非线性动态系统模型与辨识29页PPT

k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为

MSE的平方根，用于衡量模型预测误差的标准偏差。
模型拟合与模型评估的流程
1
模型拟合
根据数据集拟合合适的非线性模型。
模型评估
2
使用评估指标评估模型的拟合效果和预
测能力。
3
优化调整
根据评估结果优化模型参数和选择更合 适的模型。
线性模型与非线性模型的区别
线性模型
只能拟合直线或平面。
非线性模型
能拟合曲线、曲面以及更复杂的形状。
非线性模型的种类
多项式回归
通过引入多项式基函数，将 线性模型扩展为多项式形式， 拟合曲线。
分段式回归
将数据分段处理，每段使用 不同的线性或非线性回归模 型。
广义可加模型
使用可加函数对特征进行加 和，实现灵活的模型拟合。
1 神经网络
深度神经网络使用激活函数和多层连接实现强大的非线性拟合能力。
2 深度学习应用
非线性模型在计算机视觉、自然语言处理和语音识别等领域取得了突破性的成果。
3 模型训练
深度学习模型通过大规模数据集的训练来提高非线性表达能力。
变量选择在非线性模型中的应用
1 相关性分析
评估特征与目标变量之间的相关性，选择与目标变量相关的特征。
2 算法选择
根据数据特点选择适用于非线性模型的变量选择算法。
3 模型解释性
变量选择可提升模型的解释性，帮助理解模型对目标的影响。
非线性模型的评估指标有哪些？
均方误差（MSE）ed）
衡量模型对因变量变异性的解释能力。
均方根误差（RMSE）
拟合效果最优。
3
平滑效果
分段回归能够灵活地拟合具有多个变化 点的数据，实现平滑效果。
广义可加模型的原理和方法

1 A
2 A
1 ( 2 )2 1 AA
1
(
1 A
)
2
第15页/共24页
7.3 非线性系统的描述函数法
通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率 法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为 描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。
可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即
y(t) A1 cos nt B1 sinnt Y1 sin(t 1)
式中：A1
Y1
1 2
0
A12
y (t ) B12 ,
costd (t),
1
arctg
A1 B1
1
B1
2
y(t ) sintd (t )
0
（2）描述函数的定义
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具 体的计算方法是：振幅可由 1 N(A) 曲线的自变量A来确定，振荡频率
y
2 1 k2
x 12
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见，k 2,a 2, 1
第14页/共24页
于是，等效非线性特性的描述函数为
N ( A)
2k
arcsin
a A
arcsin
A
a A
1 ( a )2 AA
1
(
A
)
2
4
arcsin
2 A
arcsin第3页ຫໍສະໝຸດ 共24页三、典型非线性特性
（1）饱和特性

混沌系统的特征和应用
敏感依赖
初值条件微小变化会导致系统演化的巨大差异。
不可预测性
在长时序演化中，混沌系统的状态基本是不可再现的。
应用领域
混沌系统在通信、保密、工程设计等领域有着重要的应用价值。
非线性系统的分析方法
1
极值稳定性分析法
2
通过分析系统处于极值时的稳定性性
质，来研究系统的演化规律和稳定性。
动力学方程和相空间
动力学方程
动力学方程描述了非线性系统的运动行为，如钟 摆、万有引力等。
相空间
相空间展示了非线性系统的运动信息，可以提供 直观分析方法。
混沌现象和混沌系统介绍
1
混沌现象
混沌现象指的是非线性系统具有极其灵敏的依赖于初值的性质，导致演化不可预 测的现象。
2
混沌系统
混沌系统具有非线性特征，普遍存在于复杂系统中，其运动是非常复杂而难以预 测的。
3
相平面分析法
通过绘制系统状态随时间的演化图案， 来研究系统的演化规律和稳定性。
相图和流图分析法
通过绘制相图和流图等图形，来分析 非线性系统的演化规律和稳定性。
非线性系统的解析方法
级数展开法和重整化理论
利用数学解析方法来求解非线性方程，对混沌系 统的研究和控制具有重要意义。
广义函数法和数值模拟
利用数值计算方法来模拟非线性系统的演化，能 够模拟许多真实系统的行为。
非线性系统的特点和分类
非线性反馈
反馈对系统演化和行为的影响是非线性的。
非平稳性
系统的特性随时间变化而变化。
非高斯性
随机变量分布不符合高斯（正态）分布规律。
非周期性
系统状态随时间没有固定的周期性演化。

相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
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••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
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4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
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2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x

7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn

网络模型：
xo (k 1) H Wyc (k 1)1Wu(k )1 yc (k ) o(k 1) f (xo (k 1)) y(k )2 Wo(k )
yc (k )
u(k)
o(k 1)
yˆ(k 1)
实时调整权值动态 BP 算法：
2wi (k ) (k )oi (k ) e(k )oi (k )
0.022
R(k ) R(k ) R(k 1)
-0.046
0.0215
0.021
-0.048
0.0205
7.5
8
7.5
8
图 3-5-4 测试数据分析
(a) z x (k) R(k) (b) z y (k) R(k)
5
第6页/共26页
选择并联结构非线性 DTNN 为辨识模型：按拍延迟线＋BP 网络
①一轴辨识模型
x 轴（N2,3,1） y 轴（N2,3,1）
x(k 1) Nx[ R(k ), R(k ); W] y(k 1) Ny[ R(k ), R(k ); V]
6
第7页/共26页
② 两轴辨识模型
x(k y ( k
1) 1)
NQR(k), R(k); W2
x y
(k) ( k )
f(x) ：对称型 S 函数。
12
第13页/共26页
设 0.6 ，辨识过程见演示。
（1）辨识器输入 u(k)：[-0.5 0.5]间随机信号，此时系统是 BIBO 的； （2）仿真对象输出y (k)；辨识器 NNI 输出y y1 ；
（3）
E(k)
1 2
e2
(k)
。
13
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演示

8.12基于粒子群算法的非线性系统参数辨识
以下面三个例子为例，说明粒子 群算法在非线性系统中的参数辨识中 的应用。
8.12.1辨识非线性静态模型
利用差分进化算法辨识非线性静态模型参数：
0
y k1 x g sgn x
k2
x
h
sgn
x
k1
h
g
sgn
x
（8.47）
辨识参数集为 θˆ= gˆ hˆ kˆ1 kˆ2 ，真实参数为
x2 a1 sin x5 u1 a2 cos x5 u2 x3 x4
（8.37）
x4 a1 cos x5 u1 a2 sin x5 u2 g
x5 x6
x6 a3u2
8.12.3 基于粒子群算法的VTOL飞行器参数辨识
上式可表示为
由于
x2 a1 sin x5u1 a2 cos x5u2 0
利用差分进化算法辨识非线性动态模型参数：
G
s
T1s
K
1 T2 s
1
eTs
=
s
2
1 20s
1
e0.8s
（8.33）
辨识参数集为 Xˆ = Kˆ Tˆ1 Tˆ2 Tˆ ,真实参数为X =2 1 20 0.8
设待辨识参数 K、T1 、T2 分布在[0,30] 之间，T分布在 [0,1]之间。
8.12.2辨识非线性动态模型
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
VTOL(Vertical Take-Off and Landing)飞行器即 垂直起降飞行器，一般指战斗机或轰炸机。该飞行 器可实现飞行器自由起落，从而突破跑道的限制， 具有重要的军用价值。
如图8-22所示为X—Y平面上的VTOL受力图。由 于只考虑起飞过程，因此只考虑垂直方向Y轴和横向 X轴，忽略了前后运动（即Z方向）。X—Y为惯性坐 标系， Xb—Yb为飞行器的机体坐标系。

。(在1该，j交0)点
处， 曲线沿着1振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定 N ( A)
区域，故该交点为自振点。
自振荡频率为交点处G( j对) 应的频率，即 7.07 1/ s
求自振荡振幅：
令 1
＝－1
N (A)
2k
arcsin
a A
a A
1-(
a A
)2
用试探法，可解得： A 2.5
Aa
* 死区与滞环继电特性
数学表达式 ：
0 , y(t) M ,
0 ,
0＜t＜ 1 1＜t＜ 2 2＜t＜
1 arcsin
h A
2
- arcsin
mh A
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y(t)为奇对称函数，而非奇函数，故
A1
1
2 y(t)costdωt 2 2 Mcostdt
0
1
2M
(sin 2
1. 非线性特性的并联
N(A)＝N1(A)＋ N2(A) 2. 非线性特性的串联
第22页/共56页
其中：k k1k2
7.2.4 非线性系统稳定性分析的描述函数法
如果非线性控制系统满足非线性系统描述函数法分析的条件，则 可利用线性系统的频率响应法，分析非线性系统的稳定性。
1. 非线性系统的稳定判据
r(t) x(t)
y(t)
N ( A)
G(s)
c(t)
设非线性环节输入输出描述为：
y f (x)
当 x(t) Asint
一般，y(t)是一个非正弦周期函数。将y(t)按傅立叶级数展开：
y(t) A0 ( An cosnt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n1

0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图（b）所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线，表征了系统的
运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统：
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到：
.
dx dx

重合的，因此沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨
迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可
绘出系统的相轨迹了。
xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序
，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘
制相轨迹子程序的使用方法。
-
11
xoBox
例7-1 非线性系统如图7－7所示，绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
要更复杂些，也可能是各种典型特性的组合，改变上述五种
非线性特性的特征参数可以得到几十种不同形状的非线性特
性，但利用典型特性作为例子来分析讨论非线性系统的问题
是比较方便而又不失一般性。
三、非线性系统的工作特点
描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程，它
不能使用叠加原理，因而设有一个通用的方法来处理所有非
究非线性系统的重要内容之一。-
7
xoBox
(4)线性系统在正弦输入下的输出是同频率的正弦函数。而
非线性系统在正弦输入下的输出是比较复杂的，它可以包含
高次谐波，系统可能产生除与输入频率相同的振荡外，还会
产生其它频率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其幅频
的数值可能会发生跳跃式的突变，出现所谓跳跃谐振和多值
响应。非线性系统还有许多其它奇特现象，在此不再一一列
举。
本章首先讨论非线性系统的相平面法的基本思想、特点和应
用情况。然后介绍非线性系统的描述函数法及其在分析非线
性系统稳定性问题中的应用，最后结合xoBox软件对各典型
非线性环节进行分析。
§7－2 相平面法
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非线
5．变增益特性 变增益特性的输入输出 关系如图7－5所示。这种特性表明，在 输入信号不同范围时，元件或系统的增益 也不同，小信号时增益低，大信号时增益 高(当然也可以相反)。

Pd 上式描述的 d 阶时延非线性系统，其 d 阶时延逆系统
1
差分方程：
逆系统需具有与系统相同的初始条件，设系统输入：
s(k ) y (k )源自1 P d 则 的差分方程（见图）：
u ( k d ) g 1 s ( k ), y ( k 1), , y ( k n), u ( k ( d 1)), , u ( k ( d m )
１．直接逆模型辨识 即节 3-3-1 所述逆模型的一般辨识结构。 神经逆模型辨识器输入是系统的输入 u、输出 y；
ˆ 与 比较，优化准则函数： 输出u
u
1 ˆ (k )] 2 E (V (k ), k ) [u (k ) u 2
训练其权系Ｖ。
ˆ 1 P 的神经逆模型辨识器 d 表达式： ˆ ( k d ) Ng 1 y ( k ), y ( k 1) , y ( k n ), u ( k ( d 1)), , u ( k ( d m )); V u
Pd1 ˆ ( k ) Ng u
(b)
d 阶时延逆系统与 d 阶时延系统串联(非线性)
6
3-7-3 神经逆模型辨识
阐述 d 阶时延系统逆模型辨识的四种方法。
1 d 阶时延逆系统Pd 差分方程：
u ( k d ) g 1 y ( k ), y ( k 1) , y ( k n ), u ( k ( d 1)), , u ( k ( d m ))
x0
（由
x0
确定），由输入到输出的算子
T :yu
，
TT y ( k d ) Tu ( k ) y ( k )
称该系统为系统 P 的 d 阶时延逆系统

3 相图分析
4 极值稳定性
相图分析是一种几何图像方法，通过绘制 系统状态的相图来分析系统的稳定性和动 态行为。
极值稳定性是指非线性系统在极值点附近 的行为是否收敛于极值点附近。
Lyapunov方法及其应用
Lyapunov函数
Lyapunov函数是一种用于描述 系统稳定性和演化特性的数学 函数。
控制应用
非线性系统的定义与常见形式
非线性系统 非线性函数 常见形式
输出与输入之间的关系不符合线性关系的系统。
描述非线性系统输入与输出之间关系的数学函 数。 非线性系统的常见形式包括非线性微分方程、 非线性差分方程和非线性差分方程等。
非线性系统的模型建立方法
1
数学建模
通过数学方法建立非线性系统的数学模型，以描述系统的行为和特性。
非线性系统分析是通过研究系统的特性和行 为，了解其稳定性、动力学和响应性能等方 面的方法。
应用领域
非线性系统分析在控制系统设计、信号处理、 神经科学和物理建模等领域中具有重要作用。
挑战与机遇
非线性系统分析带来了各种挑战，但也为人 们揭示了系统的复杂性和多样性，为创新和 发展带来了机遇。
区别于线性系统分析的重要性
《非线性系统分析》PPT 课件
这是一份关于非线性系统分析的PPT课件，将介绍非线性系统分析的基本概 念、重要性以及各种方法和应用。让我们一起探索非线性系统奥秘和魅力。
什么是非线性系统分析
非线性系统
非线性系统是指输出与输入之间关系不遵循 线性关系的系统。它在各个科学和工程领域 中广泛存在。
分析过程
Lyapunov方法在控制系统中具 有广泛的应用，用于设计和分 析控制器的稳定性。
混沌分析