函数极限及运算法则
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微积分2.3 函数极限的性质及运算法则
x→ A x→ X
lim f [ g ( x ) ] =
x→ X
令g ( x ) = y
lim f ( y ) = B .
y→ A
变量替换法 这一性质是用变量替换求极限的理论基础
例
证明: lim 证明: f ( x ) = 0 的充要条件是 lim f ( x ) = 0.
x→ X x→ X
必要性: 证明 必要性: 变量替换求极限
lim f ( x )
x→ X →
y = f ( x)
lim y = 0,
y →0
充分性: 充分Leabharlann :由于 f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x )
根据夹逼定理可得 lim f ( x ) = 0.
x→ X
如果存在求出其值: 例 判别下列极限是否存在 ,如果存在求出其值: (1) lim 2 ; ( 2) lim e ; ( 3) lim e
x→ X
lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B;
x→ X x→ X
x→ X
lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f ( x ) lim g ( x ) = AB;
x→ X x→ X
lim f ( x ) x→ X f ( x ) A lim (这里要求 B ≠ 0). = = x→ X g( x ) lim g ( x ) B
2x + 7 3 ( 3) lim 3 . x →1 x 1 m key : ;4;1. n
P43/2(1,2)
x3 + ax2 x + 4 2.设lim 有 限 限 l,求 ,l. 有 极 值 a x→ 1 x +1 a = 4,l =10.
lim f [ g ( x ) ] =
x→ X
令g ( x ) = y
lim f ( y ) = B .
y→ A
变量替换法 这一性质是用变量替换求极限的理论基础
例
证明: lim 证明: f ( x ) = 0 的充要条件是 lim f ( x ) = 0.
x→ X x→ X
必要性: 证明 必要性: 变量替换求极限
lim f ( x )
x→ X →
y = f ( x)
lim y = 0,
y →0
充分性: 充分Leabharlann :由于 f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x )
根据夹逼定理可得 lim f ( x ) = 0.
x→ X
如果存在求出其值: 例 判别下列极限是否存在 ,如果存在求出其值: (1) lim 2 ; ( 2) lim e ; ( 3) lim e
x→ X
lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B;
x→ X x→ X
x→ X
lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f ( x ) lim g ( x ) = AB;
x→ X x→ X
lim f ( x ) x→ X f ( x ) A lim (这里要求 B ≠ 0). = = x→ X g( x ) lim g ( x ) B
2x + 7 3 ( 3) lim 3 . x →1 x 1 m key : ;4;1. n
P43/2(1,2)
x3 + ax2 x + 4 2.设lim 有 限 限 l,求 ,l. 有 极 值 a x→ 1 x +1 a = 4,l =10.
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略函数极限是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一个点上的一种趋势或者特性。
计算函数极限可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和行为，有助于我们在实际问题中进行数学建模和分析。
在本文中，我们将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，以及应用这些方法进行问题求解的一些技巧和实例。
一、基本极限1. 常函数极限：对于任何一个常数C，有lim_x→a C = C。
这个极限很容易理解，因为常数C在a点的值就是C，没有任何变化。
2. 一次函数极限：对于一个一次函数f(x) = kx+b (k≠0)，有lim_x→a f(x) = ka+b。
这个极限的求解也比较简单，就是将x代入函数，得到在a点的函数值，也就是k*a+b。
3. 幂函数极限：对于一个幂函数f(x) = x^n (n为正整数)，有lim_x→a f(x) = a^n。
这个极限可以用夹逼定理来证明，也可以通过直接代入公式进行求解。
二、极限的四则运算法则在很多实际问题中，我们需要对函数进行加减乘除等运算，因此需要了解极限的四则运算法则。
这些法则包括：1. 两个函数之和的极限等于两个函数在该点的极限之和。
三、夹逼定理在实际问题中，我们有时会遇到一些复杂的函数，无法直接进行求解，这时候就需要用到夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是，我们可以找到两个比较简单的函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数都可以收敛到某一个极限，然后我们就可以根据夹逼原理，得到我们要求解的函数的极限值。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求解极限的方法，其核心思想是通过对函数求导来得到某一个点的导数，然后再求极限。
如果这个极限存在的话，那么这个极限就是函数在这个点的极限。
具体求解方法如下：1. 当极限的代数式飞涨或者现实复杂时，可以使用该方法求解。
2. 求出极限函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x带入f'(x)求出导数。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
函数极限的运算
1 2 x 1 cos x 1 2 解 : lim lim x 0 x si n x x 0 x x 2
25
例17设
x 2x k lim 4， 求k的 值 。 x 3 x3
2
解:由题意可知，当x→3时，x2-2x+k和x-3是 同阶无穷小．
即 lim( x 2 2 x k ) 0
9
例8
3x 2 x 1 lim 2 x 2 x x 5
3
解 因为当x→∞时，类型为“
大与无穷小的关系，
”型未定式，
且分子中的x指数大于分母中x的指数．根据无穷
2 1 5 2 2 3 2x x 5 0 x x x lim 0 lim 3 x 2 5 x 3 x 2 x 5 3 3 2 3 x x 3x3 2 x 1 所 以 lim 2 x 2 x x 5
12
sin 3x 例 9 lim x 0 x
解:
sin3 x sin 3 x sin3 x 3 lim （ 3 ） 3 lxim lim 0 x 0 x 0 3x x 3x
tan x 例10 lim x 0 x 0 解 这个极限是“0 ”型未定式，且含有三角函 sin x 数tanx，要想用公式，就要化为 的形式． x tan x sin x 1 lim lim( ) 1 x 0 x 0 x x cos x
x 2
x2 所以 lim x2 x 2
5
例4
x3 lim 2 x 3 x 9
解 因为当x→3时，分母、分子的极限都为0，称 为“ 0
0
”型未定式．对于这种类型的极限，常
用消去“零因式”的方法．
数学极限计算公式整理
数学极限计算公式整理在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数在某个点无限接近某个数值或某个函数在自变量趋于无穷大或无穷小时的性质。
计算极限时，我们经常会用到一些常见的公式和技巧。
本文将对数学极限计算中常用的公式进行整理和总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、基本极限公式1. 常数公式：对于任意实数a，有lim(x→a) = a。
这意味着当自变量x趋于常数a时，函数的极限值等于a。
2. 幂函数公式：对于任意正整数n，有lim(x→a) x^n = a^n。
这个公式可以推广到任意实数n。
3. 自然对数的极限公式：lim(x→0) ln(1 + x) = 0。
这个公式经常用于计算一些复杂函数的极限。
二、常见极限公式1. 三角函数极限公式：a) lim(x→0) (sin x) / x = 1。
b) lim(x→0) (1 - cos x) / x = 0。
c) lim(x→∞) sin x / x = 0。
2. 指数函数和对数函数极限公式：a) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
b) lim(x→∞) log(1 + x) / x = 1。
3. 无穷小量的极限公式：a) lim(x→0) sin x / x = 1。
b) lim(x→0) (1 - cos x) / x^2 = 1/2。
三、极限的四则运算法则极限具有四则运算法则，即对于两个函数f(x)和g(x)，在它们的极限存在的情况下，有以下公式：1. lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。
2. lim(x→a) (f(x) * g(x)) = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
3. lim(x→a) (f(x) / g(x)) = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
函数极限运算法则
2x + 3x + 5 例6 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
3 2
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
例7 求
3x 4 − 2 x 2 − 3 lim x→∞ 5x 3 + 3
解：分子分母的最高次 幂为 x 4 , 故可将 分子分母同除以 x 4 . 2 3 3− 2 − 4 4x2 + 5x − 3 x x = 3 = ∞. lim = lim 3 x→0 x→∞ 5 3 2x + 8 0 + 4 x x (极限不存在） .
小结: 小结:当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
a0 b ,当 n = m, m m −1 0 a x + a x + ⋯ + am lim 0 n 1 n −1 = 0, 当 n > m , x→∞ b0 x + b1 x + ⋯ + bn 不存在 ,当 n < m ,
解 ∵ lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
商的法则不能用
又 ∵ lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
4x −1 故 lim 2 = ∞.即极限不存在 x →1 x + 2x − 3
x −1 例4 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 ( 解 x → 1时 , 分子 , 分母的极限都是零 . 型) 0
（2）
x → x0
lim ( f ( x) + g ( x))不确定.
1 1 例如：f ( x) = 1 + , g ( x) = 1 − , x x 则f ( x)与g ( x)在x → 0时极限均不存在， 但是 lim( f ( x) + g ( x)) = 2.
高数1.3 函数极限的性质与运算法则
原式 =
xa
4 2
x a
推广:设 lim f ( x ) C , 且 C 0, 则 lim f ( x ) C .
推论1.4 (函数极限与数列极限之间的关系)
如果 lim f ( x ) A, 则对任意满足 lim xn a,
x a
n
且 xn a, n 1 的数列 { xn }， 有
如果数列 { xn }收敛于A, 则它的任意子数列
也收敛于A. 证 设 { xn } 是 { xn } 的任一子列. k 令
xn f (n), nk g(k )
显然有
n
lim f ( n) A, lim g( k ) .
k
由定理1.17有
k
lim xnk lim f [ g( k )] A.
于是 B A 为无穷小, 与 A B 矛盾. 定理1.10 (局部有界性)
若 lim f ( x )存在, 则 f ( x )在 x0的某空心邻域有界.
x x0
定理1.11 (局部保号性) 1. 设 lim f ( x ) A, 且 A 0, 则 0,
当 x U ( x0 , )时 , f ( x )与 A 同号.
子数列(简称子列).
设在数列 { xn }中, 第一次抽取 xn1 , 第二次在 x n1
后抽取 xn2 , 第三次在 x n2后抽取 x n3 , 无休止地
抽取下去得到子数列
xn1 , xn2， , xnk ,
注意: {nk } 严格单调递增，显然有 nk k .
推论1.3 (收敛数列与其子数列间的关系)
3x 2x 1 例 求 lim 3 ( 型 ) 同除以x的最高次幂 x x 3 x 5
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教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入：
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o
==→∞→lim ,01
lim
.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数
的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授
对于函数极限有如下的运算法则：
限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o
o
x x x x →→=
n x x n x x x f x f o
o
)](lim [)]([lim →→=
这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2
2
x x x +→
例2 求1
1
2lim 231++-→x x x x
例3 求4
16
lim 24--→x x x
分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
4
162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即
可求出函数的极限.
例4 求1
3
3lim 22++-∞→x x x x
分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2
x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *
N k x x C C k
o k
x x x x o
o
∈==→→
)(01lim
,lim *
N k x C C k
x x ∈==∞→∞
→
例5 求1
34
2lim 232+--+∞→x x x x x
分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3
x ，就可以运用法则计算了。
四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）)32(lim 2
1-→
x x ； （2）)132(lim 2
2
+-→x x x
（3）)]3)(12[(lim 4
+-→x x x ； （4）1431
2lim 221-++→x x x x
（5）11lim 21+--→x x x （6）9
6
5lim 223-+-→x x x x
（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5
2lim 32--∞→y y y y
五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限. 六 作业（求下列极限）
（1）)432(lim 3
1++-→x x x （2）35lim 222-+→x x x （3）1
2lim 21++→x x x
x
（4）)1413(lim 20+-+-→x x x x （5）13lim 2423++-→x x x x （6）2452
30233lim x
x x x x x -++→
（7）42lim 22--→x x x （8）11
lim 21-+-→x x x （9）6
23lim 2232--++-→x x x x x x
（10）x m m x x 220)(lim -+→ （11）)1
12(lim 2x
x x +-∞→ （12）1221lim 22-++∞→x x x x
（13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3
526
113lim 221--+-→x x x x x
（16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3
23
203526lim x x x x x x x ----→ （18）
3
23
23526lim x x x x x x x ----∞→ 欢迎您的下载，资料仅供参考！。