磁场的高斯定理和安培环路定理

安培环路定理i为负值空间所有电流共同产生的磁场在场中任取的一闭合线任意规定一个绕行方向环路所包围的所有电流的代数和物理意义
§8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一. 稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环 路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路 定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理又反映稳 恒磁场无源。
安培环路定理
几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。

L B (d l d l// )
B
L I d

r
dl
P

B
L
cos
90
dl

B
L
cos
dl//
0 LBr d 2 0 I r d
0 2 r
0I
结果一样！
长直电流的磁场
如果沿同一路径但改变
绕行方向积分：

B dl B cos( ) d l
的所有电流的代数和
安培环路定理
几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。
B

B2
dl2
r2
l
B2
dl2
0I
2π
d
B1
dl1
0I
2π
d
B dl 0I d d
l
2π L1
L2
0I
2π
0
第16章 稳恒磁场
8
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理
多电流情况
I1
I2
I3
B
B1
B2
B3
Bdl
l
0 (I 2
I3)
以上结果对任意形状
l
的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
第16章 稳恒磁场
2
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理
enB
s s
B
磁通量：通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量.
Φ BS cosBS
Φ B S B enS
B dS
dΦ B dS
B dΦ BdS cos
s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
第16章 稳恒磁场
•
•
O’
磁场磁力线：
••••••••••••••
R
为什么磁力 线画成均匀 的？
B
• • • • • • • • • • • • • •
R
A B1 B
D
B2C
作安培环路L ABCDA
B dl
L
0
L内
Ii
0
B dl L
AB
B1
dl
B dl
BC
CD B2 dl
3
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理

L
B dl o I i
L

S
B dS 0 j dS

S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L

第25 讲磁场的高斯定理安培环路定理的应用一、通过磁场中任一曲面S 的磁通量为二、磁场的高斯定理三、安培环路定理d SB SΦ=⋅⎰0d =⋅⎰SS B四、利用安培环路定理求解的典型电流的磁场(1) 电流均匀分布的无限长金属柱面02πI B rμ=)(R r >0=B (2) 电流均匀分布的无限长金属柱体02πI B rμ=022πIrB Rμ=()r R <)(R r >()r R <(3) 无限大平面电流20jB μ=(4) 载流无限长均匀密绕直螺线管0=B （管内）（管外）(5) 载流螺绕环=B （管内）（管外）0B nI μ=02πNIB rμ=Olxyz解：（1）立方体阴影面积2222(015m)22510mS l ..-===⨯[Q7.25.1]一边长为l =0.15m 的正立方体如图所示，有一均匀磁场通过立方体所在区域，求（1）通过立方体阴影面积的磁通量；（2）通过立方体六个面的总磁通量。

()6315T B i j .k =++O lxyz阴影面积的法线方向单位矢量通过阴影面积的磁通量为（2）根据磁场的高斯定理，通过立方体六个面的总磁通量n e i =ΦB S=⋅()()226315T 22510m 0135Wbi j .k .i .-=++⋅⨯=dI1r2r3rIld[Q7.25.2]如图所示，两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I=20A。

求（1）两导线所在平面内与两导线等距离的一点处的磁感应强度；（2）通过图中阴影面积的磁通量。

（r1=r3=10cm，l=25cm）I1r 2r 3r Ild解：(1)两导线所在平面内与两导线等距离处的磁感应强度大小为⊗022π2μIB d /=722(4π10N/A )(20A)π(04m).-⨯⨯⨯=⨯54010T-.=⨯I1r 2r 3r IldOr（2）通过图中阴影面积的磁通量为2d ΦB S=⋅⎰121001212d ln 2ππr r r μI μIl r r l r r r ++==⎰72(025m)(4π10N/A )(20A)010m 020mlnπ010m ....-⨯⨯⨯+=62210Wb-.=⨯[Q7.25.3]一无限长圆柱形铜导体（磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I 。