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第十二章 差分方程
教学要求 1．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
2．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
3．会应用差分方程求解一些简单的应用问题。
教学重点
一阶常系数线性差分方程的解法，差分方程在实际问题中的简单应用。
教学难点
差分与差分方程的概念，一阶常系数线性差分方程的求解。
教学内容
第一节 差分方程的基本概念
一、差分方程的定义
二、差分方程的的基本概念
第二节 一阶常系数线性差分方程
一、齐次方程01=++t t ay y 的解法
二、非齐次方程)(1t f ay y t t =++的解法。
差分方程解法及其在离散系统中的应用差分方程是数学中一类重要的离散数学方程，广泛应用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
本文将介绍差分方程的解法以及它在离散系统中的应用。
一、差分方程的定义和基本概念差分方程是一种以离散形式描述系统变化的数学方程。
其基本形式为：Δyₙ = f(n, yₙ₋₁)其中，Δyₙ为相邻两个时刻n和n-1之间y的变化量，f(n, yₙ₋₁)为给定时刻n和n-1之间的函数关系。
二、差分方程求解的方法对于简单的差分方程，可以直接通过迭代求解。
例如，对于一阶线性差分方程：Δyₙ = k其中，k为常数。
可以通过重复应用这一关系求解，即：yₙ = y₀ + kₙ其中，y₀为初始条件，kₙ为Δyₙ在不同时刻的取值。
对于更复杂的差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以通过将差分方程转化为递推方程，并利用数值计算得到近似解。
三、离散系统中差分方程的应用1. 经济学中的应用差分方程可以用来描述经济系统中的离散变化。
例如，经济增长模型中的劳动力增长率、资本积累速度等，都可以通过差分方程来建模和分析。
2. 自然科学中的应用差分方程在物理学、生态学等自然科学领域中也有广泛的应用。
例如，天体运动、人口增长、物种竞争等系统的演化过程都可以用差分方程来描述和预测。
3. 计算机科学中的应用差分方程在计算机科学中的应用也是十分重要的。
例如，计算机网络中数据包的传输、媒体数据的压缩等问题，都可以通过差分方程来建模和解决。
四、差分方程解法的局限性和改进方法虽然差分方程是一种有效的数学工具，但其在一些特殊情况下存在局限性。
例如，对于非线性和高阶差分方程，常常难以求得解析解。
此时，可以利用数值方法进行近似求解，或者采用数值优化算法寻找最佳解。
总结：差分方程是一种重要的离散数学工具，广泛用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
通过合适的差分方程求解方法，可以有效地描述和预测各种离散变化的系统。
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
差分方程的求解方法及其应用差分方程是数学中一个比较重要的分支，用于描述离散化的动态系统和过程，广泛应用于物理、工程、生态、经济、金融等领域。
通过离散化，可以将连续的问题转化为离散的数值计算问题，从而可以用计算机进行求解。
本文将介绍差分方程的求解方法及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、差分方程的定义差分方程是指包含有未知函数的离散变量的函数方程。
通俗的说，就是说差分方程用来描述离散的数学模型。
一般的差分方程可以写成如下形式：$$y_{n+1} = f(y_n, y_{n-1}, \cdots, y_{n-k+1}, n)$$其中，$y_n$ 是未知函数在 $n$ 时刻的值，$f$ 是一个给定的函数，$k$ 是差分方程中自变量的个数。
当 $k=1$ 时，常常称为一阶差分方程，如下所示：$$y_{n+1} = f(y_n, n)$$此外还有二阶、三阶等高阶差分方程。
差分方程与微分方程相似，都是用来描述某种动态系统的变化规律，只是微分方程是描述连续变化的模型，而差分方程是描述离散变化的模型。
二、差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为两类，一类是解析解法，即用数学公式直接求解；另一类是数值解法，即用计算机进行数值计算求解。
1. 解析解法对于一些特殊的差分方程，可以用解析解法求出解析解。
解析解法就是通过数学公式直接求解，得到函数在论域上的解析表达式，从而可以对解析表达式进行分析求得有关该函数的很多重要信息。
以一阶线性差分方程为例，即：$$y_{n+1} = ay_n + b, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其中 $y_0$ 是已知值， $a$ 和 $b$ 是常数。
可以通过数学公式得到该差分方程的解析解：$$y_n = a^ny_0 + b\frac{a^n-1}{a-1}, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其它的高阶差分方程可以运用代数学、矩阵论、微积分等方法求解。
2. 数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解差分方程的方法。
差分方程的偏导概述说明以及解释1. 引言1.1 概述差分方程是描述离散时间变化的数学方程，具有广泛的应用价值。
在实际问题中，许多现象的发展都可以通过差分方程加以描述和解决。
然而，在一些复杂的情况下，仅使用差分方程可能无法完全准确地表示系统变化。
因此，我们需要引入偏导数这一概念，通过对差分方程进行偏导，从而更加精确地描述系统状态的演化过程。
1.2 文章结构本文将首先介绍差分方程的定义和性质，并提出偏导数的基本概念。
随后，我们将详细解释了差分方程中偏导数的计算方法，包括前向差分法、后向差分法和中心差分法。
接着，在第四部分，我们将通过案例讨论来说明偏导数在求解差分方程中的实际应用。
具体包括热传导方程中的偏导数应用、物种扩散模型中的偏导数应用以及经济增长模型中的偏导数应用。
最后，在结论与总结部分对文章内容和主要观点进行总结，并展望未来相关研究方向和发展趋势。
1.3 目的本文旨在深入介绍差分方程中偏导数的概念和计算方法，并展示偏导数在实际应用中的重要性。
通过对不同领域中相关问题的案例讨论，我们希望读者能够更好地理解和运用偏导数这一工具，从而提高问题求解的准确性和效率。
同时，本文也为进一步研究差分方程和偏导数的应用提供了基础和参考。
2. 差分方程的偏导概述部分的内容如下：2.1 差分方程的定义与性质差分方程是一种使用差分算子来描述函数变化率的离散数学模型。
它在许多科学和工程领域中有广泛的应用，特别是在数值计算和动态系统建模中。
差分方程是通过将连续函数离散化来获得的，其中时间或空间被离散成有限个点。
差分方程通常具有初始条件和边界条件，并可以用来预测离散时间或空间上函数的行为。
在差分方程中，偏导数像微积分中一样起着重要作用。
偏导数表示函数对于其中一个自变量（通常是时间或空间）的变化率。
它告诉我们函数在某个点上沿着某个自变量方向上的斜率。
与连续函数不同，差分方程中的偏导数需要进行适当处理才能进行计算。
2.2 偏导数的基本概念在连续函数情况下，我们可以使用极限定义来计算偏导数。
差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中,许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法,与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似,可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =.显然,t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分,记作t y ∆,即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的,而且其值越大,表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时,表明序列是减少的.例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ,则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
高考数学中的差分方程应用在高考数学中，差分方程是一个非常重要的概念。
差分方程是一种方程，其中未知函数是一个序列，其值在相邻时间点之间差别有所变化。
差分方程在许多实际问题中都存在应用，如计量经济学、物理学和工程学等领域。
在高考中，考生需要掌握差分方程基础的概念、求解方法以及应用。
一、差分方程基础概念差分方程可以看作是微分方程在时间离散化后的一个版本。
在微积分中，我们将函数的微小变化表示为极限，而在差分方程中，我们将函数的微小变化表示为时间间隔内的差别。
因此，差分方程的基础概念就是离散化。
差分方程可以表示为如下形式:$$ y_{n+1}=f(y_n,n) $$其中，$y_n$表示序列中第$n$个数,$y_{n+1}$表示序列中第$n+1$个数，$f$是一个确定性函数表示当前序列中第$n$个数和序列中当前的时间$n$。
二、求解差分方程既然差分方程是函数序列的形式，那么我们如何来求解它呢？与微分方程不同的是，差分方程的求解并没有解析解式来实现。
相反，差分方程的求解通常采用数值方法来完成。
在计算机的背景下，经典的数值方法包括欧拉法和更高级的Runge-Kutta法。
欧拉法是最简单的一种数值方法，其思想是将差分方程中的微分替换为一个小步长的差分。
换句话说，欧拉法通过迭代计算来逐个计算函数序列的近似值。
而Runge-Kutta法则采用更深奥的数值计算技巧来减小误差和误差传播。
两种方法都是可靠的，由此我们可以快速、便捷地求解任何形式的差分方程。
三、差分方程应用差分方程在实际中有非常广泛的应用。
在数学上，它们通常被用于描述动态系统的演化，例如传染病模型、人口增长模型、股票价格模型以及鸟类群落的行为等。
在更广泛的领域中，差分方程被广泛用于工程学、物理学、自然科学和经济学等领域。
以下是两个经典的例子：1. 热传导模型热传导模型是描述热在物质中传播的模型。
它通常被用于在实际系统中计算和预测热量传输。
因此，差分方程在热传导模型中占有重要地位。
差分方程的求解方法与应用差分方程是一类描述离散系统动态演化的数学模型。
与微分方程相比，差分方程更适用于描述离散时间下的系统变化规律。
在物理、经济、生物等各个领域中，差分方程都有广泛的应用。
本文将介绍差分方程的求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、差分方程的求解方法差分方程的求解方法主要有直接求解法和递推求解法两种。
直接求解法是通过将差分方程转化为代数方程组，然后求解方程组得到方程的解。
这种方法适用于一些简单的差分方程，例如线性差分方程。
例如，对于一阶线性差分方程y(n+1) = a*y(n) + b，我们可以通过代入法得到y(n) = (a^n)*y(0) +b*(a^n-1)/(a-1)。
递推求解法是通过递推关系式求解差分方程。
这种方法适用于一些递推性质较强的差分方程，例如递推差分方程。
例如，对于递推差分方程y(n+2) = y(n+1) +y(n)，我们可以通过给定初始条件y(0)和y(1)，然后利用递推关系式y(n+2) = y(n+1) + y(n)逐步求解出y(2)、y(3)、y(4)等。
二、差分方程的应用差分方程在实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍差分方程在物理、经济和生物领域中的一些应用。
1. 物理领域差分方程在物理领域中的应用非常广泛。
例如，对于自由落体运动，可以通过差分方程描述物体在不同时间点的位置和速度变化。
另外，差分方程还可以用于描述电路中电流和电压的变化规律，从而帮助工程师设计和优化电路。
2. 经济领域经济学中的一些经济模型可以通过差分方程进行建模和求解。
例如，经济增长模型可以用差分方程描述经济发展过程中的变化规律。
此外，差分方程还可以用于描述金融市场中的股票价格变化、货币供给和需求等问题。
3. 生物领域生物学中的一些生态模型和遗传模型可以通过差分方程进行建模。
例如，种群动力学模型可以用差分方程描述不同物种之间的相互作用和数量变化规律。
另外，差分方程还可以用于描述基因传递和突变的过程，从而帮助科学家研究生物遗传学问题。
附录：差分方程及其应用 一、 差分的概念定义1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即 t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆例1 设322-+=t t y t ，求t y ∆，t y 2∆。
解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t∆。
tt t t t y y y y y +-==++1222)(∆∆∆232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。
二、差分方程的概念定义2 含有未知函数t y 的差分的方程称为差分方程. 差分方程的一般形式：0),,,,,(2=∆∆∆t nt t t y y y y t F 或 .0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化. 定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的. 三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f Py y t t =-+ （1）其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为：01=-+t t Py y 称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程. 四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， （2）其中常数0≠a，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y （3）称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。
差分和积分方程及其应用随着科技的不断发展，越来越多的问题需要用数学方法来解决。
其中，差分方程和积分方程是经典的数学模型，广泛应用于自然科学和工程学科中。
一、差分方程差分方程是一种数学模型，用于描述离散的时间序列变化规律。
差分方程的一般形式可以表示为：$$f_n=F_n\left(f_{n-1},f_{n-2},\dots,f_{n-k}\right)$$其中，$f_n$表示第$n$个时刻的状态，$F_n$表示转移函数，$k$表示历史状态所依赖的个数。
差分方程的求解可以使用迭代法、递推法等方法。
迭代法即对初始值不断迭代，逐步逼近稳定状态；递推法则是从已知初值出发，一步步扩展到目标时刻。
差分方程的应用非常广泛，比如在物理学、经济学、生物学和工程学等领域中，都可以使用差分方程模型来描述系统的演化规律。
二、积分方程积分方程是一种数学模型，用于描述连续时间序列变化规律。
积分方程的一般形式可以表示为：$$f(t)=g(t)+\int_{t_0}^tK(t,s)f(s)ds$$其中，$f(t)$表示第$t$时刻的状态，$g(t)$表示瞬态解，$K(t,s)$为核函数。
积分方程的求解需要具有一定的数学基础，可以采用变量分离、特殊函数法、拉普拉斯变换等方法。
需要注意的是，积分方程的解不一定存在，且可能不唯一。
在工程和物理学中，积分方程的应用也非常广泛，比如在电磁学、流体力学和声学等领域中，可以使用积分方程模型来描述场和流动的变化规律。
三、差分和积分方程应用于信号处理在信号处理中，差分和积分方程都有重要的应用。
特别是在数字信号处理中，这两种模型是最常用的。
比如，在数字滤波中，可以使用差分方程模型来设计数字滤波器。
其中，滤波器的传递函数可以表示为一个线性差分方程，然后通过差分方程求解方法，得到系统的频率响应和滤波器系数。
在声音处理中，积分方程也有重要的应用。
比如，在语音降噪和增强中，可以将降噪算法描述为一个积分方程模型，其中，核函数表示预测误差的相关系数。
附录：差分方程及其应用一、 差分的概念定义1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即 t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆例1 设322-+=t t y t ，求t y ∆，t y 2∆。
解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t ∆。
tt t t t y y y y y +-==++1222)(∆∆∆232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。
二、差分方程的概念定义2 含有未知函数t y 的差分的方程称为差分方程.差分方程的一般形式：0),,,,,(2=∆∆∆t n t t t y y y y t F或 .0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f Py y t t =-+ （1）其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为：01=-+t t Py y称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， （2） 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y （3） 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。
差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，，L 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y Δ，即)()1(1t f t f y y y t t t −+=−=+Δ。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R −+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R −=−+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R −+=Δ，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。
函数)(t f y t =在t 的一阶差分的差分为函数在t 的二阶差分，记作t y 2Δ，即 )()()(11212t t t t t t t t y y y y y y y y −−−=−==++++ΔΔΔΔΔt t t y y y +−=++122。
依次定义函数)(t f y t =在t 的三阶差分为t t t t t t t y y y y y y y ΔΔΔΔΔΔΔΔ+−=−==+++12212232)(t t t t y y y y −+−=+++12333。
一般地，函数)(t f y t =在t 的n 阶差分定义为t n t n t n t n y y y y 1111−+−−−==ΔΔΔΔΔ）（ ∑=−++−−−=n k k n t k y k k n n n 0!)1()1()1(L 。
上式表明，函数)(t f y t =在t 的n 阶差分是该函数的n 个函数值，t n t n t y y y ，，，L 1−++的线性组合。
例1 设322−+=t t y t ，求t y Δ，t y 2Δ。
解 32)32(]3)1(2)1[(221+=−+−−+++=−=+t t t t t y y y t t t Δ。
t t t t t y y y y y +−==++1222)(ΔΔΔ232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=−++−+++−−+++=t t t t t t ）（。
2、 差分方程的基本概念先看例题。
设0A 是初始存款（0=t 时的存款），年利率)10(<<r r ，如以复利计息，试确定t 年末的本利和t A 。
在该问题中，如将时间t （t 以年为单位）看作自变量，则本利和t A 可看作是t 的函数：)(t f A t =。
这个函数是要求的未知函数。
虽然不能立即写出函数关系)(t f A t =，但可以写出相邻两个函数值之间的关系式t t t rA A A +=+1，),2,1,0(L =r ， （1-1）如写作函数)(t f A t =在t 的差分t t t A A A −=+1Δ的形式，则上式为t t rA A =Δ，),2,1,0(L =r ， （1-2）由（1-1）式可算出t 年末的本利和为01A r A t t ）（+=，),2,1,0(L =r 。
（1-3）在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函数)(t f A t =，所以这是一个函数方程；又由于在方程（1-1）中含有两个未知函数的函数值t A 和1+t A ，在方程（1-2）中含有未知函数的差分t A Δ，像这样的函数方程称为差分方程。
在方程（1-2）中，仅含未知函数的函数值)(t f A t =的一阶差分，在方程（1-1）中，未知函数的下标最大差数是1，即11=−+t t ）（，故方程（1-1）或方程（1-2）称为一阶差分方程。
（1-3）式是t A 在t 之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1）或（1-2），这个函数称为差分方程的解。
由上例题分析，差分方程的基本概念如下：含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。
由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。
例如 0332=−−−t y y y t t t ΔΔ就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函数)(t f y t =在不同点的函数值的线性组合，因此上差分方程又可分别表示为0512=−+−++t y y y t t t 。
正因如此，差分方程又可定义为含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。
差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。
或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。
上方程为二阶差分方程。
n 阶差分方程的一般形式可表示为0),,,,(2=t n t t t y y y y t ΔΔΔΦL ， （1-4）或0),,,(1=++n t t t y y y t F L ， （1-5）由于经济学中经常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（1-5）式的差分方程。
若把一个函数)(t y t ϕ=代入差分方程中，使其成为恒等式，则称)(t y t ϕ=为差分方程的解。
含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解。
用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。
一阶差分方程的初始条件为一个，一般是00a y =（0a 是常数）；二阶差分方程的初始条件为两个，一般是00a y =，11a y =（0a ，1a 是常数）；依次类推。
二、线性差分方程解的基本定理现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论。
二阶线性差分方程的一般形式）t f y t b y t a y t t t ()()(12=++++， （1-6）其中)(t a ，)(t b 和)(t f 均为t 的已知函数，且0)(≠t b 。
若0)(≠t f ，则（1-6）式称为二阶非齐次线性差分方程；若0)(≡t f ，则（1-6）式称为0)()(12=++++t t t y t b y t a y ， （1-7）定理1 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（1-7）的解，则)()()(2211t y C t y C t y +=，也该方程的解，其中1C 、2C 是任意常数。
定理2(齐次线性差分方程解的结构定理) 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（1-7）的线性无关特解，则)()()(2211t y C t y C t y C +=是该方程的通解，其中1C 、2C 是任意常数。
定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理） 若)(*t y 是二阶非齐次线性差分方程（1-6）的一个特解，)(t y C 是齐次线性差分方程（1-7）的通解，则差分方程（1-6）的通解为 )()(*t y t y y C t +=。
定理4 (解的叠加原理) 若函数)(*1t y ，)(*2t y 分别是二阶非齐次线性差分方程 )()()(112t f y t b y t a y t t t =++++与)()()(212t f y t b y t a y t t t =++++的特解，则)()(*2*1t y t y +是差分方程)()()()(2112t f t f y t b y t a y t t t +=++++的特解。
§2 一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1t f ay y t t =++， （2-1）其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2-1）式称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程01=++t t ay y 。
（2-2）称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。
下面给出差分方程（2-2）的迭代解法。
一、求齐次差分方程的通解把方程（2-2）写作t t y a y )(1−=+，假设在初始时刻，即0=t 时，函数t y 取任意常数C 。
分别以L ,2,1,0=t 代入上式，得LLL ,2,1,0)()()()(),()(020201=−=−=−=−=−=−=t a C y a y a C y a y a C y a y t t t ，，最后一式就是齐次差分方程（2-2）的通解。
特别地，当1−=a 时，齐次差分方程（2-2）的通解为 C y t =，L ,2,1,0=t 。
二、求齐次线性差分方程的通解1、设b t f =)(为常数此时，非齐次差分方程（2-1）可写作b y a y t t +−=+)(1。
分别以L ,2,1,0=t 代入上式，得])()()(1[)(])()(1[)()()](1[)()()(12020323021201−−++−+−++−=−+−++−=+−=−++−=+−=+−=t t t a a a b y a y a a b y a b y a y a b y a b y a y by a y L LL 。
（2-3）若1≠−a ，则由（2-3）式用等比级数求和公式，得a ab y a y ttt +−−+−=1)(1)(0，L ,2,1,0=t ， 或ab a C a b a b y a y t t t ++−==+++−−=1)(1)1()(0，L ,2,1,0=t ，其中ab y C +−=10为任意常数。
