浙江省2013届高考压轴卷 数学理试题

2013·浙江卷(理科数学)1． 已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i1．B [解析] (－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i ＋1＝－1＋3i ，故选择B. 2． 设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁S )∪T ＝( ) A ．(－2，1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)2．C [解析] ∁S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |(x ＋4)(x －1)≤0}＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁S )∪T ＝(－∞，1]．故选择C.3．， 已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y3．D [解析] ∵lg(xy )＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x 2lg y ，故选择D. 4． 已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．B [解析] f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数的充要条件是f (0)＝0，即cos φ＝0，φ＝k π＋π2，k ∈，所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，故选择B.5． 某程序框图如图1－1所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )图1－1A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝75．A [解析] S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k （k ＋1）＝1＋1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝1＋1－1k ＋1＝2－1k ＋1＝95，故k ＝4，k ＝k ＋1＝5，满足k >a 时，即5>a 时，输出S ，所以a＝4，选择A.6． 已知α∈，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 6．C [解析] 由(sin α＋2cos α)2＝1022'得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝104＝52，4sin αcos α＋1＋3cos 2α＝52，2sin 2α＋1＋3×1＋cos 2α2＝52，故2sin 2α＝－3cos 2α2，所以tan 2α＝－34，选择C. 7． 设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC7．D [解析] 建立以AB 的中点O 为原点的坐标系，如图所示，PB →·PC →＝(c －x ，0)·(a －x ，b )＝x 2－(a ＋c )x ＋ac ，当x ＝a ＋c 2时，PB →·PC →最小，而已知P 0B →·P 0C →最小，所以c 2＝a ＋c 2，此时a ＝0，所以AC ＝BC ，选择D.8． 已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1，2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值8．C [解析] 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝e x (x －1)＋(e x －1)＝x e x －1，则在x ＝1处取不到极值．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝e x (x －1)2＋(e x －1)×2(x －1)＝(x －1)(x e x ＋e x －2)，f ′(1)＝0，f ′(2)>0，f ′12<0，所以在x ＝1处取得极小值．图1－29．， 如图1－2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.629．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.10． 在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( )A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°10．A [解析] 当α⊥β，且α∩β＝b ，设f α(P )＝A ，则P A ⊥α，Q 1＝f β[f α(P )]＝f β(A )，故AQ 1⊥β；同理设f β(P )＝B ，则PB ⊥β，Q 2＝f α[f β(P )]＝f α(B )，故BQ 2⊥α，故AQ 1∥PB ，P A ∥BQ 2，所以Q 1和Q 2重合，恒有PQ 1＝PQ 2，选择A.11． 设二项式x －13x5的展开式中常数项为A ，则A ＝________．11．－10 [解析] T r ＋1＝C r 5x 5－r 2(－1)r x －r 3＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，则15－5r 6＝0，r ＝3，故常数项A ＝T 4＝(－1)3C 35＝－10.12． 若某几何体的三视图(单位：cm)如图1－3所示，则此几何体的体积等于________cm 3.图1－312．24 [解析] 此几何体知直观图是一个直三棱柱挖去一个三棱锥而得，如图所示，则体积为12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24.13． 设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________．13．2 [解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC 及其内部，A (2，0)，B (4，4)，C (0，2)，要使z 的最大值为12，只能经过B 点，此时12＝4k ＋4，k ＝2.14． 将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．14．480 [解析] 先在6个位置找3个位置，有C 36种情况，A ，B 均在C 的同侧，有CAB ，CBA ，ABC ，BAC ，而剩下D ，E ，F 有A 33种情况，故共有4C 36A 33＝480种．15． 设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．15．±1 [解析] 设直线l ：my ＝x ＋1，代入y 2＝4x 得y 2－4my ＋4＝0，则y A ＋y B ＝4m ，因为Q 为线段AB 的中点，则y Q ＝y A ＋y B2＝2m ，x Q ＝my Q －1＝2m 2－1，故Q (2m 2－1，2m )，又|FQ |2＝4，(2m 2－2)2＋(2m )2＝4⇒m 4－m 2＝0，所以m ＝±1.16． 在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________．16.63 [解析] 设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，tan ∠BAM ＝12 2.而tan ∠BAM ＝tan(∠BAC －∠CAM )＝tan ∠BAC －tan ∠CAM1＋tan ∠BAC ·tan ∠CAM＝a b －a 2b 1＋a b ·a 2b ＝a 2b 1＋a 22b 2＝12 2，则2a b ＝1＋a 22b 2⇒a 2b 2－22a b ＋2＝0⇒a b －22＝0，故a b ＝2⇒sin ∠BAC ＝a c ＝aa 2＋b 2＝2b 3b ＝63. 17． 设1，2为单位向量，非零向量＝x 1＋y 2，x ，y ∈若1，2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．17．2 [解析] |x ||b |＝|x |2|b |2＝x 2x 2e 21＋2xy e 1·e 2＋y 2e 22＝x 2x 2＋2xy ×32＋y 2＝11＋3y x ＋y x2＝1y x ＋322＋14≤114＝2. 18． 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 18．解：(1))由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 所以d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈*或a n ＝4n ＋6，n ∈*.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时， |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.19． 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a ∶b ∶c .19．解：(1)由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518.P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136，所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 Paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以Eη＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，Dη＝1－532·a a ＋b ＋c ＋2－532·b a ＋b ＋c ＋3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.图1－4 20．， 如图1－4所示，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝2 2，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . (1)证明：PQ ∥平面BCD .(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．20．解：方法一：(1)证明：取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC .联结OP ，OF ，FQ .因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD .因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点，所以OP 是△BDM 的中位线，所以 OP ∥DM ，且OP ＝12DM .又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝14AD .从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD . (2)作CG ⊥BD 于点G ，作GH ⊥BM 于点H ，联结CH . 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，所以AD ⊥CG .又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ，所以CG ⊥BM . 又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ，所以CH ⊥BM . 所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ，在Rt △BCD 中， CD ＝BD cos θ＝2 2cos θ， CG ＝CD sin θ＝2 2cos θsin θ， BG ＝BC sin θ＝2 2sin 2θ，在Rt △BDM 中，HG ＝BG ·DM BM ＝2 2sin 2 θ3.在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝CG HG ＝3cos θsin θ＝ 3. 所以tan θ＝3，从而θ＝60°， 即∠BDC ＝60°.方法二：(1)证明：如图所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意知A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0，0)，因为AQ →＝3QC →，所以Q34x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P 0，0，12.所以PQ →＝34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为＝(0，0，1)，故PQ →·＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .(2)设＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM →＝(－x 0，2－y 0，1)，BM →＝(0，2 2，1)，知⎩⎨⎧－x 0x ＋（2－y 0）y ＋z ＝0，2 2y ＋z ＝0.取y ＝－1，得＝y 0＋2x 0，－1，2 2.又平面BDM 的一个法向量为＝(1，0，0)，于是|cos 〈，〉|＝|m·n ||m||n|＝y 0＋2x 09＋y 0＋2x 02＝12，即y 0＋2x 02＝3.① 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0，0)·(－x 0，2－y 0，0)＝0，即x 20＋y 20＝2.② 联立①②，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－2(舍去)或⎩⎨⎧x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝x 02－y 0＝ 3.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.图1－521．， 如图1－5所示，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程．21．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0. 故x 0＝－8k 4＋k 2，所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD |＝8 4k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝16 1313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 22． 已知a ∈，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ∈[0，2]时，求|f (x )|的最大值．22．解：(1)由题意 f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故 f ′(1)＝3a －3. 又f (1)＝1，所以所求的切线方程为y ＝(3a －3)x －3a ＋4. (2)由于f ′(x )＝3(x －1)2＋3(a －1)，0≤x ≤2，故①当a ≤0时，有f ′(x )≤0，此时f (x )在[0，2]上单调递减，故 |f (x )|max ＝max {|f (0)|，|f (2)|}＝3－3a .②当a ≥1时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0，2]上单调递增，故 |f (x )|max ＝max {|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.③当0<a <1时，设x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ，则 0<x 1<x 2<2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． 列表如下： x 0 (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，2) 2 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 3－3a单调 递增极大值 f (x 1)单调 递减极小值 f (x 2)单调 递增3a －1由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ，f (x 2)＝1－2(1－a )1－a ， 故f (x 1)＋f (x 2)＝2>0，f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a )1－a >0. 从而f (x 1)>|f (x 2)|.所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}． (Ⅰ)当0<a <23时，f (0)>|f (2)|.又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a )＝a 2（3－4a ）2（1－a ）1－a ＋2－3a >0，故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .(Ⅱ)当23≤a <1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2)＝a 2（3－4a ）2（1－a ）1－a ＋3a －2.所以(i)当23≤a <34时，f (x 1)>|f (2)|.故f (x )max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a . (ii)当34≤a <1时，f (x 1)≤|f (2)|.故f (x )max ＝|f (2)|＝3a －1. 综上所述，|f (x )|max＝⎩⎪⎨⎪⎧3－3a ，a ≤0；1＋2（1－a ）1－a ，0<a <34；3a －1，a ≥34.自选模块1． (1)解不等式|x －1|＋|x －4|≥5.(2)求函数y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x 的最小值．1．解：(1)当x <1时，1－x ＋4－x ≥5，得x ≤0，此时x ≤0； 当1≤x ≤4时，x －1＋4－x ≥5，得3≥5，此时x ∈∅； 当x >4时，x －1＋x －4≥5，得x ≥5，此时x ≥5.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)． (2)因为|x －1|＋|x －4|≥|(x －1)－(x －4)|＝3， 当且仅当1≤x ≤4时取等号；x 2－4x ＝(x －2)2－4≥－4，当且仅当x ＝2时取等号．故|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x ≥3－4＝－1，当x ＝2时取等号．所以y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x 的最小值为－1.2．， 已知a ∈“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点P (2，1)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若|P A |·|PB |＝83，求|AB |的值． 2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ.又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，故化成直角坐标方程为x ＋y (x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y (x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.(2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2.设过点P (2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)． 及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得(2＋t cos α)2＋2(1＋t sin α)2－2＝0.即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0.则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2 α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）1＋sin 2 α，t 1t 2＝41＋sin 2 α， 由|P A |·|PB |＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2 α＝83. 故sin 2 α＝12.又由Δ>0得0<tan α<2. 故t 1＋t 2＝8 23，t 1t 2＝83. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝4 23.。

2013年浙江省高考数学试卷（理科）一．选择题目：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）B ．C．D．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）x k9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平二、填空题目：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=_________．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于_________cm3．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=_________．14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_________种（用数字作答）15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于_________．16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．2013年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题目：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的三角函数的图像与性质．φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f （0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解：若φ=，则f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f（x）是奇函数，⇒f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．故选B．本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）图表型．根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则 2﹣=．∴a=4，6．（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A B．C．D．由题意结合sinα+cosα=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A∠ABC=90°B∠BAC=90°C AB=AC D AC=BC计算题；平面向量及应用．以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出，，，，然后由结合向量的数量积的坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）∴=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）∵恒有∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立∴△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0∴a=0，即C在AB的垂直平分线上∴AC=BC故△ABC为等腰三角形本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查x k极小值还是极大值即可得结论．解：当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当＜x＜1时，f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．故选C．本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A B．C．D．计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF|与|AF|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角二、填空题目：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=﹣10．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解：二项式的展开式的通项公式为 T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24 cm3．先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：V=V棱柱﹣V三棱锥=﹣×3=24（cm3）故答案为：24本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算．V椎体=Sh，V柱体=Sh．考查空间想象能力．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2．答案．解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在x=4，y=4时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在x=0，y=2时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）最后乘以2即可．解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第2个位置时A A，当C在左边第3个位置时，有A A+A A，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有 480种．故答案为：480．本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．圆锥曲线的定义、性质与方程．由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．压轴题；解三角形．作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，故答案为：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．压轴题；平面向量及应用．由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6P（2）由题意知η的分布列为η 1 2 3PEη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD 的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．计算题；空间位置关系与距离；空间角．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴．∴三角形ABD的面积．∴=，当且仅当时取等号，故所求直线l1的方程为．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．小．解：（1）因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a，故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；（2）由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得，．所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极大值，极小值．故f（x1）+f（x2）=2＞0，．从而f（x1）＞|f（x2）|．所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|．又=故．当时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．又=．所以当时，f（x1）＞|f（2）|．故．当时，f（x1）≤|f（2）|．故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．综上所述|f（x）|max=．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(浙江卷)选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013浙江，理1)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝()．A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋i答案：B解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i，故选B．2．(2013浙江，理2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(R S)∪T＝()．A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)答案：C解析：由题意得T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}．又S＝{x|x＞－2}，∴(R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}，故选C．3．(2013浙江，理3)已知x，y为正实数，则()．A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y答案：D解析：根据指数与对数的运算法则可知，2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故A错，B错，C错；D中，2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故选D．4．(2013浙江，理4)已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“π2ϕ=”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若f(x)是奇函数，则φ＝kπ＋π2，k∈Z；若π2ϕ=，则f(x)＝A cos(ωx＋φ)＝－A sin ωx，显然是奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“π2ϕ=”的必要不充分条件．5．(2013浙江，理5)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()．A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7 答案：A解析：该程序框图的功能为计算1＋112⨯＋123⨯＋…＋11a a (+)＝2－11a +的值，由已知输出的值为95，可知当a ＝4时2－11a +＝95.故选A ．6．(2013浙江，理6)已知α∈R ，sin α＋2cos αtan 2α＝( )． A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 答案：C解析：由sin α＋2cos αsin α2cos α.①把①式代入sin 2α＋cos 2α＝1中可解出cos α＝10或10，当cos α＝10sin α＝10；当cos α时，sin α＝.∴tan α＝3或tan α＝13-，∴tan 2α＝34-.7．(2013浙江，理7)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ·PC ≥0P B ·0P C，则( )． A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC 答案：D解析：设PB ＝t AB(0≤t ≤1)，∴PC ＝PB ＋BC ＝t AB ＋BC，∴PB ·PC ＝(t AB )·(t AB ＋BC )＝t 22AB ＋t AB ·BC .由题意PB ·PC ≥0P B ·0P C， 即t 22AB ＋t AB ·BC ≥14AB 14AB BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214⎛⎫ ⎪⎝⎭2AB ＋14AB ·BC ，即当14t =时PB·PC 取得最小值． 由二次函数的性质可知：2142AB BC AB ⋅-=， 即：AB - ·BC＝122AB ， ∴AB ·12AB BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0.取AB 中点M ，则12AB ＋BC＝MB ＋BC ＝MC ，∴AB ·MC＝0，即AB ⊥MC ． ∴AC ＝BC ．故选D ．8．(2013浙江，理8)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )．A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案：C解析：当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x －1， ∵f ′(1)＝e －1≠0，∴f (x )在x ＝1处不能取到极值；当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 令H (x )＝x e x ＋e x －2，则H ′(x )＝x e x ＋2e x ＞0，x ∈(0，＋∞)． 说明H (x )在(0，＋∞)上为增函数， 且H (1)＝2e －2＞0，H (0)＝－1＜0，因此当x 0＜x ＜1(x 0为H (x )的零点)时，f ′(x )＜0，f (x )在(x 0,1)上为减函数． 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴x ＝1是f (x )的极小值点，故选C ．9．(2013浙江，理9)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A B C ．32D 答案：D解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝又因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以∠F 1AF 2＝90°.所以|AF 1|2＋|AF |2＝|F 1F 2|2，所以|AF 1|＝2|AF 2|＝2所以在双曲线C 2中，2c ＝2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2e ==，故选D ． 10．(2013浙江，理10)在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( )．A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案：A非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．(2013浙江，理11)设二项式5的展开式中常数项为A ，则A ＝__________. 答案：－10解析：T r ＋1＝553255C C (1)rr rr r r r x x ---⎛⋅=⋅-⋅ ⎝＝515523655(1)C (1)C r rr rrrr xx----=-.令15－5r ＝0，得r ＝3， 所以A ＝(－1)335C ＝25C -＝－10.12．(2013浙江，理12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于__________cm 3.答案：24解析：由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥．11111111A EC ABC A B C ABC E A B C V V V ---=-＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.13．(2013浙江，理13)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足20,240,240.x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z 的最大值为12，则实数k ＝__________.答案：2解析：画出可行域如图所示．由可行域知，最优解可能在A (0,2)或C (4,4)处取得． 若在A (0,2)处取得不符合题意；若在C (4,4)处取得，则4k ＋4＝12，解得k ＝2，此时符合题意．14．(2013浙江，理14)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．答案：480解析：如图六个位置.若C 放在第一个位置，则满足条件的排法共有55A 种情况；若C 放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A ，B ，再在余下的3个位置排D ，E ，F ，共24A ·33A 种排法；若C 放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A ，B ，其余位置排D ，E ，F ，则共有22A ·33A 种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A ，B ，再在其余3个位置排D ，E ，F ，共有23A ·33A 种排法；若C 在第4个位置，则有22A 33A ＋23A 33A 种排法；若C 在第5个位置，则有24A 33A 种排法；若C 在第6个位置，则有55A 种排法．综上，共有2(55A ＋24A 33A ＋23A 33A ＋22A 33A )＝480(种)排法．15．(2013浙江，理15)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于__________．答案：±1解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由24,1y x y k x ⎧=⎨=(+)⎩联立，得k 2x 2＋2(k 2－2)x＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2222k k (-)-，∴212222212x x k k k +-=-=-+，1222y y k+=，即Q 2221,k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.又|FQ |＝2，F (1,0)，∴22222114k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k ＝±1.16．(2013浙江，理16)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________.答案：3解析：如图以C 为原点建立平面直角坐标系，设A (0，b )，B (a,0)，则M ,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB ＝(a ，－b )，AM ＝,2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，cos ∠MAB ＝AB AMAB AM ⋅22a b +.又sin ∠MAB ＝13，∴cos ∠MAB=.∴22222222894a b aa b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫(+)+ ⎪⎝⎭， 整理得a 4－4a 2b 2＋4b 4＝0，即a 2－2b 2＝0，∴a 2＝2b 2，sin ∠CAB3===. 17．(2013浙江，理17)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于__________．答案：2解析：|b |2＝(x e 1＋y e 2)2＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝x 2＋y 2xy .∴||||x =b x ＝0时，||0||x =b ； 当x ≠0时，||2||x ==≤b .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013浙江，理18)(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0， 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝212122n n -+. 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝212122n n -＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩19．(2013浙江，理19)(本题满分14分)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a ∶b ∶c . 解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P (ξ＝2)＝331664⨯=⨯， P (ξ＝3)＝2321663⨯⨯=⨯，P (ξ＝4)＝2312256618⨯⨯+⨯=⨯，P (ξ＝5)＝2211669⨯⨯=⨯， P (ξ＝6)＝1116636⨯=⨯， 所以ξ的分布列为(2)由题意知η所以E (η)＝3a a b c a b c a b c ++=++++++，D (η)＝22255551233339a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-⋅+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得240,4110.a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.20．(2013浙江，理20)(本题满分15分)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC ．(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．方法一：(1)证明：取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连结OP ，OF ，FQ ，因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD ．因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点， 所以OP 是△BDM 的中位线， 所以OP ∥DM ，且OP ＝12DM .又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝14AD ． 从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF . 又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD ．(2)解：作CG ⊥BD 于点G ，作CH ⊥BM 于点H ，连结CH . 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ， 所以AD ⊥CG ，又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ， 所以CG ⊥BM .又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ， 所以GH ⊥BM ，CH ⊥BM .所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝θ，CG ＝CD sin θ＝θsin θ，BG ＝BC sin θ＝2θ.在Rt △BDM 中，23BG DM HG BM θ⋅==.在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝3cos sin CG HG θθ==所以tan θ从而θ＝60°.即∠BDC ＝60°.方法二：(1)证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知A (0，2)，B (0，0)，D (00)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为3AQ QC = ，所以Q 00331,,4442x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.因为M 为AD 的中点，故M (01)． 又P 为BM 的中点，故P 10,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以PQ ＝0033,044x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ·u ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD ．(2)解：设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量．由CM ＝(－x 00y ,1)，BM＝(0,1)，知000,0.x x y y z z ⎧-+)+=⎪⎨+=⎪⎩取y ＝－1，得m＝00,1,y x ⎛- ⎝. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝||1||||2⋅==m n m n，即200y x ⎛= ⎝⎭① 又BC ⊥CD ，所以CB ·CD＝0， 故(－x 0，0y ,0)·(－x 00y ,0)＝0，即x 02＋y 02＝2.②联立①，②，解得000,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去)或0022x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以tan ∠BDC=又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.21．(2013浙江，理21)(本题满分15分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D ．(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程． 解：(1)由题意得1,2.b a =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d =，所以||AB==.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由220,44,x ky kx y++=⎧⎨+=⎩消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故0284kx=-.所以|PD|＝24k+.设△ABD的面积为S，则S＝12|AB|·|PD|＝24k+，所以S＝32=当且仅当k=时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝x－1.22．(2013浙江，理22)(本题满分14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．解：(1)由题意f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.②当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.③当0＜a＜1时，设x1＝1－x2＝1则0＜x1＜x2＜2，f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．由于f(故f(x1)＋f(x2)＝2＞0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a0，从而f(x1)＞|f(x2)|.所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}．当0＜a＜23时，f(0)＞|f(2)|.又f(x1)－f(0)＝2(1－a(2－3a)2＞0，故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a当23≤a＜1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a(3a－2)2，所以当23≤a＜34时，f(x1)＞|f(2)|.故f(x)max＝f(x1)＝1＋2(1－a当34≤a＜1时，f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1. 综上所述，|f(x)|max＝33,0,3 121,4331,.4a aa aa a⎧⎪-≤⎪⎪+(-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R = h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1， 已知i 是虚数单位，则()()12i i -+-=2， A ，3i -+ B ，13i -+ C ，33i -+ D ，1i -+3， 设集合{}{}22,340S x x T x x x =>-=+-≤，则()R C S T =U A ，(]2,1- B ，(],4-∞- C ，(],1-∞ D ，[)1,+∞3，已知,x y 为正实数，则A ，lg lg lg lg 222x y x y +=+ B ，()lg lg lg 222x y x y +=g C ，lg lg lg lg 222x yx y =+g D ，()lg lg lg 222xy x y =g 4，已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A ，充分不必要条件B ，必要不充分条件C ，充分必要条件D ，既不充分也不必要条件5，某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则 A ，4a = B ，5a = C ，6a = D ，7a =6，已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2α= A ，43 B ，34 C ，34- D ，43- 7，设ABC V ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边 AB 上任一点，恒有00PB PC P B PC ≥uu r uu u r uuu r uuu r g g ，则 A ，90ABC ∠=o B ，90BAC ∠=o C ，AB AC = D ，AC BC =8，已知e 为自然对数的底数，设函数()()()()111,2k x f x e x k =--=，则A ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值B ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9，如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是A B C ，32 D ，210，在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记().B f A π=设,αβ是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()()12,Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦，恒有12PQ PQ =，则A ，平面α与平面β垂直B ，平面α与平面β所成的（锐）二面角为45oC ，平面α与平面β平行D ，平面α与平面β所成的（锐）二面角为60o2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．11，设二项式5的展开式中常数项为A ，则A = 12，某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 3cm13，设z k x y =+，其中,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k =14，将,,,,,A B C D E F六个字母排成一排，且,A B 均在C 的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）15，设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点()1,0P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率等于 16，在ABC V 中，90C ∠=o ，M 是BC 的中点。