人教版数学七年级竞赛教程之乘法公式附答案

高斯()17771855-，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有开创性贡献，他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法19．乘法公式解读课标多项式的形式是多种多样的，两个有一定关联的特殊多项式相乘，结果常常简洁而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特征；2．了解公式的变形与发展；3．灵活运用公式，既能正用、又能逆用，而且还能适当变形或重新组合，综合运用公式； 4．把握公式的几何意义，领悟数形结合的思想．问题解决例1如果正整数x ，y 满足方程2264x y -=，则这样的正整数对(),x y 的个数是______．试一试()()22a b a b a b -=+-，a b +以a b -的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．例2已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-则a b c ++的值等于（ ） A ．9 B ．3 C ．4 D ．5 试一试 由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．例3计算（1）()()()()()2481621212121211++++++ （2）2222004200312004200220042004++ （3）3345.113.945.113.931.2-+⨯ 试一试对于（1），通过对待求式恰当变形，使之符合平方差公式的结构特征；对于（2），用字母表示数，将数值计算转化为式的计算．例4老师在黑板上写出三个算式225382-=⨯，229784-=⨯，22153827-=⨯，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯，22157822-=⨯……（1）请你再写出两具有上述规律的版式；（2）用文字写出上述算式反映的规律；（3）证明这个规律的正确性．试一试 由特殊到一般，用字母表示算式反映的规律并证明．例5（1）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值．（2）222651=+，225372=+，26531378⨯=，221378373=+任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？分析 对于（1），由平方和联想到完全平方公式及其逆用，利用配方求出x ，y ，z ，的值：对于（2），从试验入手，然后给出一般情形的证明．解（1）由条件得()()()2221230x y z -+++-=，1x =，2y =-，3z =，原式2=．（2）一般地，设22m a b =+，22n c d =+，则()()2222mn a b c d =++ 22222222a c b d b c a d =+++2222222222a c b d abcd b c abcd a d =+++-+()()22ac bd bc ad =++- 或()()22ac bd bc ad -++智慧数例6整数问题常是饶有兴趣又发人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到一些特殊定义下的新数，并由此产生令人思考的问题，我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如221653=-，则16称为智慧数． 请判断：在自然数列中，从数1起，第2000个智慧是哪个数？分析与解 要确定第2000个智慧数，应先找到智慧数的特征及分布规律．因为()22211k k k +=+-，显然，每个大于4，并且是4的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除2的偶数都不是智慧数．所以，自然数列中最小的智慧数是3，第2个智慧数是5，从5起，依次是5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20；…即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．根据这个结论，我们容易知道：因为2000136661=+⋅+，所以第1999个智慧数是466642668⋅+=，故第2000个智慧数是2669．数学冲浪知识技能广场1．若2220a ab b ++=，则代数式()()()422a a b a b a b +-+-的值为．2．已知()28m n -=，()22m n +=，则22m n +=______．3．已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=______．4．已知222450a b a b ++-+=，则2243a b +-的值为_______．5．已知以a 、b 、x 、y 满足3ax by +=，5ay bx -=，则()()2222a b x y ++的值为______． 6．如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能验证的等式是（ ）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b -=-+C ．()2222a b a ab b +=++ D ．()2a ab a a b +=+ 7．已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．18．已知1x y +=，222x y +=，那么44x y +的值是（ ）A ．4B ．3C ．72D ．529．若a 、b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab +=（ ）A ．8-B ．16-C ．8D ．1610．在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平万的数是（ ）A ．2004B ．2005C ．2006D ．200711．计算（1）()()()()2486717171711+++++ （2）224690123461234512347-⨯ （3）2222005200420052003200520052+- 12． 一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．思维方法天地13．已知()()200720052006a a --=，那么()()2220072005a a -+-=_____． 14．已知4a b -=，240ab c ++=，则a b +=______．15．杨辉三角是一个由数字排列成昀三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示()n a b +（此处0n =，1，2，3，4，5，6）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1()01a b += ()1a b a b +=+ ()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++ ()4432234464a b a a b a b ab b +=++++()554322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++()6654223245651520156a b a a b a b a b a b ab b +=++++++ …… 上图的构成规律你看懂了吗？请你直接写出()7a b +=______．杨辉三角还有另一个特征（1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与______积． （2）由此你可写出511=______．（3）由第_____行可写出811=______．16．如果2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23a b c ++的值是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1817．如果1x y +=，223x y +=，那么33x y +的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．518．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如22420=-，221242=-，222064=-，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？20．已知0a b c ++=，2221a b c ++=（1）求ab bc ca ++的值；（2）求444a b c ++的值．应用探究乐园21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？19乘法公式答案问题解决例1 2对()()64x y x y +-=，0x y x y +>->且x y +与x y -的奇偶性相同，得 322x y x y +=⎧⎨-=⎩，164x y x y +=⎧⎨-=⎩， 则1715x y =⎧⎨=⎩，106x y =⎧⎨=⎩例2B 三等式相加得：()()()2223110a b c -+++-=3a =，1b =-，1c =例3（1）原式()()()()()()248162121212121211=-++++++ ()()()()()22481621212121211=-+++++32211=-+322=（2）设200420003a =，则原式()()222111a a a +=-++()2211221a a +==+ （3）原式()()2245.113.945.145.113.913.945.113.945.113.9-+⨯+-+⨯- ()245.113.9=+3481=例4（1）略（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数（3）设m 、n 为整数，()()()()22212141m n m n m n +-+=-⨯++当m 、n 同奇或同偶，()4m n -是8的倍数，当m 、n 一奇一偶，()41m n ++是8的倍数． 数学冲浪1．0 2．53．1由条件得()210x y +-= 4．75．34原式22222222a x a y b x b y =+++()()22ax by ay bx =++- 6．A7．B 原式()()()22212a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦8．C9．B ()()2220a b a -++=10．C 形如4k 或21k +的数为“智慧数”11．（1）167；（2）24690；（3）1212．设这个自然为x ，由题意得224445n m x x +=⎧-=⎪⎨⎪⎩①②②-① 得2289n m -=，即()()891n m n m +-=⨯从而891n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得4544n m =⎧⎨=⎩ 故245441981x =-=13．4016 原式()()()()220072005220072005a a a a =---+--⎡⎤⎣⎦ 14．0 把4a b =+代入240ab c ++=得()2220b c ++=，2b =-，0C =，242a =-+=，0a b += 15．略（1）11（2）161051（3）9；21435888116．B 由222a b c ab bc ac ++=++， 得()()()222102a b b c a c ⎡⎤-+-+-=⎣⎦，从而2a b c === 17．C ()()22222xy x y x y =+--=-1xy =-，()()33224x y x y x xy y +=+-+=18．C 提示：()()22009741x y x y +-==⨯有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009， 因此对应的方程组为：1,7,41,49,2872009,1,7,41,49,287,20092009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1x y x y +=-----⎧⎪-⎪⎨-=------⎪⎪⎩ 故(),x y 共有12组不同的表示19．（1）22284786=⨯=-，2220124503504502=⨯=- 故28和2012都是神秘数．（2）()()()22222421k k k +-=+，为4的倍数．（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数，但()()2221218n n n +--=，故两个连续奇数的平方差不是神秘数20．（1）()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++， 得12ab bc ca ++=- （2）由12ab bc ca ++=-， 得()214ab bc ca ++=，即()222222124a b b c c a abc a b c +++++= 得22222214a b b c c a ++= 又2221a b c ++=，平方得4442222222221a b c a b b c c a +++++=故()44422222211121242a b c a b b c c a ++=-++=-⨯= 21．（1）()()221411n n n +=++()8|41n n +，故奇数的平方被8除余1（2）假设2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是2222123102006x x x x ++++=…．（其中1x ，2x ，……，10x 是奇数）等式左边被8除余2，而2006被8除余6，矛盾．故2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．设228128002=1x m x n -⎧+=⎪⎨⎪⎩①②，m 、n 均为正整数，且m n >，①-② 得()()4240235m n n n +-==⨯⨯2m ，2n 都是8的倍数，则m 、n 能被4整除，m n +、m n -均能被4整除， 得604m n m n +=⎧⎨-=⎩或2012m n m n +=⎧⎨-=⎩ ∴3228m n =⎧⎨=⎩或164m n =⎧⎨=⎩ 28120904x m =-=，或28120136x m =-=。

高斯 1777 1855 ，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍布数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有创始性贡献，他十分着重数学的应用，并且在对天文学、大地丈量学和磁学的研究中也着重于用数学方法19．乘法公式解读课标多项式的形式是多种多样的，两个有必定关系的特别多项式相乘，结果经常简短而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特别性又有适用性的详细结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特点；2．认识公式的变形与发展；3．灵巧运用公式，既能正用、又能逆用，并且还可以适合变形或从头组合，综合运用公式； 4．掌握公式的几何意义，意会数形联合的思想．问题解决例 1 假如正整数 x ， y 知足方程 x 2 y 264 ，则这样的正整数对x , y 的个数是 ______．试一试 a 2b 2a b a b ， a b 以 a b 的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．例 2 已知 a 、 b 、 c 知足 a 22b 7 ， b 22c 1， c 26a 17 则 ab c 的值等于（）A ． 9B ． 3C ． 4D ． 5试一试 由条件等式联想到完整平方式，解题的切入点是整体考虑． 例 3计算1 2 4 8 16 （ ） 212 12 1212112 1（ 2）200420032220042002 2004200433（ 3）45.1 13.945.1 13.931.2试一试关于（ 1），经过对待求式适合变形，使之切合平方差公式的结构特点；关于（ 2），用字母表示数，将数值计算转变为式的计算．例 4 老师在黑板上写出三个算式52328 2，927 2 8 4 ，152 32 8 27 ，王华接着又写了两个拥有相同规律的算式： 112 52 8 12 ， 152 7 2 8 22（ 1）请你再写出两拥有上述规律的版式； （ 2）用文字写出上述算式反应的规律；（ 3）证明这个规律的正确性．试一试 由特别到一般，用字母表示算式反应的规律并证明．5 1 ）已知 x 2y 2 z 2 2 x 4 y 6z 14 0 ，求 x y z的值．例 （（2）26 52 12，53 7 2 22， 26 53 1378 ， 1378 372 32随意精选此外两个近似 26 、 53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍旧是 两个平方数的和吗？你能说出此中的道理吗？x ， y， z ，的值：关于（ 2），剖析 关于（ 1），由平方和联想到完整平方公式及其逆用， 利用配方求出 从试验下手，而后给出一般情况的证明．解（ 1）由条件得x 22z20 ， x 1 ， y2 ， z3 ，原式 2．1y 23（ 2）一般地，设 m a 2b 2 ， nc 2d 2 ，则 mna 2b 2c 2d 2a 2c 2b 2d 2 b 2c 2 a 2d 2a 2c 2b 2 d 22abcd b 2 c 2 2abcd a 2 d 2ac bd或 ac bd22bc ad22bc ad智慧数例 6 整数问题常是饶有兴趣又发人思虑的，若对整数作一些特别的规定， 就会获得一些特别定义下的新数，并由此产生令人思虑的问题，我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如16 52 32 ，则 16 称为智慧数．请判断：在自然数列中，从数 1起，第 2000 个智慧是哪个数？剖析与解 要确立第 2000 个智慧数，应先找到智慧数的特点及散布规律．由于 2k 24 ，并且是 4 的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除 2的1 k 1 k2 ，明显，每个大于 偶数都不是智慧数．所以， 自然数列中最小的智慧数是 3 ，第 2 个智慧数是 5 ，从 5 起，挨次是 5 ，7 ，8 ；9 ，11 ，12；13 ， 15 ， 16 ； 17 ， 19 ， 20 ； 即按 2 个奇数，一个 4 的倍数，三个一组地挨次摆列下去．依据这个结论，我们简单知道： 由于 2000 1 3 666 1 ，所以第 1999 个智慧数是 4 666 4 2668 ，故第 2000 个智慧数 是 2669 ． 数学冲浪知识技术广场 1．若 a 22ab b20 ，则代数式a a4ba 2b a 2b 的值为．2．已知 m 28， m n 2n2=______． n 2，则 m 23．已知 x 22x 2y1 0 ，则 xy 999=______ ．y4 ．已知 a 2 b 2 2a 4b5 0 ，则 2a 24b 3 的值为 _______．5．已知以 a 、 b 、 x 、 y 知足 ax by 3 ， ay bx 5 ，则 a 2 b 2 x 2 y 2 的值为 ______．6．如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，而后将节余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能考证的等式是（ ）ababA ． a 2 b 2ab a bB ． a 2a 2 2ab b 2bC ． a b 222ab b 2D ． a 2ab a a ba7．已知 a1 x 20 ， b 1 x 19 ， c 1 x 21 ，则代数式 a2 b 2c 2 ab bcac 的值是（）20 20 20 A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 8．已知xy 1 ， x 2 y 22 ，那么 x 4 y 4 的值是（ ）A ． 4B ． 3C ．7D ．5229．若 a、 b 为有理数，且 2a 22ab b 2 4a 4 0 ，则 a 2b ab 2 =（ ）A ． 8B ． 16C ． 8D ．1610．在 2004 ， 2005 ， 2006 ， 2007 这四个数中，不可以表示为两个整数平万的数是（ ）A ． 2004B ． 2005C ． 2006D ． 2007 11．计算（ 1）671721741781 1（ 2）24690 12345 12347 123462 （3） 20052004222220052003 2005200512 ． 一个自然数减去 45后是一个完整平方数，这个自然数加上 44后还是一个完整平方数，试求这个自然数． 思想方法天地13 ．已知 2007a 2005 a 222006 ，那么 2007 a2005 a =_____ ．14 ．已知 a b4 ， ab c 2 4 0 ，则 a b =______．n15．杨辉三角是一个由数字摆列成昀三角形数表， 一般形式如下图， 此中每一横行都表示 a b （此处 n 0 ， 1， 2 ， 3 ， 4， 5 ， 6 ）的睁开式中的系数，杨辉三角最实质的特点是，它的两条斜边都是由数字 1构成的，而其他的数则是等于它“肩”上的两个数之和．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 51 01 0 5 1161 5 201 561a 01ba b 1 a ba 2a 2 2ab b 2ba 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3ba 4 a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4ba 5a 5 5a 4b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5ba 6a 6 5a 5b 15a 4 b 2 20a 2 b 3 15a 2 b 4 6ab 5 b 6b上图的构成规律你看懂了吗？7______．请你直接写出 a b杨辉三角还有另一个特点（ 1）从第二行到第五行，每一行数字构成的数（如第三行为 121）都是上一行的数与 ______积．（ 2）由此你可写出 115 =______．（ 3）由第 _____行可写出 118 =______．16．假如 a 2b 3c 12 ，且 a 2 b 2 c 2ab bc ca ，则 a b 2c 3 的值是（ ）A ． 12B ． 14C 16D ． 18．17 ．假如 xy 1 ， x 2 y 2 3 ，那么 x 3 y 3 的值为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 518 ．把 2009 表示成两个整数的平方差的形式，则不一样的表示法有（ ）A ．16 种B ． 14种 C ． 12种 D ．10种 22 02 ，19 ．假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数” ，如 412 42 22，20 6242 ，所以 4 ， 12 ， 20这三个数都是神奇数．（ 1） 28 和 2012 这两个数是神奇数吗？为何？（2）设两个连续偶数为 2k 2 和 2k （此中 k 取非负整数），由这两个连续偶数结构的神奇数是 4 的倍数吗？为何？ （3）两个连续奇数的平方差（取正当）是神奇数吗？为何？ 20 ．已知 a b c 0 ， a 2 b 2 c 2 1（ 1）求 ab bc ca 的值；（4442）求 a b c 的值．应用研究乐园21 ．（ 1）证明：奇数的平方被 8除余 1．（ 2）请你进一步证明：2006不可以表示为 10 个奇数的平方之和．22．某校举行春天运动会时，由若干名同学构成一个 8 列的长方形行列．假如原行列中增 120 人，就能构成一个正方形行列；假如原行列中减少 120 人，也能构成一个正方形行列．问原长方形行列有多少名同学？19 乘法公式问题解决例 1 2 对 x y x y 64， x y xy 0 且xy 与 xy 的奇偶性相同，得x y 32 x y 16x y2 ， y 4 ， x 则 x 17 x 10y ， 615 y 例 2B 三等式相加得：a 3 2b1 2 c 1 2 0a3 ， b 1， c 1例 3（1）原式2 1 2 1 221 241 281 216 1122 1 22 1 241 28 1 216 11232 1 1232a 2（ 2）设 200420003a ，则原式1a 1 2a 21a211 2 a 2 12（ 3）原式45.1 13.9 45.12 45.1 13.9 13.9245.1 13.945.1 13.945.1213.93481例 4（1）略（ 2）规律：随意两个奇数的平方差等于 8 的倍数（ 3）设 m 、 n 为整数，2m 1 22n 24 m n m n 11当 m 、 n 同奇或同偶， 4 m n 是 8 的倍数，当 m 、 n 一奇一偶， 4 mn 1 是 8 的倍数．数学冲浪1． 0 2． 523． 1 由条件得 x y 14． 75． 34 原式 a 2 x 2 a 2 y 2 b 2 x 2 b 2 y 2ax2ay2bybx6． A17．B 原式ab 2b c 2c a 228． C9． Ba2a2 2b 10 ． C 形如 4k 或 2k 1 的数为“智慧数” 11 1 16 2 24690 3 1） 7 ；（ ）．（；（） 2 2①12．设这个自然为x ，由题意得 x 45 m x 44 n 2② ② -①得 n 2 m 2 89，即 n m n m 89 1 进而n m 89 ，解得n 45nm 1m44故 x452 44 198113． 4016 原式 2007 a22005 a2 2007 a 2005 a14． 0把 a b4 代入 ab c 24 0得 b 2c 2 0 ， b 2 ，2C 0 ， a24 2 ， a b 015．略（ 1） 11 （ 2） 161051 （ 3） 9 ； 21435888116． B 由 a 2 b 2 c 2 ab bc ac ，得1a b 2bc 2a c 2 0 ，进而 abc 22217． C2xyxx 2y 22yxy1 ， x 3 y 3x y x 2 xy y 2418 ． C提示：xy x y2009 241有 6 个正因数，分别是 1， 7，41，49，287和 2009 ，7 所以对应的方程组为：x y1,7 , 41, 49 , 2872009 , 1, 7 , 41, 49 , 287 , 2009x y2009 , 287 , 49 , 41,7 , 1,2009, 287, 49, 41, 7, 1故 x , y 共有 12 组不一样的表示19．（ 1） 28 4 7 82 62 ， 2012 4 503 5042 5022 故 28 和 2012 都是神奇数．（2） 2k 2 22k 24 2k1 ，为 4 的倍数．（ 3）神奇数是4 的倍数，但必定不是8 的倍数，但 2n 22n 1 28n ，1故两个连续奇数的平方差不是神奇数20 ．（ 1） a b c 2a 2 b2c22ab 2bc 2ac ，得 ab bc ca12（ 2）由 abbc ca 12，得 ab bc ca 21 ，即 a 2b2 b 2c 2 c 2a22abc a bc 144得 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 14又 a 2b 2c 2 1 ，平方得 a 4 b 4 c 42a 2b 2 2b 2c 2 2c 2a 2 1故44422 22 221 2 1 1a b c 1 2 a b b c c a4 2221 ．（ 1）2n 1 4n n 1 18| 4n n 1 ，故奇数的平方被 8 除余 1x 2 x 3x 10 2006．（ 此中 x ，x（ ）假定 2006 能够表示为 10 个奇数的平方之和， 也就是 x 1， ，2222212 x 10 是奇数）等式左侧被 8 除余 2 ，而 2006 被 8 除余 6 ，矛盾．故 2006 不可以表示为 10 个奇数的平方之和．8x120222．设m ①， m 、 n 均为正整数，且 m n ，① -②8x 120=n2②得 mn n n240 24 3 522都是8 的倍数，则 m 、 n 能被 4 整除， m n 、 m n 均能被 4 整除，m ， n。

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n　4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

4、已知 中不含x3的项，求a的值。
5、已知 ，求 的值。
=6
6、若多项式 加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，请你尽可能多的写出这个单项式。
7、设 ，
求① 的值。② 的值。
知识点4.平方差公式：a2－b2=______________
知识点5.完全平方公式：①(a＋b)2=______________②(a－b)2=______________
知识点6.完全平方公式的常用变形(应用):①(a+b)(a-b)=a2－b2
②a2+b2=(a+b)2-2ab③a2+b2=(a-b)2+2ab④(a-b)2=(a+b)2-4ab
（3） （4）
（A）（1）（2）（3）（B）（1）（2）（4）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（3）（4）
4、无论x、y取何值时， 的值都是（A）
（A）正数（B）负数（C）零（D）非负数
5、如果一个多项式与 的积是 ，则这个多项式是（C）
（A） （B）
（C） （D）
6、若（x+a）（x+b）中不含x的一次项，那么a、b一定是（B）
8．①已知a2+b2+c2=18,ab+bc+ac=13,则(a+b+c)2=________
②已知a2+b2+c2=18，a+b+c=6，则ab+bc+ac=__________
③a-b=5,b-c=2,则a2+b2+c2-ab-bc-ac=__________
初一练习卷
一、填空
1、 =-1 ，则 =2
5.①求(2x+2)(x2-3x)展开式中x2的系数。