数列的（）条件A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【正确答案】：C【解析】：如果{a n}为等比数列.满足a3=-4.a7=-16.求出a5；反之.数列{a n}满足a3=-4.a7=-16.a5=-8.则数列{a n}未必是等比数列.可举反例说明.根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】：解：如果{a n}为等比数列.满足a3=-4.a7=-16.则a52=a3•a7=64；∵a3=a1q2＜0.故a1＜0.故a5=a1q4＜0.∴a5=-8；反之.数列{a n}满足a3=-4.a7=-16.a5=-8.则数列{a n}未必是等比数列.例如数列：1.2.-4.3.-8.4.-16.5不是等比数列；∴数列{a n}满足a3=-4.a7=-16.则“{a n}为等比数列”⇒“a5=-8”；数列{a n}满足a3=-4.a7=-16.则“a5=-8”推不出“{a n}为等比数列”；∴数列{a n}满足a3=-4.a7=-16.则a5=-8是{a n}为等比数列的必要不充分条件．故选：C．【点评】：本题考查了等比数列的定义与性质.充分必要条件的判断.属于基础题．5.（单选题.0分）将函数f(x)=sin(x+π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12.再向左平移π12个单位长度.得到函数y=g（x）的图象.则y=g（x）的解析式是（）A. y=sin(x2+π4)B. y=sin(x2+π3)C. y=sin(2x+π3)D. y=sin(2x+π4)【正确答案】：C【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：将函数f(x)=sin(x+π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12.可得y=sin（2x+ π6）的图象；再向左平移π12个单位长度.得到函数y=g（x）=sin（2x+ π6+ π6）=sin（2x+ π3）的图象.故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．6.（单选题.0分）x为实数.[x]表示不超过x的最大整数.则函数f（x）=x-[x]在R上为（）A.周期函数B.奇函数D.增函数【正确答案】：A【解析】：依题意.可求得f（x+1）=f（x）.由函数的周期性可得答案【解答】：解：∵f（x）=x-[x].∴f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f（x）.∴f（x）=x-[x]在R上为周期是1的函数．故选：A．【点评】：本题考查函数的周期性.理解题意.得到f（x+1）=f（x）是关键.属于基础题7.（单选题.0分）在△ABC中.角A.B.C满足sin2A+sin2B=sin2C.则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【正确答案】：B【解析】：由已知利用三角函数恒等变换的应用.结合sinC≠0.可得cosC=cos（A-B）.从而可求得cosAcosB=0.结合范围A.B∈（0°.180°）.可得A=90°.或B=90°.从而判断△ABC是直角三角形．【解答】：解：∵sin2A+sin2B=sin2C.∴2sinCcosC=sin[（A+B）+（A-B）]+sin[（B+A）+（B-A）]∴2sinCcosC=sin（A+B）cos（A-B）+cos（A+B）sin（A-B）+sin（B+A）cos（B-A）+cos（B+A）sin（B-A）∴2sinCcosC=2sin（A+B）cos（A-B）∴sinCcosC=sinCcos（A-B）∵sinC≠0.∴cosC=cos（A-B）.∴可得-cos（A+B）=cos（A-B）.可得：sinAsinB-cosAcosB=cosAcosB+sinAsinB.可得cosAcosB=0.∴A.B∈（0°.180°）.∴A=90°.或B=90°.∴△ABC是直角三角形．【点评】：本题主要考查了三角形形状的判断.考查了三角函数恒等变换的应用.考查了转化思想.属于中档题．8.（单选题.0分）已知函数f(x)={|log5(2x−1)|，x∈(12，3)x2−10x+22，x∈[3，+∞).若方程f（x）=m有4个不同的实根x1.x2.x3.x4.且x1＜x2＜x3＜x4.则(1x1+1x2)(x3+x4) =（）A.12B.16C.18D.20【正确答案】：D【解析】：做出函数f（x）的图象.可得x3+x4=10.再由|log5（x1-1）|=|log5（2x2-1）|计算出x1.x2的关系.即可得出答案．【解答】：解：作出函数f（x）的图象：由条件和函数图象可知x3+x4=10；又有|log5（2x1-1）|=|log5（2x2-1）|；则.即|log5（2x1-1）=-log5（2x2-1）；即2x1−1=12x2−1；则有 2x1x2=x1+x2；故1x1+1x2=2；则(1x1+1x2)(x3+x4) =20；故选：D．【点评】：本题是一道方程的根的个数的相关问题.数形结合找根之间的关系是关键.然后整体代换．9.（单选题.0分）已知向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足 |a ⃗|=2 . a ⃗•b ⃗⃗+2=2|a ⃗−b ⃗⃗| .当 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角最大时.则 a ⃗•b ⃗⃗ =（ ） A.0 B.2 C.2 √2 D.4【正确答案】：B【解析】：建立平面坐标系.设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ =（2.0）. OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ =（x.y ）.根据条件得出B 的轨迹.结合图象得出夹角最大时B 点坐标.再计算数量积．【解答】：解：不妨设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ =（2.0）. OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ =（x.y ）.则 a ⃗•b ⃗⃗ =2x. a ⃗−b ⃗⃗ =（2-x.-y ）. ∵ a ⃗•b ⃗⃗+2=2|a ⃗−b ⃗⃗| .∴2x+2=2| a ⃗−b ⃗⃗ |.即x+1=| a ⃗−b ⃗⃗ | ∴（x+1）2=（2-x ）2+y 2.即y 2=6x-3. ∴B 的轨迹为抛物线y 2=6（x- 12）.显然当直线OB 与抛物线相切时.∠AOB 取得最大值.即 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角最大. 设直线OB 的方程为y=kx.代入y 2=6x-3可得： k 2x 2-6x+3=0.△=36-12k 2=0.故k 2=3. 方程为x 2-2x+1=0.解得x=1.不妨设B 在第一象限.则B （1. √3 ）.此时 a ⃗•b ⃗⃗ =2． 故选：B ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.直线与抛物线的位置关系.属于中档题．10.（单选题.0分）已知正整数数列{a n }是一个递增数列.满足 a a n =2n+1.n∈N *.则a 2020=（ ）A.3017B.3044C.4068D.4095【正确答案】：A【解析】：分析可知a1=2.a2=3.进而得到a2047=3071.故a2020＜a2047-（2047-2020）=3044.结合选项得解．【解答】：解：当n=1时. a a1=3 .又a1≥1.故存在某一项为3.当a1=1时.此时a1=3.矛盾；当a1=2时.此时a2=3.符合题意；当a1=3时.此时a3=3.与{a n}是一个递增数列矛盾；∴判断可得a1=2.a2=3.∴a3=5.a5=7.a7=11.a11=15.a15=23.…….a1535=2047.a2047=3071.依题意.a2020＜a2047-（2047-2020）=3071-27=3044.结合选项可知.选项A符合题意．故选：A．【点评】：本题考查数列的递推关系.考查运算求解能力及逻辑推理能力.属于中档题．11.（填空题.3分）已知log a2=m.log a3=n.则a2m+n=___ .用m.n表示log86为___ ．【正确答案】：[1]12; [2] m+n3m．【解析】：由已知结合指数与对数的相互转化及指数的运算性质.对数的换底公式及性质即可直接求解．【解答】：解：∵log a2=m.log a3=n.∴a m=2.a n=3.则a2m+n=a2m•a n=4×3=12.log86= log a6log a8 = log a2+log a33log a2= m+n3m．故答案为：12. m+n3m．【点评】：本题主要考查了指数与对数的相互转化及对数的运算性质和换底公式的应用.属于基础试题．12.（填空题.3分）设函数f（x）=e x+ae-x（a为常数）．若f（x）为奇函数.则a=___ ；若f （x）是R上的增函数.则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]-1; [2]（-∞.0]【解析】：对于第一空：由奇函数的定义可得f （-x ）=-f （x ）.即e -x +ae x =-（e x +ae -x ）.变形可得分析可得a 的值.即可得答案；对于第二空：求出函数的导数.由函数的导数与单调性的关系分析可得f （x ）的导数f′（x ）=e x -ae -x ≥0在R 上恒成立.变形可得：a≤e 2x 恒成立.据此分析可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f （x ）=e x +ae -x .若f （x ）为奇函数.则f （-x ）=-f （x ）.即e -x +ae x =-（e x +ae -x ）.变形可得a=-1. 函数f （x ）=e x +ae -x .导数f′（x ）=e x -ae -x若f （x ）是R 上的增函数.则f （x ）的导数f′（x ）=e x -ae -x ≥0在R 上恒成立. 变形可得：a≤e 2x 恒成立.分析可得a≤0.即a 的取值范围为（-∞.0]； 故答案为：-1.（-∞.0]．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的判定.关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义.属于基础题．13.（填空题.3分）如图.在△ABC 中.AB=3.AC=2.∠BAC=60°.D.E 分别是边AB.AC 上的点.AE=1.且 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12 .则 |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =___ .若P 是线段DE 的中点.且 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xPB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则x+y=___ ．【正确答案】：[1]1; [2]- 57【解析】：由向量的数量积计算可得| AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.平面向量的线性运算可得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 27 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 37PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由平面向量的基本定理可得x.y 值.进而可得结论．【解答】：解：由AE=1.∠BAC=60°.所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×| AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos60°= 12 | AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= 12 .所以| AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1；由P 是DE 的中点.所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12（ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）；所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 12 （ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=- 12 （ 13 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=- 16 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 14 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 16 （ PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）- 14 （ PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ） 化简可得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 27PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 37PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xPB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以x=- 27.y=- 37 . 所以x+y=- 57 ．【点评】：本题考查了向量数量积的运算及平面向量基本定理的简单应用.考查了计算能力.属于中档题14.（填空题.3分）已知数列{a n }满足 a n+1={a n2，a n 为偶数1+a n2，a n 为奇数 .对于给定的正整数a 1.若数列{a n }中首次出现1的项为a k .我们定义φ（a 1）=k.则φ（20）=___ ；设集合S={a 1|φ（a 1）=6}.则集合S 中所有元素的和为___ ． 【正确答案】：[1]6; [2]392【解析】：本题第一个空先根据题干中的新定义可知a 1=20.然后根据递推公式逐项代入.就可计算出等于1的项数k.即可得到φ（20）的值；第二个空由φ（a 1）=6.可知a 6=1.然后根据递推公式逆推.逐项计算即可得到a 1的所有可能取值.再依据等差数列求和公式即可得到结果．【解答】：解：由题意.可知a 1=20. 则a 2= a12 = 202 =10. a 3= a22 = 102 =5. a 4= 1+a 32 = 1+52 =3. a 5=1+a 42 = 1+32 =2. a 6= a52 = 22 =1.根据题干中的新定义.可知φ（20）=6． 由φ（a 1）=6.可知a 6=1. 根据题意.可知 a n =2a n+1.或a n =2a n+1-1. ∴a 5=2a 6=2×1=2.∴a 4=2a 5=2×2=4.或a 4=2a 5-1=2×2-1=3.∴a 3=2a 4=2×4=8.或a 3=2a 4-1=2×4-1=7. 或a 3=2a 4=2×3=6.或a 3=2a 4-1=2×3-1=5. 即a 3=8、7、6、5.依次可得a 2=16、15、14、13、12、11、10、9.a 1=32、31、30、29、28、27、26、25、24、23、22、21、20、19、18、17. ∴集合S 中所有元素的和为 17+18+ (32)16×(17+32)2=392． 故答案为：6；392．【点评】：本题主要考查新定义背景下递推公式的运用．考查了函数思想.定义法.等差数列的求和公式.以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题． 15.（填空题.3分）在△ABC 中. ∠B =π3.AB=2BC.D 为AC 边上的中点.则 BCBD=___ ． 【正确答案】：[1]2√77【解析】：设BC=a.则AB=2a.由 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) .可得BD= √72 a.即可求解．【解答】：解：设BC=a.则ab=2a.因为D 为AC 边上的中点.所以 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) . ∴ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = 14 （ BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 14 （4a 2+a 2+2 •2a •a •12 ）= 7a 24 ． ∴BD= √72 a. ∴则BC BD= √7a 2=2√77． 故答案为： 2√77【点评】：本题考查了解三角形、考查了三角形中线向量表达式、向量的运算.属于中档题． 16.（填空题.3分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=3.且 12S n+1=n +a n +a n+1 .若S n +2020＜0.则n 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]18【解析】：根据递推关系可得 a n+2=2a n −2，n ∈N • .分奇偶项可得 a 2k−1=2k−1+2 . a 2k =2−7•2k−1，a 2k ＜0 .再利用分组求和可得其前2k 项和.进而得解．【解答】：解：∵ 12S n+1=n +a n +a n+1 ① .a 1=3. ∴a 2=-5.且 12S n =n −1+a n−1+a n .n≥2 ② .由 ① - ② 可得. 12a n+1=1+a n+1−a n−1 .即a n+1=2a n-1-2.n≥2.即 a n+2=2a n −2，n ∈N • . （i ）当n=2k-1.k∈N •时.a 2k+1=2a 2k-1-2.则a 2k+1-2=2（a 2k-1-2）. ∴ a 2k−1−2=(a 1−2)•2k−1=2k−1 . ∴ a 2k−1=2k−1+2 .（ii ）当n=2k.k∈N •时.a 2k+2=2a 2k -2.则a 2k-2-2=2（a 2k -2）. ∴ a 2k −2=(a 2−2)•2k−1=−7•2k−1 . ∴ a 2k =2−7•2k−1，a 2k ＜0 . ∴ a 2k−1+a 2k =4−6•2k−1 . ∴ S 2k =4k +−6(1−2k )1−2=4k −6•2k +6 .要使S n +2020＜0.则4k-6•2k +6+2020＜0. ∴3•2k -2k-1013＞0.∴正整数k 的最小值为9.此时n=18． 故答案为：18．【点评】：本题考查利用递推关系求数列通项.涉及了数列中奇偶项问题.等差数列及等比数列的前n 项和公式.分组求和法的运用等知识点.考查运算求解能力.属于较难题目．17.（填空题.3分）已知 |a ⃗|=|c ⃗|=1 . |b ⃗⃗|=2 .则 a ⃗•b ⃗⃗+2b ⃗⃗•c ⃗+2c ⃗•a ⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1] [−92，8]【解析】：根据三数平方和公式得 a ⃗•b ⃗⃗+2b ⃗⃗•c ⃗+2c ⃗•a ⃗ = |a⃗⃗+b ⃗⃗+2c ⃗|2−92.再根据平面向量的线性运算求出 |a ⃗+b ⃗⃗+2c ⃗|∈[0，5] .进而得到答案．【解答】：解：因为 a ⃗•b ⃗⃗+2b ⃗⃗•c ⃗+2c ⃗•a ⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗+2c ⃗)2−a ⃗⃗2−b ⃗⃗2−4c ⃗22.=(a⃗⃗+b ⃗⃗+2c ⃗)2−92=|a⃗⃗+b ⃗⃗+2c ⃗|2−92.|a ⃗+b ⃗⃗+2c ⃗|≥0 .当 a ⃗+b ⃗⃗=−2c ⃗ 时取等号； |a ⃗+b ⃗⃗+2c ⃗|≤5 .当 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗ 两两共线时取等号． 所以 |a ⃗+b ⃗⃗+2c ⃗|∈[0，5] .于是 a ⃗•b ⃗⃗+2b ⃗⃗•c ⃗+2c ⃗•a ⃗ ∈[−92，8] ．故答案为： [−92，8] ．【点评】：本题考查三数平分和公式.向量的线性运算.考查学生逻辑推理能力和运算能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知函数 f (x )=sin 2x +cosxsin (x −π6) ． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若 f (x 0+π6)=1 .求x 0的值．【正确答案】：【解析】：（1）先结合和差角公式.二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简.然后结合正弦函数的性质即可求解；（2）由已知结合特殊角的三角函数值即可求解．【解答】：解：（1） f (x )=sin 2x +cosxsin (x −π6) . = sin 2x +cosx (√32sinx −12cosx) . =sin 2x+√32sinxcosx −12cos 2x .= √34sin2x −34cos2x +14 . =√32(12sin2x −√32cos2x)+14. = √32 sin （2x- π3 ）+ 14 .令- π2+2kπ ≤2x - π3 ≤π2+2kπ 可得 −π12+kπ≤x ≤5π12+kπ .k∈Z .π2+2kπ ≤2x - π3≤3π2+2kπ 可得.5π12+kπ≤x ≤11π12+kπ .k∈Z .故函数的单调递增区间[- π12+kπ，5π12+kπ ].k∈Z .单调递减区间[ 5π12+kπ，11π12+kπ ].k∈Z .（2）若 f (x 0+π6)=1 .则 √32 sin2x 0+ 14 =1. ∴sin2x 0= √32 .2x 0= π3+2kπ 或2x 0= 2π3+2kπ .k∈Z . ∴x 0= π6+kπ 或x 0= π3+kπ .k∈Z【点评】：本题主要考查了二倍角公式.和差角公式及辅助角公式在三角化简中的应用.还考查了正弦函数的性质的应用.属于中档试题．19.（问答题.0分）已知{a n }是等差数列.其前n 项和为S n .{b n }是正项递增的等比数列.且a 1=b 1=2.a 3=b 3.S 5-b 5=8．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）记T n =a n b 1+a n-1b 2+…+a 1b n .n∈N *.求T n ．【正确答案】：【解析】：（1）设等差数列{a n }的公差为d.等比数列{b n }的公比为q.由题设条件列出d 与q 的方程组.解出d 与q.即可求得a n 与b n ；（2）先由（1）中求得的a n 与b n 求出a n+1-k b k .再利用错位相减法求T n 即可．【解答】：解：（1）设等差数列{a n }的公差为d.等比数列{b n }的公比为q.由题设知： {2+2d =2q 25×2+5×4d 2−2q 4=8.解之得： {d =0q 2=1 .或 {d =3q 2=4．∵数列{b n }是正项递增的等比数列.∴ {d =3q =2 .∴a n =2+3（n-1）=3n-1.b n =2•2n-1=2n ； （2）由（1）知：a n =3n-1.b n =2n .又a n+1-k b k =[3（n+1-k ）-1]•2k =（3n+2-3k ）•2k .k=1.2.….n. ∴T n =（3n-1）•21+（3n-4）•22+…+2×2n . 2T n =（3n-1）•22+…+5×2n +2×2n+1.两式相减得：-T n =2（3n-1）-3（22+23+…+2n ）-2n+2=6n-2-3× 22(1−2n−1)1−2-2n+2=6n+10-5×2n+1.∴T n =5×2n+1-6n-10．【点评】：本题主要考查等差、等比数列基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用.属于中档题．20.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|x-a|-|x-5|． （1）当a=2时.解不等式f （x ）＜2；（2）若关于x 的不等式f （x ）≤x 2-8x+20在R 上恒成立.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用零点分段法解不等式即可；（2）分 a≥5 和a ＜5两种情况分类讨论.再结合数形结合分析出恒成立的等价条件解不等式即可得答案．【解答】：解：（1）当a=2时.f （x ）=|x-2|-|x-5|= {3，x ≥52x −7，2＜x ＜5−3，x ≤2.由f （x ）＜2⇒ {3＜2x ≥5 或 {2x −7＜22＜x ＜5 或 {−3＜2x ≤2 .解得2＜x ＜ 92 或x≤2. 即 x ∈(−∞，92) ．（2） ① 当 a≥5 时.f （x ）=|x-a|-|x-5|= {5−a ，x ≥a −2x +a +5，5＜x ＜a a −5，x ≤5⇒f （x ）max =a-5.令 y=x 2-8x+20=（x-4）2+4≥4. 只要 a-5≤4⇒a≤9.此时 5≤a≤9；② 当a ＜5 时.f （x ）=|x-a|-|x-5|= {5−a ，x ≥52x −a −5，a ＜x ＜5a −5，x ≤a.只要 {2x −a −5≤x 2−8x +20a −5≤4 . ⇔{x 2−10x +25+a ≥0a ≤9.⇒{△=100−4(25+a )≤0a ≤9.⇒0≤a≤9.此时 0≤a ＜5.综上所述.a∈[0.9]．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法.考查不等式恒成立问题.考查分类讨论思想及运算求解能力.属于中档题．21.（问答题.0分）已知函数f（x）= √3（asinx+bsin2x）+acosx-bcos2x.a.b∈R．（1）若a=b=1.求f（x）的值域；（2）若存在b.使得f（x）+4≥0恒成立.求a的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数的三角变换.将f（x）化简.再利用二次函数的性质.求出f（x）的最值.求出值域；（2）令t=sin（x+ π6）.则t∈[-1.1].根据条件可得存在b.使得2bt2+at-b+2≥0恒成立.然后求出a的取值范围.再确定a的值即可．【解答】：解：（1）由题设.知f（x）=a（√3 sinx+cosx）+b（√3 sin2x-cos2x）=2asin（x+ π6）+2bsin（2x- π6）.又a=b=1.故f（x）=2sin（x+ π6）+2sin[2（x+ π6）- π2]=2sin（x+ π6）-2cos[2（x+ π6）]=2sin（x+ π6）-2[1-2sin2（x+ π6）].即f（x）=4sin2（x+ π6）+2sin（x+ π6）-2=4[sin（x+ π6）+ 14]2- 94.∵令t=sin（x+ π6）∈[-1.1].∴f（t）=4（t+ 14）2- 94.抛物线开口向上.对称轴t=- 14∈[-1.1].∵|1-（- 14）|＞|-1-（- 14）|.∴当t=- 14时.f（t）最小且为- 94.当t=1时.f（t）最大且为4（1+ 14）2- 94=4.∴f（x）∈[- 94.4]．故f（x）的值域为[- 94.4]；（2）由（1）知f（x）=2asin（x+ π6）+2bsin（2x- π6）=4bsin2（x+ π6）+2asin（x+ π6）-2b.令t=sin（x+ π6）.则t∈[-1.1].∵存在b.使得2bsin2（x+ π6）+asin（x+ π6）-b+2≥0恒成立.∴存在b.使得2bt2+at-b+2≥0恒成立.若b=0.则asin（x+ π6）+2≥0恒成立.∴ {2a+4≥0−2a+4≥0.解得-2⩽a⩽2.若b≠0.则 {b ＞04a 2−16b (−2b +4)≤0.∴ (b −1)2≤1−a 28 . ∴ 1−a 28≥0 .解得 −2√2≤a ≤2√2 .综上可知a 的最大值为 2√2 ．故答案为：（1）[- 94 .4]；（2） 2√2 ．【点评】：本题将三角函数与二次函数的最值结合起来.利用二次函数对称轴与定义域的关系判断函数的最值.进而求出参数的取值范围.属于难题22.（问答题.0分）已知数列{a n }满足：a 1+ 12a 2+13a 3+⋯+1n a n =n 2+n 2(n ∈N ∗) .数列{b n }的前n 项的和为S n .S n =2b n -2.n∈N*．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{a n •b n }的前n 项和；（3）记c k =b k •（b k +b k+1+…+b n ）（1≤k≤n ）.数列{c k }（1≤k≤n ）的前n 项的和为T n .求证： 2T 1 + 22T 2 +…+ 2n T n ＜ 34．【正确答案】：【解析】：（1）把n 换成n-1代入已知式子再作差即可求出a n .利用b n =S n -S n-1可得到b n =2b n-1.进而结合等比数列通项公式即可求出b n ；（2）因为 a n •b n =n 2•2n =[(n −1)2+2]×2n+1−[(n −2)2+2]×2n .再根据裂项相消法求解即可；（3）先求出c k .再利用分组求和法求出T n .进而求出 2n T n =34×2n (2n −1)(2n+1−1)=34[12n −1−12n+1−1] .再利用裂项相消法求出 2T 1 + 22T 2 +…+ 2n T n即可证明结论．【解答】：解：（1）由已知 a 1=1.当 n≥2 时. a 1+12a 2+13a 3+⋯+1n−1a n−1=(n−1)2+(n−1)2 . 所以 1n a n =n 2+n 2−(n−1)2+(n−1)2=n ⇒a n =n 2 .对 n=1 也满足.所以 a n =n 2 .又由 S n =2b n -2 得 b 1=2.当n≥2 时.b n=S n-S n-1=2b n-2b n-1⇒b n=2b n-1.所以 {b n} 是以首项与公比均为2的等比数列.故b n=2n．（2）记数列 {a n•b n} 的前 n 项和为 H n.即 H n=a1b1+a2b2+…+a n b n.因为a n•b n=n2•2n=[(n−1)2+2]×2n+1−[(n−2)2+2]×2n .所以H n=(2×22−3×21)+(3×23−2×22)+(6×24−3×23)+⋯+([(n−1)2+2]×2n+1−[(n−2)2+2]×2n)=[（n-1）2+2]×2n+1-6=（n2-2n+3）×2n+1-6.（3）因为c k=b k•(b k+b k+1+⋯+b n)=2k(2k+2k+1+⋯+2n)=2n+1•2k−22k(1≤k≤n) .所以T n=2n+1(21+22+⋯+2n)−(22+24+26+⋯+22n)=2n+1(2n+1−2)−22n+2−43.= 43(22n+1−3•2n+1)=43(2n−1)(2n+1−1) .故2nT n =34×2n(2n−1)(2n+1−1)=34[12n−1−12n+1−1] .从而2T1+22T2+⋯+2nT n= 34[(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1)]= 34(1−12n+1−1)＜34．【点评】：本题考查利用递推关系式求数列的通项公式.考查裂项相消法与分组求和法求数列前n项和.考查等比数列的通项公式.考查学生的逻辑推理能力与运算能力.属于难题．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择（注释）1、设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则131211a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．752、命题“对任意x R ∈,都有20ax bx c ++<” 的否定为A 、存在0x R ∈,使得2000ax bx c ++≥; B 、不存在x R ∈,使得20ax bx c ++≥; C 、存在0x R ∈,使得2000ax bx c ++<; D 、对任意x R ∈,都有 20ax bx c ++≥；3、如果命题“()p q ⌝∨”是假命题，则下列说法正确的是( ) A. p q 、均为真命题 B. p q 、中至少有一个为真命题 C. p q 、均为假命题D. p q 、中至少有一个为假命题4、已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >-（B ）1a b >+（C ）||||a b >（D ）22a b >5、设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6、下列命题正确的是（ ）<．对任意的实数x ,都有321x x x ≥-+恒成立.C. 224()2y x x R x =+∈+的最小值为2 D. 2(2),(2)y x x x =-≥的最大值为2 7、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+<-13123|12|xx x 的解集为 .8、若,10,1<<>>a y x 那么下列各式中正确的是（ ） A ．a ay x--> B. y x a a log log > C. y x a a < D. y x a a >9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于（ ）()A 52 ()B 54 ()C 56 ()D 5810、在等差数列{}n a 中，已知1684=+a a ，则102a a +为 （ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 2411、已知数列{}n a 满足点(,)()n n a n N *∈都在曲线2log y x =的图象上,则24816a a a a +++=( ) A.9 B10 C20 D3012、等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中的最大的是（ ） A ．10S B ．11S C ．20S D ．21S二、填空题（注释）13、已知数列{}n a 中1a =1，其前n 项的和为n S ，且点1(,)n n P a a +在直线l ：20xy --=上．则10S =________________．14、设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和，若1110S S =15、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，d a 91=，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k=16、若数列{}n a 中，13a =，14(2)n n a a n -+=≥，则2013a =________．三、解答题（注释）17、已知数列{}n a ，2n a ≠，15823n n n a a a +-=-，13a =（1）证明：数列1{}2n a -是等差数列．（2）设2n n b a =-，数列1{}n n b b +的前n 项和为n S ，求使21(21)2(23)2192n n n n S n +++⋅⋅>-⋅+成立的最小正整数n ．18、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门将某校12名学生分为两组进行问卷调查.第一组的得分情况为5,6,7,8,9,10;第二组的得分情况为4,6,7,9,9,10. (1)根据以上数据,判断两组中哪组更优秀?(2)把第一组的6名学生的得分看成一个总体.用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.19、为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损？20、某厂产值第二年比第一年增长%p ，第三年比第二年增长%q ，又这两年的平均增长率为S%，则S 与2p q +的大小关系是 A ． 2p qS +>B ．2p qS +=C 2p qS +≤D 2p qS +≥21、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。