等腰三角形的性质定理和判定定理及其
证明
题32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（1）课型新授课
教学目标1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容，掌
握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定
理和判定定理。
教学方法观察法
教学后记
教学内容及过程学生活动
一、复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
二、新课讲解：
之前，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运
用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关
三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理:
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）
5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等。（AAS）
证明过程：
已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
求证：△ABC≌△DEF
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形
内角和等于180°）
∠C=180°-(∠A+∠B)
∠F=180°-(∠D+∠E)
∠C=∠F（等量代换）
BC=EF（已知）
△ABC≌△DEF（ASA）
这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
三、议一议：
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
定理：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C
证明：取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC△≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)
四、想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三
线合一”。
推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
五、随堂练习：
做教科书习题第1，2题。
六、课堂小结：
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的
内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－
发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三
角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。
七、课外作业：
同步练习
板书设计：
这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的
基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性
质
让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法
学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。题32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（2）课型新授课
教学目标1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
教学重点等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动学生活动
一、等腰三角形性质的探究
1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。
2．播放课件，结合刚才的问题讲解例1的命题，并
为后面将此性质拓展埋下伏笔。
3．分别演示：
∠ABC, ∠ACE= ∠ACB,k= , 时,BD是否与CE相等。引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。引导学生探究，对于上述例题，当AD= AC,AE= AB,k= , 时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—
猜测—证明的学习过程。
5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?要求学生说明理由或给出证明。
6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的
结果给出证明。
7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。适
时地引导学生思考可以用哪些方法证明?培养学生的推理能力。
8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。
9．启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否
成立?如果成立，能否证明。这实际上是“等边对等角”
的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。 10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。
11．小结这两个课时的内容。
作业：
同步练习
板书设计：
1．积极思考，回忆以前所学知识，联想新问题。
2．认真观看例1图形中线段的关系，积极思考，认真听讲。
3．对于课件的演示很感兴趣，凭直观感觉可以猜测，不管k为何值，BD=CE总成立。基于前面例题的启发，想要给出证明。一部分学生可以自己给出证明，一部分学
生需要老师的帮助。
4．在已经探究了角的大小的改变对于BD，CE的等
长性没有影响，有了一些成就感之后，又面临新的任务：BD＝CE吗?因此学生会满怀热情地进行这部分探究活动，而且有了前面的体验，探究也会比较顺利。
5．兴致高涨，凭直觉猜测结论仍然成立。但有些学生给出全部证明可能会有困难。
6．认真听讲，在掌握结论的同时受到老师的鼓励，有很高的热情进行后续学习。
7．较少接触这样的命题，因此会感到新鲜，有用已知公理和定理对命题的真假性进行判断的欲望。在老师
指导下完成证明。
8，积极动脑思考，认真听讲，获得对演绎证明的初步体会。
9．可以从直观上得出结论，但是此处要求证明，体会到证明的必要性。遇到认知上的冲突，激起学习欲望。 10．怀有强烈的求知欲听讲，对反证法有了感性认
识和一定的理解。
11．体会老师的讲解，并根据小结记忆掌握知识。
（学生小结：掌握证明的基本步骤和书写格式。经
历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法
证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。等腰三角形的
判定定理。了解反证法的推理方法。）
课题32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（3）课型新授课
教学目标1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形
的判定定理。
教学重点等边三角形的判定定理和直角三角形的性
质定理。
教学难点能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动学生活动
一、定理：一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。
2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗?组织学生交流自己的想法。渗透分类讨论的思维方法。
3．关注学生得出证明思路的过程，讲评。讲解定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二、一种特殊直角三角形的性质
1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：能拼成一个怎样的三角形?能否拼出一个等边三角形?并说明理由。 2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎
样的大小关系?
3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。
4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。 5．讲解例题，应用定理。
6．布置学生做练习。
练习：课本随堂练习 1
四、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么
证明方法？
五、作业：同步练习
板书设计：
1．积极地自主探索、思考等腰三角形成为等边三角形的条件。可能会从边和角两个角度给出答案。
2．积极思考，通过老师的点拨，分类讨论当这个角分别是底角和顶角的情况。
3．认真听讲，体会分类讨论的数学思维方法，理解定理。1．积极动手操作，并很快得到结果：可以拼出等边三角形。
2．在拼摆的基础上继续探索，得出结论。并在探索的过程中得到证明的思路。
3．认真听讲，体会从探索和尝试中得到结论的过程
和证明方法的步骤，掌握定理。
4．很有兴趣地折叠纸片，体会定理的应用。
5．听讲，体会定理的应用。
6．认真做练习。
（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）
教学内容 （一）知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等） 知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） ∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC 知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”） 证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC 【典型例题分析】 例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。 解：∵AP=PQ=AQ（已知）
∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义） ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） ∵AP=BP（已知） ∴∠PBA=∠PAB（等边对等角） 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30° 同理∠QAC=30° ∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120° 例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且 BD=CE，∠DEF=∠B。 求证：△DEF是等腰三角形。 证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理） ∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质） ∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等） 在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知） ∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等） ∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义） 例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD 证明：∵AB∥CD （已知） ∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵OA=OB （已知） ∴∠A=∠B （等边对等角） ∴∠C=∠D （等量代换） ∴OC=OD （等角对等边） 例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。 证法一：证明：作DE⊥AB于E
等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明 一、一周知识概述 1、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)． 2、等腰三角形性质定理的推论 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)． 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°． 3、等腰三角形的判定定理 两个角相等的三角形是等腰三角形． 4、等腰三角形判定定理的推论 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 5、直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．6、平行四边形的性质定理 定理1：平行四边形的对边相等． 定理2、平行四边形的对角相等． 定理3、平行四边形的对角线互相平分． 7、平行四边形的判定定理 定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 8、三角形中位线的性质定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 二、重难点知识 1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明． 2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点． 三、典型例题讲解 例1、如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC 交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE． 分析： 因为DE=DF＋FE，即结论为BD＋EC=DF＋FE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立． 证明： ∵DE∥BC(已知)， ∴∠3=∠2(两直线平行，内错角相等)． 又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DB=DF(等角对等边)． 同理可证EF=CE．
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。在几何学中，等腰三角形 具有独特的性质和判定定理。本文将介绍等腰三角形的性质定理和判 定定理，并给出其详细证明。 一、等腰三角形的性质定理 性质定理1：等腰三角形的底角相等。 证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。假设∠ABC和 ∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。不妨设∠ABC ＞∠ACB。 由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外 一点沿边AC的延长线上的点。 又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。 根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD- ∠ABD=∠ADC。 而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。 所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。 性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。假设∠BAC和 ∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。不妨设∠BAC ＞∠BCA。 由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外 一点沿边AB的延长线上的点。 又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。 根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC- ∠BCA=∠CDB。 而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。 所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上 的角相等。 性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。 证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。过顶点A作边BC 的垂线，交边BC于点D。连接AD，BD与CD。 首先证明AD是三角形ABC的高。根据性质定理1可知 ∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°， ∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。 接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。因为BD=CD，所以 BD与CD平分∠ABC和∠ACB。根据性质定理2可知∠BDA=∠CDA，即BD与CD分别是△ABC的角平分线。
第05讲等腰三角形的性质与判定 【学习目标】 1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。 【基础知识】 一．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 二．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 三．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
等腰三角形性质及判定 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如下图，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角〔或直角〕，但顶角可为钝角〔或直角〕. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ︒-∠ . 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等〔简称"等边对等角〞〕． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合〔简称"三线合一〞〕． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高〔顶角平分线或底边上的中线〕所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边也相等〔简称"等角对等边〞〕. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】 类型一、等腰三角形中有关度数的计算题 例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数. 举一反三： 1.：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数． 2.如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求三角形各角的度数.
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明最新版 1.等腰三角形的底角和顶角相等。即当一个三角形的两边相等时，它们所夹的角也必相等。 证明：设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。取点D在边BC上，使得AD是三角形的高。由于BD=CD（等腰三角形的性质），且AD=AD（公共边），因此根据SSS（边-边-边）三角形相似判定，可知三角形ABD与三角形ACD全等。所以，∠ABD=∠ACD。由于AD是高，所以∠BAD=∠CAD。因此，等腰三角形的底角和顶角相等。 2.等腰三角形的底角的平分线也是等腰三角形的高。即当一个三角形的两边相等时，以底边的中点为顶点，将底角平分得到的线段为高。 证明：设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。取BD为底边AC的中点，连接AD。由于BD=AD（边上的中线），且AB=AC（等腰三角形的性质），根据SAS（边-角-边）相似判定，可知三角形ABD与三角形ACD全等。因此，∠ABD=∠ACD。而BD是底角∠BAC的平分线，故由平分角的性质可知∠BAD=∠CAD。所以，等腰三角形的底角的平分线也是等腰三角形的高。 3.等腰三角形的高线也是等腰三角形的角平分线。即当一个三角形的两边相等时，以顶点为顶点，高线所产生的角也将其底边平分。 证明：设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。取AD为高线，连接BD和CD。由于BD=CD（等腰三角形的性质），且∠ABD=∠ACD（等腰三角形的性质），根据AAS（角-边-角）相似判断，可知三角形ABD与三角形ACD全等。所以，∠BAD=∠CAV。而AD是底边∠BAC的平分线，因此等腰三角形的高线也是等腰三角形的角平分线。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明 一、性质定理： 1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两 个角）是相等的。证明如下： 设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。 由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。再由三角形的 内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。 将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。 化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得 ∠A=90°-∠B/2 同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得 ∠A=90°-∠C/2 将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即 ∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。 2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角 平分线重合。证明如下： 设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是 ∠B和∠C的平分线。 由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。
假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。根据∠BCD和 ∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。 而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。代入已知条件，得到 2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。 由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。 从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。 二、判定定理： 1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。证明如下： 设三角形ABC中，∠B=∠C，要证明AB=AC。 假设AB≠AC，根据不等式性质，我们可以得出，若AB>AC，则 ∠B>∠C；若AB 等腰三角形知识点归纳 （一）等腰三角形的性质 1、有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2、定理及推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1、有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。 3、等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，视具体情况而定。 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ 一. 本周教学内容： 等腰三角形的性质和断定 二. 教学目的： 〔一〕知识与技能： 〔1〕掌握等腰三角形的性质定理和断定定理，并会灵敏运用。 〔2〕能用上述结论进展分析与说理，进展初步的逻辑思维训练，形成一定的推理才能。〔二〕情感态度与价值观： 通过等腰三角形性质定理和断定定理的证明表达数学的应用价值。 三. 重点、难点： 重点是等腰三角形的性质定理和断定定理 难点是利用定理解决实际问题 四. 教学过程： 〔一〕知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 〔1〕文字语言：等腰三角形的两个底角相等〔简称“等边对等角〞〕 〔2〕符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C 〔3〕证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD〔SSS〕 ∴∠B=∠C〔全等三角形对应角相等〕 〔4〕定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2 〔1〕文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合〔简称“三线合一〞〕 〔2〕符号语言： ∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC ∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2 BD=DC AD⊥BC 〔3〕定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据详细情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条〞。 知识3：等腰三角形的断定定理 〔1〕文字语言：假如一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简写为“等角对等边〞〕 〔2〕符号语言：在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC 〔3〕证明：过A作AD⊥BC于D，那么∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD 〔AAS〕 ∴AB=AC 〔4〕定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。 说明：①本定理的证明还有其他证明方法〔如作顶角的平分线〕。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。 【典型例题分析】 根底知识应用题： 例1. 如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。 解：∵AP=PQ=AQ〔〕 ∴△APQ是等边三角形〔等边三角形的定义〕 ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°〔等边三角形的性质〕 ∵AP=BP〔〕 ∴∠PBA=∠PAB〔等边对等角〕 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30° 同理∠QAC=30° ∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120° 一. 本周教学内容： 等腰三角形的性质和判定 二. 教学目标： （一）知识与技能： （1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活使用。 （2）能用上述结论实行分析与说理，实行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理水平。（二）情感态度与价值观： 通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明表达数学的应用价值。 三. 重点、难点： 重点是等腰三角形的性质定理和判定定理 难点是利用定理解决实际问题 四. 教学过程： （一）知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等） （4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2 （1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言： ∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC ∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2 BD=DC AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理 （1）文字语言：假如一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”） （2）符号语言：在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。 说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。 【典型例题分析】 基础知识应用题： 例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。 解：∵AP=PQ=AQ（已知） ∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义） ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） ∵AP=BP（已知） ∴∠PBA=∠PAB（等边对等角） 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30° 同理∠QAC=30° 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明 在生活、工作和学习中，许多人都写过证明吧，证明是具有证明特定事件效力的文件。我们该怎么拟定证明呢？下面是小编整理的等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明，希望能够帮助到大家。 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明1 教学目标 1、掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。 教学重点 等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。 教学难点 能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。 教学方法 教学后记 教学内容及过程 教师活动学生活动 一、定理：一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。 2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗？组织学生交流自己的想法。渗透分类讨论的思维方法。 3．关注学生得出证明思路的过程，讲评。讲解定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 二、一种特殊直角三角形的性质 1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：能拼成一个怎样的三角形？能否拼出一个等边三角形？并说明理由。 2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。 4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。 5．讲解例题，应用定理。 6．布置学生做练习。 练习：课本随堂练习1 三、课堂小结： 通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？ 四、作业：同步练习 板书设计： 1．积极地自主探索、思考等腰三角形成为等边三角形的条件。可能会从边和角两个角度给出答案。 2．积极思考，通过老师的点拨，分类讨论当这个角分别是底角和顶角的情况。 3．认真听讲，体会分类讨论的数学思维方法，理解定理。 1．积极动手操作，并很快得到结果：可以拼出等边三角形。 2．在拼摆的基础上继续探索，得出结论。并在探索的过程中得到证明的思路。 3．认真听讲，体会从探索和尝试中得到结论的过程和证明方法的步骤，掌握定理。 4．很有兴趣地折叠纸片，体会定理的应用。 5．听讲，体会定理的应用。 6．认真做练习。 （学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理） 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明2 等腰三角形的性质与判定 知识总结归纳： （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 E 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ 等腰三角形的性质定理和判定定理 一. 本周教学内容： 等腰三角形的性质和判定 二. 教学目标： （一）知识与技能： （1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。 （2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观： 通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。 三. 重点、难点： 重点是等腰三角形的性质定理和判定定理 难点是利用定理解决实际问题 四. 教学过程： （一）知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C 基础知识应用题： 例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。 解：∵AP=PQ=AQ（已知） ∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） ∵AP=BP（已知） ∴∠PBA=∠PAB（等边对等角） 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30° 同理∠QAC=30° ∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120° 解答此类题的步骤如下： （1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。 （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。 例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。 求证：△DEF是等腰三角形。 专题04 等腰三角形的性质及判定 模块一：知识点剖析 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如下图，在△ABC中，AB＝AC，那么它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角． 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角〔或直角〕，但顶角可为钝角〔或直角〕. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180°−∠A . 2 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等〔简称“等边对等角〞〕． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合〔简称“三线合一〞〕． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高〔顶角平分线或底边上的中线〕所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简称“等角对等边〞〕. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 模块二：强化提高培训 一、单项选择题〔共12小题〕 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF ∥AB交AE的延长线于点F，那么DF的长为〔〕 A．4.5B．5C．5.5D．6 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°， ∵AE是∠BAD的角平分线， 一【1】. 本周教学内容： 等腰三角形的性质和判定 二. 教学目标： （一）知识与技能： （1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。 （2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观： 通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。 三. 重点、难点： 重点是等腰三角形的性质定理和判定定理 难点是利用定理解决实际问题 四. 教学过程： （一）知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等） （4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2 （1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言： ∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC ∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2 BD=DC AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理 （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”） （2）符号语言：在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。 说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。 【典型例题分析】 基础知识应用题： 例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。 解：∵AP=PQ=AQ（已知） ∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义） ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） ∵AP=BP（已知） ∴∠PBA=∠PAB（等边对等角） 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30°等腰三角形知识点归纳
等腰三角形的性质定理和判定定理
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专题04等腰三角形的性质及判定(精讲精练)(解析版)
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