高数期中试题及解答
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武汉大学电信学院2009－2010学年第二学期高等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程。
2．（6分）给出平面lx my nz p ++=与二次曲面2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ìïï¹ïï=íïï=ïïî，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设方程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx¶¶。
6．（9分）设函数(,)u x y 满足0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得PM MQ +最小。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算二重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
9．（6分）计算积分3d d d (1)x y zI x y z W=+++蝌?，其中W 是由平面1x y z ++=与三个坐标面所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z ³，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷ç+=ç÷桫在第一象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
13．（8分）求直线1211x y z -==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积。
14．（6分）设一球面的方程为222(1)4x y z +++=，从原点向球面上任一点Q 处的切平面作垂线，垂足为点P ，当点Q 在球面上变动时，点P 的轨迹形成一封闭曲面S ，求此封闭曲面S 所围成的立体W 的体积。
15．（3分）设()f x 在[1,)+?上有连续的二阶导数，(1)0f =，(1)1f ¢=，且二元函数2222()()z x y f x y =++满足 22220zzxy抖+=抖，求()f x 在[1,)+?的最大值。
1、解：过已知点(2,1,3)M 与已知直线11321x y z+-==-垂直的平面方程为：3250x y z +--=求出已知直线与该平面的交点为2133,,777N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MN 即为所求，其方程为：213.214x y z ---==-2、解：设平面与曲面相切的切点为000(,,)x y z ，则有0002220000001lx my nz p Ax my nz Ax By Cz lm n ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪==⎩，消去000,,x y z 得所求条件为：2222l m n p A B C++=，当分母为零时，分子相应也为零。
3、解：（1）00(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f xx -===； 00(0,)(0,0)1(0,0)limlim arctan ||2y y y f y f f y y p-===。
（2）当(,)(0,0)x y ¹时，(,)x f x y =-，2(,)y f x y =-因为(,)(0,0)2210 |(,)|01x y x f x y x y ®＃揪揪井++，所以 (,)(0,0)lim(,)(0,0)x x x y f x y f ®=同理222222(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim arctanlim1 =0(0,0)22y x y x y x y y y f x y x y x y x y f p p =-?++++-==所以两个偏导数均连续.(3)因为(,)f x y 的两个偏导数在点(0,0)均连续，所以(,)f x y 在点(0,0) 可微. 4、解：21 .z y y z y F xF y f F x xF x F x x x y x抖骣÷ⅱⅱç=++?=+-=+?+÷ç桫抖，则.z zx y xy xF yF xy yF xy xF xy z xy x y抖ⅱ+=+-++=++=+抖5、方程两边微分得：12()()dz ydx xdy f zdx xdz f zdy ydz ++=+++， 整理得：1212()()1zf y dx zf x dydz xf yf -+-=--，所以 1121z zf yx xf yf ?=?-.6、在(,2)u x x x =两边对x 求导得： (,2)2(,2)1x y u x x u x x +=,将条件2(,2)x u x x x =代入上式得：21(,2)2y x u x x -=，在2(,2)x u x x x =两边对x 求导得：(,2)2(,2)2 (1)xx xy u x x u x x x +=在21(,2)2y x u x x -=两边对x 求导得：(,2)2(,2) (2)yx yy u x x u x x x +=-联立（1）（2）两式并注意到xx yy xy yx u u u u ==，解得：54(,2)(,2)(,2).33xy xx y x xu x x u x x u x x ===-，说明：此题应该加上条件：(,)u x y 具有连续的二阶偏导数.7、解：首先将点P Q ，的坐标代入212x y z -+-计算出结果均小于0，所以点P Q ，位于平面的同侧. 过点P 且与平面垂直的直线方程为11121x y z -+==-， 该直线与已知平面的交点为(3,4,1)-，由中点公式可求出点P 关于已知平面的对称点为(5,8,3)P ¢-，于是{2,9,1}QP ¢=-uuu r，从而过点P ¢和点Q 的直线方程为312291x y z ---==-，此直线与平面的交点为272017(,,)777M -，点M 即为所求.8、作直线y x =将积分区域分成12D D ，两部分，其中 1{(,):0,0}.D x y y x xp =＃＃原式=12sin sin sin sin D D x x ydxdy y x ydxdy +蝌蝌12sin sin D x x ydxdy =蝌 （用到轮换对称性）2sin sin 2sin (1cos )x x xdxydy x x x dx p p==-蝌?52sin sin 2.2x xdx x xdx p p p=-=蝌9、解：11131(1)x x yI dx dy dz x y z ---=+++蝌?111212(1)x yx dx dy x y z ---轾犏=-犏+++臌蝌112011124(1)x dx dy x y -轾犏=--犏++臌蝌 1100101124(1)131ln 25.2441216xy dx x y x dx x -轾犏=-+犏++臌骣÷ç=---=-÷ç÷桫+òò10、解：注意积分区域关于yoz 平面对称，2xz 关于x 为奇函数，故222221122111222210()()(1)(1)2224.151515yzxyD D x z dxdydz x z dxdydz x dxdydz z dxdydz x dxdydz z dz dxdyx x dx z z dzp p p p p WWWW--+=+=+=+=-+-=+=蝌蝌蝌蝌蝌蝌蝌蝌蝌蝌11、解：令22cos x r q =，23sin y r q =，则曲线方程为：sin cos r q q =，q 的范围为2[0,]p q Î，于是cos sin 20cos sin 22220055225220(,)cos sin (,)cos sin =cos sin (1sin )sin sin =.15x y I d d d d d d p q q p q q pp qq q rr q q q qr rq q q q q q¶=¶==-12、证明：右边(1,1) {(,):0,01}Df x y dxdy D x y y x x=--=＃＃蝌令11x u y v ?=ïïíï-=ïî，即11x u y v ?-ïïíï=-ïî，则10(,)101(,)x y u v -¶==-¶，记 {(,):1,01}{(,):0,01}D u v u vuD u v vu uⅱ?=＃＃=＃＃，，,右边(,)D f u v dudv ¢=蝌(,)D f v u dudv ⅱ=蝌（轮换对称性）(,)D f u v dudv ⅱ=蝌(,)Df x y dxdy ==蝌左边.13、设点(,,)M x y z 为旋转曲面上任意一点，它由直线上的点000(,,)x y z 绕y 轴旋转得到，则有02222000001211y y x z x z x y z ìïïï=ïïï+=+íïïï-ï==ïï-ïî， 消去000,,x y z 得旋转曲面的方程为：22254 1.x z y y +=++（用切片法计算所求体积:)22270(541).3xzD V dxdydz dy dxdz y y dy p p W===++=蝌蝌蝌?14、设点(,,)P x y z 为曲面上任一点，点000(,,)Q x y z 为球面上任一点，则有：222000(1) 4 (1)x y z +++=球面在点Q 的法向量为000{,,},Q n x y z =r点P 切在切平面上，即：000000()()(1)()0 (2)x x x y y y z z z -+-++-= 由OP uu u r垂直于切平面有：000 (3)1x y z x y z ==+联立（1）（2）（3）消去000,,x y z 得曲面方程为：2222222()4()x y z z x y z +++=++该曲面的球面方程为2cos r j =-，从而体积为：22cos 240sin 3V dxdydz d d r dr p p j q j jp -W===蝌蝌蝌.15、解：22322()22(2)zx f x y f x xf x xy f x¶ⅱ=?+鬃=++¶，22232222222222(62)(22)2 2(102)4()z f x f x x y f x xy f x xf x y f x x y f ¶ⅱⅱ=+鬃++++鬃¶ⅱ?=++++ 同理可得：22222222(102)4()z f y x f y x y f y ¶ⅱ?=++++¶代入条件22220z zx y抖+=抖整理得： 22222222222()3()()()()0f x y x y f x y x y f x y ⅱ?+++++++=记22x y r +=，上式写为：2()3()()0 (1)f r rf r r f r ⅱ?++=，这是一个以r 为自变量，()f r 为未知函数的欧拉方程.令tr e =，则ln t r =，1,dt dr r =1()df dt dff r dt dr r dt¢==，22221111()d df df d df dt d f df f r dr r dt r dt r dt dt dr r dt dt 骣骣骣骣÷ç鼢÷ⅱ珑ç==-+=-÷ç鼢÷÷鼢ç÷珑ç桫桫桫桫代入欧拉方程得：2220 (2)d f dff dt dt++=这是一个以t 为自变量，()t f e 为未知函数的二阶常系数线性齐次微分. 其特征方程为：2210ll ++=，特征根为121l l ==-，从而（2）的通解为12()()t tf e C C t e -=+,变量代会得到（1）的通解为：12(ln )()C C r f r r+=2122(ln )()C C C r f r r-+¢=，代入初始条件得：10C =，21C =，故（1）的特解为ln ().rf r r = 下面求函数ln ()x f x x=在区间[1¥，+)上的最大值.241ln 32ln ()()x x x xf x f x x x--+ⅱ==，，令()0f x ¢=得驻点为 x e =，31()0f e eⅱ=-<，所以x e =为函数()f x 在区间[1¥，+)上的极大值点，唯一的极大值点也是最大值点，所以所求最大值为：1().f e e=。
