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第4章 整数规划

第4章 整数规划

第4章 整数规划判断:用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界；指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作用法求解；效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）任一常数，指派问题最优解不会受到影响； 匈牙利法只能用于平衡分配问题；对于极大化问题，匈牙利法不能直接求解。

整数规划问题解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数。

用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。

用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝。

分配问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。

分配问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。

分配问题域运输问题的数学模型结构形式十分相似，故也可以用表上作业法求解。

隐枚举法也可以用来求解分配问题简答试述分枝定界法求解问题的主要思想。

试述隐枚举法的步骤。

试讲述割平面方法的基本原理. 试例举三种应该剪枝的情况。

计算题分枝定界法用分枝定界法求解下列整数规划问题12max Z x x =+1212129511414123,x x x x x x +≤-+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 32Z x x =+121212231429,x x x x x x +≤+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 2010Z x x =+1232312312324434323,,x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 79Z x x =+121212136735,x x x x x x x +≤+≤≥－0，且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题123max 33Z x x x =++123231231231324432323,,,x x x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0，且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题：1212121212232478188..3219,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题1212121212250..6221,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312121225231050..7228,0,MaxZ x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312341234345272222..0,1,2,3,4,5,j MaxZ x x x x x x x x x x x s t x j x x =-+-⎧-+-+=⎪⎪⎪-++=⎨⎪≥=⎪⎪⎩为整数用分枝定界法求解下列整数规划模型12max 23z x x =+121257354936x x x x +≤+≤12,0x x ≥且为整数有如下整数规划问题12max z x x =+12129511414123x x x x +≤-+≤12,0x x ≥且为整数试用分枝定界法求其最优解。

运筹学 第五章 整数规划PPT课件

运筹学 第五章 整数规划PPT课件

x 32
x 42
400
x 13
x 23
x 33
x 43
300
x 14 x 24 x 34 x 44 1 5 0
s
.t
x 11 x 21
x 12 x 22
x 13 x 23
x 14 x 24
400 600
x
31
x 32
x 33
x 34
200 y3
x 41 x 42 x 43 x 44 2 0 0 y 4
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14 x1 9 x2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0且 为 整 数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）
max Z x 1 x 2
14
x1 6x
1
9x2 3x
2
51 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
,
x2
0
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。

整数规划 割平面法 分枝定界法

整数规划 割平面法 分枝定界法
-x1+x2≤1 3x1+x2≤4 x1,x2≥0
用图解法求得可行域D及最优解点A，见下图：
x2
A（3/4，7/4） 由标准化的约束方程组可得
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
下面以实例来说明算法的步骤。
例2 求解下面整数规划
x2
maxZ=40x1+90x2
⑴8
9x1+ 7x2≤56 7x1+20x2≤70 xx11,,xx22≥0整数
⑵
⑶ ⑷
4
⑸
解：先不考虑条件⑸，求解相 0
应的线性规划问题L，得最优解
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个
整个分枝定界过程如下图所示：
问题L
Z0=356 x1=4.81x2=1.82
Z 0,Z 356
x1≤4
问题L1 Z1=349 x1=4.00，x2=2.10
x2≤2 问题L3 Z3=340 x1=4.00 x2=2.00
Z※=340
x2≥3
问题L4 Z4=327 x1=1.42 x2=3.00
×
x1≥5
运筹学
整数线性规划
§1 整数规划问题
在前面的线性规划问题中，它的解都假设为可以取连续数值。 但是在许多实际问题中，决策变量仅仅取整数值时才有意义，比如 变量表示的是工人的人数、机器的台数、货物的箱数、装货的车皮 数等等。为了满足整数解的要求，比较自然的简便方法似乎就是把 用线性规划方法所求得的非整数解进行“四舍五入”取整或“舍尾 取整”处理。当然，这样做有时确实也是有效的，可以取得与整数 最优解相近的可行整数解，因此它是实际工作中经常采用的方法。 但是实际问题中并不都是如此，有时这样处理得到的解可能不是原 问题的可行解，有的虽是原问题的可行解，但却不是整数最优解。 （详见后面例1）。因而有必要专门研究只取整数解的线性规划的 解法问题。

运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)

运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
一、 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。

分支定界法详解

分支定界法详解

1、概念：分支定界算法(Branch and bound，简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着一颗搜索树进行的，我们将原问题看作搜索树的根节点，从这里出发，分支的含义就是将大的问题分割成小的问题。

大问题可以看成是搜索树的父节点，那么从大问题分割出来的小问题就是父节点的子节点了。

分支的过程就是不断给树增加子节点的过程。

而定界就是在分支的过程中检查子问题的上下界，如果子问题不能产生一比当前最优解还要优的解，那么砍掉这一支。

直到所有子问题都不能产生一个更优的解时，算法结束。

2、例子：用BB算法求解下面的整数规划模型因为求解的是最大化问题，我们不妨设当前的最优解BestV为-INF，表示负无穷。

1.首先从主问题分出两支子问题：通过线性松弛求得两个子问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。

由于Z_LP1 和Z_LP2都大于BestV=-INF，说明这两支有搞头，继续往下。

2.3.从节点1和节点2两个子问题再次分支，得到如下结果：子问题3已经不可行，无需再理。

子问题4通过线性松弛得到最优解为10，刚好也符合原问题0的所有约束，在该支找到一个可行解，更新BestV = 10。

子问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10，因此子问题5还有戏，待下一次分支。

而子问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10，那么从该支下去找到的解也不会变得更好，所以剪掉！4.对节点5进行分支，得到：子问题7不可行，无需再理。

子问题8得到一个满足原问题0所有约束的解，但是目标值为4<当前的BestV=10，所以不更新BestV，同时该支下去也不能得到更好的解了。

6.此时，所有的分支遍历都完成，我们最终找到了最优解。

3、算法过程（以最小化问题minimize f(x)为例）1、使用启发式，找到优化问题的解决方案xh。

求解整数规划问题的分支定界法

求解整数规划问题的分支定界法

求解整数规划问题的分支定界法整数规划问题是运筹学和数学中非常重要的一个分支，它本身又有着非常广泛的应用，例如资源分配、制造流程规划等等。

但是，由于整数规划问题的复杂性，导致绝大部分问题都是NP困难问题，即使运用最先进的算法，也很难找到一个高效的解决方案。

然而，分支定界法就是其中一种能够求解整数规划问题的有效方法。

一、什么是整数规划整数规划是指在线性规划（LP）问题的基础上，需要将变量的取值限制为整数类型（不是实数类型），其数学描述如下所示：$$\begin{aligned} \max \ \ & c^Tx \\s.t. \ \ & Ax \leq b\\& x_i\in\mathbb{Z} \ \ (i=1,2,...,n)\end{aligned}$$其中$c,x, b$以及 $A$分别是问题中的参数，表示目标函数的系数、变量向量、约束条件以及约束矩阵。

二、什么是分支定界法分支定界法，又被称为分支剪枝法，是求解整数规划问题的一个常用方法。

它的核心思想在于，将整数规划问题分解为多个子问题，并通过将问题空间不断地分割，不断缩小问题的范围，从而找到最优解。

分支定界法大致分为以下几个步骤：（1）确定目标函数与约束条件，即整数规划问题的数学模型；（2）运用松弛法将整数规划问题转化为线性规划问题，从而求解该线性规划问题及其最优解；（3）根据最优解的情况，判断该最优解是否为整数解，如果不是，则选择其中一个变量进行分支（通常是将其约束为下取整和上取整）；（4）根据变量的分支，得到两个新的整数规划问题，需要分别对其进行求解；（5）执行步骤（3）和（4），直到分支出的所有问题均已求解完毕，即得到原问题的最优解。

三、分支定界法的优缺点分支定界法虽然是一种有效的求解整数规划问题的方法，但是也有其优点和缺点。

优点：（1）能够精确求解整数规划问题。

（2）适用于各种规模的整数规划问题，虽然时间复杂度大，但是运作效率相对较高。

第5章整数规划第1,2节 运筹学ppt


X(0) (b1,b2 , ,br, ,bm,0, ,0)T
目标函数Z 最 (0.其 ) 优b 中 i(值 i1,为 2, ,m)不全为
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上界，
记为 ＝ZZ(0) 。再用观察法找出一个整数可行解 X′，
并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′,
无 B6可: 行解
z5 308
2
1
B5
01234567
分支定界的全过程：
x1 4
B : x1 4 .81 x 2 1 .82
z0,z 356
z 0 356
x1 5
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z1 349
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
z 0 z 349
——混合整数规划（Mixed Interger Programming,MIP） 全部决策变量取0或1的规划问题:
——0-1规划（Binary Interger Programming,BIP） 整数规划中不考虑整数条件所对应的规划问题:
——该整数规划的松弛问题
整数线性规划一般形式：
n
max(min) z c j x j j 1
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
x1 , x 2 0
max Z x1 x 2
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
(1) (2)
x1 , x 2 0
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
⑴
3 2

整数规划


i=1 j=1
整数规划的特点及应用
例1 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此 外由于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定
7
项目3和4中至少选择一个；
项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
14
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
标函数值最大，即为Z=4。
3
x1
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法
15
割平面法
匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。 新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当 原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界。 3) 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于 （max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数 解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优 解。
整数规划的特点及应用
min z =
6
邋
4
4
c ij x ij + [1200y 1 + 1500y 2 ]
ì x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 350 ï ï ï ï x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 400 ï ï ï ï x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 300 ï ï ï x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 150 ï ï ï ï ï x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 400 s .t . í ï x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 600 ï ï ï x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 200y 1 ï ï ï ï x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 200y 2 ï ï ï x ij ? 0 (i , j 1, 2, 3, 4) ï ï ï ï y = 0,1 (i = 1, 2) ï ï î i

运筹学整数规划PPT课件

2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。

整数规划 PPT课件


设xj为列车上装载pj的数量，则xj必为非负整数，根据该n货a船jx j最大b 可承载b吨货
物可知所有集装箱的重量之和必须b，故有约束条件：
j1 n
f
cjxj
j1
由对每个j种货物收费为cj，可知载货的总收入为：
n
该例的目标即使得目标函数f最m大ax化。f 综合i 1上cj述x j 分析可得如下整数规划问题：
第11页/共82页
求解整数规划的理论基础
• 利用分解技术求解整数规划中的几个概念
• 分解
对于整数规划问题P，令F (P)表示P的m 可行域。对问题 P的子问题 P1, …, Pm，若满足下述条件： i 1 F(Pi ) F(P)
F(Pi ) F(Pj )
(1 i m,1 j m, i j)
则称P问题被分解成为子问题P1, …, Pm之和，最常用的方法就是两分法，例如若xj是P的0-1变量， 则问题P可以按照条件xj=0和xj=1分解成两个问题之和。
• 求解思路 • 由上述分析可知，舍入法一般是不可取的，当然如果对应线性规划的最优解恰好满足整数要求，则该 解也是整数规划的最优解，那么何时才能满足此要求呢？我们直接给出一个结论： 假设由整数规划问题除去整数要求之后得到的线性规划标准型中，等式约束个数等于决策变量个 数(m=n)，则此时的等式约束构成一个线性方程组Ax=b，如果det(A) = 1或-1，则解x一定是整数 向量，当然这种情况在解决实际问题的过程中一般还是比较少见的。 • 对于整数规划问题的解法，一般有利用分解技术的算法和不利用分解技术的算法 • 利用分解技术的算法有分枝定界法和针对0-1规划的隐枚举法 • 不利用分解技术的算法为割平面法和群论方法 • 针对特定的问题还有特定的简化方法，例如求解分派问题的匈牙利方法，等等。
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