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分支定界法分支定界法是指以系统的结构为根据，划分以增强系统的面向特性来提出设计方案和获取满足特性的分析。
它旨在深入讨论系统的面向，思考如何穿越技术障碍，为建设一个系统或程序制定高效的解决方案。
它是一种能够带动系统行为的基础方法论，作为技术贴贴合系统的基础，是软件交互的核心技术。
从理论上讲，分支定界法是一种基于面向对象思想的技术，旨在优化软件开发流程、架构和设计，使得程序的流程更加完善，功能更加完善，可以改善系统的性能和可用性。
通常，分支定界法将系统分成若干个模块，并根据实际需求考虑设计模块之间的联系和交互。
比如，用户按照特定需求进行功能结构划分时，就会把一个软件系统分解成多个模块，每个模块负责实现一些特定功能，不同模块间的联系由定义的接口完成。
分支定界法的实施要求：首先，确认客观事实和设计需求，把客观事实提炼成抽象的需求，对需求进行定义和分解，得到一组架构和结构要素；其次，把要素组合起来划分模块，厘清模块之间的联系，定义模块之间的交互关系；再次，分析模块之间的联系，作出架构和结构选择；最后，根据分析结果制定设计方案，提出满足特性的分析，以便用于实施和交付的项目。
从现代软件开发的角度看，分支定界法是软件开发中最基本的一种方法，也是最高效的方法之一，它有助于提高系统的可维护性，减少设计漏洞，解决软件可扩展性和可重复性方面的问题。
此外，分支定界法有利于改善系统的性能，给系统或软件制定更加合理有效的解决方案，增强系统的安全性、稳定性和可用性，减少单位成本，提高开发效率，从而节约成本，达到预期的服务水平。
因此，分支定界法在系统设计开发中发挥着重要作用，成为现代软件开发流程的核心技术，是企业获取竞争优势的重要手段之一。
但是，分支定界法的有效落实需要充分考虑系统的实际需求和市场行情，充分发挥技术优势，全面提升软件开发效率，才能有效实现长期可持续发展。
分支定界法分支定界法是一种应用于企业决策分析中的技术方法，也是现代管理决策学的重要内容之一。
它不仅对决策分析有重要的理论意义，而且在实践应用方面，它的实用性和有效性也得到了广泛的认可和应用。
它通过把复杂的问题分割成若干个相对独立的子问题，逐步解决问题的方法，使得复杂的问题分析更加容易。
分支定界法的基本思想是为了解决复杂的问题，从而可以将复杂的问题分解成一个个简单的子问题，逐一解决。
它把复杂的问题分解为一系列线性分支变量，具有相似的结构，依次得出最佳解决方案，从而形成技术分析过程和决策过程。
从技术过程来看，应用分支定界法可以充分利用多种信息，全面考虑分析问题，得出一个最优的解决方案。
它利用分支定界单元，把复杂的问题分解为一系列的线性子问题，逐步分析，最终整体得到解决。
它通过不断地分支和定界，从而尽量减少分析人员的心理负担，提高整体决策效率，从而实现最优解决方案的有效追求。
分支定界法也有自己特定的过程，主要包括5个步骤：首先是定义问题，提出可能的解决方案，然后进行计算，同时也会建立一些约束条件，也就是变量的限制条件；其次是开展调查，分析变量的关系，建立线性优化问题的数学模型；第三步是采用分支定界法，通过建立分支定界树来实现分析；第四步是进行结果分析，计算最佳解以及最优解；最后一步是完成评价，根据计算结果，给出最终的解决方案。
分支定界法广泛用于现代企业决策分析中，它能够有效解决企业出现的复杂管理问题，帮助企业制定出最优的管理决策，使企业在竞争市场中脱颖而出。
同时，分支定界法也可以应用在其他复杂的决策问题中，如产品营销、投资决策等，都能取得良好的结果。
总之，分支定界法是一种实用的和有效的技术，在现代管理决策中，它的实用性和有效性都得到了广泛的认可和应用。
以它为基础，需要得到仔细深入的研究，以期能够更好地发挥它的功能和作用，为企业提供更为全面有效的决策参考和支持。
分支定界法分支定界法，也称为分界定义法，是为了确定并将客观事物归类的一种逻辑基础规范。
它是一组文本规范，用于描述和分类客观事物，以及它们之间的关系。
它分析客观事物的共性，从这些共性，弄清楚客观事物以及它们之间的关系，形成分支定义法。
分支定界法最初创造于18世纪的德国，由卡尔文贝因茨（Karl von Bennizs）提出，他的著作 Theorie der classifikation（分类理论）发表于1790年。
他的主要思想是：通过对客观事物的共性的分析，将客观事物归类，并形成一系列的分类方法。
分支定界法一般包括三个层次：主类，亚类，次类。
主要是将客观事物按照一定的共性划分到不同的类别中，然后在每个主类中进行更详细的分析，形成子类，从而将客观事物更细致地分类。
分支定界法有很多优点。
首先，它可以更好地适应新出现的客观事物，以及客观事物可能出现的新情况。
这是因为，分支定界法有着一系列的分类方法，不仅具有某种共性，而且有着不同的子类，这些子类可以更好地形成客观事物之间的关系，并且有利于新类别的形成。
此外，分支定界法还可以帮助人们进行判断。
分界定义法是一种可以把客观事物细致分类的方法，从而可以更好地去判断两个客观事物之间是否有关系，或者相似度如何，从而帮助我们做出判断。
然而，分支定界法也有一定的局限性。
有时，分支定界法所指定的客观事物重叠，或者具有相同的共性，这会降低分类的准确性。
此外，它也会忽略一些客观事物的细微差别，这可能会影响分类的结果。
总之，分支定界法是一种有效的客观事物归类方法。
它可以更好地划分客观事物的共性，也可以更直观地反映客观事物之间的关系，从而有效地把客观事物归类。
此外，它还可以帮助我们做出判断，但它也有一定的局限性，必须在不同的客观事物之间上尽量保持准确性和细微差别。
分支定界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。
2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。
如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。
又称分支定界搜索法。
过程系统综合的一类方法。
该法是将原始问题分解，产生一组子问题。
分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。
如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。
用该法寻求整数最优解的效率很高。
将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。
分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。
分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有子结点；2 ．在产生的子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
分支定界法本质还是一种枚举法，但是是隐枚举法。
它是整数规划领域中非常重要的一类算法思想。
是很多重要算法的源头。
它能解决的实际问题很多，最著名的一个应该就是求解背包问题。
定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。
如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。
否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。
第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。
这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。
否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。
另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。
第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。
对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。
第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。
分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。
该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。
使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。
接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。
甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。
甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。
每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。
请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。
(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。
对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。
如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。
然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。
搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。
若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。
其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。
整数线性规划之分支定界法摘要最优化理论和方法是在上世纪 40 年代末发展成为一门独立的学科。
1947年，Dantaig 首先提出求解一般线性规划问题的方法，即单纯形算法，随后随着工业革命、计算机技术的巨大发展，以及信息革命的不断深化，到现在的几十年时间里，它有了很快的发展。
目前，求解各种最优化问题的理论研究发展迅速，例如线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等，各种新的方法也不断涌现，并且在军事、经济、科学技术等方面应用广泛，成为一门十分活跃的学科。
整数规划（integer programming）是一类要求要求部分或全部决策变量取整数值的数学规划，实际问题中有很多决策变量是必须取整数的。
本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。
关键词：整数线性规划；分支定界法；matlb程序；1．引言1.1优化问题发展现状最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所讨论的问题是怎样在众多的方案中找到一个最优的方案.例如，在工程设计中，选择怎样的设计参数，才能使设计方案既满足要求又能降低成本；在资源分配中，资源有限时怎样分配，才能使分配方案既可以满足各方面的要求，又可以获得最多的收益；在生产计划安排中，怎样设计生产方案才能提高产值和利润；在军事指挥中，确定怎样的最佳作战方案，才能使自己的损失最小，伤敌最多，取得战争的胜利；在我们的生活中，诸如此类问题，到处可见.最优化作为数学的一个分支，为这些问题的解决提供了一些理论基础和求解方法.最优化是个古老的课题.长期以来，人们一直对最优化问题进行着探讨和研究.在二十世纪四十年代末，Dantzig 提出了单纯形法，有效地解决了线性规划问题，从而最优化成为了一门独立的学科。
目前，有关线性规划方面的理论和算法发展得相当完善,但是关于非线性规划问题的理论和算法还有待进一步的研究，实际应用中还有待进一步的完善。
传统的非线性全局最优化方法只能求出问题的局部最优解，但由于许多问题的局部最优解不一定是全局最优解，使得传统的非线性最优化方法不能直接成功地应用于求解非线性全局最优化问题。
另外，没有一个固定的评判标准来判断得到的局部最优解是否为全局最优解。
随着科学技术的发展和计算机计算能力的提高，最优化理论在最近这几年来得到了迅速的发展，涌现出了许多新的算法, 如打洞函数法,填充函数法，lagrangian 乘子函数方法，信赖域方法，虑子方法等。
本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。
1.2整数线性规划及其数学模型整数规划主要有以下三大类：（1）全整数规划（all integer programming）：所有的决策变量都取整数值，也称为纯整数规划（pure integer programming）；（2）混合整数规划（mixed integer programming）：仅要求一部分决策变量取整数值；（3）0-1规划（zero-one integer programming）：该类问题的决策变量只能取0或1.本文主要讨论的整数线性规划问题模型为：min ..0(1,2,...,)T j j z c xAx b s t x x j n =⎧≤⎪⎪≥⎨⎪=⎪⎩为整数，其中111,...,),...,),(),(,...,)T T T n n ij m n m c c c x x x A a b b b ⨯====（，（2．求解整数线性规划的算法——分支定界法2.1求整数最优解问题的提出对于整数规划的一个数学问题,把它的整数约束条件改为非负约束,得到一个普通线性规划问题,这个过程叫做从原问题ILP 得到它的一个松弛问题LP,说它是“松弛”的,是因为从整数变为实数,条件放宽了许多。
ILP ： min ..0(1,2,...,)T j j z c xAx b s t x x j n =⎧≤⎪⎪≥⎨⎪=⎪⎩为整数，LP ： min ..0,1,2,...,T j z c xAx b s t x j n =≤⎧⎨≥=⎩（）其中111,...,),...,),(),(,...,)T T T n n ij m n m c c c x x x A a b b b ⨯====（，（给定一个整数规划的数字题,一个直观的求解思路是先做出它的松弛问题。
如果松弛问题的最优解中每一个整变量(即分量)的值都满足各自的整数约束,原问题得到解决。
如果松弛问题的最优解中,某个变量的值不是整数,问题就很难解决。
实践表明,求解整数规划是一个很困难的工作。
随着计算机技术的迅猛发展,数学运算软件得到了广泛的使用,如:matlab,mathematica,maple 等。
计算机已经成为应用数学软件求解问题的主要运算工具。
2.2分支定界法分支定界算法是20世纪60年代初由Land 和Doig 提出，并由Dakin 修正，可用于求解纯整数或混合整数线性规划问题。
对于一个纯整数规划ILP 问题,求解它的一个基本思路是分支定界法,正如它的名字那样,主要由“分支”和“定界”组成。
首先讨论LP 与ILP 解的相关问题：“LP 的解”。
可能有以下3种情况:(1)LP 没有可行解,这时ILP 也没有可行解,则停止；(2)LP 有最优解,并且解变量都是整数,因而它也是ILP 的最优解,则停止;(3)LP 有最优解,但不符合ILP 中的整数条件,此时记它的目标函数值为0z ,这时若记z 为ILP 的最优目标函数值,则必有0z z ≥其次,给出算法的步骤:第一步——分支:在LP 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量j x ,设其值为j l ,[j l ]是不超过j l 的最大整数。
构造两个约束条件:j x ≤[j l ]和j x ≥[j l ]+1,将两个条件分别加入其松弛问题LP,将LP 分成两个后继问题LP1和LP2。
不考虑整数条件要求,求解LP1和LP2。
根据需要各后继问题可用类似的方法进行分支,如此不断继续,直到获得整数规划的最优解,这就是所谓的“分支”。
第二步——定界:以每个后继子问题为一分支并标明求解的结果,与其他问题的解的结果一道,找出最优目标函数值最小者作为新的下界,替换0z ,从已符合整数条件的各分支中,找出目标函数值为最小者作为新的上界*z ,即有*0z z z ≥≥。
第三步——比较与剪支:各分支的最优目标函数中若有大于*z 者,则剪掉这一支;若小于*z ,且不符合整数条件,则重复第一步骤,一直到最后得到最优目标函数值*z z =为止,从而得最优整数解*,1,2,...,.j x j n =“分支”为整数规划最优解的出现创造了条件,而“定界”则可以提高搜索的效率。
经验表明:在可能的情况下根据对实际问题的了解,实现选择一个合理的“界限”,可以提高分支定界法的搜索效率 2.3实例例1求解下列整数规划123123123min 73423835..0(1,2,3)jjz x x x x x x x x x s t x x j =++++≥⎧⎪++≥⎪⎨≥⎪⎪=⎩为整数， 解：设原整数规划问题为ILP, 其松弛问题为LP ：123123123min 734238..350,1,2,3jz x x x x x x s t x x x x j =++⎧++≥⎪++≥⎨⎪≥=⎩求解线性规划问题LP 得:(0)0(0.4,3.8,0);14.2x z ==按条件和将问题LP 分解成子问题LP1和LP2并赋它们下界为14.2 ①求线性规划子问题LP1得：(1)1(0.5,3,0.5);14.5x z ==；求线性规划子问题LP 得：(2)2143(,4,0);33x z ==；{}122min ,z z z =；因(2)x 中113x =，因此以条件10x =和11x ≥将LP2分成两个子问题LP3和LP4并赋它们下界为14.33 ②求线性规划子问题LP3得：(3)3(0,5,0);15x z ==；求线性规划子问题LP4得：(4)4(1,4,0);19x z ==；因(3)x 和(4)x 是原整数规划问题的可行解且{}343min ,z z z =，所以令315z =为上界。
再将LP1分支，因(1)x 中10.5x =，因此以条件10x =和11x ≥将LP1分成两个子问题LP5和LP6并赋它们下界为14.33③求线性规划子问题LP5得：(5)5(0,3,2);17x z ==；求线性规划子问题LP6得：(6)6749(1,0,);33x z ==；由于5z ，6z >315z =,所以LP5和LP6都没有继续分支求解的必要,至此求得最优解为*3(0,5,0)x x ==，,最优目标函数值为*315z z ==。
3．matlab 程序实现下面给出整数线性规划分支定界法的matlab 程序ILp1.m.function [x,y]=ILp1(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options)global upper opt c x0 A b Aeqbeq ID options;if nargin<10,options=optimset({});options.Display='off';rgeScale='off';endif nargin<9,id=ones(size(f));endif nargin<8,x=[];endif nargin<7 lisempty(ub),ub=inf*ones(size(f));endif nargin<6 lisempty(lb),lb=zeros(size(f));endif nargin<5,heq=[];endif nargin<4,Geq=[];endupper=inf;c=f;x0=x;A=G;b=h;Aeq=Geq;beq=heq;ID=id;ftemp=ILP(lb(:),ub(:));x=opt;y=upper;%下面是子函数function ftemp=ILP(vlb,vub)global upper opt c x0 A b Aeqbeq ID options;[x,ftemp,how]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options);if how<=0return;end;if ftemp- upper>0.00005 %in order to avoid errorreturn;end;if max(abs(x*ID-round(x*ID)))<0.00005if upper- ftemp>0.00005 %in order to avoid erroropt=x';upper=ftemp;return;elseopt=[opt;x'];return;end;end;notintx=find(abs(x- round(x))>=0.00005); %in order to avoid er-rorintx=fix(x);tempvlb=vlb;tempvub=vub;if vub(notintx(1,1),1)>=intx(notintx(1,1),1)+1;tempvlb(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1)+1;ftemp=ILP(tempvlb,vub);end;if vlb(notintx(1,1),1)<=intx(notintx(1,1),1)tempvub(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1);ftemp=ILP(vlb,tempvub);end;对例1的matlab实现c=[7,3,4];a=[-1,-2,-3;-3,-1,-1];b=[-8;-5];[x,z]=ILp1(c,a,b,[],[],[0;0;0],[inf;inf;inf])输出结果x =0 5.0000 0z =15.0000这与之前讨论的结果一致，说明该算法的正确性。
