差分方程及其应用共35页

差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。

例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。

这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。

描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。

对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。

本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。

§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。

下面给出差分的定义。

设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。

显然，t y 的取值是一个序列。

当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t=在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。

由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。

当函数)(t f y t=的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。

例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。

若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。

差分方程的解法及应用随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研究也越来越深入。

在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的数学工具。

它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。

一、差分方程的定义与类型差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。

简单来说，差分方程就是一种具有递推性质的方程。

通过对序列中前一项和后一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行确定。

根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。

线性差分方程通常可以表示为：$$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项，$c_1,c_2,...,c_k$为系数。

非线性差分方程则不具有这种明显的简洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。

二、差分方程的求解方法差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。

1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。

为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为：$$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$其中$A$是待定系数。

2.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。

为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程：$$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。

差分方程的matlab解法sunooy 发表于 2006-5-23 0:04:00差分方程的一般形式为：a（n+1)＝r*a（n)＋b计算程序：a(1)=a0;%赋初值b=b0;%赋初值r=r0;%赋初值n=n0;%赋初值for i=1:n-1a(i+1)=r*a(i)+b; %通项公式enda %输出a数列的各项值实例:比如要计算差分方程 a（n+1)＝0.85*a（n)＋11，a（1）＝2.33的前10项，可写入下列代码：a(1)=2.33;%赋初值b=11;%赋初值r=0.85;%赋初值n=10;%赋初值for i=1:n-1 %注意i不能取到10，否则n＝10时a(i+1)=a(11).a(i+1)=r*a(i)+b; %通项公式enda %输出a数列的各项值运行结果a =2.3300 12.9805 22.0334 29.7284 36.2691 41.8288 46.5545 50.5713 53.9856 56.8878第三节 差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。

当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。

然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。

另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。

有时还需要找出决定变量的初始条件。

有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。

模型1 种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。

第十章 差分方程在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的. 例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，国民收入按年统计等等. 通常称这类变量为离散型变量. 描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型，差分方程是研究它们之间变化规律的有效方法.本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，差分方程在经济中的简单应用，与微分方程类似.§10.1 差分方程的基本概念一、差分设函数()y f t =，当自变量t 取离散的等间隔整数值012t =±± ，，，，则相应的函数值列为(1),(0),(1),,(),(1),f f f f t f t -+简记为1011,,,,,,t t y y y y y -+即)(t f y t =()012t =±± ，，，.定义1 设函数)(t f y t =，当自变量从t 变到1+t 时，相应的函数值的改变量1(1)()t t t y y y f t f t +∆=-=+-称为函数)(t f y t =在t 处的一阶差分，记作t y ∆.按一阶差分的定义，可以定义函数的高阶差分.定义2 函数)(t f y t =在t 处的一阶差分的差分称为函数在t 处的二阶差分，记作2t y ∆，即21211()()()t t t t t t t t y y y y y y y y ++++∆=∆∆=∆-∆=---t t t y y y +-=++122.依次定义函数)(t f y t =在t 处的三阶差分为3222121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=∆-∆+∆t t t t y y y y -+-=+++12333.一般地，函数)(t f y t =在t 处的n 阶差分定义为1111n n n n t t t t y y y y ---+∆=∆∆=∆-∆（）.二阶以及二阶以上的差分称为高阶差分.例1 设322-+=t t y t ，求2,t t y y ∆∆.解 221[(1)2(1)3](23)23t t t y y y t t t t t +∆=-=+++--+-=+，()21()2(1)3232t t t t y y y y t t +∆=∆∆=∆-∆=++-+=注意 二阶差分也可由公式2212t t t t y y y y ++∆=-+计算.二、差分方程最常见的两类差分方程：例1（等差数列）公差为12d =的数列，满足 112n n a a +-=，1,2,n = （1） 通项111(1)(1)2n a a n d a n =+-=+-，1,2,n = （2） 例2（等比数列） 公差为3q =-的数列，满足13n n a a +=-，1,2,n = （3）通项()11113n n n a a q a --==-，1,2,n = （4）方程(1)，（3）就是差分方程，（2），（4）分别是它们的解.定义3 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程.差分方程中，未知函数最大下标与最小下标之差（或含有差分的最高阶数）称为差分方程的阶.定义4 n 阶差分方程一般形式2(,,,,)0n t t t t F t y y y y ∆∆∆= （5）或1(,,,,)0t t t n F t y y y ++= （6） 其中，（5）式中的n t y ∆在方程中一定出现，（6）式中的,t t n y y +在方程中一定要出现.注意 在一个差分方程中由（5）式定义的阶数与将该方程化为（6）的形式后所定义的阶数不一定相同.例如，差分方程20t t y y ∆-=按（5）式应是二阶差分方程，由于222t t t t y y y y +∆=-+,因此该方程可化为220t t y y +-=.按（6）式定义应为一阶差分方程,所以今后讨论差分方程的阶数按（6）式的定义. 例3 判断下列差分方程的阶数.（1）223t t t y y ∆-= （2）2123t t t t y y y ++--=（3）21223t t t t y y y -----= （4）320t t t y y ∆++=.解 方程（1），（2），（3）都是二阶差分方程，实质是同一差分方程.方程（4）含有三阶差分3t y ∆，但可化为3213320t t t t y y y +++-++=因此，它是二阶差分方程.定义5 若n 阶差分方程可以表为如下形式()()()1111()t n t n n t n t y a t y a t y a t y f t ++--+++++= （8）则称为n 阶线性差分方程，其中12(),(),,()n a t a t a t 和()f t 均为自变量是t 的已知函数. 且()0n a t ≠，当()f t ≡0时，方程（8）称为n 阶非齐次线性差分方程.当()0f t ≡时，()()()11110t n t n n t n t y a t y a t y a t y ++--+++++= （9）称为n 阶齐次线性差分方程，或方程（8）对应的齐次方程.例如，方程2123t t t t y y y ++--=是二阶非齐次线性差分方程，而 2120t t t y y y ++--=是对应的齐次方程.三、差分方程的解定义6 任何代入差分方程后使其成为恒等式的函数，都称为该差分方程的解.定义7 若在差分方程的解中，含有与该方程的阶数相同的个数且相互独立的任意常数，则称这个解为差分方程的通解.通解中给任意常数以确定值的解，称为该差分方程的特解.确定通解中任意常数的条件，称为初始条件或定解条件.例4 设差分方程12t t y y +-=，验证2t y t C =+是差分方程的通解，并求满足015y =的特解.解 将2t y t C =+代入方程，左边=()()2122t C t C ++-+==右边，所以2t y t C =+是方程的解，该方程是一阶差分方程，且含一个任意常数C ，故2t y t C =+为方程通解.将015y =代入，得15C =，即215t y t =+为所求特解.注 微分描述变量变化的连续过程，差分描述变量变化的离散过程，两者之间的关系如下：0limx y dy y dy x dx x dx ∆→∆∆=⇔≈∆∆ ⇔(1)()(1)()(1)t y f t f t dy f t f t y x t t dx∆+-==+-=∆≈∆+- 所以，差分方程与微分方程在概念、解的结构及求解方法等很多方面相似. 下面以二阶常系数线性差分方程为例.定义8 二阶常系数线性差分方程的一般形式为)(12t f by ay y t t t =++++， （10）其中,a b 为常数，且0≠b ，)(t f 为t 的已知函数.当()f t ≡0时，方程（10）又称为二阶常系数非齐次线性差分方程.当()0f t ≡时，210t t t y ay by ++++= （11） 称为二阶常系数齐次线性差分方程或方程（10）对应的齐次方程.定理1 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（11）的解，则)()()(2211t y C t y C t y +=，也是该方程的解，其中1C 、2C 为任意常数.定理2（齐次线性差分方程解的结构定理） 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（11）的线性无关特解，则1122()()()y t C y t C y t =+是该方程的通解，其中1C 、2C 为任意常数.定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理） 若)(*t y 是二阶非齐次线性差分方程（10）的一个特解，()Y t 是齐次线性差分方程（11）的通解，则差分方程（10）的通解为*()()t y Y t y t =+.定理4（解的叠加原理） 若函数)(*1t y ，)(*2t y 分别是二阶非齐次线性差分方程211()t t t y ay by f t ++++=与212()t t t y ay by f t ++++=的特解，则)()(*2*1t y t y +是差分方程)()()()(2112t f t f y t b y t a y t t t +=++++的特解.注 上述解的结构定理，可推广到任意阶线性差分方程.习题10.11．求下列函数的一阶、二阶差分：（1）21t y t =+； （2）22t y t t =-；（3）3t t y =； （4）t t y a =.2．改写下列差分方程，并指出阶数：（1）235t t y y ∆-=； （2）3323t t t y y y ∆-∆-=；（3）2223t t t y y y t ∆+∆+=； （4）223t t t y y ∆-=.§10.2 一阶常系数线性差分方程定义1 一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1t f ay y t t =++（1） 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数.当()f t ≡0时，方程（1）称为一阶常系数非齐次线性差分方程；当0)(≡t f 时，01=++t t ay y （2） 称为一阶常系数齐次线性差分方程或方程（1）对应的齐次方程.一、一阶常系数齐次线性差分方程由01=++t t ay y ，得10()y a y =-2210()()y a y a y =-=-,3320()()y a y a y =-=-,10()()t t t y a y a y -=-=-.设0y C =为任意常数，则方程（2）的通解为()tt y C a =-.注意 实质是公比q a =-的等比数列通项0()t t t y y q C a ==-特别地，当1-=a 时，方程（2）的通解为C y t =， ,2,1,0=t .例1 求差分方程 120t t y y ++=的通解.解 由于2a =，所以方程通解为(2)t t y C =-，0,1,2,t =例2 求差分方程 150t t y y +-=的通解.解 方程变形为1105t t y y +-=，由于15a =-，所以方程通解为 15tt y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,1,2,t = . 二、一阶常系数非齐次线性差分方程求解步骤：（1）求出对应齐次方程01=++t t ay y 的通解()Y t ；（2）求出非齐次方程)(1t f ay y t t =++的一个特解()y t *；（3）写出非齐次方程)(1t f ay y t t =++的通解t y Y y *=+.注 关键确定非齐次方程的特解()y t *，下面介绍常见两种类型的求特解的方法. 1．()()n f x P t =型其中()n P t 为n 次多项式.方程1()t t ny ay P t ++=的特解形式为()()k n y t t Q t *=n n 例3 写出下列差分方程的特解形式()y t *（1）2121t t y y t +-=+； （2）13t t y y t +-=+；（3）122t t y y t ++=+. 解 （1）由于21a =-≠-，22()1P t t =+为二次代数多项式,故特解设为 2()y t at bt c *=++．（2）由于1a =-，1()3P t t =+为一次代数多项式,故特解设为()()y t t at b *=+．（3）方程化为111122t t y y t ++=+，由于112a =≠-，1()12t P t =+为一次代数多项式,故特解设为()y t at b *=+．例4 求差分方程21221t t y y t +-=-的通解.解 由于21a =-≠-，所以齐次差分方程的通解为()2t Y t C =．又由于22()21P t t =-为二次代数多项式,因此非齐次差分方程的特解为2012()y t a t a t a *=++，代入原方程，得()()22001012221a t a a t a a a t -+-++-=-，比较系数，得02a =-，14a =-，25a =-，故特解为*2()245y t t t =---，于是，所求通解为22245t t y Y y C t t *=+=--- (C 为任意常数).2．()t f x bd =型.其中,b d 为非零常数.方程1t t t y ay bd ++=的特解形式为()k t y t t Ad *=例5 写出下列差分方程的特解形式y *（1）1232t t t y y ++=⋅； （2）122t t t y y +-=； （3）133tt t y y +-=. 解 （1）由于2a d =≠-，故特解设为()2t y t A *=.（2）由于2a d =-=-，故特解设为()2t y t At *=. （3）方程化为11133t t t y y -+-=，由于13a d =-≠-，故特解设为()3t y t A *=. 例6 求差分方程t t t y y 21=++的通解.解 由于1a d =≠-，齐次差分方程的通解为()(1)t Y t C =-，非齐次差分方程特解为*()2t y t A =，代入原方程，得1222t t t A A ++=，比较系数，得13A =，故特解为t t y 231)(*=，于是，所求通解为*1(1)23t t t y Y y C =+=-+ (C 为任意常数). 例7 求差分方程1232t t t y y ++=⋅满足04y =的特解.解 已知2a d =≠-，所以齐次差分方程的通解为()(2)t Y t C =-，非齐次差分方程的特解设为()2t y t A *=，代入原方程，得1222 3.2t t t A A ++=，比较系数，得34A =， 故特解为 3()24t y t *=⨯， 于是，所求通解为*3(2)24t t t y Y y C =+=-+⨯，（C 为任意常数） 由04y =，得134C =，故所求特解为 133(2)244t t t y =-+⨯.习题10.21．求下列差分方程的通解或特解：（1）132t t y y +-=-； （2）132t t y y t +-=+；（3）2122t t y y t +-=+； （4）12tt t y y +-=；（5）144t t t y y +-=； （6）12t t t y y t +-=；（7）122t t y y t +-=+，04y =； （8）12t t t y y ++=，02y =. §10.3 二阶常系数线性差分方程二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式为)(12t f by ay y t t t =++++ （1）其中,a b 为常数，且0≠b ，)(t f 为t 的已知函数，其对应的齐次方程为210t t t y ay by ++++= （2）一、二阶常系数齐次线性差分方程由解的结构定理，求解方程（2）关键是找它的两个线性无关的特解，显然t t y λ=符合方程（2）的系数特点，将其代入方程（2）有()20t a b λλλ++=因为0≠t λ，所以02=++b a λλ （3）定义1 方程（3）称为方程（2）的特征方程，特征方程的根称为特征根. 可见，若t t y λ=是方程（2）的解的充要条件是λ为其特征根.与微分方程类似，二阶常系数齐次线性差分方程求解步骤：（1）写出它的特征方程02=++b a λλ；（2）求出特征方程的两个特征根12,λλ；例1 求差分方程2120t t t y y y +++-=的通解.解 特征方程为 220λλ+-=,特征根为122,1λλ=-=,则该方程通解为()122tt y C C =-+ （1C ，2C 为任意常数）.例2 求差分方程09612=+-++t t t y y y 的通解. 解 特征方程为0962=+-λλ,特征根为321==λλ,则该方程通解为12()3t t y C C t =+ （1C ，2C 为任意常数）.例3 求差分方程016412=+-++t t t y y y 的通解. 解 特征方程为01642=+-λλ,特征根为i 32221±=，λ,则令4r ==,由tan βωα===得3πω=,所以原方程的通解为124(cossin)33t t y C t C t ππ=+ (12,C C 为任意常数).二、二阶常系数非齐次线性差分方程求解步骤:（1）求出对应齐次方程210t t t y ay by ++++=的通解()Y t ； （2）求出非齐次方程210()t t t y ay by f t ++++==的一个特解()yt *；（3）写出非齐次方程210()t t t y ay by f t ++++==的通解t y Y y *=+.注意 关键是确定非齐次方程的特解形式()yt *，常见形式如下表n n 注 该表也适用于高阶常系数非齐次线性差分方程求特解. 例4 求差分方程)12(3612+=--++t y y y t t t t 的通解. 解 特征方程为260λλ--=,特征根为21-=λ，32=λ,故对应的齐次方程通解为()1223tt t Y C C =-+ （1C ，2C 为任意常数）又由于()()321t f t t =+,其中3d =是单根，故特解设为*01()3()t y t t a t a =+,代入原方程，化简得()010(301533)3321t t a t a a t ++=+比较系数，得1225a =-，0115a =, 从而特解为)252151(3)(*-=t t t y t , 故所求通解为*1212(2)33()1525t t t t y Y y C C t t =+=-++-（1C ，2C 为任意常数）.例5 求差分方程t t t t y y y 39612=+-++的通解. 解 特征方程为2690λλ-+=,特征根为321==λλ,故对应的齐次方程通解为12()3t t Y C C t =+ （1C ，2C 为任意常数）,又由于()3t f t =,其中3d =为二重根，故特解设为*2()3t y t At =,将其代入差分方程，得22212(2)36(1)3933t t t t A t A t At +++-++=,解得118A =, 于是特解为t t t y 3181)(2*=, 所求通解为*2121()3318t tt y Y y C C t t =+=++（1C ，2C 为任意常数）. 例6 求差分方程53312=+-++t t t y y y 满足初值条件50=y ，81=y 的特解. 解 特征方程为2330λλ-+=,特征根为i 232321±=，λ, 因为3=r ，由33tan =ω，得3πω=,所以齐次差分方程的通解为12(cossin)66t t Y C t C t ππ=+,又由于()5f t =,其中1d =不是特征根，故特解设为*()y t A =,将其代入差分方程得335A A A -+=,从而5A =,于是特解为5)(*=t y ,所以原方程通解为5)6sin6cos()3()(21++=t C t C t y t ππ,将8,510==y y 分别代入上式，解得01=C ，322=C ,故所求特解为56sin)3(2)(1*+=+t t y t π.习题10.31．求下列差分方程的通解（1）2120t t t y y y ++--=； （2）212150t t t y y y +++-=；（3）21440t t t y y y ++-+=； （4）2120t t t y y y ++++=； （5）21220t t t y y y ++-+=； （6）2109t t y y ++=. 2．求下列差分方程的通解或特解（1）21212t t t y y y +++-=，011,1y y ==； （2）21343t t t y y y t +++-=； （3）2124t t t y y y ++-+=,011,5y y ==； （4）21443t t t y y y t ++-+=+ （5）21t t y y t ++=+，011,1y y == （6）2154t t t y y y t ++++=§10.4 差分方程在经济学中的应用一、筹措教育经费模型某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育，并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金. 要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%.设第t 个月投资帐户资金为t S 元，每月存入资金为a 元. 于是，20年后关于t S 的差分方程模型为1 1.0051000t t S S +=- （1）并且x S S ==0120,0. 解方程（1），得通解10001.005 1.0052000001 1.005t t t S C C =-=+-由1200S =得120120 1.0052000000S C =+=因此1202000001.005C =-,由0S x =有 0200000S C x =+= 从而有45.07390005.1000200000200120=-=x从现在到20年内，t S 满足的差分方程为1 1.005t t S S a +=+ （2）且45.07390,02400==S S 解方程（2），得通解1.005 1.0052001 1.005t t t aS C C a =+=--以及240240 1.00520090073.45S C a =-=02000S C a =-=从而有95.194=a即要达到投资目标，20年内要筹措资金90 073.45元，平均每月要存入银行194.95元. 二、价格与库存模型设t P 为第t 个时段某类产品的价格，t L 为第t 个时产品的库存量，L 为该产品的合理库存量. 一般情况下，如果库存量超过合理库存，则该产品的价格下跌，如果库存量低于合理库存，则该产品的价格上涨，于是有方程)(1t t t L L c P P -=-+， （3）其中c 为比例常数. 由（3）式可得211()t t t P P c L L +++-=- (4)由(4)-(3)可得)(2112t t t t t L L c P P P --=+-+++ （5）又设库存量t L 的改变与产品销售状态有关，且在第1+t 时段库存增加量等于该时段的供求之差，即11+++-=-t t t t t D S L L （6）若设供给函数和需求函数分别为βαα+--=-=)(),(P b D P a S ,代入到（6式得ααb a P b a L L t t t t --+=-++)(1,再由（5）得方程21[()2]()t t t P c a b P P c a b α++++-+=+ （7）设方程（7）的特解为A P t =*，代入方程得α=A ，方程（7）对应的齐次方程的特征方程为01]2)([2=+-++λλb a c ,解得]2)([21,122,1-+=-±-=b a c r r r λ,于是若1||<r ，并设θcos =r ，则方程（7）的通解为12cos sin t P B t B t θθα=++,12,B B 为两个任意实数.若1||>r ，则21,λλ为两个实根，方程（7）的通解为1122t tt P A A λλα=++,由于1122-<-<---=r r r λ,则当+∞→t 时，2t λ将迅速变化，方程无稳定解.因此，当11<<-r ，即210<+<r ，亦即ba c +<<40时，价格相对稳定， 其中c b a ,,为正常数.复习题十1．填空题：（1）设1t y t=，则t y ∆= .（2）设12tty e =，则2t y ∆= . （3）差分方程225t t y y ∆+∆=的阶数为 . （4）差分方程333t t t y y y ∆-∆-=的阶数为 .2．求下列差分方程的通解或特解：（1）135t t y y t ++=； （2）2121t t y y t +-=+；（3）121050t t y y t ++-=； （4）132tt t y y +-=，01y =；（5）122tt t y y ++=，043y =； （6）11232tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.3．求下列差分方程的通解：（1）21230t t t y y y +++-=； （2）2110250t t t y y y ++++=；（3）210t t t y y y ++++=； （4）21324t t t y y y ++-+=； （5）2128t t t y y y ++-+=； （6）212235tt t t y y y ++-+=⋅.4．某公司每年的工资总额正比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额（单位百万元），求t W 满足的差分方程.。

第九节 差分方程迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 本节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程.内容分布图示★ 引言 ★ 差分的概念 ★ 例1-5 ★ 差分方程的概念 ★ 例6★ 例7★ 一阶常系数线性齐次差分方程 ★ 一阶常系数线性非齐次差分方程★ 例9-14 ★ 例15★ 例16★ 二阶常系数线性差分方程★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解★ 例17 ★ 例18★ 例19 ★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解★ 例20-23 差分方程在经济学中的应用★ 模型1 ★ 模型2★模型3★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-9 ★ 返回内容要点：一、 差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t 的变化率是用dtdy来刻画的；对离散型的变量y ，我们常取在规定的时间区间上的差商ty∆∆来刻画变量y 的变化率. 如果选择1=∆t ，则)()1(t y t y y -+=∆ 可以近似表示变量y 的变化率. 由此我们给出差分的定义.定义1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆一般地，函数t y 的1-n 阶差分的差分称为n 阶差分，记为t n y ∆，即t n t n t ny y y 111-+-∆-∆=∆i n t inni i y C -+=∑-=0)1( 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.差分的性质：（1） t t y C Cy ∆=∆)( );(为常数C （2） ;)(t t t t z y z y ∆±∆=±∆ （3）;)(1t t t t t t z y y z z y ∆+∆=⋅∆+ （4）t t t t t t t t z z z y y z z y ⋅∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+1 ).0(≠t z二、差分方程的概念定义2 含有未知函数t y 的差分的方程为差分方程. 差分方程的一般形式:0),,,,,(2=∆∆∆t n t t t y y y y t F或 .0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的. 三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1t f Py y t t =-+ (9.1) 其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为01=-+t t Py y (9.2)方程(9.2)称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程(9.1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性非齐次差分方程定理1 设t y 为方程(9.2)的通解,*t y 为方程(9.1)的一个特解, 则*t t t y y y +=为方程(9.1)的通解.（1）C t f =)( (C 为非零常数)（2）t Cb t f =)( (C , b 为非零常数且1≠b ) 四、二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式:)(12t f by ay y t t t =++++ (9.9)其中b a ,均为常数, 且,0≠b )(x f 是已知函数. 当0)(=x f 时, 方程(9.9)变为012=++++t t t by ay y (9.10)方程(9.10)称为二阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(9.9)称为二阶常系数线性非齐次差分方程.定理2 设t y 为方程((9.10)的通解, *t y 为方程(9.9)的一个特解, 则*t t t y y y +=为方程(9.9)的通解.二阶常系数线性齐次差分方程的通解特征方程 02=++b a λλ (9.11) 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解仅考虑方程(9.9)中的)(x f 取某些特殊形式的函数时的情形.(1))()(t P x f m =(其中)(t P m 是t 的m 次多项式), 方程(9.9)具有形如)(*t R t y m k t =的特解, 其中)(t R m 为t 的m 次待定多项式.五、 差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用.1.“筹措教育经费”模型某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t 个月, 投资账户资金为,t a 每月存资金为b 元, 于是20年后, 关于,t a 的差分方程模型为1000)005.1(1-=+t t a a (9.11)且.,00120x a a ==二、价格与库存模型本模型考虑库存与价格之间的关系设)(t P 为第t 个时段某类产品的价格, )(t L 为第t 个时段的库存量. L 为该产品的合理库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程)(1t t t L L k P P -=-+ (9.13)其中k 为比例常数.三、国民收入的稳定分析模型本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.设第t 期内的国民收入t y 主要用于该期内的消费t G , 再生产投资t I 和政府用于公共设施的开支G (定为常数), 即有G I C y t t t ++= (9.17)又设第t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即)10(1<<=-A Ay C t t (9.18)第t 期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有)(1--=t t t C C B I (9.19)由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得G BAy y B A y t t t =++---21)1( (9.20)于是, 对应A , B , G 以及,,0y y 可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.例题选讲：差分的概念与性质例1（讲义例1）设,2t y t =求 ).(),(),(32t t t y y y ∆∆∆例2（讲义例2）设.1),1()2)(1()0()(=+---=t n t t t t t n 求)(n t ∆.例3（讲义例3）求t t t y 32⋅=的差分. 例4 设,22t t y += 求.,,32t t t y y y ∆∆∆ 例5 试改变差分方程023=∆+∆t t y y 的形式. 差分方程的概念例6（讲义例4）试确定下列差分方程的阶..735)2(;0)1(15423=+=+-++--+t t t t t y y y y y例7（讲义例5）指出下列等式哪一个是差分方程, 若是, 进一步指出是否为线性方程..432)2(;33)1(12=+-+=∆-++t t t t t t y y y a y y一阶常系数线性差分方程例8（讲义例6）求差分方程031=-+t t y y 的通解. 例9（讲义例7）求差分方程231-=-+t t y y 的通解.例10（讲义例8）求差分方程tt t y y ⎪⎭⎫⎝⎛=-+233211在初始条件50=y 时的特解.例11（讲义例9）求差分方程2134t y y t t =-+的通解. 例12 求差分方程t y y t t πsin 341=++的通解.例13 求差分方程 t y y t t 231+=-+满足初始条件50=y 的特解. 例14（讲义例10）求差分方程t t t t y y 4221+=++的通解.例15 设某产品在时期t 的价格, 供给量与需求量分别为t t S P ,与),2,1,0( =t D t . 1当121+=t t P S , t t t t D S P D =+-=- 3,5421时, 求证(1) 由 3,2,1推出差分方程.221=++t t P P (2) 已知0P , 求上述差分方程的解.例16（讲义例11）在农业生产中, 种植先于产出及产品出售一个适当的时期, t 时期该产品的价格t P 决定着生产者在下一时期愿意提供市场的产量t t P S ,1+还决定着本期该产品的需求量,t Q 因此有1,-+-=-=t t t t dP c S bP a Q (a , b , c , d 均为正的常数)求价格随时间变动的规律. 二阶常系数线性差分方程例17（讲义例12）求差分方程04312=--++t t t y y y 的通解. 例18（讲义例13）求差分方程04412=++++t t t y y y 的通解. 例19（讲义例14）求差分方程04212=+-++t t t y y y 的通解.例20 求差分方程 12212=-+++t t t y y y 的通解及0,010==y y 的特解. 例21（讲义例15）求差分方程t y y y t t t =-+++4312的通解. 例22（讲义例16）求差分方程t t t t y y y 23212⋅=++++的通解. 例23 求差分方程tt t t y y y ⎪⎭⎫⎝⎛-=++++214112的通解. 差分方程在经济学中的应用课堂练习1.求差分方程21t y y t t =-+的通解.2.求差分方程t y y y t t t =-+++4312的通解.3.求差分方程t t t t y y y 57612⨯=-+++的通解.。

附录：差分方程及其应用一、 差分的概念定义1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即 t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆例1 设322-+=t t y t ，求t y ∆，t y 2∆。

解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t ∆。

tt t t t y y y y y +-==++1222)(∆∆∆232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。

二、差分方程的概念定义2 含有未知函数t y 的差分的方程称为差分方程.差分方程的一般形式：0),,,,,(2=∆∆∆t n t t t y y y y t F或 .0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f Py y t t =-+ （1）其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为：01=-+t t Py y称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， （2） 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y （3） 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。

第四节 差分方程在经济学中的应用一、 存款模型设S t 为t 期存款总额，i 为存款利率，则S t 与i 有如下关系式：S t +1=S t +iS t =(1+i )S i , t =0,1,2,…，其中S 0为初始存款总额．二、 动态供需均衡模型(蛛网定理)普通市场上一般商品的价格能影响消费者对该种商品的需求量，需求量与价格呈反向 变化．设D t 表示t 期的需求量，S t 表示t 期的供给量，P t 表示商品t 期价格，则传统的动态供 需均衡模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-)3(,)2()1(,,111t tt t t t S D P b a S bP a D 其中a ,b ,a 1,b 1均为已知常数．上述各方程的经济意义是：(1)式表示t 期(现期)需求依赖于同期价格；(2)式表示t 期(现期)供给依赖于(t -1)期(前期)价格．这里实际上假定该种商品生产行为既不是瞬时的，也不是连续的，而是要求有一个固定的生产周期．生产者总认为：本期的市场价格将在下一周期内保持不变，并按现期价格安排下一周期的生产．因此，第t 期的供给量S t ，实际上由前一周期价格P t -1决定，也就是说，供给量滞后于价格一个周期．(3)_式为供需均衡条件．若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即 P t =P t -1=P e ，那么由(1)(2)(3)式，我们即得静态均衡价格：P e =bb a a --11．显然，若将需求曲线与供给曲线画在同一坐标平面上，其交点(P e ,Q e ) 即为该种商品的静态均衡点．一般地，将动态供需均衡模型的(1)(2)两式代入(3)式，便得到动态供需均衡模型的等价差分方程：P t -bb 1P t -1=ba a -1． (11-4-1)这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，可求得(11-4-1)的一个特解t P =bb a a --11 =P e ,从而，方程(11-4-1)的通解为：P t =A (bb 1)t ＋P e ,这里A 为任意常数．若初始价格P 0已知时，将其代入通解，可求得任意常数A =P 0-P e ，此时，通解改写为P t =(Ｐ0-Ｐe )(1b b)t +Ｐe ． (11-4-2)如果初始价格P 0=P e ,那么Ｐt =Ｐe ，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Ｐe上，这就是前面所说的静态均衡．如果初始价格Ｐ0≠Ｐe ,那么价格Ｐt 将随t 的变化而变化．显然，由通解(11-4-2)式可知，当且仅当︱1b b︱＜1时，有10e e e lim lim ()()t t t t b P P P P P b →+∞→+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦, 也就是说，动态价格Ｐt 随着t 的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Ｐe ．图11-1是普通商品的价格与供需关系图．图11-1图11-1形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型(或蛛网定理)．三、 凯恩斯(K e yn e s ．J ．M)乘数动力学模型设Y t 表示t 期国民收入，C t 为t 期消费，I t 为t 期投资，I 0为自发(固定)投资，ΔI 为周期固定投资增量．凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=-)3(,)2()1(,0,1I I I bY a C I C Y tt t t t t ∆ 其中(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a (≥0)为基本消费水平，b 为边际消费倾向(0＜b ＜1);(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资．在(1)(2)(3)式中消去C t 和I t ，得到一阶常系数非齐次线性差分方程：Y t -bY t -1=a +I 0+ΔI ． (11-4-3)可求得(11-4-3)的一个特解t Y =bI I a -++10∆,从而，方程(11-4-3)的通解为Y t =A ·b t ＋bI I a -++10∆，其中A 为任意常数．我们称系数b-11为凯恩斯乘数．四、 哈罗德(Harrod ．R ．H)经济增长模型设S t 为t 期储蓄，Y t 为t 期国民收入，I t 为t 期投资，s 称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0＜s ＜1，k 为加速系数．哈罗德宏观经济增长模型为：11,01,(1)(),0,(2),(3)t t t t t tt S sY s I k Y Y k S I --=<<⎧⎪=->⎨⎪=⎩ 其中s ,k 为已知常数．(1)式表示t 期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示t 期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k 为常数；(3)式为均衡条件．经整理后得齐次差分方程Y t -ks k + Y t -1=0， (11-4-4)其通解为Y t =A (1+k s )t ， (11-4-5)其中A 为任意常数，ks ＞0，哈罗德称之为“保证增长率”．其经济意义就是：如果国民收入Y t 按保证增长率k s 增长，那么就能保证t 期储蓄与t 期投资达到动态均衡，即I t =S t ,t =0,1,2,…．假定t -1期收入Y t -1满足于通解(11-4-5)，而t 期收入Y t 由于某种外部干扰使其不满足于(11-4-5)，而是Y t =A (1+ks )t +B (B ≠0,称为外部干扰)，不妨设B ＞0，那么有I t =k (Y t -Y t -1）=k ［ks A (1+ks )t -1+B ］=sA (1+ks )t -1＋kB=sY t -1+kB =S t +kB ．因kB ＞0,故I t ＞S t ．这就表示：总投资将大于总供给(由储蓄提供)，从而对收入产生一个向上的压力，迫使收入较以前增加得更多．这就充分地说明了，“保证增长率”保证了国民收入的增长．五、 萨缪尔森(Samu e lson P ．A)乘数加速数模型设Y t 为t 期国民收入，C t 为t 期消费，I t 为t 期投资，G 为政府支出(各期均相同)．萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数-加速数模型)：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<=++=--)3(,0),()2(,10,)1(,11k C C k I b bY C G I C Y t t tt t t t t 其中G ＞0为常数，b 称为边际消费倾向(常数)，k 为加速数．将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得：Y t -b (1+k )Y t -1+bkY t -2＝G ． （11-4-6） 这是关于Y t 的二阶常系数非齐次线性差分方程．不难求得其特解t Y ＝bG -1．其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数b-11与政府支出自发投资G 的乘积．方程(11-4-6)对应的齐次方程为Y t -b (1+k )Y t -1+bkY t -2=0， (11-4-7) 其特征方程为λ2-b (1+k )λ+bk =0， (11-4-8)特征方程的判别式Δ=b 2（1＋k )2-4bk =b ［b (1+k )2-4k ］,当Δ＞0时，(11-4-8)有两相异实根：λ1=21［b (1+k )-∆］, λ2=21［b (1+k )+∆］.方程(11-4-7)的通解为：Y A (t )=A 1·λ1t +A 2·λ2t(A 1,A 2为任意常数)．当Δ=0时，(11-4-8)有一对相等实特征根：1(1)2b k λ=+，方程（11-4-7）的通解为：12()()tA Y t A A t λ=+⋅，（A 1，A 2为任意常数）.当Δ<0时，(11-4-8)有一对共轭复根：λ=21[b (1+k )+i ∆], λ=21[b (1+k )-i∆],方程(11-4-7)的通解为：Y Ａ(t )=γt(A 1cos ωt +A 2sin ωt ),A 1,A 2为任意常数；γ和ω由下式确定⎪⎩⎪⎨⎧∈+==),0(,)1(arctan ,πωωγk b bk ∆．综合上述，方程(11-4-6)的通解为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-++=-+⋅+>-+⋅+=,0,1sin cos (,0,1)(,0,121212211∆∆∆当当当b G t A t A b G t A A bG A A Y t ttt t ωωγλλλ， 其中Δ=b ［b (１＋k )2-4k ］，A 1，A 2为任意常数，λ1，λ2及λ，γ和ω均如前面所述．若求出Y t ,由所给模型就不难确定C t 和I t ．习题11-41． 设Y t 为t 期国民收入，C t 为t 期消费，I 为投资(各期相同)．卡恩(Kahn)曾提出如下宏观经济模型：1,,01,0,t t t t Y C I C Y αβαβ-=+⎧⎨=+<<>⎩其中α，β均为常数，试求Y t 和C t ．2． 设Y t ，C t ，I t 分别表示t 期的国民收入、消费和投资，三者之间满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>+=≥<<+=+=+,0,,0,10,,1γγβαβαt t t t t t t t I Y Y Y C I C Y这里α,β,γ均为常数．求Y t ,C t ,I t .3． 设Y t 为t 期国民收入，S t 为t 期储蓄，I t 为t 期投资，三者之间满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=≥<<+=-,0,,0),(,0,10,1δδγγβαβαt tt t t t t I S Y Y I Y S ，这里α，β，γ，δ均为常数，试求Y t ,S t ,I t ．4． 挪威数学家汉逊(Ｈanssen ．J ．S)研究局部化理论模型遇到如下的差分方程：D n +2(t )-4(ab +1)D n +1(t )+4a 2b 2D n (t )＝０，这里a ,b 为常数，而D n (t )为未知函数，若1+2ab ＞0,试求方程的解． 5． 梅茨勒(Ｍetzler ．L ．A)曾提出如下的库存模型：⎪⎩⎪⎨⎧-=<<=++=---),(,10,,211t t tt t t t t Y Y S Y U S U Y βββα,其中Y t 为t 期总收入，U t 为t 期销售收入，S t 为t 期库存量．α和β为常数．试求Y t ，U t ，S t 关于t 的表达式．本文档由【中文word 文档库】 提供，转载分发敬请保留本信息； 中文word 文档库免费提供海量范文、教育、学习、政策、报告和经济类word 文档。