浙江省宁波市镇海中学2017年跨区招生考试数学试题(无答案)

2017年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）在，，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（）A．B．C．0 D．﹣22．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．（2a）2=4a C．a2•a3=a5 D．（a2）3=a53．（4分）2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮﹣﹣“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为（）A．0.45×106吨 B．4.5×105吨C．45×104吨D．4.5×104吨4．（4分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥35．（4分）如图所示的几何体的俯视图为（）A． B．C．D．6．（4分）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°8．（4分）若一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（）A．2 B．3 C．5 D．79．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（）A．B．C．πD．2π10．（4分）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．（4分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3 B．C． D．412．（4分）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）13．（4分）实数﹣8的立方根是．14．（4分）分式方程=的解是．15．（4分）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有个黑色棋子．16．（4分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）17．（4分）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上，则m的值为．18．（4分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG 的值为．三、解答题（本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（6分）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．20．（8分）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．21．（8分）大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为80%，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）：（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由．22．（10分）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．23．（10分）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？24．（10分）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．25．（12分）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．26．（14分）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B与∠C 的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．2017年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）（2017•宁波）在，，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（）A．B．C．0 D．﹣2【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：，0，﹣2是有理数，是无理数，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（4分）（2017•宁波）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．（2a）2=4a C．a2•a3=a5 D．（a2）3=a5【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C符合题意；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3．（4分）（2017•宁波）2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮﹣﹣“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为（）A．0.45×106吨 B．4.5×105吨C．45×104吨D．4.5×104吨【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将45万用科学记数法表示为：4.5×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2017•宁波）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，解得x≥3．故选：D．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．（4分）（2017•宁波）如图所示的几何体的俯视图为（）A． B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看外边是正六边形，里面是圆，故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．6．（4分）（2017•宁波）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．B．C．D．【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【解答】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．故选：C．【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．7．（4分）（2017•宁波）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．（4分）（2017•宁波）若一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（）A．2 B．3 C．5 D．7【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．【解答】解：∵数据2，3，x，5，7的众数为7，∴x=7，则这组数据为2、3、5、7、7，∴中位数为5，故选：C．【点评】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．9．（4分）（2017•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（）A．B．C．πD．2π【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．【解答】解：连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45°，∵BC=2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴==故选（B）【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型．10．（4分）（2017•宁波）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．【解答】解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），∴顶点坐标为：（1，m2+1），∵1＞0，m2+1＞0，∴顶点在第一象限．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．11．（4分）（2017•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3 B．C． D．4【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△EMF≌△CMD，则EM=CM，利用勾股定理得：BD==6，EC==2，可得△EBG是等腰直角三角形，分别求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得△EMC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．【解答】解：连接FM、EM、CM，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，BC=CD，∵EF∥BC，∴∠GFD=∠BCD=90°，EF=BC，∴EF=BC=DC，∵∠BDC=∠ADC=45°，∴△GFD是等腰直角三角形，∵M是DG的中点，∴FM=DM=MG，FM⊥DG，∴∠GFM=∠CDM=45°，∴△EMF≌△CMD，∴EM=CM，过M作MH⊥CD于H，由勾股定理得：BD==6，EC==2，∵∠EBG=45°，∴△EBG是等腰直角三角形，∴EG=BE=4，∴BG=4，∴DM=∴MH=DH=1，∴CH=6﹣1=5，∴CM=EM==，∵CE2=EM2+CM2，∴∠EMC=90°，∵N是EC的中点，∴MN=EC=；故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明△EMC是直角三角形．12．（4分）（2017•宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a=b+x，y﹣a+x+a=y+x，故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，故n的最小值是3．故选：A．【点评】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键．二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）13．（4分）（2017•宁波）实数﹣8的立方根是﹣2．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案﹣2．【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．14．（4分）（2017•宁波）分式方程=的解是x=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：4x+2=9﹣3x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故答案为：x=1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．15．（4分）（2017•宁波）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有19个黑色棋子．【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案．【解答】解：第一个图需棋子1，第二个图需棋子1+3，第三个图需棋子1+3×2，第四个图需棋子1+3×3，…第n个图需棋子1+3（n﹣1）=3n﹣2枚．所以第⑦个图形有19颗黑色棋子．故答案为：19；【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．16．（4分）（2017•宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【分析】如图在Rt△ABC中，AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．【解答】解：如图在Rt△ABC中，AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m，∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．17．（4分）（2017•宁波）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上，则m的值为4或．【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数y=的图象上，二是AC边的中点在反比例函数y=的图象上，进而算出m的值．【解答】解：∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），∴AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），∵将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，1），AC边的中点平移后的坐标为（﹣2+m，﹣2）．∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上，∴﹣1+m=3或﹣2×（﹣2+m）=3．∴m=4或m=（舍去）．故答案为4或．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．18．（4分）（2017•宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为．【分析】作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=，接着证明BE⊥AB，设AF=x，利用折叠的性质得到EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，所以在Rt△BEF中利用勾股定理得（2﹣x）2+（）2=x2，解得x=，接下来计算出AE，从而得到OA的长，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解．【解答】解：作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，∵E点为CD的中点，∴CE=DE=1，BE⊥CD，在Rt△BCE中，BE=CE=，∵AB∥CD，∴BE⊥AB，设AF=x，∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，∴EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，在Rt△BEF中，（2﹣x）2+（）2=x2，解得x=，在Rt△DEH中，DH=DE=，HE=DH=，在Rt△AEH中，AE==，∴AO=，在Rt△AOF中，OF==，∴cos∠AFO==．故答案为．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．三、解答题（本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（6分）（2017•宁波）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．【分析】原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1，当x=时，原式=6﹣1=5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）（2017•宁波）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．【分析】（1）根据成轴对称图形的概念，分别以边AC、BC所在的直线为对称轴作出图形即可；（2）根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转90°后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．（8分）（2017•宁波）大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为80%，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）：（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由．【分析】（1）求出“宁港”品种鱼苗的百分比，乘以300即可得到结果；（2）求出“甬岱”品种鱼苗的成活数，补全条形统计图即可；（3）求出三种鱼苗成活率，比较即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：300×（1﹣30%﹣25%﹣25%）=60（尾），则实验中“宁港”品种鱼尾有60尾；（2）根据题意得：300×30%×80%=72（尾），则实验中“甬岱”品种鱼苗有72尾成活，补全条形统计图：（3）“宁港”品种鱼苗的成活率为×100%=85%；“御龙”品种鱼苗的成活率为×100%=74.6%；“象山港”品种鱼苗的成活率为×100%=80%，则“宁港”品种鱼苗的成活率最高，应选“宁港”品种进行推广．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．22．（10分）（2017•宁波）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．【分析】（1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AO，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACD面积，即可求出k的值；（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，∵AC=AO，∴CD=DO，=S△ACD=6，∴S△ADO∴k=﹣12；（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键．23．（10分）（2017•宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有，解得．答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；（2）设销售甲种商品a万件，依题意有900a+600（8﹣a）≥5400，解得a≥2．答：至少销售甲种商品2万件．【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．24．（10分）（2017•宁波）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．【分析】（1）由矩形的性质得出AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，证出AH=CF，在Rt △AEH和Rt△CFG中，由勾股定理求出EH=FG，同理：EF=HG，即可得出四边形EFGH为平行四边形；（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，得出BE=BF，求出DH=BE=x+1，得出AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，∵BF=DH，∴AH=CF，在Rt△AEH中，EH=，在Rt△CFG中，FG=，∵AE=CG，∴EH=FG，同理：EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，∴BE=BF，∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，∴AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，tan∠AEH=2，∴AH=2AE，∴2+x=2x，解得：x=2，∴AE=2．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．25．（12分）（2017•宁波）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．【解答】解：（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c，解得c=﹣3，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，令y=0可得x2+x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把A、C坐标代入可得，解得，∴直线AC的函数表达式为y=x+3；（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==，在RtAOD中，tan∠OAD==，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，∵点M的横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD=，∴cos∠EAM=cos∠OAD=，∴=，∴AM=AE=，∵△APM∽△AON，∴=，即=，∴AN=．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）②中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．26．（14分）（2017•宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B与∠C 的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．【分析】（1）根据题意得出∠B=∠D，∠C=∠A，代入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可；（2）求出△BED≌△BEO，根据全等得出∠BDE=∠BOE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，求出∠EFC=180°﹣2α，∠AOC=180°﹣2α，即可得出等答案；（3）过点O作OM⊥BC于M，求出∠ABC+∠ACB=120°，求出∠OBC=∠OCB=30°，根据直角三角形的性质得出BC=2BM=BO=BD，求出△DBG∽△CBA，根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=∠BOE，∴∠BCF=∠BDE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°﹣∠OAC﹣∠OCA=180°﹣2α，∴∠ABC=∠AOC=∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=BO=BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB=∠BAC=60°，∵∠DBG=∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴=（）2=，∵DH=BG，BG=2HG，∴DG=3HG，∴=，∴=．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，难度偏大．。

2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．203．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．446．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上【分析】根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．【解答】解：A、y＝﹣x即表示x与y互为相反数，故本选项正确；B、例如（﹣1，1），就符合抛物线的解析式y＝x2，故本选项正确；C、当该点坐标为（0，0）时，该点就在直线y＝x上，故本选项正确；D、因为xy＝1，所以x和y同号，该点不在双曲线xy＝1上，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．20【分析】设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．【解答】解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．根据题意得＝k%．解得k＝20．故选：D．【点评】此题考查列分式方程解应用题，难度在设参数，解字母系数的方程．3．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3＝﹣0.000 000 001，＝﹣0.1，＝﹣1000，∴最小，a3最大，故选：A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF＝AE，∠F AB＝∠EAD，∠F AB+∠BAE＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF＝：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC＝HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2＝FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．44【分析】可设S△ADF＝m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF＝m，∵S△BDF：S△BCF＝10：20＝1：2＝DF：CF，则有2m＝S△AEF+S△EFC，S△AEF＝2m﹣16，而S△BFC：S△EFC＝20：16＝5：4＝BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4，而S△ABF＝m+S△BDF＝m+10，∴S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4＝（m+10）：（2m﹣16），解得m＝20．S△AEF＝2×20﹣16＝24，S ADEF＝S△AEF+S△ADF＝24+20＝44．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152＝105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3＝每天3个班再用105除以3＝35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152＝105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）＝35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝0.5．【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sin A﹣cos A＝0，再根据tan A的定义即可求出其值．【解答】解：由题意得：（2sin A﹣cos A）2＝0，解得：2sin A﹣cos A＝0，2sin A＝cos A，∴tan A＝＝＝0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC＝3x，AC＝12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2＝OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2＝AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2＝AB2＝（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2＝（15x）2，解得：x＝2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y＝﹣x2﹣x+．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y＝ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+．故答案为：y＝﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20cm．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC＝20cm，BD＝5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB 是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC＝20cm，BD＝5cm，∴AB＝25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD＝∠BDC＝90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE＝CD，EC＝BD＝5cm，∴AE＝AC﹣EC＝15cm，在Rt△AEB中，BE＝＝＝20（cm），∴CD＝20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A 与物质B的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×＝，物质B行的路程为16×＝，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×＝，物质B行的路程为16×2×＝，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×＝16，物质B行的路程为16×3×＝32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×＝，物质B行的路程为16×4×＝，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×＝，物质B行的路程为16×5×＝，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为11＝3×3+2，即第11次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第11次相遇在边DE上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a（k为正整数，用a表示，不必证明）【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC＝2a﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC＝2r，推出方程2a﹣2r＝2r，求出即可；（2）求出r＝（﹣1）a，r3＝（﹣1）r＝a，r4＝，得出圆∁k 的半径为r k＝（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC＝2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，由勾股定理得：AC＝2r，∴2a﹣2r＝2r，解得：r＝（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r＝（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3＝（﹣1）r＝a，C4的半径是r4＝，…圆∁k的半径为r k＝（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k＝（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC＝AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC＝AD，从而得到AD＝AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB＝BE＝4，从而求得BC＝BE＝4，然后连接BD，得到∠DBE＝90°，进而得到BE＝BC＝CE＝4，然后求面积即可．【解答】解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC＝AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC＝AD，∴AD＝AE．（2）连接BC，由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又AE＝2OC，∴AB＝BE＝4，∵AD＝AE，∴BC＝BE＝4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE＝90°，∴DB⊥AE，∵AB＝BE，∴DA＝DE＝AE，∴△AED是等边三角形，∴BC＝OA＝BE＝CE＝4，∴△BCE是等边三角形，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b＝﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△＝4p2﹣8p+8＝4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2＝|x2﹣x1|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4p2﹣8p+8＝4（p﹣1）2+4，∴|AB|＝2．又设顶点M（a，b），由y＝（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b＝﹣（p﹣1）2﹣1．当p＝1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM＝|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z＝12，3x+y＝19，即可得出y，z与x的关系，再利用x≥0，y≥0，z≥0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣600×4+19300＝16900（元）答：W的最大值为16900元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z＝12，3x+y＝19，进而得出y，z与x的关系是解题关键．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y＝x﹣1与C 点不过y＝x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y＝ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF＝n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y＝x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y＝x﹣1；则2＝（m+3）﹣1，m＝﹣1与m＞0不合；∴C点不过y＝x﹣1；若点D过y＝x﹣1，则2＝m﹣1，m＝2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y＝ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y＝ax2﹣7ax+10a（也可得：y＝a（x﹣2）（x﹣5）＝a（x2﹣7x+10）＝ax2﹣7ax+10a）∴y＝a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于N，交AD于F，设AF＝n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF＝NF，CN＝BC＝2，∴CF＝n+2，DF＝2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2＝CF2；∴32+（2﹣n）2＝（n+2）2，∴n＝，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a＝，∴a＝﹣；∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y＝x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y＝x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。

浙江省镇海中学2017学年第二学期期初考试高一数学一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知数列，3，，，，那么9是数列的A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】C【解析】解：由．解之得由此可知9是此数列的第14项．故选：C．令通项公式，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项．本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．2.的值A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在【答案】A【解析】解：弧度大约等于57度，2弧度等于114度，弧度小于弧度，在第二象限弧度小于弧度，大于弧度，在第三象限故选：A．根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．本题主要考查三角函数值的符号问题常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．3.在中，A：B：：1：1，则a：b：A. 4：1：1B. 2：1：1C. 3：1：1D. ：1：1【答案】D【解析】解：：B：：1：1，，解得：，，由正弦定理可得：a：b：：：：：：1：1．故选：D．由已知利用三角形内角和定理可求A，B，C的值，利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.定义一种集合运算，且，设，，则表示的集合是A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：，，，，，且，，或，故选：B．由，，知，，由此利用，且，能求出．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用．5.给出四个函数，则同时具有以下两个性质：最小正周期是；图象关于点对称的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数最小正周期是，所以，由选项可知，，所以，排除C．图象关于点对称，所以时，函数值为0显然A，B不满足题意，的对称中心是故选：D．利用周期求出，再利用图象关于点对称，判断选项．本题考查三角函数的周期性及其求法，正切函数的奇偶性与对称性，考查推理能力，计算能力，是基础题．6.若，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，则：，，解得：，．故选：A．由已知可得，利用同角三角函数基本关系式可求，根据二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.设函数，已知，则a的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：时，，或，故；时，．，故；时，无解．综上，a的取值范围是，故选：C．分三种情况讨论：a小于等于时，得到大于1；a大于小于1时，得到大于1；当a大于等于1时，得到大于1，分别求出三个不等式的解集，求出三个解集的并集即为a的取值范围．本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即，故选：C．根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到，整理后答案可得．本题主要考查了三角函数的图象的变换要特别注意图象平移的法则．9.已知数列满足，，则A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】解：数列满足，，，，，，是以3为周期的周期数列，．故选：C．由数列满足，，推导出是以3为周期的周期数列，由此能求出的值．本题考查等差数列的第100项的求法，考查数列的周期、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.在中，a，b，c是角A，B，C的三边，给出下列结论：若，则若，则为等边三角形若，，，则必有两解，则的最小角小于其中，正确结论的编号为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：对于，若，即，即，即，故正确；对于，若，由正弦定理，可得，即，即为等腰直角三角形，故错误；对于，若，，，可得，又，即，则必有两解，故正确；对于，，即有，即有，即，，即有A最小，，则的最小角小于，故正确．故选：C．由三角形的边角关系和正弦定理可判断；由正弦定理和同角商数关系，可判断；由正弦定理和三角形的边角关系可判断；由向量的加减运算和余弦定理、结合余弦函数的性质可判断．本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理和余弦定理的运用、三角形的形状和个数的判断，以及向量的加减运算，考查判断能力、运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，共32.0分）11.在等差数列中，，，则通项公式______；______．【答案】【解析】解：在等差数列中，，，，解得，，通项公式，．故答案为：，．利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出通项公式和前n项和的值．本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______．【答案】48【解析】解：圆心角，扇形面积．故答案为：，48．由弧长公式可直接得到答案．由扇形面积公式直接得到答案．本题主要考查弧长公式和扇形面积公式，属基础题．13.已知数列则______，______．【答案】【解析】解：数列则可得到，，，，，则，解得，，故答案为：，．根据数列的概念和找到其中的规律即可求出．本题考查了归纳推理和数列的概念，属于基础题．14.已知向量，若与垂直，则m的值为，若与平行，则m的值为______．【答案】【解析】解：，；若与垂直，则：；解得；若与平行，则；解得．故答案为：．可求出，，与垂直时，可得出进行数量积的坐标运算即可求出m的值；与平行时，可得出，解出m即可．考查向量垂直的充要条件，向量平行时的坐标关系，向量加法、减法、数乘和数量积的运算．15.已知，，则______．【答案】【解析】解：，，，平方可得解得，或，，，，，，；故答案为：由已知条件易得，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得，由两角和的正弦公式可得．本题考查两角和与差的三角函数运算，涉及一元二次方程的解法和同角三角函数的基本关系，属中档题．16.设平面向量与的夹角为，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设平面向量与的夹角为，，且，，，相减可得，，，，．则的取值范围是由题意利用两个向量的数量积的定义，基本不等式可得可得，，进而得到，由此得到的取值范围是．本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式，属于中档题．17.对于实数a和b，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是______．【答案】，【解析】解：，函数或．由图可知，当，，函数与的图象有两个公共点，的取值范围是，，故答案为，．根据定义的运算法则化简函数，的解析式，并画出的图象，函数的图象与x轴恰有两个公共点转化为，图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知是方程的根，是第三象限角，且的值．【答案】解：已知是方程的根，是第三象限角，可得，，．原式．【解析】解一元二次方程的解法，求得，可得的值，再利用诱导公式得到要求式子的值．本题主要考查一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题．19.在公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．求d，；若，求【答案】解：公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．则：，解得：或，当时，．当时，．当时，．当时，，所以：，故：．当时，，所以：，，，．故．【解析】直接利用已知条件求出数列的通项公式．利用分类讨论思想，对数列的绝对值进行求和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，绝对值在数列的求和的应用．20.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．求的值若的面积为9，求a的值【答案】解：．，，，又，得，得，得．，，由正弦定理得，则，的面积为9，，即，即．【解析】由正弦定理进行化简，结合同角的三角函数关系式进行求解利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理以及三角形的面积公式建立方程关系进行求解即可．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．21.已知函数为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围设集合，，若，求实数m的取值范围．【答案】解：在上是增函数．，即，由得：，即，当时，恒成立．又时，；【解析】化简函数，然后利用是函数增区间的子集，解答即可．先求中的m的范围表达式，，m大于的最大值，小于的最小值，即可．本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，是中档题．22.已知函数，，其中．设函数若在上有零点，求k的取值范围；设函数是否存在k，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：，，在上有零点，在上有零点．，解得，或．若在上有唯一零点，则，或，或，或．解得，解得，解得，解可得，或．当时，的零点是，不符合题意所以舍去．若在上有2个零点，则有，解得．综上所述，实数k的取值范围为．函数，即．显然，不满足条件，故．当时，．当时，．记，．当时，在上是增函数，要使，则，且，故；当时，在上是减函数，要使，则，且，故；综上可得，满足条件．故存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得【解析】由题意知在上有零点再由在上有唯一零点和在上有2个零点，进行分类讨论，由此能够求出实数k的取值范围．根据，知再由当时，在上是增函数，得到；当时，在上是减函数，得到，由此能求出k的值．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于难题．。

2017届镇海中学高考模拟卷数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1）A B C DA. C. D.23．对于两条不同的直线m，n）A. m，nB.C. m，n共面于β，则m∥nD. n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线4．关于周期函数，下列说法错误的是（）A.B. .C.D.5.()52112x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式的常数项是（） A. 5 B. 10- C. 32- D. 42-6.若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，且3z ax y =+的最小值为7，则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 2-D. -17．已知函数()f x 在()1,-+∞上单调, 且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称, 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =, 则{}n a 的前100项的和为( ) A. 200- B. 100- C. 0 D. 50-8.已知ABC ∆的外接圆半径为2，为该圆上的一点，且AB AC AD +=，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 33D.439．在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）A. 5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B. 5,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 25,15⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭10.已知点P 在双曲线221169x y -=上，点A 满足(1)PA t OP =-()t R ∈，且64OA OP ⋅=，(0,1)OB =,则OB OA ⋅的最大值为（ ）.A ．54 B ．245 C ．45 D ．524二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知函数1()2,-1()2(2)(||1) 1.xx f x x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-->-⎩，，，则((2))f f -= ,若()2,f x ≥则x 的取值范围为 .12．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为_____ cm ，体积为_ ____ 3cm ．13．已知随机变量ξ的概率分布列为：则E ξ=________ __，D ξ=____ ______.14.已知圆22:2410C x y x y +--+=上存在两点关于直线:10l x my ++=对称，经过点(,)M m m 作圆C 的切线，切点为P ，则m =____________；MP =_____________..15.函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln xf x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()yg x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是 ．16.若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为__ ______．17.定义域为*{N ,112}x x x ∈≤≤的函数()f x 满足(1)()1(1,2,...11)f x f x x +-==，且(1),(4),(12)f f f 成等比数列， 若(1)1,(12)4f f ==，则满足条件的不同函数的个数为 __ ___．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分14分）19. （本小题满分15分）20．（本题满分15分）2sin ,,,,2tan tan .cos .BABC a b c A B C b B A C AC c ABC ∆∆在中，分别是角的对边，=,且满足+=(I)求角和边的大小；(II)求面积的最大值1:=:=:1:2,,.ABC E,F,P AB,AC,BC AE EB CF FA CP PB AEF A EF A EF B A B A P A E BEP F A P B ∆∆⊥-11111在正三角形中，分别是边上的点，满足=将沿EF 折起到的位置，使二面角--成直二面角，连接(I)求证：平面；(II)求二面角-的余弦值.22()=(ln )()x e f x k x k e x xk f x ≤设函数-+(为常数,=2.71828...是自然对数的底数).(I)当0时，求函数的单调区间；21．(本小题满分15分)如图，设椭圆22221(0) xya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点D在椭圆上，112DF F F⊥，121||22||F FDF=，12DF F∆的面积为22.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.22.(本小题满分15分)已知在数列{}n a中，2113,222n n na a a a+==-+.,*n N∈（1）求证：112n na a+<<<；（2（32017届镇海中学高考模拟卷数学参考答案1．C2.【答案】A3.【答案】C【解析】解：正方体1111ABCD A B C D -中，取,m n 为棱11,BC C D ，平面,αβ为1111,ABCD A B C D ，满足选项A 中的条件，但是αβ，选项A 错误；取,m n 为棱1,BB BC ，平面,αβ为1111,ABCD A B C D ，满足选项B 中的条件，但是n β⊆，选项B 错误； 取,m n 为棱1,AB AA ，平面,αβ为111111,BCC B A B C D ，满足选项D 中的条件，但是m n A ⋂=，选项D 错误； 本题选择C 选项.4．D 【解析】()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期为2π，故D 错. 5.【答案】D 【解析】由题意得常数项是()()5452242C -+-=-,选D.6.【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由1{23x y x y -=--=得：()4,5A ；由3{23x y x y +=-=得：()2,1B ；由1{3x y x y -=-+=得()1,2C ，由3z ax y =+，得33a zy x =-+，则直线的截距最小，z 也最小， ∵目标函数3z ax y =+的最小值为7，7.【答案】B8. 【答案】B【解析】解析：由题设可知四边形是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知，且当时，四边形的面积最大，则的面积的最大值为，应选答案B.9.【答案】A10.解：∵(t 1)PA OP =-，∴PA tOP OP =-，∴OA tOP =，且||||||OA t OP =，∴(,)(,)A A P P x y t x y =，∴A P AP x x ty y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将点(,)A A x y t t 代入双曲线中得：22221169A A y x t t -=， ∴22216169A Ay x t =+，①，∵64OA OP ⋅=，（即OA ，OP 同向），∴2||||||||64OA OP t OP ⋅==， ∴2222|t |()64AA y x t t +=，将①代入上式整理得：22516||649||p y t t +=，即222525406416||216||9||9||3p pp y y t t y t t =+≥•=，∴24||5p y ≤， ()()240,1,5p p p OB OP x y y •=•=≤. 12.【答案】274134++2013.【答案】 1，12【解析】1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=，()()()22211110111214242E ξ=-⨯+-⨯+-⨯= . 14.因为圆22:2410C x y x y +--+=的圆心为()1,2，且圆上存在两点关于直线:10l x my ++=对称，所以10x my ++=过点()1,2，所以1210m ++=，得221,13,4m MC r =-==,切割线1343MP =-=,故答案为3.15.在为()y f x =，()y g x=为区间(0,)+∞的“平行曲线”，所以函数()g x 是由函数()f x 的图象经过上下平移得到的，即()()ln xg x f x h e a x c h =+=-++，又(1)ln1g e a c h e c h e =-++=++=，所以0c h +=，即()ln x g x e a x =-，()ln 0xg x e a x =-=得()ln xe a h x x ==，则()g x 在区间(2,3)上有唯一零点等价于函数()y h x =与函数y a =有唯一交点，()21(ln )()ln x e x x h x x -'=，当2x >时，()0h x '>，函数()h x 在区间(2,3)上单调递增，所以函数()y h x =与函数y a =有唯一交点等价于(2)(3)h a h <<，即23ln 2ln 3e e a <<，即a 的取值范围是23,ln 2ln 3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 16.【答案】817.17618.19.7 820.21.（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-= 1212||.PP x =，由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在.当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y由111,CP F P ⊥得101111,1y y y x x -⋅=-+而1111,3y x =+=故053y = 圆C 的半径221415423333CP ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，存在满足条件的圆，其方程为：2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 22.证明：（1）先用数学归纳法证明12n a <<1o .n=1时13122a <=< 2o .假设n=k 时成立，即12k a <<.n=k+1时，()()21221,2,1,2k k k k a a a a +=-+∈∈成立.由1o 2o 知12n a <<，*n N ∈恒成立.()()2132120n n n n n n a a a a a a +-=-+=--<.所以112n n a a +<<<成立.（2）1211213656,232432a a --===>++，当3n ≥时，16123n -<+而12n a <<.所以1623n n a -≥+. 由2122n n n a a a +=-+得2122n n n a a a +-=-,1111111122222n n n n a a a a +⎛⎫⎛⎫⇒=+<+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111111222n n a a +⎛⎫⇒-<- ⎪--⎝⎭（3）由（1 Array由（2。

镇海中学跨区自主招生数学试题卷满分：120分 时间：90分钟一、选择题（每题4分，共40分）1、把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为 -------------------------------------------------------------------（ ）①FRPJLG ②HIO ③NS ④BCKE ⑤VATYWU (A )QXZMD (B )DMQZX (C )ZXMDQ (D )QXZDM2、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于------（ ） （A ）－4x ＋3（B ）5（C ）2x ＋3（D ）4x ＋33、若不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，则a+b =---------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）21（B ）23 （C ）21-（D ）23- 4、若m m m =-+-20082007，则=-22007m ---------------------------------------（ ） （A ）2007 （B ）2008 （C ）20082 （D ）-200825、方程07946=--+y x xy 的整数解的个数为 -------------------------------------------（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46、在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有----------------------------------------------------------------------------（ ）(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )6个7、一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m 、n ，得到一个点P (m ,n )，则点P 既在直线6+-=x y 上，又在双曲线xy 8=上的概率为------ ( ) (A )61 (B )91 (C )181 (D )3618、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论：①0>b ，②0<c ，③042>-ac b ，④0>++c b a ，⑤024>++c b a .其中正确的有---------------------------------------------------------------（ ）(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个 第8题图9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( )(A ) 2)21(+ (B)251+ (C )253+ (D ) 2537+10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（ ）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３ （D ）以上都不对．第9题图y o1=xFEMBC DA二、填空题（每题 6分，共30分）11、已知关于x 的不等式mx -2≤0的负整数解只有-1,-2，则m 的取值范围是 _____ . 12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正 多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为_______________. 13、如图，△OAP 、△ABQ 是等腰直角三角形，点P 、Q 在双曲线)0(4>=x y 上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为_______________.第11题图 第13题图 14、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111435435c y b x a c y b x a 的解为____________.15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 __ ____ 个小正方体.三、解答题（共50分）16、（本题满分6分）如图，ABCD 是矩形纸片，E 是AB 上一点，且BE ：EA ＝5：3，EC =155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F ，求AB 、BC 的长．17、（本题满分8分） 如图，已知四边形ABCD 内接于一圆，AB =BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM =DC +CM（图1）（图2）OM N Q PHK FEDCBAx18、（本题满分13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21001x y =的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱。

浙江省镇海中学2017-2018学年高三 模拟考试理数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|12}M x x =-≤<，2{|log 0}N x x =>，则MN =（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)-D ．(0,2) 【答案】A考点：对数不等式的解法及集合的运算. 2.下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<成立D ．“若tan α≠3πα≠”是真命题【答案】D 【解析】试题分析：对于答案A ，“若1a >，则21a >”的否命题是“若1≤a ，则21a ≤”；对于答案B ，若“123a a a <<”则“45a a <”成立；对于答案C ，0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<不成立；对于答案D ，“若tan α≠3πα≠”是真命题成立,故应选D.考点：命题的真假及充分必要条件的等知识的综合运用.3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真的是（ ）A ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥B ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nC ．若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ 【答案】A 【解析】试题分析：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理可得答案A 是正确的,其余答案都是错误的.故应选A.考点：空间的线面位置关系的判定与性质的运用. 4.已知sin (1,)sin(2)A ααβ+，sin (2,1)sin(2)B ααβ--，且0OA OB ∙=，sin 0β≠，sin cos 0k αβ-=，则k =（ ）A． C．以上都不对 【答案】C考点：三角变换的有关公式及综合运用.5.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ）A ．10B ．1920C ．910D ．12【答案】C 【解析】试题分析：因为009020<<α,而OP OP r 12sin==α,所以OP 最大时, 2sin α最小, 2α最小.结合图象可知点)2,4(--M ,故OP 的最大值为52416=+=PM ,则10910112sin 21cos 2=-=-=αα,应选C. 考点：线性规划、二倍角的余弦等有关知识的综合运用.6.在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，若数列{}n x 满足11||(2,)n n n x x x n n N +-=-≥∈，如121,x x a ==（,0a R a ∈≠），当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2016项的和是（ ） A ．672 B ．673 C ．1342 D ．1344 【答案】D考点：周期数列的性质与求和．【易错点晴】本题以数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用所学知识的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出⋅⋅⋅-=====-===,1,,1,1,,136514321a x x a x x x a x a x x 这些数的特征和规律,然后再计算出2321=++x x x ,而67232016=÷,进而利用数列的周期性求出数列{}n x 的前2016项和的值为13442672=⨯.7.在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A ．1(5B ．C ．1(5D ． 【答案】D考点：椭圆的定义余弦定理与基本不等式等知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是椭圆的几何性质与函数方程的数学思想的范围问题,解答时先运用余弦定理建立131224222⨯-+=mn n m c ,再借助椭圆的定义将其等价转化为)13121(24422+-=mn a c ,然后再运用基本不等式22)2(a n m mn =+≤将其转化为不等式2222)(2552a c a <-,最后通过解该不等式将该椭圆的离心率求出2,从而获得答案.8.已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8--C ．17[1,)16 D ．17(1,)16【答案】D 【解析】试题分析：当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确. 当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确. 当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确.故应选D.考点：分段函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】本题考查的是分段函数的图象和性质与数形结合的数学思想的范围问题,解答时运用排除法逐一分情况代入检验特殊值1,2,1612--=a ,求出分段函数的解析式分别为⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,分别作出这些函数的图象,并对每个函数的图象进行分析,逐一检验图象是否满足题设中的条件,排除不满足的函数的图象的情况和不满足题设条件的答案和选择支最后选答案.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分．） 9.函数()sin()(0,0,)f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到()g x ，得到的函数图象对称轴为 ，函数()g x 解析式为.【答案】()32k x k Z ππ=+∈ sin(2)6y x π=- 【解析】试题分析:由题设可知6121143,1ππ-==T A ,即π==T A ,1,所以22==ππω,所以)2sin()(ϕ+=x x f ,又因为1)3sin()6(=+=ϕππf ,解之得223πππϕ+=+k ,故62ππϕ+=k ,所以)62sin()(π+=x x f ,将其向右平移6π可得)62sin(]6)6(2sin[)(πππ-=+-=x x x g ,故其对称轴方程满足262πππ+=-k x ,即)(32Z k k x ∈+=ππ,对应的表达式为)62sin()(π-=x x g .应填()32k x k Z ππ=+∈,sin(2)6y x π=-.考点：三角函数的图象和性质的运用．10.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为'(1,1)P b a +-，则圆22:620C x y x y +--=关于直线l对称的圆'C 的方程为 ；圆C 与圆'C 的公共弦的长度为 .【答案】22(2)(2)10x y -+-=考点：直线与圆的方程及运用．11.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是 ；体积是 .【答案】64+1603【解析】试题分析:由题设三视图中所提供的信息可知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体,如图其全面积232644242124)84(214)84(21442184+=⨯⨯+⨯++⨯++⨯⨯+⨯=S ,其体积为31604)8421(314]4)84(21[31=⨯⨯⨯+⨯⨯+=V ,故应填64+1603.448考点：三视图的识读与几何体的体积的运用．12.已知函数223,0()log ||,0x x f x x x x ⎧+≥=⎨∙<⎩，则1(())2f f -= ，若()1f x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .【答案】1344a>考点：分段函数的求值与数形结合思想的运用．13.设P是函数2(0)y x xx=+>的图象上任意一点，过点P分别向直线y x=和y轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ∙的值是 . 【答案】1-考点：向量的数量积公式及运用． 14.已知方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩，对此方程组的每一组正实数解{,,,}x y z u ，其中z y ≥，都存在正实数M ，且满足zM y≤，则M 的最大值是 .【答案】6+【解析】试题分析:因为yz x x z y 42222=≥+=+μμ,所以y z y z 42≥+,令1>=t yz,则242≥-t t ,所以2)2(2≥-t ,即22+≥t ,所以246+≥yz,则246+≤M ,应填6+考点：多元方程组的解法及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题以多元方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩的解),,,(μz y x 满足的条件z y ≥为背景,借助题设条件与基本不等式建立不等关系式yz x x z y 42222=≥+=+μμ,然后通过换元1>=t yz建立关于t 的不等式242≥-t t .最后通过解不等式242≥-t t ,从而求得22+≥t ,所以246+≥y z ,由于zM y≤,因此246+≤M ,M 的最大值是6+15.如图，在平面四边形ABCD 中，已知,,,E F G H 分别是棱,,,AB BC CD DA 的中点，若22||||1EG HF -=，设||,||,||,||1AD x BC y AB z CD ====，则228x yz ++的最大值是.【答案】12【解析】试题分析:由题设可得))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,运用基本不等式可得式))((12222222y n x m mn mx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=,故应填12.考点：基本不等式及运用．【易错点晴】本题以平面四边形ABCD 所满足的条件22||||1EG HF -=,1=AD 为背景,精心设置了一道求228x yz ++的最大值的问题.求解时先运用余弦定理并借助题设22||||1EG HF -=建立方程组))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,然后借助基本不等式建立关系式))((12222222y n x m mnmx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且,,A B C 成等差数列. （1）求a cb+的取值范围；（2）若AC ，求角A 的值. 【答案】(1)(1,2]；(2)6A π=.试题解析：（1）因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，而A B C π++=，所以3B π=.由余弦定理，222b ac ac =+-① 所以2222231()3()()()44b ac ac a c a c a c =+-≥+-+=+， 故2a cb+≤，当且仅当a c =时取等号， 另一方面a c b +>，故1a cb+>， 综上，a c b+的取值范围是(1,2].法二：由正弦定理得sin sin 2sin()sin 3a c A C Ab B π++==+， 因为203A π<<，所以(1,2]a cb+∈.考点：余弦定理及基本不等式等有关知识的综合运用． 17.（本题满分15分）如图，ABC ∆为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC ∆沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD ∆内，且AB 与面ACD 所成的角的正弦值为11，求AD 的长.【答案】(1)2AD =；(2)AD =【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立空间直角坐标系运用空间向量的知识求解；(2)借助题设运用空间向量的数量积公式探求. 试题解析：（1）取BC 的中点O ，如图以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,1(1,2,0)A D ，则2AD =.考点：空间向量的数量积公式及有关知识的综合运用． 18.（本题满分15分）已知函数2()|1|1()f x x ax a R =---∈.（1）若关于x 的方程2()10f x x ++=在区间(0,2]上有两个不同的解12,x x . （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）若12x x <，求1211x x +的取值范围； （2）设函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为(),()M a m a ，求()()()g a M a m a =-的表达式.【答案】(1)（i ）7(1,]2；（ii ）(2,4]；(2)222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩.（ⅰ）作出函数1,0112,12x xy x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩图象，得712a <≤，故a 的取值范围是7(1,]2. （ⅱ）∵12x x <，11a x =，2212a x x =-， 则有212112x x x =-，即212112x x x +=， 又212x <≤，∴212112(2,4]x x x +=∈， 故1211x x +的取值范围是(2,4]. （2）22,01()2,12x ax x f x x ax x ⎧--≤≤=⎨--<≤⎩，当4a ≥时，有0,222a a-<≥，()f x 在[0,2]上为减函数， 则()(0)(2)22g a f f a =-=-. 当24a ≤<时，有0,1222a a -<≤<，()f x 在[0,]2a 上为减函数，在[,2]2a上为增函数， 此时2()()224a a m a f ==--，()max{(0),(2)}0M a f f ==，则2()24a g a =+. 当02a ≤<时，有0,0122a a-<≤<，()f x 在[0,1]上为减函数，在[1,2]上为增函数， 此时，()(1)1m a f a ==--，22,01()max{(0),(2)}0,12a a M a f f a -≤<⎧==⎨≤<⎩，则3,01()22,12a a g a a a -≤<⎧=⎨-≤<⎩.当20a -<<时，有012a <-<，02a <，()f x 在[0,]2a -上为增函数，在[,1]2a-上为减函数，在[1,2]上为增函数，此时1,10()min{(0),(1)}0,21a a m a f f a --<<⎧==⎨-<≤-⎩，()max{(),(2)}222aM a f f a =-=-，则3,10()22,21a a g a a a --<<⎧=⎨--<≤-⎩.当2a ≤-时，有1,022a a-≥<，()f x 在[0,2]上为增函数， 则()(2)(0)22g a f f a =-=-.则222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩考点：二次函数的图象和性质及不等式的性质等有关知识的综合运用． 19.（本题满分15分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两个动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明：FM AB ∙为定值；（2）设ABM ∆的面积为S ，求S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)4.（2）2||4(1),AB k d =+=所以322214(1)4(1)42S k k =⨯+⨯=+≥，所以S 的最小值为4.考点：向量的数量积公式和抛物线的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用向量的数量积公式求出1212(,)24x x x x M +,再求出222121(,)(2,2)04x x AB FM x x k -∙=-∙-=.第二问借助曲线的弦长公式求得2||4(1),AB k d =+=,进而求得ABM∆的面积322214(114(1)42S kk =⨯++=+≥,即求得面积S 的最小值为4,从而使得使问题获解.20.（本题满分15分） 已知数列{}n a 满足112a =，都有3*112,33n n n a a a n N +=+∈.（1）求证：11*1213()(),2324n n n a n N --∙≤≤∙∈； （2）求证：当*n N ∈时，313124241231231111116[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥+++++-----. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.当2n ≥时，132112113()24n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙≤∙， 且132112112()23n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙>∙， 又001213()()2324n a ⨯≤≤⨯，∴111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯，*n N ∈. （2）∵11111(1)1(1)3n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++---==+--，又321111(23)(1)(3)33n n n n n n a a a a a a ++=++=+-+，∴3211111111(3)[()3]1332212n n n n a a a a ++=-+≥-+=+.当2n ≥时，13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++，又1113111()212a -+=∙，∴11111(1)()3212n n a -+≥∙. ∴3131242123121111()()1111n n n na a aa a a a a a a a a a a ++----++++-+++---- 121[(1)(1)(1)]3n a a a =++++++1111()1111111112[1()]6[1()]1121212212112nn n --≥+++=∙=-- ∴3131242123121111116[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥++++----- 考点：数列的有关知识和不等式的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也是高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助题设数列的递推关系式3*112,33n n n a a a n N +=+∈,运用缩放的数学数学思想进行推理论证的思想方法证明了不等式111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯的成立.第二问题中,先运用不等式13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++及有关性质进行推算,进而使用缩放的方法进行推证,从而使得两个不等式获得证明.。

2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．203．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．446．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．。

yxP OB A第3题数 学 试 卷一、选择题（每小题5分，共50分）：１．若a 、b+的值是（ ）（A ）二者均为有理数 （B ）二者均为无理数（C ）一个为无理数，另一个为有理数 （D ）以上三种情况均有可能． ２．若xyx yx y yx 156523-=-=，则222232654yxy x y xy x +-+-的值是（ ）．（A ）29 （B ）49 （C ）5 （D ）6 ．３．如图，在一次函数3y x =-+的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴，垂足为A ，PB ⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个．４．等边△ABC 的各边与它的内切圆相切于111,,A B C ，111A B C ∆的各边与它的内切圆相切于222,,A B C ，…，以此类推.若△ABC 的面积为1，则555A B C ∆的面积为（ ）（A ）51 （B ）251 （C ）521 （D ）1021．５．如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ）(A) 1个 (B) 2个 (C) 50个 (D) 100个． ６．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表：则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ）．（A ）① （B ）② （C ）④ （D ）③或⑤．７．如图，已知等腰梯形ABCD ，腰AB ＝CD ＝m ，对角线AC ⊥BD ，锐角∠ABC ＝α，则该梯形的面积是（ ）（A ）αsin 2m （B ）22)(sin αm（C ）αcos 2m （D ）22)(cos αm ．８．△ABC 有一边是另一边的2倍，又有一个内角等于30°，则下列正确的是（ ）(A) △ABC 不是直角三角形 (B) △ABC 不是锐角三角形(C) △ABC 不是钝角三角形 (D) 以上答案都不对．９．正五边形广场ABCDE 的边长为400米，甲，乙两个同学做游戏，甲从A 处，乙从C 处A B CD题7图同时出发，沿A —B —C —D —E —A 的方向绕广场行走，甲的速度为每分钟50米，乙的速度为每分钟46米．在两人第一次刚走到同一条边上的那一时刻（ ）（A ）甲不在顶点处，乙在顶点处 （B ）甲在顶点处，乙不在顶点处 （C ）甲乙都在顶点处 （D ）甲乙都不在顶点处10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（ ）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３ （D ）以上都不对． 二、填空题（每小题5分，共30分）：11．如图，半圆的直径AB 长为2，C ，D 是半圆上的两点，若的度数为96°，的度数为36°，动点P 在直径AB 上，则CP＋PD 的最小值为___________．12．已知正数a ，b ，有下列命题：(1) 若a ＝1，b ＝11； (2) 若a ＝12， b ＝52≤32；(3) 若a ＝2，b ＝352； (4) 若a ＝1， b ＝5≤3．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7，则a b ≤________． 13．如果满足261610x x a ---=的实数x 恰有6个，则实数a 的值等于__________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，将矩形ABCD 沿对角线AC 对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是________．15．已知y x ,均为实数，且满足32,1222=+=++xy y x y x xy ，则33y xy x ++＝______________．16．5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它们决定，先睡一觉再分．过了不知多久，来了第一只猴子，它见别的猴子没来，便将这堆桃子平均分为5堆，结果还多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．又过了不知多久，来了第2只猴子，它不知道有1个同伴已经来过了，还以为自己是第1个到的，也将地上的桃子平均分为5堆，结果也多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是这样……．则这5只猴子至少摘了_________个桃子．D'EDCB A第14题PD CBA第11题三、解答题（第17题8分，第18题、第19题各10分，第20题12分，共40分）：17．关于x 的方程xkx xx x x k 1122+=---只有一个解，求k 的值和相应方程的解．18．已知：点A （6，0），B （0，3），线段AB 上一点C ，过C 分别作CD ⊥x 轴于D ，作CE ⊥y 轴于E ，若四边形ODCE 为正方形．⑴ 求点Ｃ的坐标；⑵ 若过点C ，E 的抛物线c bx ax y ++=2的顶点落在正方形ODCE 内（包括四边上），求a 的取值范围；⑶ 在题⑵的抛物线中与直线AB 相交于点Ｃ和另一点Ｐ，若△PEC ∽△PBE ，求此时抛物线的解析式．19．在一圆中，两条弦AB ，CD 相交于点E ，Ｍ为线段EB 之间的点（不包括E ，B ）．过点D ，E ，M 的圆在点E 的切线分别交直线BC ，AC 于F ，G ．若t ABAM =，求EFGE （用t 表示）．20．整数012320,,,,,x x x x x 满足条件：00x =，101x x =+，211x x =+，321xx =+，…，200320021xx=+.⑴ 试用仅含2003x 的代数式表示12320022003x x x x x +++++ ， ⑵ 求12320022003x x x x x +++++ 的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）：１．Ａ ２．A ３．D 4．Ｄ ５．D ６．C ． ７．Ｂ ８．Ｂ ９．Ｂ 10．Ｃ 二、填空题（每小题5分，共30分）：11． 3 12．169413．1014．20354815． 420 16．3121三、解答题（第17题8分，第18题、第19题各10分，第20题12分，共40分）：17．原方程可化为01232=-+-x kx kx ① 当0=k 时，原方程有唯一解21=x ． （３分）当0≠k 时，方程①的0)1(454)23(222>-+=+-=∆k k k k 故总有两个不同的实数根．按题设原方程只有一个解，因此必有一个根是原方程 的增根，从原方程可知增根只可能是０或１，显然，０不是方程①的根， 故1=x 是方程①的根，代入①得21=k ．由韦达定理可得原方程的根为21-=-k．所以，当0=k 时，原方程的解为21=x ；当21=k 时，原方程的解为2-=x ． （８分）18．⑴ C （2，2） （２分） ⑵ 0＜a ≤2 （５分） ⑶ P （32-，310） （８分）223432+-=x x y （10分）19．EFGE ＝tt-1．（以下解法仅供参考）连结AD ，MD ，BD ．可证得△CGE ∽△BDM ，MBDM CEGE =；①△CEF ∽△AMD ，DBAM EFCE =；②①×②得：EFGE ＝MBAM ＝tt -1．20．由已知得2210022211223222220032002200221,21,21,2 1.x x x x x x x x x x x x ⎧=++⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪⎪=++⎩于是222003001220022()2003x x x x x x =+++++ ，又00x =，则221220032003200320032()22003(1)2004x x x x x x ++=+-=+- ,即 12320022003x x x x x +++++ =1222003(1)2004x +-. （５分）由于12320022x x x x x +++++ 为整数，则20031x +是偶数，比较2442004-与2462004-的大小，可得12320022003x x x x x +++++ ≥122442004-＝34．当02419600x x x x ==== ，13519591x x x x ====- ，19611x =，19622x =，19633x =，…，200343x =时，等号成立．所以12320022003x x x x x +++++ 的最小值为34． （12分）。

数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前江苏省镇江市2017年中考试卷数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.一、填空题(每小题2分,共24分) 1.3的倒数是 .2.计算：53a a ÷= . 3.分解因式：29b -= .4.当x = 时,分式523x x -+的值为零.5.如图,转盘中6个扇形的面积都相等.任意转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针指向奇数的概率是 .6.圆锥底面圆的半径为2,母线长为5,它的侧面积等于 (结果保留π).7.如图,Rt ABC △中,90,6ACB AB ∠==,点D 是AB 的中点,过AC 的中点E 作EF CD ∥交AB 于点F ,则EF = .8.若二次函数24y x x n =-+的图像与x 轴只有一个公共点,则实数n = . 9.如图,AB 是O 的直径,AC 与O 相切,CO 交O 于点D ,若30CAD ∠=,则BOD ∠ .10.若实数a 满足13||22a -=,则a 对应于图中数轴上的点可以是A 、B 、C 三点中的点 .11.如图,ABC △中,6AB =,DE AC ∥,将BDE △绕点B 顺时针旋转得到BD E ''△,点D 的对应点D '落在边BC 上,已知5,4BE D C ''==,则BC 的长为 .12.已知实数m 满足2310m m -+=,则代数式22192m m ++的值等于 .二、选择题(每小题3分,共15分)13.我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资,目前已为有关国家创造了近1100000000美元税收.其中1100000000用科学记数法表示应为 ( ) A .80.1110⨯B .91.110⨯C .101.110⨯D .91110⨯14.如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体,它的主视图是( )ABCD15. a b 、是实数,点((2,,))3A a B b 、在反比例函数2y x =-的图像上,则 ( )A .a b ＜＜0B .0b a ＜＜C .0a b ＜＜D .0b a ＜＜ 16.若该组数据的中位数不大于38,则符合条件的正整数的取值共有( )A .3个B .4个C .5个D .6个17.点E F 、分别在平行四边形ABCD 的边BC AD 、上,BE DF =,点P 在边AB 上, : 1 : (1)AP PB n n =＞,过点P 且平行于AD 的直线l 将ABE △分成面积为12S S 、的两部分,将CDF △分成面积为34S S 、的两部分(如图).下列四个等式：131 : =1 : ; :S S n S ①②4142331241 : (21);() : ) 1 : ;() : (): (( 1).S n S S S S n S S S S n n =+++=--=+③④其中成立的有( )-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）A .①②④B .②③C .②③④D .③④三、解答题(本大题共11小题,共81分)18.(8分)(1)计算：20(2)tan 45(32);-+- (2)化简：(1)(1)(2).x x x x +-+-19.(10分)(1)解方程组：4,25x y x y -=⎧⎨+=⎩； (2)解不等式：2132x x --＞.20.(6分)为了解射击运动员小杰的集训效果,教练统计了他集训前后的两次测试成绩(每次测试射击10次),制作了如图所示的条形统计图. (1)集训前小杰射击成绩的众数为 ； (2)分别计算小杰集训前后射击的平均成绩； (3)请用一句话评价小杰这次集训的效果.21.(6分)某校5月份举行了八年级生物实验考查,有A 和B 两个考查实验,规定每位学生只参加其中一个实验的考查,并由学生自己抽签决定具体的考查实验.小明、小丽、小华都参加了本次考查.(1)小丽参加实验A 考查的概率是 ；(2)用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A 考查的概率； (3)他们三人都参加实验A 考查的概率是 .22.(6分)如图,点B E 、分别在AC DF 、上,AF 分别交BD CE 、于点,M N 、,A F ∠=∠1=2∠∠.(1)求证：四边形BCED 是平行四边形；(2)已知2DE =,连接BN ,若BN 平分DBC ∠,求CN 的长.23.(6分)如图,小明在教学楼A 处分别观测对面实验楼CD 底部的俯角为45,顶部的仰角为37.已知教学楼和实验楼在同一平地上,观测点距地面的垂直高度AB 为15m .求实验楼的垂直高度即CD 长(精确到1m ).参考值：sin370. 60,cos370. 80,tan370.75≈≈≈.24.(6分)如图,Rt ABC △中,90,3cm ,4cm B AB BC ∠===,点D 在AC 上,1cm AD =.点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动；点Q 从点C 出发,沿C B A C →→→的路径匀速运动.两点同时出发,在B 点处首次相遇后,点P 的运动速度每秒提高了2cm ,并沿B A C →→的路径匀速运动；点Q 保持速度不变,并继续沿原路径匀速运动,两点在D 点处再次相遇后停止运动.设点P 原来的速度为cm/s x . (1)点Q 的速度为 cm/s (用含x 的代数式表示)； (2)求点P 原来的速度.25.(6分)如图①,一次函数y x b =-+与反比例函数(0)ky k x =≠的图像交于点(1,3)A 、(,1)B m ,与x 轴交于点D ,直线OA 与反比例函数()ky k x x =≠图像的另一支交于点C ,过点B 作直线l 垂直于x 轴,点E 是点D 关于直线l 的对称点. (1)k = ； (2)判断点 B E C 、、是否在同一条直线上,并说明理由； (3)如图②,已知点F 在x 轴正半轴上,32OF =.点P 是反比例函数(0)ky k x =≠图像位于第一象限部分上的点(点P 在点A 的上方),ABP EBF ∠=∠,则点P 的坐标为( , ).数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）①②26.(8分)如图①,Rt ABC △中,90C ∠=,点D 在AC 上,CBD A ∠=∠,过 A D 、两点的圆的圆心O 在AB 上. (1)利用直尺和圆规在图①中画出O (不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线条描清楚)；(2)判断BD 所在直线与(1)中所作的O 的位置关系,并证明你的结论； (3)设O 交AB 于点E ,连接DE ,过点E 作EF BC ⊥,F 为垂足.若点D 是线段AC 的黄金分割点(即DC ADAD AC =),如图②,试说明四边形DEFC 是正方形.27.(8分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的边 OA OC 、分别在x 轴、y 轴上,点B 坐标为(4,) (0)t t ＞,二次函数2(0)y x bx b =+＜的图像经过点B ,顶点为点D .(1)当12t =时,顶点D 到x 轴的距离等于 ；(2)点E 是二次函数2(0)y x bx b =+＜的图像与x 轴的一个公共点(点E 与点O 不重合).求OE EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC 的对角线OB AC 、交于点F ,直线l 平行于x 轴,交二次函数2(0)y x bx b =+＜的图像于点M N 、,连接DM DN 、.当DMN FOC △≌△时,求t 的值.28.(11分)【回顾】如图①,ABC △中,30,3,4B AB BC ∠===,则ABC △的面积等于 .【探究】图②是同学们熟悉的一副三角尺,一个含有30的角,较短的直角边长为a ；另一个含有45的角,直角边长为b .小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD(如图③),用了两种不同的方法计算它的面积,从而推出6sin75=.小丽用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH (如图④),也推出6sin75=.请你写出小明或小丽推出6sin75=的具体说理过程.【应用】在四边形ABCD 中,AD BC ∥,75,6,5,10D BC CD AD ∠====(如图⑤).(1)点E 在AD 上,设t BE CE =+,求2t 的最小值；(2)点F 在AB 上,将BCF △沿CF 翻折,点B 落在AD 上的点G 处.点G是AD的中点吗？说明理由.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。

镇海中学跨区自主招生数学试题卷满分：120分 时间：90分钟一、选择题（每题4分，共40分）1、把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为 -------------------------------------------------------------------（ ）①FRPJLG ②HIO ③NS ④BCKE ⑤VATYWU (A )QXZMD (B )DMQZX (C )ZXMDQ (D )QXZDM2、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于------（ ） （A ）－4x ＋3（B ）5（C ）2x ＋3（D ）4x ＋33、若不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，则a+b =---------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）21（B ）23 （C ）21-（D ）23- 4、若m m m =-+-20082007，则=-22007m ---------------------------------------（ ） （A ）2007 （B ）2008 （C ）20082 （D ）-200825、方程07946=--+y x xy 的整数解的个数为 -------------------------------------------（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46、在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有----------------------------------------------------------------------------（ ）(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )6个7、一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m 、n ，得到一个点P (m ,n )，则点P 既在直线6+-=x y 上，又在双曲线xy 8=上的概率为------ ( ) (A )61 (B )91 (C )181 (D )3618、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论：①0>b ，②0<c ，③042>-ac b ，④0>++c b a ，⑤024>++c b a .其中正确的有---------------------------------------------------------------（ ）(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个 第8题图9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( )(A ) 2)21(+ (B)251+ (C )253+ (D ) 2537+10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（ ）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３ （D ）以上都不对．第9题图y o1=xFEMBC DA二、填空题（每题 6分，共30分）11、已知关于x 的不等式mx -2≤0的负整数解只有-1,-2，则m 的取值范围是 _____ . 12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正 多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为_______________. 13、如图，△OAP 、△ABQ 是等腰直角三角形，点P 、Q 在双曲线)0(4>=x y 上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为_______________.第11题图 第13题图 14、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111435435c y b x a c y b x a 的解为____________.15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 __ ____ 个小正方体.三、解答题（共50分）16、（本题满分6分）如图，ABCD 是矩形纸片，E 是AB 上一点，且BE ：EA ＝5：3，EC =155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F ，求AB 、BC 的长．17、（本题满分8分） 如图，已知四边形ABCD 内接于一圆，AB =BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM =DC +CM（图1）（图2）OM N Q PHK FEDCBAx18、（本题满分13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21001x y =的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱。

2017 年镇海中学数学比赛模拟试卷（ 1）姓名 _______一、 填空题1、已知函数f ( x) ln ( 1 a 2 x 2ax) 1(a 0)，则f (ln a)f (ln 1____________.)a2 ,y2 6x和 ⊙ C : ( x 2)2 y2 1上，则AB的取值范围是、 A B 两点分别在抛物线____________.3、若 tan3 tan β 0，则 的最大值为 ____________.24、已知△ ABC 等腰直角三角形，此中∠ C 为直角， AC =BC =1，过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB ，使得 DB =1，在 DA 、 DC 上分别取点 E 、 F ，则△ BEF 周长的最小值为 ____________.5、已知函数 f ( x)x 3 3x ，对随意的 m2,2 ， f ( mx 8)f (2x ) 0 恒建立，则正．实数 x 的取值范围为 ____________.． ．6、已知向量 a,b,c 知足 | a |:|b |:|c | 2 : k : 3(k N * ) ，且 b a 2( c b) ，若为 a,c 的夹角，则 cos 的值为 ____________.7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的关闭的正四周体容器，则该容器棱长最小值为____________.8、将 10 个小球（ 5 个黑球和 5 个白球）排面一行，从左侧第一个小球开始向右数小球，无 论数几个小球，黑球的个数总许多于白球个数的概率为 ____________.二、 解答题9.(本小题满分14 分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ， 向 量p sin A sin C , sin B ，向量 q(a c,ba) ，且知足 p q .( Ⅰ) 求△ ABC 的内角 C 的值；(Ⅱ)若 c =2， 2sin2 +sin(2 + )=sin，求△的面积 .A B C CABC10.（本小题满分14 分）已知数列a n知足： a1 2,a n 1 a n22a n.(1)求证：数列lg( a n1) 是等比数列，并求a n的通项公式;(2)11b n的前 n 项和为S n，求证：S n 1.若 b na n，且数列a n211.( 本小题满分( Ⅰ) 若f ( x)14 分)设0 对全部xf (x) e x ax1 恒建立，求a .（e是自然对数的底数）a 的取值范围；1(Ⅱ)求证：( 2015)1008e2.201612.( 本小题满分15 分 ) 设正数x, y知足x 3y3x y，求使x22的λy 1恒建立的实数最大值 .13.( 本小题满分15 分 ) 已知椭圆C :x2y2 1 及点 P(1,1) ，过点P作直线l与椭圆C交于22A、 B 两点，过 A、 B两点分别作C的切线交于点Q.(1)求点 Q的轨迹方程；(2)求△ ABQ的面积的最小值.2017 年高中数学比赛模拟试卷（1）答案1.【分析】f ( x) f ( x)ln( 1 a 2 x 2 ax) ln( 1 a 2 x 2 ax) 2 ln(1 a 2 x 2 a 2 x 2 )2 2.2.【分析】因为ABAC 1 ，则只要要考虑 AC 的范围 .2( x 2) 2y 2 ( x 2) 2 6 x 2 2 4 ( x 1)2 3, 又 x 0,故 2，ACx xACmin故 AB 的取值范围为 1， .3.【分析】 tan αtantan2 tan231 tantan1 3 tan 21tan3tan36tanπ0 απα β.β α，.6224.CDB，且∠ BDA 与∠ CDA 之【分析】由题意可知，4和为. 如图，将侧面 BDA 和侧面 CDB 分别折起至面B 1DA 和2 B 2 DC ，且与侧面 ADC 位于同一个平面上 . 则△ BEF 周长的最小值即面 AB 1DB 2C 上两点 B 1, B 2 之间的线段长 .由 前 面 的 分 析 可 知，B 1DB 2 B 1DAADCCDB 2π π 3π24，4由余弦定理可得，B 1 B 2B 1D 2B 2 D 22B 1D B 2 D cos B 1DB 21 1 2222.2因此，△ BEF 周长的最小值为2 2 .5.【 解 析 】 f ( x)x 3 3x 为 奇 函 数 且 为 增 函 数 f (mx 8) f ( 2x ) 0 等 价 于f (mx 8)f (2x )f ( 2x ) 即 mx 82x 即 mx 2x8 0 对随意的 m2,2 成立刻2x 2x 8，因此0 x 2，即 0<x <22x2x80 x46.【分析】由 ba 2(c b) 得 b12 2 1 24 2 4ac 因此 b9 a9ca c ，339又 | a |:|b |:|c |2 : k :3 ，因此 k240 24 cos [ 16 , 64] ，又 k N * ，因此 k =2，因此19 99 9cos α的值为.67.【分析】这 10 个小球成棱锥形来放，第一层1 个，第 2层 3个，第 3 层 6 个，即每一条 棱是 3 个小球，于是正四周体的一条棱长就应当是 4 倍的小球的半径加上2 倍的球心到四周体极点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到极点的距离为3，正四周体的高和棱所成角的余弦值为6 ，故容器棱长的最小值为4 2 36 4 2 6 .338.【分析】法 1：假如只有 2 个小球（ 1黑 1 白），则黑球的个数总许多于白球个数的概率为 1；假如只有 4 个小球（ 2 黑 2 白），则黑球的个数总许多于白球个数的概率为1；假如23只有 6 个小球（ 3 黑 3 白）， 黑球的个数 许多于白球个数的概率1；以此 推，可知4将 10 个小球（ 5 个黑球和 5 个白球）排成一行，从左 第一个小球开始向右数小球. 无 数几个小球，黑球的个数 许多于白球个数的概率1 ； 法 2：直接从 10 个小球下手分 .69.【分析】 ( Ⅰ ) 由 意 p q ，因此， ac sin A sin C b a sin B 0 . 由正弦定理，可得a c a cba b 0 . 整理得 a 2c 2 b 2ab .由余弦定理可得，cosCa 2b 2c 210，，因此， Cπ ⋯⋯6分2ab，又 C32( Ⅱ ) 由 2sin 2 A sin 2B Csin C 可得， 4 sin Acos Asin Bπ Asin B A .整理得， 4 sin Acos A sin B A sin B A2 sin B cos A .当 cosA0， Aπ 2 cotπ 2 3. 因此△ABC 的面， 此， b3 32△12 3 当 cosA 0，上式即sin B 2 sin A，有正弦定理可得b =2a ，又S ABCbc32a 2b 2 ab4， 解 之 得 ， a2 3 ， b 4 3 ，因此△ABC 的面33△123 .S ABC ab sin C32上所述，△ ABC 的面 S △ABC1ab sin C 2 3 . ⋯⋯ 14分2 31 210.【分析】 (1) 由已知得 a n 1a n 2 2a n ， a n 1 1 a n ，因 a 12 ，因此 a n 11，两 取 数得 lg 1an 12 lg 1 a n ，即 lg 1an 12 ，故 lg a n1以 lg3 首 ， 2 公比的等比数列，lg 1 a n即 lg a n12n 1 lg 3 ，即 a n 32n 11.⋯⋯5分(2) 法 1：由 a n 1a n 2 2a n 两 取倒数得11 1 a n 12，an 12 a n因此1 12，即bn211，⋯⋯ 10分a n 2 a n an 1a nan 1故S n 21 1，故 S n1.⋯⋯ 14分2 32 n 12 32n 1法 2： b n112(11) ， S n 1 1n1n132n1n 11n2n1 .323232 3212 32111.【分析】 ( Ⅰ )f (x)0 x 1 aeae x1 ，xx1令 h( x)e xxe x，由 h ( x)xe x0 得 x >0.x ， h ( x)( x 1) 2 (x 1)21因此 () 在 0，上 增， ( x ) 在 (-1,0) 减 . 因此 h( x) h(0)1 x1 ，由h xh此得： a 1 . 又 x =-1 ， x 1 a e x 即 0a e 1 ，此 a 取随意 都建立 .上得： a1 . 11 1 ⋯⋯8分2015 )100820151(Ⅱ) (e 2e 2016 1e 2016 .2016 20162016 由( Ⅰ ) 知，当 a =1f (x)0 全部x 恒建立，即 e x x 1( x =0 取等号 ).111取 x1 ，得 1 1 e 2016 . 即 得： ( 2015)1008e 2 .⋯⋯ 14分2016 20162016x12【分析】由正数,足 x 3y 3x y ，知x y 0 . 令 tx y 1.y不等 式x 221等价于x 22 x 3y 3，等价于λyλyx y2x 3 y 3 x 2x 2 y y 3，等价于 λx 2 y y 3λyxyx yxy y2等价于λx 2 y 2t 2 1 t 2 12 (t 1)22 2 (t1)2 2 2，xy y 2t 1 . 因 f (t )t1t21t 1等号 当 t1212 建立，t，即 t1因此， 数的最大 22 2 .⋯⋯ 15分13.【分析】 (1)A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ),Q ( x 0 , y 0 ) ，QA : x 1 xy 1 y 1Q ， 有x 1x 0y 1 y 01 ； ⋯ ⋯ ① QB :x 2xy 2 y1 ， 有222x 2 x 0 y 2 y 0 1，⋯⋯②故直 AB : x 0x y 0 y 1 点 P(1, 1) ， 有2 2 2x 0 y 0 1 x 0 y 0 2 ⋯⋯③故 Q 的 迹方程 x +y =2.⋯⋯5分2 2(2) 直 AB ，当斜率不存在 ，即 x =1，此 A(1, 2 ), B(1, 22 ),Q (2,0)2S △ABQ 1 2 1 22 2斜率存在 ， 直 AB : y 1 k( x 1) y kx 1 k .2 2x 22y 2 2y 得 (2k21)x22k(1 2k) x (2k22k3) 0 . ykx 1 立，消掉 k22x 1x 2 2k(2k1)2k21于是有2k 2 2k3x 1 x 22k 212又① - ②，获得x 0ky 00与③式 立，可解得Q( 4k , 2 ) .⋯⋯ 10分22k 1 1 2k。