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等腰三角形的性质与判定优秀课件

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等腰三角形的性质PPT课件

等腰三角形的性质PPT课件
提高生活质量
等腰三角形的应用还可提高生活质量。例如，在园艺设计中，可利用等腰三角形原理进行花坛、草坪等的布局和设计 ，以创造美观、舒适的生活环境。
培养数学思维
学习和应用等腰三角形的性质有助于培养数学思维和解决问题的能力。通过分析和解决与等腰三角形相 关的生活实际问题，可增强对数学知识的理解和应用能力。
应用举例
用于证明与等腰三角形相 关的线段相等问题。
两角相等定理
定理内容
在等腰三角形中，两个底 角的大小相等。
证明方法
通过构造高或使用ASA、 AAS全等条件来证明两底 角相等。
应用举例
用于求解等腰三角形中的 角度问题。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
推论1
与其他三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等。
与不属于等腰三角形的其他三角形的关系
不属于等腰三角形的其他三角形没有两腰相等这一特性。
实际应用举例
建筑学
在建筑设计中，等腰三角形常被 用于构造具有对称美的图形和结
构中，如尖顶建筑、拱门等。
工程学
在桥梁、道路和隧道等工程设计 中，等腰三角形可用于计算和分
在等腰三角形中，底边的垂直 平分线同时也是底边的中线和 高。
推论2
在等腰三角形中，若一条边上 的中线与这边所对的角平分线 重合，则这个三角形是等边三 角形。
应用举例
用于证明与等腰三角形相关的 线段、角度相等或求解相关问
题。
03
等腰三角形面积与周长计算
面积计算公式推导
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。

等腰三角形的性质与判定-完整版课件

等腰三角形的性质与判定-完整版课件
求作这个等腰三角形.
a
h
拓展探究
如图,线段AB的端点B在直线 l上(AB与直线 l不
垂直)，请在直线 l 上另找一点C,使ΔABC为等腰
三角形，这样的点能找几个？你能说出它们的画 法吗？
A
分类讨论
C1 C3C2
l
B
C4
“一垂两圆”
已知：CE、CF分别平分∠ACB和它的外角∠ACM， EF∥BC，EF交AC于点D，E是CE与AB的交点. 求证：DE=DF.
等腰三角形的性质：
1、等腰三角形两底角相等 . （等边对等角）
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的
中线互相重合 . (三线合一)
A
12
等腰三角形的判,那么这两个角所对 的边也相等. (等角对等边)
练习P79 3
如何规范的画一个等腰三角形？ 例2 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，
这节课你学到了什么？
1. 等腰三角形的画法. 2. 等腰三角形中的分类讨论和转化思想.
作业：P81 10 、11 名师测控
如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于 点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交 AC于E． 求证：BD+CE=DE
A
D B
FE C

等腰三角形复习公开课课件

等腰三角形复习公开课课件

2023
PART 02
等腰三角形周长与面积计 算
REPORTING
周长计算公式
等腰三角形周长的计算公式为：周长 = 2 × 腰长 + 底边长。
若仅知道等腰三角形的一条腰长和底 边长，以及一个角度（如顶角或底 角），则需要通过三角函数计算出另 一条腰长，再套用周长公式。
在已知等腰三角形两条腰长和底边长 的情况下，可以直接套用此公式计算 周长。
工程测量应用
角度测量
等腰三角形可用于工程测量中的角度测量，通过观测和计算等腰三角形的顶角 和底角，可以推算出其他相关角度。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况下，可以利用等腰三角形的性质，通过测量 其他相关距离间接求得目标距离。
其他领域应用
航海与航空
在航海和航空领域，等腰三角形可用于定位和导航，如通过观测两个已知位置的夹 角来确定自身位置。
解析
设腰长为x，底边长为y，根据题意列 方程组求解，注意分两种情况讨论。
填空题选讲
题目一
等腰三角形的一个外角等于100°， 则它的顶角等于____。
解析
外角与相邻内角互补，故内角为 80°，若80°为顶角则不合题意， 故80°为底角，顶角为180°2×80°=20°。
题目二
已知等腰三角形的周长为21cm， 若有一边长为9cm，则其他两边 长为____。
2023
PART 03
等腰三角形在生活中的应 用
REPORTING
建筑领域应用
建筑设计
等腰三角形在建筑设计中经常出现，如尖顶建筑、拱门等，其 对称性和稳定性为建筑物增添了美感和结构强度。
结构工程
在桥梁、塔楼等建筑结构中，等腰三角形可用于构建稳定的支 撑结构，如斜拉桥的主塔和拉索构成的等腰三角形。

13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)

13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)

两角相等 的三角形
互为逆命题
等腰三角形的判定 方法
基本模型
A
B
C
等腰三角形的判定定理是证明 线段相等的一种重要 的方法
等腰三角形性质与判定 的区分
等
腰
变式模型
三 角 形 的 判
A
3
D
21
定
B
C
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：A⊿BA=BACC等腰三角形
证明：经过点A作AD⊥BC，垂足为D. A
∴ ∠1= ∠2=90°
练习 在ΔABC中,OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC.
A （2）线段BM、CN与MN 的长度有什么关系？
M 3 1
O
6
N
∴MN=BM+CN
5
2
4
B
C
（3） ΔAMN的周长=AB+AC吗？为什么？
∵ ΔAMN的周长= AM+MN+AN
=AM+
+AN
=AB +AC
两边相等 的三角形
∵ AD∥BC
E
）
A1 2
D
∴ ∠1=∠B ( 两直线平行， 同位角相等 )
∠2=∠C ( 两直线平行，内错角相等) B
C
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
即 AD平分∠CAE ( 角平分线的定义 )
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD. 分析：
(1)从求证看： 要证 OC=OD
需证 ∠D=∠C
(2)从已知看：
由OA=OB 得到 ∠B=∠A 由AB∥DC得到∠D= ∠B ∠C= ∠A
所以：∠D=∠C
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD.

13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)

13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)

1 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC 是等腰三角形的是( ) A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
2 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则 图中的等腰三角形有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分 成两个小等腰三角形的是( )
等腰三角形的两种判定方法： (1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相 等的三角形是等腰三角形”来判定． (2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个 三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相 等” 来证明．
例2 如图13.3-10，在△ABC中，∠ABC，∠CAB 的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别 交BC，AC于点D，E. 求证：DE＝BD＋AE.
图13.3-10
导引：要证： DE＝BD＋AE ，而由图13.3-10知 DE＝DP＋PE.因此只需证： BD＋AE＝DP＋PE即可． 即需证BD＝DP，AE＝PE， 而要证这两边相等，只需证明它们所对的角 相等；因此我们可以从证角相等作为切入口 进行证明．
性质
等边
等角．
判定
例3 如图13.3-11，在△ABC中，AB＝AC，EF交 AB
于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且
BE＝CF. 求证：DE＝DF.
导引：要证DE＝DF，可构造以DE
和DF为对应边的全等三角形，
不妨过点E作EG∥AC交BC于
点G，则只要证明△EDG≌
△FDC即可，缺少的条件可
3 (中考·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB ＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取 BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

等腰三角形的判定（课件ppt）

等腰三角形的判定（课件ppt）

∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形． B
C
新知讲解
练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的 延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形.
证明： ∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB， ∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.
已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°． 求证：△ABC是等边三角形．
证明： ∵∠C=∠B =60°，
A
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
B
C
新知讲解
等边三角形的判定1
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
A 几何语言：在△ABC中，
相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠DBC= 1 ABC，∠ECB= 1 ACB
A
2
2
又∵ △ABC是等腰三角形，
E
D
∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB，
O
B
C
∴ △OBC是等腰三角形.
新知讲解
思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？
等的三角形是等腰三角形吗？
现了什么！
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么AB 与AC 相等.
新知讲解

浙教版八年级数学上册课件：2.4 等腰三角形的性质定理 (共16张PPT)

教学课件
数学 八年级上册 浙教版
第2章 特殊三角形
2.4 等腰三角形的性质定理
复习回顾:
等腰三角形的性等. (在同一个三角形中,等边对等角) 3、等腰三角形三线合一 顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高
等腰三角形的判定方法：
1、有两边相等的三角形是等腰三角形。(定义)
解： ∵ ∠ DAC= ∠ C+ ∠ ABC （三角形外角和的性质） 又 ∵ ∠ C=30 ° ∠ DAC= 60 ° ∴ ∠ ABC= ∠ DAC -∠ ACB=60 °- 30 ° =30 °∴ ∠ ABC= ∠ C ∴ AB=AC（在同一个三角形中， 等角对等边） 即AC的长就是河宽。
30
O
60
形．
“在同一个三角形中,等角对等边。” 辨一辨： “在同一个三角形中, 等边对等角。” 性质 判定
在同一个三角形中, 等角对等边
问：如图,下列推理正确吗? A
1 2
C
1
D
B
D ∵∠1=∠2 ∴ BD=DC （等角对等边）
C
A
2
B
∵∠1=∠2 ∴ DC=BC （等角对等边）
错，因为都不是在同一个三角形中。
60°
A
C
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角 形).
第二种情况：顶角是60°； 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 证明:∵AB=AC，∠A=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形 中，等角对等边) ∴∠A=∠B=∠C =60°， ∴△ABC是等边三角形(三个角都相 等的三角形是等边三角形)． B C A

等腰三角形及其性质课件

因为$BD$平分$angle ABC$，$CE$平分$angle ACB$，所以$angle ABD = angle ACE$。
20
等腰三角形两底角平分线相等定理证明
• 在三角形$ABD$和三角形$ACE$中，由于$\angle ABD = \angle ACE$且$\angle A = \angle A$，根据三角形的全等判 定——角角边（AAS）全等定理，得到$\triangle ABD \cong \triangle ACE$。
2024/1/26
等腰三角形在建筑结构中的应用
许多古代建筑和现代建筑都采用了等腰三角形的结构形式，如埃及金字塔、古希 腊神庙等。这种结构形式能够提供很好的稳定性和承重能力。
稳定性原理
等腰三角形的两条等边和对应的两个等角使得其具有很好的平衡性和稳定性。在 建筑结构中，利用等腰三角形的这一特性，可以有效地分散荷载并减小结构的变 形。
利用对称轴求未知元素
在等腰三角形中，对称轴是底边的垂直平分线。因此，可以 通过对称轴来求出未知的顶点或边长。
28
构造辅助线解决问题
2024/1/26
作底边的垂线
通过等腰三角形的顶点作底边的 垂线，可以将等腰三角形划分为 两个直角三角形，从而利用直角 三角形的性质来解决问题。
作底边的中线
通过等腰三角形的顶点作底边的 中线，可以得到一个与底边平行 且等于底边一半的线段，从而简 化问题。
非等腰三角形的性质
05
不具有等腰三角形三线合一的性质。
03
三个内角之和等于180°。
2024/1/26
06
非等腰三角形的判定：一个三角形若不满足等腰三角形的 判定条件，即为非等腰三角形。
36
THANKS

初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件

接求出等腰三角形的面积。
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函 数求出高或底，再代入公式计算面 积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向 量表示三角形的顶点，通过向量的 运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直 接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利 用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解 相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相 似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三 角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例 ，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几 何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三 角形。

等腰三角形的判定课件(共21张PPT)

复习回顾
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
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B
C
C A（等要三角形的两个底角相等 ）
同理， BC CA , A B
A B C （ 等式的性质 ） 又 A B C 180 （三角形的内角和定理）
C C C 180 （ 等量代换 ）
C 60
A B C 60 （ 等式的性质 ）
2.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下
下列几个问题： (1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）
(2)等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合（等腰三角形的三线合一）。
43..这上些述性性质质都你是是真怎命么题得吗到？的你？能否轴用对从称基的本性事质实
A
怎么想
怎么写
要证∠B＝∠C． 只需证△ABD≌ △ACD 只需有 AB＝AC
∠ BAD＝ ∠CAD AD＝ AD
B DC
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D
∴ ∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)
在△BAD与△CAD中
AB = AC (已知)
出发，对它们进行证明？
合作与探究
证明：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）
已知：如图,在△ABC中,AB=AC. A
求证：∠B=∠C
分析：常见辅助线做法
12
（1）作顶角的平分线
（2）作底边上的中线；
BDC
合作与探究
证明：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
B
C
( 等角对等边）
例题解析 例1.已知：如图： ∠EAC是△ABC的外角，AD 平分∠EAC，且AD∥BC . 求证：AB =AC .
证明： AD 是 EAC 的角平分线 （ 已知 ）
EAD DAC （角平分线定义）
E
AD // BC （ 已知 ）
EAD B（二直线平行，同位角相等） A
Ｂ
D
Ｃ∵
∠BAD = ∠CAD (已证) AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD(SAS)
∴ ∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
结论1：等腰三角形顶角的平分线平分底 边并且垂直于底边。
即得到AD⊥BC和BD=CD
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC
B
C
交流与发现
通过证明我们不仅发现等要三角形的 两底角相等成立，而且还得到如下结 论也是成立的成立的。
等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边 上的高互相重合(简称“三线合一”).
这个结论是真命题，我们把它作为证明其他命题的 依据，并且把它叫做等腰三角形的性质定理！
性质定理2：等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的 中线﹑底边ຫໍສະໝຸດ 的高互相重合(简称“三线合一”).
DAC C （二直线平行，内错角相等）
B C （ 等量代换 ）
AB AC （ 等角对等边 ）
B
D C
例2.求证：等边三角形的每个内角都等于 60°已 . 知： A如 B 中 C A 图 ， B B， C C。 A A
求证 A ： B C60
证明：在AB中 C
AB BC （ 已知 ）
等腰三角形的性质与判定优秀 课件
预习检测☞
1.如图，在△ABC中，
A
（1）如果AB=AC，可得 ∠B=∠C ,
（2）如果∠B=∠C，可得 AB=AC , B
C
2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为
4cm,则它的周长是10 cm 或 11 cm ；
3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是19 cm 。
交流与探索
思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么？这个逆命题是真命题吗？
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD
∴ BD = CD (中线定义)
∵在 △BAD与 △CAD中
AB = AC (已知)
Ｂ DＣ
BD = CD （已证） AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD( SSS )
∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
等腰三角形底边上的中线平分顶角并且 垂直于底边。
即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC
通 过 证明 我 们发 现 : 等腰三角形的两个底角相等 是真命题。可以作为证明其他命题的依据。
等腰三角形的性质定理1:等腰三角 形的两个底角相等。
符号表示：
A
在△ABC中，
∵ AC=AB （ 已知 ）
∴ ∠B=∠C ( ）等边对等角
如果一个三角形的两个角相等, 那么这两个
角所对的边也相等.
(简称“等角对等边”).
如果一个三角形的两个角相等，那么这两 个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
已知：如图,在△ABC中, ∠B=∠C.
求证： AB=AC.
A
证明：作AD⊥BC,垂足为D,
则∠ADB=∠ADC=90
在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C (已知)，
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为3_5_°__，3_5_°_。
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步 骤和书写格式。 2.能用“公理”和“已经证 明的定理”为依据，证明等 腰三角形的性质定理和判定 定理。
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据
哪些基本事实，证明了哪些定理？你能说出来吗？
∠ADB=∠ADC=90°(已证)，
∟
B
D
C AD=AD (公共边)，
∴△ABD≌△ACD (AAS)
∴AB=AC (全等三角形的对应边相等)
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等，那么这两 个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
符号表示：
A
在△ABC中，
∵ ∠B=∠C （ 已知 ）
∴ AC=AB
A
A
A
12
2
1
12
图⑴
图⑵
图⑶
∟
∟
∟
B
D
CB ∥ D ∥ C B ∥ D ∥ C
符号语言
⑴∵AB=AC, ⑵∵AB=AC, ⑶∵AB=AC,
∠1=∠2,
BD=CD,
AD⊥BC
∴AD⊥BC, ∴AD⊥BC
BD=CD.
∠1=∠2.
∴BD=CD, ∠1=∠2.
交流与发现
写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题， 如何证明这个逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿。 （2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。