广东省执信中学高二数学上学期期中试题 文 新人教A版

2022-2022年高二上半年期中考试数学（广东省执信中学）解答题在中，内角的对边分别为，若.（1）求；（2）若，点为边上一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析: （1）根据题意,由角的关系，可知正弦的关系,再用正弦定理,可求出的值; （2）由题易得, 的长度和,用余弦定理求出, 再由得,代入面积公式即可.试题解析:解：（Ⅰ）由题意，则，又，所以，所以.（Ⅱ）因为，，所以，由余弦定理得，,则化简得，，解得,或（舍去），由得，，由，得，所以的面积.填空题与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是．【答案】【解析】试题分析：依题意可设所求双曲线方程为，将点代入上式可得，即．所以所求直线方程为，即．选择题椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：画出如下示意图．可知0M为△PF1F2的中位线，∴PF2=2OM=2b，∴PF1=2a-PF2=2a-2b，又∵M为PF1的中点，∴MF1=a-b，∴在Rt△OMF1中，由OM2+MF12=OF12,可得(a-b)2+b2=c2=a2-b2．可得2a=3b，进而可得离心率e=．解答题已知动点P 与定点的距离和它到定直线x 4 的距离的比是1: 2 ，记动点P 的轨迹为曲线E．（1）求曲线E 的方程；（2）设A 是曲线E 上的一个点，直线AF 交曲线E 于另一点B，以AB 为边作一个平行四边形，顶点A、B、C、D 都在轨迹E 上，判断平行四边形ABCD 能否为菱形，并说明理由；（3）当平行四边形ABCD 的面积取到最大值时，判断它的形状，并求出其最大值．【答案】（1）；（2）不能是菱形；（3）矩形【解析】试题分析：（1）将几何条件用坐标表示出来，化简即可；（2）设出直线方程，联立椭圆，得到交点坐标之间的关系，根据菱形可得对角线垂直，利用向量处理；（3）写出面积，利用换元法求其最大值，确定m的值，即可判定四边形的形状大小．试题解析：（1）设点，由题意：即，所以化简得：即为曲线E的方程（2）直线AB不能平行于x轴，故设直线AB的方程为，，由得，所以㈠①连结OA，OB，若ABCD为菱形，则即又，所以有，代入①式得，无解，故ABCD不能是菱形.（3）由题知，所以设，令可知当时有最小值即面积有最大值，此时，即轴，所以ABCD为矩形.填空题已知，且，则=________；【答案】【解析】因为，所以，解得，根据同角三角函数的关系，，所以，故填．选择题变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】作出可行域如图：由得：，作直线：，当直线平移到过A点时，有最小值，由解得，所以，故选B．选择题“x时，推不出，当时，，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．选择题若椭圆经过原点，且焦点分别为F1 (1, 0)，F2 (3, 0)，则其离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】因为原点到两焦点的距离和为4，故，又，所以，故选A．填空题非零向量的夹角为，且满足（），向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能的最小值为，则__________．【答案】【解析】解：由题意可知：向量组共有3种情况,即，向量组共有3种情况,即，∴所有可能值有2种情况,即：和，∵所有可能值中的最小值为，∴或.解得.选择题已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A、B、C、D、【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，即.恰有4个零点即有4个零点等价于函数图像与直线的图像有4个交点.因为的最小值为，结合函数图像如图所示:分析可得.故D正确.选择题在中，，则A. 3B. 3C.D.【答案】C【解析】由，可得，化简得：，所以，故三角形为正三角形，因此，故选C．选择题若双曲线的离心率，则k的取值范围是A. (, 0)B. (3, 0)C. (12, 0)D. (60, 12)【答案】C【解析】由双曲线方程知，，所以，，解得，故选C．选择题命题“，有成立”的否定形式是A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】D【解析】根据命题的否定，命题“，有成立”的否定形式是“，有成立”，故选D．解答题已知过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1，求λ的值【答案】（1）y2＝8x（2）λ＝0或λ＝2．【解析】（1）直线AB的方程与y2＝2px联立，有，试题分析：从而，再由抛物线定义得：|AB|=，求得p，则抛物线方程可得；（2）由p=4，求得．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ试题解析：（1）直线AB的方程是，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x．（2）由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A（1，－2），B（4，4）；设O＝（x3，y3）＝（1，－2）＋λ（4，4）＝（4λ＋1，4λ－2），又y32＝8x3，即[2（2λ－1）]2＝8（4λ＋1），即（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．选择题根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093【答案】D【解析】试题分析：设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.解答题如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件，可证菱形中，，再由线面垂直可得线线垂直得出，进一步得出平面，再由线面垂直的性质，可证线线垂直（Ⅱ）由所给条件，建立以为坐标原点空间直角坐标系，写出空间各点坐标，求出二面角的二面的法向量，由法向量的夹角与二面角之间的关系求出其余弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．由（Ⅰ）知平面，为与平面所成的角．在中，，所以当最短时，最大，即当时，最大．此时，因此．又，所以，所以．方法1：因为平面，平面，所以平面平面．过作于，由面面垂直的性质定理，则平面，过作于，连，则，此时平面，显然，则为二面角的平面角，在中，∵，∴，，在中，∵，又是的中点，∴，因此在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值为．方法2：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，，所以．设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量．又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．选择题将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间[] 上单调递减B. 在区间[]上单调递增C. 在区间[]上单调递减D. 在区间[]上单调递增【答案】B【解析】将函数向右平移个单位长度得：，所以当时，，所以函数单调递增，故选B．选择题已知等差数列{an }的公差为5，前n 项和为Sn ，且a1 、a2 、a5 成等比数列，则S6为（）A. 80B. 85C. 90D. 95【答案】C【解析】由a1 、a2 、a5 成等比数列可得，解得，所以，故选C．解答题已知函数图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求的值和函数的对称轴方程；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据图像上相邻两个最高点的距离可求函数周期，即可求出的值，从而求出的对称轴方程；（2）由（1）可知，利用同角三角函数之间关系及角的变换即可求的值．试题解析：（1）因的图像上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而；所以，令得，所以函数的对称轴方程为．（2）由（1）得，所以，由得，所以，因此解答题已知数列的前n 项和（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前2n项和T2n ．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由与的关系，可求出数列的通项公式；（2）根据通项公式的特点，采用分组求和的方法，分别求等差和等比数列的和即可．试题解析：（1）当时，；当时，，也满足，故数列的通项公式为（2）由（Ⅰ）可知，故，所以，记，，则，故数列的前项和填空题四棱锥P—ABCD 的底面ABCD 是边长为6 的正方形，且PA= PB=PC=PD ，若一个半径为1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是__________；【答案】【解析】由题意，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示：其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点，设PH=h,由几何体可知，可得：，所以，解得，故填：．选择题某四棱锥的三视图如上右图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知其直观图，该几何体为四棱锥P-ABCD，最长的棱为PA，则最长的棱长为，故选A．。

执信中学2024-2025学年度第一学期高二年级阶段测试（一）数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡指定位置，并用铅笔准确填涂考号.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡由监考老师收回.第一部分 选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面向量m ，n 均为单位向量，若向量m ，n 的夹角为2π，则34m n +=（ ）A ．25B ．7C ．5D 2．在ABC 中，已知6BC =，30A = ，120B °=，则ABC 的面积等于（ ）A ．9B ．18C ．D ．3．已知tan 2α=，则22sin cos 2sin 2cos αααα++的值为（ ）A ．15B ．13 C ．35D ．454．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,3B =，{}2,4,6C =，则()A B C = （ ） A ．{}2,4,6B ．{}1,3,4,5,6C ．{}4,6D ．{}25．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊥，则//m β B ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m αβ= ，//n α，//n β，则//m nD ．若αβ⊥，且m αβ= ，点A α∈，直线AB m ⊥，则AB β⊥6．已知1a = ，且()()722a b a b +⋅−=− ，则向量a与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则“10,1a q >>”是“n S 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知过点P 与圆22410x y y +−+=相切的两条直线的夹角为π3，设过点P 与圆2240x y y +−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．19B ．13C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．U N MB ．U M NC ．()U M N N ∩∩D ．()()U U M N10．若集合{}|312A x x =−≥，2|01x B x x −=≤ −，则（ ） A ．A B B = B ．R 1(),3A B=−∞−C ．R 1(),13A B=−D ．()(]R 1,11,23A B=−11．已知曲线22:1C mx ny +=，则（ ）A ．若4m n ==，则曲线C 是圆，其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上C ．若线C 过点( ，则C 是双曲线D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B −，5(2,1,)8C −是平面内的三点，设平面的法向量(,,)a x y z = ，则::x y z = ．13．已知集合{|121}Q x k x k =+≤≤−=∅，则实数k 的取值范围是 . 14．“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词．某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：()[]3sin sin ,0,2πf x x x x =+∈的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1），()[]1sin2,0,2π2g x x x =∈的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）．若存在一点0πx ≠，使()f x 在()()0,x f x 处的切线与()g x 在()()0,x g x 处的切线平行，则0cos x 的值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.(1)求证：//EF 平面11ADD A ； (2)求点A 到平面CEF 的距离.16．已知向量1(cos ,),,cos 2),2x x x x =−=∈a b R , 设函数()?f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π上的最大值和最小值.17．如图，在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=°，45A ∠=°，4AB =，10BD =．(1)求cos ADB ∠；(2)若BCD △的面积为BC ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin C A B A B =++． (1)求角C ；(2)记ABC 的面积为S ，△ABC 的周长为T ，若2c =，求ST的取值范围． 19．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，1e 、2e分别是x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OPxe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标，假设1232OP e e =+ .(1)计算||OP的大小；(2)是否存在实数n ，使得OP与向量(1,)b n = 垂直，若存在，求出n 的值，若不存在请说明理由．答 案1．C【分析】先由向量m ，n 的夹角为2π，得到0m n •= ，进而可计算出34m n + 的结果.【详解】因为向量m ，n 的夹角为2π，所以0m n •= ，又m ，n 均为单位向量，所以345m n + .2．C【分析】根据题意分别求出AC 和角C ，再分析求解即可.【详解】根据正弦定理得：sin sin BC ACA B =，所以sin sin BC B AC A×==，因为18030C B A °=−−= ，所以1sin 2ABC S CA CB C =×××=△3．A【分析】由二倍角公式变形后，弦化切转化为正切的式子代入计算． 【详解】因为tan 2α=，所以22222222sin cos 2sin cos sin cos 111sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos cos 2tan 12215ααααααααααααααα++−=====++++×+． 4．C【分析】根据集合的补集、交集运算即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,3B =，{}2,4,6C =， 所以{}1,4,5,6A B = ，所以(){}4,6A B C = . 5．C【解析】根据线面、面面平行与垂直的相关定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A ，若αβ⊥，m α⊥，存在m β⊂的情况，A 错误； 对于B ，若//m α，n ⊂α，存在,m n 异面的情况，B 错误；对于C ，若//n α，//n β，则在,αβ内分别存在直线,l l ′与n 平行，由线面平行的性质可知：////l m l ′，//m n ∴，C 正确；对于D ，若A m ∈，则存在直线AB 不垂直于平面β，D 错误. 6．A【分析】由数量积的运算律求出a b ⋅，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．【详解】因为()()722a b a b +⋅−=−，所以22722a a b b +⋅−=− . 因为1a =32a b ⋅= ，cos ,a b a b a b ⋅<>==a与b 的夹角为π6.7．A【分析】由10n n n S S a −−=>可判断充分性；取111,2a q ==可判断必要性. 【详解】在等比数列{}n a 中，10,1a q >>，则110n n a a q −=⋅>， 当2n ≥时，10n n n S S a −−=>，所以n S 单调递增，故充分性成立； 当n S 单调递增时，111,2a q ==时，11121211212n n n S⋅−==− −单调递增，但是推不出10,1a q >>，故必要性不成立. 8．C【分析】先求出两圆的圆心和半径，设设过点P 的直线与圆22(2)3x y +−=切于点,A B ，与圆22(2)4x y +−=切于点,M N ，连接,,,,PC AC BC MC NC ，由过点P 与圆22410x y y +−+=相切的两条直线的夹角为π3，可求出PC =Rt PCM 中可求出sin MPC ∠，cos MPC ∠，再利用正弦的二倍角公式可求得结果.【详解】由22410x y y +−+=，得22(2)3x y +−=，则圆心(0,2)C，半径1r = 由2240x y y +−=，得22(2)4x y +−=，则圆心(0,2)C ，半径22r =， 设过点P 的直线与圆22(2)3x y +−=切于点,A B ，与圆22(2)4x y +−=切于点,M N ， 连接,,,,PC AC BC MC NC ，则,,,AC AP BC PB CM PM CN PN ⊥⊥⊥⊥，因为过点P 与圆22410x y y +−+=相切的两条直线的夹角为π3， 所以π3APB ∠=，则π6APC BPC ∠=∠=，所以122PCAC r ===在Rt PCM 中，PC =，2MC =所以sin MC MPC PC ∠==cos MP MPC PC ∠=== 因为2MPN MPC ∠=∠，所以()sin sin 22sin cos 2MPN MPC MPC MPC ∠=∠=∠⋅∠即sin α=9．AC【分析】根据Venn 图，结合集合运算的概念即可得出答案. 【详解】A 选项：U M=+①② ，则U N M = ② ，故A 正确； B 选项：U N=+④① ，则U M N = ④ ，故B 错； C 选项：()U M N N ∩∩=② ，故C 正确； D 选项：()()U U M N = ① ，故D 错. 10．AD【分析】解不等式求出A ，B ，再进行集合交并补运算逐一验证四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】由312x −≥可得312x −≥或312x −≤−，解得：1x ≥或13x ≤−，所以1|3A x x=≤−或xx ≥1}； 由201x x −≤−可得()()21010x x x −−≤ −≠，解得：12x <≤，所以{}12|Bx x =<≤；对于A ：因为1|3A x x=≤− 或xx ≥1}，{}12|B x x =<≤，所以A BB = ，故选项A 正确；对于B ：由{}12|Bx x =<≤可得{R |1B x x =≤ 或xx >2}， 又因为1|3A x x=≤−或xx ≥1}，所以{}()R 1(),12,3A B =−∞−∪∪+∞ ，故选项B 不正确； 对于C ：因为1|3A x x=≤−或xx ≥1}，{}12|B x x =<≤， 所以1|3A B A x x ∪==≤−或xx ≥1}，所以R 1(),13A B=− ，故选项C 不正确；对于D ：因为1|3A x x =≤− 或xx ≥1}，所以R 1|13A x x=−<< ， 因为{}12|Bx x =<≤，所以()(]R 1,11,23A B=−，故选项D 正确； 11．BC【分析】对于A ，曲线C 可化为221x y n+=，表示圆，可求半径，判断A; 对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n+=，11 0m n<<可判断表示椭圆，判断B;对于C，将点(， ，代入曲线C ：221mx ny +=，求得曲线方程， 判断C; 对于D ，可举特例进行说明，判断D.【详解】对于A ，0m n =>时，曲线C 可化为221x y n+=12=，故A 错误； 对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n +=表示的是椭圆，而11 0m n<<， 所以其焦点在y 轴上，故B 正确；对于C，将点(， ，代入曲线C ：221mx ny +=， 有2311512133m n m m n n +==⇒ +==−，0mn <，所以曲线C 是双曲线，故C 正确；对于D ，若1m =，0n =，满足条件，此时曲线C ：21x =，表示两条直线， 故D 错误，12．2：3：（-4）【详解】试题分析：由19550,2,,1,1,,2,1,888A B C−− 得771,3,,2,1,44AB AC =−−=−−−因为为平面的法向量，则有0,0AB a AC a ⋅=⋅= ，即()()71,3,,,04{72,1,,,04x y z x y z−−⋅=−−−⋅=由向量的数量积的运算法则有7304{7204x y z x y z −−=−−−=解得31,42y z x z =−=− 所以()234::::2:3:4444z z z x y z=−−=−故正确答案为()2:3:4−13．{}2k k <【分析】根据空集的定义，要使集合{|121}Q x k x k =+≤≤−=∅，则211k k −<+，解之即可求解.【详解】∵{|121}Q x k x k =+≤≤−=∅，∴211k k −<+， 解得2k <，因此实数k 的取值范围是{}2k k <. 故答案为：{|2}k k <.14【分析】将函数()f x 表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的二倍角公式求解.【详解】由题可知()[](]4sin ,0,π2sin ,π,2πx x f x x x ∈= −∈ ，()[](]4cos ,0,π2cos ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈′，()[]cos2,0,2πg x x x ′=∈当[)00,πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以004cos cos 2x x =，即2002cos 4cos 10x x −−=，解得0cos x =0cos x =0cos x =当(]0π,2πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=， 所以002cos cos 2x x −=，即2002cos 2cos 10x x +−=，解得0cos x =0cos x =0cos x故答案为:15．(1)证明见解析 (2)1【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据及点到面的距离公式运算求解． 【详解】（1）如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D −中,1//BB 1DD 且11BB DD =， 所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .（2）如图建立空间直角坐标系D xyz −，因为长方体中12A AAD ==,CD =则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F ，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF= ，. 设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z = ，则0,0,m CE m CF ⋅= ⋅=即11111020x z x += =， 令11x =，则1y =11z =，可得m =.AF = ，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅=.16．(Ⅰ)22T ππ==(Ⅱ)max ()1f x =min 1()2f x =− 【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.【详解】()f x a b =⋅ 1cos cos 22x x x −12cos 22x x − πsin(2)6x − （Ⅰ）()f x 的最小正周期为22T ππ==. （Ⅱ）[0,]2x π∈ ，52[,]666x πππ∴−∈−，1sin(2)[,1]62x π∴−∈− 故当2=62x ππ−即3x π=时，max ()1f x = 当2=66x ππ−−即0x =时，min 1()2f x =−17．(2)10【分析】（1）先利用正弦定理求出sin ADB ∠，再结合结合同角的三角函数关系即可求解； （2）先结合（1）及三角形面积公式求出DC ，再根据余弦定理即可求解．【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，即104sin45sin ADB =∠ ，解得sin ADB ∠ 又090ADB <∠< ，所以cos ADB ∠（2）结合（1）可得()cos cos 90sin BDC ADB ADB ∠∠∠=−= ，则sin BDC ∠又1sin 2BCD S DB DC BDC ∠=⋅⋅ ，即1102DC =××DC = 则由余弦定理得2222cos 100BC BD DC BD DC BDC =+−⋅⋅∠=，又0BC >，所以10BC =．18．(1)2π3C =；(2)(0,1. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再由余弦定理求解作答. （2）根据已知结合三角形面积公式求出S T的函数关系，再利用均值不等式求解作答. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理及222sin sin sin sin sin C A B A B =++，得222c a b ab =++， 由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +−==−，0πC <<， 所以2π3C =． （2）由（1）知，224a b ab ++=，即()24a b ab +−=，于是())21sin 422222ab C a b S ab a b T a b a b a b +−====+−++++++，因为22a b ab + ≤，即有()2242a b a b + +−≤ ，解得a b +≤当且仅当a b =时取等号，又a b c +>，因此2a b <+≤，有(0,1S T ∈，所以S T 的取值范围为(0,1.19．(1)||OP = (2)存在，87n =− 【分析】（1）根据题意结合平面向量的数量积及模长运算求解；（2）根据题意可得12b e ne =+ ，结合垂直关系运算求解.【详解】（1）由题意可得：121212111,cos 601122e e e e e e ==⋅=°=××= ，故||OP === （2）存在， 由（1）可得：121212111,cos 601122e e e e e e ==⋅=°=××= 若向量(1,)b n = ，即12b e ne =+ ，∵OP 与向量(1,)b n = 垂直，则()()()()22211121221307323322322242b OP e ne e e e n e e ne n n n ⋅=+⋅+=++=++⋅+=×=++ ， 解得87n =−.。

广东省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名.考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册到第二章占70%，高一必修内容占30%。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}2230A x x x =--<，{}0B x x =-<，则A B ⋂=A.{}30x x -<<B.{}10x x -<<C.{}01x x <<D.{}03x x <<2.设复数z 满足()21i 1i z -=+，则z 的虚部为 A.1B.iC.12D.1i 23.直线l ：10x y +-=的倾斜角为 A.45°B.60°C.120°D.135°4.函数()4cos 13f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的对称中心可能是 A.5,16⎛⎫-⎪⎝⎭B.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C.5,06⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭5.某工厂12名工人某天生产同-类型零件，生产的件数分别是10，15，12，16，17，12，15，13，11，14，16，17，则这组数据的第70百分位数是 A.11 B.12 C.15.5 D.166.已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =--，点()0,1,0A 为α内一点，则点()1,0,1P 到平面α的距离为 A.4 B.3C.2D.17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱11A B 的中点，2AC =，11CC BC ==，AC BC ⊥，则异面直线CD 与1BC 所成角的余弦值为A.6C.4D.38.已知圆M ：22x y m +=，圆N ：2266160x y x y +--+=，圆N 上存在点P ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，若90APB ∠=︒，则m 的取值范围为 A.[]2,4B.[]4,8C.[]2,16D.[]4,16二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列函数中，在()0,+∞上的值域是()0,+∞的是 A.12y x =B.221y x x =-+C.3y x=-D.3y x =10.已知直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =，平面α的一个法向量为()2,,1b n =-，则下列结论正确的有A.若l α∥，则23m n -=B.若l α⊥，则23m n -=C.若l α∥，则20mn +=D.若l α⊥，则20mn +=11.已知直线210mx y m -+-=与曲线y =1个公共点，则m 的取值可能是 A.13B.23C.1D.4312.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，且()101DP DB λλ=<<，过P 作垂直于平面11BDD B 的直线l ，分别交正方体1111ABCD A B C D -的表面于M ，N 两点.下列说法不正确的是A.1BD ⊥平面1DMB NB.四边形1DMB N 面积的最大值为C.若四边形1DMB N ，则14λ=D.若12λ=，则四棱锥1B DMB N -的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知0ab >，且22a b ab +=，则2a b +的最小值是___________.14.已知直线l 过点()2,1A -，且与直线2350x y ++=垂直，则直线l 的方程为___________. 15.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 是AC 与BD 的交点，若12AB AD AA ===，且111111160AA B AA D B A D ∠=∠=∠=︒，则1A P =___________.16.已知不经过坐标原点O 的直线l 与圆C ：22440x y x y +-+=交于A ，B 两点，若锐角ABC △的面积为AB =___________，cos AOB ∠= ___________.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知直线l ：()()21150a x a y a -+++-=.（1）若直线l 与直线l '：210x y +-=平行，求a 的值； （2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. 18.（12分）在①()41f =-，()32f =，②当2x =时，()f x 取得最大值3，③()()22f x f x +=-，()01f =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知函数()22f x x ax b =--+，且 （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[],m n 上的值域为[]32,32m n --，求m n +的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA PC =，PB PD =，AC 与BD 相交于点O .（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD .（2）若2PA AD AB ==，求平面P AD 与平面PAB 夹角的余弦值.20.（12分）已知圆M 经过()0,2A ，()3,3B ，()1,1C -三点. （1）求圆M 的方程.（2）设O 为坐标原点，直线l ：10ax y +-=与圆M 交于P ，Q 两点，是否存在实数a ，使得OP OQ =？若存在，求PQ 的值；若不存在，说明理由. 21.（12分）已知P A ，PB ，PC 是从点P 出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，1PA =，2PB =，3PC =，点G 为ABC △的重心，即点G 是ABC △三条中线的交点，且PG xPA yPB zPC =++.（1）求x ，y ，z 的值；（2）求点G 到直线P A 的距离， 22.（12分）已知A ，B 是圆C ：224x y +=与y 轴的两个交点，且A 在B 上方.（1）若直线l 过点，且与圆C 相切，求l 的方程；（2）已知斜率为k 的直线m 过点()0,1，且与圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 相交于点T ，证明点T 在定直线上.高二数学参考答案1.D 因为{}13A x x =-<<，{}0B x x =>，所以{}03A B x x ⋂=<<. 2.C ()()221i i 1i1i 1i 11i2i 2i 2221i z +++-+=====-+---，则z 的虚部为12. 3.D 因为直线l 的斜率为-1，所以l 的倾斜角为135°. 4.A 令32x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得16x k =+，k ∈Z .当1k =-时，56x =-，则5,16⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心.5.D 这组数据按从小到大的顺序排列为10，11，12，12，13.14，15，15，16，16，17，17.因为12×70%=8.4，所以这组数据的第70百分位数是16..6.D 因为()1,1,1AP =-，()1,2,2n =--，所以1223AP n ⋅=-++=，143n =++=，则点P 到平面α的距离1nAP n d ⋅==.7.A 以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得()0,0,0C ，()10,0,1C ，11,,12D ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0B ，则()10,1,1C B =-，11,,12CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111112cos ,6||2C B CD C B CD C B CD -⋅===-.所以异面直线CD 与1BC 所成角的余弦值为6.8.D 圆N ：2266160x y x y +--+=可化为()()22332x y -+-=，因为90APB ∠=︒，所以四边形MAPB是正方形，所以MP=P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆.又因为点P 在圆N 上，≤≤解得416m ≤≤.9.AD 函数12y x =和3y x =在()0,+∞上的值域是()0,+∞，则A ，D 正确；函数221y x x =-+在()0,+∞上的值域是[)0,+∞，则B 错误；函数3y x=-在()0,+∞上的值域是(),0-∞，则C 错误.10.AD 由l α∥，得a b ⊥，则230m n -++=，即23m n -=，故A 正确，C 错误；由l α⊥，得a b ∥，则:1:32::1m n =-，即20mn +=，故B 错误，D 正确.11.ABD曲线y =210mx y m -+-=过定点()2,1A --.当14,133m ⎡⎫⎧⎫∈⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线210mx y m -+-=与曲线y =1个公共点.12.ACD 因为1BD 与1B D 不垂直.所以1BD 与平面1DMB N 不垂直.A 不正确.如图，以1D 为坐标原点，11D A ，11D C ，1D D 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系1D xyz -，则()0,0,2D ，()12,2,0B ，()12,0,0A ，()10,2,0C .因为1DP DB λ=.所以()2,2,22P λλλ-.因为11AC ⊥平面11BDD B ，所以11MP PN AC μ==，则()22,22,22M λμλμλ+--，()22,22,22N λμλμλ-+-.若M ∈平面11ADD A ，则λμ=，即()4,0,22M λλ-，()0,4,22N λλ-，102λ<≤；若M ∈平面11ABB A .则1λμ+=，即()2,42,22M λλ--，()42,2,22N λλ--，112λ≤<.因为1MN B D ⊥，所以四边形1DMB N 的面积)11,0,12121, 1.2S B D M N M N λλλ⎧<≤⎪⎪===⎨⎪-<<⎪⎩当12λ=时，四边形1DMB N的面积最大，且最大值为，点B 到直线1B D的距离为3=，即点B 到平面1DMB N的距离为，故四棱锥1B DMB N -的体积1833V =⨯=，B 正确，D 不正确.若四边形1D M B N 的面积为.则102λ⎫=<≤⎪⎭或)1112λλ⎫-=<<⎪⎭，解得14λ=或34，C 不正确.13.92因为22a b ab+=，所以1112a b+=，则()115592222222a ba b a b a b b a⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当32a b ==时，等号成立.14.3280x y -+=设直线l 的方程为320x y m -+=，则()32210m ⨯--⨯+=，解得8m =.所以直线l 的方程为3280x y -+=.由题意可得，11111111122A A A AP A A A A D PB =+=++，则 221111111122A P A A A B A D ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22211111111111111111111442A A AB A D A A A B A A A D A B A D =+++⋅+⋅+⋅=，故111A P =16.；2或2- 因为圆C 的半径r =，所以ABC △的面积21s i n 4s i n 232S r A C B A C =∠=∠sin 2ACB ∠=.又ABC △为锐角三角形，所以60ACB ∠=︒，AB r ==因为点O 在圆C 上，所以30AOB ∠=︒或150°，故cos 2AOB ∠=或2-. 17.解：（1）因为l l '∥，所以()()()()22110,2510,a a a a --+=⎧⎪⎨-++≠⎪⎩解得1a =.（2）令0x =，得51a y a -=-+，即直线l 在y 轴上的截距为51a a --+. 令0y =，得521a x a -=--，即直线l 在x 轴上的截距为521a a ---.因为直线l 在两坐标轴上的截距相等，所以55121a a a a ---=-+-. 所以()()520a a --=，解得5a =或2a =.则直线l 的方程是960x y +=或3330x y +-=，即320x y +=或10x y +-=. 18.解：（1）若选①， 由题意可得()()41681,3962,f a b f a b =--+=-⎧⎪⎨=--+=⎪⎩解得2a =-，1b =-. 故()241f x x x =-+-. 若选②，由题意可得()2,2443,a f a b -=⎧⎨=--+=⎩解得2a =-，1b =-.故()241f x x x =-+-若选③.因为()()22f x f x +=-，所以()f x 图象的对称轴方程为2x =，则2a -=，即2a =-. 因为()01f =-，所以1b =-. 故()241f x x x =-+-.（2）因为()241f x x x =-+-在R 上的值域为(],3-∞，所以323n -≤，即53n ≤. 因为()f x 图象的对称轴方程为2$x =，且523n ≤<，所以()f x 在[],m n 上单调递增， 则()()224132,4132,f m m m m f n n n n ⎧=-+-=-⎪⎨=-+-=-⎪⎩整理得220n m m n -+-=，即()()10n m n m -+-=. 因为0n m -≠，所以10n m +-=，即1n m +=.19.（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以O 为AC ，BD 的中点，连接PO .因为PA PC =，PB PD =，所以PO AC ⊥，PO BD ⊥，又AC 与BD 相交于点O ，所以PO ⊥平面ABCD . 因为PO ⊂平面P AC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD .（2）解：取AB 的中点E ，BC 的中点F ，连接OE ，OF .因为底面ABCD 为矩形，所以OE OF ⊥.设2AD =，则AB =以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,A，()B，()1,D -，()0,0,1P ，()2,0,0AD =-，()AP =-，()AB =.设平面PAB 的法向量为()111,,n x y z =，由1111220,0,n AB n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩令11x =，所以()1,0,1n =.设平面PAD 的法向量为()222,,m x y z =，由222220,0,m AD x m AP x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令21y =-，所以(0,m =-.故cos ,3m n ==，所以平面P AD与平面P AB 夹角的余弦值为3.20.解：（1）设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则240,33180,20,E F D E F D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩ 解得4,2,0,D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故圆M 的方程为22420x y x y +--=. （2）假设存在实数a ，使得OP OQ =.由（1）可知，圆M 的圆心坐标为()2,1M ，点O 在圆M 上，因为OP OQ =，所以直线OM l ⊥，所以12OM k =，所以2a =， 此时点M 到直线l的距离d ==<，符合条件，5PQ ==. 21.解：（1）PG PC CG =+， 因为点G 为ABC △的重心，所以()()()1112333CG CA CB PA PC PB PC PA PB PC =+=-+-=+-，则111333PG PA PB PC =++，即13x =，13y =，13z =.（2）2111333PG PA PB PC⎛⎫=++⎪⎝⎭22222PB PC PA PB PA PC PB PC=+++⋅+⋅+⋅53==，()13PG PA PA PB PC PA⋅=++⋅()21137113326PA PB PA PC PA⎛⎫=+⋅+⋅=++=⎪⎝⎭.故点G到直线P A的距离22PG PAPGPA⎛⎫⋅⎪=-=⎪⎝⎭22.（1）解：点P的坐标满足224x y+=，所以P为圆C上一点.圆C：224x y+=的圆心为()0,0C，则1CPk=，所以直线l的斜率为-1，所以直线l的方程为(y x=-，即0x y+-=，（2）证明：设()11,M x y，()22,N x y，直线m的方程为1y kx=+，由圆C：224x y+=，可得()0,2A，()0,2B-.联立方程组224,1,x yy kx⎧+=⎨=+⎩消去y并化简得()221230k x kx++-=，所以12221kx xk+=-+，12231x xk=-+.直线AM的方程为1122yy xx-=+，①直线BN的方程为2222yy xx+=-，②由①②知()()222112122121212122231221132 22333311k xx kxy x kx x xy kky x y x kx kx x xk xk k-⋅-----+=⋅====--++++⎛⎫⋅+-⎪++⎝⎭. 由2123yy-=+，化简得4y=.故点T在定直线4y=上.。

2021年高二数学上学期期中联考试题文新人教A版注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。

考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。

交卷时只交机读卡和答题卷。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、数列23,45，67,89……的第10项是A．1617B．1819C．2021D．22232、在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a＝2,c＝4,B＝60°,则b等于A．28 B．27 C．12 D．2 33、不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方4、对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列5、已知f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则f(x)有A．最大值为－4 B．最大值为0 C．最小值为0 D．最小值为－46、数列满足:其前项积为，则=（）A. B. C. D.7、推理过程a b ac bc a bac bdc d bc bd d c>>⎫⎫⇒⇒>⇒>⎬⎬>>⎭⎭共有三个推理步骤,其中错误步骤的个数为A．0 B．1 C．2 D．38、在数列中，（c为非零常数,）且前n项和，则实数k等于A.1B.1C.0D.29、△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，则△ABC为A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定10、已知，给出下列四个结论：①;②;③;④其中正确结论的序号是A．①②B．②④C．②③D．③④11、如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了三种测量方案：（的角所对的边分别记为）：① 测量;② 测量;③测量则一定能确定间距离的所有方案的序号为A. ②③B. ①③C. ①②D. ①②③12、将正偶数,,,,按如表所示的方式进行排列，记表示第行和第列的数,若,则的值为A. B.C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。