第四章图形的认识与三角形第十五讲图形初步及相交线、平行线【基础知识回顾】一、直线、射线、线段线段公理：直线公理：【名师提醒：一条直线上有n个点，则这条直线上存在条线段】二、角1、定义：有公共端点的两条组成的图形叫做角，角也可以看做是一条绕它的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形【名师提醒：角的表示方法：可以用三个大写字母表示，如：∠AOB，也可用一个大写字母，如∠A表示，或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠α等，注意善于选择合适、简洁的方法表示角】2、角的分类：角按照大小可分为：周角、、锐角等。
其中1周角= 度= 平角直角1度= 分1分= 秒【名师提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针每分转动度，分针每分转动度】3、角的平分线一条射线把一个角分成的角，这条叫做这个角的平分线【名师提醒：有公共顶点的n条射线，一共可形成个小于平角的角】1、互为余角互为补角①互为余角：若∠1+∠2=则称∠1与∠2互为余角②互为补角：若∠1+∠2=则称∠1与∠2互为补角3性质：同角或等角的余角，同角或等角的补角【名师提醒：1、互补和互余是指两个角的关系2、一个锐角的补角比它的余角大度】三、相交线1、对顶角及其性质：对顶角和邻补角：两条直线相交所成的四个角中如图：对顶角有邻补角有对顶角性质：2、垂线及其性质互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的。
性质：1、过一点与已知直线垂直2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短，（简称：）【名师提醒：注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：2、点到直线的距离是指3、两平行线间的距离是指】四、平行线：1、三线八角：如图：两条直线AB与CD被第三条直线EF所截，构成八个角其中同位角有 对，分别是 ，内错角有 对，分别是 同旁内角有 对，分别是2、平行线的定义：在同一平面内 的两条直线叫平行线3、平行公理：经过已知直线外一点 条直线与已知直线平行4、平行线的性质和判定两直线平行 ————→【名师提醒：平行线的常用判定方法还有两条：1、平行于同一直线的两条直线互相 2、 同一直线的两条直线互相平行】 五、 命题、公理、定理和证明1、命题： 的语句叫命题，一个命题由 和 两部分构成，可分为 和 两类【名师提醒：1、判断一个命题是真命题要能给出 判断一个命题是假命题可以举出2、任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理 有它的逆定理】 【重点考点例析】1.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________2.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= ．3.下列命题是真命题的有（ ）①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； ④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.如图，直线l 1∥l 2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ） A ．70° B ．80° C ．65° D ．60° 5.把15°30′化成度的形式，则15°30′= 度．6.如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= ．7.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、l 3上．若∠1=70°，∠2=50°，相等 同旁内角 性质 判定相等则∠ABC= 度．8.如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= ．9.如图，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．10.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．11.已知：如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F．∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ACB．第十六讲三角形与全等三角形一：【知识梳理】1.三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：（2）三角形的中线：（3）三角形的高： (4) 三角形的中位线：2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．一个外角等于3.三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形4.中位线性质定理：三角形中位线：12 AD BD DE BC AE BEDE BC⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥5.全等三角形的性质：全等三角形的判定：【重点考点例析】1.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．82.如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．E DA3.如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就得△ABC≌△DEF．4.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°5.如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．6.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．第十七讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是2、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
第二节三角形的基本概念及全等三角形,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答17 全等三角形全等三角形的判定及其性质8 82015解答17 三角形中位线利用三角形的中位线的性质得条件，证三角形全等8 82014选择 5 全等三角形以等腰梯形为背景，判断三角形全等3填空15 三角形内外角关系利用三角形的内外角关系求角3 62013选择 5 三角形中位线以测量池塘为背景，利用三角形中位线的性质得到两点间的距离3 32012解答19 全等三角形以等腰梯形为背景证三角形全等10填空11 三角形中位线以平行四边形为背景，利用三角形中位线的性质求线段的长度3 132011选择 2 三角形内外角的关系利用三角形的外角与内角的关系比较大小3 3命题规律纵观怀化七年中考，“三角形的基本概念及全等三角形”这一考点除2010年没考查外，其余各年都有考查，基本概念考查层次偏低，全等三角形考查中等，其中，三角形内外角关系考查2次，三角形中位线考查3次，全等三角形考查3次．命题预测预计2017年怀化中考会以三角形中的重要线段，三角形的内外角关系为主要考查对象，全等三角形的判定和性质也会在解答题中考查.,怀化七年中考真题及模拟)三角形的内外角关系(2次)1．(2011怀化中考)如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B) A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1(第1题图)(第2题图)2．(2014怀化中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC到D，则∠ACD＝__80°__．三角形的中位线(3次)3．(2013怀化中考)如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14 m，则A，B间的距离是( C)A．18 m B．24 m C．28 m D．30 m(第3题图)(第4题图)4．(2012怀化中考)如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝__4__．全等三角形(3次)5．(2014怀化中考)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是( B)A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COBC．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC(第5题图)(第6题图)6．(2016怀化二模)如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上．添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( D)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD7．(2016怀化学业考试指导)一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( C)A．7 B．9 C．12 D．9或128．(2016鹤城模拟)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( D)A．2或4 B．11或13C．11 D．139．(2016芷江模拟)在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D)A．3个B．4个C．5个D．6个10．(2016怀化考试说明)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝5，B C＝3，则BD的长为( D)A．2.5 B．1.5 C．2 D．111．(2012怀化中考)如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连接AE，DE.求证：AE＝DE.证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠B ＝∠C，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE(SAS )，∴AE ＝DE.12．(2016怀化中考)如图，已知AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．证明：(1)在△ADB 和△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )；(2)OA ＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OAB＝∠OBA，∴OA ＝OB.13．(2016怀化一模)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝C F ，∠A ＝∠D，∠B ＝∠C，求证：AB ＝DC.证明：∵BE＝CF ，∴BF ＝CE ，又∵∠A＝∠D，∠B ＝∠C，∴△ABF ≌△DCE ，∴AB ＝DC.14．(2016洪江模拟)已知△ABN 和△ACM 的位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2. 求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 和△A CE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC.又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC，∴∠MDO ＝∠NEO.∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M ＝∠N.考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类锐角三角形直角三角形 钝角三角形两条边相等的三角形 三边相等的三角形 三边互不相等的三角形__等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段四线定义性质图形中线连接一个顶点与它对边中点的线段BD＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°续表角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝12BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定8类型图形已知条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA∠B1＝∠B2，∠C1＝∠C2，A1C1＝A2C2是AASA1B1＝A2B2，是__SAS__∠B 1＝∠B2，B1C1＝B2C2续表直角三角形的判定A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，是__HL__ 【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS找直角→HL或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2015洪江模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间距离的最大值为( )A．5 B．6 C．7 D．10【解析】已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7.【学生解答】C1．(2016岳阳中考)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm 三角形的内角和外角关系【例2】(2016原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( ) A ．50° B ．60° C ．40° D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B ＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【学生解答】A2．(2016乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°，∠ACE ＝60°，则∠A＝( C ) A ．35° B ．95° C ．85° D ．75°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，则OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE ＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∴OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【学生解答】1.253．(2016枣庄中考)如图，△ABC 的面积为6，AC ＝3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是( A )A ．3B ．4C ．5.5D ．10全等三角形的证明及性质【例4】如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA.若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，试探究线段ME 与BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC ，在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD ，又AC ＝BC ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD ，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.4．(2016南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC ，其中正确结论的序号是__①②③__．图形旋转中全等三角形的判定与性质【例5】(2015苏州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE.(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC ＝∠E，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.5．(2016怀化三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF⊥AC，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F.求证：AB ＝BF.提示：证Rt △ABC ≌Rt △FBD 即可．6．(2016淄博中考)如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.求证：(1)AE ＝AF ；(2)BE ＝12(AB ＋AC)．证明：(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF，∠CAD ＝∠AFE，∴∠AEF ＝∠AFE，∴AE ＝AF ；(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G ，∴∠AGC ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE.∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AGC ＝∠ACG，∴AG ＝AC.∵BM＝CM ，EM ∥CG ，∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．。
