2020年高考数学(理)二轮专题学与练 05 不等式与线性规划(考点解读)(原卷版)

第4讲不等式、线性规划［考情分析］不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题.(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高.热点题型分析热点1不等式的性质及解法方法结论----------- V——----1利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用.2. —元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+ bx+ c>0@工0)，再求相应一元二次方程ax2+ bx+ c= 0@工0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.3. 简单分式不等式的解法f x⑴g7>0(<0)? f(x)g(x)>0(<0)；fxg(x 戸0( w 0), Q(x 尸0.I【题型分析】I1. 已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2:②2a>2b_\ ③ a- b> a- b;④a3+ b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A. ①②③ B .①②④C.①③④ D .②③④答案A解析解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以①成立；由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x) = 2x在R上是增函数, ••• f(a)>f(b-1)，即2a>2b-1，所以②成立；a>b>0，.°. a> b，•••( a — b)2— ( a — .b)2 = 2 ab -2b = 2 b( a - ,b)>0,a — b>%：a — .b ,所以③成立; 若 a = 3, b = 2,贝U a 3 + b 3 = 35,2a 2b = 36, 有a 3+ b 3<2a 2b ,所以④不成立.故选 A. 解法二：令 a = 3, b = 2,可以得到①a 2>b 2,②2a >2b — J ③a — b> a — .b 均成立，而④a 3 + b 3>2a 2b 不成立，故选A.2. 函数f(x)= 3x — x 2的定义域为( )A. [0,3]B. (0,3)C. (", 0] U [3 ,+x )D. (", 0)U (3,+x ) 答案 A【误区警示】I1•判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验 证或举出反例，如第1题中对于a 与a — b 或者a —b 与0的大小判断易出错，利 用不等式的性质 a >b >0,• a — b >b — b — 0,即a — b >0. 2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式.如第2题易忽略二次项系数为负，由3x解析 要使函数f(x)= 3x — x 2有意义，则 3x — x 2>0, 即卩 x — 3x < 0? x(x —3)<0,解得 0W x <3,故选 A.2x 一 43.不等式2一R M 1的解集为()A.{ x|x<1 或 x > 3} C.{x|1<x M 3}B . {x|1M x M 3} D . {x|1<x<3}2x — 4 2x 一 4x — 3解析由n M 〔，移项得尸一1M 0,即口M 0,(x — 3[x -1 戶 0,X M 1,解得1vx M 3,故选C.—x2> 0得出选项C.3. 解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x—4M x—1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解•热点2基本不等式及其应用方法结论v1. 利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则⑴如果x>0, y>0, xy = p （定值），当x = y 时，x + y 有最小值2 , p.（简记：积 定和最小）1 2⑵如果x>0, y>0, x + y = s （定值），当x =y 时，xy 有最大值4s .（简记：和定 积最大）2. 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值, 主要有两种思路：（1） 通过变形直接利用基本不等式解决.（2） 对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”， 通 过“ 1的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式. 常见的转化方法有： （字母均为正数）;【题型分析】1.下列结论正确的是（ ）A. 当 x>0 且 X M 1, lg x + 十》2 1B. x ^+1 <1（x € R ）C. 当x>0时， x + 1x > 21D. 当0<x < 2时，x — 一无最大值x 答案 C解析 对于A ，当0VXV1时，lg x<0,不等式不成立；对于 B ，当x _ 0时， 有x 2+ 1 _ 1,不等式不成立；对于 C ,当x>0时，也+扌》2寸应扌_2,当且1①若a + b _ y —1,贝U mx + ny _(mx + ny) •_ (mx + ny) •£+ b >ma + nb +2 ,mnab② x + --- _ x — a + x — abx —+ a >a + 2 b(x>a , b>0).仅当x_ 1时等号成立；对于D,当0<x W 2时，y_x—-单调递增，所以当x_ 2时,x3取得最大值，最大值为3.故选C.2. _______________________________________________ 已知0<x<1，则x(4 - 3x)取得最大值时x 的值为 _______________________________ .2答案2解析 x(4 — 3x) = * (3x)(4 — 3x)<—，当且仅当 3x = 4— 3x ,2 4 2 即x =彳时，取等号•所以x(4 — 3x)的最大值为4取得最大值时x 的值为3.3. 设x>— 1,则函数 y =迸严的最小值为 答案 92解析••• x>— 1,A x + 1>0「= x +x ±^= x +1，即x =1时取“=”(由于x> — 1,故x = — 3舍去)，••• y =迸丁的最小 值为9.4. ____________________________________________________________ (2018江苏高考)在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,Z ABC =120°, / ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD = 1,贝U 4a + c 的最小值为 ______________________ .答案 9解析由题意可知，S A ABC = S A A BD + S A BCD , 由角平分线性质和三角形面积公 11 1 1 1 式得^acsin120 =2*x 1 x sin60 + 沖 1x sin60 ° 化简得 ac = a +c ,首+ "= 1, 因 此4a + c = (4a + c) £+三)=5+1+鲁》5+ 2、^£甲=9,当且仅当c = 2a = 3时取等 号，则4a + c 的最小值为9.【误区警示】1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即 “一正一一各项都是正 数；二定 和或积为定值；三等 能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一 不可.2.第 2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变 形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值. 第4 题利用T 的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价•热点3简单的线性规划问题方法结论1. 解决线性规划问题的一般步骤⑴画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； ⑶x + 1 X + 12(x + 1)+ 5(x + 1)+ 4 = x + 1+ 丄 = x +1x + 1 + 5>2\/(x + 1)x ++1+ 5 = 9,当且仅当 x + 1 =求出目标函数的最大值和最小值.2. 常见代数式的几何意义Az z(1) z= Ax+ By表示与直线y= —RX+B在y轴上的截距B成比例的数；(2) z= (x —a)2+ (y—b)2区域内动点(x, y)与定点(a, b)的距离的平方；(3) z= y——a表示区域内动点(x, y)与定点(a, b)连线的斜率.3. 求解线性规划中含参问题的基本方法(1) 首先把不含参数的平面区域确定好；(2) 把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围.4. 解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；⑵列出线性约束条件和目标函数；(3) 作出可行域并利用数形结合求解；(4) 作答.I【题型分析】题型1已知约束条件，求目标函数的最值2x+ 3y —6> 0，1. (2019全国卷U )若变量x，y满足约束条件x+ y—3w0，则z= 3x—yy —2 w 0，的最大值是________ .答案9解析作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y= 3x—z 过点C时，一z最小，即z最大.x + y — 3 = 0, x = 3, 由2 解得2 2x + 3y — 6 = 0, y= 0,即 C 点坐标为（3,0）,故 Z max = 3X 3— 0= 9.则z = x 2 + y 2 — 4x —6y + 13的最小值为 ______ .由于 z = x 2 + y 2— 4x —6y + 13= (x — 2)2 + (y — 3)2,故 z 表示可行域内的点 A(x , y)与定点P(2,3)间距离的平方，即z =|PAf.由图形可得|PA|的最小值即为点P(2, 3)到直线x + y — 4= 0的距离d =|2+ 3 — 4| =亚2 = 2 ,2 1所以 Z min = d = ?.|【误区警示】|第1、2题易错在不能准确把握目标函数z 的几何意义而不知如何变形 题型2已2.(2019晋城一模)若x , y 满足约束条件 x + y —4< 0,ly 》2,解析知目标函数的最值求参数x> 1,1. （2019华南师大附中一模）已知a>0, x, y满足约束条件x+ y<3, 若y>ax—3,z= 2x+ y的最小值为1,贝U a=( )C. 1答案Ax= 1, 解析由约束条件画出可行域（如图所示三角形及其内部）.由'$= ax—3）得B（1, —2a）.当直线2x+y—z= 0过点B时，z= 2x+ y取得最小值，所以1 = 2X 1 1—2a,解得a= q,故选A.x—y>0,若z= ax+ y的最大值为4,贝U a=2.知x,y满足约束条件x+y<2,在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示,若z = ax + y 的最大值为4, 则y = — ax + z 截距的最大值为4. ① 若a<0,则不满足条件；② 若a>0,当一a<— 1,即a>1时，x = 2, y = 0是最优解，此时a = 2；当一 a> — 1,即0<a<1时，x = 1, y = 1是最优解，此时a = 3>1(舍).故选B.【误区警示】第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线 y = a(x — 3)恒过定点(3,0)而 不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z 与直线y = — ax + z 截距最值相同， 易忽视关于a 的正负讨论而漏解或错解.题型3线性规划的实际应用(2019黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产 一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白 糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产 一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不 超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为 _________________________________ .答案 600解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元， 「4x + y < 10, 18x + 15y < 66,则得 3x + y < 9, x > 0,Ly >0.目标函数z = 200x + 100y.4x+y-l0=0「4x + y < 10, 6x + 5y < 22, 即 3x +y < 9,x > 0, L y >0.6%+5y-22=0作出可行域（如图阴影部分所示）•当直线z= 200x+ 100y经过可行域上点B 时，z取得最大值.4x+ y= 10,解方程组* 得点B的坐标（2,2）,故Z max= 200X 2+ 100X2 = 600.©x+ 5y= 22,I【误区警示】I1. 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.2. 在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等.真题自检感悟1. （2019 全国卷I ）已知a= log20.2，b = 20'2，c= 0.20'3,则（）A.a<b<cB. a<c<bC.c<a<bD. b<c<a答案B0 2 0 3解析因为a= log20.2<0，b = 2 .>1,0<c= 0.2 .<1，所以b>c>a.故选B.（2x+ 3y —3 w 0，2. （2017全国卷U ）设x,y满足约束条件2x- 3y+ 3>0，则z= 2x+ y的最y+ 3> 0，小值是（）A. - 15 B . - 9C. 1D. 9答案A解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.将目标函数z = 2x + y 化为y = — 2x +z ,作出直线y = — 2x ,并平移该直线， 知当直线y = — 2x + z 经过点A(— 6, — 3)时，z 有最小值，且z min — 2 X(— 6)— 3 = —15.故选A. .2 [x — x + 3, x W 1,3.(2017天津高考)已知函数f(x) — 2 设a € R ，若关于x 的|x + ^, x > 1. 不等式f(x)> -+ a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )2 A 』-16, 2 C.[ — 2 3, 2] B. _-16, 19 D 」-2飒 答案 A x x解析 关于x 的不等式f(x)》2+ a 在R 上恒成立等价于—f(x)< a +-< f(x), x x即一f(x) — a <f(x) — q 在R 上恒成立,x令 g(x)二一f(x) —2.当 x < 1 时，g(x)= — (x 2— x + 3)— x = — x 2+1— 3——x -42-箱,,g(x)max — — 16；r +x )- 2-- &+ 当且仅当労=x ，且 x > 1,即x —时, 故 g(x)max = — 2 3.宀 47 综上，g(x)max = —当x —当 x > 1 时，g(x)= —xa 1 1综上可得2 + 8的最小值为4.专题作业一、选择题1.（2019北京高考）若 x ,y 满足xi < 1— y ,且y 》—1,则3x +y 的最大值为（ ） A. — 7 B . 1 C . 5D . 7令 h(x) = f(x) — 2, 当 x < 1 时，h(x) = x 2 — x + 3—x = x 2 —爭+ 3 3 2 39 x —4 +16,当x = 当x > 1时, 39 h(X )min = 16； 2 x x 2 h (x )=x +x —x =x +x > 2, 2 x ，且 x > 1,即 x = 2 时,入当且仅当2=故 h （x ）min = 2. 综上，h （x ）min = 2. -47 故a 的取值范围为i|—屁，2 A. 1 4.（2018天津高考）已知a , b € R ,且a - 3b + 6 = 0,则2a+衣的最小值为 1 答案1 1 解析 由 a — 3b + 6= 0 可知 a — 3b = — 6,且 2a + 衣=2a + 2—3b , 因为对于任意x,2x >0恒成立， 结合均值不等式的结论可得， 2a + 2— 3b > 2 2a X 2—3b = 2 2—6=4. 当且仅当^2 a 2 — 3b _a — 3b _ — 6, a _ — 3,即:b _1时等号成立.答案CxA. 12, B 』-2, C. [1 ,+x ） D.-2 U [1 ,+x ） 答案解析二三0? 2X + 1 [（x —1I 2x + 1 戶 0, 2X + 1M 0, 解得1—2=x < 1, 1 即一2<x < 1.故选 A.x3. （201 7山东高考）若a>b>0,且ab= 1,则下列不等式成立的是（）1 bA.a+ b v2a v log2（a + b）b 1B^v log2（a+ b）v a+ £C.a+ log2（a+ b）vD. log2（a+ b）v a+ 萨亍答案B解析解法一：v a> b>0, ab= 1,••• log2（a+ b）>log2（2 . ab）= 1.2 2v a>b>0 且ab= 1 ,• a >ab>b，贝U a>1,0<b<1,于是2a>2, • 0<^<2，贝U ^75<21V a +b = a+ * 2a>a+ b>log2（a+ b），b 1•2a<log2（a+ b）<a+ &故选 B.、一 1解法: v a>b>0, ab= 1 ,•取a=2, b=q,此时 a + ¥= 4,8, log2（a+ b）= log25-1~ 1.3, b 1 •2^v log2（a+ b）v a+ £.故选 B.4.(2019北京师范大学附中模拟）已知a>0,111b>0,并且a，2，b成等差数列,则a+ 9b的最小值为()A.16B. 9C. 5D. 4答案A1 1 1解析• a, 2, b成等差数列，a 2 b1 1 “• 一+二=1a b（1 a 9b l a 9b , _, t a 9b _• a+ 9b二（a+ 9b）孑拱10+a+ /10 +企/b訂16,当且仅当匸9■且1 1 41+ 1,即a = 4, b=3时等号成立.• a+ 9b的最小值为16,故选A.a5.已知函数f(x) = x+ -+ 2的值域为(一X, 0)U (4,+x)，则a的值是()X1 3A.g Bq C. 1 D. 2答案C解析由题意可得a>0,①当x>0时，f(x)= x + a+ 2>2 a+ 2,当且仅当x—a时取等号；②当x<0时，f(x) = x+a+ 2< —2 a + 2,当且仅当x=—, a时取入2 +晋4,解得a = 1,故选C.2 — 2 压 0,等号，所以< 6.（2018 天津高考）已知 a = log 2e , b = In 2, 11c = Iog23，则a , b , c 的大小关系为（） A.a>b>c b>a>c c>a>bC.c>b>a 答案 D解析由题意结合对数函数的性质可知， 1 11a = Iog 2e>1,b = In 2 = （0,1）,c = log^^Iog 23>log 2e,据此可得，c>a>b.故选D.7.已知 A.8 答案 1 1x , y>0且x + 4y = 1,贝r + -的最小值为（）x yB . 9C . 10D . 11解析1 1 訂 1、 V Xx , y>0 且 x + 4y = 1,二 x +y = （x + 4y ） - + y J= 5+ 4 ?+5+当且仅当4X =x 即1 x= 3, 1 y =1x = — 1, 或 1（舍去）时等号成立.故选B.尸2x — 2y + 1 > 0,8.（2019华大新高考联盟模拟）若实数x,y 满足不等式组 y 》x ,则x > 0,x 2 + y 2的取值范围是（）A 』4, 2：B . [0,2] C.g ,辺 D . [0, <2]答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示（含边界）,x2+ y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然0点为最小值点, 而A（1,1）为最大值点，故x2+ y2的取值范围是[0,2] •故选B.■p x—1 > 0,9若x, y满足约束条件x—y<0, 贝巴的最大值为（）x+ y—4< 0,A.1 B1C. 3D. 0答案C解析作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，丫是可行域内一x点与原点连线的斜率，由图可知，点A（I,3）与原点连线的斜率最大，故y的最大值入为3.故选C.*X-1 =0/I\/r-Y=0- 4=1/ 1 >/0 1 kx —y> 0,10.若直线I: kx—y+ 1= 0上不存在满足不等式组x+ y—2< 0, 的点（x,x —4y—4< 0y），则实数k的取值范围为（）A.（", 0] U 4+x 丿c.i , o )u 4，+-答案 Dx — y > 0,解析 实数x , y 满足x +y — 2< 0,对应的可行域如图中阴影部分:x — 4y — 4< 0,A.16 C . 6 D . 1答案 C1 1 1 1 a + b解析 •••正数a , b 满足：-+ r = 1,：a>1且b>1.-+ 7= 1可变形为一匚=1, a ba b ab•, _d_..--ab = a + b,.. ab — a — b = 0,.. (a — 1)(b — 1) = 1,.. a — 1 =, - a —1>0, b — 119 1 1 1 .R + b —1 = R + 9(— 2a —19a -1 = 6,当且仅当 R= 9(a—1)，即a =4时取“=”由于a >1，故a =2舍去，二a ——1+b —1的最小值为6.故 选C.1 9 212.(2019太原模拟)已知直线I : kx — y + 1= 0可化为y = kx + 1,故直线I 过定点C(0,1),由图可知,[x — y = 0,当直线I 过的交点A(1,1)时，k = 0;当直线Ilx + y — 2= 04 时 k =7，x —；；! 0的交由此可知当0<k<7时， 式组的点.故选D.直线与不等式组无交点，即直线I 上不存在满足不等11.若正数a , b 满足: 11 1 9a +1=1则L +□的最小值为()7正数a, b满足占+b= 1,若不等式a+ b》—x+ 4x + 18—m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3 ,+x) B . (", 3]C.( — x, 6] D . [6 ,+x)答案 D1 9解析■/ a>0, b>0,且-+ 匚二1,a b八a+ b=(a+b) a+b =10+a+旱》10+2 ,b9a=16,当且仅当£=曽，即a= 4, b= 12时等号成立，所以(a+ b)min = 16.若不等式a+ b> —x2+ 4x+ 18—m对任意实数x恒成立，则—x2+ 4x+ 18 —m< 16,即卩m》一x2+ 4x+ 2对任意实数x恒成立，2 2••• —x + 4x+ 2= —(x —2) + 6<6,二m》6.•••实数m的取值范围是[6, +^).故选D.二、填空题y》1,13. 已知实数x,y满足y w2x—1 , 如果目标函数z=x—y的最小值为一1,-x+ y< m,则实数m等于_________ .答案5解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界),数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以呼-筈1二-1,解得 m = 5.14.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元•要使一年的总运费与总存储费用之和最 小，贝U x 的值是 _______ .答案 30解析一年的总运费为6X 6x°=響万元). 一年的总存储费用为4x 万元.36004x = 240,当且仅当3600= 4x ，即x = 30时取得等号,入x + y < 6,15.(2019衡水中学检测)设满足 ％ 产2， 的实数x,y 所在的平面区域为x > 0, y > 0Q,则Q 的外接圆方程是 ________________ .答案 (x - 1)2+ (y - 3)2= 10解析 作出不等式组表示的平面区域 Q,如图阴影部分所示.贝皿域Q 是四 边形ABCO(含内部及边界)•易知BC 丄AB ,则外接圆的圆心为AC 的中点，又A(0,6), C(2,0),则该四边形外接圆的圆心为(1,3),半径r = 2|AC | = . 10故所求圆的方程为 (x -1)2+ (y - 3)2= 10.联立直线方程尸2x _ 1, y=- x + m ,可得交点坐标为人晋1,竺孑1 ［由目标函总运费与总存储费用的和为3600+ 4x 万元.所以当 x = 30时，一年的总运费与总存储费用之和最小16•若实数x, y满足x2+ y2< 1,则|2x+ y—2| + |6 —x—3y|的最小值是答案3解析x2+ y2< 1表示圆x2+ y2= 1及其内部，易得直线6—x—3y= 0与圆相离，故|6—x—3y|= 6—x—3y,当2x+ y —2>0 时，|2x+ y —2|+ |6—x—3y|= x—2y + 4,如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z= x—2y+ 4,贝U可知当x3 4—5, y= 5时，Z min —3,当2x+ y—2w0 时，|2x+ y—2|+ |6—x—3y|= 8—3x—4y,3 4可行域为大的弓形内部，目标函数Z—8—3x —4y,同理可知当x —5，y—5时，Z min=3,综上所述,。

专题一 会合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲 不等式、线性规划思想方法解说对于解不等式， 主要波及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，而且以一元二次不等式为主．2．对于线性规划知识的考察主要经过图示的方法获取最优解或已知最优解求参数， 此类题型有时需要借助一个实质背景． 此中以考查线性目标函数的最值为要点， 常联合其代数式的几何意义 (如斜率、截距、距离、面积等 )来求解．3．对于基本不等式重在考察对代数式的转变过程及合用条件、等号建立条件的查验， 在求最值或不等式恒建立问题中常用基本不等式.x．·广东珠海二模若会合＝≤02 ，)，B ＝{ x|x<2x} 1 (2017A xx －1则 A ∩B 等于()A ．{ x|0<x<1}B ．{ x|0≤x<1}C ．{ x|0<x ≤1}D ．{ x|0≤x ≤1}[分析 ]会合 A＝ xx≤0＝ { x|0≤x<1} ， B＝{ x|x2<2x} ＝x－1{ x|0<x<2} ，因此 A∩B＝{ x|0<x<1} ．[答案] Ax－y＋3≤0，2．(2017 ·山东卷 )已知 x，y 知足拘束条件 3x＋y＋5≤0，则zx＋3≥0，＝x＋2y 的最大值是 ()A ．0 B．2 C．5 D．6[ 分析 ]x，y 知足的拘束条件对应的平面地区如图中暗影部分所示，将直线x zy＝－ 2＋2进行平移，明显当该直线过点A(－3,4)时z 取得最大值， z max＝－ 3＋8＝5.[答案]C1 23．(2015 ·湖南卷 )若实数 a，b 知足a＋b＝ab，则 ab 的最小值为()A. 2 B．2 C．2 2 D．41 2 b ＋2a[ 分析 ] 解法一：由已知得 a ＋ b ＝ ab ＝ ab ，且 a>0，b>0，∴abab ＝b ＋2a ≥2 2 ab ，当且仅当 1＋2＝ ab ，时等号建立， a bb ＝ 2a ，∴ab ≥2 2.1 22解法二：由题设易知a>0， b>0，∴ ab ＝a ＋b ≥2ab ，即≥，当且仅当 1＋2＝ ab ， 时，取等号，选 C.abab 22b ＝2a[答案]C4．(2017 ·山东卷 )若 a>b>0，且 ab ＝1，则以下不等式建立的是()1 bA ．a ＋b <2a <log 2(a ＋b)b1B. 2a <log 2(a ＋b)<a ＋b1 bC ．a ＋b<log 2(a ＋b)<2a1 bD ．log 2(a ＋b)<a ＋b <2a[ 分析 ] 特值法：令 a ＝ ， ＝1，可清除 A 、C 、D.应选 B.2 b2[答案]B2x －y －6>0，5 ． ·山西四校联考 )已知实数 ， 知足 y ≥1x －3，则(2017x y 2x ＋4y ≤12，y－3z＝x－2的取值范围为 ________．[分析 ]不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，z＝y－3表示点D(2,3)与平面地区内的点 (x， y)之间连线的斜率．因点x－2与连线的斜率为－1且 C 的坐标为 (2，－ 2)，故由图知 zD(2,3)B(8,1)3y－31＝x－2的取值范围为－∞，－3.1[答案]－∞，－3考点一不等式的解法求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式 ax2＋ bx ＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0(a≠0)的根，最后依据相应二次函数图象与x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转变为整式不等式 (一般为一元二次不等式 )求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，要点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．[对点训练 ]． ·全国卷Ⅰ 设会合 ＝ { x|x 2－ 4x ＋3<0} ，B ＝{ x|2x －3>0} ， 1 (2016 ) A则 A ∩B ＝()A. －3，－3B. －3，322，33，3C.1 2D. 2[ 分析 ] ∵x 2－4x ＋3<0? (x －1)(x －3)<0? 1<x<3，∴ A ＝{ x|1<x<3} ．33∵ 2x －3>0? x>2，∴ B ＝ x|x>2 ，∴ ∩ ＝ 3 3，3 应选A B x|2<x<3 ＝ 2 .D.[答案] D2e x － 1， x<2，2．(2017 ·河北质量监测 )函数 f(x)＝，x ≥2，log 3 x 2－1 则不等式 f(x)>2 的解集为 ()A ．(－2,4)B ．(－4，－ 2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪( 10，＋∞ )D ．( 10，＋∞ )[ 分析 ] 令x － 1 ，解得 1<x<2 ；令 3 2－1)>2(x ≥2)， 2e >2(x<2) log (x解得 x>10，应选 C.[答案] C3．(2017·广东清远一中一模)对于x 的不等式ax －b<0的解集是(1，＋∞ )，则对于x 的不等式(ax ＋b)(x －3)>0的解集是 ()A ．(－∞，－ 1)∪(3，＋∞ )B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞， 1)∪(3，＋∞ )[ 分析 ] 对于 x 的不等式 ax －b<0 即 ax<b 的解集是 (1，＋∞ )，∴ a ＝b<0，∴不等式 (ax ＋b)(x －3)>0 可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－ 1<x<3，∴所求不等式的解集是 (－1,3)．应选 C.[答案]C|x|＋2，x<1，4 ．·天津卷 已知函数f(x) ＝设 a ∈R ，若关(2017)＋2，x ≥1.xx于 x 的不等式 f(x)≥ x＋a 在 R 上恒建立，则 a 的取值范围是 ()2A ．[－2,2]B ．[－2 3，2]C ．[－2,2 3]D ．[－2 3，2 3][ 分析] 作出的图象如下图，当 ＝x ＋a 的图象经过点 (0,2)f(x)y2时，可知 a ＝±2.当 y ＝x＋a 的图象与 y ＝x ＋2的图象相切时，由 x＋a2x22＝x ＋x ，得 x 2－ 2ax ＋4＝ 0，由＝0，并联合图象可得 a ＝2.要使f(x)≥x＋a 恒建立，当 ≤时，需知足－ ≤ ，即－ 2 ≤ ≤ ，当2a 0a 2a 0a>0 时，需知足 a ≤2，因此－ 2≤a ≤2.[答案]A(1)求解一元二次不等式的 3 步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，如有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．(2)解一元二次不等式恒建立问题的 3 种方法：①图象法；②分别参数法；③改换主元法．考点二基本不等式的应用a＋b1．基本不等式：2≥ab(1)基本不等式建立的条件：a>0，b>0.(2)等号建立的条件：当且仅当a＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号．(2)a b≤a＋b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．222(3)a ＋b≥a＋b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．22b a(4)a＋b≥2(a，b 同号 )，当且仅当 a＝b 时取等号．[对点训练 ]1．(2017 ·河北衡水中学调研 )若 a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为 ()A ．8 B．6 C．4 D．2[ 分析 ]由a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，1 1 1 1 b a即 ab＝a＋b，则有a＋b＝1，因此 a＋b＝a＋b(a＋b)＝2＋a＋b≥2b a＋2·＝4，当且仅当a＝b＝2时等号建立，因此a＋b的最小值a b 为 4，应选 C.[答案] C2．设 a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，那么 ()A ．a＋b 有最小值 2＋22B．a＋b 有最大值 2＋22C．ab 有最大值 2＋1D．ab 有最小值 2＋2 2[ 分析 ] ∵a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，∴1＋a＋b＝ab≤a＋b 2，2则(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，得 a＋b≥2＋ 2 2或 a＋b≤－ 2 2＋2(舍去)，当且仅当 a＝b＝1＋ 2时等号建立．∵ a＋b＝ab－1≥2＋2 2，∴ab≥3＋2 2，当且仅当 a＝b 时等号建立，应选 A.[答案] A1123．(2017 ·海淀期末 )当 0<m<2时，若m＋1－2m≥k2－2k恒建立，则实数 k 的取值范围为 ()A ．[－2,0)∪ (0,4]B ．[ －4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]11 1[分析] 因 为 0<m< 2 ， 所 以 0< 2 ×2m ×(1 － 2m)≤ 2× 2m ＋ 1－2m 2＝ 1 当且仅当 ＝ － ，即 12 8( ＝ 时取等号 )，所2m 1 2m m 4以1＋2＝1 ≥8，又 1＋ 2 ≥k 2－2k 恒建立，因此 k 2m 1－2m m 1－2m m 1－2m－2k －8≤0，因此－ 2≤k ≤4.因此实数 k 的取值范围是 [－ 2,4]．应选D.[答案] D4． (2017 ·天津卷 )若 a ，b ∈R ，ab>0，则 a 4＋4b 4＋1 的最小值为ab________．[ 分析 ] ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当 a 2＝2b 2 时 “＝ ”成立)，4＋4b 4＋12 2＋11，因为 ab>0，∴a≥4a b＝4ab ＋ababab∴ ＋ 1≥214 当且仅当 4ab ＝ 1时“＝ ”建立 ，· ＝4ab ab 4ab ab aba 2＝2b 2， a 4＋4b 4＋1 故当且仅当1时， ab 的最小值为 4.4ab ＝ab[答案] 4利用基本不等式求函数最值的3 个关注点(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别合适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值)、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑” 的技巧b把求最值的函数或代数式化为ax＋x(ab>0)的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．考点三线性规划问题1．线性目标函数z＝ax＋by 最值确实定方法线性目标函数z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为a z zy＝－ bx＋b，可知 b是直线ax＋by＝z在y 轴上的截距，要依据 b 的符号确立目标函数在什么状况下获得最大值、什么状况下获得最小值．2．常有的目标函数种类a z(1)截距型：形如 z＝ax＋by，能够转变为 y＝－b x＋b，利用直线在 y 轴上的截距大小确立目标函数的最值；y－b(2)斜率型：形如 z＝x－a，表示地区内的动点 (x，y)与定点 (a，b)连线的斜率；(3)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示地区内的动点(x，y)与定点 (a，b)的距离的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示地区内的动点(x，y)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍．角度 1：给出拘束条件求地区面积和目标函数的最值[ 分析 ]由拘束条件作出可行域，如图暗影部分所示．平移直线 3x－2y＝0 可知，目标函数 z＝3x－2y 在 A 点处取最小值，x＋2y＝1，x＝－ 1，又由解得即 A(－1,1)，2x＋y＝－ 1y＝ 1，因此 z min＝3×(－1)－2×1＝－ 5.[答案] －5[ 研究追问 ]在例 1－1的条件下， z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是________．1[分析] 由x－y＝0，x＝3，即C1，1. x＋2y＝1，解得1 3 3y＝3，(x＋1)2＋y2的几何意义是地区内的点 (x，y)与定点 (－1，0)间距离的平方．由图可知，点 (－1,0)到直线AB： 2x＋ y＋1＝0 的距离最小，为|－2＋1|5115 ＝5，故 z min＝5；点(－1,0)到点 C 的距离最大，故 z max＝3＋11 171 17 2＋ 3 2＝ 9 .因此 z ＝(x ＋1) 2＋y 2 的取值范围是 5， 9 .1 17[答案] 5， 9角度 2：由最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围【 例 1 － 2 】(2017 ·开 封一 模 ) 若 x ， y 满 足 拘束 条 件x ＋y ≥1，x －y ≥－ 1， 且目标函数 z ＝ax ＋2y 仅在点 (1,0)处获得最小值， 则2x －y ≤2，a 的取值范围是 ()A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)[ 思想流程 ]确立 → 找到 → 代入求参数 可行域 最优解 值 或范围[ 分析 ] 作出不等式组表示的地区如图中暗影部分所示，直线zaa＝ax ＋2y 的斜率为 k ＝－ 2，从图中可看出，当－ 1<－2<2，即－ 4<a<2 时，目标函数 z 仅在点 (1,0)处获得最小值．应选 B.[答案]B解决线性规划问题的 3 个步骤(1)作图——画出拘束条件所确立的平面地区和目标函数所表示的平面直线系中的随意一条直线l .(2)平移——将 l 平行挪动，以确立最优解所对应的点的地点．有时需要对目标函数l 和可行域界限的斜率的大小进行比较．(3)求值——解相关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．[对点训练 ]1．[角度 1]某旅游社租用 A，B 两种型号的客车安排900 名客人旅游，A，B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为 1600元/ 辆和 2400 元/ 辆．旅游社要求租车总数不超出21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为 ()A ．31200 元B．36000 元C．36800 元D．38400 元[ 分析 ] 设分别租用 A，B 两种型号的客车 x 辆，y 辆，所用的总租金为 z 元，则 z＝1600x＋2400y，36x＋60y≥900，此中x，y知足不等式组x＋y≤21，(x，y∈N* )．y－x≤72其可行域如图中暗影部分，由z＝1600x＋2400y，得 y＝－3x＋z2z2400.当直线 y＝－3x＋2400过点 M(5,12)时，z min＝1600×5＋2400×12＝36800.[答案]C2．[角度 2](2017 ·北八校联考湖 (一))若实数 x，y 知足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，此中 m>0，且 x＋y 的最大值为 9，则实数 m＝( ) x－my＋1≥0，A ．4 B．3 C．1 D．2x＋ 3y－ 3≥0，[ 分析 ]依据拘束条件2x－y－3≤0，画出可行域如图中阴x－my＋1≥0影部分所示．x－my＋1＝ 0，3m＋15设z＝x＋y，由2x－y－3＝0，得A2m－1，2m－1.易知当z 3m＋15＝x＋y 经过点 A 时， z 获得最大值，故2m－1＋2m－1＝9，得 m＝1.[答案]C热门课题 4求解不等式中参数范围问题[感悟体验 ]1． (2017 ·安徽六安一中月考 )在区间 (1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，则 m 的取值范围为 ()A ．m>－4 C．m>－5B．m<－4 D．m<－5[ 分析 ]记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)上有解，需知足f(1)>0 或 f(2)>0，即 m＋5>0 或 2m＋8>0，解得 m>－5.应选C.[答案]C2．(2017·唐山一模)已知a>1，b>0，若a＋b＝2，且a－1＋b<m2－m＋2恒建立，则实数m 的取值范围为()A ．[0,1]B．(－∞， 0]∪[1，＋∞ )C．(0,1)D．(－∞， 0)∪(1，＋∞ )[ 分析 ] 由题意可得 (a－1＋ b)max<m2－m＋2，∵ a>1，b>0，a ＋ b ＝ 2 ，∴ a － 1>0 ， a － 1 ＋ b ＝ 1.∴ a－1 ＋ b≤ 2[ a－1 2＋ b 2＝，当且仅当＝－，＋＝，即a ＝3，]2 b a 1 a b 22b＝12时取等号，因此m2－m＋2> 2，解得 m>1 或 m<0.应选 D. [答案]D。

1．设变量x ，y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A ．7-B ．4-C ．5-D ．22．已知实数x ，y 满足约束条件0301x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x yz -+=的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1-3．设变量x 、y 满足约束条件02360x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则34x y x +--的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．12-D ．24．已知实数x ，y 满足约束条件1022x y x y y a ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为5，则a 的值为（ ）A ．73-B ．13C ．1D ．25．设x ，y 满足24020330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则21y z x =+的范围（ ）A ．19,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．118,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．161,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．81,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知实数x 、y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z y ax =-取得最小值时的唯一最优解是()1,3，则实数a 的取值范围为（ ）一、选择题线性规划A ．(),1-∞-B ．()0,1C ．[)1,+∞ D ．()1,+∞7．设实数x ，y 满足约束条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则24x y z =⨯的最大值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．168．已知点(,)x y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的范围为（ ） A ．(1,2)-B ．(4,2)-C ．(2,1)-D ．(2,4)-9．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．355B ．255C ．3D ．510．已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1411．若x ，y 满足32x x y y x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1y x +的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．43D ．112．已知实数,x y 满足()()22254x y -+-=，则()2221xy x x y -+-的最大值为（ ）A ．24B ．617C ．1225D ．2512二、填空题13．设实数x，y满足215x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则4z x y=+的最小值为______．14．已知实数x，y满足不等式组2202x yyy x+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则1yx+的最大值为_______．15．已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22(2)(2)x y-+-的取值范围是_______．16．已知x，y满足203012yxx y⎧⎪-≤⎪+≥⎨⎪⎪-+≤⎩，则264x yx+--的最大值是__________．1．【答案】A【解析】画出变量x，y满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数2z y x=-可化为2y x z=+，显然直线2y x z=+在y轴上的截距最小时，z最小，平移直线2y x=经过点A时，z最小，联立3020yx y-=⎧⎨--=⎩，解得()5,3A，此时min3257z=-⨯=-．2．【答案】C【解析】由实数x，y满足约束条件301x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，答案与解析一、选择题则22x yz -+=的最大值就是2t x y =-+的最大值时取得，联立01x y y -=⎧⎨=⎩，解得(1,1)A ．化目标函数2t x y =-+为2y x t =+，由图可知，当直线2y x t =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值为12． 3．【答案】B 【解析】由约束条件02360x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，作出可行域如图，其中()4,1A -，()3,3B ，()1,1C ，()2,0D ，34x y z x +-=-114y x +=+-，Q 可行域内的动点与()4,1A -的连线的最小值为13443AB k --==--， 34x y z x +-∴=-的最小值为413-+=-．4．【答案】B 【解析】作出不等式对应的平面区域如图：(1,)B a a --，()22,D a a +，(0,1)C -，由2z x y =-，得2y x z =-，由图象可知当直线2y x z =-，经过点D 时，直线2y x z =-的截距最小，此时z 最大为5， 即2(22)5a a =+-，得13a =． 5．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下：因为02(1)y z x -=⋅--表示可行域内的动点(,)x y 与平面内的定点(1,0)P -连线的斜率的2倍，观察图象可知最优解为M ，N ， 联立方程组20240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得28(,)33M ；联立方程组330240x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得76(,)55N ，所以max 165z =，min 1z =． 6．【答案】A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图：由图象可知当阴影部分必须在直线y ax z =+的右上方， 此时需要满足直线y ax z =+的斜率a 小于直线AB 的斜率即可，直线AB 的方程为40x y +-=，即4y x =-+，直线AB 的斜率为1-，1a ∴<-， 因此，实数a 的取值范围是(),1-∞-． 7．【答案】D【解析】作图可得，可行域为阴影部分，对于24x y z =⨯，可化简为22x y z +=， 令2h x y =+，明显地，当直线2h x y =+过()0,2时，即当24x y +=时，h 取最大值4，则24x y z =⨯的最大值为16．8．【答案】B 【解析】不等式组对应的可行域如图所示：其中()1,0C ，若0a >，因目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，所以动直线22a z yx =-+的斜率102a-<-<，故02a <<．若0a ≤，因目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，所以动直线22a z yx =-+的斜率022a≤-<，故40a -<≤．综上，42a -<<． 9．【答案】A【解析】作出不等式组230xx yy≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：=()0,0的距离，过点O作直线230x y+-=的垂线OH，的最小值为OH==．10．【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()1,2A a-处取得最小值，即221a-=，12a=．11．【答案】B【解析】画出目标函数可行域如上图所示，目标函数1yx+即为(),x y点()0,1-连线斜率的取值，所以在点B处取得最优解，联立直线方程解得()1,1B，所以11121yx++==．12．【答案】A【解析】所求式()()2222(1)2121xy x x yx y x y--=+-+-，上下同除以(1)x y-，得1211x yy x-+-，又1yx-的几何意义为圆上任意一点(),M x y到定点()0,1N的斜率，由图可得，当过()0,1N的直线与圆相切时取得临界条件．当过M坐标为()0,5时相切为一个临界条件，另一临界条件设:1(0)MNl y k x-=-，化成一般式得10kx y-+=，因为圆与直线相切，故圆心()2,5到直线10kx y-+=的距离225121kdk-+==+，所以221k k-=+，22441k k k-+=+，解得34k=，故134y+x-⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭，．设1ykx-=，则112121x yky x k=-++-，又34k+⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭，，故22222k kk k+≥⋅=，当2k=时取等号．故11122124221=x yky x k=≤-++-．二、填空题13．【答案】53【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示：观察可知，当4z x y =+过点C 时，z 有最小值，联立210x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得13x y ==，即11,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故4z x y =+的最小值为53． 14．【答案】2 【解析】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由()011y y x x -=+--，即1y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率， 显然直线AD 的斜率最大， 又由2202x y y +-=⎧⎨=⎩，解得()0,2A ，则02210AD k -==--，所以1yx +的最大值为2．15．【答案】1,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出可行域如图：()()2222x y -+-的几何意义为，可行域内一点(,)x y 与定点(2,2)的距离的平方，因此过(2,2)分别向三条直线做垂线段，15d ==，25d ==，310d ==， 故最小值为110，连接三个顶点，计算知最大值为5， 故取值范围1,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 16．【答案】2 【解析】作可行域如图，264x y x +--112124PA y k x -=+⨯=+-，其中(4,1)A ，P 为可行域内任一点， 因为51()124(3)2PA PB k k --≤==--，所以264x y x +--的最大值是2．。

2020年高考数学二轮重难点复习：简单的线性规划近三年的高考对简单线性规划的考查主要表现在要求学生会从实际问题中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的几何意义的基础上会画出二元一次不等式组表示的平面区域并求出最优解等方面.体现了基础性、融合性、思想性的特点.提高本专题的复习效率，要求教师在认真研究近几年高考试题的基础上，把握简单线性规划的命题特点，从多元视角切入，帮助学生理解线性规划知识的本质.1试题特点简单线性规划是近几年高考的热点之一，试题一般为一道小题，在选择题与填空题部分出现，保持相对的稳定性.分析近几年高考试题，对简单线性规划问题的考查体现出以下的几个特点.基础性:命题注重对学生线性规划的基本知识、基本技能的考查，关注学生的共同基础，侧重知识与方法的应用.要求学生会运用所学知识将二元一次不等式组表示成平面区域，并求出线性目标函数z=ax+by的相关问题.试题难度一般不大，面向全体，强调有效检测学生对简单线性规划知识的理解与运用融合性:近几年高考在重视基础的同时，注重从学科整体意义来考查学生思维能力，强调在知识网络交汇点处命制简单线性规划考题.如将直线、斜率、距离等作为目标函数，考查线性规划与解析几何的融合的斜率型、距离型等目标函数的最优解；与三角函数融合考查可行域的面积；绝对值不等式中符号的选取等，这些对学生的思维能力有较高的要求.思想性:高考对简单线性规划问题，重视对学生数学思想与方法的考查.命题时注重以思想价值立意，考查学生对数学思想与方法的掌握程度.要求学生活用数形结合思想，理解二元一次不等式组表示的几何区域；运用转化与化归思想及函数与方程思想理解目标函数的几何解释，运用分类讨论及特殊与一般思想研究含参问题，确立最优解；要求学生会将实际问题抽象成线性规划模型求解，引导学生学会用数学的眼光看世界.2复习建议2.1理解知识本质，掌握通性通法把握知识本质是教与学成功的关键.求解线性规划问题的关键有两点:其一是将二元一次不等式组转化为可行域；其二是理解目标函数的几何意义，数形结合求解.高考对线性规划的考查较多以常规题的形式出现，这一类问题一般是可行域较为常规，但目标函数有变化.常出现的形式有:①直线型，转化成斜截式比较截距；②分式型，几何意义是已知点与在可行域内运动的动点连线的斜率；③平方型，其几何意义是动点与已知点之间的距离，需要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.因此在复习时应使学生准确理解二元一次不等式组的几何意义，准确画出二元一次不等式组所表示的平面区域，利用直线的性质求出目标函数的最优解例1设x，y满足约束条件，则z=3x－2y的最小值为.例2若x，y满足约束条件，则的最大值为.2.2关注知识融合，提升思维能力线性规划问题是数学工具性知识之一.以线性规划为背景，从知识融合的视角强化对解析几何、三角函数、绝对值不等式等相关知识的理解，有利于使学生在夯实数学基础知识和基本技能的基础上，提升解题能力.这类问题涉及知识点相对较多，设问灵活，能更好地体现高考选拔性考试的特点，要引起重视例3若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A. B.1 C. D.3例4设p:实数x，y满足，q:实数x，y满足，则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.3注重思想渗透，培育学科素养数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是学科知识的灵魂，也应成为复习的核心.线性规划专题的复习要注意从思想价值立意，适度淡化特殊技巧，注重强化学生对线性规划知识中所蕴含的数学思想方法的掌握.注意加强整体转化思想、数形结合思想、方程与函数思想及数学应用素养的训练.例5如果函数(m ≥0，n ≥0)在区间上单调递减，则mn的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D ． 模拟题1．已知实数x ，y 满足5,210,220,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．112．若实数x ，y 满足22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．5-B ．1-C ．5D ．64．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为A ．−7B ．1C ．5D ．75．设实数,x y 满足3260,3260,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则731x y +-的最小值为（）A ．15-B ．13-C ．11-D ．9-6．已知,x y R ∈，且00y y y +≤-≥≥⎪⎩，则存在R θ∈，使得cos sin 10x y θθ++=成立的(),P x y 构成的区域面积为（ ）。

2020届高考数学命题猜想不等式与线性规划2【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)f xg x>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1、（2018年北京卷）设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当 时,（2,1）【答案】D【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30【解析】总费用，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立.【变式探究】若,则( )（A ）c c a b < （B ）c cab ba < （C ）（D ）【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，，选项B 错误，，选项C 正确，，选项D 错误，故选C ．【变式探究】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x2－y2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y)⊗x 的最小值为________.(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.【答案】(1)2 (2)15【解析】(1)由题意，得x ⊗y ＋(2y)⊗x ＝x2－y2xy＋2y2－x22yx＝x2＋2y22xy ≥2x2·2y22xy＝2，当且仅当 x ＝2y 时取等号.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1， 所以y ＝tt2＋1＋3＋t ＝tt2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t>0，即x>1时，y ＝1t ＋4t＋1， 因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3、（2018年全国I 卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【变式探究】【2017山东，文3】已知x,y 满足约束条件,则z=x+2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20x y +=,可知当其经过直线与2y =的交点()1,2-时, 2z x y =+取得最大值，为,故选D.3. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 (1). -2 (2). 84. （2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．【答案】【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.5. （2018年北京卷）若,y满足，则2y−的最小值是_________.【答案】3【解析】不等式可转化为，即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为. 6. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】97. （2018年全国III卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】作出可行域1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件的可行域如图：5.【2017山东，文3】已知x,y 满足约束条件,则z=x+2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件，则y x z 2+=的取值范围是 A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30y【解析】总费用，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立.1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )（A ）c c a b < （B ）c cab ba < （C ）（D ）【答案】C2.【2016高考天津文数】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足，则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C.6.【2016年高考四川文数】设p ：实数x ，y 满足，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩ 则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A7.【2016高考新课标3文数】若,x y 满足约束条件 则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y =+经过点A 时，z 取得最大值.由得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，即1(1,)2A ，则．8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【答案】216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线73y x=-,当直线经过点M 时,z 取得最大值.【答案】A8.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为()A.315B.6C.235D.4【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示，【答案】C9.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x2＋1），x ＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.【解析】f(f(－3))＝f(1)＝0，当x ≥1时，f(x)＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为22－3.【答案】0 22－3专题练习1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a3＞b3 B.1a ＜1bC ．ab ＞1D ．lg(b －a)＜a【解析】选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a)＜0＜a ，故选D.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是()A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥4311．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.ca ＜b a B.b －ac ＞0 C.b2c <a2c D.a －c ac＜0 【解析】∵c<b<a 且ac<0，∴c<0，a>0，∴c a <b a ，b －a c >0，a －c ac <0，但b2与a2的关系不确定，故b2c <a2c 不一定成立．【答案】C12．已知不等式ax2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，－13，则不等式x2－bx －a<0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞【答案】A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[4，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)【解析】正数x ，y 满足x ＋y ＝1，当a>0时，1x ＋ay ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ，当且仅当y ＝ax 时取等号，因为1x ＋ay≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，∴1＋a ＋2a ≥4，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．当a ≤0时显然不满足题意，故选D.【答案】D14．已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y ＝f(－x)的图象可以为( )【解析】由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y ＝f(x)的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 【答案】B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2C ．22 D ．26【答案】B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，1【解析】由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[kMA,1)，即⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，1.【答案】A21．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥x4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[2,10]D ．[3,11]【答案】D22．已知函数f(x)＝4x －14x ＋1，若x1>0，x2>0，且f(x1)＋f(x2)＝1，则f(x1＋x2)的最小值为( )A ．14 B ．45C ．2D ．4【解析】由题意得f(x)＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1，由f(x1)＋f(x2)＝1得2－241x ＋1－242x ＋1＝1，化简得412x x ＋－3＝41x ＋42x ≥2×212x x ＋，解得2x1＋x2≥3，所以f(x1＋x2)＝1－2412x x ＋＋1≥1－232＋1＝45.故选B. 【答案】B23．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)【答案】A24．若关于x 的不等式ax －b>0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax2＋bxx －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，b a ＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax2＋bxx －1＝ax2－2ax x －1.∵a<0，∴x2－2xx －1<0，解得x<0或1<x<2，故选B.【答案】B25．若对任意x>0，xx2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a>15C ．a<15D ．a ≤15【解析】因为对任意x>0，xx2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)，xx2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15，故选A.【答案】A26．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A.12或14B.12或18 C ．1或12D ．1或14【解析】由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k ＝0或1，当k ＝0时，表示区域的面积为12；当k ＝1时，表示区域的面积为14，故选A.【答案】A27．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6,17，故z 的最小值为6，故选B.【答案】B28．在关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4]【答案】D29．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x>0，y ≤2，则z ＝2y2x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤43，4B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫43，4 C ．[2,4] D ．(2,4]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB)所示，其中A(1,2)，B(0,2)．z ＝2y2x ＋1＝yx ＋12＝y －0x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，则z 的几何意义是可行域内的点P(x ，y)与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0所连直线的斜率．可知kMA ＝2－01－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝43，kMB ＝2－00－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝4，结合图形可得43≤z<4. 故z ＝2y2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫43，4，故选B.【答案】(－∞，4)36．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋2y ≥42x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则可行域D 的面积为________．【解析】如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，43，B(0,2)，C(0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43.【答案】4337．函数f(x)＝1＋logax(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．【答案】238．设P(x ，y)是函数y ＝2x (x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．【解析】因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得 x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．【答案】2239．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y 的最大值是________．【解析】作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y ，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A(3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x ·2y 的最大值为29＝512.【答案】51240．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f(x)≤m2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．高频考点一 不等式性质及解不等式例1、(1)若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( )A ．a <－bB ．a >bC ．a 2<b 2D.1a >1b (2)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 (1)∵a >|b |，|b |≥b ，∴a >b .故选B.(2)∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13， ∴易知a <0且⎩⎨⎧ b a ＝－56，－1a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a <0可化为x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A.【答案】 (1)B (2)A【方法技巧】 1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.【举一反三】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋2＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}。