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弯曲应力6-1 求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。
题6-1图解：（a）mKNMmm⋅=-5.2mKNM⋅=75.3max48844108.49064101064mdJx--⨯=⨯⨯==ππMPaA37.20108.490104105.2823=⨯⨯⨯⨯=--σ（压）MPa2.38108.4901051075.3823max=⨯⨯⨯⨯=--σ（b ）m KN M m m ⋅=-60 m KN M ⋅=5.67max488331058321210181212m bh J x --⨯=⨯⨯== MPa A 73.611058321061060823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） MPa 2.104105832109105.67823max =⨯⨯⨯⨯=--σ （c ）m KN M m m ⋅=-1 m KN M ⋅=1max48106.25m J x -⨯=36108.7m W x -⨯=cm y A 99.053.052.1=-=MPa A 67.38106.251099.0101823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） MPa 2.128106.2510183max =⨯⨯=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：)1(32431απ-=D W x⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=-463)64(110326π 361002.17m -⨯=3463321021.213210632m D W x --⨯=⨯⨯==ππMPa 88.521002.17109.0631=⨯⨯=-σ MPa 26.551021.2110172.1631=⨯⨯=-σ MPa 26.55max =σ6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。
试求梁内最大拉应力与最大压应力。
已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。
第6章 应力状态分析一、选择题1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。
（A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。
2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。
3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）AC AC /2,0ττσ==； （B）AC AC /2,/2ττσ=； （C）AC AC /2,/2ττσ==；（D）AC AC /2,/2ττσ=-。
4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。
关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。
（A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的。
5、对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。
（A ）三种应力状态均相同；（B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同；6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
解答：max τ发生在1σ成45的斜截面上7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）脆性材料；（B ）塑性材料；（C ）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适用于（ C ）。
（A ）任何材料在任何变形阶级； （B ）各向同性材料在任何变形阶级； （C ）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D ）任何材料在弹性变形范围内。
第一章 绪论1-1 求图示杆在各截面（I ）、（II ）、（III ）上的力，并说明它的性质．解：（a ）I-I 截面： N = 20KN (拉)II-II 截面： N = -10KN （压）III-III 截面： N = -50KN (压)（b ）I-I 截面： N = 40KN （拉）II-II 截面： N = 10KN (拉)III-III 截面： N = 20KN （拉）1-2 已知P 、M 0、l 、a ，分别求山下列图示各杆指定截面（I ）、(II)上的力解：（a ）：（I ）截面：力为零。
（II ）截面：M = Pa （弯矩）Q = -P （剪力）（b ）：（I ）截面：θsin 31P Q =θsin 61PL M = （II ）截面：θsin 32P Q = θsin 92PL M =（c ）：（I ）截面：L M Q 0-= 021M M = （II ）截面：L M Q 0-= 031M M =1-3 图示AB 梁之左端固定在墙，试求（1）支座反力，（2）1-1、2-２、3-3各横截面上的力（1-1，2-2是无限接近集中力偶作用点．）解：10110=⨯=A Y （KN ）1055.110-=+⨯-=A M （KN-M ）（1-1） 截面：10110=⨯=Q （KN ）521110-=⨯⨯-=M （KN-M ） （2-2）截面：10=Q （KN ）055=-=M （KN-M ）（2-3）截面：10=Q （KN ）551110-=+⨯⨯-=M （KN-M ）1-4 求图示挂钩AB 在截面 1-1、2-2上的力．解：（1-1）截面：P N 32=a P M ⋅=43 （2-2）截面：P Q 32=a P M ⋅=321-5 水平横梁AB 在A 端为固定铰支座，B 端用拉杆约束住，求拉杆的力和在梁1-1截面上的力．解：（1）拉杆力T ：1230sin 0⨯=⨯⋅=∑P T M A ο 10030sin 2100=⨯=οT （KN ）（拉） （2）（1-1）截面力：Q 、N 、M ：5030sin -=-=οT Q （KN ）6.8630cos -=-=οT N （KN ）（压）()2550.030sin =⨯=οT M （KN-M ）1-6 一重物 P ＝10 kN 由均质杆 AB 及绳索 CD 支持如图示，杆的自重不计。
288习 题8-1 构件受力如图所示。
（1）确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态。
解：（a ） 在任意横截面上，任意一点σσ24Pdσπ=(b ） 在BC 段的外表面处24Pdσπ=3316Mdτπ=τσ(c)A 截面的最上面一点στσ332Pldσπ=316Mdτπ=8-2 图示悬臂粱受载荷P =20kN 作用，试绘单元体A 、B 、C 的应力图，并确定主应力的大小及方位。
289解：σσ2620100060520106A M MPa W σ--⨯===-⨯⨯BσB σBτ2386282200005103052010620000557.5102250 2.25520105106B B B M y MPaJKPa MPa στ-----⨯⨯===-⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯Cτ4020000 1.51.5320510C C Q MPa A στ-=⨯===⨯⨯3σ1σστA <>点1306090σσα=== 1σ3σστB <>点130.16830.16885.7σσα==-=στ1σ3σC<>点133345σσα==-=-8—3 主应力单元体各面上的应力如图所示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的正应力ασ和剪应力ατ，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa)。
解：（a)()()1212205205cos2cos6013.752222MPa ασσσσσα+---+-=+=+=290291()12205sin 2sin 6010.82522MPa ασστα---=== ()max 20512.52MPa τ--==45α= （与120σ=方向夹角）(b）()()()121220102010cos 2cos 135 5.6062222MPa ασσσσσα+---+-=+=+-=-()()122010sin 2sin 13510.60622MPa ασστα---==-=-()max 2010152MPa τ--== 45α= （与1σ方向夹角）或135（与水平方向交角）(c ）()121240104010cos 2cos 12017.52222MPaασσσσσα+-+-=+=+-= ()124010sin 2sin 12013.022MPa ασστα--==-=- max 4010152MPa τ-== 45α= （与140σ=方向夹角）(d) ()121220202020cos 2cos 45202222MPa ασσσσσα+-+-=+=+= 0ατ=max 0τ=8—4 单元体各面的应力如图示（应力单位为MPa ），试用解析法和图解法计算主应力的大小及所在截面的方位,并在单元体内注明。
第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： 变形谐调条件为：45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
0332132=+-N N N (1)2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：设l l l ==31，则l l 232=21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。
如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。
解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。
分别用4321,,,N N N N 表示。
由其平衡条件可列三个方程：F N N N N =+++4321 (1)42N N =………………(2) aFeN N 231-=- (3)由变形协调条件建立补充方程2312N N N =+。
（4）(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：[习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。
如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积21000mm A =，试求两杆的轴力和应力。
解：以AB 杆为研究对象，则：150221=+N N (1)变形协调条件：122N N = (2)(1)、(2)联立，解得：[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。
材料力学(金忠谋)第六版答案第07章(总23页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除244习 题7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。
7－1（a ） 0M()M x = ''0EJ M y ∴='0EJ M y x C =+ 201EJ M 2y x Cx D =++ 边界条件: 0x =时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=0201M 2EJ y x ∴= '01=M EJy x θ= 01=M EJ B l θ 201=M 2EJB y l （b ）222()1M()222q l x qx x ql qlx -==-+- 2''21EJ 22qx y ql qlx ∴=-+- 3'2211EJ 226qx y ql x qlx C =-+-+ 422311EJ 4624qx y ql x qlx Cx D =-+-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=02454223111()EJ 4624qx y ql x qlx ∴=-+- '2231111=(-)EJ 226y ql x qlx qx θ=+- 3-1=6EJ B ql θ 4-1=8EJB y ql （c ）()()()()()0303''04'050()1()()286EJ 6EJ 24EJ 120l x q x q lq l x M x q x l x l x l q y l x lq y l x C lq y l x Cx D l-=-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∴=-=--+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：4024q l C l -= 50120q l D l= ()455000232230120EJ 24EJ 120EJ (10105)120EJq q l q l y l x x l l l q x l l lx x l ∴=---+-=-+- 3024EJ B q l θ=- 4030EJB q l y =- (d)'''223()EJ 1EJ 211EJ 26M x Pa Pxy Pa Pxy Pax Px C y Pax Px Cx D =-=-=-+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=024623'232321112611253262B C C B y Pax Px EJ y Pax Px EJ Pa Pa Pa y y a a EJ EJ EJ Pa EJθθθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭⎛⎫==- ⎪⎝⎭=+=+==(e)()()()21222''1'211231113()02()2223EJ 231EJ ()2231EJ ()46a M x q qax x a q M x a x a x a a y q qax a y qa x x C a y qa x x C x D =-+≤≤=--≤≤=-+=-++=--+++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=0()()()22118492024EJ 12EJqax qax y a x a x x a ∴=--=--≤≤ ''2223'222242232221EJ ((2)4)21EJ (42)2312EJ (2)2312y q a ax x x y q a x ax C x y q a x ax C x D =--+=--++=---+++ 边界条件：x a = 时 12y y = ；12θθ=代入上面方程可求得：2296a C = 4224qa D =- ()()43223421612838464162384q y x ax a x a a a x a EJ-=-+-+≤≤247 43412476B B qa y EJ qa EJθ=-=- (f)()()221222''212'231122341115()20225()2225251EJ 22251EJ 26511EJ 4324qa qx M x qax x a qa qa a M x qax x a x a a y q ax x a y q x ax x C a y q x ax x C x D =-+-≤≤⎛⎫=-+--≤≤ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C 1=D 1=0''22'2222223222EJ (2)1EJ (2)21EJ ()6y q a ax y q a x ax C y q a x ax C x D =--=--+=---++ 边界条件：x a = 时 12y y = ； ''''12y y =3296a C =- 4224a D =- 437124136B B qa y EJ qa EJθ=-=-7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA 和θB ，跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI 为常量。
弯曲应力6-1求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。
题 6-1图解：（ a）M m m 2.5KN m Mmax 3.75 KN mJ x d 410 410 8490.8 108 m4 6464A 2.510 3410220 .37 MPa（压）490.81083.751035102max490 .810838.2MPa （ b）M m m60 KN m M max 67.5KN mJ x bh 31218310 85832 10 8 m 4 1212A 6010 3610 261.73 MPa（压）583210867 .510 39102max583210 8104.2MPa （ c）M m m1KN m M max1KN m J x25.610 8 m4W x7.810 6 m3y A 1.520.530.99cmA 110 30.9910238 .67 MPa（压）25.6108max110 3128 .2 MPa 25.61086-2 图示为直径 D ＝ 6 cm的圆轴，其外伸段为空心，内径d＝ 4cm，求轴内最大正应力。
解： W x1D 3 (1 4 )32631061 (4)432617.02 10 6 m 3Wx2D 3 63 10 6 21.21 10 4 m 3323210 .9 10 352 .88 MPa17 .02 10 611.172 10 355.26 MPa21 .21 106max55 .26 M P a6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。
试求梁内最大拉应力与最大压应力。
4解： A 截面：max 140 10 3 8 9.65 10 2 37.95 M p a （拉）10170 10min 140103815 .35 10 250 .37 M p a（压）1017010 E截面max 220103815.351021017010min 22010 39.651021017010830 .19 M p a （拉）18.98 M p a （压）6-4 一根直径为 d的钢丝绕于直径为D的圆轴上。
（ 1）求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）（ 2）若 d＝lmm ，材料的屈服极限s =700MPa ，弹性模量 E=210GPa，求不使钢丝产生残余变形的轴径 D 。
解：1MEJEJ E d 4M32Dm a x M32M E dW d 3DE d21010 9110 3D70010 60.3m 30cms6-5 矩形悬臂梁如图示．已知l= 4m，b2， q=10kN/m ，许用应力 [σ ]=10Mpa 。
h3试确定此梁横截面尺寸。
解： M max 1 ql21104280KN m226 h 22h h2h 3W3669M M8010 3h 2W1010 69Wh0. 416 m41 .6 cmb27 .7 cm6-6 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若[σ ]＝ 160MPa，试求许用载荷P。
解：W237 cm 32P2P KN 3M max m3M W160 10 6237 10 62 P33P237 56 .880 KN1602（M 图）2P36-7压板的尺寸和载荷情况如图所示。
材料为45钢，s ＝380 MPa，取安全系数n 1.5 。
试校核压板强度。
1 30 20 33012 3 1568 mm 2解： W(12)1012M 18 10320 10 3360 N mM 360229 .6 M P aW1568 1096-8 由两个槽钢组成的梁受力如图示。
已知材料的许用应力[σ ] ＝ 150 MPa ，试选择槽钢号码。
解： M max60 KN mW xMm ax60 10 30.4 10 3 m 3400 cm 3150 10 6查表：（ 22a ， W x217 . 6cm 3200 cm 3 ）60KN m20KN m（M 图）6-9 割刀在切割工件时，受到 P＝ 1kN 的切销力的作用。
割刀尺寸如图所示。
试求割刀内最大弯曲应力。
解： M p 81038 N mM p3010 330 N mW 2 .513 270 .42 mm36W415 2150 mm 36m ax m ax M8W70.410M30W1501099114MPa200MPa6-10图示圆木，直径为 D ，需要从中切取一矩形截面梁。
试问（1）如要使所切矩形截面的抗弯强度最高， h、 b分别为何值？（ 2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高， h、 b又分别为何值？bh 2 b ( D 2 b 2 )解： W66dWdbD 23b 26b 2 D 23h2D2D2 2 D233从强度讲： b0.57735Dh 0.8165DJ bh 2b( D 2 b 2 ) 3 1212dJ0 db331( D 2b2) 2b( D 2b2) 2( 2b) 02从刚度讲 b0.50Dh0.866 D6－ 11T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的3倍，巳知 h= 12cm， t=3cm ，试确定其翼板宽度 b之值。
压y上max＝3解：拉y下maxy上＝3y下y上＋y下＝h 12y 下＝12＝3cm 4S ( b 3)( 33) (9 3) 4.5 0934. 5227 cmb1.536-12图示简支梁，由No.18 工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A处梁底面的纵向正应变 3.0 10 4，试计算梁的最大弯曲正应力σ max。
已知钢的弹性模量E=200GPa, a=1m。
解：A E20010 9 3.0 10 460 MPamax Mmax 3 / 42 M A 3 / 8Amax 2 A260120 M P a3 qa2 3 qa2481 qa24（M 图）6-13试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上 a点和 b点的正应力和剪应力。
解： 1－1 截面Q 3.6364 KNM 3.6364 KN mJ bh 37.515 32109 . 375 cm 41212M 3.63641033.5102a y2109.37510 8J6 .03 MPa3.6364 1037.5 10 2b2109.375 10 812 .93 M P aQS 3.6364 103(47.5) 5.5 10 6a2109.3751087.510 2Jb0.379 M P a6-14 计算在均布载荷q＝10 kN ／m作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，并指出它们发生在何处。
解： M max 1 ql211010312881.25 103 N mQ max 1ql1101031 225 103NM 1.2510 3m a x W5310632101 .86 MPa在跨中点上、下边缘Q4510 34max A3243451025 .46 MPa在梁端，中性轴上6-15 试计算6-12 题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。
3 qa21解：860MPaW qa4 W 1 8 5cm 36010 6185106829 .6KN / m 3q312qa 4Qmax 3qa329 .6122.2 KN（Q 图）44max QS22.210 322 .12 M P a Jt15.4102 6.51036-16矩形截面木梁所受载荷如图示，材料的许用应力[σ ]=10Mpa 。
试选择该梁的截面尺寸，设 h : b 2 : 119KN141KN m8KN9KN1KN8KN m21KN（Q 图）（M图）解： R A19 KN R B29 KNW 1 bh2h 3612m ax M1410 3 W h 312h31410 3120 .256 m25 . 6 cm10 610b 12 . 8cmQ1. 521 1030.961 M P amax 1 .525 .6104A12 .86-17 试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力[ σ ]= 160MPa ， [ τ ] ＝80Mpa 。
解：W M201000125 cm 316010 6取 I16， W 1 4 cm1 3J : S 13.8(cm)QS151030 .181 M P aJt13.8610 3故取 No16 工字钢Q( x)15KN M (x)20KN m5KN10KN m 10KN（Q 图）（M 图）6-18图示起重机安装在两根工字形钢梁上，试求起重机在移动时的最危险位置及所采用工字型钢的号码。
已知l ＝ 10 m ， a＝ 4 m ， d=2 m 。
起重机的重量W＝ 50 kN ，起重机的吊重 P=10 kN ，钢梁材料的许用应力［σ］ =160 MPa， [τ ]= 100Mpa 。
解：轻压： 10KN， 50KN150 (10x ) 10 ( 8x )58 6 xR10M ( x)Rx(58 6 x )xdM5812x0dxx 4 .833 mMmax( 586 4.833 ) 4 .833140 .17 KN mM m a x140 .17 10 3W1601060.87610 3 m 3876 cm 3取两个 I 28a W z508 .15 cm 3W 4 3 8cm3210KN50KNd10m6-19等腰梯形截面梁，其截面高度为h。
用应变仪测得其上边的纵向线应变142 10 6，下边的纵向线应变21410 6。
试求此截面形心的位置。
＝ M y1 E 1解：上J b下＝M y 2 E 2J b1 ＝y14232y 214y 1 y 2 h3 y 2 y 2hy 21 y 1 3 h h446-20 简支梁承受均布载荷 q ，截面为矩形 bh ，材料弹性模量 E ，试求梁最底层纤维的总伸长。
解： M ( x )ql xqx 22 2M ( x)(x)E bh 26l ( x) dx6qll x 2ql 3lEbh 2() dx222 Ebh 26-21 矩形截面悬臂梁受力如图（a ）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分：（ 1）试求中性层截面上剪应力沿 x 轴向的变化规律，参见图（ b ）；（ 2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的？解：（ 1） x3Q 3 qx 2 A2 bh（ 2）由产生的合力为 TTlx bdxl3 qx 3ql 22 bhbdx4 h由弯曲产生的轴间力为Nql2h / 2M maxyNh / 2 b dyh / 2 2bdy （自证）b dyJbh 312j ql 24 hT6-22 正方形截面边长为 a ，设水平对角线为中性轴。
试求（1）证明切去边长为a的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大；9（2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？（提示：计算I z 时可按图中虚线分三块来处理）。
