八年级上册数学乘法公式

部编版八年级数学上册《乘法公式》教案及教学反思一、教学背景本次教学针对的是八年级上册中的《乘法公式》这一部分内容。

这一章主要讲解乘法公式的应用，包括分配律、结合律、交换律等等。

在教学中，我着重强调了基本的概念理解，以及应用能力的训练。

二、教学目标1.知识目标•掌握乘法公式的定义，包括分配律、结合律、交换律等；•熟练掌握乘法公式的应用，能够行使乘法法则的各种运用；•能够根据所给的算式，灵活应用乘法公式的各种规则。

2.能力目标•能够独立解决类似问题；•培养学生的分析能力和创新意识；•培养学生的团队合作意识。

3.情感目标•培养学生的自学能力；•提高学生的自信心和实际动手能力。

三、教学过程1.自我介绍学生们对我并不陌生，在课堂上我的第一项任务就是与全班同学建立起良好的师生关系。

我自己先做一个简单的自我介绍，不仅有助于展示自己的风采，还可以激发学生们对课程的兴趣。

2.引入在一个新学期来临，作为数学老师，我需要为学生们介绍一下这个学期的内容。

首先，我询问了学生们对乘法公式的基本认识，借此引入新学期的学习内容。

3.教学（1）分配律分配律是乘法公式的核心；通过分配律的学习，可以深刻理解乘法公式的运用方法。

分配律定义为：乘数a和b与另一个数c相乘的积，等于乘数a与数c的积，再加上乘数b与数c的积。

即：a×(b+c)=a×b+a×c。

（2）交换律交换律是数学中一个非常基本的规律，说起来也很简单：两个数相乘的积等于这两个数颠倒顺序相乘积。

即：a×b=b×a。

（3）结合律结合律是指在同一个式子中改变其运算的顺序，结合律只适用于加法和乘法两个运算中的运算结合律。

即：a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。

4.练习与巩固在教完分配律、交换律、结合律之后，我会通过给学生布置习题的方式巩固所学内容。

同时，我也会在课上为学生提供大量的练习题，让他们逐步掌握乘法公式的运用方法。

初二乘法公式
乘法公式是数学中的一种基本公式，用于计算两个数的乘积。

在初二数学中学习的乘法公式为：
乘法公式1：两个整数相乘
例如，如果要计算2和3的乘积，我们可以使用乘法公式1：
2 ×
3 = 6
乘法公式2：两个整数的积与它们的一部分相乘
例如，如果要计算3和5的积与2相乘，我们可以使用乘法公式2：(3 × 5) × 2 = 30
乘法公式3：两个整数和一个分数相乘
例如，如果要计算4和7以及1/2的乘积，我们可以使用乘法公式3：(4 × 7) × 1/2 = 14
乘法公式4：两个分数相乘
例如，如果要计算1/3和2/5的乘积，我们可以使用乘法公式4：
(1/3) × (2/5) = 2/15
以上是初二乘法公式的简单介绍，希望对你有帮助！。

讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x 2-z 2的值。

例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。

庖丁巧解牛知识·巧学·升华一、乘法公式把具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结果写成公式的形式，就是乘法公式.在多项式乘以多项式时，有一些问题形式固定、结果固定，因此我们把它归纳为乘法公式，利用乘法公式计算比利用多项式乘法法则计算简便得多.二、平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b21.语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.例如：（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b22.特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方），而不要认为是前项的平方减去后项的平方，这和项的位置无关，应该首先分清相同项和相反项.3.公式中的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式.某些式子，可以通过添加括号，变成平方差公式再应用.如果是单项式或多项式运用平方差公式，平方时，应把单项式或多项式加上括号.例如：（a+b-c）（a-b+c）=［a+（b-c）］［a-（b-c）］=a2-（b-c）2=a2-（b-c）（b-c）=a2-（b2-2bc+c2）=a2-b2+2bc-c2三、完全平方差公式（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b21.语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.例如：（a+3b）2=a2+2×a×3b+（3b）2=a2+6ab+9b2（2x-3）2=（2x）2-2×2x×3+32=4x2-12x+9记忆要诀简记为“首平方，末平方，积的2倍放中央”.2.特征：左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.3.公式中的a、b可以表示数，也可以表示单项式或多项式.4.有些问题要用到添括号法则、运算律或幂的有关性质.如（-a-b）2＝［-（a+b）］2＝（a+b）2；（-a+b）2＝（b-a）2.5.两个完全公式之间的关系：（a＋b）2＝（a-b）2＋4ab，（a-b）2＝（a＋b）2-4ab.四、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.a+b+c=a+（b+c），a-b-c=a-（b+c）注意：（1）括号内的项是指哪些项；（2）括号前是正号还是负号.（3）逆用乘法分配律也具有添括号的作用.如-10x＋5y＋15z＝-5（2x-y-3z）.问题·思路·探究问题 在一次数学课外活动中，四个同学进行比赛，其计算的题目和过程如下： A ：98×102＝（100-2）（100＋2）＝1002-22＝9 996；B ：（2x-1）（-2x-1）＝（-1＋2x ）（-1-2x ）＝（-1）2-（2x ）2＝12-2x 2＝1-2x 2；C ：2 0042-1 9962＝（2 004＋1 996）（2 004-1 996）＝32 000；D ：（2a ＋b ）（3a-b ）＝（2a ）2-b 2＝4a 2-b 2.谁对谁错，请你当评委.思路:该问题主要是对平方差公式 （a ＋b ）（a-b ）＝a 2-b 2的运用及其逆用.平方差公式实质上进行的是特殊形式的多项式乘法，运用平方差公式及其逆用往往使计算更简便.如（a-b ＋c ）2-（a ＋b-c ）2＝［（a-b ＋c ）＋（a ＋b-c ）］［（a-b ＋c ）-（a ＋b-c ）］＝-4ab ＋4ac.此外，平方差公式有如下的几何意义.如图15-3-1，平方差公式表示从边长为a 的大正方形面积中去掉边长为b 的小正方形后的阴影部分的面积.图15-3-1探究:98×102＝（100-2）（100＋2）＝1002-22＝9 996，故A 对；（2x-1）（-2x-1）＝（-1＋2x ）（-1-2x ）＝（-1）2-（2x ）2＝1-4x 2，故B 错，他们都是利用平方差公式进行计算.2 0042-19962＝（2 004＋1 996）（2 004-1 996）＝32 000，是逆用平方差公式，故C 对；而（2a ＋b ）（3a-b ）不符合平方差公式的特征不能用平方差公式，只能根据多项式乘法法则计算，结果为6a 2＋ab-b 2，故D 错.典题·新题·热题例1计算：（1）5012；（2）99.82；（3）6031×5932；（4）2 0062-2 005×2 007. 思路解析：本题是利用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，关键是写成公式的形式.解：（1）5012＝（500＋1）2＝5002＋2×500×1＋12＝250 000＋1 000＋1＝251 001.（2）99.82＝（100-0.2）2＝1002-2×100×0.2＋0.22＝10 000-40＋0.04＝9 960.04.（3）6031×5932=（60+31）（60-31）=602-（31）2=3 600-91=3 59998. （4）原式＝2 0062-（2 006-1）×（2 006＋1）＝2 0062-（2 0062-1）＝1.深化升华 利用公式可以简便运算，应观察每个题的特征，找到符合公式的特征，利用公式，达到简便运算的目的.例2大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：2x （x ＋y ）＝2x 2+2xy 就可以用图15-3-2（1）的面积表示.图15-3-2（1）请写出图15-3-2（2）所表示的代数恒等式：________________；（2）请写出图15-3-2（3）所表示的代数恒等式：________________；（3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x ＋y ）（x ＋3y ）＝x 2＋4xy ＋3y 2. 思路解析：本题是图形的拼接问题，可以看成是一种图形的两种面积表示方法，所以它们是相等的.计算面积时，列出的是整式的乘法式.解：（1）（x ＋y ）（2x ＋y ）＝2x 2＋3xy ＋y 2.（2）（2x ＋y ）（x ＋2y ）＝2x 2＋5xy ＋2y 2.（3）答案不唯一，如图15-3-3.图15-3-3例3已知（a ＋b ）2＝7，（a-b ）2＝4，求a 2＋b 2和ab 的值.思路解析：由于（a ＋b ）2和（a-b ）2的展开式中都只含有a 2+b 2和ab ，所以把（a ＋b ）2和（a-b ）2展开，已知的两个等式可看成是关于a 2+b 2和ab 的二元一次方程组，可求a 2+b 2和ab 的值.解：由（a ＋b ）2＝7，得________ a 2＋2ab ＋b 2＝7.①由（a-b ）2＝4，得a 2-2ab ＋b 2＝4.②①＋②得________2（a 2＋b 2）＝11，________∴a 2＋b 2＝211. ①-②得4ab ＝3，∴ab ＝43. 深化升华 完全平方和、完全平方差与平方和之间的关系是整式变形的基础： （a ＋b ）2-（a-b ）2＝4ab ，（a ＋b ）2＝（a 2+b 2）＋2ab ，（a-b ）2＝（a 2+b 2）-2ab.例4已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2-ab-bc-ac＝0，试判断△ABC的形状.思路解析：式子a2+b2+c2-ab-bc-ac＝0体现了三角形三边a、b、c的关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab中的2倍，因此可以对等式两边都扩大2倍，从而得到结论.解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac＝0，∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac＝0，即（a2-2ab+b2）＋（b2-2bc+c2）＋（c2+a2-2bc）＝0.∴a-b＝0，b-c＝0，c-a＝0，即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形.深化升华和例3一样，当式子中有平方和时，经常“凑”乘积的2倍，构造完全平方和，构造出非负数的和为0的情况.。